中考数学复习第二部分空间与图形第二十二课时矩形练习
中考数学复习第二部分空间与图形第二十二课时矩形课件
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【考点变式】 (2017·南宁)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在 BD上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF; (2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
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解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°, ∵BE=DF,∴OE=OF, 在△AOE和△COF中,∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF, ∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF; (2)∵OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴OA=OB, ∵∠AOB=∠COD=60°,∴△AOB是等边三角 形,∴OA=AB=6,∴AC=2OA=12,
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1.(2017·泸州)下列命题是真命题的是 ( D ) A.四边都相等的四边形是矩形 B.菱形的对角线相等 C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 2.(2017·兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点 D,∠ADB=30°,AB=4,则OC= ( B )
第22课时 矩 形
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考纲要求
中考动向
1.理解矩形的概念;矩形与平行四边形之间的 1.题型:选择题、填空
关系.
题和解答题
2.探索并证明矩形的性质定理:矩形的四个角 2.难度:中、低档题
都是直角,对角线相等.
3.分值:3~7 分
4.热点和趋势:
3.探索并证明矩形的判定定理:三个角是直角 的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形 是矩形.
形.
∵BC=DE,AB=BC,∴AB=DE.∴▱ADBE是矩形.
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一、选择题 1.(2017·西宁)如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交 AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为 ( D )
初三中考数学复习 矩形的性质与判定 专项训练题 含答案
初三中考数学复习矩形的性质与判定专项训练题含答案2021 初三中考数学复习 矩形的性质与判定 专项训练题1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A ．对角相等B ．对角线相等C ．对边平行D ．对边相等2．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACB ＝30°，那么∠AOB 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3. 直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，那么直角三角形的面积为( )A ．5B ．6C ．7D ．84. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ＝8cm ，∠AOD ＝120°，那么AB 的长为( ) A.3cm B ．2cm C ．23cm D ．4cm5. 如图，Rt △ABC 中，DC 是斜边AB 上的中线，EF 过点C 且平行于AB.假设∠BCF ＝35°，那么∠ACD 的度数是( )A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°6. 在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A 、C 作相距为2的平行线段AE 、CF ，分别交CD 、AB 于点E 、F ，那么DE 的长是( ) A. 5 B.136 C ．1 D.567. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，那么CD 的长是 .8. 如图，BE 、CF 分别是△ABC 的高，M 为BC 的中点，EF ＝5，BC ＝8，那么△EFM 的周长是 .9. 在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是经过点O 分别与AB 、CD 相交于点E 、F 的直线，那么图中阴影局部的面积为 .10. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，那么AD 的长为______.11. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC ，P 点是BD 的中点．假设AD＝6，那么CP的长为 .12. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，那么∠E＝度．13. 如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，AD＋CD＝10，AE＝2，求AD的长．14. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试探究MN与BD的位置关系，并加以证明．15. ：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.参考答案：1---6 BBCDC D7. 58. 139. 310. 3311. 312. 1513. 解：先设AD＝x.∵△DEF为等腰三角形，∴DE＝EF，∠FEB＋∠DEA＝90°.又∵∠AED＋∠ADE＝90°，∴∠EDA＝∠FEB.又∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B ＝90°.∴△ADE≌△BEF(AAS)．∴AD＝BE.∴AD＋CD＝AD＋AB＝x＋x＋2＝10.解得x＝4，即AD＝4.14. MN⊥BD.证明：连接MD、MB.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，又M为AC的中点，∴DM＝BM＝12 AC.又N为BD的中点，∴MN⊥BD(三线合一)．点拨：遇直角三角形斜边上有中点的，一般可考虑用直角三角形性质．15. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°， ∵EF ⊥DF ，∴∠EFD ＝90°，∴∠EFB ＋∠CFD ＝90°，∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFD ，在△BEF 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFDBE ＝CF ∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD(ASA)，∴BF ＝CD.。
北师大版初三数学上册《矩形》知识讲解及例题演练
矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA 和∠PCQ 度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB ≌△PQC(SAS)，从而证得PA ＝PQ ．【答案与解析】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC ＝∠BCD ＝90°．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ ∠PBC ＝∠PCB ＝∠QCD ＝60°，∴ ∠PBA ＝∠ABC －∠PBC ＝30°，∠PCD ＝∠BCD －∠PCB ＝30°．∴∠PCQ ＝∠QCD －∠PCD ＝30°，故∠PBA ＝∠PCQ ＝30°(2)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ＝DC ．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ PB ＝PC ，QC ＝DC ＝AB ．∵ AB ＝QC ，∠PBA ＝∠PCQ ，PB ＝PC ．∴ △PAB ≌△PQC ，∴ PA ＝PQ ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD ∥BC ， ∴ B E F B F E B F E''∠=∠=∠， (2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，2、如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE ＝15°，求∠BOE 的度数．【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE ＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑证BO ＝BE ．由AE 平分∠BAD 可求∠BAE ＝45°得到AB ＝BE ，进一步可得等边△AOB ．有AB ＝OB ．证得BO ＝BE ．【答案与解析】解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，AC ＝BD ． ∴ AO ＝BO ．∵ AE 平分∠BAD ，∴ ∠BAE ＝45°．∴ ∠AEB ＝90°－45°＝45°＝∠BAE ．∴ BE ＝AB ．∵ ∠CAE ＝15°，∴ ∠BAO ＝60°．∴△ABO是等边三角形．∴BO＝AB，∠ABO＝60°．∴BE＝BO，∠OBE＝30°．∴∠BOE＝18030752-=°°°．【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．类型二、矩形的判定3、如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．【答案与解析】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF ：∠FDC=3：2，DF ⊥AC ，则∠BDF 的度数是多少？【答案】（1）证明：∵A0=C0，B0=D0∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC ，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF ：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF ⊥AC ，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD ，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC ﹣∠FDC=18°．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG ⊥DE ．【答案与解析】证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，∴ CE ⊥AB ．∵ 在Rt △CEB 中，G 是BC 的中点，∴ EG ＝12BC ，同理DG ＝12BC ． ∴ EG ＝DG ．又∵ F 是ED 的中点，∴ FG ⊥DE ．【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 举一反三：【变式】如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）1 C.5 D.52【答案】A ；解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE ＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB ＝2，BC ＝1，∴OE＝AE＝12AB＝1，DE==∴OD1.。
(完整版)矩形练习题及答案
矩形课后练习1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．内角和为360°B．对角线相等C．对角相等D．相邻两角互补2、平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直3、下列关于矩形的说法中正确的是()A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形下列说法正确的有()①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，试求∠CAE的度数．5、如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，试求∠COE的度数．6、Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM 的最小值为．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．8、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．9、(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．10、如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；(3)当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．11、如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．(1)求证：△BOC≌△EOD；(2)当∠A=12∠EOC时，连接BD、CE，求证：四边形BCED为矩形．12、已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．13、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．14、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．15、如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．16、如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．矩形课后练习参考答案题一： B ．详解：A ．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B ．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C ．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D ．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B ． 题二： B ．详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B ．题三： B ．详解：A ．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B ．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C ．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D ．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B ．题四： C ．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C ． 题五： 30°．详解：∵∠DAE ：∠BAE =1：2，∠DAB =90°，∴∠DAE =30°，∠BAE =60°，∴∠DBA =90°-∠BAE =90°-60°=30°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°，∴∠CAE =∠BAE -∠OAB =60°-30°=30°．题六： 75°．详解：∵四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ，∴∠CDE =∠CED = 45°，∴EC =DC ，又∵∠BDE =15°，∴∠CDO =60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD =OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO =60°，∠OCB =90°-∠DCO =30°，∵DE 平分∠ADC ，∠ECD =90°，∠CDE =∠CED = 45°，∴CD =CE =CO ，∴∠COE =∠CEO ；∴∠COE =(180°-30°)÷2=75°．题七： 65．详解：由题意知，四边形AFPE 是矩形，∵点M 是矩形对角线EF 的中点，则延长AM 应过点P ，∴当AP 为Rt △ABC 的斜边上的高时，即AP ⊥BC 时，AM 有最小值，此时AM =12AP ，由勾股定理知BC =22AB AC +=5，∵S △ABC =12AB •AC =12BC •AP ，∴AP =345⨯=125，∴AM =12AP =65． 题八： 1+13．详解：作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG ，交BC 于D 点，D 点即为所求，∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∵BC =2，∴EF =12BC =12×2=1；∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠EFG =∠C =90°，又∵∠ABC =60°，BC =2，FG =AC =23，EG =22EF FG +=13，∴DE +FE +DF =EG +EF =1+13．题九： 见详解．详解：(1)BD =CD ．理由：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，∠AFE =∠DCE ，∠AEF =∠DEC ，AE =DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AFBD 是矩形． 题十： 见详解．详解：(1)∵△BCF 和△ACE 是等边三角形，∴AC =CE ，BC =CF ，∠ECA =∠BCF =60°，∴∠ECA -∠FCA =∠BCF -∠FCA ，即∠ACB =∠ECF ，∵在△ACB 和△ECF 中，AC =CE ，∠ACB =∠ECF ，BC =CF ，∴△ACB ≌△ECF (SAS)，∴EF =AB ，∵三角形ABD 是等边三角形，∴AB =AD ，∴EF =AD =AB ，同理FD =AE =AC ，即EF =AD ，DF =AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形；(2)当∠BAC =150°时，平行四边形AEFD 是矩形，理由：∵△ADB 和△ACE 是等边三角形，∴∠DAB =∠EAC =60°，∵∠BAC =150°，∴∠DAE =360°-60°-60°-150°=90°，∵由(1)知：四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形AEFD 是矩形．(3)当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB =∠EAC =60°，∠BAC =60°，∴∠DAE =60°+60°+60°=180°，∴D 、A 、E 三点共线，即边DA 、AE 在一条直线上，∴当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在．题十一： 见详解．详解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO =∠BCO ，∠DEO =∠CBO ，∵DE =AD ，∴DE =BC ， 在△BOC 和△EOD 中，∠OBC =∠OED ，BC =DE ，∠OCB =∠ODE ，∴△BOC ≌△EOD (ASA)；(2)∵DE =BC ，DE ∥BC ，∴四边形BCED 是平行四边形， 在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∴∠A =∠ODE ，∵∠A =12∠EOC ，∴∠ODE =12∠EOC ， ∵∠ODE +∠OED =∠EOC ，∴∠ODE =∠OED ，∴OE =OD ，∵平行四边形BCED 中，CD =2OD ，B E =2OE ，∴CD =BE ，∴平行四边形BCED 为矩形．题十二：见详解．详解：矩形．理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，∴OM=12BD，OM=12AC，∴BD=AC，∴四边形ABCD是矩形．题十三：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC 中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．题十四：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12 AB，CF=12CD．∴AE=CF，在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．题十五：5．详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．题十六：PF+PG =AB．详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，则S△BEP+S△DEP=S△BED，即12BE•PF+12DE•PG =12DE•AB．又∵BE=DE，∴12DE•PF+12DE•PG=12DE•AB，即12DE(PF+PG)=12DE•AB，∴PF+PG =AB．。
2020年中考数学第一轮复习 第二十二讲 矩形 菱形 正方形 知识点+真题(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习第二十二讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【注意：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【注意：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证 ⑵先证是菱形，再证【注意：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看 的，要注意它们的区别和联系】【中考真题考点例析】考点一：与四边形有关的折叠问题例1（2019潍坊）如图，在矩形ABCD 中，AD =2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A ′，折痕为DE ．若将∠B 沿EA ′向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B ′，则AB = ．对应练习1－1（泸州）如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把△ADE 沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在BC 上，已知折痕AE=105cm ，且tan ∠EFC=34，那么该矩形的周长为（ ）A ．72cmB ．36cmC ．20cmD ．16cm对应练习1－2（湖州）如图，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ．若DE ：AC=3：5，则AD AB的值为（ ） A ．12 B ．33 C ．23D ．22 考点二：和菱形有关的的问题例2(2019聊城中考)在如图菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点,E F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠．（1）求证：ABF DAE V V ≌；（2）求证：DE BF EF =＋．对应练习2－1（2019潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′．B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．对应练习2－2（泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．考点三：和矩形有关的题目例3（2019年山东临沂）如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）A．OM＝12AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND对应练习3－1（2019青岛中考）如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 中点，延长AE 至G ，使EG＝AE ，连接CG ．（1）求证：△ABE≌△CDF ；（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由.考点四：和正方形有关的试题例4（2019年菏泽）如图，E,F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF 的周长是____.对应练习4－1（2019年枣庄）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．若四边形AECF 的面积为20，DE=2，则AE 的长为（ ）A. 4B. 25C. 6D. 26对应练习4－2（2019年山东临沂）如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 边上一点，（与D 、C 不重合），连接AE ，将△ADE 沿AE 所在的直线折叠得到△AFE ，延长EF 交BC 于点G ，连接AG ，作GH ⊥AG ，与AE 的延长线交于点H ，连接CH ．显然AE 是∠DAF 的平分线，EA 是∠DEF 的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角的平分线），并说明理由．考点五：矩形的动点问题例5（2019年泰安）如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 2D. 22 考点六：平行四边形、矩形、菱形及正方形综合题例6（2019年泰安）在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，A BG C M FH DE依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，…，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ,…⑴x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线的和是_____.对应练习6－1（2019年莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2019的坐标为 ．对应练习6－2（2019年山东滨州）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若AB ＝6，AD ＝10，求四边形CEFG 的面积．第二十二讲 矩形 菱形 正方形 参考答案【中考真题考点例析】考点一：与四边形有关的折叠问题例1 答案：3 解：在矩形ABCD 中，∠ADC =∠C =∠B =90°，AB =DC ．由翻折可知，∠AED =∠A 'ED =∠A 'EB =60°，∴∠A 'DE =∠ADE =30°，∴∠A 'DC =30°=∠A 'DB '，又∠A 'B 'D =∠B =∠C ，DA '＝DA '，∴△DB 'A '≌△DCA '（AAS ），∴DC =DB '．在Rt △ADE 中，tan30°=AD AE，即33=2AE ，解得AE =332．∴DE =334．设AB =DC =DB '=x ，则B 'E =BE =x －332，即有x －332+x =334，解得x =3．对应练习1－1 答案：A对应练习1－2 答案：A解析：∵矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，∴∠BAC=∠EAC ，AE=AB=CD ，∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ，∴∠DCA=∠BAC ，∴∠EAC=∠DCA ，设AE 与CD 相交于F ，则AF=CF ，∴AE -AF=CD -CF ，即DF=EF ，∴AF EFFC DF =，又∵∠AFC=∠EFD ，∴△ACF ∽△EDF ，∴53==AC DE FC DF，设DF=3x ，FC=5x ，则AF=5x ，在Rt △ADF 中，AD=2222(3x)-(5x)DF -AF ==4x ，又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x ，∴2184==x x AB AD．故选A ．考点二：和菱形有关的的问题例2 答案：证明：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，AD BC ∥，∴BPA DAE ∠=∠.在ABP ∆和DAE ∆中，又∵ABC AED ∠=∠，∴BAF ADE ∠=∠.∵ABF BPF ∠=∠且BPA DAE ∠=∠，∴ABF DAE ∠=∠，又∵AB DA =，∴()ABF DAE ASA ≅V V .（2）∵ABF DAE ≅V V ，∴AE BF =，DE AF =.∵AF AE EF BF EF =+=+， ∴DE BF EF =+.对应练习2－1 答案：解：（1）∵MN ∥B ′D ′，∴D C B C D N B M ''''=''．又∵C ′B ′=C ′D ′，∴MB ′=ND ′．在AB ′M 和△AD ′N 中，∴AB ′=AD ′，∠AB ′M =∠AD ′N ， B ′M =D ′N ，∴△AB ′M ≌△AD ′N ，∴∠B ′AM =∠D ′AN ．又∵∠D ′AN =α，∴∠B ′AM =α．∴∠B ′AM =∠BAB ′=21∠BAC =41∠BAD =15°．即α=15°．（2）在△AB ′E 和△AD ′G 中，∠AB ′E =∠AD ′G ，∠EAB ′=∠GAD ′，AB ′=AD ′，∴△AB ′E ≌△AD ′G ，∴EB ′=GD ′，AE =AG ．在△AHE 和△AHG 中，AE =AG ，∠EAH =∠GAH ，AH =AH ，∴△AHE ≌△AHG ，∴EH ＝GH ．∵△HEB ′的周长为2，∴EH +EB ′+HB ′=2，∴GH +GD ′+B ′H =2，∴B ′D ′=BD =2，∴菱形ABCD 的周长为8．对应练习2－2 答案：1：2，16解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=CO ，BO=DO ，∴AC=2AO ，BD=2BO ，∴AO ：BO=1：2；∵菱形ABCD 的周长为58，∴AB=52，∵AO ：BO=1：2，∴AO=2，BO=4，∴菱形ABCD 的面积S=248⨯＝16 故答案为：1：2，16．考点三：和矩形有关的题目例3 答案：A解：在□ABCD 中，OA ＝OC ，OB ＝OD ，又∵BM ＝DN ，∴OM ＝ON ，∴四边形AMCN 是平行四边形．当OM ＝12AC 时，则OA ＝OM ＝OC ，∴∠OAM ＝∠OMA ，∠OCM ＝∠OMC ，∴∠AMC ＝180°÷2＝90°，∴□AMCN 是矩形．对应练习3－1 答案：解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，∴∠ABE=∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE=12OB ，DF=12OD ， ∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴≅V V（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：∵AC=2OA ，AC=2AB ，∴AB=OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，∴AG ∥CF ，∴EG∥CF，∵EG=AE，OA=OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF是矩形．考点四：和正方形有关的试题例4 答案：解：连接BD，如图所示：因此OD=OB=OC=OA=12AC=4，AE=CF=2,因此OE=OF=8222--=2.所以DF=DE=BE=BF=222425+=，所以四边形BEDF的周长是4×25=85.对应练习4－1 答案：D解：ADE∆Q绕点A顺时针旋转90︒到ABF∆的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，25AD DC∴==，2DE=Q，Rt ADE∴∆中，2226AE AD DE=+=故选：D．对应练习4－2 答案：解：AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，GH是∠EGC的平分线，CH是∠DCM 的平分线．证明如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠B＝90°，AB＝AD．∵△ADE沿AE翻折至△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF．又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFGAB GC NFHDEM（HL ）．∴∠BAG ＝∠FAG ，∠BGA ＝∠FGA ，即GA 是∠BGF 的平分线，GH 是∠EGC 的平分线．∵GH ⊥AG ，∴∠AGH ＝90°，∴∠AGE+∠HGE ＝90°，∠AGB+∠HGC ＝90°， 又⑴∠AGB ＝∠AGE ，∴∠HGE ＝∠HGC ， 即GH 是∠EGC 的平分线．如图，过点H 作HN ⊥BC 于点N ，则∠GNH ＝∠ABG ＝90°∵∠AGB+∠HGC ＝90°，∠AGB+∠BAG ＝90°，∴∠HGC ＝∠BAG ． ∵∠GAE ＝21∠BAD ＝45°，∠AGH ＝90°，∴∠AHG ＝45°，∴AG ＝GH ， ∴△ABG ≌△GNH （AAS ），∴BG ＝HN ， GN ＝AB ＝BC ， ∴BG ＝CN ，∴CN ＝HN ，∴∠HCN ＝45°，∴∠ECH ＝45°， 即CH 是∠DCM 的平分线． 考点五：矩形的动点问题 例5 答案：D解：根据题意要使PB 最小，就必须使得DF 最长，因此可得当C 点和F 点重合时，才能使PB 最小.Q 当C 和F 重合时，P 点是CD 的中点2CP ∴=BP ∴===故选D.考点六：平行四边形、矩形、菱形及正方形综合题例6答案：(21n-解：根据根据题意可得11OA =,212A C =,324A C =,L 112n n n A C --=所以可得正方形111OA B C正方形1222C A B C 的对角线为正方形2333C A B C 的对角线为正方形3444C A B C 的对角线为L正方形1n n n n C A B C -的对角线为2n -所以前n 个正方形对角线的和为12(1248+2n n --++=++++L L (21n-故答案为(21n-对应练习6－1 答案：（1342，0）解：连接AC，如图所示．∠四边形OABC是菱形，∠OA=AB=BC=OC．∠∠ABC=90°，∠∠ABC是等边三角形．∠AC=AB．∠AC=OA．∠OA=1，∠AC=1．画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∠2019=335×6+4，∠点B4向右平移1340（即335×4）到点B2019．∠B4的坐标为（2，0），∠B2019的坐标为（2+1340，0），∠B2019的坐标为（1342，0）．对应练习6－2 答案：解：（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝，∴CE＝，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝．【聚焦中考真题】一、选择题1．（威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BFC．BD=DF D．AC=BF2．（枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3- 1 B．3 -5C．5+ 1 D．5- 13．（凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为（）A．14B．15C．16 D．174．（铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形5．（宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等6．（随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD 的周长是（）A．25B．20C．15D．107．（重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm8．（南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．123D．1639．（巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24B．16C．43D．2310.茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（）A．2B．4C．2 3D．4311．（成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．412．（包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S213．（扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°14．（绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm15．（雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题16．（临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．17．（烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画⌒AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．18．（济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．19．（宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．20．（淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．21．（无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．22．（黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．23．（攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan∠DBE的值是．24．（南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．25．（苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．26．（哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．27．（北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．28．（南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．29．（舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．30．（桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB 为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P 从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．31．（荆州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形；④s=38（x-2）2（0＜x＜2）；其中正确的是（填序号）．三、解答题32．（2019潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB=3，EC=5，求EM的长．33.（2019年泰安）如图，四边形ABCD 是正方形，EFC ∆是等腰直角三角形，点E 在AB 上，且90CEF ∠=︒，FG AD ⊥，垂足为点G . （1）试判断AG 与FG 是否相等？并给出证明.（2）若点H 为CF 的中点，GH 与DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不存在，说明理由. 34.（2019年日照）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，点G ，H 在对角线AC 上，AG ＝CH ，直线GH 绕点O 逆时针旋转α角，与边AB 、CD 分别相交于点E 、F （点E 不与点A 、B 重合）．（1）求证：四边形EHFG 是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB ＝9，AD ＝3，求AE 的长．35．（济宁）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、DC 上的点，且AF ⊥BE ． （1）求证：AF=BE ；（2）如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且MP ⊥NQ ．MP 与NQ 是否相等？并说明理由．36．（青岛）已知：如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD 、BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明） 37. （淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．38．（济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．39.（资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．40．（营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．CF的长．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．43．（南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．44．（广州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．45．（厦门）如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．求证：∠ABH=∠CDE．46．（黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME ∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．47．（铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．48．（南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．49．（贵阳）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD 于点E，连接EC．（1）求证：AE=EC；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．50．（曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G．（1）求证：△DCF≌△ADG．（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．51．（绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．52．（盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E 在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．53.（2019年济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折AD=，痕，连接EF并延长交BM于点P，若8AB=，求线段PE的长．5第二十二讲矩形菱形正方形参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1-5 DDCCB5-10 BCDCB11-15 BBBBC二、填空题16.答案：3解析：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴AB•AE=AD•AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=2，∴EF=AE=2，如图，过A作AM⊥EF，∴AM=AE•sin60°=3，23.答案：2解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB。
八年级数学下册第二十二章四边形.矩形第课时矩形的性质课后练习新版冀教版
矩形1．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AC ＝6 cm ，则AB 的长是( A )A ．3 cmB ．6 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝3，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝3，故选A.2．如图是一张矩形纸片ABCD ，AD ＝10 cm ，将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE ＝6 cm ，则CD ＝( A )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm解析：由折叠知DC ＝DF ，四边形CDFE 为正方形，∴CD ＝CE ＝BC －BE ＝10－6＝4(cm)．故选A.3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm.把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254 cm ，则AD 的长为( C )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm 解析：∵△ABC ≌△AEC ，∴∠EAC ＝∠BAC .又∵四边形ABCD 为矩形，∴DC ＝AB ＝8 cm ，DC ∥AB ，∴∠FCA ＝∠BAC .∴∠FAC ＝∠FCA ，∴AF ＝FC ＝254cm ， ∴DF ＝DC －FC ＝8－254＝74(cm)． 又∵∠D ＝90°，∴AD ＝AF 2－DF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－⎝ ⎛⎭⎪⎫742＝36＝6(cm)．故选C. 4．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD ＝120°，AB ＝1，则BC 的长为 3.解析：根据“矩形对角线相等且互相平分”可知△AOB 是等腰三角形．由∠AOD ＝120°，可知∠AOB ＝60°，从而得到△AOB 是等边三角形，再根据AB ＝1可得到AO ＝1，AC ＝2.在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得BC ＝AC 2－AB 2＝22－12＝ 3.5．如果矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且∠BOC ＝120°，AB ＝3 cm ，那么矩形ABCD 的面积为9 3 cm 2.解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝90°.又∵∠BOC ＝120°，∴∠ACB ＝30°.∴AC ＝2AB ＝6 cm ，∴BC ＝62－32＝33(cm)，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝3×33＝93(cm 2)．6．如图，在矩形ABCD 中，AB 的长为8 cm ，对角线BD 比AD 长4 cm.求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．解：在矩形ABCD 中，∠BAD ＝90°.设AD ＝x cm ，则BD ＝(x ＋4)cm.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得82＋x 2＝(x ＋4)2，解得x ＝6，则AD ＝6 cm.在Rt △ABD 中，AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，∴BD ＝10 cm.∵S △ABD ＝12AB ·AD ＝12BD ·AE ， ∴10AE ＝8×6，∴AE ＝4.8 cm.7．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm.现将A ，C 重合，使纸片折叠压平．设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．解：如图，连接AC ，交EF 于点O .由折叠知，OA ＝OC ，∴点O 为矩形的对称中心，E ，F 关于点O 对称，B ，D 也关于点O 对称．∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，由EC 折叠后与EA 重合，知EC ＝EA .设AF ＝x cm ，则 BE ＝FD ＝AD －AF ＝(4－x ) cm ，AE ＝AF ＝x cm.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB 2＋BE 2＝AE 2，即32＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝258. ∴S △AEF ＝12×3×258＝7516(cm 2)． 故AF 的长为258 cm ，△AEF 的面积为7516cm 2.。
北师大版九年级数学2.矩形(基础)知识讲解+练习
北师大版九年级数学矩形（基础）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【高清课堂 417081 矩形例7】【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、（2015•内江）如图，将□ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【答案与解析】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点的综合运用，熟练掌握特殊几何图形的性质与判定是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD∵D为BC的中点，∴CD＝BD∴CD∥AE，CD＝AE∴四边形ADCE是平行四边形∵AB＝AC∴AC＝DE∴平行四边形ADCE是矩形.3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、（2012•佳木斯）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ） A ．20 B ．12 C ．14 D ．13【答案】C ； 【解析】解：∵AB＝AC ，AD 平分∠BAC，BC ＝8，∴AD⊥BC，CD ＝BD ＝12BC ＝4， ∵点E 为AC 的中点， ∴DE＝CE ＝12AC ＝5， ∴△CDE 的周长＝CD ＋DE ＋CE ＝4＋5＋5＝14． 【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，P 是平行四边形ABCD 外一点，且∠APC ＝∠BPD ＝90°．求证：平行四边形ABCD 是矩形．【答案】解：连接OP ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形．∴ AO ＝CO ，BO ＝DO ， ∵ ∠APC ＝∠BPD ＝90°，∴ OP ＝12AC ，OP ＝12BD ， ∴ AC ＝BD ．∴ 四边形ABCD 是矩形．【巩固练习】一.选择题1．（2015春•宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.平行四边形的对角线平分一组对角D.矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm4．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )A. B. C. D.5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A. B. C.4 D.二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝__________cm.10.（2015•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB的长为．11.如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15.（2015•通州区一模）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证：四边形ECGD是矩形．一.选择题 1.【答案】D ；【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A 不正确；∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B 不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C 不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D 正确；2.【答案】B ；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半. 3.【答案】B ；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm 和8cm ，则周长为28cm . 4.【答案】D ；【解析】∠2＞∠1. 5.【答案】D ； 6.【答案】A ；【解析】先证△ADF ≌△BEF ，则DF 为△ABC 中位线，再证明四边形BCDE 是矩形，BE ，可求面积. 二.填空题7．【答案】5，53；【解析】可证△AOB 为等边三角形，AB ＝AO ＝CO ＝BO.8．【解析】由勾股定理算得斜边AB CD ＝12AB 9.【答案】5.8；【解析】设DE ＝x ，则AE ＝AB －BE ＝AB －DE ＝10－x .在Rt△ADE 中，由勾股定理可得AD 2＋AE 2＝DE 2，即()222410x x +-=，解得x ＝5.8.10.【答案】5；【解析】∵矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，∴AB=CD ，BE=CE ，∠B=∠C=90°， 可证得△ABE ≌△DCE （SAS ）， ∴AE=DE ，∵∠AED=90°，∴∠DAE=45°， ∴∠BAE=90°﹣∠DAE=45°， ∴∠BEA=∠BAE=45°，∴AB=BE=AD=×10=5．11.【答案】3；【解析】根据平行四边形的性质求出AD ＝BC ，DC ＝AB ，证△ADC ≌△CBA ，推出△ABC 的面积是3，求出AC ×AE ＝6，即可求出阴影部分的面积．【解析】推出四边形FCGE是矩形，得出FC＝EG，FE＝CG，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG ＝∠B，推出EG＝BG，同理AF＝EF，求出矩形CFEG的周长是CF＋EF＋EG＋CG＝AC＋BC，代入求出即可．三.解答题13.【解析】解：由矩形的性质可知OD＝OC.又由OE∶BE＝1∶3可知E是OD的中点.又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC＝CD，即OC＝CD＝OD，即△OCD是等边三角形，故∠CDB＝60°.所以∠ADB＝30°.又因为CD＝2OF＝8，即BD＝2OD＝2CD＝16.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC＝AB.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE＝DC，∴DE＝AB.∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠ABF＝90°.∴△ABF≌△DEA.15.【解析】证明：∵CF=BC，∴C点是BF中点，∵点G是DF中点，∴CG是△DBF中位线，∴CG∥BD，CG=，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DE=，∴∠DEC=90°，CG=DE，∵CG∥BD，∴四边形ECGD是矩形．。
中考数学三轮冲刺-真题集训：知识点32 矩形、菱形与正方形(pdf版,含答案)
一、选择题1．（2019·苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A '与点C重合时，点A与点B'之问的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC12=AC＝2，OB＝OD1=2BD＝8，∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，∴AO'＝AC+O'C＝6，∴AB'===10，故选C．2．（2019·温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a-b)=a2-b2．现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则12SS的值为（）ABCD【答案】C【解析】如图，连接ALGL，PF．由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PHA，L，G知识点32——矩形、菱形与正方形在同一直线上，AM ∥GN ，∴△AML ∽△GNL ，∴＝，∴＝，整理得a ＝3b ，∴＝＝＝，故选C ．3．（2019·绍兴）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ，在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积()A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变BC 的延长线于点E ，DE =6，则sin ∠DCE 的值为（ ）．A ．2425B ．45C ．34D．1225【答案】A【解析】连接AC ，交BD 于点F ，过点D 作DM CE ⊥，垂足为B因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以F 是BD 的中点，AD//BC ，所以DBC ADB ∠=∠， 因为BD 是 ABC ∠的平分线，所以ABD DBC ∠=∠， 所以ABD ADB ∠=∠， 所以AB AD =，所以□ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥，又因为DE BD ⊥， 所以AC//DE ，因为AC//DE ，F 是BD 的中点， 所以C 是BE 的中点， 所以132CFDE ==， 因为四边形ABCD 是菱形， 所以26AC FC ==，2ABCD AC BDS ×=菱形， 所以222486ABCD S BD AC×===菱形，所以142BFBD ==， 在Rt △BFD 中，由勾股定理得5BC ，因为四边形ABCD 是菱形，所以5DCBC ==， 因为ABCD S BC DM =×菱形所以245ABCD S DM BC==菱形，在Rt △DCM 中，24sin 25DM DCE ∠=DC =．5．（2019·江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种【答案】B【解题过程】具体拼法有4种，如图所示：6．（2019·株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形【答案】C【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直，所以选项A是错误的；矩形相邻的边互相垂直，对边互相平行，所以选项B是错误的；矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等是正确的；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以选项D是错误的；故选C.7．（2019·娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A 平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【答案】C【解析】如图：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝12BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG＝12AC，故四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD ，∴EH⊥EF ，∠HEF ＝90°∴四边形EFGH 是矩形．故选C ．8．（2019·安徽）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 将对角线AC 三等分，且AC=12.点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P 的个数是（）A. 0 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解题过程】如图，作点F 关于CD 的对称点F /，连接PF /、PF ，则PE ＋PF ＝EF /，根据两点之间线段最知可知此时PE ＋PF 的值最小.过点E 作EH ⊥FF /，垂足为点H ，FF’交CD 于点G ，易知△EHF 、△CFG 是等腰直角三角形，∴EH ＝FH ＝FG ＝F’G＝，∴EF’＝＜9.根据正方形的对称性可知正方形ABCD 的每条边上都有一点P 使得PE ＋PF 最小值.连接DE 、DF ，易求得DE ＋DF ＝＞9，CE ＋CF ＝12＞0，故点P 位于点B 、D 时，PE ＋PF ＞9，点P 位于点A 、C 时，PE ＋PF ＞9，∴该正方形每条边上都有2处点使得PE ＋PF ＝9，共计点P 有8处.9.（2019·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C ．10. (2019·泰安)如图,矩形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,连接PB,则PB 的最小值是（）A.2B.4C.2D.【答案】【解析】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP取到最小值,在Rt△BCP中,BP＝11.（2019·眉山）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A．1 B．74C．2 D．125【答案】B【解析】连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=7 4，故选B.12.（2019·攀枝花）下列说法错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形【答案】B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B．13.（2019·攀枝花）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，BE ＝4，EC ＝8，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G 。
中考数学复习----《矩形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《矩形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
练习题1．（2022•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）A．扇形B．平行四边形C．等边三角形D．矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．【解答】解：由图可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，故选：C．3．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE ＝AE＝5即可；②当P1E＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出底边AP1即可．【解答】解：如图所示，①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底边AP1＝；综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；故答案为：5或4．4．（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．5．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的1AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．中点，点F在对角线AC上，且AF＝4【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．6．（2022•黔东南州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是．【分析】先证四边形OCED是平行四边形，得OC＝DE，OD＝CE，再由矩形的性质得OC＝OD＝5，则OC＝OD＝CE＝DE，得平行四边形OCED是菱形，即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四边形OCED是菱形，∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×5＝20，故答案为：20．7．（2022•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝°．【分析】利用矩形的性质可得∠DBC＝90°，从而利用平角定义求出∠ABC的度数，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝35°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形BDEC为矩形，∴∠DBC＝90°，∵∠FBD＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，故答案为：110．8．（2022•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为．【分析】由矩形的性质得出∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出BE＝6，CE＝8，BC＝10，由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，进而求出＝24，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5，∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，∴BE2+CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，∴＝＝24，∵AD∥BC，∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48，故答案为：48．9．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，∴另一边长＝＝8cm ，∴它的面积为8×6＝48cm 2．故答案为：48．10．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，且a ＞b ．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是 ；（2）若代数式a 2﹣2ab ﹣b 2的值为零，则PQMNABCD S S 矩形四边形的值是 ．【分析】（1）直接根据线段的差可得结论；（2）先把b 当常数解方程：a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，a ＝b +b （负值舍），根据四个矩形的面积都是5表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答．【解答】解：（1）由图可知：PQ ＝a ﹣b ，故答案为：a ﹣b ；（2）∵a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，∴a 2﹣b 2＝2ab ，（a ﹣b ）2＝2b 2，∴a ＝b +b （负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，∴EP ＝，EN ＝，则＝＝＝＝＝＝3+2．故答案为：3+2．11．（2022•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）A．27°B．53°C．57°D．63°【分析】根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．【解答】解：如图，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF+27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故选：D．12．（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF ∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC＝5EF B．5OC＝2EF C．2OC＝3EF D．OC＝EF【分析】过点O作OH⊥BC于点H，得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系得出CF＝EF＝2OH，根据勾股定理得出OC＝OH，即可得出结论．【解答】解：过点O作OH⊥BC于点H，∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，∴四边形ABFE是正方形，∴OH＝EF＝BF＝BH＝HF，∵BF＝2CF，∴CH＝EF＝2OH，∴OC＝＝＝OH，即2OC＝EF，故选：A．13．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝4，点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点，∠ADM ＝∠BAP ，则BM 的最小值为（ ）A ．25B ．512C ．13﹣23D ．13﹣2【分析】如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．证明∠AMD ＝90°，推出OM ＝AD ＝2，点M 的运动轨迹是以O 为圆心，2为半径的⊙O ．利用勾股定理求出OB ，可得结论．【解答】解：如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4，∴∠BAP +∠DAM ＝90°，∵∠ADM ＝∠BAP ，∴∠ADM +∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＝90°，∵AO ＝OD ＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．。
2024年中考数学复习课件 第22讲 矩形、菱形、正方形
图55
提示：如图55，
图8
证明： 四边形 是菱形， ， ， .又 ， ，即 ， ， 四边形 是平行四边形. ， ，即 四边形 是矩形.又 ， 四边形 是正方形.
图8
提分练
图9
10.（2023·东营 改编）如图9，在平面直角坐标系中，菱形 的边长为 ，点 在 轴的正半轴上，且 ，将菱形 绕原点 按逆时针方向旋转 ，得到四边形 （点 与点 重合），则点 的坐标是____________.
图1
证明： 四边形 是平行四边形， ， 为线段 的中点， .在 和 中， 四边形 是平行四边形.又 ， 四边形 是矩形.
图1
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
思路点拨 观察图形知, ，易求矩形 的面积，只要找出 和 的面积与矩形 的面积之间的关系，就可求得结果.
2.证明正方形的一般思路：
图7
例3 如图7，点 是正方形 的对角线 上的一点， ， ，垂足分别为点 ， .求证： ．
思路点拨
图29
证明：如图29，连接 四边形 是正方形， ， ， ．在 和 中， ， ， ， ， 四边形 是矩形． ．
证明： 四边形 是正方形， ， ． ， . , 即 .又 ， ，
图9
（2）当点 运动到 的中点时（其他条件保持不变），求证：四边形 是正方形．
证明： 点 为 的中点， ， ， ．又 ， ， ， 四边形 是平行四边形.又 ， ， 四边形 是正方形．
第22讲 矩形、菱形、正方形
要点梳理
1.矩形
矩形_
定义
有一个角是____角的平行四边形叫作矩形
性质
①边：对边______且______.即 ， ； ，
冀教版八年级数学下册第二十二章《四边形》课后作业——22.4.2 矩形的判定
解： 根据题意得CQ＝2t cm，AP＝4t cm， 则BP＝(24－4t)cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB. ∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形， 即2t＝24－4t. 解得t＝4， ∴当t＝4时，四边形QPBC是矩形．
14．【中考·达州】如图，在△ABC中，点O是边AC上一 个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角 ∠ACD的平分线于点E、F. (1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长； (2)连接AE、AF.问：当点O在边AC上运动到什么位 置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
证明：(1)在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠CBE＝∠BCD， ∵点O是边BC的中点，∴OB＝OC， ∵∠BOE＝∠COD， ∴△BOE≌△COD，∴OE＝OD， ∴四边形BECD是平行四边形．
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝____1_0_0__°时，四 边形BECD是矩形．
12．【中考·日照】如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC， CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA≌△EAC； (2)只需添加一个条件，即___________，可使四边形 ABCD为矩形．请加以证明．
解：(1)∵EF交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.
∴OE＝OC，OF＝OC.
∴OE＝OF＝
1 2
EF.
∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，
∴∠ECF＝90°.
在Rt△CEF中，由勾股定理得EF＝ CE2 CF 2＝10，
∴OC＝OE＝
中考数学复习第二部分空间与图形第二十二课时矩形练习
第22课时矩形
备考演练
一、精心选一选
1.( 2016·绥化)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE ∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为( B )
A.4
B.8
C.10
D.12
第1题图第2题图
2.(2016·兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE ∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积( D )
A.2
B.4
C.4
D.8
二、细心填一填
3.(2016·甘肃)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若AB=6 cm,则AC=6 cm.
第3题图第4题图
第5题图
4.(2016·巴中)如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°,则∠E=15度.
5.(2016·成都)如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC、BD相交于点O,AF垂直平分OB于点E,则AD的长3.
三、用心解一解
6.(2016·岳阳)已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF,求证:BF=CD.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,
∵EF⊥DF,∴∠EFD=90°,∠EFB+∠DFC=90°,∵∠CDF+∠DFC=90°,
∴∠EFB=∠CDF,
∵BE=CF,∴△BFE≌△CDF,∴BF=CD.。
中考数学复习 第二部分 空间与图形 第二十二课时 矩形数学课件
在△AOE和△COF中,∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,
∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF;
(2)∵OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴OA=OB,
∵∠AOB=∠COD=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,∴AC=2OA=12,
在 Rt△ABC 中,BC= 2 -2 =6 3,
进行运算;
的四边形是矩形,对角线相等Fra bibliotek平行四边形(2)利用矩形的性质
是矩形.
和判定进行证明.
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1.矩形定义:有一个角是 直角 的平行四边形,叫做矩形(长方形).
2.矩形的性质:边:(1)矩形的两组对边分别 平行 ;
(2)矩形的两组对边分别 相等(xiāngděng) ;
二、填空题
4.(2016·茂名)已知矩形的对角线AC与BD相交(xiāngjiāo)于点O,若AO=1,那
么BD= 2
.
5.(2016·无锡)如图,矩形ABCD的面积是15,边AB的长比AD的长大2,则AD的
长是 3 .
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三、解答题
6.(2017·日照)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.
则OC= ( B )
A.5
B.4
C.3.5 D.3
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3.(2017·山西(shān xī))如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC'D,C'D与
AB交于点E.若∠1=35°,则∠2的度数为( A )
中考数学总复习第五单元四边形第22课时矩形、菱形、正方形随堂小测
矩形、菱形、正方形1．★如图Y－49，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.已知∠AOB＝60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )图Y－49A．2条 B．4条 C．5条 D．6条2．如图Y－50，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是( )图Y－50A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD3．★下列命题中，错误．．的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等4．★正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A．8 B．4 2 C．8 2 D．165．★如图Y－51，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．图Y－516．如图Y－52，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点，M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为________时，四边形AMDN是菱形．图Y－52参考答案1．D [解析] 因为矩形的对角线相等且互相平分，所以AO＝OC＝BO＝OD＝8.又因为∠AOB ＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AB＝CD＝8，故有AO＝OC＝BO＝OD＝CD＝AB＝8，故选D.此类问题容易出现的错误是不能判断出△AOB是等边三角形，造成解的遗漏．2．D [解析] 一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A正确．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B正确．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故C正确．对角线相等的平行四边形是矩形，但不一定是菱形，故D错误．故选 D.3．C [解析] 矩形的对角线互相平分且相等，不具备互相垂直的性质，C错误．故选 C.4．A [解析] ∵正方形的一条对角线长为4，∴这个正方形的面积＝12×4×4＝8.故选 A.此类问题容易出现忽视正方形是特殊的菱形而导致计算繁杂．5．5 [解析] ∵∠CBD＝∠DBE，∠CBD＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DE＝BE.设DE的长为x，则AE＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.6．解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.又∵E是AD边的中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形．(2)①１②２。
八年级数学下册第二十二章四边形矩形矩形的性质练习冀教版
课时作业(三十)[22.4 第1课时矩形的性质]一、选择题1．八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线(如图K－30－1)．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花链接听课例1归纳总结( )图K－30－1A．46盆 B．47盆 C．48盆 D．49盆2．如图K－30－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为( )图K－30－2A．30° B．60° C．90° D．120°3．在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形ABCD的周长为20 cm，则AB的长为链接听课例1归纳总结( )A．1 cm B．2 cmC.52cm D.103cm4．如图K－30－3，O是矩形ABCD的对称中心，M是AD的中点，若BC＝8，OB＝5，则OM的长为( )图K－30－3A．1 B．2 C．3 D．45．如图K－30－4，四边形ABCD和四边形AEFC是矩形，点B在边EF上．若矩形ABCD 和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1与S2的大小关系是( )图K－30－4A．S1>S2 B．S1＝S2C．S1<S2 D．3S1＝2S26．如图K－30－5，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )图K－30－5A．4.8B．5C．6D．7.27．已知矩形ABCD的周长为20 cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，交两边AD，BC分别于点E，F(不与顶点重合)，则以下关于△CDE与△ABF的判断完全正确的一项为( )A．△CDE与△ABF的周长都等于10 cm，但面积不一定相等B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10 cmC．△CDE与△ABF全等，且周长都为5 cmD．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定二、填空题8．如图K－30－6，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝30°，则∠E＝________°.图K－30－69.如图K－30－7，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG.若AB ＝4，BC＝8，则△ABF的面积为________.链接听课例3归纳总结图K－30－710．如图K－30－8，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN.若AB＝2 2，BC＝2 3，则图中阴影部分的面积为________．图K－30－8三、解答题11．如图K－30－9，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.图K－30－912．2020·石家庄外国语学校如图K－30－10，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.图K－30－1013. 如图K－30－11，在矩形ABCD中，E，F为BC上的两点，且BE＝CF，连接AF，DE 交于点O.求证：(1)△ABF≌△DCE；(2)△AOD是等腰三角形．图K－30－1114．如图K －30－12，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积.链接听课例3归纳总结图K －30－12动手操作如图K －30－13，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD ＝BC ＝1，AB ＝CD ＝5.在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK.(1)若∠1＝70°，求∠MKN 的度数．(2)△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．图K －30－13详解详析[课堂达标]1．C [解析] 根据矩形的对角线相等，但是交点处有了一盆花，故还需要运49－1＝48(盆)．2．B3．D [解析] 根据矩形的性质求出AB ＝CD ，∠B ＝∠C ，可证△ABO ≌△DCO ，求出∠AOB ＝∠DOC ＝45°，即可求出答案．4．C [解析] ∵O 是矩形ABCD 的对称中心，∴O 是AC 的中点．在Rt △ABC 中，OB 是斜边AC 的中线，∴AC ＝2OB ＝10，由勾股定理得DC ＝102－82＝6.∵M 是AD 的中点，∴OM 是△ACD 的中位线，∴OM ＝12DC ＝3.5．B [解析] S △ABC ＝12S 矩形ABCD ＝12S 矩形AEFC ，即S 1＝S 2.故选B .6．A [解析] 如图，过点P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，垂足分别是E ，F.∵矩形的两条边AB ，BC 的长分别是6和8，∴AC ＝BD ＝62＋82＝10，∴OA ＝OD ＝5.∵S △AOD ＝14S 矩形ABCD ＝S △AOP ＋S △POD，∴14×6×8＝12×5×PE ＋12×5×PF ，解得PE ＋PF ＝4.8.故点P 到矩形的两条对角线AC和BD 的距离之和是4.8.7．B8．15 [解析] 连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BE ，AC ＝BD ，且∠CAD ＝∠ADB ＝30°，∴∠E ＝∠DAE.又∵BD ＝CE ，∴CE ＝CA ，∴∠E ＝∠CAE.∵∠CAD ＝∠CAE ＋∠DAE ，∴∠E ＋∠E ＝30°，即∠E ＝15°，故答案为15.9．6 [解析] 设BF ＝x ，则FC ＝BC －BF ＝8－x.由折叠知AF ＝FC ＝8－x.在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，代入数据，得42＋x 2＝(8－x)2，解得x ＝3，∴S △ABF ＝12×3×4＝6.10．2 6 [解析] 根据矩形的中心对称性，阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．11．证明：连接DE. ∵AD ＝AE ，∴∠AED ＝∠ADE.在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∠C ＝90°， ∴∠ADE ＝∠DEC ，∴∠AED ＝∠DEC. ∵DF ⊥AE ，∴∠DFE ＝90°，∴∠DFE ＝∠C. 又∵DE ＝DE ，∴△DFE ≌△DCE ， ∴DF ＝DC.12．证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO ＝BO ＝CO ＝DO.∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠ADO ＝∠BCO. ∵DE ＝CF ，∴△EOD ≌△FOC ，∴OE ＝OF.13．[解析] (1)根据矩形的性质可知∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC ，然后求出BF ＝CE ，再利用“SAS ”证明△ABF 和△DCE 全等即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BAF ＝∠CDE ，然后求出∠DAF ＝∠EDA ，再根据等腰三角形的定义证明即可．证明：(1)在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC.∵BE ＝CF ，BF ＝BC －FC ，CE ＝BC －BE ，∴BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE(SAS )． (2)由(1)知△ABF ≌△DCE ， ∴∠BAF ＝∠CDE.∵∠DAF ＝90°－∠BAF ，∠EDA ＝90°－∠EDC ， ∴∠DAF ＝∠EDA ，∴OA ＝OD ， ∴△AOD 是等腰三角形．14．解：(1)证明：由折叠可知AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D ＝90°，∠AME ＝∠B ＝90°，∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC ， ∴AM ＝CN ，∠FAN ＝∠ECM ， ∴AM －MN ＝CN －MN ，即AN ＝CM. 在△ANF 和△CME 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAN ＝∠ECM ，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME ，∴△ANF ≌△CME(ASA )，∴AF ＝CE.又∵AF ∥CE ，∴四边形AECF 是平行四边形． (2)∵AB ＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝BE ＝8－x ，CM ＝10－6＝4，在Rt △CEM 中，(8－x)2＋42＝x 2， 解得x ＝5，∴四边形AECF 的面积为EC·AB＝5×6＝30. [素养提升]解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ，∴∠1＝∠KNM. ∵∠KMN ＝∠1＝70°， ∴∠MKN ＝180°－2∠1＝40°. (2)不能．理由如下：过点M 作ME ⊥DN ，垂足为E ，则ME ＝AD ＝1.由(1)知∠KNM ＝∠KMN ，∴MK ＝NK. 又MK ≥ME ，∴NK ≥1， ∴S △MNK ＝12NK·ME≥12，∴△MNK 的面积的最小值为12，不可能小于12.。
河北中考数学复习课件(第22课时矩形)
图 22－3
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第22课时┃ 矩形
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考点1 矩形的概念与性质
定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 边 对边__相__等____，且__平__行____
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∴平行四边形 AO1C2B 的面积＝21×12S＝2S2，…，依此类推，
平行四边形 AO4C5B 的面积＝2S5＝2205＝58 (cm2)．故选 B.
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第22课时┃ 矩形
例 2 [2014·呼和浩特] 如图 22－5，四边形 ABCD 是矩形， 把矩形沿 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 与 DC 的交点为 O， 连接 DE.
(1)求证：△ADE≌△CED； (2)求证：DE∥AC.
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图 22－5
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第22课时┃ 矩形
证明：(1)∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD. 由折叠可知 BC＝CE＝AD，AB＝AE＝CD. 又 DE＝ED，∴△ADE≌△CED.
(2)∵△ADE≌△CED. ∴∠EDC＝∠DEA. 又△ACE 与△ACB 关于 AC 所在直线对称， ∴∠OAC＝∠CAB. 而∠OCA＝∠CAB， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠EOC＝2∠OAC＝2∠DEA， ∴∠OAC＝∠DEA，∴DE∥AC.
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中考数学复习专题20矩形(解析版)
专题知识回顾1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线平分且相等。
3．矩形判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
4．矩形的面积：S 矩形=长×宽=ab专题典型题考法及解析C．32答案】BQ C 90 ，Rt BCG 中，CG2 BC2 BG2，即a2 (2b)2 (3a)2，专题20 矩形例题1】（2019 广西桂林）将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点C ，D都落在点O处，且点B，O，G 在同一条直线上，同时点E，ADO，F 在另一条直线上，则A A D BA，的值为( )解析】由折叠可得，AE OE DE，CG OG DG ，E，G 分别为AD，CD 的中点，设CD 2a ，AD 2b，则AB 2a OB ，DG OG CG a，BG 3a ，BC AD 2b ，A．65b 2 2a 2，即 b 2a ， b 2 ， AD 的值为 2 a AB【例题 2】（2019 贵州省安顺市） 如图，在 Rt △ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝3，AC ＝4，点 D 为斜边 BC 上的一个动点， 过 D 分别作 DM ⊥AB 于点 M ，作 DN ⊥AC 于点 N ，连接 MN ，则线段 MN 的最小值为 .【答案】5【解析】 连接 AD ，即可证明四边形 AMDN 是矩形；由矩形 AMDN 得出 MN ＝AD ，再由三角形的面积关系 求出 AD 的最小值，即可得出结果． 连接 AD ，如图所示：∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴∠ AMD ＝∠ AND ＝90°， 又∵∠ BAC ＝90°，∴四边形 AMDN 是矩形；∴ MN ＝AD ，∵∠ BAC ＝90°， AB ＝3，AC ＝4，∴ BC ＝5， 当 AD ⊥BC 时， AD 最短，11此时△ ABC 的面积＝ BC?AD ＝ AB?AC ，22∴线段 MN 的最小值为 125。
【复习】：初中数学九年级上册.矩形(基础)知识讲解+练习
专项训练年度：矩形（基础）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD 的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P 分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、（2015•内江）如图，将□ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【答案与解析】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点的综合运用，熟练掌握特殊几何图形的性质与判定是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD∵D为BC的中点，∴CD＝BD∴CD∥AE，CD＝AE∴四边形ADCE是平行四边形∵AB＝AC∴AC＝DE∴平行四边形ADCE是矩形.3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】(1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC ＝∠BPD ＝90°．求证：平行四边形ABCD 是矩形．【答案】解：连接OP ． ∵ 四边形ABCD 是平行四边形．∴ AO ＝CO ，BO ＝DO ，∵ ∠APC ＝∠BPD ＝90°，∴ OP ＝12AC ，OP ＝12BD ， ∴ AC ＝BD ．∴ 四边形ABCD 是矩形．【巩固练习】一.选择题1．（2015春•宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm ，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm 3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm ，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm 4．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )A. B. C. D. 5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三角形是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A. B. C.4 D.二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝__________cm.10.（2015•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB的长为．11.如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15.（2015•通州区一模）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证：四边形ECGD是矩形．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确；2.【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3.【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm.4.【答案】D；【解析】∠2＞∠1.5.【答案】D ；6.【答案】A ；【解析】先证△ADF ≌△BEF ，则DF 为△ABC 中位线，再证明四边形BCDE 是矩形，BE ，可求面积.二.填空题7．【答案】5，53；【解析】可证△AOB 为等边三角形，AB ＝AO ＝CO ＝BO.8．【答案】2；【解析】由勾股定理算得斜边AB CD ＝12AB . 9.【答案】5.8；【解析】设DE ＝x ，则AE ＝AB －BE ＝AB －DE ＝10－x .在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2＋AE 2＝DE 2，即()222410x x +-=，解得x ＝5.8. 10.【答案】5；【解析】∵矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，∴AB=CD ，BE=CE ，∠B=∠C=90°，可证得△ABE ≌△DCE （SAS ），∴AE=DE ，∵∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠BAE=90°﹣∠DAE=45°，∴∠BEA=∠BAE=45°，∴AB=BE=AD=×10=5．11.【答案】3；【解析】根据平行四边形的性质求出AD ＝BC ，DC ＝AB ，证△ADC ≌△CBA ，推出△ABC的面积是3，求出AC ×AE ＝6，即可求出阴影部分的面积．12.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE 是矩形，得出FC ＝EG ，FE ＝CG ，EF ∥CG ，EG ∥CA ，求出∠BEG ＝∠B ，推出EG ＝BG ，同理AF ＝EF ，求出矩形CFEG 的周长是CF ＋EF ＋EG ＋CG ＝AC ＋BC ，代入求出即可．三.解答题13.【解析】解：由矩形的性质可知OD ＝OC.又由OE ∶BE ＝1∶3可知E 是OD 的中点.又因为CE ⊥OD ，根据三线合一可知OC ＝CD ，即OC ＝CD ＝OD ，即△OCD 是等边三角形，故∠CDB ＝60°.所以∠ADB ＝30°.又因为CD ＝2OF ＝8，即BD＝2OD＝2CD＝16.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC＝AB.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE＝DC，∴DE＝AB.∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠ABF＝90°.∴△ABF≌△DEA.15.【解析】证明：∵CF=BC，∴C点是BF中点，∵点G是DF中点，∴CG是△DBF中位线，∴CG∥BD，CG=，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DE=，∴∠DEC=90°，CG=DE，∵CG∥BD，∴四边形ECGD是矩形．。
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第矩形
备考演练
一、精心选一选
1.( 2016·绥化)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE ∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为( B )
A.4
B.8
C.10
D.12
第1题图第2题图
2.(2016·兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE ∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积( D )
A.2
B.4
C.4
D.8
二、细心填一填
3.(2016·甘肃)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若AB=6 cm,则AC=6 cm.
第3题图第4题图第5题图
4.(2016·巴中)如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°,则∠E=15度.
5.(2016·成都)如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC、BD相交于点O,AF垂直平分OB于点E,则AD的长3.
三、用心解一解
6.(2016·岳阳)已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,点F 在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF,求证:BF=CD.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,
∵EF⊥DF,∴∠EFD=90°,∠EFB∠DFC=90°,∵∠CDF∠
DFC=90°,
∴∠EFB=∠CDF,
∵BE=CF,∴△BFE≌△CDF,∴BF=CD.。