山东省烟台市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题扫描版含答案

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山东省烟台市2015-2016学年高一上期末数学试题(有答案)AwwMqK

2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N 分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N 分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。

山东省烟台市高三数学上学期期末统考试题文(扫描版)

山东省烟台市2015届高三数学上学期期末统考试题文（扫描版）EAF P 高三文科数学答案一．选择题：CDACD ADBBD二．填空题：11. 3- 12. 3 13. 10 14. 2213y x -= 15. 4 三．解答题16．解：（1）1()2cos 222f x x x ωω=-=sin(2)6x πω-. ……4分所以1=2ω， …………5分所以()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. …………6分（2）由1()2f A =，得1sin =62A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以=66A ππ-，所以3A π=. ……9分由222+2cos =b c bc A a -得，22+=3b c bc -，所以2()33b c bc +-=，又3b c +=，所以2bc =， ……………11分所以11sin =2=2222ABC S bc A ∆=⨯⨯. ………12分 17.解：（1）由2()r t S r S t =得，21n S n S =，而111=a S =，所以2n S n =. ………2分当2n ≥时，221=(1)21n n n a S S n n n --=--=-，且当1n =时，此式也适合， ………4分所以数列{}n a 的通项公式为=21n a n -. ………6分 (2)2111(2+1)14(+1)n b n n n ==⋅-111=)4+1n n -（， ………8分所以1111111()4223+1n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11(1)4+14(1)n n n =-=+. 12分 18.（1）证明：因为90ABC ACD ∠=∠=o ，60BAC CAD ∠=∠=o ，所以30FDC ∠=o ，又30FCD ∠=o ，所以60ACF ∠=o ，所以AF CF DF ==，所以F 为AD 的中点， ………3分又E 为PD 的中点，所以//EF PA ，而AP ⊂平面PAB ,所以//EF 平面PAB又60BAC ACF ∠=∠=o ，所以//CF AB ，可得//CF 平面PAB又EF CF F =I ，所以平面//CEF 平面PAB ，而CE ⊂平面CEF ，所以//CE 平面PAB . ………6分(2)因为//EF AP ，所以//EF 平面APC ，又90ABC ACD ∠=∠=o ，60BAC ∠=o ，22PA AB ==，所以22AC AB ==，tan 30AC CD ==o ………9分所以11=32PACE E PAC F PAC P ACF ACD V V V V S PA ---∆===⋅⋅111223223=⋅⋅⋅⋅=. ………12分 19．解：（1）依题意共有小球2n +个，标号为2的小球n 个，从袋子中随机抽取1 个小球，取到标号为2的小球的概率为122n n =+，得2n =；…3分（2）①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足23a b ≤+≤ 的结果有8种，故82()123P A ==； ……6分 ②由①可知，2)4a b -≤（，故224x y +>，（,x y ）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{}(,)|02,02,,x y x y x y ≤≤≤≤∈R ,由几何概型得概率为21424144P ππ-⋅==-. ………12分20.解：（1）2y =的焦点为) 0，， ………1分根据条件可知椭圆的焦点在x 轴上，且a =因为离心率3e =，所以33c ea ===，故b === ………4分故所求方程为221553x y +=. ………6分（2）将(1)y k x =+代入53:22=+y x E 得，0536)13(2222=-+++k x k x k ， ………7分设11( ) A x y ，，22( ) B x y ，，( 0)M m ，，则2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+， ………8分 1122( (1))( (1))MA MB x m k x x m k x ⋅=-+⋅-+u u u r u u u r ，，22221211(1)()()k x x k m x x k m =++-+++22222222356(1)()()3131k k k k m k m k k -=++--++++ ……10分222(61)5=31m k m k --++221614233(31)m m m k +=+--+， ………12分要使上式与k 无关，则有6140m +=，解得73m =-，所以点M 的坐标为7( 0)3-，. ………13分21.解：（1）由()1e x af x x =-+，得()1e x af x '=-.又()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平行于x 轴，得(1)0f '=，解得a =e . …4分 (2) ()1e x af x '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，()y f x =为()-∞+∞，上增函数，所以()y f x =无极值； ………6分 ②当0a >时，令()=0f x '得ln x a =.当()ln x a ∈-∞，时，()0f x '<， ()y f x =在()ln a -∞，上递减，当()ln +x a ∈∞，时，()0f x '>， ()y f x =在()ln +a ∞，上递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )ln f a a =，无极大值，……8分综上，当0a ≤时，()y f x =无极值；当0a >时()y f x =在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值. ……9分（3）当1a =时，1()1e x f x x =-+.直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点等价于关于x 的方程 111e x kx x -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程11e x k x -=（）*（）在R 上没有实数解. ………11分①当1k =时，方程*（）为1=0e x ，在R 上没有实数解；………10分②当1k ≠时，方程*（）为1=e 1x x k -.令()e x g x x =，则有()1+)e x g x x '=（. 令()0g x '=，得1x =-，当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，min 1()e g x =-，从而1()e g x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，，所以当111e k ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭，时，方程*（）没有实数解，解得()1e 1k ∈-，， ………13分综上，k 的取值范围为(]1e 1-，. ………14分。

[数学]2014-2015年山东省烟台市高一(上)数学期末试卷带解析word

2014-2015学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上.1．（5.00分）若直线经过A（0,4）,B（,1）两点,则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（5.00分）在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,上下底面均为正方形,则DD1与BB1所在直线是（）A．相交直线B．平行直线C．不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线3．（5.00分）设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为1,且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x﹣y+1=0,则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣7=04．（5.00分）若镭经过100年,质量比原来减少4.24%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是（）A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100xC．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）5．（5.00分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1C1与B1C所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5.00分）函数f（x）=2x+2x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（0,）B．（,1）C．（1,2）D．（2,3）7．（5.00分）在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表则x、y最合适的函数是（）A．y=2x B．y=x2﹣1 C．y=2x﹣2 D．y=log2x8．（5.00分）如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥B1CC．AC1⊥平面CB1D1D．直线CC1与平面CB1D1所成的角为45°9．（5.00分）A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为（）A． B．48πC． D．10．（5.00分）已知函数f（x）=,若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点,则实数m的取值范围是（）A．（0,）B．（,1）C．（0,1）D．（0,1]二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,满分25分.11．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为．12．（5.00分）已知直线l垂直于直线3x+4y﹣2=0,且与两个坐标轴构成的三角形周长为5个单位长度,直线l的方程为．13．（5.00分）如图,正方形OABC的边长为2,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的面积为．14．（5.00分）若方程ax2﹣x﹣1=0在区间（0,1）内恰有一个解,则实数a的取值范围是．15．（5.00分）设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列四个命题：①若α⊥β,l⊥β,则l∥α；②若l⊥α,l∥β,则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等,则l∥α；④若α⊥β,α∥γ,则γ⊥β．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题,满分75分.解答时要求写出必要的文字说明或演算步骤.16．（12.00分）已知直线l1：ax﹣by﹣1=0,（a,b不同时为0）,l2：（a+2）x+y+a=0,（1）若b=0且l1⊥l2,求实数a的值；（2）当b=2且l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离．17．（12.00分）如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．18．（12.00分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程；（2）若l不经过第二象限,求实数a的取值范围．19．（12.00分）提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况,在一般情况下,隧道内的车流速度v（单位：千米、小时）是车流密度x（单位：辆/千米,车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数．当隧道内的车流密度达到210辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明：当30≤x≤210时,车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤210时,求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时,车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数,单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大,并求出最大值．20．（13.00分）如图,A,B,C,D为空间四点．在△ABC中,AB=2,AC=BC=．等边三角形ADB以AB为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时,求CD；（Ⅱ）当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD？证明你的结论．21．（14.00分）如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA⊥CB,AA1=AC=CB=2,D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上,且二面角E﹣CD﹣B的正切值是,求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．2014-2015学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上.1．（5.00分）若直线经过A（0,4）,B（,1）两点,则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵直线经过A（0,4）,B（,1）两点,∴,设直线AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°）,由tan,得α=120°．故选：D．2．（5.00分）在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,上下底面均为正方形,则DD1与BB1所在直线是（）A．相交直线B．平行直线C．不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线【解答】解：由棱台的定义知,四棱台可看作是由四棱锥截得的,则DD1与BB1所在直线是相交的．故选：A．3．（5.00分）设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为1,且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x﹣y+1=0,则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣7=0【解答】解：由题意可知直线PA和PB关于x=1对称,任取直线PB的一点M（x,y）,则M关于直线x=1的对称点M′（2﹣x,y）在直线PA上,∴2﹣x﹣y+1=0,即x+y﹣3=0故选：C．4．（5.00分）若镭经过100年,质量比原来减少4.24%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是（）A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100xC．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）【解答】解：根据题意,得；设衰变率为a,则（1﹣a）100=1﹣4.24%=0.9576,∴1﹣a=,∴质量为1的镭经过x年后剩留量为y,x,y的函数关系是y=．故选：A．5．（5.00分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1C1与B1C所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图,∵直线A1C1∥AC,∴∠B1CA是异面直线A1C1与B1C所成的角,连结AB1,AC,∵△ACB1是等边三角形,∴∠B1CA=60°．∴异面直线A1C1与B1C所成的角是60°．故选：C．6．（5.00分）函数f（x）=2x+2x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（0,）B．（,1）C．（1,2）D．（2,3）【解答】解：函数f（x）=2x+2x﹣3在定义域R上单调递增且连续,f（）=+1﹣3＜0,f（1）=2+2﹣3=1＞0；故f（）•f（1）＜0；故函数f（x）=2x+2x﹣3的零点所在的大致区间是（,1）．故选：B．7．（5.00分）在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表x0.500.99 2.01 3.98y﹣1.010.010.98 2.00则x、y最合适的函数是（）A．y=2x B．y=x2﹣1 C．y=2x﹣2 D．y=log2x【解答】解：根据x=0.50,y=﹣0.99,代入计算,可以排除A；根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B、C；将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意故选：D．8．（5.00分）如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥B1CC．AC1⊥平面CB1D1D．直线CC1与平面CB1D1所成的角为45°【解答】解：由正方体的性质得BD∥B1D1,所以BD∥平面CB1D1,故①正确；由正方体的性质得B1C⊥AB、B1C⊥BC1,∴BC1⊥平面ABC1,∴AC1⊥B1C,故②正确；由②知AC1⊥B1C,同理可证AC1⊥B1D1,∴AC1⊥平面CB1D1 ,故③正确．连结A1C1交B1D1于O,则∠C1CO即为直线CC1与平面CB1D1所成的角,显然此角小于∠C1CB1=45°,故④不正确．故选：D．（注：本题通过建立空间直角坐标系亦可解决）9．（5.00分）A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为（）A． B．48πC． D．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图,把A、B、C、D扩展为三棱柱,上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径,AD=2AB=6,OE=3,△ABC是正三角形,所以AE==．AO==2．所求球的体积为：=．故选：A．10．（5.00分）已知函数f（x）=,若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点,则实数m的取值范围是（）A．（0,）B．（,1）C．（0,1）D．（0,1]【解答】解：∵函数f（x）=,若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点,∴y=f（x）与y=m图象有3个交点,f（﹣1）=1,f（0）=0,据图回答：0＜m＜1,故选：C．二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,满分25分.11．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为80 cm2．【解答】解：由三视图复原几何体可知,此几何体为正四棱锥,底面边长为8,侧面上的高为5,=4××8×5=80cm2．所以S侧故答案为：80cm2．12．（5.00分）已知直线l垂直于直线3x+4y﹣2=0,且与两个坐标轴构成的三角形周长为5个单位长度,直线l的方程为4x﹣3y±5=0．【解答】解：已知直线3x+4y﹣2=0,斜率k=﹣,设所求方程是4x﹣3y+b=0（斜率互为负倒数）,与x轴交点（﹣,0）,与y轴交点（0,）,与两轴构成的三角形周围长为5,∴+||+||=5,解得：b=±5．∴直线l的方程为：4x﹣3y±5=0．故答案为：4x﹣3y±5=0．13．（5.00分）如图,正方形OABC的边长为2,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的面积为8．【解答】解：根据题意,画出图形,如图所示；把该平面图形的直观图还原为原来的图形,如图所示；∴四边形A′B′C′D′是平行四边形,且A′D′=AD=2,B′D′=2BD=4∴平行四边形A′B′C′D′的面积是A′D′•B′D′=2×4=8．故答案为：．14．（5.00分）若方程ax2﹣x﹣1=0在区间（0,1）内恰有一个解,则实数a的取值范围是a＞2．【解答】解：若a=0,则方程ax2﹣x﹣1=0的解为﹣1,不成立；若a＜0,则方程ax2﹣x﹣1=0不可能有正根,故不成立；若a＞0,则△=1+4a＞0,且c=﹣1＜0；故方程有一正一负两个根,故方程ax2﹣x﹣1=0在区间（0,1）内恰有一个解可化为（a•02﹣0﹣1）（a•12﹣1﹣1）＜0；解得,a＞2；故答案为：a＞2．15．（5.00分）设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列四个命题：①若α⊥β,l⊥β,则l∥α；②若l⊥α,l∥β,则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等,则l∥α；④若α⊥β,α∥γ,则γ⊥β．其中正确命题的序号是②④．【解答】解：①错误,l可能在平面α内；②正确,l∥β,l⊂γ,β∩γ=n⇒l∥n⇒n⊥α,则α⊥β；③错误,直线可能与平面相交；④∵α⊥β,α∥γ,⇒γ⊥β,故④正确．故答案为②④；三、解答题：本大题共6小题,满分75分.解答时要求写出必要的文字说明或演算步骤.16．（12.00分）已知直线l1：ax﹣by﹣1=0,（a,b不同时为0）,l2：（a+2）x+y+a=0,（1）若b=0且l1⊥l2,求实数a的值；（2）当b=2且l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离．【解答】解：（1）∵b=0,∴直线,∵l1⊥l2,∴a+2=0,即a=﹣2；（2）∵b=2,∴直线l1的斜率为．又∵l1∥l2,∴,解得,∴直线l1：4x+6y+3=0,直线l2：4x+6y﹣8=0．直线l1与l2之间的距离．17．（12.00分）如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【解答】证明：（1）因为四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD,因为AB⊄平面CDEF,CD⊂平面CDEF,所以AB∥平面CDEF．…4分因为AB⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以AB∥EF．…7分（2）因为DE⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以DE⊥BC．…9分因为BC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE⊂平面CDEF,所以BC⊥平面CDEF．…12分因为BC⊂平面BCF,所以平面BCF⊥平面CDEF．…14分．18．（12.00分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程；（2）若l不经过第二象限,求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0,得y=a﹣2．令y=0,得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等,∴,解之,得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限,∴,∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞,﹣1]．19．（12.00分）提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况,在一般情况下,隧道内的车流速度v（单位：千米、小时）是车流密度x（单位：辆/千米,车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数．当隧道内的车流密度达到210辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明：当30≤x≤210时,车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤210时,求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时,车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数,单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大,并求出最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知,当0≤x≤30时,v（x）=60；当30≤x≤210时,设v（x）=ax+b,由已知可得,解得．所以函数．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0≤x≤30时,f（x）=60x为增函数,∴当x=30时,其最大值为1800．…（9分）当30≤x≤210时,,当x=105时,其最大值为3675．…（11分）综上,当车流密度为105辆/千米时,车流量最大,最大值为3675辆．…（12分）20．（13.00分）如图,A,B,C,D为空间四点．在△ABC中,AB=2,AC=BC=．等边三角形ADB以AB为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时,求CD；（Ⅱ）当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点E,连接DE,CE,因为ADB是等边三角形,所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE由已知可得,在Rt△DEC中,．（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD．证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD．（ⅱ）当D不在平面ABC内时,由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC,所以AB⊥CE．又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE,由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD．综上所述,总有AB⊥CD．21．（14.00分）如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA⊥CB,AA1=AC=CB=2,D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上,且二面角E﹣CD﹣B的正切值是,求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．【解答】（1）证明：连结AC1,交A1C于点F,则F为AC1中点,又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF,因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD．…（3分）（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,因为AA1=AC,所以AC1⊥A1C…（4分）因为CA⊥CB,B1C1∥BC,所以B1C1⊥平面ACC1A1,所以B1C1⊥A1C…（6分）因为B1C1∩AC1=C1,所以A1C⊥平面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分）（3）解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥CD,因为AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB,CD⊥平面ABB1A1．所以CD⊥DE,CD⊥DB,所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角．在Rt△DEB中,．由AA1=AC=CB=2,CA⊥CB,所以,．所以,得BE=1．所以点E为BB1的中点．…（11分）又因为,,,A 1E=3,故,故有DE⊥A1D所以…（14分）。

【精品】2015年山东省烟台市高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年山东省烟台市高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合M={x|y=2x}，N={x|y=lg（x﹣1）}，则M∩∁R N=（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．R D．∅2．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A．，B．，g（x）=x+1C．f（x）=|x|，D．，g（x）=3．（5分）设f（x）=，h（x）=，则f（h（e））等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．e4．（5分）若f（x）=x2﹣2（a﹣1）x+2在（﹣∞，3]上是减函数，则a的取值范围是（）A．a＞4 B．a＜4 C．a≥4 D．a≤45．（5分）满足“对定义域内任意实数x，y，都有f（x•y）=f（x）+f（y）”的单调递减函数是（）A．y=log2x B．y=log0.3x C．y=3x D．y=0.1x6．（5分）设f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（4）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（4）＞f（3）C．f（2）＞f（0）D．f（﹣1）＜f（4）7．（5分）函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B． C．D．8．（5分）设a=40.2，b=0.24，c=log40.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2x﹣2﹣x+2，则f（2）等于（）A．2 B．C．4 D．10．（5分）已知函数f（x）=e x，如果x1，x2∈R，且x1≠x2，下列关于f（x）的性质，其中正确的是（）①（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；②f（﹣x）=f（x）；③f（﹣x）=﹣f（x）；④＞f（）．A．①②B．①③C．②④D．①④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

山东省烟台市2014届高三上学期期末考试数学文 Word版含答案

高三期末自主练习数学（文）注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．设全集}6|*{<∈=x N x U ，集合}3,1{=A ，}5,3{=B ，则)(B A 等于 A ．}4,1{ B ．}5,1{ C ．}5,2{ D ．}4,2{ 2．若6.03=a ，6.0log 3=b ，36.0=c ，则A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12π=x 对称的是A ．)32sin(π+=xyB ．)3sin(π-=x y C ．)32sin(π-=x yD ．)32sin(π+=x y 4．设平面向量)2,1(=a ，),2(y -=b ，若b a //，则|2|b a -等于 A ．4 B ．5 C ．53 D ．54 5．在∆ABC 中，若cb bc a c a +-=-++1lglg )lg()lg(，则A = A ．︒90 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒150 6．函数23)21()(--=x x x f 的零点所在的区间是A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3.4) 7．已知直线l ⊥平面α，直线⊆m 平面β，则下列四个结论： ①若βα//，则m l ⊥ ②若βα⊥，则m l // ③若m l //，则βα⊥ ④若m l ⊥，则βα// 其中正确的结论的序号是：A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③8。

山东省烟台市2014-2015学年高二上学期期末考试数学文试题扫描版含答案

2014-2015学年度第一学期高二期末检测文科数学答案一．选择题：BBDAB CDACB二．填空题11. 20x y ±= 12. 12e-13. 280x y +-= 14. 3π- 15. 12 三．解答题16.解：若p 为真，则01a <<； ………2分若q 为真，则1012a <-<，所以1322a <<. ………5分若p 真q 假，则102a <≤； ………8分若p 假q 真，则312a ≤<， ………11分综上，102a <≤或312a ≤<. ………12分 17.解：由128x <<，得03x <<， ………2分因为p ⌝是q ⌝的必要条件，所以p 是q 的充分条件，…………5分所以不等式240x mx -+≥对()0 3x ∀∈，恒成立，所以244x m x x x+≤=+对()0 3x ∀∈，恒成立. ……………9分因为4x x +≥，当且仅当2x =时等号成立，所以4m ≤. ……12分 18.解：（1）依题意，(3)0f '=，解得6m =-， ………2分由已知可设32()69f x x x x n =-++，因为(0)0f =，所以0n =，则32()69f x x x x =-+， 2()3129f x x x '=-+． ………5分列表：由上表可知()f x 在1x =处取得极大值为(1)4f =，()f x 在3x =处取得极小值为(3)0f =． ………………8分（2）当(]0 1x ∈，时，直线OM 斜率322()69(3)f x x x x k x x x-+===-，因为01x <≤，所以332x -<-≤-，则24(3)9x ≤-<，即直线OM 斜率的最小值为4． ………12分19.解：(1)建立如图的直角坐标系，则(10 2)P ，，设椭圆方程为2222+1x y a b=. 将33b h =-=与点P 代入方程，得a =，2l a ==. ………5分(2) 要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，只需半椭圆面积最小即可.由2222+1x y a b =，得2222102+1a b=. 因为22221022102+a b ab⨯⨯≥，即40ab ≥，所以半椭圆面积202abS ππ=≥，当S 最小时，有22221021==2a b，得a =，b = ………10分此时2l a ==33h b =+=，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. ………………12分20. 解：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意121c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ ，解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ……………4分（2）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ……………5分证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. ……………7分由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+，122843x x m -⋅=+. ……9分依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=.即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=,整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+，整理得2512m =-，矛盾．所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. …………13分21.解:（1）)(x f 定义域为()0 +∞，， …………1分21ln ()x f x x -'∴=， 1()f =-e e ，21()2e ek f '==, ………3分 ∴函数)(x f y =在1x =e处的切线方程为： 21e 2e ()ey x +=-，即22e 3e y x =-. ……5分（2）令()0f x '=，得e x =，当(0 e)x ∈，时，()0f x '>，)(x f 在(0 e)，上为增函数，当(e )x ∈+∞，时，()0f x '<，在(e )+∞，上为减函数， ………7分 max 1()(e)ef x f ∴==. ……………8分（3） 0>a ，由（2）知：)(x F 在(0 e)，上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，∴)(x F 在[] 2a a ，上的最小值min ()min{()(2)}F x F a F a =，. ……10分 1()(2)ln 22a F a F a -=， …………11分 ∴当20≤<a 时，()(2)0F a F a -≤，=)(min x f ()ln F a a =，当2a >时，()(2)0F a F a ->，min ()f x =1(2)ln 22F a a =. ………14分。

山东省烟台市高一数学上学期期末自主练习试题(扫描版)

2015-2016第一学期高一期末考试参考答案数学一．选择题 CACBC ABDCD二．填空题11. ② 12. 1111B D A C ⊥（答案不唯一） 13. 135o 14. ()4,+∞ 15. ②③三．解答题16.（1）证明：Q C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AB 是底面圆的直径,AC BC ∴⊥．因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ,所以1AA BC ⊥，而1AC AA A =I ，所以BC ⊥平面C AA 1.又BC ⊂平面C BA 1，所以平面C AA 1⊥平面C BA 1. ………6分（2）在Rt ABC ∆中，2AB =，则由222AB AC BC =+且AC BC =，得2AC BC ==，所以1111122223323A ABC ABC V S AA -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=. ………12分 17.（1）证明：连AC ，设AC 与BD 交于点O ，连EO ，因为E 是1AA 的中点，O 是BD 的中点，所以1//A C EO ，又EO ⊂面BDE ，1AA ⊄面BDE ，所以1//A C 平面BDE . ………6分(2) 由（1）知，,BD AC BD EO ⊥⊥，所以AOE ∠是二面角E BD A --的平面角，在Rt AOE ∆中，2tan 2AE AOE AO ∠==. ………12分 18.解：（1）由题意得() 2.8G x x =+. 所以20.4 3.2 2.8(05)()()()8.2(5)x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩. ……4分(2)①当05x ≤≤时，由20.4 3.2 2.80x x -+->，解得15x <≤； ……6分②当5x >时，由8.20x ->解得8.2x <，所以58.2x <<，综上得18.2x <<时，0y >. ………8分(3) 当5x >时, 函数()y f x =递减，所以()(5) 3.2f x f <=（万元），当05x ≤≤时，函数2()0.4(4) 3.6y f x x ==--+，当4x =时，()y f x =有最大值3.6万元. ……11分所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大，为3.6万元. ………12分19.解：（1）设00(,)B x y ，则AB 的中点0021(,)22x y M +-在直线CM 上，所以0021321022x y +-⋅+⋅+=，即003260x y ++= ① ……2分又点00(,)B x y 在直线BT 上，所以0020x y -+= ② ……4分由①②得002,0x y =-=，即顶点B 的坐标为()2,0-. ……6分(2)设点()2,1A -关于直线BT 的对称点的坐标为(),A a b '，则点A '在直线BC 上，由题意知，112212022b a a b +⎧=-⎪⎪-⎨+-⎪-+=⎪⎩ ，解得3,4a b =-=，即()3,4A '-. ……9分因为4043(2)BC BA k k '-===----， ………11分所以直线BC 的方程为4(2)y x =-+，即480x y ++=. ……12分20.证明：（1）设DF 的中点为N ，连接MN ，则1//2MN CD ，12MN CD =. 又因为1//2AO CD ，12AO CD =，所以//MN AO ，MN AO =，所以MNAO 为平行四边形，所以//OM AN . ………3分又因为AN ⊂面DAF OM ⊄面DAF ，所以//OM 面DAF ； ………6分（2）因为面ABCD ⊥面ABEF ，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，面ABCD I 面ABEF AB =，所以CB ⊥面ABEF . ………9分因为AF ⊂面ABEF ，所以AF CB ⊥.又AB 为圆O 的直径，所以AF BF ⊥.又CB BF B =I ，,CB BF ⊂面CBF ， ………12分所以AF ⊥面CBF . ………13分21.解:（1）由题意，10a +≠，即1a ≠-.令0x =得，2y a =-；令0y =得，21a x a -=+，由题意得，221a a a -=-+，即(2)01a a a -=+，解得0,2a a ==， ………2分当0a =时，直线l 的方程为20x y ++=；当2a =时，直线l 的方程为30x y +=，综上所述，所求直线l 的方程为20x y ++=或30x y +=. ………4分（2）将直线l 的方程化为()12y a x a =-++-.为使直线l 不经过第二象限，需()1020a a -+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩， ………6分解得1a ≤-，所以a 的取值范围是(],1-∞-. ……7分(3) 由题意得()2,0,0,21a A B a a -⎛⎫- ⎪+⎝⎭(1)a ≠-，且20120a a a -⎧>⎪+⎨⎪-<⎩，解得1a <-. ………9分所以212144(2)(1)2121AOB a a a S a a a a ∆--+-=⋅⋅-=⋅<-++，令10t a =+<，则216919()622AOBt t S t t t ∆-+-⎡⎤=⋅=-++⎢⎥-⎣⎦，………12分容易证明9()(0)u t t t=-+<-在()0,3t -∈上减，在()3,t -∈+∞上增，…13分所以当3t -=时，AOB S ∆最小，最小值为6. ………14分。

2014-2015年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案

2014-2015学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上. 1．（5分）已知集合M={x||x﹣1|＜1}，集合N={x|x2﹣2x＜3}，则M∩∁R N=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0或2≤x＜3}D．∅2．（5分）若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2B．3C．4D．53．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=cosxC．y=﹣cosx D．y=﹣sinx4．（5分）如图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无两边相等的三角形5．（5分）已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sinA：sinB：sinC=（）A．1：1：1B．：1：2C．：2：1D．3：2：2 6．（5分）某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P，则下列数据中与P最接近的是（）A．3×10﹣4B．3×10﹣5C．3×10﹣6D．3×10﹣77．（5分）在（ax+1）7的展开式中，x3项的系数是x2项系数和x5项系数的等比中项，则实数a的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（4）•g（﹣4）＜0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为（）A．y2=4x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=8x10．（5分）定义域是R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（﹣4，﹣2]时，f（x）≤有解，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，﹣]∪[1，]D．[﹣2，﹣]∪[1，+∞]二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）抛物线y=x2在x=2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积为．12．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ}）+1（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）=．13．（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为10，则的最小值为．14．（5分）已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1相交于P、Q两点，则AP•AQ的值为．15．（5分）给出下列结论：①函数f（x）=lnx﹣在区间（e，3）上有且只有一个零点；②已知l是直线，α、β是两个不同的平面．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；③已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，在求边c的长时有两解．其中所有正确结论的序号是：．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．17．（12分）2015年元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：分别写着六个函数：f1（x）=x2+1，f2（x）=x3，f3（x）=，f4（x）=xcosx，f5（x）=|sinx|，f6（x）=3﹣x．（1）现在取两张卡片，记事件A为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件A的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列，并求其数学期望．18．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为．（Ⅰ）求证：直线AC∥平面EFB；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣A的余弦值．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=a，a2=t（常数t＞0），S n是其前n项和，且S n=．（I）试确定数列{a n}是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；（Ⅱ）令b n=．20．（13分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x）．（1）求函数f（x）的图象在点（e，1）处的切线方程；（2）求g（x）的单调区间；（3）当a=1时，求实数m的取值范围，使得g（m）﹣g（x）＜对任意x＞0恒成立．21．（14分）已知椭圆C：的离心率e=，点A为椭圆上一点，=．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l：kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．问：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2014-2015学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上. 1．（5分）已知集合M={x||x﹣1|＜1}，集合N={x|x2﹣2x＜3}，则M∩∁R N=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0或2≤x＜3}D．∅【解答】解：∵M={x||x﹣1|＜1}={x|0＜x＜2}，N={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴∁R N={x|x≥3或x≤﹣1}，∴M∩∁R N=∅，故选：D．2．（5分）若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：已知函数f（x）=①当x=2时，函数f（2）=f（2+2）=f（4）②当x=4时，函数f（4）=f（4+2）=f（6）③当x=6时，函数f（6）=6﹣3=3故选：B．3．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=cosxC．y=﹣cosx D．y=﹣sinx【解答】解：设f（x）=sin（2x﹣），可得y=f（x）的图象向右平移，得到f（x﹣）=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得f（x﹣）=sin（x﹣）=﹣cosx的图象．∴函数y=sin（2x﹣）的图象按题中的两步变换，最终得到的图象对应函数解析式为y=﹣cosx，故选：C．4．（5分）如图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无两边相等的三角形【解答】解：根据题意，得；设三棱锥的棱长为1，则底面三角形的高为，∴该三棱锥的侧视图为底边长等于1，两腰长为的等腰三角形；如图所示．5．（5分）已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sinA：sinB：sinC=（）A．1：1：1B．：1：2C．：2：1D．3：2：2【解答】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理化简已知等式得：2sinA+sinB+3sinC=0，由△ABC的重心为G，得2sinA+sinB=﹣3sinC=﹣3sinC（﹣﹣），整理得：（2sinA﹣3sinC）+（sinB﹣3sinC）=0，∵，不共线，∴2sinA﹣3sinC=0，sinB﹣3sinC=0，即sinA=sinC，sinB=sinC，则sinA：sinB：sinC=：：1=3：2：2，故选：D．6．（5分）某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P，则下列数据中与P最接近的是（）A．3×10﹣4B．3×10﹣5C．3×10﹣6D．3×10﹣7【解答】解：由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数是10，选题正确的概率是该同学至少答对9道题包括答对9道题或答对10道题，根据独立重复试验的公式得到该同学至少答对9道题的概率为P=C910•（）9•（）+C1010•（）10≈3×10﹣5．7．（5分）在（ax+1）7的展开式中，x3项的系数是x2项系数和x5项系数的等比中项，则实数a的值为（）A．B．C．D．=C7r（ax）7﹣r，【解答】解：展开式的通项为：T r+1∴x3项的系数是C74a3，x2项的系数是C75a2，x5项的系数是C72a5，∵x3项的系数是x2的系数与x5项系数的等比中项，∴（C74a3）2=C75a2×C72a5，∴a=．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（4）•g（﹣4）＜0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）•g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由此特征可以确定C、D两选项不正确，由g（﹣4）＜0得log a4＜0，∴0＜a＜1，故其底数a∈（0，1），由此知f（x）=a x﹣2，是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案9．（5分）已知双曲线=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为（）A．y2=4x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=8x【解答】解：设双曲线=1的焦点为（c，0），渐近线方程为y=x，则焦点到其渐近线的距离为==b=2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，则有c=，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则令x=﹣=﹣c，代入双曲线方程，可得y=±b=±．则有=4，解得，a=2，即有c==2，则p=4．故抛物线方程为y2=8x．故选：C．10．（5分）定义域是R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（﹣4，﹣2]时，f（x）≤有解，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，﹣]∪[1，]D．[﹣2，﹣]∪[1，+∞]【解答】解：∵f（x+2）=2f（x），又∵当x∈（﹣4，﹣2]时，x+4∈（0，2]；∴f（x）=f（x+2）=f（x+4）=；由分段函数可求得，f（x）≥﹣；故﹣≤，解得，t∈[﹣2，0）∪[1，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）抛物线y=x2在x=2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积为．【解答】解：抛物线y=x2在x=2处的切线的斜率为2x|x=2=4，所以切线为y﹣4=4（x﹣2）即y=4x﹣4，此直线与x轴的交点为（1，0），所以抛物线y=x2在x=2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积为==；故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ}）+1（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）=4030．【解答】解：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A•+1=cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，∴A=2．根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，∴ω=．再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，∴φ=．故函数的解析式为f（x）=cos（x+）+2=﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=﹣[sin+sin（×2）+sin（×3）+…+sin（×2014）+sin（×2015）]+2×2015=0+4030=4030，故答案为：4030．13．（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为10，则的最小值为5．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（4，6）．此时z=4a+6b=10，即2a+3b﹣5=0，即=1，则=（）（）=++==，当且仅当=，即a=b=1时，取等号，故的最小值为5，故答案为：514．（5分）已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1相交于P、Q两点，则AP•AQ的值为7．【解答】解：圆心C（3，2），半径R=1，设切线交圆于B，则在圆中AP•AQ=AB2，∵AB==，∴AP•AQ=AB2=7，故答案为：715．（5分）给出下列结论：①函数f（x）=lnx﹣在区间（e，3）上有且只有一个零点；②已知l是直线，α、β是两个不同的平面．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；③已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，在求边c的长时有两解．其中所有正确结论的序号是：①④．【解答】解：①由f（x）=lnx﹣，得，当x∈（e，3）时f′（x）＞0，∴f（x）在（e，3）上为单调增函数，又，∴函数f（x）=lnx﹣在区间（e，3）上有且只有一个零点，①正确；②由α⊥β，l⊂α，可得l⊂β或l∥β或l与β相交，②错误；③m⊥α，m⊥n，可得n∥α或n⊂α，③错误；④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，则由正弦定理得：，即，则B有一个锐角和一个钝角，对应的边c的长有两解，命题④正确．∴正确的命题是①④．故答案为：①④．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．【解答】解：（1）f（x）=﹣=sin2x+sinxcosx﹣=+sin2x﹣=sin（2x﹣）…3分周期T=π，因为cosx≠0，所以{x|x≠+kπ，k∈Z}…5分当2x﹣∈[+2kπ，+2kπ]，即+kπ≤x≤+kπ，x≠+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，所以函数f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，[+kπ，+kπ]，k∈Z (7)分（2）当，2x﹣∈[﹣，]，…9分sin（2x﹣）∈（﹣，1），当x=时取最大值，故当x=时函数f（x）取最大值为1…12分17．（12分）2015年元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：分别写着六个函数：f1（x）=x2+1，f2（x）=x3，f3（x）=，f4（x）=xcosx，f5（x）=|sinx|，f6（x）=3﹣x．（1）现在取两张卡片，记事件A为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件A的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列，并求其数学期望．【解答】解：（1）由题意知f2（x）=x3，f3（x）=，f4（x）=xcosx都是奇函数，f1（x）=x2+1，f5（x）=|sinx|都是偶函数，f6（x）=3﹣x是非奇非偶函数，取两张卡片，记事件A为“所得两个函数的奇偶性相同”，则事件A的概率P（A）==．（2）由题意得ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ=1）=，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：Eξ==．18．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为．（Ⅰ）求证：直线AC∥平面EFB；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣A的余弦值．【解答】（I）证明：设AC，BD交于O，取EB中点G，连结FG，GO，在△BDE中，，∴，即四边形FAOG是平行四边形，∴FG∥AO，又AO⊄平面EFB，FG⊂平面EFB，∴直线AC∥平面EFB．…（5分）（II）解：分别以AD，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz由题意知：B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），A（2，0，0），∴，=（﹣2，﹣2，2），，，设平面AEB的法向量，则，∴，取x=1，得=（1，0，1），设平面FBE的法向量，则，取y 1=1，得，设二面角F﹣BE﹣A的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角F﹣BE﹣A的大小为．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=a，a2=t（常数t＞0），S n是其前n项和，且S n=．（I）试确定数列{a n}是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；（Ⅱ）令b n=．【解答】（I）解：∵S n=，∴当n=1时，a1=S1=0，∴a=0．∴，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1，当n≥3时，a n=•…•=•…••t=（n﹣1）t．当n=1，2时满足上式，∴数列{a n}是等差数列，其通项公式为a n=（n﹣1）t．（II）证明：由（I）可得S n=，∴b n=+==2+﹣，∴=2n+，∴2n＜＜2n+3．20．（13分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x）．（1）求函数f（x）的图象在点（e，1）处的切线方程；（2）求g（x）的单调区间；（3）当a=1时，求实数m的取值范围，使得g（m）﹣g（x）＜对任意x＞0恒成立．【解答】解：（1）f（x）=lnx的导数为f′（x）=，即有f（x）在点（e，1）处的切线斜率为k=，则f（x）在点（e，1）处的切线方程为y﹣1=（x﹣e），即为x﹣ey=0；（2）g（x）=f（x）+af′（x）=lnx+，g′（x）=﹣=（x＞0），当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上递增；当a＞0时，0＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）上递减，x＞a时，g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）上递增．综上可得，当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（0，a）．（3）f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x），即有g（x）=lnx+，由a=1，g（x）=lnx+，g′（x）=﹣=，令g′（x）=0，解得x=1，当g′（x）＞0，即x＞1时，函数g（x）单调递增，当g′（x）＜0，即0＜x＜1时，函数g（x）单调递减，即有g（x）min=g（1）=1，由于g（m）﹣g（x）＜，对任意x＞0恒成立，则lnm+﹣＜g（x），m＞0，即有lnm＜g（x）恒成立，即lnm＜1，解得0＜m＜e，则实数m的取值范围是（0，e）．21．（14分）已知椭圆C：的离心率e=，点A为椭圆上一点，=．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l：kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．问：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由e=可得，a2=4c2，①═，可得，|AF1||AF2|=4在△F1AF2中由余弦定理有，=4c2，又|AF1|+|AF2|=2a可得a2﹣c2=3②联立①②得，a2=4，c2=1，∴b2=3，所以椭圆的方程为（2）设点P（x0，y0）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得4k2﹣m2+3=0，∴所以P （）由，得Q（4，4k+m），假设存在点M，坐标为（x1，0），则，，因为以PQ为直径的圆恒过点M，所以，即所以有对任意的k，m都成立．则解得x1=1，故存在定点M（1，0）符合题意．第21页（共21页）。

山东省烟台市2014-2015学年高二上学期期末考试数学理试题扫描版含答案

高二理科参考答案及评分标准一、选择题D A C D A C B B D B二、填空题11. 6 12. 2- 13.1223a ≤≤ 14. 280x y +-= 15. ②③④ 三、解答题 16.解:当命题p 为真时，3012a -<<，解得：13a <<； …………………3分当命题q 为真时，（1）当244(2)0a a ∆=-+=时，2a =或1-，经检验2a =时，函数()g x 有唯一的零点2x =满足题意， …………………5分（2）当0∆≠时，只需(0)(2)0g g ≤，即(2)(2)0a a +-≥，解得：2a ≥或2a ≤-；所以命题q 为真时，2a ≥或2a ≤- …………………7分要使p 或q 为真，p 且q 为假，只需,p q 一真一假，当p 真q 假时，1322a a <<⎧⎨-<<⎩，解得12a <<， …………………9分当p 假q 真时，1322a a a a ≤≥⎧⎨≥≤-⎩或或，解得：2a ≤-或3a ≥， …………11分综上所述，a 的取值范围是12a <<，2a ≤-或3a ≥. …………12分17. 解：设点C 的坐标为(,)x y ，由已知可得，直线AC 的斜率(3)3AC y k x x =≠-+； …………………………1分直线BC 的斜率(3)3BC y k x x =≠-； …………………………2分因为AC BC k k k =，所以(3)33y y k x x x ⨯=≠±+-，又0k ≠整理可得，221(3)99x y x k-=≠±； …………………………4分当1k <-时，点C 的轨迹是焦点在y 轴的椭圆，除两点(3,0),(3,0)-； ……6分当1k =-时，点C 的轨迹是圆229x y +=，并除去两点(3,0),(3,0)-； ………8分当10k -<<时，点C 的轨迹是焦点在x 轴的椭圆，除两点(3,0),(3,0)-； …10分当0k >时，点C 的轨迹是焦点在x 轴的双曲线，除两点(3,0),(3,0)-. ………12分18. 解：（1）解法一：连接BD ，取BD 中点O ，连接OE 、AO ，因为,O E 分别为,BD SD 的中点，所以OE //12SB ，所以 AEO ∠就是所求， ………………1分在AOE ∆中，AE OE AO ==，由余弦定理可得，cos 5AEO ∠== ………………3分所以异面直线AE 和SB所成角的余弦值为5. ………………4分解法二：如图建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1CD =，则2SD AD AB ===，则(2,0,0)A ，(0,0,1)E ，(2,2,0)B ，(0,0,2)S ，可得(2,0,1),(2,2,2)AE SD =-=--， ………………2分所以cos ,5AE SD <>==，即异面直线AE 和SB. ………………4分（2）由（1）可得，(2,1,0),(0,1,2)CB CS ==-，不妨设111(,,)x y z =n 为平面SBC的一个法向量，则有0,0CB CS ==n n ，即11112020x y y z +=⎧⎨-+=⎩，不妨令12y =，可得(1,2,1)=-n ， ………………7分所以cos ,AE <>==n ，所以直线AE 和平面SBC所成角的正弦值为10. ………………9分（3）由题意可知，(0,2,0)DC =为平面SCD 的一个法向量， ………………10分而cos,DC<>==n所以面SAD和面SBC所成二面角的余弦值为3………………12分19. 解：（1）由题意可得OP OQ⊥，所以0OP OQ =，即(,)(,2)0x y x⨯-=，…………………………3分即220x y-=，即动点P的轨迹C的方程为22x y=，………………4分（2）由题意可知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为2y kx=-，并设1122(,),(,)A x yB x y，则11(,)A x y'-.由222y kxx y=-⎧⎨=⎩，消y整理得2240x kx-+=，…………………………5分则24160k∆=->，即||2k>. …………………………6分12122,4x x k x x+==. …………………………8分直线212221:()y yA B y y x xx x-'-=-+，21222122221222122212122()()2()2222y yy x x yx xx x xx xx xx x x x x xx-∴=-++-=-++--=-+211222x x x xx-=+…………………………11分将124x x=代入上式可得即2122x xy x-=+所以，直线A B'恒过定点(0,2). …………………………12分20. 解：（1）111BC AC AB AC AA AB =-+-+-==b c a ，…………………………2分有题意可知， ||||1,||2===a b c ，且三向量的夹角均为60，所以1,1,12===a b b c c a ； ………………………4分故222221||()2221+4+1+2-1-2=5BC =+-=+++--b c a b c a b c a b a c = 所以1||5BC = …………………………6分（2）假设存在点O 使得1AO ⊥平面11BB C C ，不妨设1BO mBB nBC =+ ()m n m n n =+-=+-c b a c b a ， …………………………7分而(1)AO AB BO m n n =+=++-c b a ，所以11(1)(1)AO AO AA m n n =-=-++-c b a ， ……………9分要使1AO ⊥平面11BB C C ，只需1AO ⊥11,BB AO BC ⊥，即110,()0AO AO =-=c b a ，所以[(1)(1)]=0[(1)(1)]()0m n n m n n -++-⎧⎨-++--=⎩c b a c c b a b a ，代入数值并解得，31,42m n ==， ……………12分即13142BO BB BC =+，所以存在点O 当13142BO BB BC =+时，1AO ⊥平面11BB C C . ……………13分 21. 解：（1）设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，由题意可知1c =，又因为1AF FB =，所以()()1a c a c +-=，即221a c -=， …………2分所以22222,1a b a c ==-=，故椭圆的方程为2212y x +=. ………………4分（2）因为对角线,PQ MN 互相垂直，所以直线,PQ MN 中至少有一条斜率存在，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点(0,1)F ,故PQ 的方程为1y kx =+，将此式代入椭圆方程可得，22(2)210k x kx ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12122221,22k x x x x k k +=-=-++， ………5分从而12|||PQ x x ==-=22)2k k+==+， ………7分当0k ≠时，MN 的斜率为1k -，同上可得222211()])||112()2k k MN k k+-+==+-+，故四边形MPNQ 的面积222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k++++===++++， ………10分令2212u k k=+≥，当且仅当1k =±时，2u =，此时4(2)12(1)5252u S u u+==-++，显然S 是以u 为自变量的增函数，所以1629S ≤<； ………12分当0k =时，|||MN PQ =此时122S =⨯，综上所述，四边形MPNQ 面积的最大值为2，最小值为169. ………14分。

山东省烟台市高一数学上学期期末试题(含解析)

2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD ﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R （x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。