数学中分期付款问题

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金融经济学pmt公式

金融经济学pmt公式金融经济学PMT什么是PMTPMT是金融经济学中的一个常用公式，用来计算等额分期付款时每期的付款金额。

PMT公式可以帮助我们计算每期还款金额，从而更好地理解和规划借贷和投资行为。

PMT的计算公式PMT公式可以使用以下数学公式表示：PMT = P * r * (1 + r)^n / ((1 + r)^n - 1)其中，P代表本金或初始投资金额，r代表每期的利率，n为还款期数。

例子解释为了更好地理解PMT公式的具体应用，假设我们有以下情景：小明决定贷款10万元人民币，年利率为5%，贷款期限为5年。

首先，我们需要将年利率转换为每期的利率。

由于还款周期是按年计算的，我们需要将年利率除以还款期数（每年的还款期数）来计算每期的利率。

在这个例子中，每年有12个月，所以每期的利率为5% / 12 = %。

接下来，我们需要计算还款期数。

由于贷款期限是5年，每年有12个还款期，所以总还款期数为5 * 12 = 60。

最后，我们可以使用PMT公式计算出每期的付款金额：PMT = 100000 * % * (1 + %)^60 / ((1 + %)^60 - 1)通过计算，可以得出每期的付款金额为约元。

这意味着小明需要每期支付元的还款金额，直到贷款全部还清为止。

总结PMT公式是金融经济学中的一个重要工具，可以帮助我们计算等额分期付款时每期的付款金额。

通过以上例子，我们可以更好地理解PMT的应用和计算过程，从而更好地规划借贷和投资行为。

PMT公式的应用范围PMT公式的一般形式PMT公式适用于很多金融经济学问题，不仅仅局限于等额分期付款的计算。

下面列举几种常见的应用场景及其对应的PMT公式：1. 等额还款贷款在房贷、车贷等等场景中，贷款人通常需要按照固定的还款额度每期还款，这就是等额还款贷款的情况。

每期还款金额可以通过PMT 公式计算得到。

2. 固定期限的固定收益投资如果你有一笔资金打算投资，投资期限已经确定，且投资收益率是固定的，那么你可以使用PMT公式来计算每期的投资金额。

【高二数学】研究性学习课题数列在分期付款中的应用(共5页)

研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。

为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。

我在上星期天给学生预先布置了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。

今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。

例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。

日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？二、研究成果展示学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：1、每期还款额的研究：现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：（1）等额本息法：每期还款额（本金和利息）相同。

将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。

推导公式：设每月还款额均为x 元，每月还款在180月后的总值：x x x x x +++++++++)0042.01()0042.01()0042.01()0042.01(177178179 贷款200000元在180月后的总值：180)0042.01(200000+ 当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以 x x x x +++++++)0042.01()0042.01()0042.01(178179 180)0042.01(200000+=整理得：1)0042.01()0042.01(0042.0200000180180-++⨯⨯=x 76.1585=x 1586≈元即每月需还款1586元。

高中数学同步学案分期付款问题中的有关计算

9．4分期付款问题中的有关计算[读教材·填要点]1．单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有S ＝P(1＋nr)． 2．复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n.[小问题·大思维]1．单利和复利分别对应什么函数类型？[提示] 单利对应一次函数模型,复利对应指数函数模型． 2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？[提示] 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列．等差数列模型(单利问题)用分期付款购买价格为25万元的住房一套,按单利计算如果购买时先付5万元,以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次,再过1年又付款一次,直到还完后为止．商定年利率为10%,则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[解] 购买时先付5万元,余款20万元按题意分10次分期还清,每次付款数组成数列{a n },则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2,…,10)．因而数列{a n }是首项为4,公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×10－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝31(万元)．31＋5＝36(万元),因此第5年该付3.2万元,购房款全部付清后实际共付36万元．按单利分期付款的数学模型是等差数列,解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款,并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息,并且在规定时间段内利息的计算公式．1．某人从1月起,每月第一天存入100元,到第12个月最后一天取出全部本金及利息,按照单利计息,若月利率为1.65‰,求到年底的本利和．解：第1月存入的100元到12月底的利息为a 1＝100×0.001 65×12, 第2月存入的100元到12月底的利息为a 2＝100×0.001 65×11,… 第12月存入的100元到12月底的利息为a 12＝100×0.001 65,全部利息和为S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元), 按单利计息,到年底所取出的本利和为1 212.87元.等比数列模型(复利问题)某人购买价值为10 000元的彩电,采用分期付款的方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付一次,如此下去,到第24次付款后全部付清,已知月利率为0.8%,如果每月利息按复利计算。

高一数学分期付款

那么，经过x个月后，a元增值为a·(1+0.008)x 元
3.单利计算：所谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去
填空：1．假定银行存款月利率为p％，某人存入a元，每月利息
按复利计算，过1个月的本息和为________；过2个月的本息和为__________；过6个月的本息和为_________；过n 个月的本息和为___________．
/ 优游
提问：每种方式每期所付款额，付款总额及与一次性付款的差额
首先，作为解决这个问题的第一步，我们来研究一下，在商品购买后一年贷款全部付清时，其商品售价增值到了多少？
由于月利率为0.008，在购买商品后1个月（即第1次付款时），该商品售价增值为 :
=5000×1.00812 算得：x≈880.8 (元）
即每次所付款额为880．8元，因此6次所付款额共为：
880.8×6二 5285（元）它比一次性付款多付285元．
讨论：假定每期付款(存入)x元．(方式二)
方法2: 付款方式计算(正面想)，
成交之日起5000元就开始产生利息，则a1=5000×1.0082-x a2=(5000×1.0082-x)×1.0082-x=5000×1.0084-(1.0082+1)x a3=5000×1.0086-(1.0084+1.0082+1)x
分期付款中的有关计算
教学目的：（－）了解什么是分期付款，学会分期付款中的有关计算的方法．（二）能对各种类型的分期付款进行计算．（三）能从日常生活中提出实际的分期付款问题，并对其中的有关问题进行计算．教学重点与难点：
理清有关概念并把付款等实际问题转化为数学中数列问题
一概念
1．分期付款分期付款是商家为了促进商品的销售，便于顾客买一些销售价较高的商品（如房子、汽车等）所采用的一种付款方式，分期付款要注意：（l）付款的间隔时间相同．（2）每期付款额相同．这里请大家思考：

《高一数学分期付款》课件

分期付款和复利的关系
分期付款中的利息计算和复利计算有关，通过数学原理可以更好地理解付款总额的增长和贷款成本。
结束语
提高数学分析能力
通过学习分期付款的计算方法，能够培养同学们的数学分析能力，让他们更加熟练地应用数学知识。
提升财务管理能力
了解分期付款的相关概念和注意事项，可以帮助同学们提高财务意识和管理能力，从而更好地处理个人经济事务。
2 关注分期付款的利率和费用
了解不同分期付款方式的利率和费用，以及对总支出的影响，选择最经济和合理的方式。
3 注意分期付款的还款期限和方式
确保能按时还款，避免逾期费用以及信用记录受损。选择适合自己的还款方式，如自动扣款或在线支付等。
分期付款与数学的关系
分期付款与等比数列、等差数列的关系
分期付款的还款金额可以构成等比数列或等差数列，通过数学计算可以更好地理解其变化规律。
《高一数学分期付款》 PPT课件
# 高一数学分期付款
通过本PPT课件的学习，同学们能够更好地了解分期付款的概念和计算方法，提高自己的数学分析能力与财务管理能力。
什么是分期付款
分期付款的定义
分期付款是指将一笔大额支出分成多个较小的支付期，以便更轻松地实现购买目标。
分期付款的优缺点
分期付款的优点是降低了购买成本压力，缓解了经济压力。缺点是需要支付利息和费用，并可能增加支出的总额。
分本息法是指将贷款本金和利息平均分摊到每一期的还款额中，每期还款金额相同。
2
等额本金法
等额本金法是指每期还款时，贷款本金相同，但利息逐期减少，导致每期还款金额递减。
分期付款的注意事项
1 选择合适的分期付款方式
根据自身经济状况和需求选择适合的分期付款方式，包括利率、期限和费用等方面的考虑。

分期付款中的数学计算原理以及若干问题的讨论

分期付款中的数学计算原理以及若干问题的讨论
分期付款是一种消费者可以分期支付购买商品或服务的金融服务。

它可以帮助消费者把一笔大额支出分成多个小额支出，从而更容易支付。

分期付款的数学计算原理是，消费者需要支付的总金额（本金）除以分期数，就可以得到每期应付的金额（本金+利息）。

比如，一笔购买商品的总金额为1000元，分期数为3期，那么每期应付的金额就是1000元除以3，即333.33元，其中包括本金和利息。

分期付款的数学计算原理也可以用于计算利息。

比如，一笔购买商品的总金额为1000元，分期数为3期，每期应付的金额为333.33元，那么每期的利息就是333.33元减去本金1000元，即333.33元减去1000元，得到的结果就是每期的利息，即-666.67元。

分期付款的数学计算原理也可以用于计算分期付款的总利息。

比如，一笔购买商品的总金额为1000元，分期数为3期，每期的利息为-666.67元，那么总利息就是-666.67元乘以3期，即-2000元。

分期付款的数学计算原理可以帮助消费者更好地了解分期付款的费用，从而更好地控制自己的支出。

但是，消费者在使用分期付款时，还需要注意一些问题，比如分期付款的利率、分期付款的期限、分期付款的违约金等。

只有了解这些问题，消费者才能更好地控制自己的支出，避免发生不必要的损失。

高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用

高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用篇一：研究性学习课题：数列在分期付款中的应用研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。

为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。

我在上星期天给学生预先布臵了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。

今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。

例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。

将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。

推导公式：设每月还款额均为x元，每月还款在180月后的总值：x(1? 蓬勃范文网:高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用)42)179?x(1?0.0042)178?x(1?0.0042)177???x(1?0.0042)?x 贷款200000元在180月后的总值：200000(1?0.0042)180当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以x(1?0.0042)179?x(1?0.0042)178???x(1?0.0042)?x?200000(1?0.0042)180200000?0.0042?(1?0.0042)180整理得：x? (1?0.0042)180?1x?1585.76?1586元即每月需还款1586元。

分期付款数学教案

分期付款数学教案标题：分期付款数学教案
一、引言（约1000字）
1.1 教学背景
1.2 教学目标
1.3 教学重难点
1.4 教学方法与策略
二、基础知识复习（约1000字）
2.1 利息的基本概念
2.2 现值和未来值的概念
2.3 复利和单利的区别
三、分期付款的基本原理（约1000字）
3.1 分期付款的定义
3.2 分期付款的计算方法
3.3 分期付款的实际应用
四、案例分析（约1000字）
4.1 案例选择
4.2 案例解析
4.3 案例讨论
五、课堂活动（约1000字）
5.1 小组讨论
5.2 角色扮演
5.3 互动问答
六、课后作业（约500字）
6.1 作业设计
6.2 作业要求
6.3 作业评价
七、教学反思（约500字）
7.1 教学效果反馈
7.2 教学改进措施
7.3 教学展望。

高中数学数列与分期付款

高中数学数列与分期付款1、分期付款中的单、复利例1、某人从银行贷款a万元，分五期等额还清，期利率为r。

（1）按复利（本期的利息计入下期的本金生息）计算，每期须还多少万元？（2）按单利（本期的利息不计入下斯的本金生息）计算，每期须还多少万元？解：（1）解法1：设每期须还x万元，则第一期到期后的欠款数为：第二期到期后的欠款数为：第五期到期后的欠款数为：由于五次还清，故，即解法2：设每期须还x万元，则第一期还x万元，到结账时相当于万元；第二期还x万元，到结账时相当于万元；……第五期还x万元，到结账时仍是x万元。

因为五期总和=a万元在银行存五期的本息之和，即所以解法3：设每期还款x万元，则第一期偿还的x万元相当于贷款时的万元；第二期偿还的x万元相当于贷款时的万元；第五期偿还的x万元相当于贷款时的万元。

由已知得：（2）设每期须还x万元，则第一期还x万元，到结账时相当于万元；第二其还x万元，到结账时相当于万元；……第五期还x万元，到结账时仍为x万元。

因为五期总和=a万元在银行存五期，即由上述推算可知：若从银行贷款a元，分n期等额还清，期利率为r，每期须还x元，则（复利形式）；（单利形式）。

2、在银行中存款例2、某同学若将每月省下的零花钱5元，在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本和利共多少元（保留到个位）。

分析：先分析每一年存款的本利和（单位：元）。

按月分开算第一个月：；第二个月：；……第十二个月：5。

那么，每一年的本息和为：第一年的A元，改存为年利按复利计算，两年后到期的本利和为：；第二年的A元，同理一年后到期的本利和为：；第三年的A元，由于全部取出，这一年的存款没有利息，三年后取出的本利和为：解：设每存一年的本利和为A，则设三年后取出的本利为y答：三年后取出本利共193元。

3、分期付款中的收益比较例3、某商店为了促进商品销售，特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价值2150元。

高中数学典型例题研究性课题：分期付款中的有关计算新课标

高中数学新课标典型例题：研究性课题：分期付款中的有关计算【例1】小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？解析先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2； ……第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11．于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A ，A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11=5(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)第一年的A 元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；第二年的A 元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；第三年的A 元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．三年后，取出的本利和为：A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A ．解：设每存一年的本利和为A ，则 A=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)三年后取出的本利为y ，则y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2=A(1＋1.06＋1.062)=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)(1＋1.06＋1.062)=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212--..≈193(元)答：三年后取出本利共193元．说明这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．【例2】某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)？解第一年余下的基金为1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232 (1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x依此类推，得a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x xa =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金达到2000万元，令a 5=2000于是得关于消费基金x 的方程：1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得3211323222433225554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32x =10002000x =1000·×－×211 16179 3216 21117932x=1000x=1000×∴××x≈424答：每年约扣除消费基金424万元。

数列-分期付款中的数学计算

03
应用实例
假设贷款总额为10000元，分12期还款，年利率为5%。每期应还款的本金部分为833.33元（10000÷12），利息部分为首期312.5元（10000×5%÷12），后续每期按照等比递增方式增加。组合数列即为每期应还款的本金和利息之和。
03
分期付款中的数学模型
简单分期付款模型
应用实例
假设贷款总额为10000元，分 12期还款，每期应还款的本金部分可视为等差数列，第一期还款额为833.33元（10000÷12），后续每期增加 833.33元。
等比数列在分期付款中的应用
等比数列的概念
等比数列是一种特殊的数列，其特点是任意两个相邻项的比值相等。在分期付款中，等比数列常用于表示每期应还款的利息部分。
计算公式
等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。在分期付款中，首期应还款的利息通常等于贷款总额乘以利率再除以期数，即$a_1=frac{P times r}{n}$，公比$q=frac{a_1}{a_2}$。
应用实例
假设贷款总额为10000元，年利率为5%，分12期还款，每期应还款的利息部分可视为等比数列，第一期还款额为312.5元（10000×5%÷12），后续每期按照等比递增方式增加。
数列的应用场景
总结词
数列在许多领域都有应用，如数学、物理、经济等。
详细描述
在数学领域，数列被广泛应用于求和、极限、微积分等；在物理领域，数列可以描述周期性现象，如振动、波动等；在经济领域，数列可以用于描述金融市场的波动、预测未来趋势等。此外，在计算机科学、统计学等领域也有广泛的应用。
02
分期付款中的数列计算

巧用数列方法处理分期付款问题

巧用数列方法处理分期付款问题第一篇范文分期付款作为一种便捷的消费方式，在现代社会中被广泛应用。

然而，这种看似美好的消费方式却让许多人在不知不觉中陷入了财务困境。

如何合理地处理分期付款问题，成为了摆在人们面前的一道难题。

本文将借助数列方法，对分期付款问题进行深入剖析，并提出相应的解决方案。

一、分期付款的数学模型首先，我们需要建立一个分期付款的数学模型。

假设消费者购买了一件商品，总价为P元，分期付款共分为N期，每期付款金额为A元，利率为R。

那么，消费者每期的还款金额可以表示为：$$A_n = A + R\times \sum_{i=1}^{n-1} A_i$$其中，$A_n$表示第n期的还款金额，$A_{n-1}$表示第n-1期的还款金额。

二、分期付款问题的解决方案1. 提前还款提前还款是减少利息支出的一种有效方式。

消费者可以在保证生活品质的前提下，尽量提前还款。

根据数列方法，我们可以计算出消费者提前还款后，每期的还款金额。

具体方法如下：设消费者提前还款后，剩余期数为M，则有：$$A_m = A + R\times \sum_{i=1}^{m-1} A_i$$消费者提前还款后，剩余本金为P - \sum_{i=1}^{n-1} A_i，因此，提前还款的利息支出为：$$\sum_{i=1}^{m-1} R\times A_i$$2. 选择低利率的分期付款方式在购买商品时，消费者应尽量选择低利率的分期付款方式。

根据数列方法，我们可以计算出不同利率下的还款金额，从而做出明智的选择。

具体方法如下：设另一种分期付款方式的利率为S，则有：$$A_s = A + S\times \sum_{i=1}^{n-1} A_i$$比较两种分期付款方式的还款金额，选择较低的一种。

3. 合理规划消费消费者在购物时，应根据自身的经济状况，合理规划消费。

可以通过数列方法，计算出在不同消费金额下的还款金额，从而控制自己的消费欲望。

4.3分期付款专题课件-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

2、单利、复利计算公式设S为本利和,a为本金,r为期利率,n为期数(即付款次数) (1)单利计算公式: S=a(1+nr) (2)复利计算公式: S=a(1+r)n
数学建构
3、分期付款数学模型(复利)
设某商品一次性付款的金额为a元,r为期利率,n为等额付款次数,每期期
来所付款为x元,则有x+x(1+r)+x(1+r)2+···+x(1+r)n-1=a(1+r)n
题后反思
变式拓展
某人向银行贷款10万元用于买房，如果他向中国建设银行借钱，年利率为5%，且这笔钱分 10次等额归还，一年一次(不计复利)，问:每年银行贷款2万元，贷款年利率为10%，按复利计算，且这笔借款分10次等额归还，每年一次，并以借款后次年初开始归还，则每年应归还 _元 (精确到1元)。
分期付款专题
问题情境
情境：某人向银行贷款10万元用于买房，如果他向中国工商银行借钱，年利率为4%，且这笔钱分10次等额归还，一年一次(按复利计算)。问:每年应归还多少元(精确到1元)?
数学建构
1、关于分期付款,银行的规定 (1)分期付款复利计息,每期付款数相同(即等额归还)。且在期末付款； (2)到最后一次付款时,各期所付款额的本利和等于借款总数的本利和。
②全部货款村清后,买这件家电实际花了多少钱?
课堂检测
课本第153页练习第4题。
每期还款数为
;
4、分期付款数学模型(单利)
设某商品一次性付款的金额为a元,r为期利率,n为等额付款次数,每期期
来所付款为x元,则有x+x(1+r)+x(1+2r)+···+x[1+(n-1)r]=a(1+nr)

高中数学分期付款问题

解： x x (1 p )
m n
x (1 p )
( n 1) m n
2m n

m
x (1 p ) x [(1 p )
m n n
a (1 p )
m
] 1 1
m
(1 p )
m n
a (1 p )
m n
a (1 p ) [(1 P ) x m (1 p顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。
方案
几次付清
付款方法
每期付款
付款总额
与一次性付款差额
1
2
3次
6次
购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4 个月第3次付款购买2个月第1次付款，再过 2个月第2次付款……购买后 12个月第6次付款
例1.购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2 次付款，如此下去，共付款5 次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少?
1、在分期付款中，每月的利息均按复利计算
2、分期付款中规定每期所付款额相同
3
购买后1个月第1次付款，再 12次过1个月第2次付款……购买后12个月第12次付款
注
规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。
3、分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值
4、各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关键步骤列方程的依据）

高中数学高一数学第三章(第12课时)分期付款中的有关计算1教案

课题：分期付款中的有关计算（一）教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎接知识经济的挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创性工作研究性学习注重的是让学生学会学习和研究，关注的是研究过程，其核心是创新意识的培养本研究性课题,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果.问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.教学过程：一、引入：1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？2．基本公式：1.等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=， 2)1(1d n n na S n -+= 2．等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =特殊数列求和－－常用数列的前n 项和：2)1(321+=++++n n n 2)12(531n n =-++++6)12)(1(3212222++=++++n n n n 23333]2)1([321+=++++n n n 3．求和的常用方法：特殊数列求和公式法、拆项法、裂项法、错位法二、问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款； ⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款； ⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款你能帮他们参谋选择一下吗？”三解决问题的过程：1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ ——设为x2．搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a 元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.012a(元)3．独立探究方案1可将问题进一步分解为：1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？4．提出解答,并给答辩：由商品价格=付款额，得10000×(1+1%)12=x+(1+1%)2x+(1+1%)4x+(1+1%)6x+(1+1%)8x+(1+1%)10x ，解得101.1)101.1(01.11000012212--⨯⨯=x ＝1785.86 5．创建数学模型：比较方案1结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a 元的商品,分n 次经过m个月还清贷款,每月还款x 元,月利率为p,则1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=m n m mp p p a x 6．验证并使用模型：方案2中，101.1)101.1(01.1100001212--⨯⨯=x ＝888.49 方案3中，101.1)101.1(01.11000012412--⨯⨯=x ＝3607.627．结论分析：方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元；方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元；方案3中，x=3607.62元，付款总额3x=10822.85元《考试说明》明确指出：“能阅读、理解、对问题进行陈述的材料,能综合运用所学的数学知识、思想和方法、解决问题包括解决带有实际意义的或相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述”本节课以经常碰到的银行储蓄和分期付款为背景，复习了等比数列的应用，体现了数学的实际应用价值，尤其是从实际出发来表述问题，课堂气氛异常热烈，更加接近了数学与生活的距离，增加了学生的兴趣，提高了数学的育人功效四、小结1.分期付款中的计算涉及的数学知识:等比数列前n项和公式；数学思想：列方程解未知数2.“方案2、3→模型→方案3”是由特殊到一般,再由一般到特殊的研究方法;研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩→创建数学模型→验证并使用模型→结论分析3.问题来源于现实,问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质;而探究问题时往往不会一帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.4.促进学生知识迁移——分期贷款及以复利增长型问题可类似解决五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：。

SX2020A053高考数学必修_分期付款的相关计算

分期付款的相关计算【基础知识精讲】1.关于复利的概念与计算银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.例如：若银行贷款的利率为每年12%，银行向某企业贷出10万元，那么期满一年时，银行不仅要收回本金10万元，还要加收本金乘以利率生成的利息，银行总共收回的款额为10+10×12％＝11.2(万元).一般，一年期满后，借贷者(银行)收到的款额V1=V(1+a)，其中V为初始贷款额，a为每年的利率，假若在一年期满后，银行又把V1贷出，利率不变，则银行在下一个一年期满时可以收取的款额为V 2=V1(1+a)=V(1+a)2.依次类推，若把V贷出t年，利率为每年a，这笔款额到期后就会增到V t =V(1+a)t.我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利.若在一年中利息按较多次重复计算就有如下更一般的情况：年利率为a，按每年n次复利计算，则每次利率按an计算，t年后的本息之和为V t =V+(1+an)nt.2.关于分期付款在日常生活中，一些商店为了促进商品销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上较为灵活，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款又可以提供几种方案选择.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采用分期付款方式，那么在一年内将款全部付清的前提，商店又提出了下表所示说明：1.分期付款中规定每期所付款额相同.2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金. 一般地，购买一件售价为a 元的商品，采用分期付款的要求在m 个月将款全部付清，月利率为P ，分n(n 是m 的约数)次付款，每次付款的计算公式是()()()11111mm n ma p p x p ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦=+-. 3.关于分期付款方案的确定须明确的几点：采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：(1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算. 在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于顾客比较，优化选择方案.【重点难点解析】例1 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款后的第10个月应该付多少钱?全部贷款付清后，买这40套住房实际花了多少钱?解：因购房时已付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付清，则每次付款的数额顺次构成数列｛a n ｝，故a 1=50+1000×0.01=60(万元)a 2=50+(1000-50)×0.01=59.5(万元) a 3=50+(1000-50×2)×0.01=59(万元) a 4=50+(1000-50×3)×0.01=58.5(万元) a n =50+［1000-50(n-1)］×0.01=60-(n-1)×12(1≤n ≤20,n ∈N)∴｛a n ｝是以60为首项，-12为公差的等差数列.∴a 10=60-9×12=55.5(万元)a 20=60-19×12=50.5(万元)∴20次分期付款总和为：S n =()1202011052a a += (万元)实际共付1105+150=1255(万元)答：第10个月付55.5万元，买40套住房实际花1255万元.例2某职工年初向银行贷款2万元用于购房，年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，并且从贷款后次年初开始归还，问每年应还多少元(精确到1元)?解：此类题一般有两种思考方法：一是按将来值计算，即按10年后的价值计算；二是计算每年贷款余额.设贷款年利率为r，贷款数额为A，每年等额归还x元，第n年还清.因某年贷款A元，到第n年连本带利应还A(1+r)n元，而第k年还款x元，也还掉了这x元的(n-k)年的利息，故有数列模型：(1+r)n A=x［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)+1］.即 (1+r)n A=x·()11nrr+-于是x=() ()111nnAr rr++-将r=0.1,A=20000,n=10代入得x=1010 200000.1 1.11.11⨯⨯-.又1.110=(1+0.1)10=1+C110·0.1+C210·0.12+…≈2.59324.所以x≈3255元.故每年应还3255元.评析存款、贷款与人民的生活休戚相关，解决此类问题常常转化为数列求解.例3一工厂为提高产品质量、扩大再生产，需要征地、扩建厂房、购置新机器设备、改造旧设备、培训职工，因而需要大量资金.已知征地、农户拆迁费需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及培训职工需15万元，而该厂现有资金125万元，但流动备用资金需40万元，厂内干部30人每人投资4000元，工人180人每人投资1000元(不计利息在每年年底利润中分红)尚缺少的资金准备在今年年底向银行贷款，按照年利率9%的复利计算，若从次年年底开始分5年平均还清贷款及全部利息，那么该厂平均每年需还贷款多少万元(精确到0.1万元).分析本题涉及资金有以下几个方面：(1)扩大再生产急需资金40+100+60+15+40=255(万元)(2)已筹集资金125+0.4×30+0.1×180=155(万元)(3)需向银行贷款255-155=100(万元)(4)还款情况分析：①向银行贷款100万元从次年年底起5年后若一次还清应为100(1+0.09)5(万元)②根据该厂的实际情况实行分期付款从次年年底算起，连续5年每年向银行还相同的贷款，到第5年底还完.设第1年年底向银行还款为x万元，那么到第5年年底应为x·1.094(万元)；第2年底还款x万元到第5年年底应为x·1.093(万元)；第3年底还款x万元到第5年年底应为x·1.092(万元)第4年底还款x万元到第5年年底应为x·1.09(万元)第5年底还款x万元仅本金x(万元)于是得方程x(1.094+1.093+1.092+1.09+1)=100×1.095所以()51.0911.091x--=100×1.095由计算器可计算得x≈25.7(万元).评析分期付款问题可视作分期存款，即从次年年底每年存款x万元，按规定的利率，求得n年的本利和，然后向银行一次付清，这样就构成了以x万元为首项，1.09为公比的等比数列求前n项之和，从而列出方程，求出x.例4买一套新住房需15万元，若一次将款付清可优惠25%；若连续五年分期付款付清，则须在每年相同的月份内交付3万元.如果银行一年期存款的利率为8%，按本利累进计算(即每年的付款与利息之和转为下年的存款).问：两种付款办法哪种对购房者有利?试说明理由.解：若到第5年存款与利息之和较少，则对购房者有利.因为一次付清到第5年存款与利息之和为：15(1-25%)(1+8%)=454(1+8%)4(万元).而分期付款的本息和为：3(1+8%)4+3(1+8%)3+3(1+8%)2+3(1+8%)+3=752·［(1+8%)5-1］(万元).∵752［(1+8%)5-1］-454(1+8%)4=154［(1+8%)4·(7+10×8%)-10］=154｛［1+C14·8%+C24·(8%)2+C34·(8%)3+C44·(8%)4］(7+10×8%)-10｝＞154［(1+4×8%)(7+10×8%)-10］＞154［(7+38×8%)-10］=154(10.04-10)＞0∴752［(1+8%)5-1］＞454(1+8%)4.故一次付清对购房者有利.评析本例是在阅读理解的基础上列出两种方案的表达式，然后通过作差比较、放缩、估算，完成探索“使命”，从而使问题得到解决.【知识验证实验】假设A型进口汽车关税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年进口汽车每辆的价格为64万元（其中含32万元关税款）①已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆价格为46万元。

分期付款中的数学计算

2
2。本金1000元，月利率0.008,每月复利一次,一年后本利和为多少?
答：1223.4元
n
2。本金1000元，月利率0.008,每月复利一次,一年后本利和为多少?
答: 1100元
an A(1 p)
n
分期付款中的有关计算
练习题3：
李明同学今年高三，在高一入学时，经父母同意，即在06年9月开始每月存入200元的零存整取教育储蓄，问李明毕业后上大学时（即2009年9月），他在银行的存款是多少？
分期付款中的有关教学
X[1+(1+0.008)^2+(1+0.008)^4]=10000*(1+0.008)^6 即x*((1+0.008)^6-1)/((1+0.008)^21)=10000*(1+0.008)^6 X=10000*(1+0.008)^6*[(1+0.008)^2-1]/[(1+0.008)^61]=3441.0
• 方案2：小张认为，自己借了小王10000元，若
存钱在银行6个月后因增值为10000 *（1+0.008） ^6/3元，约为3496.57元。
分期付款中的有关计算
学生思考、做出选择。 “公平”的本质是10000元及其6个月的利息，与分期还款额连同利息之和相等。贷款货物，分期付款已深入我们的生活。
8
结束语
分期付款是当今经济生活中与老百姓息息相关的事，买房、买车、甚至买家用电器都用上了分期付款。提前消费的观念已经被接受。若何根据自己的实际经济情况，选择恰当的分期付款方式是每一个参与经济活动的公民的迫切需要。因此，学习掌握相关知识，解决分期付款问题有十分重要的现实意义，同时也体现了新课标的精神。

分期付款数学

S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a ＝a[1＋1.001.0－116－1]＝a[1.016－1]×102(元)．由 S1＝S2，得 a＝11.0.0116×6－1102. 以下解法同法一，得 a≈1 739，故每月应支付 1 739 元．
由题意，可知 a6＝0，即 1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0， a＝11.0.0116×6－1102. ∵1.016≈1.061，∴a＝11.0.06611×－1102≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
法二：一方ห้องสมุดไป่ตู้，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它的本利和为
借贷 10 000 元，以月利率为 1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分 6 个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)
分期付款
分期付款即分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相等
分期付款中双方的每期利息均按复利计算，即上期的利息计入下期的本金
分期付款中规定：各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和，等于商品售价从购买到最后一次付款的利息和，
贷款的本息和=还款的本息和
一方面向银行贷款，相当于银行在贷款人处存一笔钱，每月按复利计算利息，贷款n年后，这笔钱就增值为：本金+利息；
另一方面贷款人还钱，即相当于贷款人定期向银行存定额的钱，存进去的钱亦按复利计算利息，经n年后，这笔钱就积累为：各期还款本利和的总和；