浙江地区2018中考数学试题分类汇编考点22勾股定理含解析

2018中考数学试题分类汇编：考点22 勾股定理

一．选择题（共7小题）

1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】直接根据勾股定理求解即可．

【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，

∴弦为=5．

故选：A．

2．（2018•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）

A

．B

．C

．D

．

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，

∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠FAD，

∴∠CFA=∠AED=∠CEF，

∴CE=CF，

∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，

∴FC=FG，

∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，

∴△BFG∽△BAC，

1

∴

=，

∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，

∴

=，

∵FC=FG，

∴

=，

解得：

FC=，

即CE 的长为．

故选：A．

3．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）

A．9 B．6 C．4 D．3

【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．

【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为：

ab=×8=4，

∴4

×ab+（a﹣b）2=25，

∴（a﹣b）2=25﹣16=9，

∴a﹣b=3，

故选：D．

2

4．（2018•温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）

A．20 B．24 C

．D

．

【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积．

【解答】解：设小正方形的边长为x，

∵a=3，b=4，

∴AB=3+4=7，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

即（3+x）2+（x+4）2=72，

整理得，x2+7x﹣12=0，

解得

x=或

x=（舍去），

∴该矩形的面积=

（+3

）（+4）=24，

故选：B．

5．（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）

3

4

A

． B

．﹣C

． D

．﹣

【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC ，然后根据正弦和余弦的定义即可求sin α和cos α的值，进而可求出sin α﹣cos α的值．

【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，

∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，

在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，

即AC 2+（7+AC ）2=132，

整理得，AC 2+7AC ﹣60=0，

解得AC=5，AC=﹣12（舍去），

∴

BC=

=12， ∴sin α

=

=，cos α

=

=， ∴sin α﹣cos α=

﹣=

﹣

， 故选：D ．

6．（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）

A ．7.5平方千米

B ．15平方千米

C ．75平方千米

D ．750平方千米

【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．

【解答】解：∵52+122=132，

∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，

∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选：A ．