非简单多面体
欧拉定理
欧拉定理
应用实例
例1．一个简单多面体的棱数可能是6吗？
例2．有一各面都是三角形的多面体， 顶点数V、面数F、棱数E. 求证： ，
欧拉定理
6.证明欧拉定理
方法1： 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
欧拉定理
方法2：计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉 一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所 有面内角总和Σα一方面，在原图中利用各 面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF， 各面内角总和为： Σα = [(n1-2)· 1800+(n2-2)· 1800 +…+(nF-2) · 1800] = (n1+n2+…+nF -2F) · 1800 =(2E-2F) · 1800 = (E-F) · 3600 （1）
欧拉定理
3.（1）拓扑变形
考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面 是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会 连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。 欧拉帮助在我们引入一种新几体学----拓扑学： 我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料 （如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形 在这种变形过程中的不变的性质。
欧拉定理
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他 那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可 以使他在任何不良的环境中工作：他常常 抱着孩子在膝盖上完成论文。既使在他双 目失明后的17年间，也没有停止对数学的 研究，口述了好几本书和400余篇的论文。 当他写出了计算天王星轨道的计算要领 后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老 师。
高中数学必修课件第一章简单多面体
改进建议1
加强对多面体定义和分类的学 习，多观察、多比较不同多面 体的特征，加深对它们的认识 。
易混点2
在计算多面体的顶点数时，容 易忽略欧拉公式的应用条件。
改进建议2
明确欧拉公式的应用条件，即 适用于简单多面体，同时要注 意公式中各个量的含义和计算
章节测试题及答案解析
题目2
一个多面体的面数为8，棱数为15， 求该多面体的顶点数。
答案2
根据欧拉公式，多面体的顶点数V、 面数F和棱数E之间满足关系V+F-E=2 。将已知的F=8，E=15代入公式，得 到V=2+E-F=2+15-8=9，因此该多 面体的顶点数为9。
易错易混点剖析及改进建议
易错点1
多面体的性质
多面体的面、棱、顶点数之间的关系，以及多面体的欧拉公式等。
简单多面体的识别和作图
能够识别常见的简单多面体，并掌握其作图方法。
章节测试题及答案解析
题目1
请列举出五种不同的简单多面体，并简述它们的特征。
答案1
五种不同的简单多面体包括三棱锥、四棱锥、正方体、长方体和五棱柱。它们的特征分别是三棱锥有一个面是三 角形，其余三个面是三角形或四边形；四棱锥有一个面是四边形，其余四个面是三角形；正方体六个面都是正方 形；长方体六个面都是矩形；五棱柱有两个平行的五边形底面，侧面是矩形。
蜂巢
蜂巢是由正六边形组成的 简单多面体结构，这种结 构既节省材料又具有良好 的稳定性。
病毒
一些病毒粒子也呈现出多 面体形态，如二十面体病 毒，这些病毒粒子具有复 杂的对称性和几何结构。
科技创新中简单多面体应用案例
纳米材料
科学家利用简单多面体结构设计出具 有特定功能的纳米材料，如纳米立方 体、纳米球等，这些材料在医药、环 保等领域具有广泛应用。
多面体与欧拉公式-欧拉公式多面体
(E) 多面体的各面内角总和为3600° (F) 多面体是正二十面体
一、 复习 二、 引入 三、 归纳 四、 运用
例1
例2 练
习 五、小 结
1 .定义 2 .判断 3 .新课
① 三棱锥 ② 四棱锥 ③ 三棱柱
［说出下列简单多面体的顶点数、面数、 棱数 寄
多面体 三棱锥 四棱锥
顶点数V
4 5
面数F
4 5
棱数E
6
8
三棱柱
6
5
9
一、 复习 二、 引入
1 .定义 2.判断 3 .新课
① 三棱锥 ② 四棱锥 ③ 三棱柱 ④ 四棱柱
I说出下列简单多面体的顶点数、面数、 I棱数
4 .欧拉简
介
5 .证明 !1!
运用 例1 例2
解・设。60分子中形状为五边
"形和六边形的面各有■X个
和y个°
「•V二60, F=x+y, E=3X60 + 2
由欧拉公式，可得： 60+ &+》)
-3 X 6。手 2=2
又由多边形的边数可表示C60的棱数，即:
(5x+6y) 4- 2= (3 X 60) 4-2
什么规律？
E
多面体 顶点数V 面数F 棱数E
规律
--- A4-
■
. N棱锥 -N+1- -N+1- -2N -
•
□
O
N棱柱 -2N - -N+2 - - 3N -
多面体的概念
例5、判断下列各说法是否正确：
(1)有两个全等的多边形的面相互平行，其余各面是平
行四边形的多面体是棱柱； × (2)棱柱的侧棱彼此平行；
√
(3)棱柱的高等于棱柱的侧棱长； × (4)有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱； ×
(5)底面是正方形的棱柱是一种长方体。
×
(6)所有棱长都相等的直棱柱是一种正方体。 × (7)底面是菱形的棱柱是一种平行六面体。 √ (8)侧面都是全等矩形的棱柱是一种正棱柱。 ×
例6、判断下列各说法是否正确：
(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（ × ） (2)各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；（ × ） (3)各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（ × ） (4)棱锥的高可以是棱锥的一条侧棱长；（ √ ） (5)正四面体是一种正三棱锥。（ √ ）
A B
C
例3 、下列命题中的假命题是( B ) A. 直棱柱的侧棱就是直棱柱的高. B. 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. C. 直棱柱的侧面是矩形. D. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱.
例4、棱柱成为直棱柱的一个充要条件是( C ) A. 棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直. B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直. C. 棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直. D. 棱柱的侧面与底面都是矩形.
正三棱柱
正四棱柱
正六棱柱
(3)特殊性质的棱柱
底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是
平行四边形。这样的棱柱叫做平行六面体.
D’ A’ B’ C’
D A B
C
底面是矩形的直棱柱叫做长方体
A’
D’ B’ D
C’
C B
A
所有棱长都相等的长方体叫做正方体
§9-5-1 简单常用的多面体
h' h'
S正
棱
锥
侧＝
1 2
ch'
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正三棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
正五棱锥的侧面展开图
S表面积 S侧 S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线
展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇形
R扇＝l
l扇＝
nl
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，
其余各面叫做棱柱的侧面． 不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱． 两个底面的距离叫做棱柱的高．
E1
A1 B1 C1
D1
不在同一个面上的两个顶点的连线
E
叫做棱柱的对角线，
棱柱的表示法
AH B
D C
棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
棱柱的结构特征
E’ F’A’
D’ C’ B’
C1
D1
D1
C1
A
A A
D
CD
B
答:可分成棱锥A-D1DC,
棱锥A-D1C1C,
棱锥A-BCD.
A C
C
D
C
B
问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积 3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积
（底面积S，高h）
V三棱锥
1 3
sh
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四 面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到 面的距离
3、相邻两侧面所成角相等的棱锥是正棱锥
4、侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥 是正棱锥
5、三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱 锥
认识多面体的种类和特征
认识多面体的种类和特征多面体是指由平面多边形构成的立体图形，它们的种类和特征非常丰富。
在数学中，多面体是一个重要的研究对象，它们不仅具有美妙的几何形态，还有着深刻的数学性质。
本文将介绍一些常见的多面体种类以及它们的特征。
首先，我们来认识一下最简单的多面体——正多面体。
正多面体是由相等的正多边形组成的多面体，它们的面都是相等的正多边形，而且每个顶点都是相等的。
最著名的正多面体有四面体、六面体、八面体和十二面体。
四面体是最简单的正多面体，它有四个面，每个面都是一个等边三角形。
六面体也被称为立方体，它有六个面，每个面都是一个正方形。
八面体有八个面，每个面都是一个等边三角形。
十二面体有十二个面，每个面都是一个正五边形。
这些正多面体不仅形状美观，而且具有许多有趣的性质。
除了正多面体，还有一类特殊的多面体叫做柏拉图立体。
柏拉图立体是指由相等的正多边形和相等的正多边形组成的多面体，它们的面都是相等的。
柏拉图立体的特点是每个顶点都是相等的，而且每个面都是相等的。
最著名的柏拉图立体有五个，分别是四面体、八面体、十二面体、二十面体和六十面体。
这些柏拉图立体不仅在几何学中具有重要地位，还在化学和物理等领域有广泛的应用。
除了正多面体和柏拉图立体，还有一类多面体叫做拟柏拉图立体。
拟柏拉图立体是指由不同的正多边形和正多边形组成的多面体，它们的面不全相等。
拟柏拉图立体的特点是每个顶点都是相等的，而且每个面都是相等的。
拟柏拉图立体有很多种类，其中最著名的有二十面体、二十四面体和三十面体。
这些拟柏拉图立体形态各异，具有丰富的几何特征。
除了上述几类多面体，还有一些特殊的多面体值得我们了解。
例如，棱柱是一种由两个平行的多边形底面和连接底面的矩形侧面组成的多面体。
棱锥是一种由一个多边形底面和连接底面的三角形侧面组成的多面体。
棱柱和棱锥是一些常见的多面体，它们有着独特的几何性质。
总之，多面体是一类丰富多样的立体图形，它们的种类和特征非常丰富。
人教A版数学选修33 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用
三、合作探究，应用问题
（三）知识在我身边
托起明天的太阳
三、合作探究，应用问题
（四）世界真奇妙 1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60 是由60个C原子构成的分子。这个多面体有60个顶点，以每一个顶 点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C60分 子中五边形和六边形的数目。
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
多面体与正多面体
高三第一轮复习数学---多面体一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；二、教学重点： １、欧拉公式 （如何运用） 2、割补法求体积三、教学过程：（一）主要知识：1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。
一切凸多面体都是简单多面体。
4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式．6思维方式: 空间想象及转化思想特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体． （二）例题分析： 例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B（２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°． 思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．说明：2,2kV E k nF E n ==条棱则过一个顶点有边形则每个面为例3： 连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为22，体积为6121)22(3122=⨯⨯⨯．所以体积之比为１:６．思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（31arccos -π）（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）例４：三个12×12的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成Ａ、Ｂ两片（如图），把６片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积．解：（一）补成一个正方体，如图，V=31221⨯=864（二）补成一个直三棱锥，如图，V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864．思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法．思考题：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） （A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215解：D（三）巩固练习： 1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(２)每个顶点处棱都是3条的正多面体共有________种(３)一个凸多面体的棱数为 ３０，面数为１２，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B （２）3（３）由欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．2、已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．3、一个简单多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数． 解：设每个面的边数为x ，每个点出发的棱数为y 。
多面体的定义
多面体的定义多面体是指一个立方体，由六个相同的正方形构成。
那我们今天就来了解一下它，看看这个“奇特”的物体到底为什么会有如此大的魅力?在数学上，每一个立方体的内角和都是180度;在几何学中，任意三维空间里的一条直线都可以用三个平面来截得到;从物理学来讲，一个密闭容器内部最小质量的物体体积等于其外表面积乘以高除以3。
总之，只要你能想象出来的东西，那么他便可以存在。
对了!有一个非常著名的图案——切金字塔，那是建筑学家们认为古埃及人留给后世的最伟大工程，至少也算得上是“千年建筑奇迹”了。
而现代科技则证明了这些金字塔并没有真正存在过。
那么，这座神秘的庞然大物又究竟是谁修建的呢?根据计算机模拟显示：这座金字塔一共花费了埃及人约5000万块巨石。
当时整个埃及地区一年才生产1.5吨黄金，所以全国经济一下子就陷入瘫痪状态。
这时，为数不多的聪明人就开始提议，既然无法改变人口比例，那就尽量减少货币供应量，把钱省下来换粮食，然后再凭借粮食，在市场竞争中逐渐占领优势。
多面体的种类很多，通常分为简单多面体、凸多面体、凹多面体。
像三棱锥、四棱柱和五棱柱属于简单多面体，像三棱台、四棱台、五棱台、圆柱、圆锥和球属于凸多面体。
另外还有一些属于凹多面体的多面体，例如十二面体、二十面体、四面体等。
大家应该都听说过有关多面体的趣闻轶事吧?有的人长着一张天使般美丽的脸蛋，但是却是恶魔的心灵;有的人拥有迷人的身材，可是脑袋却短路了……当然，我知道，我的朋友应该都是正常的人。
然而，这么复杂的问题还是要归结于哲学的概念，因为我觉得我们所处的社会和自然界本来就充满了各种难以理解的怪异现象。
最初的宇宙诞生了基本粒子，然后慢慢组合在一起，在亿万年的漫长岁月中逐步发展成今天这个样子，在过去的5年中，人类发射了很多探测卫星，有些甚至深入太空中几百公里，在距离地球40多亿光年远的位置找到了数十颗系外行星，而且将越来越多的新行星带回地球作研究观察。
未来人类或许能够解开更多关于多面体的谜团，让我们拭目以待吧!不管怎么样，多面体是永恒存在的，他将陪伴着我们，与我们共同前进。
欧拉公式
欧拉公式欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。
其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。
此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。
简介(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。
分式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c复变函数e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
多面体与旋转体 高二数学(沪教版2020必修第三册)
与平面上的正多边形类似，在空间中可以考虑正多面体．如果一个 多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的 棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体（ｒｅｇｕｌａｒｐ ｏｌｙｈｅｄｒｏｎ）．图１１３ １给出了五种不同的正多体．事 实上，用本节“课后阅读”中所介绍多面体的欧拉定理，可以验证 只有这五种正多面体．
旋转面是大学空间解析几何课程中的 内容之一．我们这里只关注最简单的 情况：一条直线a绕同一平面内的另
一条直线l旋转一周所形成的曲面： 圆柱面或圆锥面．当直线a与直线l平 行时，得到的是圆柱面；当直线a与 直线l相交（但不垂直）时，得到的 是圆锥面（图１１３３）．直线a称
为圆柱面或圆锥面的母线．在圆锥面
课本练习
１．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑 （nào）”的几何体（见《九章算术》卷第五“商功”之一六），它 指的是由四个直角三角形围成的四面体．用你学过的立体几何知识说 明这种四面体确实存在
如图，先作一个底面为直角三角形的直棱柱AEF—BDC，其中∠BCD 是直角。 用平面ACD截此直三棱柱，则几何体A-BCD就是满足要求的“鳖臑”，这是 因为AB⊥平面BCD，所以△ABD、△ABC是直角三角形；又已知∠BCD为直 角，所以△BCD是直角三角形；最后，由CD⊥平面ABCF，推出CD⊥CA，即 ∠ACD为直角，所以△ACD是直角三角形。这样几何体A—BCD的四个面都是 直角三角形，即它是一个“鳖臑”。
我们迄今所见的多面体（如棱柱、棱锥、正多面体等）都是简单多 面体．但要构造一个非简单多面体也不难．如图１１-３-４，这是 一个中间有一个长方体空洞的十六面体，往这样的橡胶多面体充气， 得到的是一个游泳圈，而不是球．算一算，对于图１１- ３- ４的 多面体，V＋F－E等于多少．
人教版B版高中数学选修4-6(B版)欧拉定理
欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支， 对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建 筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、 解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命 名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作 标准教程。19世纪伟大的数学家高斯 （Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的 著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还 是数学符号发明者，他创设的许多数学符 号，例如π，i，e，sin，cos，tan，Σ， f (x)等等，至今沿用。
欧拉定理
正多面体
欧
认识欧拉 简单多面体
拉
正多VFE
定
欧拉定理
理
证明
意义
小结
1.(1)什么叫正多面体（两个特征）？ (2)正多面体有哪几种？
数学家欧拉 （Leonhard Euler 公元1707-1783年）
欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大 学读书，得到著名数学家贝努利的精心
指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰 出的数学家，他从19岁开始发表论文， 直到76岁，他那不倦的一生，共写下了 886本书籍和论文，其中在世时发表了 700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他 的著作，整整用他 那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可 以使他在任何不良的环境中工作：他常常 抱着孩子在膝盖上完成论文。既使在他双 目失明后的17年间，也没有停止对数学的 研究，口述了好几本书和400余篇的论文。 当他写出了计算天王星轨道的计算要领 后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老 师。
公式描述了简单多面体顶点数、
面数、棱数特有的规律。
应用实例
例1．一个简单多面体的棱数可能是6吗？
例2．有一各面都是三角形的多面体， 顶点数V、面数F、棱数E.
求证：
，
多面体定理
多面体定理有多个相关的概念。
1. 多面体：是指由四个或更多个多边形所围成的立体。
在传统意义上，它是一个三维的多胞形，而在更新的意义上，它是任何维度的多胞形的有界或无界推广。
2. 多面体欧拉定理：对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系。
在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为“顶点数-棱长数+表面数=2”。
简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。
3. 拓扑多面体：将多面体的定义进一步一般化，就得到拓扑多面体。
请注意，多面体定理是一个相对专业的数学概念，如果想要获取更多详细信息，建议请教数学领域专业人士。
《简单多面体》课件
绘画构图
在绘画构图中，简单多面 体可以作为视觉元素，增 强画面的层次感和立体感 。
装饰设计
简单多面体的几何美感在 室内装饰设计中得到广泛 应用，如墙面、地面、家 具等的设计。
科学实验中的应用
物理实验模型
简单多面体的几何特性使其成为 物理学中某些实验模型的理想选 择，如力学、光学、电磁学等实
验。
材料科学
详细描述
每种类型的多面体都有其独特的几何特征和性质。例如，四面体由四个三角形组成，每 个三角形都与其他三个三角形相连接；八面体则由八个四边形组成，每个四边形都与其 他六个四边形相连接。此外，还有十二面体、二十面体等其他类型的多面体，它们的顶
点、面和边的数量各不相同，具有不同的几何属性和应用场景。
02
建筑结构优化
在建筑结构设计中，简单 多面体的结构稳定性好， 能够提高建筑的抗震性能 和承载能力。
建筑空间利用
简单多面体的空间构成特 点有助于实现建筑空间的 合理利用，提高建筑的使 用效率。
艺术创作中的应用
雕塑造型
简单多面体在雕塑创作中 常被用作基本形体，通过 组合、变形等手法创造出 丰富的艺术形象。
在材料科学实验中，简单多面体可 以作为材料结构的模型，有助于研 究材料的性能和结构之间的关系。
数学研究
简单多面体在数学领域常被用作几 何学、拓扑学等学科的研究对象， 有助于深入探讨数学的基本原理和 规律。
05
简单多面体的制作方法
材料选择
纸张
剪刀、胶水等工具
选择厚度适中、质地良好的纸张，以 保证多面体的结实度和美观度。
详细描述
每个面都是一个正方形 ，所有的面都具有相同 的面积，所有的顶点都
是等角的。
特性
多面体欧拉定理的发现
验证
成功
V + F – E = 16 + 16 – 32 = 0
失败
第四步：
修正猜想
简单多面体付合猜想
非简单多面体不符合猜想
第五步：进一步猜想欧拉公式
一般地，简单多面体的顶点数V、面 数F和棱数E之间有关系：
V+F–E=2
三、简单多面体欧拉公式的证明
１、去掉一个面将多面体压缩为平面图形
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ
２、将所得平面图形外围的线段逐一去掉
Ｂ
Ａ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ并没有改变
３、从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，
直至只剩一条线段
Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ａ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ依然没有改变
Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２＋０－１＋１＝２
欧拉生平：（Euler 公元1707-1783年）
同学们再见！
研究性学习课题：
多面体欧拉定理的发现
课件制作:雷应宇
一、平面多边形的顶点数与边数
平面多边形的顶点数与边数相等
二、多面体的顶点数，面数和棱数
之间有没特定的关系呢
第一步：
观察
正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
顶点数 V
面数 F
棱数 E
第二步：
猜想Leabharlann V+F–E=2第三步：
练习： 1、正十二面体的面数,棱数,顶点数分别是:（ A.12 30 30 C.12 20 30 B.12 20 20 D.12 30 20
）
2、Ｃ7０是由7０个Ｃ原子构成的分子， 它的结构为简单多面 体．这个多面体有7０个顶点，在每个顶点处都有3条 棱，面的 形状只有五边形和六边形，你能计出Ｃ7０有多少 个五边形和六 边形吗？
计算机图形学图形的表示与数据结构
基本概念－实体（点集拓扑学的角度）
点的领域：如果P是点集S的一个元素，那么点P的以R（ R>0）为半径的领域指的是围绕点P的半径为R的小球（ 二维情况下为小圆）。
开集的闭包：是指该开集与其所有边界点的集合并集，本 身是一个闭集。（三维物体的点的集合可以分为内部点和 边界点来那个部分）
正则集：由内部点构成的点集的闭包就是正则集，三维空 间的正则集就是正则形体。也就是三维有效物体
三维物体表面必须具有以下5条性质： 连通性：位于物体表面上的任意两个点都可用实体表 面上的一条路径连接起来。 有界性：物体表面可将空间分为互不连通的两部分， 其中一部分是有界的 非自相交性：物体的表面不能自相交 可定向性：物体表面的两侧可明确定义出属于物体的 内侧或外侧 闭合性：物体表面的闭合性是由表面上多边形网格各 元素的拓扑关系决定的，即每一条边有且只有两个顶 点；每一条边连接来年各个或两个以上的面。
建模坐标系（Modeling Coordinate System）（局部坐 标系）
用户坐标系（全局坐标系、世界坐标系） 观察坐标系（Viewing Coordinate System）（指定裁
剪空间、定义投影平面，将用户坐标转换成规格化的设备 坐标） 规 格 化 设 备 坐 标 系 （ Normalized Device coordinate System）（定义视图区） 设备坐标系（Device Coordinate System）（图形输入/ 输出的设备坐标系，如屏幕等）
42
八叉树
z
6 5
8
y
7
2 1
3 4
12345678 x
图4.17 三维空间分成八个卦限及其节点表示
43
BSP树
二 叉 空 间 分 割 （ Binary Space Partitioning，BSP）树方法是一种类似于 八叉树的空间分割方法，它每次将一实体用 任一位置和任一方向的平面分为二部分（不 同于八叉树方法的每次将实体用平行于笛卡 尔坐标平面的三个两两垂直的平面分割）。
多面体的种类和分类教案
多面体的种类和分类教案。
一、多面体的基本概念和性质多面体有以下几个基本概念和性质：1.多面体的面：多面体的面是指一个多边形，并且该面与其他面之间都有共同的边界线段（棱）。
2.多面体的棱：多面体的棱是指连接两个相邻面的线段。
3.多面体的顶点：多面体的顶点是指多面体所有的棱所在的交点。
4.多面体的欧拉公式：对于任意一个简单多面体，其面数、顶点数和棱数满足以下欧拉公式：面数 + 顶点数 - 棱数 = 25.多面体的重心：多面体的重心是指其所有顶点和棱的中心位置。
二、几何体的分类在学习多面体的种类和分类前，我们需要了解下几何体的分类。
几何体分为欧氏几何中三维的几何体、非欧几何中三维的几何体、射影几何中的四维几何体、欧几里德几何中多维几何体等。
其中的欧氏几何中的三维几何体，又可以分为简单多面体和复合多面体两种；而简单多面体又可以分为四类：正多面体、柱面体、稜棱柱体、棱锥体。
三、多面体的种类和分类1.正多面体：正多面体是指多个相同正多边形组合而成的立体几何图形，各个面都是相等的，并且每一对相邻的面之间的棱都相等和垂直。
目前已知的正多面体有五种，分别为：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
2.柱面体：柱面体是由两个平行相等且有相同的多边形作为截面的平面沿着这个多边形所在的平面向着另一个多边形的平面平移形成的多面体。
根据截面的形状，柱面体分为正多边形柱、圆柱和椭圆柱等类别。
3.稜棱柱体：稜棱柱体是由一组棱与若干个平行相等且有相等多边形的截面的平面所夹成的空间所包围的多面体。
根据多边形的形状，稜棱柱体可以分为正稜棱柱、斜稜棱柱和准稜棱柱等。
4.棱锥体：棱锥体是由一组棱与一个多边形的平面所夹成的空间所包围的多面体，其中多边形称为底面，棱都共同汇聚于底面的一个顶点。
根据底面的形状，棱锥体可以分为正棱锥、斜棱锥和准棱锥等。
以上四种多面体都是简单多面体，具有一些共同的性质和特点，例如各面都是相等的、任意两个相邻面之间都相交于一条共同的边缘等。
多面体
∆A' B' C '
AB = 2 AM = 2OM * tan 60° = 2 3 * l 2 − h 2
3 3 h '2 1 2 2 2 s∆A ' B 'C ' = 2= S ∆ABC = AB = *4*3( l −h ), 4 4 S ∆ABC h 4
∴ s∆A'B 'C ' =
3 3 2 (l − h 2 ) 4
AB ' B 'C ' SH ' = = −− − = AB BC SH
D
C B
S ∆A'B 'C 'D'E ' A' B'2 SH '2 ∴ = = 2 S ∆ABCDE AB SH 2
如果一个凌锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影 是底面的中心，这样的凌锥叫做正凌锥。
正棱锥有下面的一些性质: 正棱锥有下面的一些性质
多面体
制作人:蔡文耀
简单多面体
棱柱与凌锥 1多面体 多面体
由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体,自然界许多 物体都成多面体形状如图(1-1)
图1-1
2.棱柱与它的性质
我们常见的一些物体,例如三棱镜,方转以及螺杆的头部等,都成棱柱的形状.
如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每想邻两个面的交线互相平行,这 样的多面体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余 的各个面叫做棱柱的侧面;两侧面公共边叫做棱柱的侧棱;两底面所在的 平面的公垂线段叫做棱柱的高(公垂线段的长度也简称高).
（图1-14(1))
（2）画底面，按x’轴，y’轴，画五正无边形的直观图ABCDE，按比例尺取 边长等于5÷5=1(cm)，并且使正无边形的中心对应于o’点。 （3）画高线，在z’轴上取=11.5÷5=2.3(cm) (4)成图.连接SA,SB,SC,SD,DE,并加以整理,就得到所画的正无棱锥的正棱 (4) . SA,SB,SC,SD,DE, , 锥的直观图(图1-14(2)).
一个媲美简单多面体欧拉公式的公式
最大平面（球面）拓扑图中的各点度数关系式推导浙江宁波奉化焦永溢2019.10.30拓扑学中有个非常著名的“简单多面体欧拉公式”，就是在任何简单多面体（变形后能成为球形的多面体）的表面有着这样一个恒等关系：顶点数+面数-棱数=2；也可写成：顶点数+面数-2=棱数。
如大家非常熟悉的立方体，顶点有八个，面有六个，它的棱数就一定是8+6-2=12。
这个公式也称为简单多面体的欧拉定理，公式的表达及推导都是十分的简单容易。
今天我要向大家展示的是一个新发现并推导出的公式，是关于最大平面拓扑图中各个点度数间关系的一个恒等式，与上述的欧拉公式非常类似。
先来介绍一下两个名词：“最大平面”是指球面，就是要把平面拓扑图覆盖到球面上，平面图的外面（球的后面）应该有一个大的点与平面图的外面一圈上每个点都有连线；反过来从球的后面看，就是中间必须有一个大的点，与外围一圈中的每个点都有连线。
这样处理后，整个球面拓扑图的结构中就只有三边形，没有其它多边形的存在，这样全都由三边形组成的拓扑图才是最大平面拓扑图。
在研究“四色问题”时，必须要在最大平面（球面）上分析，若没有外面（球后面中间）的这一点，带多边形的拓扑图所研究出来的是伪四色，一旦要加上这点就变成需要五色了。
“度数”是指最大平面拓扑图上的每个点各自所连接的线条数，也就是这个点的外面所包围它的一圈中的点数。
在各度数的点中可发现六度的点是特殊的点，我们可通过足球表面每块皮的拓扑关系，来分析六度的点与其它度数点的相互关系。
图1左边所示的足球，好像每块皮都是六角形的，其实这是不可能的，每块都是六角形的话，就是说画成右边所示的拓扑图后，每个点都是六度的。
拓扑学中已经有这样的定理了：整个最大平面图中，度数最小的点一定小于等于五度。
我不知这定理是怎么推出来的，但从我以下对这个错误的足球图分析中，确实可证明，必须要有若干个五度及以下的点，否则这平面图不能覆盖到球面上去。
我们先把这个错误的足球中一块黑色当中心点，围着它的第一圈红线圈上是六个白色点；这六个白色点各自向圈内的连线只有一条，加上与左右相连的两条红线就三条了，向外必须要有三条才能保持六度。
高二数学第九节 多面体 欧拉公式的发现知识精讲 人教版
高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E —SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n 边形的每个内角等于nn ︒⋅-180)2(，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E 常见方法： (1)E ＝V+F-2(2)E ＝各面多边形边数和的一半 (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1 下列几何体是正多面体的是( ) A.长方体 B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥 解 选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2 对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是 .解 (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3 一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.解 ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V 与面数F 之间的关系. 解 ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E ＝25F ，代入欧拉公式：V+F-25F ＝2 即2V-3F ＝4.例2 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为( ) A.5400° B.6480° C.7200° D.7920° 解 由欧拉公式，V ＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480° ∴应选B.例3 将边长为a 的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解 根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a ，侧棱长为22)2()2(a a ＝22a ，而正八面体可分为两个正四棱锥. 故 V ＝2×(22a)2×2a ×31＝62a .说明 用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ， (1)求异面直线AF 、CE 所成角的大小； (2)求CE 与底面BCD 所成角的大小.解 (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD 内作EG ∥AF 交DF 于G ，那么CE 与GE 所成非钝角的角就是异面直线AF 、CE 所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF ＝CE ＝DF ＝23a,GF ＝EG ＝21AF ＝43a,CG 2＝CF 2+GF 2＝(21a)2+(23a)2，即CG 2＝167a 2，于是CG ＝47a.在ΔCEG 中，cos ∠CEG ＝GE CE CG GE CE ⋅-+2222，所以cos ∠CEG ＝32，于是∠CEG ＝arccos32. 因此AF 、CE 所成的角为arccos32. (2)设A 在底面内射影为O ，连AO ，则AO ⊥平面BCD ，在平面AFD 内作EH ∥AO 交FD 于H ，那么EH ⊥平面BCD ，且EH ＝2122OD AD -＝2122)2332(a a ⋅-＝66a,CE ＝23a ，显然∠ECH 就是CE 底面BCD 所成的角.在Rt ΔEHC 中，sin ∠ECH ＝CEEH＝66a ∶23a ＝32，所以∠ECH ＝arcsin 32.例5 如图所示，四面体ABCD 的棱长为1，求AB 与CD 之间的距离.分析 AB 与CD 显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB 、CD 的中点E ，F ，连EF ，可设想EF 就是公垂线段。
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第一章统计案例1-2回归分析的基本思想及其初步应用（第三课时）（第四课时）
一、目标：1、使学生会根据观测数据的特点来选择回归模型
2、使学生通过探究体会到有些非线性模型通过变换可以转化为
线性回归模型。
3、初步体会不同模型拟合数据的效果。
二、教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回
归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
三、教学基本流程：
回忆建立模型的基本步骤①例2 问题背景分析画散点图。
②观察散点图，分析解释变量与预报变量更可能是什么函数关系。
③学生讨论后建立自己的模型④引导学生探究如果不是线性回归模型如何估计参数。
能否利用回归模型
通过探究体会有些不是线性的模型通过变换可以转化为线性模型⑤对数据进行变换后，对数据（新）建立线性模型⑥转化为原来的变量模型，并通过计算相关指数比较几个不同模型的拟合效果⑦总结建模的思想。
鼓励学生大胆创新。
⑧布置课后作业：习题1.1 1、
附例2的解答过程：
解：依题意，把温度作为解释变量x ，产卵个数y作为预报变量, 作散点图，由观察知两个变量不呈线性相关关系。
但样本点分布在某一条指数函数y=c1e c2 x 周围.
令z=lny , a=lnc1, b=c2则z=bx+a
此时可用线性回归来拟合z=0.272x-3.843
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
Y=e0.272x-3.843
1、2回归分析的基本思想及其初步应用（习题课）(第五课时)
目标：通过习题巩固所学知识
过程：1、复习有关知识
2、典型例题：
例1：某班5名学生的数学和化学成绩如下表所示，对x与y进行回归分析，并预报某学生数学成绩为75分时，他的化学成绩。
A B C D E
数学x 88 76 73 66 63 化学y 78 65 71 64 61
解略。
例2：某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/l) 与消光系数的结果如下：
尿汞含量x 2 4 6 8 10
消光系数y 64 138 205 285 360
（1）求回归方程。
（2）求相关指数R2。
解：略。
3. 练习：选择、填空用小黑板给出。
（题来源于数学天地报）。
4. 小结。
5. 作业。