平面向量一轮复习建议

平面向量单元复习教学建议滨州实验中学王清娥发言日期：2020年3月24日尊敬的各位老师，大家好！非常荣幸能在这里和大家交流我对《平面向量》这一单元的复习看法，不当之处，敬请批评指正！一、本单元近五年全国卷I 高考试题统计分析 近五年全国Ⅰ卷高考题统计分析： 年份 题号 分数 题型 考查内容 2015 文2 5 选择题 平面向量的坐标运算，减法的三角形法则 理75 选择题 平面向量的线性运算，相等向量和相反向量、共线向量等概念 2016 文135 填空题 用平面向量数量积的坐标运算表示垂直 理135 填空题 平面向量的模的坐标运算、数量积的性质 2017 文135 填空题 两平面向量的加法、数量积坐标运算，向量的垂直（与16年文雷同） 理135 填空题 平面向量的数量积运算、模及夹角 2018文7 5 选择题 同一题。

平面向量的线性运算，相等向量和相反向量、共线向量等概念（与15年理科第7题同出一辙） 理6 5 选择题 2019文8 5 选择题 同一题。

平面向量的模、夹角，垂直的条件，数量积的运算律 理7 5 选择题二、本单元在全国I 卷中的地位和作用从上表中的统计分析可以看出，平面向量这一单元在高考中是每年的必考内容，它承载着对数学基本运算能力的考查。

但是考查注重基础，无论是选择题还是填空题，题号都比较靠前，题目相对比较简单，占分比重也不大（5分），应该是学生比较容易得分的题目，也可以说是送分题。

但是如果在教学中老师要求落实不到位，学生对基本概念不理解，基本公式记忆不准确，就会“大意失荆州”，即便出题老师有意送分，也会有不少学生“不领情”而拒收。

这就要求我们在一轮复习中，必须从基础知识入手，稳扎稳打，确保该题不丢分。

三、本单元的典型试题类型及解题方法、策略题型1. 以平面几何为背景的线性运算（18年理）6. 在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( )A ．AC AB 4143- B . AC AB 4341- C . AC AB 4143+D . AC AB 4341+ (先由题意画出图形)解法1：AC AB AC AB AB AD AB AE AB EB 4143)(4121-=+-=-=-=解法2： AC BA AC BA BA BC BA BD BA BE 4143)(412141212121+=++=+=+= 所以AC AB EB 4143-=.故选A. 解法3：特殊化后用坐标法设等边三角形ABC 的边长为2，以直线BC 为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

则 B(-1，0),E(0，)23,C(1，0),A(0，)3,)3,1(),3,1(),23,1(-=--=--=AC AB EB 设,AC y AB x EB +=则)3,1()3,1()23,1(-+--=--y x 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=---=+-23331y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4143y x ，所以AC AB EB 4143-=. 老师们再看一下这道题：（15年理）7. 设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 解法1：（不画图，直接用向量的代数运算求解）)(33AC AD AB AC CD BC -=-∴= 展开化简得AC AB AD 3431+-=.故选A 解法2：（画出图形，结合图形利用向量的线性运算求解）AB AC AB AC AC BC AC CD AC AD 3134)(3131-=-+=+=+= 另：AB AC AB AC AB AB BC BA BD AD 3134)(3434-=-+=+=-= 解法3：（特殊化后用坐标法）设等边三角形ABD 的边长为4，以BD 所在直线为x 轴，线段BD 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图 则)32,0(),0,1(),0,2(),0,2(A C D B -,)32,2(),32,1(),32,2(-=-=--=AD AC AB设,AC y AB x AD +=则)32,1()32,2()32,2(-+--=-y x⎩⎨⎧-=--=+-∴32323222y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3431y x 所以AB AC AD 3134-= 这种解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解。

可以发现：这两题考查的知识点和解题方法是一样的此类题的基本解决方法和思路是：1. 向量的代数运算法把题目中的条件和目标都用向量来表示，都向基底去转化。

2.向量的几何运算法先观察向量位置，再寻找所在的三角形或多边形，再由近及远的运用法则找关系，最后化简结果。

3.向量的坐标运算法先把已知的平面几何图形特殊化（一般三角形可以特殊化为等边三角形或直角三角形，平行四边形可特殊化为矩形或正方形），再建立坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，最后通过坐标运算解方程（组）。

【纯向量法对同学们的观察能力要求较高，坐标法对计算能力要求较高】题型2.平面向量的数量积的运算及性质（19年理）7.已知非零向量a ，b 满足||2||b a =，且b b a ⊥-)(，则a 与b的夹角为（ ） A.6π B.3π C.32π D.65π 解法1： ||2||b a =，且b b a ⊥-)(，∴0)(=⋅-b b a ，有0||2=-⋅b b a ，设a 与b 的夹角为θ，则有0||cos ||||2=-⋅b b a θ，即0||cos ||222=-b bθ， 0)1cos 2(||2=-θb ， 0||≠b ，∴21cos =θ，3πθ=，故a 与b 的夹角为3π，选B . 解法2：数形结合，根据题意画出符合条件的图形，答案一看便知，不用计算。

如图：作,,b AC a AB ==则b a CB -=又因为b b a )(=⊥-由图可知，显然a 与b的夹角为600.解法3：坐标运算 设),0(,)(),0,1(x b a b b a b =-∴⊥-=可设 则),1(x a =，又==2所以21,cos =•=b a b a b a ，故a 与b 的夹角为3π。

我们再来看下面几道题（17年理）13.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= .（16年理）13.设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .（16年文）（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =（17年文）13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =_________.从这几道高考题也可以看出，平面向量的考查非常注重基础，两向量垂直的充要条件、模和夹角是高频考点，两向量共线的充要条件却从来没考过。

四、2020年高考试题预测从试题模式看：题目设置上会继续延用只出一小题的模式，因为空间向量必出解答题，所以平面向量只会出小题。

但是选择题有可能设置多选题，填空题也有可能一题两空，总分仍是5分。

从试题难度看：文理不分科后，估计难度不会增加。

又因为这部分知识点比较零碎，预估多选题可能设置一题多点来考查本单元的知识点。

从考查范围看：平面向量的线性运算（借助平面几何图形，选定基底，利用三角形法则或平行四边形法则表示其他向量）、坐标运算及应用，平面向量的数量积的运算及性质仍会是这部分的考查重点。

五、一轮复习建议1.课时安排建议平面向量的概念及其线性运算 1课时平面向量的基本定理及坐标运算 1课时平面向量的数量积、模及夹角 1课时2.选题建议我们在设计一轮复习学案时起点要低，覆盖面要广，选题时，不要选择难度大，计算量大、技巧性强的题目，应把重点放在落实基础知识和基本技能上，使学生掌握通性、通法；选题既要突出重点，又要兼顾冷点，多练热点、高频点，围绕考查的重点和热点精选习题。

3．教学建议老师们在教学中要注重对学生公式、定理、概念的检查，必须要求学生该记住的一定要记准、记牢，不能模棱两可。

再通过必要的强化训练，提高学生的运算能力。

我们只有把提高学生的运算能力贯穿于教学的过程之中，才能收到较好的效果。

4.附一节复习学案：平面向量的数量积、模及夹角[学习目标]1.掌握平面向量数量积的定义及坐标表示、运算性质．(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、模、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)【再现型题组】1.已知|a|＝3，|b|＝4，且向量a 与b 的夹角为π3，则a·b ＝ a 在b 方向上的投影为 2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝ ，|a|＝________， a+2b= .3．已知a ＝(－2，1)，b ＝(x ，－2)，若a ⊥b ，则x = ；若a ∥b ，则x = .4．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，23)，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2【请把你回忆起来的知识点写在下面：】【巩固型题组】例1：（1）已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则（a+b ）·(a －b)＝________.（2）已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －2b|＝_______.例2：(1)已知a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋mb)⊥(a －b)，则实数m=_______.(2)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)[规律方法总结]【提高型题组】1．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是2.已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________.3.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0，2)，若a ⊥(b －c)，则实数x 的值为4.若向量a ＝(－2，2)与b ＝(1，y)的夹角为钝角，则y 的取值范围为________．5.已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________．[规律方法总结]【反馈型题组】1.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，则|a ＋b|＝________，|a －b|＝________.2.设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b|等于( )A ．4B ．5C ．3 5D ．4 53．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R)．则|a ＋b|的取值范围为________．4.平行四边形ABCD 中，AB →＝(1，0)，AC →＝(2，2)，则AD →·BD →等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．45.已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确 6．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求：(1)a·b. (2)(a ＋b)2. (3)(a ＋b)·(a －b)．7．已知a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，(1)ka －b 与a ＋b 共线； (2)ka －b 与a ＋b 的夹角为120°.。