平面向量一轮复习建议

平面向量单元复习教学建议

滨州实验中学王清娥

发言日期：2020年3月24日

尊敬的各位老师，大家好！非常荣幸能在这里和大家交流我对《平面向量》这一单元的复习看法，不当之处，敬请批评指正！

一、本单元近五年全国卷I 高考试题统计分析 近五年全国Ⅰ卷高考题统计分析： 年份 题号 分数 题型 考查内容 2015 文2 5 选择题 平面向量的坐标运算，减法的三角形法则 理7

5 选择题 平面向量的线性运算，相等向量和相反向量、共线向量等概念 201

6 文13

5 填空题 用平面向量数量积的坐标运算表示垂直 理13

5 填空题 平面向量的模的坐标运算、数量积的性质 2017 文13

5 填空题 两平面向量的加法、数量积坐标运算，向量的垂直（与16年文雷同） 理13

5 填空题 平面向量的数量积运算、模及夹角 2018

文7 5 选择题 同一题。平面向量的线性运算，相等向量和相反向量、共线向量等概念（与15年理科第7题同出一辙） 理6 5 选择题 2019

文8 5 选择题 同一题。平面向量的模、夹角，垂直的条件，数量积的运算律 理7 5 选择题

二、本单元在全国I 卷中的地位和作用

从上表中的统计分析可以看出，平面向量这一单元在高考中是每年的必考内容，它承载着对数学基本运算能力的考查。但是考查注重基础，无论是选择题还是填空题，题号都比较靠前，题目相对比较简单，占分比重也不大（5分），应该是学生比较容易得分的题目，也可以说是送分题。但是如果在教学中老师要求落实不到位，学生对基本概念不理解，基本公式记忆不准确，就会“大意失荆州”，即便出题老师有意送分，也会有不少学生“不领情”而拒收。这就要求我们在一轮复习中，必须从基础知识入手，稳扎稳打，确保该题不丢分。

三、本单元的典型试题类型及解题方法、策略

题型1. 以平面几何为背景的线性运算

（18年理）6. 在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( )

A ．AC A

B 4143- B . A

C AB 4341- C . AC AB 4143+

D . AC AB 4

341+ (先由题意画出图形)

解法1：AC AB AC AB AB AD AB AE AB EB 4

143)(4121-=+-=-=-=

解法2： AC BA AC BA BA BC BA BD BA BE 4

143)(412141212121+=++=+=+= 所以AC AB EB 4

143-=.故选A. 解法3：特殊化后用坐标法

设等边三角形ABC 的边长为2，以直线BC 为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。则 B(-1，0),E(0，)2

3,C(1，0),A(0，)3,)3,1(),3,1(),23,1(-=--=--=AC AB EB 设,AC y AB x EB +=则)3,1()3,1()23,1(-+--=--y x 所以⎪⎩

⎪⎨⎧-=---=+-23331y x y x 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==41

43y x ，所以AC AB EB 4143-=. 老师们再看一下这道题：

（15年理）7. 设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）

A ．1433AD A

B A

C =-+ B ．1433

AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 解法1：（不画图，直接用向量的代数运算求解）

)(33AC AD AB AC CD BC -=-∴= 展开化简得AC AB AD 3

431+-=.故选A 解法2：（画出图形，结合图形利用向量的线性运算求解）

AB AC AB AC AC BC AC CD AC AD 3

134)(3131-=-+=+=+= 另：AB AC AB AC AB AB BC BA BD AD 3

134)(3434-=-+=+=-= 解法3：（特殊化后用坐标法）

设等边三角形ABD 的边长为4，以BD 所在直线为x 轴，线段BD 的垂直平分线为y 轴，

建立平面直角坐标系，如图 则)32,0(),0,1(),0,2(),0,2(A C D B -,

)32,2(),32,1(),32,2(-=-=--=AD AC AB

设,AC y AB x AD +=则)32,1()32,2()32,2(-+--=-y x

⎩⎨⎧-=--=+-∴32323222y x y x 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=3431y x 所以AB AC AD 3134-= 这种解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解。 可以发现：这两题考查的知识点和解题方法是一样的

此类题的基本解决方法和思路是：

1. 向量的代数运算法

把题目中的条件和目标都用向量来表示，都向基底去转化。

2.向量的几何运算法

先观察向量位置，再寻找所在的三角形或多边形，再由近及远的运用法则找关系，最后化简结果。

3.向量的坐标运算法

先把已知的平面几何图形特殊化（一般三角形可以特殊化为等边三角形或直角三角形，平行四边形可特殊化为矩形或正方形），再建立坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，最后通过坐标运算解方程（组）。

【纯向量法对同学们的观察能力要求较高，坐标法对计算能力要求较高】

题型2.平面向量的数量积的运算及性质

（19年理）7.已知非零向量a ，b 满足||2||b a =，且b b a ⊥-)(，则a 与b

的夹角为（ ） A.6π B.3π C.32π D.65π 解法1： ||2||b a =，且b b a ⊥-)(，∴0)(=⋅-b b a ，有0||2=-⋅b b a ，

设a 与b 的夹角为θ，则有0||cos ||||2=-⋅b b a θ，即0||cos ||222=-b b

θ， 0)1cos 2(||2=-θb ， 0||≠b ，∴21cos =θ，3πθ=，故a 与b 的夹角为3

π，选B . 解法2：数形结合，根据题意画出符合条件的图形，答案一看便知，不用计算。 如图：作,,b AC a AB ==则b a CB -=

又因为b b a )(=⊥-

由图可知，显然a 与b

的夹角为600.

解法3：坐标运算 设),0(,)(),0,1(x b a b b a b =-∴⊥-=可设 则),1(x a =

，又==2