天津市西青区杨柳青第一中学高数学第一次月考试题(无答案)
天津市西青区杨柳青第一中学2023-2024学年高二下学期第一次质量检测数学试题
天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性检测（3月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集为R ，集合{}|02A x x =<≤，{}|1B x x =>，则()R A C B =I （ ） A ．{}|01x x <≤B ．{}1|0x x <<C ．{}|12<≤x xD ．{}2|x x ≤2．设x ∈R ，则“()()130x x +-<”是“1x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数()f x 在0x x =处存在导数为2，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．4B ．12C ．2D ．14．函数()f x 的导函数()f x '，满足关系式()()222ln f x x xf x '=+-，则()2f '的值为（ ）A ．72-B ．72C ．12-D ．125．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．6．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线:60l x y +-=的距离的最小值为（ ）A ．B ．CD 7．已知函数()22ln f x ax x x =-+存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),2-∞C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],2-∞8．已知定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x '，()1e f =，且对任意的x 满足()()e x f x f x <'-，则不等式()e x f x x >的解集是（ ）A ．(),1-∞B ．(),0∞-C ．()0,∞+D ．()1,+∞9．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上､下焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的上支交于M ，N 两点，若2MF ，MN ，2NF 成等差数列，且12MF MF ⊥，则该双曲线的离心率为（ ） ABCD二、填空题 10．函数()ln xf x x=极大值点为． 11．若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．12．曲线()322f x x x =-过原点的切线方程为.13．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则57210a ab b +=+． 14．若0,0a b >>，且820b a ab +-=，则2a b +的最小值为.15．已知函数3e ,111(),()11,12xx x f x g x x a x x x ⎧>-⎪⎪+==++⎨⎪+≤-⎪⎩．若(())0g f x =有三个不同的根，则a 的取值范围为．三、解答题16．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124AB A B ==，,E F 分别为,DC BC 的中点，上下底面中心的连线1O O 垂直于上下底面，且1O O 与侧棱所在直线所成的角为45o .(1)求证：1BD ∥平面1C EF ； (2)求点1A 到平面1C EF 的距离；(3)边BC 上是否存在点M ，使得直线1A M 与平面1C EF存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由 17．已知函数()f x 12=()22ln 2x a x a x +--. （1）当1a =时，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值和最大值； （2）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性.18．椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足BF AB (1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN V19．已知数列{}n a 为等差数列，47a =，713a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*22N n n S b n =-∈，(1)求{}{},n n a b 的通项公式．(2)已知()2,34,n n n n n n n a b n c a b n a a+⎧⎪=-⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．(3)求证：112211log 3ni i i a b =+<∑．20．已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行. (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程()22f x m x x +=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上给有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；(3)记函数()()212g x f x x bx =+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值.。
天津市西青区杨柳青第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
答案第21 页，共22 页
【详解】 b = 0 时， f (x) = cos x + b sin x = cos x , f (x) 为偶函数； f (x) 为偶函数时， f (-x)=f (x) 对任意的 x 恒成立， f (-x) = cos(-x) + b sin(-x) = cos x - b sin x cos x + b sin x = cos x - b sin x ，得 bsinx = 0 对任意的 x 恒成立，从而 b = 0 .从而“ b = 0 ”是
【分析】求出 x -1 < 1 的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】 x -1 < 1 等价于 0 < x < 2 ，故 0 < x < 5 推不出 x -1 < 1 ；
由 x -1 < 1 能推出 0 < x < 5 ．
故“ 0 < x < 5 ”是“| x -1|< 1”的必要不充分条件． 故选 B． 【点睛】充要条件的三种判断方法：
a b
>
a c
不成立，排除
A
选项；
取 a = 4,b = 3, c = 0, d = -1，计算知 ac > bc 不成立，排除 B 选项；
取
a
=
4, b
=
3, c
=
0,
d
=
-1，计算知
a
1 -
c
<
b
1 -d
不成立，排除
C
选项；
当
a
>
b
>
c
>
d
时，
a
-
天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷
天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（ ） A ．{}43x x -<< B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1,2D ．{}14x x -<<2．“0xy =”是“220x y +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．三个数2log 0.7a =，20.3b =，0.32c =的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<4．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）A ．e e xxxy -=+B ．cos y x x =C ．()e e x xy x -=-D ．()cos e e x xy x -=+5．随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为ˆˆ0.24y x a =+，则下列说法错误的是（ ） A ．根据表中数据可知，变量y 与x 正相关B ．经验回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.28a = C ．可以预测6x =时房屋交易量约为1.72（万套） D ．5x =时，残差为0.02-6．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为积为（ ）A ．BC ．D ．7．将函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()2πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()g x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线π4x =是()g x 图象的一条对称轴8．已知双曲线C ：22221()00a x y a bb >-=>，，圆221:(2)4O x y -+=与圆222:(1)1O x y +-=的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为（ ）AB ．2C D9．已知函数()1πcos sin 222f x x x x ωωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（ω∈R ，且0ω>），x ∈R ，若函数()f x 在区间()0,2π上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为（ ） A ．1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦．C ．1319,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1319,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题10．i 是虚数单位，复数42i1i+=-． 11．53212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是．（用数字作答）12．袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为.13．在ABC V 中，已知3DC BD =u u u r u u u r ，P 为线段AD 的中点，若BP BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则11λμ+=．14．已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是． 15．已知函数()e -=x tf x ，()e =-+g x x ，()()(){}max ,h x f x g x =，其中{}max ,a b 表示a ，b 中最大的数．若1t =，则()0h =；若()e h x >对R x ∈恒成立，则t 的取值范围是．三、解答题16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b =sin A C =，cos B =. (1)求a 的值； (2)求cos C 的值； (3)求()sin 2+C B 的值.17．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，,//AD CD AB CD ⊥，2,4AB AD PD CD ====，点E 是棱PC 上靠近P 端的三等分点，点F 是棱PA 上一点.(1)证明：//PA 平面BDE ； (2)求点F 到平面BDE 的距离；(3)求平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左顶点A 与上顶点B (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 上，且P 点不在x 轴上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ △为等边三角形，求直线AP 的方程.19．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(){}*n n S n b ∈N ，是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若数列{}n c 满足：21n n n n na c a ab ++=⋅⋅，求数列{}nc 的前n 项和n T ；(3)若数列{}n d 满足：11n n n n n b bd b b =++-，证明：121ni i d n =<+∑. 20．设函数()2ln f x x x =+.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设函数()()()R g x f x ax a =-∈（i ）当1x =时，()g x 取得极值，求()g x 的单调区间； （ii ）若()g x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()212142g x g x a x x a ->--.。
高数学第一次月考试题
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
西青区杨柳青第一中学2021-2021学年高数学第一次月考试题〔无答案〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一. 选择题〔本大题一一共8小题，每一小题4分，一共32分〕1. 以下命题中正确的选项是〔 〕 A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B ．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥2. 右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的〔 〕.A. B. C. D.3. 假如一个几何体的正视图是矩形，那么这个几何体不可能是〔 〕.4. 球的体积与其外表积的数值相等，那么球的半径等于〔 〕A ．21B ．1C ．2D ．35. 过正三棱柱底面一边的截面是〔 〕A ．三角形B ．三角形或者梯形C ．不是梯形的四边形D ．梯形6. 一长方体一共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为〔 〕 A ．23 B ．32 C ．6 D ．67. 圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面〔过轴的截面〕是〔 〕 A ．顶角为30°的等腰三角形 B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．其他等腰三角形8. b a ,是空间两条不相交的直线，那么过直线b 且平行于直线a 的平面〔 〕二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分〕9. 直观图〔如右图〕中，四边形A ′B ′C ′D ′为菱形且边长为2cm ， 那么在xoy 坐标中四边形ABCD 面积为______cm 2．10. 底面是边长为2的正三角形的三棱柱,其正视图(如右图所示的矩形)的面积为8，那么侧视图的面积为 .11. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=3，AA 1=2，那么一只小虫从A 点沿长方体的外表爬到C 1点的最短间隔 是 ．12. 一个正方体的顶点都在球面上，它的外表积与正方体的外表积之比为 .13. 如图，一个封闭的立方体，它的六个外表各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母D'C'B'A'O'Y'X'正视图11本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
天津杨柳青第一中学高三数学文月考试题含解析
天津杨柳青第一中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=( )A．9 B．5 C．D．参考答案：A考点：等差数列的性质．专题：计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项及求和公式，即可得出结论．解答：解：∵等差数列{a n}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，故选：A．点评：本题考查等差数列的通项及求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C 3. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求得ω，根据图象的对称中心求得φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律得出结论．解答：解：由题意可得函数的最小正周期为=2×，∴ω=2．再根据﹣×2+φ=kπ，|φ|＜，k∈z，可得φ=，f（x）=sin（2x+），故将f（x）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4. 以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角；④空间中，两向量的夹角，可能为钝角的有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B略5. 已知等比数列的前n项和为,若,则等于A. 3B.C.D. 2参考答案：C略6. 已知向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：B略7. 对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：上述数据的统计分析中，一部分计算见如下图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是（）A．43 B．56 C．7 D ．8参考答案：C8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．C．1 D．2参考答案：【知识点】程序框图。
天津市杨柳青一中2010-2011学年高一3月月考(数学)缺答案
杨柳青一中2010-2011学年第二学期高一数学第一次月考试卷（2011.3）一．选择题（每题4分，共40分）1．在△ABC 中，已知8=a ，B=060，C=075，则b 等于 （ ）A ．64B ．54C ．34D ．322 2. 在△ABC 中， BC=1，AC=3，A=30°则B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°3. 两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km), 灯塔A 在C 北偏东30°, B 在C 南偏东60°,则A,B 之间相距 （ ）A ．a (km)B ．3a (km)C ．2a (km)D ．2a (km)4. 已知数列}{n a 满足)(11,41*11N n a a a nn ∈-=-=+，则5a =（ ） A ．5 B ．-5 C ．54 D ．41- 5. 在等差数列963852741,29,45,}{a a a a a a a a a a n ++=++=++则中等于（ ） A ． 13 B ． 18 C ． 20 D ．226. 在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=（ ）A. 33B. 72C. 84D. 1897. 已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列，则b 2(a 2-a 1)= （ ） A . 8 B . -8 C .±8 D . 8. △ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ） A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+9. 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）8910. 已知两个数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且,3457++=n n B A n n 则使得nn b a 为整数的正整数n 的个数有 （ ）A.2个B.3个C.4个D.5个二．填空题（每题４分，共24分）11. 在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为12. {}n a 是等差数列，281,5a a =-=，则数列{}n a 的前9项和9S =____________.13. 若△ABC 的面积为4222c b a -+，则内角C 等于_______________. 14. 若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则数列{}n na 中数值最小的项是第项．15. 已知数列2004，2005，1，2004-，2005-，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和2004S 等于.杨柳青一中2010-2011学年第二学期高一数学第一次月考答题纸（2011.3）二．填空题（每题４分，共24分）11． 12． 13．14． 15。
2022-2023学年天津市西青区杨柳青一中高三(上)第一次适应性数学试卷(学生版+解析版)
2022-2023学年天津市西青区杨柳青一中高三（上）第一次适应性数学试卷一、单选题（每小题5分，共45分）1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5，6}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A ∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4}2．（5分）“sin x=√22”是“x=2kπ+π4(k∈Z)”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f(x)=x3−3xe|x|在[﹣5，5]的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据（单位：吨），得到如图所示的频率分布直方图．估计该市居民月均用水量的中位数为（ ）A ．8.25B ．8.45C ．8.65D ．8.855．（5分）已知a =log 123，b ＝ln π，c =e−12，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞c ＞a B ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b6．（5分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为（ ）A ．√23B ．√33C ．23D ．437．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），抛物线y 2＝4cx 的准线与双曲线的一个交点为P ，点M 为线段PF 的中点，且△OFM 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√2+1C ．√5+12D ．√10+√228．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，其中A(π12，2)，B(π3，0)，则下列说法错误的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后关于原点对称C ．f （x ）在[−π，−2π3]上单调递减 D ．直线x =7π12为f （x ）图象的一条对称轴 9．（5分）如下图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD =π3，CB =CD =2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →⋅DM →的最小值为（ ）A ．83B ．214C ．−114D ．−133二、填空题（每小题5分，共30分）10．（5分）已知复数z =1+3i 1+i （i 为虚数单位），则|z |＝ ．11．（5分）二项式(√x −1√x3)n 的展开式中第4项为常数项，则常数项为 ． 12．（5分）已知直线x +y −√3a ＝0与圆C ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝2a 2﹣2a +1相交于点A ，B ，若△ABC 是正三角形，则实数a ＝ ．13．（5分）为了抗击新冠肺炎疫情，现从A 医院150人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B 医院至少有一人的概率是 .设两名联络人中B 医院的人数为X ，则X 的期望为 ．14．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则nm+12n的最小值为 ，此时m 的最大值为 ．15．（5分）已知函数f （x ）={x 2+(4a −3)x +3a ，x ＜0log a (x +1)+1，x ≥0（a ＞0且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|＝2﹣x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 ． 四、解答题（共75分）16．（15分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝2√7，c ＝2，B =π3． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin A ；（Ⅲ）求sin （B +2A ）的值．17．（15分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面P AB ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝AB ＝2，CF =13CD =12，P A ＝PB =√5，E ，N 分别为AB ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：CN ∥平面PEF ； （Ⅱ）求二面角N ﹣CD ﹣A 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点Q ，使NQ 与平面PEF 所成角的正弦值为√1414，若存在求出BQ 的长，若不存在说明理由．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，左右焦点为F 1，F 2离心率为12，短轴长为2√3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线y ＝x +m （m ＞0）与椭圆交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，求m ．（3）若点A 在椭圆上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆交于另外一点B ，设点M 在椭圆上，记三角形OAB 与三角形MAB 的面积分别为S 1、S 2，若S 2＝3S 1，求M坐标．19．（15分）已知{a n}为等差数列，{b n}为公比大于0的等比数列，且b1＝2，b2+b3＝12，a3＝3，a4+2a6＝b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）d n={(3a n+1+5)b n+1(a n b n+1)(a n+2b n+2+1)，n=2k−1a nb n，n=2k，（k∈N*），求数列{d n}的前2n项和S2n；（3）记∁m为{b n}在区间（0，m]（m∈N*）中项的个数，求数列{∁m}的前200项和T200．20．（15分）已知f（x）＝x2﹣4x﹣6lnx．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程以及f（x）的单调性；（Ⅱ）对∀x∈（1，+∞），有xf′（x）﹣f（x）＞x2+6k（1−1x）﹣12恒成立，求k的最大整数解；（Ⅲ）令g（x）＝f（x）+4x﹣（a﹣6）lnx，若g（x）有两个零点分别为x1，x2（x1＜x2）且x0为g（x）的唯一的极值点，求证：x1+3x2＞4x0．2022-2023学年天津市西青区杨柳青一中高三（上）第一次适应性数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共45分）1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5，6}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A ∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4}【解答】解：因为A∩C＝{1，2}，所以（A∩C）∪B＝{1，2，3，4}．故选：D．2．（5分）“sin x=√22”是“x=2kπ+π4(k∈Z)”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵sinx=√2 2，∴x＝2kπ+π4（k∈Z）或x＝2kπ+3π4（k∈Z），∴“sin x=√22”不能推出“x=2kπ+π4(k∈Z)”，充分性不成立，“x=2kπ+π4(k∈Z)”能推出“sin x=√22”，必要性成立，故“sin x=√22”是“x=2kπ+π4(k∈Z)”的必要不充分条件．故选：A．3．（5分）函数f(x)=x3−3xe|x|在[﹣5，5]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f(x)=x3−3xe|x|在[﹣5，5]，则f（﹣x）=−x3+3xe|x|=−f（x），所以f（x）为奇函数，故排除B；由f（5）=53−15e5=110e5＞0，故排除AC．故选：D．4．（5分）某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据（单位：吨），得到如图所示的频率分布直方图．估计该市居民月均用水量的中位数为（）A ．8.25B ．8.45C ．8.65D ．8.85【解答】解：由频率分布直方图，可知月均用水量在5.2吨以下的居民用户频率为4×0.06＝0.24，月均用水量在9.2吨以下的居民用户的频率为4×（0.06+0.08）＝0.56＞0.5， 故中位数落在区间（5.2，9.2）内．设中位数为x ，则0.24+（x ﹣5.2）×0.08＝0.5， 即x =5.2+0.5−0.240.08=8.45．故估计该市居民月均用水量的中位数为8.45． 故选：B ．5．（5分）已知a =log 123，b ＝ln π，c =e−12，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【解答】解：a =log 123＜log 121=0，b ＝ln π＞lne ＝1， 0＜c =e−12＜e 0＝1，所以a ＜c ＜b ． 故选：A ．6．（5分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为（ ）A ．√23B ．√33C ．23D ．43【解答】解：如图所示，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，因为三棱锥高为12，直三棱柱高为1，AG =√1−(12)2=√32，取AD 的中点M ，则MG =√22，所以S △AGD =12×1×√22=√24， 所以该多面体体积V =√24×1+2×13×√24×12=√23， 故选：A ．7．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），抛物线y 2＝4cx 的准线与双曲线的一个交点为P ，点M 为线段PF 的中点，且△OFM 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√2+1C ．√5+12D ．√10+√22【解答】解：抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，代入双曲线方程有c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =b 2a ，∴点P 的坐标为(−c ，b2a)，∵点M 为线段PF 的中点，且F （﹣c ，0），∴M （﹣c ，b 22a），∵△OFM 为等腰直角三角形，∴b 22a=c 即2ac ＝b 2＝c 2﹣a 2，∴(ca)2−2⋅c a−1=0，解得c a=1±√2（舍负），∴c a=1+√2． 故选：B ．8．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，其中A(π12，2)，B(π3，0)，则下列说法错误的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后关于原点对称C ．f （x ）在[−π，−2π3]上单调递减 D ．直线x =7π12为f （x ）图象的一条对称轴 【解答】解：由题意得，T4=π3−π12=π4，则T =π，ω=2πT =2，而f(π12)=2， 即π6+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，解得φ=π3+2kπ(k ∈Z)，∵|φ|＜π2， ∴φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3)，故A 正确；函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后，得到f(x −π6)=2sin2x ，该函数图象关于原点对称，放B 正确；∵x ∈[−π，−2π3]，∴2x +π3∈[−5π3，−π]，则f （x ）在[−π，−2π3]上先增后减，故C 错误；∵f(7π12)=2sin 3π2=−2，∴直线x =7π12为f （x ）图象的一条对称轴，故D 正确． 故选：C ．9．（5分）如下图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD =π3，CB =CD =2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →⋅DM →的最小值为（ ）A ．83B ．214C ．−114D ．−133【解答】解：如图所示：以B 0为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴． 过点D 作DP ⊥y 轴，过点D 作DQ ⊥y 轴．∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，CB ＝CD ＝2√3． ∴B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），D （3，√3）． 设M （0，a ），则AM →=(−2，a)，DM →=(−3，a −√3)． 故AM →⋅DM →=6+a(a −√3)=（a −√32）2+214≥214． 故选：B ．二、填空题（每小题5分，共30分） 10．（5分）已知复数z =1+3i1+i（i 为虚数单位），则|z |＝ √5 ． 【解答】解：∵z =1+3i 1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=4+2i2=2+i ． ∴|z |＝|2+i |=√22+12=√5． 故答案为：√5．11．（5分）二项式(√x −1√x3)n 的展开式中第4项为常数项，则常数项为 ﹣10 ．【解答】解：由题意可知(√x −1√x 3)n 的展开式的常数项为T 4=C n 3(√x)n−3(−1√x3)3=(−1)3C n 3x n−52，令n ﹣5＝0，可得n ＝5．故所求常数项为T 4=(−1)3C 53=−10． 故答案为：﹣10．12．（5分）已知直线x +y −√3a ＝0与圆C ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝2a 2﹣2a +1相交于点A ，B ，若△ABC 是正三角形，则实数a ＝12．【解答】解：设圆C 的半径为r ，由2a 2−2a +1=2(a −12)2+12＞0 则r =√2a 2−2a +1 ∵△ABC 是正三角形，∴点C （﹣1，1）到直线AB 的距离为√32r ，即√3a|√2=√32√2a 2−2a +1，化简整理可得，3a 22=34(2a 2−2a +1)，解得a =12．故答案为：12．13．（5分）为了抗击新冠肺炎疫情，现从A 医院150人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B 医院至少有一人的概率是 710.设两名联络人中B 医院的人数为X ，则X 的期望为45．【解答】解：按分层抽样的方法，这5人中，A 医院有5×150150+100=3人，B 医院有5×100150+100=2人， 故从这5人中选2人，B 医院至少有1人的概率为：C 31C 21C 52+C 22C 52=710，由题意知X 取0，1，2， 当X ＝0时，P =C 32C 52=310， 当X ＝1时，P =C 31C 21C 52=35，当X ＝2时，P =C 22C 52=110，故X 的数学期望E （X ）=310×0+35×1+110×2=45， 故答案为：710，45．14．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则nm+12n的最小值为54，此时m 的最大值为43．【解答】解：nm+12n=n m+24n =n m +m+n 4n=n m+m 4n+14≥2√nm ⋅m4n+14=54，当且仅当{n m =m 4nm +n =2，即m =43，n =23时，等号成立．故答案为：54；43．15．（5分）已知函数f （x ）={x 2+(4a −3)x +3a ，x ＜0log a (x +1)+1，x ≥0（a ＞0且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|＝2﹣x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 [13，23]∪{34} ．【解答】解：函数f （x ）={x 2+(4a −3)x +3a ，x ＜0log a (x +1)+1，x ≥0（a ＞0且α≠1）在R 上单调递减，则：{3−4a2≥00＜a ＜102+(4a −3)⋅0+3a ≥log a (0+1)+1；解得，13≤a ≤34．由图象可知，在[0，+∞）上，|f （x ）|＝2﹣x 有且仅有一个解， 故在（﹣∞，0）上，|f （x ）|＝2﹣x 同样有且仅有一个解， 当3a ＞2即a ＞23时，联立|x 2+（4a ﹣3）x +3a |＝2﹣x ， 则Δ＝（4a ﹣2）2﹣4（3a ﹣2）＝0， 解得a =34或1（舍去），当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件， 综上：a 的取值范围为[13，23]∪{34}，故答案为：[13，23]∪{34}．四、解答题（共75分）16．（15分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝2√7，c ＝2，B =π3． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin A ；（Ⅲ）求sin （B +2A ）的值．【解答】解：（Ⅰ）因为b ＝2√7，c ＝2，B =π3，由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，可得28＝a 2+4﹣2×a ×2×12，可得a 2﹣2a ﹣24＝0， 解得a ＝6，或﹣4（舍去），即a 的值为6．（Ⅱ）由正弦定理asinA =bsinB ，可得sin A =a⋅sinB b =6×√322√7=3√2114．（Ⅲ）因为cos A =b 2+c 2−a 22bc =28+4−362×2√7×2=−√714， 所以sin2A ＝2sin A cos A ＝2×3√2114×（−√714）=−3√314，cos2A ＝2cos 2A ﹣1＝2×128−1=−1314， sin （B +2A ）＝sin B cos2A +cos B sin2A =√32×（−1314）+12×（−3√314）=−4√37．17．（15分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面P AB ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝AB ＝2，CF =13CD =12，P A ＝PB =√5，E ，N 分别为AB ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：CN ∥平面PEF ； （Ⅱ）求二面角N ﹣CD ﹣A 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点Q ，使NQ 与平面PEF 所成角的正弦值为√1414，若存在求出BQ 的长，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PE 中点G ，连接GN ，FN ，GN ∥BE ，GN =12， 即GN ∥CF ，GN ＝CF 所以GNCF 为平行四边形，所以CN ∥FG ， 因为CN ⊄平面PEF ，FG ⊂平面PEF ，所以CN ∥平面PEF ． （Ⅱ）解：因为P A ＝PB ，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB ，因为AD ＝AB ＝2，CF =13CD =12，所以CD =32，DF ＝AE ＝1，所以EF ⊥AB ， 又因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，且它们的交线为AB ，所以PE ⊥平面ABCD ， 又CD ∥AB ，AD ⊥AB ，分别以EB ，EF ，EP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．P(0，0，2)，C(12，2，0)，D(−1，2，0)，A(−1，0，0)，B(1，0，0)，N(12，0，1)， 平面CDA 的法向量m →=(0，0，1)，CD →=(−32，0，0)，CN →=(0，−2，1)，设平面CDN 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CD →=0n →⋅CN →=0，即{32x =0，−2y +z =0，令y ＝1，得n →=(0，1，2)．所以cos ＜m →，n →＞=2√5=2√55，所以二面角N ﹣CD ﹣A 的余弦值为2√55．（Ⅲ）解：设BQ →=λBC →=(−12λ，2λ，0)，Q(−12λ+1，2λ，0)，NQ →=(−12λ+12，2λ，−1)，平面PEF 的法向量p →=(1，0，0)， 所以cos ＜NQ →，p →＞=|−12λ+12|√(−12λ+12)+(2λ)2+1=√1414，解得λ=13或λ＝﹣9（舍），所以BQ =√176．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左右焦点为F 1，F 2离心率为12，短轴长为2√3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线y ＝x +m （m ＞0）与椭圆交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，求m ．（3）若点A 在椭圆上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆交于另外一点B ，设点M 在椭圆上，记三角形OAB 与三角形MAB 的面积分别为S 1、S 2，若S 2＝3S 1，求M 坐标．【解答】解：（1）由题意可得{2b =2√3e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得：b =√3，a ＝2，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{y =x +m3x 2+4y 2=12，整理可得：7x 2+8my +4m 2﹣12＝0， Δ＝64m 2﹣4×7（4m 2﹣12）＞0，即m 2＜7， 且x 1+x 2=−8m 7，x 1x 2=4m 2−127，y 1y 2＝（x 1+m ）（x 2+m ）＝x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=4m 2−127−8m 27+m 2=3m 2−127， 因为OP ⊥OQ ，所以OP →•OQ →=0， 即x 1x 2+y 1y 2＝0， 即4m 2−127+3m 2−127=0，整理可得：7m 2＝24，m ＞0，可得m =2√427符合Δ＞0， 所以m 的值为：2√427；（3）由（1）可得A （1，32），F 2（1，0），F 1（﹣1，0），可得直线AF 1的方程为y =321−(−1)（x +1），即y =34（x +1），联立{y =34(x +1)3x 2+4y 2=12，整理可得7x 2+6x ﹣13＝0，解得x ＝1（舍）或x =−137，可得y =34（−137+1）=−914， 即B （−137，−914），所以S △AOB =12|OF 1||32−（−914）|=12•1•157=1514；由题意可得S △MAB ＝3S △AOB =4514， 因为|AB |=√(1+137)2+(32+914)2=257， 设M （m ，n ），设M 到直线AB 的距离d ，则12•d •257=4514，可得d =95，而直线AB 的方程为3x ﹣4y +3＝0，则d =|3m−4n+3|√32+(−4)2=|3m−4n+3|5=95， 所以3m ﹣4n ＝6或3m ﹣4n ＝﹣12， 因为M 在椭圆上，可得m 24+n 23=1，所以{3m −4n =63m 2+4n 2=12或{3m −4n =−123m 2+4n 2=12， 解得m ＝2，n ＝0或m =−27，n =−−127， 即M （2，0）或（−27，−127）19．（15分）已知{a n }为等差数列，{b n }为公比大于0的等比数列，且b 1＝2，b 2+b 3＝12，a 3＝3，a 4+2a 6＝b 4．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）d n ={(3a n+1+5)b n+1(a n b n +1)(a n+2b n+2+1)，n =2k −1a nb n，n =2k ，（k ∈N *），求数列{d n }的前2n 项和S 2n ；（3）记∁m 为{b n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中项的个数，求数列{∁m }的前200项和T 200． 【解答】解：（1）{a n }为等差数列，{b n }为公比大于0的等比数列， 设公差为t ，公比q ＞0，且b 1＝2，b 2+b 3＝12，a 3＝3，a 4+2a 6＝b 42q +2q 2＝12，整理得q =2，b n =2n ，由于a 1+2t ＝3，a 1+3t +2（a 1+5t ）＝16 所以a 1＝1，t ＝1， 所以a n ＝n ．（2）d n ={(3a n+1+5)b n+1(a n b n +1)(a n+2b n+2+1)，n =2k −1a nb n，n =2k ，故d n={(3n+8)2n+1(n⋅2n +1)((n+2)⋅2n+2+1)，n =2k −1n2n ，n =2k ={2n⋅2n+1−2(n+2)⋅2n+2+1，n =2k −1n2n ，n =2k ． 记B n =222+424+626+⋅⋅⋅+2n 22n B n =24+442+643+⋅⋅⋅+2n 4n 14B n =242+443+644+⋅⋅⋅+2n4n+1，两式作差得：34B n =12+242+243+⋅⋅⋅+24n−2n 4n+1，所以34B n =12+242(1−(14)n−1)1−14−2n4n+1，34B n =12+13×12(1−(12)2n−2)−n(12)2n+1，34B n =12+16−13×(12)2n−1−n(12)2n+1，34B n =23−(13+n 4)(12)2n−1B n =89−(49+n 3)(12)2n−1，A n =(21×2+1−23×23+1)+(23×23+1−25×25+1)+⋅⋅⋅+2(2n−3+2)⋅22n−1+1−2(2n−1+2)⋅22n+1+1， A n =23−2(2n+1)⋅22n+1+1． 数列{d n }的前2n 项和S 2n =A n +B n =23−2(2n+1)⋅22n+1+1+89−(49+n 3)(12)2n−1． 故S 2n =149−2(2n+1)⋅22n+1+1−(49+n 3)(12)2n−1（3）记∁m 为{b n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中项的个数，b n =2n ，C 1＝0，C 2＝C 3＝1，C 4＝C 5＝C 6＝C 7＝2C 8＝C 9＝⋅⋅⋅＝C 15＝3C 16＝C 17＝⋅⋅⋅＝C 31＝4C 32＝C 33＝⋅⋅⋅＝C 63＝5C 64＝C 65＝⋅⋅⋅＝C 127＝6C 128＝C 129＝⋅⋅⋅＝C 200＝7．所以求数列{∁m}的前200项和T200＝2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×64+7×73＝1153．20．（15分）已知f（x）＝x2﹣4x﹣6lnx．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程以及f（x）的单调性；（Ⅱ）对∀x∈（1，+∞），有xf′（x）﹣f（x）＞x2+6k（1−1x）﹣12恒成立，求k的最大整数解；（Ⅲ）令g（x）＝f（x）+4x﹣（a﹣6）lnx，若g（x）有两个零点分别为x1，x2（x1＜x2）且x0为g（x）的唯一的极值点，求证：x1+3x2＞4x0．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣4x﹣6lnx的导数为f′（x）＝2x﹣4−6 x，可得f′（1）＝﹣8，f（1）＝﹣3，所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+3＝﹣8（x﹣1）即y＝﹣8x+5；由f′（x）=2x（x+1）（x﹣3），由f′（x）＞0，可得x＞3；由f′（x）＜0，可得0＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）；（Ⅱ）xf′（x）﹣f（x）＞x2+6k（1−1x）﹣12等价于k＜（x+xlnxx−1）min，可令h（x）=x+xlnxx−1，h′（x）=x−2−lnx(x−1)2，记m（x）＝x﹣2﹣lnx，m′（x）＝1−1x＞0，所以m（x）为（1，+∞）上的递增函数，且m（3）＝1﹣ln3＜0，m（4）＝2﹣ln4＞0，所以∃x0∈（3，4），m（x0）＝0，即x0﹣2﹣lnx0＝0，所以h（x）在（1，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，且h（x）min＝h（x0）=x0+x0lnx0x0−1=x0∈（3，4），所以k的最大整数解为3；（Ⅲ）证明：g（x）＝x2﹣alnx，g′（x）＝2x−ax=(√2x+√a)(√2x−√a)x=0，可得x0=√a2，当x∈（0，√a2），g′（x）＜0，x∈（√a2，+∞），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，√a2）上单调递减，（√a2，+∞）上单调递增，而要使g（x）有两个零点，要满足g（x0）＜0，即g（√a2）＝（√a2）2﹣aln√a2＜0可得a＞2e，因为0＜x1＜√a2，x2＞√a2，令x2x1=t（t＞1），由g（x1）＝g（x2）⇒x12﹣alnx1＝x22﹣alnx2，即x12﹣alnx1＝t2x12﹣alntx1⇒x12=alntt2−1，而x1+3x2＞4x0⇔（3t+1）x1＞2√2a⇔（3t+1）2x12＞8a，即（3t+1）2•alntt2−1＞8a，由a＞0，t＞1，只需证（3t+1）2lnt﹣8t2+8＞0，令h（t）＝（3t+1）2lnt﹣8t2+8，则h′（t）＝（18t+6）lnt﹣7t+6+1 t，令n（t）＝（18t+6）lnt﹣7t+6+1t，则n′（t）＝18lnt+11+6t−1t2＞0（t＞1），故n（t）在（1，+∞）上递增，n（t）＞n（1）＝0；故h（t）在（1，+∞）上递增，h（t）＞h（1）＝0；∴x1+3x2＞4x0．。
天津市西青区杨柳青第一中学2023届高考全真模拟检测数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，两点，对应的复数分别为，，则（）A．B．C．D．2. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为（ ）A．B．C．D．3. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+D ．y = 1764. 过双曲线的左焦点F 作C 的其中一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，l 与C 的另一条渐近线交于点N ，且，则C 的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．5. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67. 若函数f （x ）满足f （1－ln x）＝，则f （2）＝（ ）A．B ．e C．D ．－18.已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）A．B．C．D．9. 某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了天的数据：经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（ ）天津市西青区杨柳青第一中学2023届高考全真模拟检测数学试题(1)天津市西青区杨柳青第一中学2023届高考全真模拟检测数学试题(1)三、填空题四、解答题A．样本中心点为B．C．时，残差为D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大10. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，球的表面积为，三棱锥的体积为，记点到平面的距离为，则（ ）A．B．C．D．11.已知双曲线的方程为，则（ ）A．渐近线方程为B．焦距为C．离心率为D ．焦点到渐近线的距离为812.已知抛物线的准线与x 轴相交于点A ，且抛物线与圆C 恰有两条均过点A 的切点相同的公切线，则下列说法正确的有（ ）A．两条公切线的斜率都是与无关的常数B ．两条公切线的切点连线必过抛物线的焦点C ．圆C 的半径为2p D ．圆心的横坐标为13.在数列中，，，，记，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为______.14. 已知是圆：的一条弦，其长度，是的中点，若动点､，使得四边形为平行四边形，则实数的最大值为_______.15.某单位有男女职工共人，现用分层抽样的方法从所有职工中抽取容量为的样本，已知从女职工中抽取的人数为，那么该单位的女职工人数为__________．16. 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，求边的长和的大小.17. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，是等边三角形，，是的中点．(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值．19. 已知函数，.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，证明；(3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.20. 数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．21. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，侧面BCC1B1⊥底面ABC，E，F分别为棱BC和A1C1的中点．(1)求证：EF∥平面ABB1A1；(2)求证：平面AEF⊥平面BCC1B1.。
天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷
天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合{}1,3A =，{}230B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（）A ．{}1,2-B ．{}1,2C ．{}1,0D ．{}1,52．已知,R αβ∈，则“sin cos αβ=”是“π2αβ-=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()e e 32x xf x x --=-B ．()e e 23x xf x x--=-C ．()e e 32x xf x x -+=-D ．()21x f x x =-4．下列说法中正确的是（）A ．具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为0.2y x m =-，若样本的中心(),3.2m ，则4m =B ．数据3，4，2，8，1，5，8，6的中位数为5C ．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大D ．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.91-和0.89，则甲组数据的线性相关性更强5．已知函数1()f x x x=-，若0.550.5log 2,log 0.2,0.5a b c -===，则（）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f b f c f a <<D ．()()()f a f b f c <<6．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数op 的图象向右平移6π个单位得到函数op 的图象，且33g x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ϕ的取值为A ．512πB ．3πC ．6πD ．12π7．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的表面上，若11,4AB AC AA ===，2π3BAC ∠=，则球O 的表面积为（）A ．16πB ．20πC ．28πD ．32π8．已知数列{}n a ，下列结论不正确的是（）A ．若{}n a 为等比数列，则数列{}lg n a 是等差数列B ．若11a =，121n n a a +=+，则21nn a =-C ．若12a =，11n n a a n +=++，则20211a =D ．若{}n a 为等差数列，则数列{}e n a是等比数列9．双曲线2222:1(0,0)y x a b a bΓ-=>>的两焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与其一支交于A ，B两点，点B 在第四象限.以1F 为圆心，Γ的实轴长为半径的圆与线段11,AF BF 分别交于M ，N 两点，且12||3||,AM BN F B F B =⊥，则Γ的渐近线方程是（）A ．y =B ．y x =C ．y x =D ．64y x =±二、填空题10．复数5i2i+在复平面内对应的点位于第象限.11．632x⎛⎝展开式的第四项的系数为.12．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为12，13，23，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为.13．已知()2,0P a -，(),Q b ab （0a >，0b >），动圆()()222x a y b r -+-=（0r >）经过原点，且圆心在直线22x y +=上.当直线PQ 的斜率取最大值时，r =.14．在平面四边形ABCD中，AB =6AD =，向量AB在向量AD 上的投影向量为12AD ，则BAD ∠=；若13BC AD = ，点E 为线段BD 上的动点，则CE AE ⋅的最小值为．15．已知函数()2cos 2,π0168,0x x f x x x x -≤≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩，关于x 的方程()()()225250f x a f x a +--=在[)π,∞-+上有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，若122341120x x a k x x ++-≥恒成立，则实数k 的取值范围是.三、解答题16．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且()2cos cos a B C =.(1)求角B 的大小；(2)若2c a b =+=，求ABC V 的面积；(3)若b =，求()sin A B +2.17．如图，PD ⊥平面////ABCD AD CD AB CD PQ CD ⊥,,,，222AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：//EF 平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的正弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>，短轴长是2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的下顶点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，这两条直线与椭圆C 的另一个交点分别为M ，N ．设1l 的斜率为k （0k ≠），DMN 的面积为S ，当169S k >，求k 的取值范围．19．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，满足11a =，459a a a +=，正项数列{}n b 的前n项和为n S ，且31nn S =-．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在1b 和2b 之间插入1个数11c ，使1b ，11c ，2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21c ，22c ，使2b ，21c ，22c ，3b 成等差数列；…；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n c ，2n c ，…，mn c ，使n b ，1n c ，2n c ，nn c ，1n b +成等差数列．（ⅰ）求nk c ；（ⅱ）求11212212n n nn c c c c c c +++++++ 的值．20．已知函数()()21ln R 2f x x ax x a =-+-∈.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()124213ln 2f x f x -≤+.。
2022-2023学年天津市高一上学期第一次月考数学试卷(含解析)
2022-2023学年天津市高一上学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟；满分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题（本大题共14小题，共56.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设集合A={1,2,3,4}，B={−1,0,2,3}，C={x∈R|−1≤x<2}，则(A∪B)∩C=( )A. {−1,1}B. {0,1}C. {−1,0,1}D. {2,3,4}2. 命题“∀x∈R，x2−2x+1≥0”的否定是( )A. ∃x∈R，x2−2x+1≤0B. ∃X∈R，x2−2x+1≥0C. ∃x∈R，x2−2x+1<0D. ∀x∈R，x2−2x+1<03. 已知集合A={x|−1≤x<4,x∈Z)，则集合A中元素的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知集合A={x||x|≥2}，B={x|x2−3x>0}，则A∩B=( )A. ⌀B. {x|x>3，或x≤−2}C. {x|x>3，或x<0}D. {x|x>3，或x≤2}5. 已知p：sinα=√33，q：cos2α=13，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 若M⊆U，N⊆U，且M⊆N，则( )A. M∩N=NB. M∪N=MC. ∁U N⊆∁U MD. ∁U M⊆∁U N7. 已知集合A={x|x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=( )A. {x|0≤x<1}B. {x|1<x≤2}C. {x|x<1}D. {x|x≤2}8. 设b>a>0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是( )A. a12<b12B. 1a −c>1b−c C. a+2b+2>abD. ac2<bc29. 满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合的个数是( )A. 4B. 6C. 8D. 910. 若关于x的不等式ax2+bx−1>0的解集是{x|1<x<2}，则不等式bx2+ax−1<0的解集是( )A. {x|−1<x<23} B. {x|x<−1或x>23}C. {x|−23<x<1} D. {x|x<−23或x>1}11. 已知集合A={x|x2+x−6=0}，B={x|mx+1=0}，且B⊆A，则实数m=( )A. {0,12,−13} B. {−12,13} C. {12,−13} D. {0,−12,13}12. 使不等式1+1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A. x>0B. x>−1C. x<−1或x>0D. −1<x<013. 已知命题“∃x∈R，4x2+(a−2)x+14<0”是假命题，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,0)B. [0,4]C. [4,+∞)D. (0,4)14. 已知a，b∈R，a2+b2=15−ab，则ab最大值是( )A. 15B. 12C. 5D. 3第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）15. 已知a∈R，b∈R，若集合{a,ba,1}={a2,a−b,0}，则“a2017+b2018”的值为______．16. 当x<−1时，f(x)=x+1x+1的最大值为______．17. 已知集合A={0,1,2}，则集合A的子集共有______个．18. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={x|−1<x<m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是______．19. 已知{x|ax2−ax+1<0}=⌀，则实数a的取值范围为．20. 已知正数x，y满足x+y=5，则1x+1+1y+2的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。
天津市西青区杨柳青第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题
所以 ，
由（2）可得 平面 ，
所以 即为平面 的法向量，
由题意得 ，
解得 ，所以 ，
【详解】
点 在坐标平面 内的射影的坐标是 ,
故答案为：
11．
【分析】
根据数量积公式，可得 的值，见模平方，结合数量积公式，即可得答案.
【详解】
由题意得 ，
所以 .
故答案为：
12．
【分析】
先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】
解：因为所求直线与直线 垂直，
所以所求直线的斜率为 ，
，
所以
（3） ，所以 ，
所以
，
所以 与 所成角的余弦值为
19．(1) (2)证明见解析（3）
【分析】
（1）取 中点为 ，由已知证得 面 条件建立如图空间直角坐标系 ，求得 的坐标利用数量积公式计算即可求得结果；
（2）求得向量坐标利用数量积证得 ，即可证得结果．
（3）求得平面 与平面 的法向量，利用数量积公式求得余弦值，进而求得正弦值.
（3）若 为 上的动点，使直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求 的长．
参考答案
1．B
【分析】
判断 与 的位置关系，进而可得出结论.
【详解】
，
由已知可得 ，则 ，因此， .
故选：B.
2．C
【分析】
利用向量的起点坐标和终点坐标可得 的坐标后即得 的坐标，从而可求 的坐标.
【详解】
设点B的坐标为 ，则 ，
【详解】
（1）连接AC，交BD于O，连接EO，
因为O、E分别为AC、 的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
天津西青区杨柳青第一中学高二数学理月考试卷含解析
天津西青区杨柳青第一中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是真命题”；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由复合命题的真假判断方法判断①；写出命题的否命题判断②，距离说明③是假命题．【解答】解：①∵p，q中只要有一个假命题，就有p∧q为假命题，∴命题①错误；②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是x，y∈R，“若xy≠0，则x2+y2≠0”是真命题”；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件为假命题，当直线与抛物线对称轴平行时，直线和抛物线也只有一个公共点．∴真命题的个数是1个．故选B．2. 函数f（x）=，若f（a）=1，则a的值是（）A．1或2 B．2 C．1 D．1或﹣2参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由已知得当a≥2时，f（a）==1；当a＜2时，f（a）=3a﹣2=1．由此能求出a 的值．【解答】解：∵函数f（x）=，f（a）=1，∴当a≥2时，f（a）==1，解得a=2或a=﹣2（舍）；当a＜2时，f（a）=3a﹣2=1，解得a=2（舍）．综上，a的值是2．故选：B．3. 设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】不等关系与不等式；充要条件．【分析】根据由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选 B．【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．4. 不论取何值，方程所表示的曲线一定不是（）A 直线B 双曲线C 圆D 抛物线参考答案：D略5. 设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点P在椭圆C上，且，若线段PF1的中点恰在y轴上，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由椭圆的定义有，即，，再结合题意运算即可得解.【详解】解：由定义得，又，所以，.因为线段的中点在轴上，为的中点，由三角形中位线平行于底边，得，所以，所以，所以.故选C.【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，属中档题.6. 已知等差数列的公差为，若是与的等比中项，则（）A． B． C． D．参考答案：B7. 的图像如图所示，则（）A. 在上为减函数B．在处取极小值C. 在上为减函数D. 在处取极大值参考答案：C8. 若，满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．8 D．9参考答案：D略9. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（）A．x2=±3y B．y2=±6x C．x2=±12y D．x2=±6y参考答案：C【考点】抛物线的标准方程．【分析】先设出抛物线的方程，根据题意求得p，则抛物线的方程可得．【解答】解：设抛物线的方程为x2=2p或x2=﹣2p，依题意知=3，∴p=6，∴抛物线的方程为x2=±12y，故选：C．10. 已知曲线上一点P（1，），则过点P的切线的倾斜角为（）A. 300B. 450C. 1350D. 1650参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知：m，l是直线，α、β是平面，给出下列5个命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；④若l β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若mα，lβ，且α∥β，则m ∥l 。
天津西青区杨柳青第一中学2020年高一数学理模拟试题含解析
天津西青区杨柳青第一中学2020年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应该是（）A．10 B．11 C．12 D．13参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】找出ω的值，代入周期公式表示出函数的周期，根据最小正周期不大于2列出不等式，求出正整数k的最小值即可．【解答】解：∵函数y=cos（x+）的最小正周期不大于2，∴T=≤2，即|k|≥4π，则正整数k的最小值为13．故选D【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2. 等比数列{a n}中，a1+a4+a7=3，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．39 B．21 C．39或21 D．21或36参考答案：C【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的性质即可求出【解答】解：等比数列{a n}中，a1+a4+a7=3，a3+a6+a9=27，∴a2+a5+a8=9或a2+a5+a8=﹣9，∴S9=3+9+27=39或S9=3﹣9+27=21，故选：C．3. 已知两点A(-1，0)、B(0，2)，若点P是圆(x-1)2+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为A． B．4 C．3 D．参考答案：B4. 如图，该程序运行后的输出结果为（）A. 2B. 3C. 12D. －2参考答案：B【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件i＞2，跳出循环，确定输出S的值．【详解】由程序框图知：第一次循环S=0+5=5，i=5﹣1=4，S=5﹣4=1；第二次循环S=1+4=5，i=4﹣1=3，S=5﹣3=2；第三次循环S=2+3=5，i=3﹣1=2，S=5﹣2=3．不满足条件i＞2，跳出循环，输出S=3．故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 若数列中，，则取最大值时等于 ( )A．13 B．14 C．15 D．14或15参考答案：B略6. 下列函数不能用二分法求图中交点横坐标的是（）参考答案：A7. 已知向量=(2cosϕ，2sinϕ)，ϕ?()，=（0,-1)，则与的夹角为( )A．-ϕ B．+ϕ C．ϕ-D．ϕ参考答案：答案：A错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，π]。
2023-2024学年天津市西青区杨柳青高一下学期第一次月考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年天津市西青区杨柳青高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（）A ．若a ，b 都是单位向量，则a b=B ．若向量a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ C ．与非零向量a共线的单位向量是唯一的D ．已知,λμ为非零实数，若a ub λ= ，则a 与b共线【正确答案】D【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果.【详解】单位向量的方向不一定相同，故A 错误；当0b =时，显然a 与c 不一定平行，故B 错误；非零向量a共线的单位向量有a a± ，故C 错误；由共线定理可知，若存在非零实数,λμ，使得a ub λ= ，则a 与b共线，故D 正确.故选：D.2．是()1,2a =-r，()3,4b =- ，()3,2c = ，则()2a b c +⋅= （）A ．12B ．0C ．-3D ．-11【正确答案】C【分析】计算出2a b +的坐标，然后根据向量数量积计算公式计算即可.【详解】由题可知：()256a b +=-，，所以()()253623a b c +⋅=-⨯+⨯=-故选：C3．已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =- 与12b e e λ=+共线，则λ=（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12【正确答案】C【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.【详解】因为122a e e =- 与12b e e λ=+ 共线，所以k a b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，故选：C ．4．在ABC 中，已知D 为AC 上一点，若2AD DC =uuu r uuu r ，则BD =（）A ．1233BC BA--B ．1233BC BA+C ．2133BC BA--D ．2133BC BA+【正确答案】D【分析】作出图形，利用平面向量的加法和减法法则可得出BD关于BA 、BC 的表达式.【详解】如下图所示，()22123333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+.故选：D.5．在ABC 中，2,60a c A ===︒，则C =（）A ．30°B ．45°C ．30°或150°D ．60°【正确答案】A【分析】根据题意利用正弦定理运算求解，注意三角形的性质应用.【详解】由正弦定理sin sin a c A C=，可得2sin 12sin 2c A C a ´×==，∵a c >，则A C >，即060C ︒≤≤︒，∴30C =︒.故选：A.6．在ABC 中，若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC 是（）A ．正三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角为60°的直角三角形【正确答案】C根据正弦定理得到sin cos B B =，sin cos C C =，故4B C π==，得到答案.【详解】根据正弦定理：sin sin sin A B Ca b c==，故sin cos B B =，sin cos C C =，即tan tan 1B C ==，(),0,B C π∈，故4B C π==，故2A π=.故选.C本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．已知ABC 和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =A ．2B ．3C ．4D ．32【正确答案】B【分析】根据0MA MB MC ++=得到M 为重心，再根据2AB AC AD += （D 为BC 的中点）得到m 的值．【详解】由题根据0MA MB MC ++=，则M 为ABC ∆的重心．设点D 为底边BC 的中点，则()()22113323AM AD AB AC AB AC ==⨯+=+ ，所以3AB AC AM += ，故3m =，选B.一般地，在ABC ∆中，（1）如果0MA MB MC ++=，则M 为ABC ∆的重心；（2）如果···MA MB MB MC MC MA ==，则M 为ABC ∆的垂心；（3）如果0aOA bOB cOC ++=（,,a b c 为,,A B C 的对边），则M 为ABC ∆的内心.8．四边形ABCD 中，()1,1AB DC == ，11BA BC BA BC += ，则四边形ABCD 面积为（）AB C ．2D ．3【正确答案】A【分析】根据单位向量结合向量线性运算分析可得四边形ABCD 为菱形，BA BC BD =π3ABC ∠=，结合菱形的性质求四边形的面积.【详解】若()1,1AB DC ==，则四边形ABCD 为平行四边形，且AB DC = 可知11,BA BC BA BC表示分别与,BA BC同向的单位向量，若11BA BC BA BC += ，则对角线BD 为ABC ∠的角平分线，故四边形ABCD为菱形，则BA BC==，()22BA BC BD BDBD=+==，则BD=∵()22222BD BA BC BA BA BC BC=+=+⋅+，即2226BA BC+⋅+=，解得1BA BC⋅=，故1cos2BA BCABCBA BC⋅∠==⋅，且()cos0,πABC∠∈，则π3ABC∠=，即ABC为等边三角形，则AC AB==，且AC BD⊥，∴四边形ABCD面积1122S AC BD=⋅==故选：A.9．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东3km/h．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（PQ与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距250m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（）A．B．6km/h C．7km/h D．【正确答案】C【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小．【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段PM，设小货船航行速度为v，水流的速度为1v，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为2v，作出示意图如下：PQ=，250mQM=，在Rt PQM△中，有tanPQPMQQM∠==所以3PMQ π∠=，6MPQ π∠=，122,263v v πππ=+= ，所以21v v v =- ，所以7v =，所以小货船航行速度的大小为7km/h ，故选：C.二、填空题10．已知点A (2，1)，B (－2，3)，O 为坐标原点，且OA BC →→=，则点C 的坐标为________.【正确答案】(0,4)【分析】由向量的坐标表示计算即可.【详解】设C (x ，y )，则(2,3),(2,1)BC x y OA →→=+-=.由OA BC →→=，则x ＝0，y ＝4.则()0,4C .故(0,4)11．已知向量(0,1),(a b c k ==-=，若(2)a b c -⊥ ，则k 等于________．【正确答案】3-【分析】首先求出2a b -的坐标，再根据向量垂直得到(2)0a b c -⋅= ，即可求出参数的值；【详解】解：因为(0,1),(a b c k ==-=所以)())220,1a b -=--=，因为(2)a b c-⊥所以(2)0a b c -⋅=+=，解得3k =-故3-12．已知向量AB与AC 的夹角为120︒，且32AB AC == ，，若AP AB AC λ=+uu u r uu u r uuu r ，且AP BC ⊥uu u r uu u r则实数λ的值为__________．【正确答案】712【详解】∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.三、双空题13．已知点()()()()1,2,2,5,3,2,4,3A B C D ，则向量AB在CD 上的投影向量坐标为________，投影向量的模为__________.【正确答案】()2,2【分析】根据平面向量的线性运算，结合投影向量及投影向量的模运算求解.【详解】由题意可得：()()1,3,1,1AB CD ==uu u r uu u r，则11314,AB CD CD ⋅=⨯+⨯==uu u r uu u r uu u r 空1：向量AB在CD 上的投影向量()()24cos ,22,22CD AB CD CD AB CD AB AB CDAB CD CD CD CD AB CD CD CD ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪=⨯==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u ruu u r uu u r uu u r uu u r uu ur uu u r uu u r uu u r uu u r uu u ruu u r uu u r ，故向量AB在CD 上的投影向量坐标为()2,2；空2=故()2,2；四、填空题14．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3A π=，2sin b C B =，则ABC的面积为___________.【分析】根据题意及正弦定理，求得bc =.【详解】因为2sin b C B =，由正弦定理可得2b c =，所以bc =所以ABC的面积为11sin 22S bc A ==⨯=.故答案为15．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有________.①22OA OD ⋅= ②2OB OH +=- ③AH HO BC BO⋅=⋅ ④AH 在AB 向量上的投影向量为22AB【正确答案】①②④【分析】首先明确正八边形的特征，然后根据数量积的定义进行计算，可判断选项①③；根据向量的加法运算可判断选项②；根据向量投影向量的概念可判断④.【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的圆心角皆为π4，其中||1OA =，对于①，3π211cos42OA OD ⋅=⨯⨯=-，故①正确；对于②，π,222BOH OB OH ∠=+==-，故②正确．对于③，|||AH BC = ，||||HO BO =，,AH HO uuu r uuu r 的夹角为πAHO -∠,,BC BO uu u r uu u r 的夹角为OBC ∠，OBC AHO ∠=∠,故AH HO BC BO ⋅=-⋅uuu r uuu r uu u r uu u r，故③错误．对于④，AH 与AB的的夹角为3π4BAH ∠=，AH AB = .AH 在AB 向量上的投影向量为3π2cos 42AB AH AB ⨯=，故④正确．故①②④．五、解答题16．已知向量(2,1),(1,)a b x =-=．（Ⅰ）若()a a b ⊥+，求||b 的值；（Ⅱ）若2(4,7)a b +=-，求向量a 与b 夹角的大小．【正确答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4π．【分析】（Ⅰ）首先求出a b +的坐标，再根据()a a b ⊥+ ，可得()0a a b += ，即可求出x ，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出b 的坐标，再根据cos ,||||a ba b a b ⋅<>=计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为(2,1),(1,)a b x =-=，所以(3,1)a b x +=-+ ，由()a a b ⊥+ ，可得()0a a b +=，即610x +-=，解得7x =，即(1,7)b =，所以||b ==（Ⅱ）依题意2(4,21)(4,7)a b x +=-=-，可得3x =-，即(1,3)b =-，所以cos ,2||||a b a b a b ⋅<>===，因为,[0,]a b π<>∈，所以a 与b 的夹角大小是4π．17．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a = ，()32a a b ⊥- .（1）求b ；（2）若2a mb -= ，求m .【正确答案】（1）3b =r ；（2）13m =-或1m =.【分析】（1）本小题先求出32a b ⋅= ，再求3b =r 即可；（2）本小题先求出23210m m --=，再求解m .【详解】解：（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，∴32a b ⋅= ，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅== ，∴3b =r .（2）∵2a mb -=，∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m =-或1m =.本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.18．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边长分别为a b c 、、，且满足2cos sin sin b A Bc C=.(1)求A ；(2)若4a b ==，求ABC S .【正确答案】(1)π3(2)【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出A ；（2）由正弦定理得出1sin 2B =，再由面积公式求解.【详解】（1）因为2cos sin sin b A Bc C=，由正弦定理可得，2sin cos sin sin sin B A B C C =因为sin sin 0B C ≠，所以1cos 2A =因为A 为三角形的内角，所以π3A =（2）因为a =，4b =，π3A =，4sin B =，所以1sin 2B =因为A 为三角形的内角，所以ππ,66B C ==111sin 4222ABC S ab C ==⨯⨯=△19．在①2sin tan a B b A =，②sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，③sinsin 2B C b a B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______．(1)求角A ；(2)若角A 的平分线AD 长为1，且4bc =，求ABC 外接圆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)3π(2)12π【分析】（1）若选①：根据题意边角转化得：2sin sin cos sin sin A B A A B =，再求解即可；若选②：根据题意边角转化得：1sin sin cos sin 22A B A B =，再求解即可；若选③：根据题意得：sin sin 2A b a B π-=，即sin cos sin sin 2A B A B =，即2si sin c n os sin 2cos 22A A A B B =，再求解即可；（2）根据题意得：ABD ACD ABC S S S +=△△△，即11444b c +=，再利用余弦定理求出a ，再利用正弦定理求出外接圆半径即可求解.【详解】（1）若选①：在ABC 中，因2sin tan a B b A =，所以sin 2sin cos Aa B bA=，即2sin cos sin a B A b A =，由正弦定理可得，2sin sin cos sin sin A B A A B =，又因为A ，(0,)B π∈，所以sin 0A >，sin 0B >，所以1cos 2A =，则3A π=，若选②：在ABC 中，因sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1sin sin 2a B b A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得，1sin sin sin sin sin 2A B A B A B =+，所以1sin sin sin 2A B A B =，又因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，所以tan A =3A π=，若选③：在ABC 中，因为sin sin 2B Cb a B +=，所以sin sin 2A b aB π-=，所以cossin 2A b a B =，由正弦定理可得，sin cos sin sin 2AB A B =，又因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，所以cos sin 2AA =，又sin 2sin cos 22A A A =，即cos2sin cos 222A A A =，又(0,)A π∈，所以(0,22A π∈，所以cos 02A >，所以1sin22A =，又因为(0,)A π∈，所以26A π=，则3A π=，（2）因为角A 的平分线为AD ，又ABD ACD ABC S S S +=△△△，所以111sin 30sin 30sin 60222b ADc AD b c ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ，即11444b c +=，即()b c +==又22222cos ()336a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以6a =，所以2sin 2a R A ==R =故ABC 外接圆的面积212S R π=π=，20．已知向量,14x m ⎫=⎪⎭ ，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎝⎭ ，()f x m n =⋅ ．(1)求函数()f x 的单增区间；(2)若()1f x =，求πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(3)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()y f A =的范围．【正确答案】(1)4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z ;(2)12;(3)31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）利用平面向量的数量积得到()f x 的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用()1f x =，结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值即可；（3）结合正弦定理结合内角和公式，得到()y f A =的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．【详解】（1）21cos π12cos sin sin 4422262x x x x x m n +⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭，∴()π1sin 262x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，k ∈Z 得：4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k ∈Z ．()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）()2cos cos 444x x x f x m n =⋅= 11π1cos sin 2222262x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．∵()1f x =，∴π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 12sin 3262x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）∵()2cos cos -=a c B b C ，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=．∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=．∴()2sin cos sin A B B C =+．∵πA B C ++=．∴()sin sin 0B C A +=≠，∴1cos 2B =．∵0πB <<．∴π3B =．∴2π03A <<．∴πππ6262A <+<，π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又∵()π1sin 262x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴()π1sin 262A f A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭，．21．设坐标平面上全部向量集合为A ，已知由A 到A 的对应关系f 由()()2f x x x a a =-⋅ 确定，其中(),cos ,sin ,R x A a θθθ∈=∈.(1)当θ取值范围变化时，()f f x ⎡⎤⎣⎦是否变化？试证明你的结论；(2)若m = 2n = ，且()2f f m n ⎡⎤+⎣⎦ 与()2f f m n ⎡⎤-⎣⎦ 垂直，求向量m ，n 的夹角.【正确答案】(1)()()f f x 的值不会随着θ取值范围的变化而变化，证明见解析(2)180︒【分析】（1）根据数量积的运算律求出()()f f x ，即可得解；（2）由（1）知()()22f f m n m n +=+ ，()()22f f m n m n -=- ，即可得到()()220m n m n +⋅-= ，根据数量积的运算律得到m n ⋅ ，再根据夹角公式计算可得.【详解】（1）解：∵()cos ,sin a θθ= ，∴21a = ，∵()()2f x x x a a =-⋅ ，∴()()()()()(){}2222f f x f x x a a x x a a x x a a a a ⎡⎤=-⋅=-⋅--⋅⋅⎣⎦ ()(){}222x x a a x a x a a a a =-⋅-⋅-⋅⋅ ()(){}222x x a a x a x a a=-⋅-⋅-⋅()()22x x a a x a a x =-⋅+⋅= ，∴()()f f x 的值不会随着θ取值范围的变化而变化.（2）解：由（1）知()()22f f m n m n +=+ ，()()22f f m n m n -=- ，又()2f f m n ⎡⎤+⎣⎦与()()2f f m n - 垂直，∴()()220m n m n +⋅-= ，即222320m m n n +⋅-= ，即222320m m n n +⋅-=，又m =，2n = ，即15302m n ⋅+= ，解得52m n ⋅=- ，设m 、n 的夹角为α，则52cos 1m n m nα-⋅===- ，又0180α︒︒≤≤，∴180α︒=，即向量m 、n 的夹角为180︒.。
天津市西青区杨柳青第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题
天津市西青区杨柳青第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________参考答案：1．B【分析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．【详解】解：由A B Í得Venn 图，①A B A A B Ç=ÛÍ；②A B A B A =ÛÍU ；③()I A C B A B =ÆÛÍI ；④I A B I A C B =ÛÍI ；故和命题A B Í等价的有①③，故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了Venn 图的应用，属于基础题．2．D【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出124x x a +=，2123x x a =，再用基本不等式求出最值【详解】22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则12x x ，是方程22430-+=x ax a 的两任意的[],1x m m Î+，不等式()()1f x f x m -£+恒成立，转化为22(22)1(22)(1)1m m m m m m ì+£-í++£-î，从而可得结果.10．（2，+∞）【解析】根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.【详解】()2ln 2y x x =-是复合函数，可以写成ln y t =，22t x x =-，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数ln y t =是增函数，所以只需求22t x x =-在定义域内的单调递增区间，220x x ->，解得：2x >或0x <，函数在()2,¥+单调递增，在(),0¥-单调递减，所以函数的单调递增区间是()2,¥+.故答案为：()2,¥+11．{}0,1,2-【分析】由A B B =I 得到B A Í，则{}2,1A =-的子集有Æ，{}2-，{}1，{}2,1-，分别求解即可.【详解】因为A B B =I ，故B A Í；则{}2,1A =-的子集有Æ，{}2-，{}1，{}2,1-，当B =Æ时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=Þ=-；当{}1B =，122a a ×=Þ=；当{}2,1B =-，a 不存在，。
天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为c 的值为（）A ．9B ．11或9-C ．11-D ．9或11-2．已知空间向量(2,3,0),(,3,1)a b m =-=-，若()a ab ⊥+ ，则实数m 的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点（点A ，B 异于椭圆长轴端点），则2ABF △的周长为（）A ．10B ．20C ．8D ．164．如果方程22142x y m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．()6,+∞B ．()2,6C ．(),2-∞D ．(]2,65．棱长为2的正四面体ABCD 中，点E 是AD 的中点，则BA C E ⋅=（）A ．1B ．－1CD ．6．已知三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，且3PA =，2PB =，1PC =，则点P 到平面ABC 的距离为（）A ．13B ．23C ．144D ．677．从点(4,1)A -出发的一条光线l ，经过直线1:30l x y -+=反射，反射光线恰好经过点(3,2)B -，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．2-B ．3-C ．13-D ．35-8．若圆2244100x y x y +---=上恰有2个不同的点到直线:(0)l y x b b =+>的距离为则正数b 的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,2C ．()2,10D ．[]2,109．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于AB 两点，P为AB的中点，1134|,tan 2F P AB APF =∠=，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D．12二、填空题10．已知空间向量()()1,0,1,2,1,2a b ==-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标11．直线1:10l ax y ++=与2:2(3)10l ax a y +-+=，若12l l ⊥，则实数a =．12．当点P 在圆221x y +=上运动时，连接点P 与定点(3,0)Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程为.13．直线l 过(1,2)-且与圆222220x y x y +---=相切，则直线l 的方程为14．已知圆C 经过两点(0,2)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线:20l x y -=上，则圆C 的方程为.15．已知对任意的[]1,1x ∈-1≥恒成立，则实数m 的最大值是.三、解答题16．已知方程C ：22240x y x y m +--+=，(1)若方程C 表示圆，求实数m 的范围；(2)在方程表示圆时，该圆与直线l ：240x y +-=相交于M 、N 两点，且MN ，求m 的值.17．如图，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒，F 为线段PA 上一点，112PD AB AD CD ===，四边形PDCE 为矩形.(1)若F 是PA 的中点，求证：//AC 平面DEF (2)若F 是PA 的中点，求点F 到直线CP 的距离；(3)求直线AE 与平面BCP 所成角的正弦值.18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()2,0，直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点A ，B .（1）求椭圆C 的方程；（2）求OAB △面积的最大值，并求此时直线l 的方程.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD BC ∥，AB AD ⊥，122AB AD BC ===，4PA =，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =.(1)求证：DE ⊥平面PAC .(2)求二面角A PC D --的平面角的余弦值.(3)若点Q 在棱CP 上（不与点C ，P 重合），直线QE 能与平面PCD 垂直吗？若能，求出CQCP的值；若不能，请说明理由.20．已知椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，,A B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1F AB (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设椭圆M 的右顶点为C ，P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．①若点()01,P y （00y >），点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，设APC △和DPC △的面积分别为1S ，2S ．若1232S S -=，求点D 的坐标；②若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，设直线QN 和直线QC 的斜率为QN k ，QC k ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值．。
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天津市西青区杨柳青第一中学2013-2014学年高数学第一次月考试题（无
答案）
一. 选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1. 下列命题中正确的是（ ）
A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B ．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
2. 右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（ ）.
A. B. C. D.
3. 如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（ ）.
A. 三棱柱
B.四棱柱
C.圆锥
D.圆柱
4. 球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ） A ．
2
1
B ．1
C ．2
D ．3
5. 过正三棱柱底面一边的截面是（ ）
A ．三角形
B ．三角形或梯形
C ．不是梯形的四边形
D ．梯形
6. 一长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为（ ）
A ．23
B ．32
C ．6
D ．6
7. 圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面（过轴的截面）是（ ） A ．顶角为30°的等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．其他等腰三角形 8. b a ,是空间两条不相交的直线，那么过直线b 且平行于直线a 的平面（ ） A.有且仅有一个 B.至少有一个 C.至多有一个 D.有无数个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
9. 直观图（如右图）中，四边形A ′B ′C ′D ′为菱形且边长为2cm ，
则在xoy 坐标中四边形ABCD 面积为______cm 2
．
10. 已知底面是边长为2的正三角形的三棱柱,其正视图(如右图所示的矩形)的面积为8，则侧视图的面积为 .
11. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=3，AA 1=2，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ．
12. 一个正方体的顶点都在球面上，它的表面积与正方体的表面积之比为 .
13. 如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母
之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A 对面的字母为 .
14.已知两平面α、β，直线a 、b 、c ，给出下列命题，其中正确命题的序号是_________.
①异面直线a 和c 在平面内α的射影必相交． ②若a 和b 与c 成等角，则a ∥b ．
③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ． ④a ∥α，b ∥α，则a ∥b ． ⑤若a 与b 没有公共点，则a ∥b.
⑥若a 和α内无数条直线没有公共点，则a ∥α. ⑦若a ∥α，α⊂b ，则a ∥b ．
⑧若α∥β，βα⊂⊂b a ,，则a ∥b ．⑨若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. ⑩α∥β，β∥γ，则α∥γ。
三、解答题
15. 根据下列几何体的三视图，分别求出它们的表面积S 和体积V ：
D'
C'B'
A'
O'
Y'
X'
俯视图
俯视图
正视图
C
16．如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点.求证：EO ∥平面PCD .
17．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，正方体棱长为2，
求异面直线DE 与AC 所成角的余弦值.
18. 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 为DD 1 上一点，且D 1G ：GD ＝1：2，AC ∩BD ＝O ，求证：平面AGO//平面D 1EF ．
19. 一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形.
（1）请在指定的位置画出多面体的俯视图；（2）若多面体底面对角线AC 、BD 交于点O ，P 为线段AE 的中点，求证：OP ∥平面EGC ；（3）求该多面体的表面积. A B
A 11
杨柳青一中2013-2014学年第一学期高二数学
第一次月考答题纸（2013.9）
6小题，共24分）
9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. .
（本题满分16分）
S 和体积V ：
16.（本题满分10分）
如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点.求证：EO ∥平面PCD .
A
俯视图 俯视图
A
C
17．（满分12分）
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，正方体棱长为2，求异面直线DE与AC
所成角的余弦值.
18.（本题满分12分）
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD1
上一点，且D1G：GD＝1：2，AC∩BD＝O，求证：平面AGO//平面D1EF．
B
A
1
直观图
19.（本题满分14分）
一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形.（1）请在指定的位置画出多面体的俯视图；（2）若多面体底面对角线AC 、BD 交于点O ，P 为线段AE 的中点，求证：OP ∥平面EGC ；（3）求该多面体的表面积.。