第1章 信号及其描述

第1章 测试信号及其描述
Signal and Its Description
1.0 序（Introduction） 1.1 信号的分类（Signal Classification） 1.2 信号的描述（Signal Description） 1.3几种典型信号的频谱（Several Typical Signal’s Spectrum） 返回
方波信号(复合信号)
调制信号(复合信号)
信号的分类
这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。 •谐波(harmonious)信号常用特征参量：均值、绝对均值、均 方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率） 描述。 •一般周期信号（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无 穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加 后存在公共周期。
信号的描述
1.2 .1 周期信号的描述(频谱分析) 本节主要介绍周期信号离散频谱的两种求解 方法：
1、富里叶级数的三角函数展开式求解法； 2、富里叶级数欧拉公式复指数函数展开式求解法。
要求掌握：
1、以常见几种周期信号为例，熟练运用两种方法求 解周期信号的离散频谱。 2、深刻理解周期信号在频域中表示的物理意义，如谐波、 双边谱、单边谱等。
信号的描述
1.2.1 周期信号的描述 （1）三角函数展开式
狄里赫利（Dirichet）条件
• 在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。 • 在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。 • 在一个周期内，信号绝对可积，即

t0 T
t0
| x(t ) | dt
信号的描述
则可以展开为
信号的分类
x( t ) A
0
0
t T
0
(a) 正弦信号： x(t ) A sin( 0t 0 ) x( t )
0
t
(b) 复杂周期信号：x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 t
常见的周期信号： 简谐信号 常见的复合周期信号： 三角信号(复合信号)
信号的描述
1.2 信号的描述 （Signal Description）
信号的时域描述 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征， 反映信号幅值随时间变化的关系。 波形图：时间为横坐标的幅值变化图。


优点：形象、直观。
缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。
信号的描述
信号的频域描述 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分 解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的 函数关系。
x( t )
…
T0
T0 2 0
T0 2 T0
…
t
信号的描述
频域
4A 1 1 x(t ) sin 0t sin 30t sin 50t π 3 5 4A 1 2π sin( 2 n 1 ) t 0 0 ， π n 0 2n 1 T0
•准周期信号(quasi-periodic signal)也由多个频率成分叠加而 成，但不存在公共周期。
信号的分类
•2）非周期信号
！非周期信号并不是非确定性信号 A）准周期信号 •由两个以上的周期信号组成，但找不到固定的公共周期。 例如： x ( t ) sin
1 0
t sin 20 t
采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱(amplitude
spectrun)和相位谱(phase spectrum)。
信号的描述
付里叶及付里叶变换 Fourier是法国大革命时期的数学家，他在频谱分析领 域做有卓越的贡献。 在当时，拿破仑时代，科学界流行一种哲学：世界是
有“基元”组成的，任何一种物质只是基元的加权的代
T0 = 2 / 0 =1/ f0
(n 1, 2, )
(0 k / m )
周期：满足上式的最小T 值。 频率(frequency)：周期的倒数，f = 1/T，单位：（Hz 赫兹） 圆频率/角频率：频率乘以2 f, 即 =2 f =2 /T 实际应用中，n 通常取为正整数。
* n
x( t ) a0 An sin( n0 t n )
n 1

a0 An sin(0 t n ) sin( 20 t n ) sin( 30t n ) sin( 40t n )
...... sin( n0t n )
频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。
幅值谱：幅值-频率图 相位谱：相位-频率图
频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大 小，描述更简练、深刻、方便。
信号的描述
周期信号
简单周期信号 复合周期信号
T0
非周期信号
准周期信号 瞬态信号
时 域 付里叶级数展开 频 域
三角函数展开 复指数函数展开
x( t ) x(t)
0
t
0
t
随机信号： 叠加白噪声的正弦信号
随机信号：白噪声
信号的分类
1.1.2 连续（Continuous）信号和离散（Discrete）信号
0
t
0
t
连续信号
离散信号
信号的分类
1.1.3 能量信号和功率信号 信号的瞬时功率：
P(t ) x 2 (t )
2 E (t ) P ( t ) dt x (t )dt
...
t
信号的描述
解：
1 a0 T0
2 T0 / 2 x(t )dt T0
结论。
序: 测试信号的多样性
xi (cm)
1
2 3
29.18 29.19 29.27 29.25 29.26 29.24
4
5 6
数值测量结果(单值信号)
波形谱图
序
故障诊断
图像谱图
信号的分类
1.1 测试信号的分类 （Signal Classification）
信号的分类
1.1.1. 确定性信号和非确定性信号
付里叶变换
离散单边谱
离散双边谱
T0
ห้องสมุดไป่ตู้
连续频谱(频谱密度函数)
An
Cn
X ( )
信号的描述
信号时域与频域描述的关系 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换， 两者蕴涵的信息相同。 时域描述与频域描述各有用武之地。 将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析， 属于信号的变换域分析。
数和。基元是什么？运动是物质的一种存在形态，也应 该具有一种相同的特性，即运动应由基元组成。
Fourier通过研究“振动弦”的运动得出一个规律：即
振动弦的运动可以分解为多个“正弦”信号的和。又通 过对很多现象的研究，Fourier得出一个结论：任何一个
信号可以分解为多个“简谐周期函数”的加权和，而
sin(x)、cos(x)是最简单的“简谐周期函数”。
• 确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信 号称为确定性信号。
x( t ) m
A
k
x( t )
0
t
0
x(t ) A cos( k t 0 ) m
信号的分类
•1）周期信号 周期信号(period signal)：依一定的时间间隔周而复始、 重复出现；无始无终。 数学表达：
x(t ) x(t nT0 )
例如：
信号的分类
•非确定性信号（随机信号） 非确定性信号无法准确预测信号的未来瞬间值，也无法 用数学关系式来描述其确定具体的值，只能用概率统计的方 法来估计。
例如：
A）平稳随机信号 信号的统计结果参数不随时间变化。
B）非平稳随机信号 信号的参数随时间变化，无法统计。
信号的分类
随机信号
• 非确定性信号。 • 具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不 一样）、不确定性、不可预估性。 • 采用概率和统计的方法进行描述。
试说明下列函数是何种信号？若是周期函数，试求周期T＝?
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. x1 ( t ) sin 3 t 1 x 2 ( t ) sin t cos 5t 3 x 3 ( t ) sin 3 t x4 ( t ) sin 4t sin 2 t x5 ( t ) e t x6 ( t ) e sint x7 ( t ) t sin 5 t
x( t ) a0 ( an cos n0 t bn sin n0 t )
n 1

（1）
• 如果令： An
a b ;
2 n 2 n
bn tg n an bn An sin n
an An cos n ;
则： x( t ) a0
A (cos
幅频图：An-- 相频图：n-- 谐波： Ansin(n0t+ n) A（） A0 A1 A2 A3 A 4 A 5 0 20 30 40

（n取正整数）
A6
A7
A8

50 60 70 80
信号的描述
例：方波信号的描述 时域描述
x(t ) x(t nT0 ), n 1, 2, 3, (0 ≤ t T0 2) A x(t ) A ( T 2 t ≤ 0) 0
（周期信号）
x2 ( t ) sin 0t sin 20t （非周期信号）
t
信号的分类
例：准周期信号
x(t ) A sin9t A sin

31 t

t
信号的分类 B）瞬变非周期信号 • 非周期信号主要是指瞬变非周期信号，它是指只在一定 或一些时间内才存在，或者是随时间的增长信号幅值衰 减至零的一种信号。
序
1.0 序（Introduction）
信号（signal）：随时间或空间变化的物理量。 信号是信息的载体，信息是信号的内容。 依靠信号实现电、光、声、力、温度、压力、流量等的传 输电信号易于变换、处理和传输，非电信号 电信号。 信号分析与处理（signal analysis and processing） 不考虑信号的具体物理性质，将其抽象为变量之间的函数 关系，从数学上加以分析研究，从中得出具有普遍意义的
A()
4A 4A 3 0 4A 5 50
()
/2
0
30 幅值谱

0
0
30 相位谱
50

信号的描述
x(t)
0
T0 t
周期方波信号的合成
信号的描述
周期方波信号的时、频域描述
信号的描述
傅里叶级数展开的物理意义: 求傅里叶系数an和bn的过程，就是求取信号x(t)与单位 余弦(或正弦)信号相关的过程。如果该信号x(t)内存在与该 单位余弦(或正弦)信号同频的分量，相关的结果就能取出 非零的an或bn来。否则就不相关即没有这一分量(成分)。
所谓傅里叶级数展开，就是做信号x(t)与单位简谐信 号的相关，相关的结果就是一一取出该x（t）的谐波分量 ，并表达在频域上。
因此，傅里叶级数展开就是寻求波形的相关，这就是 它的物理意义。
信号的描述
例：周期性三角波的傅里叶级数 x( t ) A
...
-T0/2 0 T0/2
T0 2A ( ≤ t 0) A T t 2 0 T0 2A x(t ) A t (0 t ≤ ) T0 2 x(t ) x(t nT0 ), n 1, 2, 3,
n 1 n
n 1

n
cos n0 t sin n sin n n t )
a0 An cos(n 0 t n )
幅值

基频
相角
或者
* x( t ) a0 sin( n 0 t n ) n 1
bn tg ( n ) an 2
x(t ) a0 (an cos n 0 t bn sin n 0 t )
n 1

其中
1 a0 T0

T0 / 2
T0 / 2
x(t )dt
x(t ) cosn0tdt
2 an T0

T0 / 2
T0 / 2
2 bn T0

T0 / 2
T0 / 2
x(t ) sin n0tdt
信号能量：
2 能量（有限）信号： E(t ) x (t )dt
如各类瞬变信号。 功率（有限）信号： 信号在有限区间（t1, t2）上的平均功率：
1 P(t1 , t 2 ) t 2 t1
t2

t1
x 2 (t )dt
如周期信号、准周期信号、随机信号等。