流体运动基本方程和基本规律

迹线(Path Line)：流体微团在流场中的运动轨迹。或 者说，同一个流体微团，在不同时刻的空间坐标的连 线。
3
§2.2 迹线、流线、流管
流线(Stream Line)：流场中的一条曲线，线上各点的切向 和该点的速度方向相同。如果流动是非定常的，由于速度 矢量的大小和方向随时间变化而变化，所以不同时刻的流 线形式也不相同。流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
有， d1
D1 u lim , dt Dt 0 Dt y
流体微团在 xy 平面的角速度定义为AB 边和 AC 边的 角速度的平均值，记作 z ， 因此，
1 d1 d2 1 dv du z 2 dt dt 2 dx dy
y
B A
t
D C
t+D t
A′
C′
流体微团的一般运动
流体微团运动的分解
10
x
角速度
§ 2.3 流体微团的运动分析
d1 d 2 定义 AB 边和 AC 边的角速度分别为， 和 dt dt
由，
u D1 Dt , y
v D 2 Dt x d 2 D 2 v lim Dt 0 D t dt x
1
2.1 三大守恒定律的简介
拉瓦锡（Antoine-Laurent Lavoisier，1743－1794）， 焦耳（James Prescort Joule,1818～1889 法国化学家，1789 年，拉瓦）英国杰出的物理学家。 Descartes笛卡尔 1847年4月28日英 锡在他的历史名著——《化 (法国哲学家、数学家 国物理学家焦耳将自己所发现的能量守恒定 ,1596学概论》中第一次用清晰的 律第一次作了全面和充分的阐述 1690) 。 语言把质量守恒定律表达出 系统所受外力的矢量和为 能量既不能创造也不能消灭，而只能从一种 0时，系 来，用实验进行了验证 。 形式转换成另一种形式，从一个物体传递到 统的总动量守恒。 质量既不能创造，也不能消 另一个物体。 Descartes Lavoisier Joule 灭 。
V
百度文库y x
wdy vdz 0
6
udz wdx 0 vdx udy 0
§2.2 迹线、流线、流管
笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：
wdy vdz 0
udz wdx 0 vdx udy 0
上式亦可表达为，
dx dy dz u x, y, z, t v x, y, z, t w x, y, z, t
在迪卡尔坐标系下，
ds dxi dyj dzk
V x, y, z, t u x, y, z, t i v x, y, z, t j w x, y, z, t k
i u j v k
ds
A
z
ds V dx dy dz w
笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：
11
§ 2.3 流体微团的运动分析
上面的分析只考虑了在二维 xy 平面内的运动。 对一般三维空间流体微团的角速度是指向某特定 方向的矢量，
xi y j z k
v u 1 w v u w i j k 2 y z z x x y
8
流场中 的微小 流体团
§ 2.3 流体微团的运动分析
流场中的流体微团,当它沿着流线做平移运动的同时，还 可能有旋转、变形运动。 微团旋转和变形量取决于速度场，本节的目的就是用速度 场量化分析微元的旋转和变形运动。
9
§ 2.3 流体微团的运动分析
考虑 xy 平面内的二维流动。取流场中的一个微元体。假设在时刻 t ， 流体微元是矩形。一般情况下流场是不均匀的，即流场中的各点速度的 大小和方向都可能变化。因此该微团从 t 时刻的位置 ABCD 运动到 t+Dt 时刻的位置上，流体微团的体积、形状都发生了变化，而且也发生 了旋转。整个运动是同时发生的，可以将这样的一个复杂的一般运动分 解为几个简单的运动的合成如图所示。 D′ B′
y x z
4
§2.2 迹线、流线、流管
如何求流线方程 流线是空间曲线 , 用 设 ds
f ( x, y, z) 0 表示。
点A处的速度 V 和 ds 平行。因此，由矢量叉乘的定义
得流线方程为：
是流线上的一个微段。
ds V 0
ds
A
V
y x z
5
§2.2 迹线、流线、流管
ds V 0
流体运动的基本方程和基本规律
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三大守恒定律的简介 迹线、流线、流管 流体微团的运动分析 速度位函数 基本方程（一）：连续方程 流函数 旋涡运动 基本方程（二）：动量方程 基本方程（三）：能量方程 （教材上没有，属必须掌握内容） 三大基本方程的基本解法简介
自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量守恒和能 量守恒。 本章将利用这三大原理，推导出流体力学中的三个基 本方程：连续方程、动量方程和能量方程。然后粗略 介绍这三个方程的解法。
2
§2.2 迹线、流线、流管
空气动力学中， 除了要求解密度场、压强场、 温度场和速度场以外，还需要绘制流场的流动图 画(Flow Patterns)。它能帮助我们直观形象地分析流体 运动。为此，引入迹线图和流线的概念。
上式用速度场表达了流体微团的角速度，更准确 地说，是用速度场的导数表示了流体微团的角速 度。
12
§ 2.3 流体微团的运动分析
旋度 旋度：定义为旋转角速度 的两倍，记为 。
7
§2.2 迹线、流线、流管
流管(Stream Tube)
在三维空间，在流场中 取一条不为流线的封闭 曲线，经过曲线上每一 点作流线，所有这些流 线集合构成的管状曲面 被称为流管，如图。
y x z
由于流管由流线组成，因此流体不能穿出或者穿入流管表面。 在任意瞬时，流场中的流管类似真实的固体管壁。 对定常流动，直接运用积分形式的连续方程，可以证明穿过流 管截面的质量流量是不变的 。