学习任务5——弯曲正应力、剪应力(精)
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。
弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。
MσdAτdA Q当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。
CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。
此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH。
在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。
•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。
——平截面假定。
•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。
•中性层与横截面的交线叫中性轴。
梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。
中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。
弯曲应力(剪应力6月9日)(1)
[1 12
16
283
16
28
(14
13)2 ]
[1 12
8 103
18 10
(19
13)2 ]
26200cm4
Wz
Iz ym a x
26200 (28 13)
1748cm3
（3）正应力校核
max
M Wz
1.2 105 1748 106
1.0 1.04 1.12 1.57 2.30
（四）切应力强度条件
max
(
FQ Sz,max
I z
)max
[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，
m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应
S
* z
：y以外面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
c
yc
y
z h
b
对于矩形：
S* z
A*
yc
b(h 2
y) [ y
h 2
2
y
]
b (h2 24
y2)
弯曲应力/弯曲时的剪应力
而
Iz
1 bh3 12
6FQ bh3
( h2 4
y2)
力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。
5.弯曲应力解析
h
z
y
d D
a d
D
I z D3 圆环 Wz (1 a 4 ) ymax 32
y
b
Iz BH 2 bh3 回字框 Wz (1 ) 3 ymax 6 BH
z B
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式
3.横力弯曲横截面上正应力的计算及分布。
4.横力弯曲时梁的强度，设计尺寸，负载校核。
本节掌握知识点： 1. 各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横 截面上切应力的分布和计算。 2. 弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。 3. 什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。 4. 提高弯曲强度的若干措施。
A
A
dA
dA
E
E
A
ydA
yzdA
ESz
0
0
M y (dA) z
A
Eyz
E
EI yz
A
M z (dA) y
A
Ey 2
A
dA
A
y dA
2
EI z
M
1 Mz EI z
EIz
（3）
M
研究对 y 象
z
z x
dFN
FN 2 FN 1 1b(dx) 0
1
FN1
z
1
FN 1
y
x
M 1dA A Iz
A
MS z ydA Iz
第六章弯曲应力
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径r
3. 静力学关系
statics relation
M
z
FN
A dFN
σdA
A
O
x
M y
A dM y
zσdA
A
y
M z
A dM z
yσdA
A
凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力
应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
σmax M max [σ] Wz
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载
F
F
l
Fl/4
l/4
l/2 l/4
Fl/8
2.合理地设置支座位置
q
q
l
ql2/2
a
a
l
0.0214ql2
当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.
二、增大Wz
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
z
0.8a2 a2
π D12 4
2a22
0.8 1.6a22 ,a2
1.05D1
Wz4 4.57Wz1
工字形截面与框形截面类似.
2.合理的放置
W1 h W2 b
梁的弯曲正应力实验
梁的弯曲正应力实验引言在力学学科中，我们研究物体的形变和变形时，经常需要考虑应力的问题。
应力是物体内部的力分布情况，可以用来描述物体对外界施加力的能力。
弯曲正应力实验是一种常见的实验方法，用来研究材料在弯曲过程中产生的正应力分布情况。
本文将详细介绍梁的弯曲正应力实验的原理、实验装置、实验步骤以及实验结果的分析。
实验原理在材料力学中，当梁受到作用力而产生弯曲时，梁内部会产生正应力和剪应力。
弯曲的平面称为中性面，中性面附近的纤维受到压应力，而远离中性面的纤维则受到拉应力。
梁上不同位置的正应力大小不同，正应力随着距离中性面的距离增大而减小。
实验装置梁的弯曲正应力实验需要以下装置： 1. 实验梁：选择一块具有一定长度和宽度的梁作为实验梁。
梁的截面形状可以选择矩形、圆形等。
2. 支座：用于支撑实验梁的底部，使其能够固定在位置上。
3. 加载装置：通过施加作用力，使实验梁产生弯曲。
可以使用重物、液压等方式施加作用力。
4. 测力计：用于测量实验梁上的正应力大小。
5. 测量仪器：使用光学显微镜或拉伸计等设备来测量梁的形变情况。
实验步骤1.准备实验梁：选择一块长度和宽度适当的梁，使其能够适应实验要求。
可以根据需要对梁进行截割和加工。
2.搭建实验装置：将支座固定在实验台上，将实验梁放置在支座上，并调整支座的位置和角度，使实验梁能够产生弯曲。
3.施加作用力：根据实验要求，选择适当的加载装置施加作用力。
可以逐渐增加作用力的大小，以逐渐产生弯曲。
4.测量正应力：使用测力计测量实验梁上的正应力大小，并记录测得的数据。
5.测量形变：使用测量仪器测量梁的形变情况，可以测量梁的弯曲角度、梁的变形量等。
6.结束实验：根据实验要求，结束实验并记录实验数据。
实验结果分析在实验结束后，根据测得的数据进行结果分析。
可以绘制出梁上不同位置的正应力大小与距离中性面的距离的关系图，分析正应力随距离的变化规律。
还可以计算梁的弯曲刚度、弯曲变形等参数，以便进一步研究材料的力学性质。
§2-1 弯曲正应力、剪应力、剪力流、剪切中心
可求剪力流： 可求剪力流：
再由
q =τ ⋅ δ
q=
Qy
πδ
( −cosϕ) 1
Zb
Qy = Q
y
dϕ
y
dA
B
o、 c
ϕ
r
z
z
δ
2. 求截面弯曲中心
因为截面关于Ｚ轴对称，所以弯曲中心一定在Ｚ轴上，既 因为截面关于Ｚ轴对称，所以弯曲中心一定在Ｚ轴上， ，只需求 Zb
1）当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲；如只通过弯曲中 ）当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲； 心不平行于主惯性轴，则为斜弯曲。 心不平行于主惯性轴，则为斜弯曲。 由两个相交矩形组成的截面的弯曲中心
2）对于具有对称轴的截面 ） 弯曲中心在对称轴上，若截面具有两个对称轴，则两个对称轴交点， 弯曲中心在对称轴上，若截面具有两个对称轴，则两个对称轴交点，既为 弯曲中心
τmax
以宽翼缘工字形截面为例： 以宽翼缘工字形截面为例： 腹板按二次抛物线分布最大值在 中性轴处， 中性轴处，翼板上的剪应力分布 情况较复杂，因为此时d=b，b较 情况较复杂，因为此时 ， 较 相对来说剪应力很小， 大，相对来说剪应力很小，一般 不考虑。 不考虑。
h u
y2
z
b
根据剪应力互等定理， 根据剪应力互等定理，除 了平行ｙ轴的剪应力分量外， 了平行ｙ轴的剪应力分量外， 还有与翼缘长边平行的剪应力 分量。 分量。 让我们取顶面翼缘右边部 分的应力来讨论： 分的应力来讨论： 腹板剪应力
一般情况： 一般情况： 、 取形心为坐标原点，假设截面上的剪力流ｑ，根据静力等效条件（无扭转） ｑ，根据静力等效条件 取形心为坐标原点，假设截面上的剪力流ｑ，根据静力等效条件（无扭转）
弯曲应力
Q h1 d
3. 圆形截面梁横截面上的最大剪应力 a. 圆截面：最大剪应力发生在中性轴上各点处
m ax
4 Q 3 A Q A 4 3
最大剪应力是平均剪应力 平
的
倍。
b.薄壁圆截面
最大剪应力发生在中性轴上各点处：
m ax 2
Q A Q A
最大剪应力是平均剪应力 平
的2倍。
第五章 弯曲应力
§5–1 纯弯曲
一、纯弯曲
A
a
P
P a
B
纯弯曲: 只有M 而无Q 的平面弯曲. 横力弯曲: 既有M 又有Q 的平面弯曲.
P (+) (-)
Q图
Pa (+)
-P
M图
横力弯曲（剪切弯曲）:横截面上同时有剪力和弯矩. 纯弯曲:如果横截面上剪力等于零，而弯矩为一常数，即只有正应力而无 剪应力.
QSz I zb
*
QSz I zb
*
式中：
Q —横截面上剪力
S z —需求剪应力处，水平线以下（或以上）部分 A * 面积对
*
中性轴的静矩。
I z —整个横截面对中性轴的惯性矩。
b—需求剪应力处横截面宽度。
3Q 2bh
3
(h 4 y )
2 2
从上式可知，剪应力分布是沿 梁的高度按抛物线规律分布. 图 7-4 在
例2：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已 知材料的容许拉应力为 4 0 M P a ,容许压应力 1 0 0 M P a 试校核梁的强度。
Z
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
M c 1 0 K N .m
正应力和剪应力方向
正应力和剪应力方向应力是物体受到外力作用时产生的内部反应。
根据受力的方向，应力可分为正应力和剪应力。
正应力是指作用于某一点处的力垂直于该点所在的截面，剪应力则是指作用于某一点处的力沿截面方向。
下面将对正应力和剪应力做出详细解释，旨在帮助读者更好地理解这两个概念。
首先让我们来看看正应力。
正应力的作用方向垂直于截面，可以将正应力看作是在物体内部某一点处的拉力或压力。
当物体受到外力作用时，其中的原子或分子之间的距离会发生变化，从而导致正应力的产生。
正应力的大小与受力面积和受力大小成正比。
在实际应用中，正应力通常用N/m²或Pa表示。
正应力在工程中有很多重要的应用。
例如，在建筑结构中，正应力是分析结构是否能够承受外部荷载的重要参数。
正应力还用于计算物体的变形和破坏强度，以及确定结构材料的选取和使用限制。
因此，了解和掌握正应力的概念对于工程师和科学家来说至关重要。
然后让我们来了解剪应力。
剪应力是作用于截面的平行于截面的力。
与正应力不同，剪应力在物体内部引起的是相对移动或滑动。
在材料科学和力学中，剪应力被认为是一种应力状态，其中流体或固体分子在相对于其他分子的位置上发生滑动。
剪应力通常用和正应力相同的单位表示。
剪应力也有着广泛的应用。
在工程中，剪应力被用于分析材料和构件的强度和稳定性。
在机械设计中，剪应力的考虑可以帮助工程师设计更稳定和可靠的零部件。
另外，剪应力还有助于我们理解物体在受力时的变形和疲劳行为。
通过对正应力和剪应力的详细解释，我们可以更好地理解它们在物体力学中的重要性。
掌握正应力和剪应力的概念有助于工程师和科学家解决实际问题，提高产品质量和工程效率。
综上所述，正应力是垂直于截面的力，剪应力是平行于截面的力。
了解正应力和剪应力的概念，对于实际工程和科学研究具有重要的意义。
只有深入理解和掌握这两个概念，我们才能更好地应对各种工程和科学难题，推动技术发展和创新。
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
5弯曲应力-lt
O
60 Z Ⅰ C yC ZC
A2=40×20＝800 mm2
由形心计算公式，组合截面形心C的纵坐标为
A1 yc1 A2 yc 2 yC A1 A2
1200 10 800 40 22 mm 200 800
p.7
例
题
例
题
例5—3．图所示为T字形截面，求截面对形心轴zC的惯性矩Iz。
M B y d 4.5 105 30 d 150MPa 3 Iz 2 45 10
p.9
例
题
例
题
例5—5．求图8—12a所示铸铁悬臂梁内最大拉应力及最大压应力。P=20KN， Iz=10200cm4。 P 150 解：（1） 画弯矩图，确定危险面
A B
C
50
200 50
96.4 z
Wz
D3
D3
32
(1 )
4
6
l
32 M max 32 1 10 3 59.59 mm 4 4 (1 ) (1 0.9 ) 140
ql2/8
取
D=60mm,则 d1=0.9D=54mm
（3）.比较两种不同截面梁的重量 因材料及长度相同，故两种截面梁的重量之比等于其截面积之比。 重量比为:
16KNm
2P y 12KNm
(2) 确定危险点，计算最大拉应力与最大压应力
显然，A截面上的最大拉应力要大于B截面上的最大拉应力，故梁内最大拉应力发生 在A截面下边缘各点
max
M A y 2 16 106 (250 96.4) 24.09MPa Iz 1.02 108
弯曲应力
第六章 弯曲应力1 基本概念及知识要点1.1 基本概念纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲刚度、弯曲切应力（剪应力）。
应熟练理解和掌握这些基本概念。
1.2 平面弯曲工程实际中的梁，大多数是具有一个纵向对称面的等截面直梁。
外载荷作用在梁的纵向对称面内，并垂直于梁的轴线，梁弯曲时轴线将在对称平面内弯曲成平面曲线，这种弯曲叫平面弯曲。
当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲（或剪切弯曲）；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。
1.3 弯曲正应力梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形几何关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与推导轴向拉压正应力公式和扭转切应力公式的方法相同。
弯曲正应力公式zI My=σ 式中M 为所研究截面的弯矩；z I 分为截面图形对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点到中性轴的距离。
计算时，M 和y 均用代数值代入，由此得到所求点的应力符号，同样也可根据梁的变形情况来确定。
梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率杆的弯曲中。
1.4 弯曲切应力弯曲切应力公式的推导不是按照变形几何关系、物理关系、平衡关系三方面进行的，而是根据分析对弯曲切应力的分布规律作出假定——平行于剪力F s 且沿截面厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式*zzF S bI τ=s 式中，F s 为截面上的剪力；z I 为整个截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力处横截面的宽度；*z S 为截面上距中性轴为y 的横线任一侧部分面积对中性轴的静矩。
1.5 弯曲强度条件1 正应力强度条件弯曲正应力是影响梁强度的主要因素，对梁（等截面梁）的强度计算主要是满足正应力强度条件][maxmax σσ≤=zW M 式中m axy I W zz =称为横截面的抗弯截面系数。
对于塑性材料，其抗拉和抗压能力相等，通常将梁设计为与中性轴对称的形状，强度条件为][maxmax σσ≤=zW M 对于脆性材料，其抗压能力远超过抗拉能力。
第五章 弯曲应力
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
1）减小M（合理按排梁的受力情况）:支座
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
1）减小M（合理按排梁的受力情况）：布载
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
2） 增大W（合理截面）：矩形
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
2） 增大W（合理截面）：工字形、槽形、矩形、
圆形比较（W/A值）
习题讨论课
2）不同材料
组合截面梁
c
Ac
hc
sc
∑Fx=0
σt=Ety/ρ σc=Ecy/ρ
t
s d A = F
A
N
At
ht
t
st
FN=0
c
中性轴？
At
s dA s
Ac
dA = 0
习题讨论课
2）不同材料
c
Ac
hc
组合截面梁
sc
∑My=0
At
ht
t
st
( E ) zdA = 0
例（书例5-1)
★ 横力弯曲时的正应力
※ 弯曲强度特点
1)危险面往往有几处 2)同一截面危险点往往不只一个
★ 横力弯曲时的正应力
※ 有些材料 s t s c 拉压强度要分别校核
s t max
M s t = W t z max
M s c = W c z max
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
2） 增大W（合理截面）：注意和思考 a) 工艺成
本（如空心截面） b) 考虑材质（如铸铁T形梁等）
★
材料力学简明教程(景荣春)课后答案第五章
材料力学简明教程(景荣春)课后答案第五章5-1 最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上?答不一定。
最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。
5-2 矩形截面简支梁承受均布载荷q作用，若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的几倍？若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的几倍？答若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的4倍；若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的1/2倍。
5-3 由钢和木胶合而成的组合梁，处于纯弯状态，如图。
设钢木之间胶合牢固不会错动，已知弹性模量EsEw，则该梁沿高度方向正应力分布为图a，b，c，d中哪一种。
思考题5-3图答(b)5-4 受力相同的两根梁，截面分别如图，图a中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接），图b中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。
从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式更合理？思考题5-4图答(a)5-5从弯曲正应力强度考虑，对不同形状的截面，可以用比值理性和经济性。
比值请从W来衡量截面形状的合AW较大，则截面的形状就较经济合理。
图示3种截面的高度均为h，A W的角度考虑哪种截面形状更经济合理？A思考题5-5图答(c)5-6 受力相同的梁，其横截面可能有图示4种形式。
若各图中阴影部分面积相同，中空部分的面积也相同，则哪种截面形式更合理？思考题5-6图答(b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些）*FSSz5-7 弯曲切应力公式τ=的右段各项数值如何确定？Izb答FS为整个横截面上剪力；Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力所在位置横截面的宽度；Sz为横截面上距中性轴为y（所求切应力所在位置）的横线以下面积（或以上面积）对中性轴静矩的绝对值。
5-8 非对称的薄壁截面梁承受横向力作用时，怎样保证只产生弯曲而不发生扭转变形？答使梁承受的横向力过弯曲中心，并与形心主惯性轴平行。
材料力学第五章弯曲应力
注：由于本书没有标准答案，这些都是我和同学一起做的答案，其中可能会存在一些错误，仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ，试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max=⨯⨯⨯==-σ6—2直径为d 的钢丝，弹性模量为E ，现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d ／D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受的外力也相同，则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同，正应力变化规律相同。
处的正应力相同，线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲，试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示，已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力，并指明其位置。
解：（1）m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在：固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁，受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN ／m ，跨长l ＝3，截面高度=h 24cm ，宽度=b 8cm 。
第五章 弯曲应力
C
xc
比较： 比较 Ix1、Ix2、Ixc 的大小
x1
求右图对形心轴的惯性矩。 例3 求右图对形心轴的惯性矩。 解：
20 ×1203 120 × 203 I z = I z1 + I z 2 = + 12 12 = 2.96 ×106 mm 4 I y = I y1 + I y 2
zc
∑S = ∑A
h
z y D d
空心圆截面 W =
πD3
32
(1 − α )
4
d α= D
z y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 ycmax 和
yt max 直接代入公式 σ = My 求得相应的最大正应力 Iz
σ cmax
σt max =
ycmax
M
Myt max Iz Myc max Iz
M( x) 等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 σ = Wz 弯曲正应力强度条件: 弯曲正应力强度条件
例1：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用 图示梁的截面为T 压应力分别为［ ］，则 压应力分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳 比值为多少？（Ｃ为截面形心） 比值为多少？（Ｃ为截面形心） ？（Ｃ为截面形心
A
I z = ∫ y dA
2 A
2 A
dA
I P = ∫ r dA
y
A
O
r
z
IP = I y + I z
z
dA
dr
已知：圆截面直径d 例2 已知：圆截面直径 求：Iy， Iz
dA = 2 rdr π
r C
IP 1 Iy = Iz = = ∫ r2dA 2 2 A
材料力学教案 第6章 弯曲应力
第6章弯曲应力教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导过程中所作的假设。
掌握中性层、中性轴等基本概念和含义。
弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。
教学重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导；横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算；弯曲的强度计算；弯曲横截面上的剪应力。
教学难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和结果以及弯曲中心的概念。
教具：多媒体。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
教学内容：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施。
教学学时：6学时。
教学提纲：6.1 梁的纯弯曲1、几个基本概念（1）平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。
怎样加载才能产生平面弯曲？若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在对称平面内，才能发生平面弯曲。
若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。
什么叫弯曲中心？当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。
这样的特定点称为弯曲中心。
关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。
①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图(a),(b),(c)所示。
②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图(d)、(e)所示。
③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图(e)、(f)所示。
④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。
这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。
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Wz
Iz ymax
抗弯截面模量。 s M max max
WZ
矩形截面：
IZ ymax bh3 2 bh 12 h 6 2
圆形截面：
D 4 3 D 64 D 32 2
WZ
IZ WZ ymax
例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）1—1截面上1、2两点的正应力；
工程 力学
ENGINEERING MECHANICS
学习回顾：
弯曲杆件的内力计算和内力图
学习要点：
纯弯曲杆件的应力 弯曲杆件的强度计算
一、 梁弯曲时的正应力
1.弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力Q 剪应力t 正应力s
内力
弯矩M
a A Q P
P
P
B
a
纯弯曲(Pure Bending):
某段梁的内力只有 弯矩没有剪力时，该段
50
q=4kN/m A 10m
K y 100
z
B
m
200
大家辛苦了！
1 M EI z
中性层的曲率表达式。
称为杆的抗弯刚度，反映了杆件截面抵 抗弯曲变形的能力。
EI z
M s y Iz
式中 M——横截面上的弯矩； Iz——横截面对中性轴的惯性矩； y——欲求应力点到中性轴的距离。
最大正应力：
s max
M max y max Iz
s max
M max I z ymax
（2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力； 1 q=60kN/m
A
1m 2m
B
1
1
q=60kN/m B
解：画M图求截面弯矩
A
1m 1 1 2 2m
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
12 0 y
qL2 8 M1 Mma
x
z
180 30
M图 （kNm)
P x
梁的变形称为纯弯曲。 如AB段。
x P
a
2. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
纵向对称面 中性层 中性轴
a b
c
中性层：梁内一层纤 维既不伸长也不缩短， 因而纤维不受拉应力 和压应力，此层纤维
d M
c d
M
称中性层。 中性轴：中性层与横
a b
截面的交线。
S z 0 z (中性)轴过形心
求应力
二、 梁横截面上的剪应力
1. 矩形截面杆件的切应力
式中
Q Байду номын сангаасz t Iz b
Q
横截面上的剪力； 横截面对中性轴的惯性矩； 矩形截面宽度；
Iz
b
Sz
横截面上需求切应力处的水平 线以下（或以上）部分面积A* 对中性轴的静面矩。
①工字钢截面：
tmax
Q
t min t max
Af
; Af —腹板的面积。
结论： 翼缘部分tmax« 腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。
铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin
故工字钢最大剪应力
tmax
Q
Af
;
②圆截面：
t max
4Q 3 A
例2 一简支梁。计算 (1)截面A右上距中性轴为y1=50mm处K点的切应力； （2）比较梁的最大正应力和最大剪应力； （3）若用32a工字钢梁，计算其最大剪应力； （4）计算工字形截面A右上腹板与翼缘交界处m点的剪应力。