高二数学三角函数化简及证明测试题
高中数学三角函数的恒等变换及化简求值精选题
三角函数的恒等变换及化简求值精选题一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．16252．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．34．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．455．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3- 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45-B ．35-C ．3-D ．3-7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15二．填空题（共15小题）9．设当x θ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=．11．1s in 10c o s 10-=︒︒．12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=．13．4c o s 50ta n 40︒-︒=．14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒．15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=．16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=．17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=．18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为 ．19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m =︒，若24m n +=，si n 63=︒．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为 ．三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．三角函数的恒等变换及化简求值精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(c o s sin )αα+，再将“弦”化“切”即可得到答案． 【解答】解：3ta n 4α=，22222314c o s 4s in c o s 14ta n 644c o s 2s in 29s in c o s ta n 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++．故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 2．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-【分析】法1︒：利用诱导公式化s in 2c o s (2)2παα=-，再利用二倍角的余弦可得答案．法︒：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得s in c o s αα+的值，再平方，即得s in2α的值【解答】解：法31:c o s ()45πα︒-=，297s in 2c o s (2)c o s 2()2c o s ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:c o s ()in c o s )425πααα︒-=+=，∴19(1s in 2)225α+=，97s in 2212525α∴=⨯-=-，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】由题意可得a b ⋅=，即解得ta n 2θ=，再由222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ+++==++，运算求得结果．【解答】解：由题意可得sin 2co s 0ab θθ⋅=-=，即ta n 2θ=．222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s 1c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ++∴+===++，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 4．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．45【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将ta n θ的值代入计算即可求出值．【解答】解：1ta n 3θ=，22224c o s 22c o s 11111519ta n θθθ∴=-=-=-=++．故选：D ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3-【分析】先根据已知条件得到ta n α，再化简s in c o s s in c o s αααα-+代入即可得到结果．【解答】解：因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1ta n 2α=-，则11s in c o s ta n 1231s in c o s ta n 112αααααα----===-++-+，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查同角三角函数的基本关系式，考查任意角的三角函数的定义，属于中档题． 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45- B ．35-C．3-D．3-【分析】由已知可得2123x x π=-，结合12x x <求出1x 的范围，再由12112s i n ()s i n (2)c o s (2)36x xx x ππ-=-=--求解即可． 【解答】解：因为0x π<<，∴112(,)666x πππ-∈-，又因为方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，∴1223x x π+=，∴2123x x π=-，∴12112s in ()s in (2)c o s (2)36x x x x ππ-=-=--，因为12212,3x x x x π<=-，103x π∴<<，∴12(,)662x πππ-∈-，∴由113()s in (2)65f x x π=-=，得14c o s (2)65x π-=，∴124s in ()5x x -=-，故选：A ．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题． 7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由已知求得s in c o s θθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解2c o s ()4πθ+的值．【解答】解：由1ta n 4ta n θθ+=，得s in c o s 4c o s s in θθθθ+=，即224s in c o s s in c o s θθθθ+=，1s in c o s 4θθ∴=，∴21c o s (2)1s in 22c o s ()422πθπθθ++-+==11212s in c o s 14224θθ-⨯-===．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．二．填空题（共15小题） 9．设当xθ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=2+【分析】()f x 解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时函数()f x 取得最大值，得到θ的取值，后代入正切公式中计算求值．【解答】解：()sin o s 2sin ()3f x x x x π=+=+；当xθ=时，函数()f x 取得最大值2,32k k zππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，kz∈；∴1ta n ()ta n (2)ta n ()2464463k πππππθπ++=++=+==+故答案为：2+．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=1 ．【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．【解答】解：原式2s in 40s in 80c o s 10s in 50c o s 401c o s 10c o s 10c o s 10c o s 10︒︒︒=︒⋅=︒===︒︒︒︒故答案为：1【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 11．1s in 10c o s 10-=︒︒4 ．【分析】s in 10c o s 10得结果．【解答】解：12(c o s 10in 10)1221s in 10c o s 10s in 10c o s 10s in 202︒-︒-==︒︒︒︒︒4s in 20420S in ==故答案为：4【点评】本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简． 12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=【分析】由题意可得2c o s 140s in 10c o s 10m ︒-︒=︒，再利用三角恒等变换求得它的值． 【解答】解：由题意可得2c o s 140s in 102c o s 40s in 102c o s (3010)s in 10c o s 10c o s 10c o s 10m ︒-︒-︒-︒-︒+︒-︒===︒︒︒2c o s 10s in 10s in 102c o s 10-︒+︒-︒==︒故答案为：【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题． 13．4c o s 50ta n 40︒-︒=【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【解答】解：4c o s 50ta n 404s in 40ta n 40︒-︒=︒-︒4s in 40c o s 40s in 40c o s 40︒︒-︒=︒2s in 80s in (3010)c o s 40︒-︒+︒=︒12c o s 10c o s 10in 1022c o s 40︒-︒-︒=︒3c o s 10in 1022c o s 40︒-︒=︒==．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式12o s 20s in 20)s in 202c o s (3020)s in 2022c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒-︒-︒==︒︒o s 20s in 20s in 20o s 20c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒===︒︒【点评】本题主要考查三角函数值的化简，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键． 15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=25．【分析】由1ta n 31ta n αα+=-，我们可计算出ta n α的值，由于2sin α2c o s +α1=，所以将所求的代收式变形为222222s in c o s s in s in c o s s in c o s ααααααα-+++，然后化弦为切，代入求值．【解答】解：1ta n 31ta n αα+=-，1ta n 2α∴=．22222222222112()212s in c o s 2ta n 1222s in 2s in c o s 1115()12s in s in c o s ta n ta n s in c o s ta n αααααααααααααα⨯-⨯+-++-++∴-+====+++． 故答案是：25．【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数间的基本关系，解题的关键是将角的弦化切，属于中档题． 16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=13．【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】解：1sin ()43πα-=，∴1c o s ()s in (())s in ()42443a ππππαα+=--=-=．故答案为：13．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=23-．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：2(c o s s in )in 2θθθ+=，平方后整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，进而解得s in 2θ的值． 【解答】解：o s 22c o s()4θθπθ=+，∴2(c o s s in )in 22θθθ=+=，∴平方可得：24(1sin 2)3sin 2θθ+=，整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，∴解得：2s in 23θ=-，或2（舍去）．故答案为：23-．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为310-．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：由于ta n 3α=，所以22ta n 3s in 21ta n 5ααα==+，1ta n 4ta n ()241ta n 2πααα++===---所以3s in 235210ta n ()4απα==--+．故答案为：310-【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=5．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解s in α、c o s α的值，然后展开两角差的余弦求解．【解答】解：由ta n 3α=，得s in 3c o s αα=，即s in 3c o s αα=．又22sin c o s 1αα+=，且(0,)2πα∈，解得：s in 10α=，c o s 10α=．∴c o s ()c o s c o s s in s in4441021025πππααα-=+=+=．故答案为：5．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m=︒，若24m n +=，则s i n 63m +=︒【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示n ，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可． 【解答】解：2s in 18m =︒，∴由24m n +=，得222444sin 184co s 18nm =-=-︒=︒，则2s in 182c o s 18in (4518)in 63s in 63s in 63s in 63s in 63m +︒+︒︒+︒︒====︒︒︒︒故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=12-．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求24co s 18b =︒，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案． 【解答】解：2s in 18a =︒，若24a b +=，2222444sin 184(1sin 18)4c o s 18b a∴=-=-︒=-︒=︒，∴22c o s 54sin 3614sin 18c o s 182sin 362-︒-︒====-︒︒︒，故答案为：12-．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求()in (2)4f x x π=-+[,]2x ππ∈，可得：32[44x ππ-∈，7]4π，进而利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：2()tan 60sin 22f x x x=︒+1c o s 2in 22xx -=+2o s 2x x=+-in (2)4x π=-+又[,]2x ππ∈，可得：32[44xππ-∈，7]4π，s in (2)[14x π∴-∈-，2，可得()in (2)4f x x π=-+-，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()06f π=求出ω的值；（Ⅱ）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，求出[4x π∈-，3]4π时()g x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-s in c o sc o s s ins in ()662x x x πππωωω=---3in c o s 22x xωω=-in ()3x πω=-，又()in ()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z∈，解得62k ω=+，又03ω<<，2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()in (2)3f x x π=-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数in ()3y x π=-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到in ()43yx ππ=+-的图象，∴函数()in ()12yg x x π==-；当[4x π∈-，3]4π时，[123xππ-∈-，2]3π，s in ()[122x π∴-∈-，1]，∴当4xπ=-时，()g x取得最小值是322-=-．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得s in α，c o s α的值，再由倍角公式得c o s 2α的值； （2）由（1）求得t a n 2α，再由c o s ()5αβ+=-求得t a n (αβ+，利用tan ()tan [2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由22431s in c o s s in c o s ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4s in 53c o s 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227c o s 225c o s s in ααα∴=-=-；（2）由（1）得，24s in 22s in c o s 25ααα==，则s in 224ta n 2c o s 27ααα==-．α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，s in ()5αβ∴+==．则s in ()ta n ()2c o s ()αβαβαβ++==-+．ta n 2ta n ()2ta n ()ta n [2()]1ta n 2ta n ()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：2()3f π的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得()f x 的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数22()s inc o s in f x x x x =--7c o s in 2c o s 22s in (2)6x x x x π=-=+（Ⅰ）2275()2s in (2)2s in 23362f ππππ=⨯+==，（Ⅱ）2ω=，故Tπ=，即()f x 的最小正周期为π，由72[262xk πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z∈得：5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，kZ∈，故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，kZ∈．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档。
三角函数化简题
日期：2009年 月 日星期,能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．用．1常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦,异名化同名,异角化同角；③ 三角公式的逆用等;2化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：1给角求值：一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题；2给值求值：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论；3给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角;3、三角等式的证明：1三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”；2三角条件等式的证题,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明;．三角函数的求值： ,化非特殊角为特殊角； 2．正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 1．三角函数式的化简： 三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明： 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常1、已知θ是第三象限角,且4459sin cos θθ+=,那么2sin θ等于 AA 、3B 、3-C 、23D 、23-2、函数222y sin x x =--+的最小正周期 BA 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 DA 、1B 、2C 、－1D 、－24、已知46sin (4)4m m m αα-=≠-,则实数m 的取值范围是＿＿－1,73＿＿＿;5、设10,sin cos 2απαα<<+=,则cos2α＝＿＿4-＿＿＿;例1．已知3sin 5m m θ-=+,42cos 5m m θ-=+2πθπ<<,则tan θ= C ()A 423m m -- ()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或512-略解：由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =舍,∴5sin 13θ=,∴5tan 12θ=-．例2．已知1cos(75)3α+=,α是第三象限角,求cos(15)sin(15)αα-+-的值．解：∵α是第三象限角,∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+k Z ∈,∵1cos(75)3α+=,∴75α+是第四象限角,∴sin(75)α+==,∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3αααα+=---=+-+=-． 例3．已知2sin sin 1θθ+=,求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．解：由题意,22sin 1sin cos θθθ=-=,∴原式223sin sin 2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=．例4．已知8cos(2)5cos 0αββ++=,求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++,()βαβα=+-, ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=,得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+,若cos()cos 0αβα+≠,则13tan()tan 3αβα+⋅=,若cos()cos 0αβα+=,tan()tan αβα+⋅无意义．说明：角的和、差、倍、半具有相对性,如()()βαβαβαα=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()αβαβα+=++等,解题过程中应充分利用这种变形．例5．已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈,求：1sin cos1cot 1tan θθθθ+--的值；2m 的值；3方程的两根及此时θ的值． 解：1由根与系数的关系,得sin cos sincos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩, ∴原式2222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---．2由①平方得：12sincos θθ+⋅=sin cos θθ⋅=即2m =,故m =．3当221)0x x -=,解得1212x x ==, ① ②∴sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∵(0,2)x π∈,∴3πθ=或6π．例1．化简：23tan123sin12(4cos 122)--； 2(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅；(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<． 解：1原式213sin12cos12)3sin123cos12222sin12cos12(2cos 121)sin 24cos24--==- sin 482==-2原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin coscos ααααααα-=+=+-=．3原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<,∴022θπ<<,∴|cos |cos 22θθ=,∴原式cos θ=-．例3．证明：1222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；2sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=．证：1左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x xx x x x x ++-=+==22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x xx x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x+++===--右边,∴得证．说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”,必定要“切化弦”；若“从右证到左”,必定要用倍角公式．2左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B AA+-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边,∴得证．1．若cos130a =,则tan 50=D()A()B± ()C()D 2．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=B()A 2 ()B 4 ()C 8()D 163．化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 答案：1cos 22x 4．设3177cos(),45124x x πππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值;答案：2875- 6．已知11sin()cos [sin(2)cos ],022αβααβββπ+-+-=<<,求β的值;答案：2π7．05北京卷已知tan 2α=2,求I tan()4πα+的值；II 6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：I ∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； II 由I, tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.8．05全国卷已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合. 解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分1)4x π=-…………………………………………………4分()01)04f x x π∴>⇔->sin(2)4x π⇔->…………6分 5222444k x k πππππ⇔-+<-<+…………………………8分 34k x k πππ⇔<<+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………12分9．05浙江卷已知函数fx ＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．Ⅰ 求f 256π的值； Ⅱ 设α∈0,π,f 2α＝41－2,求sin α的值．解：Ⅰ25125sin,cos626ππ==225252525()sin cos 06666f ππππ=+=Ⅱ 1()2sin 2222f x x x =-+11()cos sin 222242f ααα∴=+-=-011sin 4sin 162=-α-α 解得8531sin ±=α 0sin ),0(>α∴π∈α 8531sin +=∴a 1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+-B()A cot α ()B cot 2α()C tan α()D tan 2a2．已知()f x =当53(,)42ππα∈时,式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为 D()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．§三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年 月 日星期 一、选择题1、已知1sin()43πα-=,则cos()4πα+的值等于 D A、3 B、3- C 、13 D 、13-2、已知tan α、tan β是方程240x ++=的两根,且(,)22ππαβ∈-、,则αβ+等于BA 、3π B 、23π- C 、3π或23π- D 、3π-或23π3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42x xx x ππ+---为 BA 、sin xB 、cos xC 、tan xD 、cot x4、全国卷Ⅲ22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB A tan α B tan 2αC 1 D125、山东卷函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ,若2)()1(=+a f f ,则a 的所有可能值为 BA1 B 22,1-C 22-D 22,1二、填空题6、全国卷Ⅱ设a 为第四象限的角,若513sin 3sin =a a ,则tan 2a =_____43-_________. 7、北京卷已知tan 2α=2,则tanα的值为－34,tan ()4πα+的值为 -718、已知tan()34πθ+=,则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿45-＿＿＿＿;9、已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝＿2-＿. 三、解答题 10、求证：21tan 1sin 2.12sin 1tan 22αααα++=--11、已知2sin 22sin ()1tan 42k ααππαα+=<<+,试用k 表示sin cos αα-的值;12、求值：23)csc12.4cos 122--答案：-13、已知tan tan αβ=,求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值;答案：3备用题参考资料。
三角函数的化简求值(含答案)
三角函数的化简求值一、单选题(共10道，每道10分)1.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简2.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简3.下列选项中，不是化简的结果的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简4.化简的结果的是( )A.，其中B.，其中C.，其中D.，其中答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简5.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简6.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简7.已知函数，若为偶函数，则的一个值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简8.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简9.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简10.函数（）的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。
三角函数化简练习题及答案
三角函数化简练习题及答案1．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明2．掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。
1．cosαcosβ=sinαcosβ=2．sinθ+sinφ= ；sinθ-sinφ= ；cosθ+cosφ= ； cosθ-cosφ=1cos2a1.已知tan ? ? ,则sin2a?2的值是4cos2a-4sin2a5A.B.?22C. 1D.?114142.?sin22?cos4等于A.C. sin B.D.4?cos?3coscos. 1 a等于 cosa-sina?sin2asinA.C. cosa sina B. cos2aD sin2a4.化简2?sin4?2?2cos4的结果是sin? sin?]可化简为. ? ?)cosa ?[sin?sin?B. ?sinC. sin?D. 0?)??)等于.化简4北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125 xx??x2xx A. tanx B.tanxtan2tan222cos100-sin200的值是 D.1 A. C.2. tan700?cos100等于化简 ??a?cos?a-cos?a10. cos sina a?sin???11.如果tana,tna?是方程x2?3x?3?0两根，则。
cossin12．2cos2a?1化简2?a)sin24413．求证： sinsin??2cos?sina sina1214．讨论函数f?cos?cos??2coscosxcos?的值域、周期性、2奇偶性及单调性北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125515．设sin??msin?2?????m?0?,????k??k?z?，求证：tan??????无论是化简还是证明都要注意：角度的特点函数名的特点化切为弦是常用手段升降幂公式的灵活应用1?mtan? 1?m3.2.2三角函数化简及证明111．[cos+cos]；[sin+sin]；22．2sin3．2cos???2coscos???22；2cos；-2sin???22sinsin???22； ???2?????????1.C2.D3.B4.2sin25.C.6.B北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 7.C8.C9.-210.cos?11.?12.cos2a?1-a)??cos2＝2cosa?113. ?a)?-a)442cos2a-1cos2a? ? 1 cos2acos2a2证明∵sin?2cossina=sin[?a]?2cossina＝sincosa?cossina?2cossina＝sincosa?cossina＝sin[-a]＝sin?.sinsin?两边同除以sina?2cos＝.sinasina12214.解：f?[2cos?1]?cos??2coscosxcos?12 =cos??2coscosxcos??cos?12=cos[cos?2cosxcos?]?cos??12=cos[sinxsin??cosxcos?]?cos??11=cos[?cos]?cos2? ??cos2x211∴f的值域为[?,]，周期为π，是偶函数，2??当x?[k?,k??]时f是增函数，当x?[k??,k?]时f是减函22北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 数。
三角函数化简和证明题练习
一、化简题1、已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++- 2、已知 360270<<α，化简α2cos 21212121++ 3、化简： 440sin 12- 4、已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简5、),2(cos 1cos 1cos 1cos 1ππθθθθθ∈-+++-6、x x x x xx sin tan sin tan cos 1sin +-⋅- 7、θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+- 二、证明题 1、在ΔABC 中，设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=CC 2cos 452cos 54++.2、求证：)sin 2)(cot 2()cot 21)(cos 2(2222αααα-+=+-3、求证：()xx x x 4cos 14cos 32cot tan 22-+=+4、证明：222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x++=-5、sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=答案一、化简题1、因为α为第四象限角 所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-= 2、 360270<<α，02cos ,0cos <>∴αα所以原式=2cos 2cos 2cos 1cos 212122cos 1212122ααααα-==+=+=++ 3、解：原式80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-= 4、解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式|cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，αααααt a n 2c o s s i n 1c o s s i n 1-=----+=∴原式 （注意象限、符号）5、原式＝θθθθ2222sin )cos 1(sin )cos 1(++- ＝θθθθsin cos 1sin cos 1++- ＝θθsin 2sin 2= ),2(ππθ∈6、原式＝x x x x x x x x sin cos sin sin cos sin cos 1sin +-⋅- ＝)cos 1(sin )cos 1(sin cos 1sin x x x x x x +-⋅- ＝x x x x x x sin sin sin cos 1cos 1sin =-⋅-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈++++∈-∈++++∈=)()22,232()232,2(1)()2,22()22,2(1z k k k k k x z k k k k k x πππππππππππππππ θθθθcos sin cos sin 7+=、原式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+<<+∈+<<+-+<<++<<= )(0)22232(0)( )2322(tan 2 )222(0 )222(tan 2πθππθππππθππθππθππππθπθk k k z k k k k k k k二、证明题 1、证明：C C B A tan )tan()tan(-=-=+πC B A B A tan tan tan 1tan tan -=-+∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++⇒ 由条件得B C B A tan 3tan tan tan =++∴C B A B tan tan tan tan 3⋅⋅=∴而0tan ,0tan ≠≠C B ，C A tan 3tan =∴ 又A A A A CB 22tan 1tan 12cos )cos(+--=-=-+C C C C 2222tan 9tan 91tan 31tan 3+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2、证明：可先证：αααα2222cot 21cot 2sin 2cos 2++=-- （※） 右式＝αααα2222sin cos 21sin cos 2++＝αααα2222cos 2sin cos sin 2++ ＝αααα2222sin 22sin cos cos 22-++-＝αα22sin 2cos 2--＝左式∴（※）式成立，即原等式成立．而C C 2cos 452cos 54++C C C C C C 222222tan 9tan 9tan 1tan 145tan 1tan 154+-=+-⋅++-⋅+=∴ cos(B+C-A)=C C2cos 452cos 54++3、思路点拨：要据角度x 与4x 的特点和函数名的特点，可采用化切为弦，并用倍角公式证明。
三角函数的化简求值经典练习及答案详解
[基础巩固]1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．3B ．－3 C.13D ．－13解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 C2．(多选)已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4的可能值为( ) A ．－7210B ．－210 C.210D ．7210解析 因为sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，所以sin(α－β－a )＝35⇒sin(－β)＝35⇒sin β＝－35，所以当β在第三象限时，有cos β＝－1－sin 2β＝－1－925＝－45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝cos βcos π4－sin βsin π4＝－45×22＋35×22＝－210； 当β在第四象限时，有cos β＝1－sin 2β＝1－925＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝cos βcos π4－sin βsin π4＝45×22＋35×22＝7210， 故选BD. 答案 BD3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为( ) A ． 2 B ．－2 C ．－ 2D ． 3解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝2sin 2x ，所以所求函数的最小值为－ 2. 答案 C4．函数f (x )＝cos x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值域是________． 解析 f (x )＝cos x －12cos x ＋32sin x＝12cos x ＋32sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1,1]． 答案 [－1,1]5．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， 则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.答案3226．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．解析 因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. [能力提升]7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，则f (x )的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝12sin x ＋32cos x ＋12sin x －32cos x ＝sin x . ∴f (x )为奇函数． 答案 A8．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.解析 8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，两边分别平方相加可得89＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136，即sin(α＋β)＝4780.答案47809．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为________． 解析 f (x )＝sin x －⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 故函数f (x )的值域为[－3，3]． 答案 [－3，3]10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解析 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1， 又∵α，β为锐角， ∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.[探索创新]11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解析 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12 ＝3＋158.。
三角函数化简求值练习题（超级好）
三⾓函数化简求值练习题（超级好）三⾓化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最⼩值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最⼩值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最⼩正周期为________．11． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的⼤⼩关系是________.15．已知⾓α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第⼀、⼆象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三⾓形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求⾓A 。
三角函数的化简求值与证明试题
绝密★启用前xxx 学校_____学年度数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息\r\n2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题0分，共0分）1.已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+-等于A ．B ．C ．D2.已知函数()3sin 4cos 1f x x x =++，实常数,,p q r 使得()()2018pf x qf x r ++=对任意的实数x R ∈恒成立，则cos p r q +的值为( ) A ．-1009 B ．0C.1009D ．20183.已知向量a =（k ，cos 3π），向量b =（sin 6π，tan 4π），若a ∥b ，则实数k 的值为（ ） A ．41- B ．﹣1 C ．41 D ．14.已知,,,66t R ππαβ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，且5sin 30t αα+-=，5181sin303t ββ++=，则()ln 3cos 3αβ-+=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．ln2B ．ln3C ．5ln 2 D ．ln 3⎛ ⎝⎭5.若1tan()43πα-=-，则cos2α=（ ）A ．35B ．35-C ．45- D ．456.设f (n )=cos(2n π+4π)，则f (1)+ f (2)+ f (3)+…+ f (2006)=（ ） A ．－2B C ．0 D 7.2cos553sin 5cos5-的值为（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．18.设函数()cos sin f x x x =-，把)(x f 的图象按向量)0,(m 平移后，图象恰为函数 ()y f x '=的图象，则m 的值可以是A.2πB.4π C.4π- D.2π-9.已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．16 C ．12 D ．2310.将函数()2cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为 ( )A ．6π B ． 3π C ．23π D ．56π11.若)42sin(21)22cos(cos 22π+α-α+π+α=4，则tan （2α+4π）=（ ）A ．21B ．31C ．41D ．51 12.若sin()2cos )4πααα+=+，则sin 2α=（ ）A ．45-B ．45 C. 35- D ．35第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题（本题共5道小题，每小题0分，共0分）13.=⋅⋅45tan 625cos 34sin πππ ．14.若点(2,tan )θ在直线21y x =-上，则2sin cos 1sin θθθ=- ． 15.已知(cos ,sin ),(2,1),(,)22ππααα==∈-m n ，若1=m n ，则3sin(2)2πα+= ．16.已知x R ∈，则()21cos 1x x ar x x ++++的值为______________. 17.已知函数11()3sin()22f x x x =+-+，则12()()20192019f f +2018()2019f +⋅⋅⋅+= ；评卷人 得分三、解答题（本题共5道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,共0分）18.已知函数2()3sin()2sin 12x f x x ωϕωϕ+=++-（0ω>，0ϕπ<<）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π. （1）当(,)24x ππ∈-时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原点的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当[,]126x ππ∈-时，求函数()g x 的值域.19.（本题满分13分） 已知函数()2sin cos 3cos 222x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值．20.已知函数23()3sin()sin()cos 12f x x x x π=-+-+． (Ⅰ)求函数() f x 的递增区间；(Ⅱ)若ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角A 的平分线交BC 于D ，3()2f A =，22AD BD ==，求cos C ． 21.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最小值；（Ⅱ）若α为锐角，且()2f α=，求α的值． 22.已知函数23()sin cos 3)f x x x x x R =⋅+∈． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间；（3）求)(x f 图象的对称轴方程和对称中心的坐标．试卷答案1.A因为,所以,解得,因为,所以；本题选择A选项.2.B由题意pf（x）+qf（x+r）=2018对任意的实数x∈R恒成立,与x无关，令p=q，r=π．代入可得：pf（x）+qf（x+π）=2018．p（3sinx+4cosx+1）+q（﹣3sinx﹣4cosx+1）=2018．p+q=2018．即p=q=1009，则pcosr+q=1009cosπ+q=0，故答案为：B3.C【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（k，cos），向量=（sin，tan），，∴=，解得实数k=．故选：C．4.A5.B6.A,当n=4k+1时,f(n )=cos(+ )= ; 当n=4k+2时,f(n )=cos(+)=;当n=4k+3时,f(n )=cos(+)=;当n=4k+4时,f(n )=cos(+)=,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又函数f(n )=cos(+)的周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=f(1)+f (2)= .7.D= = = =18. D9.A10.C∵()2cos23sin4cos()3f x x x xπ=-=+向左平移ϕ（0ϕ>）单位后得到函数()g x=4cos()3xπϕ++，又()g x为偶函数，故3kπϕπ+=，k Z∈，故3kπϕπ=-+，k Z∈，故min23πϕ=，故应选C．11.C【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得an2α的值，再利用两角和的正切公式求得tan （2α+）的值．【解答】解：若=4==，∴tan2α=﹣，则tan （2α+）===，故选：C ． 12.C 13.43-∵，，∴故答案为 14.315.725-16.0 17.2018∵11()3sin()22f x x x =+-+，∴1111(1)13sin()13sin()2222f x x x x x -=-+-+=---+，∴()(1)2f x f x +-=，又设1232018()()()()2019201920192019S f f f f =+++⋅⋅⋅+，则20183()()20192019S f f =+⋅⋅⋅+ 21()()20192019f f ++，∴1201822017320162[()()][()()][()()]201920192019201920192019S f f f f f f =++++++⋅⋅⋅ 20181[()()]22222201820192019f f ++=++++=⨯，∴2018S =．18.（1）由题意可得：()3)cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为相邻量对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， 因为函数为奇函数，所以6k πϕπ-=，6k πϕπ=+，k Z ∈，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，函数()2sin 2f x x =，∵(,)24x ππ∈-，∴2(,)2x ππ∈-要使()f x 单调减，需满足22x ππ-<≤-，24x ππ-<≤-，所以函数的减区间为(,]24ππ--（2）由题意可得：()2sin(4)3g x x π=-∵126x ππ-≤≤，∴24333x πππ-≤-≤，∴31sin(4)32x π-≤-≤，∴()[3]g x ∈- 即函数()g x 的值域为[3]- 19.解：（Ⅰ）因为()2sin cos 3222x x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭2sin cos 2232x x x =331si n 2x x =++3sin ++32x π⎛⎫= ⎪⎝⎭． …………………… 4分所以()f x 的最小正周期2.T π=…………………… 6分（Ⅱ）因为[],0x π∈-，所以2+,333x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以当33x ππ+=，即0x =时，函数)(x f 取得最大值3sin+3.32π=当32x ππ+=-，即56x π=-时，函数)(x f取得最小值- 所以()f x 在区间[],0π-和1+2-……………… 13分 20. (Ⅰ)∵，………3分，令，，∴，，∴函数的递增区间为，，………6分；(Ⅱ) ∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，又平分，∴，……8分；又，又由正弦定理得：，∴，∴，又，∴；……10分∴，∴．……12分21.（Ⅰ）2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++π)14x =++．函数()f x 的最小正周期为2ππ2=， 函数()f x的最小值为1 ┅┅┅┅┅┅ 7分 （Ⅱ）由()2f α=π)124α++=．所以πsin(2)4α+=又因为π(0,)2α∈，所以ππ5π2444α<+<， 所以π3π244α+=． 所以π4α=． ┅┅┅┅┅ 13分 22. 解:1()sin 2)2f x x x R =-∈1sin 222x x =-sin(2)3x π=- , ·················································································································· 4分 （1）T π=； ······························································································· 6分 （2）由)(223222z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ， ··············································· 8分 可得)(x f 单调增区间]125,12[ππππ+-k k （)z k ∈． ······································· 10分 （3）由πππk x +=-232得对称轴方程为)(2125z k k x ∈+=ππ， ·························· 12分 由ππk x =-32得对称中心坐标为))(0,26(z k k ∈+ππ． ······································ 14分。
三角函数化简求值选择题专练解析版
三角函数化简求值选择题专练一．选择题（共60小题）1．已知sin（﹣θ）﹣cos（π+θ）＝6sin（2π﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ等于（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得cosθ+cosθ＝﹣6sinθ，则，可得．故选：A．2．已知sin（+α）＝，0＜α＜π，则tanα＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：因为sin（+α）＝，所以cosα＝，又因为0＜α＜π，所以α为第二象限角，所以sinα＝，可得tanα＝﹣．故选：A．3．若，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为，可得sinθ＝2cosθ，可得tanθ＝2，则cos2θ＝＝＝＝．故选：A．4．若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α＝＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α＝﹣＝﹣；又sin（β﹣α）＝，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cos（α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）＝﹣×（﹣）﹣×＝．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β＝，故选：A．5．已知，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（α+）＝，∴＝＝2﹣1＝2×﹣1＝﹣，故选：A．6．已知x∈（2kπ﹣π，2kπ+）（k∈Z），且，则cos2x的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴＝，∵x∈（2kπ﹣π，2kπ+），∴﹣x∈（﹣2kπ，﹣2kπ+π），∴sin（﹣x）＞0，即sin（﹣x）＝，∴＝，故选：B．7．设，若，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为，，所以cosα＝﹣，所以cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝，sin2α＝2sinαcosα＝＝﹣，则＝（cos2α+sin2α）＝＝．故选：B．8．若α∈（π，2π），，则＝（）A．或0B．C．D．0【解答】解：因为，所以，即，因为α∈（π，2π），则或，当时，，则，且，所以，不符合题意；当时，，则，且，所以，符合题意，则＝．综上所述，＝0．故选：D．9．若α∈（，π），cos2α＝cosα﹣sinα，则sin（α﹣）＝（）A．﹣B．1C．0D．﹣或0【解答】解：因为cos2α＝cosα﹣sinα，则＝cosα﹣sinα，即＝cosα﹣sinα，因为α∈（，π），所以cosα﹣sinα≠0，则cosα+sinα＝，即，所以，则，解得，所以sin（α﹣）＝．故选：B．10．设α为锐角，若sin（）＝，则cos（2）＝（）A．B．C．D．﹣【解答】解：因为α为锐角，且sin（）＝，所以cos（）＝＝，则＝cos（）cos﹣sin（）sin＝，所以cos（2）＝．故选：D．11．已，，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为，所以cos[（α+β）﹣β]＝cosα＝，又，所以，则＝＝．故选：B．12．函数f（x）＝sin（）cos x﹣cos22x的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．【解答】解：22x令t＝cos2x，则原函数化为，y＝，该函数在[﹣1，]上递增，在上递减．易知t＝1时，y min＝﹣2．故选：A．13．“sinθ＝”是“θ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sinθ＝推不出θ＝，不是充分条件，θ＝推出sinθ＝，是必要条件，故选：B．14．“θ≠”是“sinθ≠”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若sinθ≠，则θ≠+2kπ，且θ≠+2kπ，k∈Z，即当k＝0时，θ≠，即必要性成立，当θ＝时，满足θ≠但sinθ＝，即充分性不成立，则“θ≠”是“sinθ≠”的必要不充分条件，故选：B．15．“x＝2kπ+（k∈z）”是“sin x＝”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“x＝2kπ+（k∈z）”⇒“sin x＝”，反之，由“sin x＝”⇒“x＝2kπ+或（k∈z）”．综上可知：“x＝2kπ+（k∈z）”是“sin x＝”成立的充分不必要条件．故选：A．16．“sinα＝cosα”是“α＝2k，k∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“sinα＝cosα”得：α＝kπ+，k∈Z，故sinα＝cosα是“”的必要不充分条件，故选：B．17．设角α的始边为x轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“cosα＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：已知角α的始边为x轴非负半轴，若角α的终边在第二、三象限”，则cosα＜0；若cosα＜0，则角α的终边在第二、三象限或者在x轴负半轴上，故“角α的终边在第二、三象限”是“cosα＜0”的充分不必要条件，故选：A．18．“α＝30°”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为sin30°＝，而sinα＝时，可得α＝30°+k•360°，k∈Z，或者α＝150°+k•360°，k∈Z，则“α＝30°”是“sinα＝”的充分不必要条件，故选：A．19．“x＝2kπ+，k∈Z”是“sin x＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“”能推出“”，是充分条件，由“”推不出“”，比如x＝，不是必要条件，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A．20．已知α，β为锐角，且cos（α+β）＝﹣，sin（α﹣β）＝﹣，则sin2a＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：α，β为锐角，∴0＜α+β＜π，﹣＜α﹣β＜，且cos（α+β）＝﹣，sin（α﹣β）＝﹣，∴sin（α+β）＝＝，cos（α﹣β）＝＝，∴sin2α＝sin[（α+β）+（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β）＝×+（﹣）×（﹣）＝．故选：C．21．已知tan A＝2tan B，sin（A+B）＝，则sin（A﹣B）＝（）A．B．C．D．﹣【解答】解：由tan A＝2tan B得＝，即sin A cos B＝2cos A sin B，∵sin（A+B）＝，∴sin A cos B+cos A sin B＝，得sin A cos B＝，cos A sin B＝，则sin（A﹣B）＝sin A cos B﹣cos A sin B＝﹣＝，故选：C．22．已知cos（α+37°）＝，则sin（53°﹣α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为cos（α+37°）＝，所以sin（53°﹣α）＝sin（90°﹣37°﹣α）＝sin[90°﹣（37°+α）]＝cos（37°+α）＝．故选：D．23．已知，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：设θ＝﹣α，则α＝﹣θ，则cosθ＝，则＝cos（+﹣θ）﹣sin2（﹣θ﹣）＝cos（π﹣θ）﹣sin2θ＝﹣cosθ﹣（1﹣cos2θ）＝cos2θ﹣cosθ﹣1＝﹣﹣1＝﹣，故选：B．24．已知α，β均为锐角，，则sinβ＝（）A．B．或C．D．【解答】解：由，得，所以．故选：A．25．tan21°+tan39°+tan21°•tan39°值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵tan（21°+39°）＝＝，∴tan21°+tan39°＝﹣tan21°tan39°，∴tan21°+tan39°+tan21°tan39°＝．故选：C．26．cos8°cos22°﹣sin8°sin22°＝（）A．B．C．D．【解答】解：cos8°cos22°﹣sin8°sin22°＝cos（8°+22°）＝cos30°＝．故选：A．27．设a＝sin18°cos44°+cos18°sin44°，b＝2sin29°cos29°，c＝cos30°，则有（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：a＝sin18°cos44°+cos18°sin44°＝sin（18°+44°）＝sin62°，b＝2sin29°cos29°＝sin58°，c＝cos30°＝sin60°，∵y＝sin x在[45°，90°]上为增函数，∴sin62°＞sin60°＞sin58°，即a＞c＞b，故选：B．28．已知，，且α，β均为锐角，那么cosβ＝（）A．B．或﹣1C．1D．【解答】解：∵α，β均为锐角，∴0＜α+β＜π，∵，，∴sinα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos[（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝×+×＝，故选：A．29．已知，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵﹣α++α＝，∴+α＝﹣（﹣α）＝cos[﹣（﹣α）]＝sin（﹣α）＝，故选：A．30．已知cos（﹣+α）＝﹣，则cos（﹣α）＝（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵（﹣+α）+（﹣α）＝π，∴﹣α＝π﹣（﹣+α），则cos（﹣α）＝cos[π﹣（﹣+α）]＝﹣cos（﹣+α）＝，故选：B．31．已知，，则sin x﹣cos x＝（）A．B．C．或D．【解答】解：∵，∴（1+2sin x cos x）＝，即1+2sin x cos x＝，得2sin x cos x＝﹣，∵，∴cos x＞0，∴sin x＜0，即，∵，∴．故选：A．32．已知，，，则＝（）A．B．C．D．2【解答】解：因为，，所以sinθ＝＝，tanθ＝＝，所以＝＝＝2．故选：D．33．已知α∈（0，），cosα＝，则sin（α﹣）＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为α∈（0，），cosα＝，所以sin，则sin（α﹣）＝＝＝．故选：A．34．cos10°cos35°﹣sin10°sin145°＝（）A．B．C．D．【解答】解：cos10°cos35°﹣sin10°sin145°＝cos10°cos35°﹣sin10°sin35°＝cos （10°+35°）＝cos45＝．故选：A．35．已知，，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴（sin²α+cos²α）（sin²α﹣cos²α）＝﹣cos2α＝﹣，则cos2α＝，则2α∈（0，π），则sin2α＝，则＝cos2α﹣sin2α＝﹣＝，故选：B．36．已知，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴＝cos[﹣（2）]＝cos（2θ﹣）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝．故选：D．37．已知tanα＝，tan（α+β）＝，则tanβ＝（）A．B．﹣C．D．【解答】解：∵tanα＝，tan（α+β）＝，∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]＝＝＝﹣．故选：B．38．已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinθ+sin（）＝1，∴sinθ+sinθ+cosθ＝1，即sinθ+cosθ＝1，得（cosθ+sinθ）＝1，即sin（）＝1，得sin（）＝故选：B．39．已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ+）＝7，得2tanθ﹣＝7，即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，则tanθ＝2，故选：D．40．若tanθ＝3tan，＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【解答】解：因为tanθ＝3tan，则＝﹣＝﹣＝﹣＝＝﹣2．故选：C．41．已知sin40°sin170°﹣m cos10°cos50°＝cos170°，则实数m为（）A．B．2C．﹣D．﹣2【解答】解：∵sin40°sin170°﹣m cos10°cos50°＝cos170°，∴sin40°sin10°﹣m cos10°sin40°＝﹣cos10°＝﹣sin80°＝﹣2sin40°cos40°，∴sin10°﹣m cos10°＝﹣2cos40°，∴sin10°﹣m cos10°＝﹣2（cos30°cos10°﹣sin30°sin10°）＝﹣cos10°+sin10°，∴m＝．故选：A．42．化简﹣sin（x+y）sin（x﹣y）﹣cos（x+y）cos（x﹣y）的结果为（）A．sin2x B．cos2x C．﹣cos2x D．﹣cos2y【解答】解：﹣sin（x+y）sin（x﹣y）﹣cos（x+y）cos（x﹣y）＝﹣[sin（x+y）sin（x﹣y）+cos（x+y）cos（x﹣y）]＝﹣cos[（x+y）﹣（x﹣y）]＝﹣cos2y．故选：D．43．sin465°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin465°＝sin105°＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝＝．故选：A．44．若cos（α﹣）＝，则sin（α+）＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵cos（α﹣）＝，∴sin（α+）＝＝＝．故选：D．45．已知α，β∈（，π），sinα＝，cos（α+β）＝，则β＝（）A．B．C．D．【解答】解：由于α，β∈（，π），∴α+β∈（π，2π），∵cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝﹣，cosα＝﹣，∴cosβ＝cos[（α+β﹣α）]＝cos（α+β）cosα）+sin（α+β）sinα＝×（﹣）+（﹣）×＝＝﹣，∴β＝．故选：B．46．tan26°tan34°+tan26°+tan34°＝（）A．B．C．D．﹣【解答】解：tan26°tan34°+tan26°+tan34°＝tan26°tan34°+tan（26°+34°）（1﹣tan26°tan34°）＝tan26°tan34°+（1﹣tan26°tan34°）＝tan26°tan34°+tan26°tan34°＝．故选：C．47．若tanα＝3，tan（2α﹣β）＝﹣1，则tan（α﹣β）＝（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：由tanα＝3，tan（2α﹣β）＝﹣1，所以tan（α﹣β）＝tan[（2α﹣β）﹣α]＝＝＝2．故选：A．48．已知α，β均为锐角，若sinα＝，cosβ＝，则α+β的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α，β均为锐角，若sinα＝，cosβ＝，∴0＜α+β＜π，cosα＝＝，sinβ＝＝，则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣×＝﹣，∵0＜α+β＜π，∴α+β＝，故选：A．49．函数f（x）＝sin2x+sin x cos x﹣可以化简为（）A．f（x）＝sin（2x﹣）B．f（x）＝sin（2x﹣）C．f（x）＝sin（2x+）D．f（x）＝sin（2x+）【解答】解：f（x）＝sin2x+sin x cos x﹣＝+sin2x﹣＝sin2x﹣cos2x ＝sin（2x﹣）．故选：B．50．已知sin（α+）＝﹣，则cos（α﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：依题意，α+﹣（α﹣）＝，则α﹣＝α+﹣，故cos（α﹣）＝cos（α+﹣）＝﹣sin（α+）＝，故选：A．51．已知，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【解答】解：∵，∴sinα＝＝﹣，tanα＝＝﹣2，∴＝＝﹣．故选：D．52．已知α∈（，2π），cos，则tan（）＝（）A．﹣1B．﹣C．7D．﹣7【解答】解：∵α∈（，2π），cos，∴tanα＝﹣＝﹣＝﹣，∴tan（）＝＝＝﹣．故选：B．53．已知α，β∈（0，π），tan α，tan β是方程x2+4x+2＝0的两根，则cos（α+β）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵tan α，tan β是方程x2+4x+2＝0的两根，∴tan α+tan β＝﹣4，tan αtan β＝2，则tan α＜0，tan β＜0，即α，β∈（，π），则α+β∈（π，2π），则tan（α+β）＝＝＝4，则α+β∈（π，），则cos（α+β）＜0，则cos2（α+β）＝＝＝，则cos（α+β）＝﹣，故选：B．54．设α＝70°，若β∈（0，），且tanα＝，则β＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°【解答】解：由得，sinαcosβ＝cosα+cosαsinβ，，因为，α＝70°，所以，，由，得，所以β＝50°．故选：A．55．将sin x﹣cos x化简为A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的形式为（）A．2sin（x﹣）B．2sin（x﹣）C．2sin（x+）D．2sin（x+）【解答】解：原式＝＝＝．故选：A．56．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．【解答】解：∵，，∴，∴tanα＝2．故选：A．57．已知，则的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：因为，又，所以．故选：A．58．若，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为，所以＝cos[﹣（α+）]＝cos（﹣α）＝．故选：A．59．若sinθ﹣cosθ＝，则sin（π﹣θ）cos（π﹣θ）＝（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵sinθ﹣cosθ＝，∴两边平方，可得1﹣2sinθcosθ＝，可得sinθcosθ＝﹣，∴sin（π﹣θ）cos（π﹣θ）＝﹣sinθcosθ＝．故选：D．60．已知sinθ＝，则sin（θ+）cos（θ+）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinθ＝，∴sin（θ+）cos（θ+）＝sin（2θ+）＝cos2θ＝（1﹣2sin2θ）＝（1﹣2×）＝．故选：B．。
人教版高考数学试题：三角函数的化简与证明
§4.6三角函数的化简与证明一、选择题（每题6分，共30分） 1.cos 20cos 40cos60cos80⋅⋅⋅的值为 （ ）A ．161B ．161-C ．163 D ．163- 2．48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为（ ）A ．161B ．161-C ．321 D ．813.50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( )A ．3B ．33 C ．33- D ．3- 4. ,αβ均为锐角，且1sin sin()2ααβ=+，则α与β的大小的关系是 （ ）A ．αβ> B. αβ< C.αβ= D.无法确定5.在∆ABC 中，已知tan sin 2A BC +=，给出以下四个论断：①tan .cot 1A B =②0sin sin A B <+≤③22sin cos 1A B += ④222cos cos sin A B C +=其中正确的是 （ ） A ．①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③答案.1、A 2 、A 3、D 4、B 5、B 二、填空题（每题5分，共20分） 6. 化简100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 . 答案：2-7. 在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值为__________.7.解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴CA C A CA C A C A C A 故π8．在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－54，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.8.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°.∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53.即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524，∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527.9. 已知函数5sin 12()(0),()22sin 2f f θθθπθθ=-+<<将表示成关于θcos 的多项式为 ．答案：1cos cos 221cos 4cos 221)(22-+=-++-=θθθθθf三、解答题（20+20+10，共50分）10．化简求值：sin ()322121222π-⎛⎝⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪x tg x tg x x 其中为第二象限的角11.已知xx xx x x x x x f cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1)(+---+---+=．（I ）化简f （x ）；(II) 是否存在x ，使得xxx f x sin 2tan 1)(2tan 2+⋅与相等？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由.12．证明：（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；（2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B BA B A A+-+=．参考答案.一、选择题（每题6分，共30分） 1、A 2 、A 3、D 4、B 5、B 二、填空题（每题5分，共20分） 6. 2-7. 解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴CA C A C A C A C A C A 故π8．解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°.∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53.即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524，∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527.9. 1cos cos 221cos 4cos 221)(22-+=-++-=θθθθθf三、解答题（20+20+10，共50分）10．（1）化简求值：)(2tan 12tan 1223sin 22为第二象限的角其中x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 解：（1）原式2tan 222cos2x x +-=sec 22x x == 因为x 是第二象限角，所以x2是第一或第三象限角。
三角函数化简例题
三角函数化简例题一、化简sin^2α + sin^2β - sin^2αsin^2β + cos^2αcos^2β。
1. 分析- 观察式子，发现式子中既有正弦函数又有余弦函数，且有平方项。
我们可以利用sin^2θ+cos^2θ = 1这个基本关系式进行化简。
2. 化简过程- 首先将原式变形：begin{align}sin^2α+sin^2β-sin^2αsin^2β+cos^2αcos^2β =sin^2α(1 -sin^2β)+sin^2β+cos^2αcos^2β end{al ign}begin{align}sin^2αcos^2β+sin^2β+cos^2αcos^2β=cos^2β(sin^2α+cos^2α)+sin^2βend{align}- 又因为sin^2α+cos^2α = 1，所以最终结果为：begin{align}cos^2β×1+sin^2β =cos^2β+sin^2β = 1end{align}二、化简(sin(α + β)-2sinαcosβ)/(2sinαsinβ+cos(α + β))。
1. 分析- 对于这个式子，需要利用两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B和两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B来化简。
2. 化简过程- 首先将分子分母分别展开：- 分子sin(α+β)-2sinαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβ - 2sinαcosβ=cosαsinβ-sinαcosβ=sin(β-α)。
- 分母2sinαsinβ+cos(α + β)=2sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)。
- 所以原式(sin(α + β)-2sinαcosβ)/(2sinαsinβ+cos(α + β))=(sin(β-α))/(cos(α - β))=tan(β-α)。
三角函数化简、求值、证明题
三角函数的化简、求值与证明（能力提升题）1．化简αα2tan 1cos 1++ααsin 1sin 1-+-ααsin 1sin 1+-2.已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
3.o o o o o o o 80tan 70tan 60tan 45tan 30tan 20tan 10tan ；4.sin 210+ sin 220+ sin 230+…+ sin 2890=__________5.求值︒+︒15cos 215sin 66.︒--︒︒︒-170cos 1370cos 280cos 100sin 2127.设)2,23(ππα∈，化简8.︒︒︒+︒+︒81tan 39tan 240tan 81tan 39tan9.000000sin 7cos15sin8cos 7sin15sin8+-11.70sin 20sin 10cos 2-12.94cos log 92cos log 9coslog 222πππ++．13. 30tan 15tan 30tan 15tan ++14.)20tan 10(tan 320tan 10tan ++；15. 30tan 43tan 30tan 17tan 43tan 17tan ++。
16.的值)45tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1(︒+︒+︒+︒+18.求值sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒.（尝试用多种方法）19.求值22sin 20cos 50sin 20cos50.︒+︒+︒︒20.化简:cos cos(120)cos(120)sin sin(120)sin(120)A B B B A A +︒++︒-+︒+-︒-21.化简：sin 4cos 2cos 1cos 41cos 21cos xxxx x x ∙∙+++.22.求函数21sin 2sin ,2y x x x R =+∈的值域.23.求函数x x y 2cos sin 5+=的值域．24.已知sin α+cos α=51，()πα,0∈，求值：①tan α ②sin α -cos α ③sin 3α+co s 3α25.已知3sin α -2cos α=0，求下列各式的值 ①ααααsin cos sin cos +-+ααααsin cos sin cos -+ ②sin 2α -2sin αcos α +4cos 2α26.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+27.已知31cos -=α，α为第二象限角，且1)sin(=+βα，求)2cos(βα+的值。
三角函数化简求值经典练习及答案详解
[基础巩固]1．函数f (x )＝2tan(－x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数解析 因为f (－x )＝2tan x ＝－2tan(－x )＝－f (x )，且f (x )的定义域关于原点对称， 所以函数f (x )＝2tan(－x )是奇函数．答案 A2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心是( ) A ．(0,0)B ．⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫4π5，0 D ．(π，0)解析 令x ＋π5＝k π2，得x ＝k π2－π5，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2－π5，0，k ∈Z . 令k ＝2，可得函数的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫4π5，0.答案 C3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为2π，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析 由已知πω＝2π，所以ω＝12， 所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝tan π4＝1. 答案 14．比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－2π7________tan ⎝⎛⎭⎫－π5. 解析 tan ⎝⎛⎭⎫－2π7＝tan 5π7，tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝tan 4π5， 又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π内单调递增，所以tan 5π7<tan 4π5， 即tan ⎝⎛⎭⎫－2π7<tan ⎝⎛⎭⎫－π5. 答案 <5．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3. (1)求函数f (x )的最小正周期、对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．解析 (1)∵ω＝13， ∴最小正周期T ＝π|ω|＝π13＝3π. 令x 3－π3＝k π2(k ∈Z )， 得x ＝π＋3k π2(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫π＋3k π2，0(k ∈Z )． (2)令x 3－π3＝0，则x ＝π； 令x 3－π3＝π2，则x ＝5π2； 令x 3－π3＝－π2，则x ＝－π2. 从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，5π2内的简图(如图)．[能力提升]6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( )A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12解析 因为函数的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，所以tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，所以π6＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z . 答案 A7．(多选)下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法不正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选ACD. 答案 ACD8．函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． 解析 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]，∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4， 当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4. 故所求函数的值域为[－4,4]．答案 [－4,4]9．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2(x 1≠x 2)，给出下列结论： ①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1；④f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0； ⑤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2. 当f (x )＝tan x 时，正确结论的序号为________．解析 由于f (x )＝tan x 的周期为π，故①正确；函数f (x )＝tan x 为奇函数，故②不正确；f (0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的增函数，故④正确；⑤由函数f (x )＝tan x 的图象可知，函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，0上有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故⑤不正确． 答案 ①④10．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？解析 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图象如图所示，观察图象可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]上有3个交点．[探索创新]11．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解析 (1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝π2，即π|ω|＝π2. 因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称， 所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ， 得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z ， 即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z . 所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z . 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .。
三角函数的化简模拟试题
三角函数的化简模拟试题考虑以下三角函数的化简问题，试解答以下模拟试题。
1. 化简以下表达式：a) $\sin(\frac{\pi}{2} - x)$b) $\cos(\frac{\pi}{2} + x)$c) $\tan(\pi - x)$2. 将下列表达式化简为同角三角函数的形式：a) $\sin(-x)$b) $\cos(\pi + x)$c) $\tan(\frac{\pi}{2} - x)$3. 根据倍角公式，化简以下表达式，其中 $0 \leq x \leq\frac{\pi}{2}$:a) $\sin(2x)$b) $\cos(2x)$c) $\tan(2x)$4. 根据半角公式，将下列表达式化简为三角函数的形式：a) $\sin^2\frac{x}{2}$b) $\cos^2\frac{x}{2}$c) $\tan^2\frac{x}{2}$5. 根据和差公式，化简以下表达式：a) $\sin(x + \frac{\pi}{3})$b) $\cos(x - \frac{\pi}{4})$c) $\tan(x + \frac{\pi}{6})$6. 化简以下复合角三角函数表达式：a) $\sin[2(\frac{\pi}{4} - x)]$b) $\cos[2(\frac{\pi}{6} + x)]$c) $\tan[2(\pi - x)]$7. 结合以上知识，化简以下复合角三角函数表达式：a) $\sin[2(\frac{\pi}{4} - x)] + \cos[2(\frac{\pi}{6} + x)]$b) $\cos[2(\frac{\pi}{6} + x)] - \sin[2(\frac{\pi}{4} - x)]$8. 进一步化简以下复合角三角函数表达式：a) $2\sin(\pi - \frac{x}{2})\cos(\pi + \frac{x}{2})$b) $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - x) - 1$试题解答如下：1.a) $\sin(\frac{\pi}{2} - x)= \cos(x)$b) $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$c) $\tan(\pi - x)= \tan(x)$2.a) $\sin(-x) = -\sin(x)$b) $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$c) $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)$3.a) $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$b) $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$c) $\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}$4.a) $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos(x)}{2}$b) $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos(x)}{2}$c) $\tan^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}$5.a) $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) +\frac{1}{2}\cos(x)$b) $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)$c) $\tan(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\tan(x)$6.a) $\sin[2(\frac{\pi}{4} - x)] = 2\sin(\frac{\pi}{4} - x)\cos(\frac{\pi}{4} - x)$b) $\cos[2(\frac{\pi}{6} + x)] = \cos^2(\frac{\pi}{6} + x) -\sin^2(\frac{\pi}{6} + x)$c) $\tan[2(\pi - x)] = \frac{2\tan(\pi - x)}{1-\tan^2(\pi - x)}$7.a) $\sin[2(\frac{\pi}{4} - x)] + \cos[2(\frac{\pi}{6} + x)] =2\sin(\frac{\pi}{4} - x)\cos(\frac{\pi}{4} - x) + \cos^2(\frac{\pi}{6} + x) -\sin^2(\frac{\pi}{6} + x)$b) $\cos[2(\frac{\pi}{6} + x)] - \sin[2(\frac{\pi}{4} - x)] =\cos^2(\frac{\pi}{6} + x) - \sin^2(\frac{\pi}{6} + x) - 2\sin(\frac{\pi}{4} - x)\cos(\frac{\pi}{4} - x)$8.a) $2\sin(\pi - \frac{x}{2})\cos(\pi + \frac{x}{2}) = \sin(\pi - x) =\sin(x)$b) $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - x) - 1 = 2(\frac{1}{2}\cos(x) +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x))^2 - 1 = \cos^2(x) - \sin^2(x)$通过上述题目的解答，我们学习了三角函数的化简方法，包括基础的化简公式，倍角公式，半角公式以及和差公式等。
数学中的三角函数恒等变换模拟试题
数学中的三角函数恒等变换模拟试题题1：化简下列三角函数：（1）$sin^2 x - cos^2 x$（2）$cot^2 x - 1$（3）$1 + sec^2 x$（4）$tan^2 x + 1$（5）$cosec^2 x - cot^2 x$题2：证明下列三角函数等式：（1）$tan x = \frac{sin x}{cos x}$（2）$cot x = \frac{cos x}{sin x}$（3）$sec x = \frac{1}{cos x}$（4）$cosec x = \frac{1}{sin x}$题3：使用三角函数的基本恒等变换，化简下列三角函数：（1）$tan x \cdot sin x$（2）$sec x \cdot cos x$（3）$\frac{sin x}{1 + cos x}$（4）$\frac{cos x}{1 - sin x}$（5）$\frac{1 - sin^2 x}{1 - cos^2 x}$解答如下：题1：（1）$sin^2 x - cos^2 x$根据三角函数恒等变换 $sin^2 x = 1 - cos^2 x$，将其代入原式：$sin^2 x - cos^2 x = 1 - cos^2 x - cos^2 x = 1 - 2cos^2 x$（2）$cot^2 x - 1$根据三角函数恒等变换 $cot^2 x = \frac{cos^2 x}{sin^2 x}$，将其代入原式：$cot^2 x - 1 = \frac{cos^2 x}{sin^2 x} - 1 = \frac{cos^2 x - sin^2x}{sin^2 x}$在分子上应用三角函数恒等变换 $cos^2 x - sin^2 x = -sin^2 x + cos^2 x = cos^2 x - sin^2 x = cos 2x$：$cot^2 x - 1 = \frac{cos^2 x - sin^2 x}{sin^2 x} = \frac{cos 2x}{sin^2 x}$（3）$1 + sec^2 x$根据三角函数恒等变换 $sec^2 x = 1 + tan^2 x$，将其代入原式：$1 + sec^2 x = 1 + 1 + tan^2 x = 2 + tan^2 x$（4）$tan^2 x + 1$根据三角函数恒等变换 $tan^2 x + 1 = sec^2 x$，直接应用该恒等变换：$tan^2 x + 1 = sec^2 x$（5）$cosec^2 x - cot^2 x$根据三角函数恒等变换 $cosec^2 x = 1 + cot^2 x$，将其代入原式：$cosec^2 x - cot^2 x = 1 + cot^2 x - cot^2 x = 1$题2：（1）证明 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$已知 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$，将等式两边都除以 $cos x$，得到：$tan x = \frac{sin x}{cos x}$（2）证明 $cot x = \frac{cos x}{sin x}$已知 $cot x = \frac{cos x}{sin x}$，将等式两边都除以 $sin x$，得到：$cot x = \frac{cos x}{sin x}$（3）证明 $sec x = \frac{1}{cos x}$已知 $sec x = \frac{1}{cos x}$，将等式两边都求倒数，得到：$sec x = \frac{1}{cos x}$（4）证明 $cosec x = \frac{1}{sin x}$已知 $cosec x = \frac{1}{sin x}$，将等式两边都求倒数，得到：$cosec x = \frac{1}{sin x}$题3：（1）$tan x \cdot sin x$根据三角函数恒等变换 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$，将其代入原式：$tan x \cdot sin x = \frac{sin x}{cos x} \cdot sin x = sin^2 x$（2）$sec x \cdot cos x$根据三角函数恒等变换 $sec x = \frac{1}{cos x}$，将其代入原式：$sec x \cdot cos x = \frac{1}{cos x} \cdot cos x = 1$（3）$\frac{sin x}{1 + cos x}$将分式的分子进行分解：$\frac{sin x}{1 + cos x} = \frac{sin x}{1 + cos x} \cdot \frac{1 - cos x}{1 - cos x} = \frac{sin x (1 - cos x)}{1 - cos^2 x}$应用三角函数恒等变换 $1 - cos^2 x = sin^2 x$，化简分式：$\frac{sin x (1 - cos x)}{1 - cos^2 x} = \frac{sin x (1 - cos x)}{sin^2 x}= \frac{1 - cos x}{sin x}$（4）$\frac{cos x}{1 - sin x}$将分式的分母进行分解：$\frac{cos x}{1 - sin x} = \frac{cos x}{1 - sin x} \cdot \frac{1 + sin x}{1 + sin x} = \frac{cos x (1 + sin x)}{1 - sin^2 x}$应用三角函数恒等变换 $1 - sin^2 x = cos^2 x$，化简分式：$\frac{cos x (1 + sin x)}{1 - sin^2 x} = \frac{cos x (1 + sin x)}{cos^2 x} = \frac{1 + sin x}{cos x}$（5）$\frac{1 - sin^2 x}{1 - cos^2 x}$根据三角函数恒等变换 $1 - sin^2 x = cos^2 x$，将其代入原式：$\frac{1 - sin^2 x}{1 - cos^2 x} = \frac{cos^2 x}{1 - cos^2 x} = cot^2 x$。
第八讲 三角函数化简与求值(答案)
第八讲 三角函数化简与求值一、【基础训练】1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为__⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21______．2． sin75°cos30°－sin15°sin150°＝____22______． 3．已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β＝__4π______． 4．2cos10°－sin20°cos20°＝_3_______．5．若sinx ＋cosx ＝13，x ∈(0，π)，则sinx －cosx ＝__317______．6．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－7π6＝13，则tan(α＋β)＝__1______． 7． 设向量a ＝⎝⎛⎭⎫cosα，22的模为32，则cos2α＝__21-______．8．若5π2≤α≤7π2，则1＋sinα＋1－sinα＝__2sin 2α-______．9．(2015年江苏高考)已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为 3 ． 10．已知θ为锐角,4sin(15)5θ+=,则cos(215)θ-=__50217_______． 二、【思维拓展】例1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值为_－34_______．解：原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.变式训练：已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为__7π4____． 解：tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π4>0，cos 3π4<0， 所以θ 为第四象限角且θ ∈[0,2π)，所以θ ＝7π4.例2．(1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)＝__45______.(2)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝__π2______.解：(1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.变式训练：设()αβ∈0π，，,且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为_ 1665-___．解：()()()()2221tan222tan42tan 131tan 2,423,4251sin 132,212cos 13sin 4tan sin +cos =1,cos 34243sin =cos =55cos cos cos cos si ααααππαππαβαβπαβπαβαππαααααααβαβααβα=∴==>-⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭+=<⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭∴+=-⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭∴∴=+-=++⎡⎤⎣⎦ 又又且，，()16n sin 65αβα+=-例3．已知sinx ＋siny ＝13，求sinx －cos 2y 的最大、最小值．解：()22221sin sin 3=sin 1sin 1sin 1sin 318sin sin 39111sin 612y xx y x x x x x =-∴--⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+-⎛⎫=+-⎪⎝⎭由条件原式[][]1sin sin 1,1sin 1,132sin ,13y x x x =-∈-∈-⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦且111sin 6124sin 19x x ∴=-=当时，原式取最小值-当时，原式取最大值例4．已知向量a ＝(3sinα，cosα)，b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b ．求：(1) tanα的值； (2) cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值． 解：（1）()22226sin cos 5sin 4cos 06sin 5sin cos 4cos 03,2cos 0tan 026tan 5tan 4014tan =tan =23a bααααααααπαπαααααα∴+-=+-=⎛⎫∈∴≠< ⎪⎝⎭∴+-=-⊥即又且解得（舍）或（2）3,223,24tan24tan =31tan 222sin 22cos()23παπαππααααααπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭∴<-∴=-∴==∴+= 或（舍）三、【能力提升】1． 已知sinx －siny ＝－23，cosx －cosy ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y)＝_5-_______．2． 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cosα－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝___14-_____．3． 已知sinθ＋cosθ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ＝_725-_______．4． 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝___79-_____．5．若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，1712π＜x ＜74π，则sin2x ＋2sin 2x 1－tanx = 2875- ．6．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sinα＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值为___45-_____．7．已知tanα＝17，tanβ＝13，且α、β∈(0，π)，则α＋2β＝__4π______．8．已知向量a ＝(cos2α，sinα)，b ＝(1,2sinα－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝___17_____．9．已知tanα，tanβ是方程x 2－5x ＋6＝0的两个实数根，则2sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)＋cos 2(α＋β)的值为_6_______．11．已知x ,y 均为正数,,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且满足sin cos x y θθ=,222222cos sin 103()x y x y θθ+=+,则xy的值为．12．(2015年江苏高考) 设向量a k =(6cos 6sin ,6cosπππk k k +)，(12,,2,1,0 =k )，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210、255．求： (1) tan(α＋β)的值；(2) α＋2β的值解：（1）()1tan 7,tan 2tan tan tan 31tan tan A B y x αβαβαβαβ⎝⎭⎝⎭∴===+∴+==--由条件，（2）()()21tan 22tan 4tan 21tan 30,220,4tan 2132,42tan 71,422,2tan 21324ββββπββπβππβαππαπαβπαβπαβ=∴==-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴∈=>⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭=>⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭+=-∴+=又又14．已知向量a ＝(1＋sin2x ，sinx －cosx)，b ＝(1，sinx ＋cosx)，设函数f(x)＝a·b ．(1) 求f(x)的最大值及相应的x 值； (2) 若f(θ)＝85，求cos2⎝⎛⎭⎫π4－2θ的值． 解：（1）()f x a b =⋅max 1sin 2(sin cos )(sin cos )1)4sin(2)=12=2,4423,()18x x x x x x x x k k Z x k k Z f x πππππππ=++-+=+---+∈=+∈=+当时，即即时，（2）228()1)453)45sin(2)410=12sin 2412sin 241625f πθθπθπθπθπθ=+-=-=∴-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=原式。
三角函数化简求值练习题(超级好)
三角化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．11． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求角A 。
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a
2sin 4-a 2cos 4a 2cos 2a 2sin ,21tan +-=则
252
5-14114
1-a 4asin
2sin 41a 8sin -a 8cos +]sin )a 2[sin(2
1
)cosa sin(a βββ-+-+§3.2.2 三角函数化简及证明
编者：任传军
【学习目标 细解考纲】
1． 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明（包括引出半角、积化和差、和差化积公式，但不要求记忆）；
2．
掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。
【知识梳理、双基再现】
1．cosαcosβ= ；sinαcosβ=
2．sinθ+sinφ= ； sinθ-sinφ= ；
cosθ+cosφ= ； cosθ-cosφ=
【小试身手、轻松过关】
1.已知 的值是（ ） A. B. C. D.
2. 4cos 22sin 2+-等于 （ ）
A. 2sin
B. 2cos -
C. 2cos 3
D.
2cos 3- 3. 等于（ ） A.
cosa B. cos2a C. sina D a 2sin
4.化简4cos 224sin 12+++的结果是 。
【基本训练、锋芒初显】
5. 可化简为（ ）
)2
x 4
tan()4x x tan(--+ππ2x tan 2x tan 20
70sin 020sin -010cos 22123a
a -1tan =θ=++θθθθcos -a 2sin cos a 2sin =-+2a 4sin 82a 2sin 6a 2cos =-+)cos(a )
sin(a ββa)4(2a)sin 4tan(21a 2cos 2+--ππsina sin )cos(a 2sina )a 2sin(β
ββ=+-+ A. ββsin )a 2sin(++- B. )a 2sin(β+-
C. βsin
D. 0
6.化简 等于 A. tanx B. 2tanx C. D. .
7. 的值是（
） A. B. C.3 D. 2 8. )1020tan 3(
010cos 070tan -•等于（ ） 9. 若 （其中0<a<1）化简 10.
11.如果βtna tana,是方程03x 32x =--两根，则 。
12．
化简
13．求证：
【举一反三、能力拓展】
14．讨论函数ααααcos cos )cos(2cos )22cos(2
1)(2x x x x f --+-=的值域、周期性、奇偶性及单调性
15．设()()()z k k m m ∈≠+≠+=πβαβαβ,02sin sin ，
求证：()αβαtan 11tan m m
-+=+
【名师小结、感悟反思】
无论是化简还是证明都要注意：
（1）角度的特点
（2）函数名的特点
（3）化切为弦是常用手段
（4）升降幂公式的灵活应用
）a 4(2cos a)-4cos(a)-42sin(1a 2cos 2-•-πππ
a)-4cos(a)42sin(1a 2cos 2π
π•--
§3.2.2 三角函数化简及证明
【知识梳理、双基再现】
1．12[cos(α+β)+cos(α-β)]；12
[sin(α+β)+sin(α-β)]； 2．2sin 2θϕ+cos 2θϕ-；2cos 2θϕ+sin 2
θϕ-； 3．2cos 2θϕ+cos 2θϕ-；-2sin 2θϕ+sin 2
θϕ- 【小试身手、轻松过关】
1.C
2.D
3.B
4.2sin2
【基本训练、锋芒初显】
5.C.
6.B
7.C
8.C
9.-2
10.cos α 11.32
- 12. 解：原式＝
＝
1a 2cos a 2cos cos2a 1-a 2
cos 2==.sina sin )cos(a 2sina )a 2sin(sina βββ＝得：+-+=
13. 证明 ∵)sina cos(a 2)a 2sin(ββ+-+
=)sina cos(a 2a])sin[(a ββ+-++
＝)sina cos(a 2)sina cos(a )cosa sin(a βββ+-+++
＝)sina cos(a )cosa sin(a ββ+-+
＝a]-)sin[(a β+
＝.sin β
两边同除以
【举一反三、能力拓展】
14.解：ααααcos cos )cos(2cos ]1)(cos 2[2
1)(22x x x x f --+--= =αααα22cos cos cos )cos(22
1)(cos +----x x x =2
1cos ]cos cos 2))[cos(cos(2-+---ααααx x x =2
1cos ]cos cos sin )[sin cos(2-+--ααααx x x =ααα2cos 21)]cos()[cos(++--x x x 2cos 2
1-= ∴)(x f 的值域为]2
1,21[-，周期为π，是偶函数， 当)](2,[Z k k k x ∈+∈πππ时)(x f 是增函数，当)](,2[Z k k k x ∈-∈πππ时)(x f 是减函数。
15. 思路点拨：已知等式中的角有：βαβ+2,
结论等式中的角有：αβα,+
联系：()αβαβ-+=，()αβαβα++=+2
证明：因为()()12sin sin ≠+=m m βαβ
所以()[]()[]αβααβα++=-+sin sin m
所以()()()()αβααβααβααβαsin cos cos sin sin cos cos sin +++=+-+m m 所以()()()()αβααβαsin cos 1cos sin 1++=+-m m
所以()αβαtan 11tan m m -+=
+。