高一数学《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》教案

合集下载

《单位圆与正弦函数》教学案

《单位圆与正弦函数》教学案一、教学目标1、知识与技能：(1)回忆锐角的正弦函数定义；(2)熟练运用锐角正弦函数的性质；(3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；(4)掌握任意角的正弦函数的定义；(5)理解有向线段的概念；(6)了解正弦函数图像的画法；(7)掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。

2、过程与方法：初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重、难点重点:1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。

2.正弦函数图像的画法。

难点:1.正弦函数值的几何表示。

2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图像。

三、学法与教法在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y ＝sinx 图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。

教法: 探究讨论法。

四、教学过程(一)、创设情境，揭示课题我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。

请同学们回忆(1)角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；(2)初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？学生思考回答以后，教师小结。

[教学设计]《正弦函数、余弦函数的图象和性质》教学设计方案

正弦函数、余弦函数的图象一、概述本节课是高中新教材《数学》第一册（下）§4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法。

为今后学习正弦型函数 y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。

二、教学目标分析根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下。

知识与能力：（1）会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；（2）掌握正弦函数图象的“五点作图法”；（3）理解正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性的意义；（4）会求简单函数的定义域、值域和单调区间；（5）培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等；（6）培养数形结合和化归转化的数学思想方法。

过程与方法：（1）借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，给人以美的享受。

（2）通过观察“正弦函数的几何作图法”课件的演示，让学生分组（四人一组）讨论、交流、总结，由小组成员代表小组发表意见（不同层次的组员回答，教师给予评价不同），说出正弦函数的主要性质和函数x y sin =，[]π2,0∈x 的图象中起着关键作用的点。

情感态度与价值观：（1）渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点；（2）培养学生勇于探索、勤于思考的精神；（3）培养学生合作学习和数学交流的能力；（4）使学生懂得数学是源于生活，服务于生活的数学特点。

三、学习者特征分析本节课教学的对象是高一的学生，在初中已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，对于函数y ＝sinx ，当x 取值时，y 的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y ＝sinx 的图象的真实面貌。

单位圆与正弦函数教案

单位圆与正弦函数教案一、教学目标1. 让学生理解单位圆的定义和性质，能够画出单位圆并标出重要的角度和点。

2. 让学生掌握正弦函数的定义和性质，能够用正弦函数表示单位圆上的角度对应的坐标值。

3. 培养学生运用单位圆和正弦函数解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 单位圆的定义和性质单位圆是半径为1的圆，中心在原点。

单位圆上的角度可以用弧度表示，弧度制的0度对应的角度是0 rad。

单位圆上的角度可以用角度表示，角度制的0度对应的角度是0°。

2. 正弦函数的定义和性质正弦函数是单位圆上角度对应的纵坐标值。

正弦函数的定义域是全体实数，值域是[-1,1]。

正弦函数是周期函数，周期是2π。

三、教学重点与难点1. 重点：单位圆的定义和性质，正弦函数的定义和性质。

2. 难点：正弦函数的图像和性质，如何运用单位圆和正弦函数解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解单位圆和正弦函数的定义和性质。

2. 采用直观演示法，通过图形和动画展示单位圆和正弦函数的图像。

3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。

五、教学准备1. 教学课件：包括单位圆和正弦函数的图像、性质等内容。

2. 练习题：包括选择题、填空题、解答题等类型，用于巩固所学知识。

3. 图形计算器或数学软件：用于绘制单位圆和正弦函数的图像。

六、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入单位圆和正弦函数的概念，例如“一个物体在一条绳子上做简谐振动，求物体在某一时刻的位移”。

2. 新课讲解：讲解单位圆的定义和性质，如何画出单位圆并标出重要的角度和点。

讲解正弦函数的定义和性质，如何用正弦函数表示单位圆上的角度对应的坐标值。

3. 案例分析：通过一些具体的案例，让学生运用单位圆和正弦函数解决问题，例如求解物体在简谐振动中的位移、速度、加速度等。

4. 课堂练习：让学生在课堂上完成一些练习题，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：总结本节课所学的内容，强调重点和难点，并给出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

05第一章单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

教学课题：单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质三维目标：1．知识与技能：能结合单位圆说出正、余弦函数的性质.2．过程与方法：培养学生利用单位圆分析、探究问题的能力.3．情感、态度与价值观：经历利用单位圆探究正、余弦函数性质的过程，感受研究函数性质的不同于利用函数图像的另一种思路与方法.教学重点：正弦函数、余弦函数的值域、最大（小）值和单调性，研究函数的思想方法.教学难点：研究函数性质的思想方法.教学课时：1课时教学过程：一．引入复习正、余弦函数的定义和三角函数线的概念.引入：在以前学习函数时，我们一般研究函数的哪些性质？（学生作答：定义域、值域、单调性等）今天，我们就利用单位圆来研究正弦函数和余弦函数的基本性质. （板书课题）二．新知师投影如下图像，引导学生跟随老师通过单位圆“旅行”，观察思考，总结正、余弦函数的基本性质，并填写如下表格（投影）.x y sin = x y cos = 定义域值域 =x 时取得最大值；=x 时取得最大值；值域为 . =x 时取得最大值； =x 时取得最大值；值域为 .周期性单调性当∈x 时单调递增；当∈x 时单调递减；当∈x 时单调递增；当∈x 时单调递减；例1 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.⑴x y 31cos =；⑵x y 2sin 2-=.例2 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=321sin πx y ，[]ππ2,2-∈x 的单调递增区间. 例3 解不等式：21sin -≤x . 例4 求下列函数的值域： ⑴3cos 2cos 22++=x x y ；⑵1cos 21cos 2+-=x x y . 三．小结让学生归纳总结正弦函数和余弦函数的性质.四．作业教材第19页练习第3、4题.。

高中数学新北师大版精品教案《5.2正弦函数的性质》

课堂教学设计
知当)(22
Z k k x ∈+-=ππ时，1min -=y
（3）周期性：最小正周期是π2
教师引导学生回答加深对知识的
理解
（4）单调性
对于周期函数，只要我们把握了它在一个周期内的情况，那么就可以推广至整个定义域内的单调性如图：
教师：当角x 由2
π
-
增加到
2
π
时，x sin 的值是单调增加
的，由-1增加
到1，当角x 由
2π增加到23π时，x sin 的值是减少的，由1减少到-1 因此，正弦函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ
上是增加的，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡23,2
ππ上是减少的再添加周期
通过观察几何画板演示图，学生归纳总结方便学生归纳；同时注意：具有相同单调性的
区间不能用并集符号
活动二：分小组实践交流，完成课堂
教师巡视，引小组交流，得出通过类比，加深
学生对正余弦
附件1 【课堂任务单一】单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质：
【课堂任务单二】
知识拓展：
1.求函数)2
1
lg(cos -=x y 的定义域
2.求函数R x x y ∈-=,2sin 3的最值，以及取得最值时的x 的取值范围附件 2 小组实践。

高一数学正弦函数余弦函数的图象与性质一教案

高一数学正弦函数余弦函数的图象与性质一教学目标：知识目标: 1.用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3.正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系；能力目标: 1.了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间[0，2π]上的简图。

情感目标: 使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辨证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。

教材分析:重点: 正弦函数、余弦函数的图象及画法。

难点: 1.利用正弦线画出函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图象；2.用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线；关键点: 充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象性质。

教学方法: 启发式教学法。

教学设备: 多媒体、投影仪。

教与学过程设计: （一）引入课题三角函数的图象究竟是怎样的呢？它的定义域、值域、奇偶性、单调性又是如何的呢？今天，我们就一起来学习这部分内容。

（二）复习旧知1．电脑演示正弦线、余弦线的定义，同时说明：当角度变化时，对应的线段MP 的长度就是这个角度的正弦值。

2．电脑演示作出点（3sin,3ππ），为作正弦函数图象作铺垫。

（三）新课一、正弦函数的图象下面我们一起来画正弦函数的图象。

（边操作边讲解）说明：1、这里将单位圆12等分，如果分得越细，则图象越精确，就像描点法作函数图象，点描得越多，图象越精确；2、描点；3、作图。

提问：我们作出了正弦函数在区间[)π2,0上的图象，但正弦函数对任意角均有值，即定义域为？（实数集R ）如何作在其他区间上的函数图象呢？由终边相同的角的三角函数值相等知：在区间[)ππ4,2上其函数图象与在[)π2,0上是一样的，在[)0,2π-上也一样，在其他区间上也是一样。

北师大版高中数学必修第二册《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》说课稿

北师大版高中数学必修第二册《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》说课稿一、教材背景简介本说课稿以北师大版高中数学必修第二册《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》为教材内容。

该教材是高中数学必修课程的一部分，属于数学知识的基础性内容。

本册内容主要介绍了单位圆的概念以及正弦函数和余弦函数的基本性质。

学习本册内容对于理解三角函数的概念和性质，以及后续高中数学的学习具有重要意义。

二、教学目标1.掌握单位圆的定义和相关术语；2.理解正弦函数和余弦函数的定义，并能够用单位圆解释其性质；3.熟练运用正弦函数和余弦函数的基本性质，包括周期性、奇偶性和函数值的范围等；4.能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题；5.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

三、教学重点和难点教学重点：1.单位圆的定义和相关术语2.正弦函数和余弦函数的基本性质教学难点：理解和运用正弦函数和余弦函数的性质四、教学内容及教学方法1. 单位圆的定义和相关术语（30分钟）1.1 单位圆的定义单位圆是以原点为中心，半径为1的圆，其方程为x^2 +y^2 = 1。

1.2 相关术语•圆心：坐标原点O•弧：圆上的一段弧线•弦：连接圆上两点的线段•弧度：弧所对的圆心角的度量单位教学方法：讲解结合示意图，帮助学生理解单位圆的定义和相关术语。

通过引导学生观察单位圆的性质，让学生发现并总结定义和相关术语。

2. 正弦函数和余弦函数的定义（30分钟）2.1 正弦函数在单位圆上，对于任意一个角θ，以角θ的顺时针旋转为正方向，与终边相交得到点P(x, y)。

则点P的纵坐标y称为角θ的正弦值，记作sinθ。

2.2 余弦函数在单位圆上，对于任意一个角θ，以角θ的顺时针旋转为正方向，与终边相交得到点P(x, y)。

则点P的横坐标x称为角θ的余弦值，记作cosθ。

教学方法：结合实际例子，以清晰明了的语言解释正弦函数和余弦函数的定义。

通过引导学生观察单位圆上各个角的正弦和余弦值，让学生直观感受到正弦函数和余弦函数的定义。

高中数学同步教学单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

π
π
2
2
单调性:由 y=sin x 在区间 2π- ,2π +
π
3π
2
2
2π + ,2π +
π
2π- ,2π +
2
π
2
∈Z)上是增加的.
(∈Z)上是增加的,在
(∈Z)上是减少的,知 y=-3sin x+1 在区间
π
3π
2
2
(∈Z)上是减少的,在区间 2π + ,2π +
(
题型一
的值域为 -1,
π 4π
6
,
3
3
2
3
2
, cos
4π
3
1
= − 2,
.
的值域为(− 3, 2].
反思研究正弦函数、余弦函数基本性质的方法:
先找到角x的终边,再画出终边与单位圆的交点,由交点的横、纵
坐标的取值范围可分别得到余弦函数、正弦函数的值域.由角的终
边逆时针旋转,横、纵坐标的增大或减小来判断正弦函数、余弦函
2
,
6
6 2
上是增加的,
上是减少的.
π
②y=cos x 在区间 - 2 ,0 上是增加的,在区间[0,π]上是减少的,
在区间 π,
3π
2
上是增加的.
π π
(2)①函数 y=sin x 在区间 - 3 , 2 上是增加的,
在区间
π
π 5π
2
,
6
上是减少的.
π
又 sin 2 = 1, sin - 3 = −
可以是(
)
π
A. 0, 2
B. 0, π

北师大版高中数学必修四1.4.3单位圆与正、余弦函数的基本性质教案

课题：单位圆与正、余弦函数的基本性质班级：高一姓名_ 组别：数学精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义》示范教学方案北师大新课标

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义1．理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．2．掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．3．通过学习任意角的正弦、余弦的定义，培养数学抽象素养、直观想象等素养．教学重点：任意角的正弦函数、余弦函数的定义．教学难点：任意角的正弦函数、余弦函数定义的理解．PPT课件．一、探索新知1．任意角的正弦、余弦函数的定义水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．相传，水车在汉灵帝时由毕岚造出雏形，三国时经孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1 700余年历史．如果将水车边缘看成一个圆．问题1如何确定水车边缘上的点呢？师生活动：教师引导，学生思考．设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义（板书）．问题2 在初中我们是如何定义锐角的正弦函数和余弦函数的？师生活动：学生阅读教材第13页，一、锐角的正弦函数和余弦函数部分，然后思考．设计意图：回顾初中学过的锐角三角函数定义，为任意角的三角函数定义的引入作铺垫．追问1若把直角三角形放在如下图所示的单位圆中，正弦函数值和余弦函数值又如何表示？师生活动：学生思考，举手回答．追问2如果改变点P 在终边上的位置，这两个比值会改变吗？师生活动：教师引导学生思考．设计意图：使学生明确对于锐角来说，点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，点P 的横坐标u 定义为角α的余弦函数．以及角α的正弦函数值、余弦函数值与α的终边上P 点的位置无关．追问3当α为任意角时，设(,)P u v ，则角α的正弦函数和余弦函数如何表示？★资源名称：【数学探究】三角函数的概念★使用说明：本资源为“三角函数的概念”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．M 'P '师生活动：学生阅读教材第13页，回答上述问题．设计意图：提升学生归纳概括的能力，强化对正弦函数、余弦函数概念的理解记忆．追问4若任意角α终边上除原点外的一点为(,)Q x y ，则角α的正弦函数值、余弦函数值如何计算？追问5请你说说正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号？师生活动：学生思考，举手回答，教师补充．设计意图：理解正弦函数与余弦函数的定义，明确正弦函数值与余弦函数值在各象限的符号．教师讲解：设角α终边上除原点外的一点(,)Q x y ，则sin ,cos y xr rαα==，其中22r x y =+．追问5对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？师生活动：学生思考，举手回答，教师补充．设计意图：进一步理解正弦函数、余弦函数的概念．预设答案：问题1 可以建立直角坐标系确定水车边缘上的点．问题2 如图．在直角OPM ∆中，sin ,cos a bc cαα==．追问1sin ,cos v u αα==．追问2因为OMPOM P ''∆∆，所以sin MP M P OP OP α''=='，cos OM OM OP OP α'=='，所以角α的正弦函数值、余弦函数值与α的终边上P 点的位置无关．追问3sin ,cos v u αα==．追问4根据三角形相似，可得2222sin x y x y αα==++．追问5由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．练习：P 15练习1，2，3 1．31,22． 2．10310,1010--． 3．(1)正；(2)负；(3)负；(4)正．追问5二、初步应用例1在单位圆中，=4πα-．(1)画出角α；(2)求角α正弦函数值、余弦函数值．师生活动：学生先独立完成，再与教材答案对照．追问：设角α的始边、终边与单位圆的交点分别为A ，P ，P 关于y 轴的对称点为Q ，如何求AOQ ∠的正弦函数值、余弦函数值．师生活动：学生独立完成，教师点评：利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P 的坐标(u ，v )，由三角函数的定义得sin α＝v ，cos α＝u ．设计意图：让学生熟悉在单位圆中定义三角函数的方法．例2(1)判断sin 2·cos 3sin 4·cos 6的符号；(2)若sin α>0，cos α<0，判断角α所在象限．师生活动：学生先思考，做出判断，教师板书解题过程．设计意图：考查学生对正弦函数、余弦函数定义、在各象限符号的掌握情况．预设答案例1参考教材第14页的解析．例1追问∵点P 与点Q 关于y 轴对称， ∴点Q 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．AQ根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin ∠AOQ ＝． cos ∠AOQ ＝－12．例2(1)∵2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，3∈⎝⎛⎭⎫π2，π，4∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，6∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π． ∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，∴sin 2·cos 3sin 4·cos 6>0．(2)∵sin α>0，∴α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上． ∵cos α<0，∴α的终边在第二、三象限或x 轴的负半轴上．故当sin α>0且cos α<0时，α在第二象限．【板书设计】四、归纳小结，布置作业问题5：通过本节课的学习，你知道正弦函数和余弦函数的定义吗？师生活动：学生自主总结，展示交流．老师适当补充．（1）利用单位圆是如何定义正弦函数和余弦函数的？（2）已知角α的终边上的一点，如何求角α的正弦函数值和余弦函数值？（3）你认为正余弦函数值符号的确定，主要是根据什么？预设答案：（1）点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，记作v ＝sin_α，横坐标u 定义为角α的余弦函数，记作u ＝cos_α；（2）利用sin ,cos y xr rαα==求解；（3）正、余弦函数符号的确定主要是根据正弦、余弦函数的定义．设计意图：通过梳理本节课的内容，提升数学抽象的素养．布置作业：教科书P 14练习4，5，6，7，P 25习题A 组1，3，7，8B 组的4，5 四、目标检测设计1．点A (x ，y )是－300°角终边与单位圆的交点，则yx的值为( )A ．3B ．－3C ．33 D ．－33设计意图：检查正（余）函数的定义的应用．2．已知角α的终边上一点P (1，－2)，则sin α＋cos α等于( ) A ．－1 B ．55 C ．－55D ．－ 5 设计意图：检查正（余）函数的定义的应用．3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝____．设计意图：检查正（余）函数的定义的应用． 4．已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin α，cos α的值；(2)求α的终边与单位圆交点Q 的坐标．设计意图：检查正（余）函数的定义的应用．参考答案：1．A x ＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)＝cos60°＝12．y ＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin60°＝32，∴yx＝3． 2．C ∵x ＝1，y ＝－2，∴r ＝5，∴sin α＝y r ＝－255，cos α＝x r ＝55．∴sin α＋cos α＝－255＋55＝－55．3．根据题意sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－255．又∵y <0，∴y ＝－8(符合题意)，y ＝8(舍去)．综上知y ＝－8． 4．【解析】(1)r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |．当a >0时，r ＝5a ，角α在第二象限． ∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45．当a <0时，r ＝－5a ，角α在第四象限，∴sin α＝－35，cos α＝45．(2)由正弦、余弦函数的定义知，α的终边与单位圆交点的坐标为Q (cos α，sin α)． ∴当a >0时，Q (－45，35)，当a <0时，Q (45，－35)．。

【教学设计】《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》(北师大)

《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》教材通过单位圆研究了正弦函数的基本性质，包括定义域、最值、周期、单调性，分析得出结论。

之后通过类比，引导学生研究余弦函数的对应性质。

在此过程中，让学生体会数形结合的好处，进而锻炼学生作图、识图的能力，以便更熟练地掌握三角函数的性质。

【知识与能力目标】了解正、余弦函数的基本性质。

【过程与方法目标】借助单位圆推导正、余弦函数的基本性质。

【情感态度价值观目标】通过本节课的学习，使学生能够看图说性质：识图、知图、说图。

【教学重点】了解正、余弦函数的基本性质。

【教学难点】借助单位圆推导正、余弦函数的基本性质。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习导入部分终边相同角的三角函数值的关系：sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )二、探究新知：阅读教材P 18～P 19“思考交流”以上部分，完成下列问题。

从单位圆看出正弦函数y ＝sin x 有以下性质(1)定义域是R ；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；(3)它是周期函数，其周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性为：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是单调递增。

同样，从单位圆也可看出余弦函数y ＝cos x 的性质。

(1)定义域是R ；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；(3)它是周期函数，其周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性为：在上是单调递减；在上是单调递增。

三、例题解析求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x 的值。

(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π； (1)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3。

【精彩点拨】画出单位圆，借助图形求解。

【自主解答】 (1)由图①可知，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的。

学高中数学三角函数单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式教师用书教案北师大版必修

４.３单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质４.４单位圆的对称性与诱导公式学习目标核心素养１．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．２．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．（难点）３．掌握诱导公式及其应用．（重点）１．通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式，提升逻辑推理素养．２．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养．１．正弦函数、余弦函数的基本性质从单位圆看出正弦函数y＝sin x有以下性质（１）定义域是R；（２）最大值是１，最小值是—１，值域是[—１，１]；（３）它是周期函数，其周期是２kπ（k∈Z）；（４）在[0，２π]上的单调性为：在错误!上是单调递增；在错误!上是单调递减；在错误!上是单调递增．同样，从单位圆也可看出余弦函数y＝cos x的性质．思考１：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？[提示] 设任意角x的终边与单位圆交于点P（cos x，sin x），当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤１，纵坐标是sin x，|sin x|≤１，所以正弦函数、余弦函数的最大值为１，最小值为—１．２．诱导公式的推导（１）诱导公式（—α，π±α）的推导１在直角坐标系中α与—α角的终边关于x轴对称；α与π＋α的终边关于原点对称；α与π—α的终边关于y轴对称．２公式sin （—α）＝—sin α，cos （—α）＝cos α；sin （π＋α）＝—sin α，cos （π＋α）＝—cos α；sin （π—α）＝sin α，cos （π—α）＝—cos α．（２）诱导公式错误!的推导１错误!—α的终边与α的终边关于直线y＝x对称．２公式sin 错误!＝cos α，cos 错误!＝sin α用—α代替α并用前面公式sin 错误!＝cos α，cos 错误!＝—sin α思考２：设α为任意角，则２kπ＋α，π＋α，—α，２kπ—α，π—α的终边与α的终边有怎样的对应关系？[提示] 它们的对应关系如表：相关角终边之间的对应关系２kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称—α与α关于x轴对称２π—α与α关于x轴对称π—α与α关于y轴对称１．当α∈R时，下列各式恒成立的是（）Ａ．sin 错误!＝—cos αＢ．sin （π—α）＝—sin αＣ．cos （２１0°＋α）＝cos （３0°＋α）Ｄ．cos （—α—β）＝cos （α＋β）D[由诱导公式知D正确．]２．cos ３00°＋sin ４５0°的值是（）Ａ．—１＋错误!Ｂ．错误!Ｃ．—１—错误!Ｄ．错误!D[原式＝cos （３60°—60°）＋sin （３60°＋90°）＝cos （—60°）＋sin 90°＝cos 60°＋１＝错误!.]３．cos 错误!的值是（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!C．错误!Ｄ．—错误!D[cos 错误!＝cos 错误!＝—cos 错误!＝—错误!.]４．y＝sin x，x∈错误!的单调增区间为________，单调减区间为________．错误!错误![在单位圆中，当x由—π到错误!时，sin x由0减小到—１，再由—１增大到错误!.所以它的单调增区间为错误!，单调减区间为错误!.]正弦、余弦函数的性质【例１】求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．（１）y＝sin x，x∈错误!；（２）y＝cos x，x∈错误!.[解] （１）由图１可知，y＝sin x在错误!上是增加的，在错误!上是减少的．且当x＝错误!时，y ＝sin x取最大值１，当x＝—错误!时，y＝sin x取最小值—错误!.１（２）由图２可知，y＝cos x在[—π，0]上是增加的，在错误!上是减少的．且当x＝—π时取最小值—１，当x＝0时，取最大值１．２利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P（cos x，sin x）；第三步：研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律；第四步：得出结论．１．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值．（１）y＝—sin x，x∈错误!；（２）y＝cos x，x∈[—π，π].[解] （１）y＝—sin x，x∈错误!的单调递减区间为错误!，单调递增区间为错误!.当x＝错误!时，y min＝—１；当x＝π时，y max＝0，故函数y＝—sin x，x∈错误!的值域为错误!.（２）y＝cos x，x∈[—π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[—π，0].当x＝0时，y max＝１；当x＝—π或π时，y min＝—１，故函数y＝cos x，x∈[—π，π]的值域为[—１，１].给角求值【例２】求下列三角函数式的值：（１）sin ４9５°·cos （—67５°）；（２）sin 错误!＋cos 错误!.[解] （１）sin ４9５°·cos （—67５°）＝sin （１３５°＋３60°）·cos 67５°＝sin １３５°·cos ３１５°＝sin （１80°—４５°）·cos （３60°—４５°）＝sin ４５°·cos ４５°＝错误!×错误!＝错误!.（２）sin 错误!＋cos 错误!＝—sin 错误!＋cos 错误!＝—sin 错误!＋cos 错误!＝—sin 错误!＋cos 错误!＝—sin 错误!—cos 错误!＝sin 错误!—cos 错误!＝错误!—错误!＝0．利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．２．求下列三角函数值．（１）sin 错误!·cos错误!；（２）sin 错误!.[解] （１）sin 错误!·cos 错误!＝sin 错误!·cos 错误!＝—sin 错误!·cos 错误!＝—错误!·错误!＝—错误!.（２）sin 错误!＝sin 错误!＝sin 错误!＝sin 错误!＝错误!.三角函数式的化简（１）错误!；（２）错误!.[解] （１）原式＝错误!＝错误!＝cos α.（２）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—１．三角函数的化简，尽量化为２kπ±α的形式，否则：（１）形如kπ±α时，应对k进行奇数和偶数两种情形讨论；（２）形如错误!π±α时，应分k＝３n，k＝３n＋１，k＝３n＋２（n∈Z）三种情形讨论．３．化简下列各式．（１）错误!；（２）错误!.[解] （１）原式＝错误!＝错误!＝１．（２）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.给值求值问题[探究问题]１．有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么？[提示] 对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．２．当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题？[提示] 当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系．【例４】（１）已知sin （π＋α）＝错误!，且α是第四象限角，则cos （α—２π）的值是（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!C．—错误!Ｄ．错误!（２）已知cos 错误!＝错误!，求cos 错误!—sin２错误!的值．[思路探究] （１）直接利用诱导公式求解，注意角α所在的象限．（２）利用复合角之间的关系及诱导公式求解．（１）B[因为sin（π＋α）＝错误!，且sin （π＋α）＝—sin α，所以sin α＝—错误!，又因为α是第四象限角，所以cos （α—２π）＝cos α＝错误!＝错误!＝错误!.]（２）解：因为cos 错误!＝cos 错误!＝—cos 错误!＝—错误!，sin２错误!＝sin２错误!＝１—cos２错误!＝１—错误!错误!＝错误!，所以cos错误!—sin２错误!＝—错误!—错误!＝—错误!.１．（变条件，变结论）将例（２）中的“—”改为“＋”，“＋”改为“—”，其他不变，应如何解答？[解] 由题意知cos错误!＝错误!，求cos 错误!＋sin２错误!的值．因为cos错误!＝cos 错误!＝—cos 错误!＝—错误!，sin２错误!＝１—cos２错误!＝１—错误!错误!＝错误!，所以cos错误!＋sin２错误!＝—错误!＋错误!＝错误!.２．（变结论）例（２）中的条件不变，求cos错误!—sin２错误!的值．[解] cos错误!—sin２错误!＝cos错误!—sin２错误!＝—cos错误!—sin２错误!＝—错误!—错误!＝—错误!.解决条件求值问题的策略（１）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（２）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．１．诱导公式的选择方法：先将—α化为正角，再用２kπ＋α（k∈Z）把角化为[0，２π]内的角，再用π±α，错误!＋α，２π—α化为锐角的三角函数，还可继续用错误!—α化为错误!内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．２．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形．１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）y＝sin x在[—π，π]上是增加的．（）（２）y＝cos x在[0，π]上是递减的．（）（３）sin （２π—α）＝sin α. （）（４）诱导公式中的角α只能是锐角．（）[答案] （１）×（２）√（３）×（４）×２．已知sin （θ＋π）＜0，cos （θ—π）＞0，则θ所在象限是（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限B[由sin （θ＋π）＝—sin θ＜0⇒sin θ＞0，cos （θ—π）＝—cos θ＞0⇒cos θ＜0，由错误!可知θ是第二象限角．]３．已知cos （π＋α）＝—错误!，则sin 错误!＝________．错误![cos （π＋α）＝—cos α＝—错误!，∴cos α＝错误!.又sin 错误!＝cos α＝错误!.]４．计算：cos 错误!·sin错误!.[解] 原式＝cos 错误!·sin 错误!＝cos 错误!·sin 错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!.。

单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-

2
A.[ , ]
B.[k ,k ],k Z
33
33
C.[2k ,2k ],k Z D.R 33
（2）若x是三角形的最小角，则y=sin x的值域是
_______.
1 （1）【解析】选C.因为cos x- 1≥0,所以cos x≥ ,
所以
2k
x
2k
2
k Z,
2
3
3
所以函数
的定义域为
(2)∵1－4cos2x>0， ∴cos2x<41， ∴－12<cosx<21. 如图(2)所示，x∈(2kπ＋π3，2kπ＋23π)∪(2kπ＋43π，2kπ＋53π)(k∈ Z)，即 x∈(kπ＋π3，kπ＋23π)(k∈Z)． ∴y＝lg(1－4cos2x)的定义域为(kπ＋π3，kπ＋23π)(k∈Z)．
（3）周期性正弦函数、余弦函数是周期函数，它们的周期都是2kπ(k∈Z,k≠0). 最小正周期是2π
(4)单调性
观察右图，在单位圆中，设任意角x的终边与单位圆交于点
P(cos x,sin x)，
因此，正弦函数在区间
间
[
,
3
上是减少的.
]
22
[ , ] 上是增加的，在区 22
思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？
MO
x
(1,0)
这说明，正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]
当x - π 2kπ（k Z）时，正弦函数取得最小值 1. 2
当x π 2kπ（k Z）时，正弦函数y=sin x取得最大值1； 2
当x 2kπ（kZ）时，余弦函数y=cos x取得最大值1；
当x (2k 1)π（k Z）时，正弦函数取得最小值 1.

1.4.2单位圆与任意角的正弦函数余弦函数和正切函数的基本性质教案-高一上学期数学北师大版

单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数基本性质一、教学目标1、利用单位圆判断任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质；2、利用单位圆判断定区间内正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性；3、利用单位圆求解正弦函数、余弦函数和正切函数在定区间内的最值；二、教学重难点重点：正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质难点：定区间内正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性与最值问题三、教学设计1、情景导入如图，设任意角α的终边与单位圆交于P(u,v)，回答下列问题：（1）写出任意角α的正弦函数，余弦函数和正切函数的解析式？对应的定义域是什么？（2）根据单位圆的性质，当自变量角α发生变化时，其终边与单位圆的交点P(u,v)的横坐标u与纵坐标v有怎样的变化？你能得出正弦函数、余弦函数和正切函数的最大值最小值吗？（3）与角α终边相同的角怎样表示？根据正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，你能发现终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值和正切函数值有怎样的关系吗？（4）根据（3）的结论，你能判断出正弦函数、余弦函数和正切函数时周期函数吗？最小正周期分别是多少？（设计意图：带领学生在单位圆中分析相关的性质和取值，方便总结）2、新知概念2、1正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质定义域：正弦函数余弦函数的定义域均为：实数集R+kπ,k∈Z}（结合轴线角的集合表示去与正切定义处理）正切函数的定义域：{α|α≠π2最值和值域：根据单位圆中的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义得到+2kπ,k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最大值，最大值为1（终边相同的角）（1）当α=π2+2kπ,k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最小值，最小值为−1（终边相同的角）当α=−π2正弦函数v=sinα的值域为[−1,1]（2）当α=2kπ,k∈Z时，余弦函数u=cosα取得最大值，最大值为1（终边相同的角）当α=π+2kπ,k∈Z时，正弦函数u=cosα取得最小值，最小值为−1（终边相同的角）余弦函数u =cosα的值域为[−1,1]（3）正切函数：根据其定义可以发现其没有最大值和最小值，值域为(−∞,+∞)周期性：正弦函数和余弦函数主要从终边相同的角去处理，正切函数结合定义处理（1）终边相同的角正弦函数值相等：sin (α+2kπ)=sinα，正弦函数的最小正周期为2π （2）终边相同的角余弦函数值相等：cos (α+2kπ)=cosα，余弦函数的最小正周期为2π （3）正切函数值相等的情况：tan (α+kπ)=tanα，正切函数的最小正周期为π（从关于原点对称的角度考虑）单调性：正弦函数和余弦函数的单调性结合角的终边余单位圆交点的坐标来观察，正切函数的单调性从定义来观察，一个比值关系。

新教材高中数学第1章单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质学案含解析北师大版必修第二册

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4．2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习任务核心素养1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．2．掌握任意角的正弦、余弦函数定义．(重点) 3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．(重点)1．通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养．在初中，由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义．如何定义一般情形下的三角函数的定义呢？知识点1 任意角的正弦、余弦函数(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆O 交于点P ()u ，v .正弦函数sin α余弦函数cos α定义点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数值，记作v ＝sin_α点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数值，记作u ＝cos_α在各象限的符号1.已知Q ()x ，y 是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？[提示] sin α＝y x 2＋y 2，cos α＝xx 2＋y 2. 1.点P (sin 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限．三 [∵2 020°＝5×360°＋220°， ∴2 020°是第三象限角， ∴sin 2 020°<0，cos 2 020°＜0， ∴点P 位于第三象限．]知识点2 正弦函数、余弦函数的基本性质性质正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x定义域 R值域 []－1，1最大值与最小值当x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－1当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝()2k ＋1π，k ∈Z 时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π单调性在⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2， k ∈Z 上单调递增；在⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， k ∈Z 上单调递减在[]2k π－π，2k π， k ∈Z 上单调递增的；在[]2k π，2k π＋π， k ∈Z 上单调递减2.为什么y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数？[提示] 因为∀x ∈R ，x ＋2π与x 终边相同，所以sin ()x ＋2π＝sin x ，根据周期函数的定义可知，y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数．2.已知sin x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6，则m 的取值范围是________．－74≤m ≤－54 [∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6， ∴结合单位圆知sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，即－12 ≤2m ＋3≤ 12.∴－74 ≤m ≤－54.]类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (教材北师版P 15练习1改编)已知角α的终边过点P ()－3a ，4a ()a ≠0，求2sinα＋cos α的值．[解] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法1.在角α的终边上任选一点P (x ，y )，求出点P 到原点的距离为r ()r >0，则sin α＝y r ，cos α＝xr．2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值． [解] 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋()3a 2＝2|a |(a ≠0).若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.类型2 正弦、余弦函数值符号的判断【例2】 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4.(1)D [∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D.] (2)[解] ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin 3＞0，cos 4＜0，∴sin 3·cos 4<0.,对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[跟进训练]2．若三角形的两内角A ，B 满足sin A cos B <0，则此三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都有可能B [由题意知，A ，B ∈(0，π)， ∴sin A ＞0，cos B ＜0， ∴B 为钝角．故选B.]类型3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质【例3】 (教材北师版P 18例3改编)已知函数f (x )＝2sin x －1. 求(1)函数f (x )的定义域； (2)函数f (x )的值域； (3)函数f (x )的单调区间．若研究与三角函数有关的不等式问题，我们通常考虑数形结合思想求解．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则sin x ≥ 12.如图所示，画出单位圆，作直线y ＝12，交单位圆于P 1，P 2两点，在[0，2π)范围内，sin π6＝sin 5π6＝12，则点P 1，P 2分别在5π6，π6的终边上，又sin x ≥ 12，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin x ≥ 12的角α的终边所在的范围，即当x ∈[0，2π)时，π6 ≤x ≤ 5π6，故函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z (2)由12≤sin x ≤1，得f (x )的值域为[]0，1.(3)函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋π2 ()k ∈Z ，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋5π6()k ∈Z .若将例3函数的解析式改为“f (x )＝－2cos x －1”试求函数f (x )的定义域．[解] 若使函数f (x )有意义，则－2cos x －1≥0，即cos x ≤－12.作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用单位圆解三角不等式的一般步骤第一步：找出不等式对应方程的根；第二步：找出满足不等式的角的终边所在区域；第三步：结合单位圆写出不等式的解集．[跟进训练]3．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个取值区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π] A [如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及直线y ＝x ，要使sin x ≤cosx ，由三角函数线的定义知角x 的终边应落在直线y ＝x 上或者该直线的下方，故选A.]1．设已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32 B ．－12 C ．32 D ．12B [由于x ＝－32，y ＝－12，由正弦函数的定义知，sin α＝y ＝－12，故选B.] 2．当α为第二象限角时，||sin αsin α－cos α||cos α的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 C [∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴||sin αsin α－cos α||cos α＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.] 3．若sin α≥32，则角α的取值范围是___________________． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z [如图作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .] 4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P ()4，y 是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．－8 [∵sin θ＝y 42＋y2＝－255， ∴y <0，且y 2＝64，∴y ＝－8.]5．u ＝12cos α，α∈[－π3，2π3]的单调递增区间是________，单调递减区间是________．[－π3，0] [0，2π3] [由图可知u ＝12cos α，在[－π3，0]上是增函数，在[0，2π3]上是减函数．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.借助单位圆，思考正弦函数，余弦函数的定义域、值域、周期、单调区间各是什么？ [提示] 正弦、余弦函数的定义域、值域、周期均相同，分别是R 、[－1，1]、2π.正弦函数的单调增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )，余弦函数的增区间为[2k π－π，2k π](k ∈Z )，减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z ).2.如何判断正弦函数值和余弦函数值在各象限内的符号？ [提示] (1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号． (2)余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．。

第一章§442单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质教学设计高中数学新(2022学年)

【基础铺垫】
1．正弦函数、余弦函数的定义域是R.
2．当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，正弦函数y ＝sin x 取得最大值1；当x ＝2k π-π2
(k ∈Z)时，正弦函数y ＝sin x 取得最小值-1．
当x ＝2k π(k ∈Z)时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1；当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z)
时，余弦函数y ＝cos x 取得最小值-1
3．正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 是周期函数，它们的周期都是
2k π(k ∈Z)，最小正周期为2π.
4．正弦函数在区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)上是增函数，在区间⎣
⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)上是减函数． 5．正弦函数、余弦函数值的符号
【例1】求函数v=cosα在区间211[]
36ππ，上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.
【解】画出图，可知：
当6=
11απ时，函数v=cosα取得最大值，最大值为
113cos =62π 当3=
2απ时，函数v=cosα取得最小值，最小值为2cos =13-π.
【例2】
（1）α是第二象限角，判断sin αcos α的正负；
（2）若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角．
解（1）∵α是第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin αcos α＜0.
（2）由sin αcos α＜0知有两种可能：
⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＞0，cos α<0或⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＜0，cos α＞0. 故α是第二象限角或第四象限角．
【课堂小结】。