二次函数的应用(4)喷泉问题汇总

二次函数与实际问题
4.《有关“喷泉”问题》
100 50 0
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
东部 西部 北部
例1.如图,某喷灌设备的喷头B高出地面1.4m,如果
喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与喷头y(m)
之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+3.求水流落地点
D与喷头底部A的距离(精确到0.1m)
y
●B(1.57,3.72)
●A(0,1.25)
数学化
●
D(-3.5,0) O
●x
C(3.5,0)
设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-(x-11/7)2+729/196.
或设抛物线为y=-x2+bx+c,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-x2+22/7X+5/4.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理,点D的坐标为(-2.5,0).
根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m, 才能使喷出的水流不致落到池外.
喷泉与二次函数
解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),点C坐标为(3.5,0).
y
x
11
2
729
7 196
探究一：如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.
在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中 心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各 个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮, 要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度 2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多 少时能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛 物线形状与(1)相同,水池的半径为 3.5m,要使水流不落 到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
A
O
喷泉与二次函数
解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为
(0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25).
y x 12 2.25
y
●B(1,2.25)
●A(0,1.25)
数学化
●
D(-2.5,0)
O
x●
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-(x-1)2+2.25.
4
0,
20 9
2
（4，4） （5，4） (７，３） ● （8，3）
01
2
3
4
55
6
7
8
9
10
X
-2
❖ 6.如图所示，一单杠高2.2m，两立柱间的距 离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与铁 杠的结合处A、B，绳子自然下垂，虽抛物线 状，一个身高0.7m的小孩站在距立柱0.4m处， 其头部刚好触上绳子的D处，求绳子的最低 点O到地面的距离．
❖ 在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（来自百度文库，4）
（8，3）
8,
20 9
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
x
❖ 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
6y
由此可知,如果不计其它因素,那么水流的最大高度应达到约3.72m.
探究二：在要修建一个圆形水
池,在池中心竖直安装一根水 管.在水管的顶端安装一个喷 水头,使喷出的抛物线形水柱 在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地 喷头 处离池中心3m,水管应多长?
水管
小结与思考
实际问题中的所求 数学问题中的所求 实际问题的数据 数学问题中的数据
解:因为水流抛物线对应的
y
二次函数为y=a(x-4)2+3,
且抛物线经过点B(0,1.4),
所以: 1.4=a(0-4)2+3 解得a=-0.1.
所以: y=-0.1(x-4)2+3
B o (A)
Dx
把y=0代入得: -0.1(x-4)2+3=0
解得x1≈-1.5(负值舍去),x2≈9.5
答:水流落地点与喷头底部的距离约为9.5m.
用数学中的二次函数解决实际问题
完成作业纸和课时作业
实际问题 抽象 数学问题 运用 问题的解
转化
数学知识
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P28练习题,P35第12题
谢谢大家，再会!
结束寄语 • 生活是数学的源泉.
y
（4，4）
20 9
a 1 9
y 1 x 42 4 (0≤x≤8)
9
0
4
8
x
如图，建立平面 直角坐标系，
点（4，4）是图中这段抛物
线的顶点，因此可设这段抛
物线对应的函数为：
y ax 42 4 (0≤x≤8)
当x 8时，y 20 9
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
抛物线经过点 0，20
20
9
a0 42 4
9
若假设出手的角度和力度都不变, 探究 则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点