矢量场的环量及旋度
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矢量场的环量旋度
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描 述场分量沿着各自方向上的变化规律。
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
A1(、r)矢矢沿量量闭场场合的路A(环径r)量l沿的场环中量的。一条闭合路径
l
的曲线积分称为矢量场
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
rotn A
在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度
A
M
n
2 7
6 7
2
3 7
17 7
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的
电场强度为
E
q
4 r 3
r
q
4 r 3
( xex
yey
zez
)
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。
【解】
ex ey ez
E
q
4 x y z
xyz r3 r3 r3
ex
ey
ez
A
x y z
Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e 1
A
e
ez
z
A A Az
在球坐标系中的表示
A
§14矢量场的环量及旋度.
C l F dl
环量不为零的矢量场叫做旋涡场， 其场源称为旋涡源，矢量场的环量有 检源作用。
Ft
F
Fn
环量的计算
在直角坐标系中，设
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez dl = dx ex+ dy ey+ dz ez
Sen
F dl dC l lim dS S 0 S
上式称为环量密度
l
S
P
面元法向矢量与周界 循行方向的右手关系。
过点P 的有向曲面S 取不同的方向，其环量密度将会不同。
（2）旋度
P 点的旋度定义为该点的最大的环量密度，并令其方向
为 en , 即
F dl en curlF lim l s 0 s max
，
dl=dxex+dyey
l
y (x,y)
F d l 2 x y dx x y dy
l l
3
o
x
设 则
x = 3cos ，y = 3sin
2π
F d l 23cos 3sin 3sin d 3cos 3sin 3cos d 9sin cos 9sincos d
l 0 2π 2 2 0
1 2 91 sincos d 9 sin 18π 0 2 0
2π
2π
例 5 求矢量场 F=xyz（exey+ez) 在点 M(1,3,2)处的旋度。
解：
ex F
x
ey
2.4 旋度
0 记作： rot A ( ) n n max
旋度是由矢量场 A( M ) 派生出来的一个矢量场, 也称 旋度场.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
14
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
旋度的意义
旋度用于反映矢量场的漩涡源的分布情况
方向：漩涡面方向 大小：漩涡强度
2014年3月20日星期四
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9
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
A dl l ( ydx xdy)
2 2 2 2
解： 由于在曲线上z=0，所以dz=0．
0 R sind (2 R cos ) 0 (2 R cos )d ( R sin )
环量只能在总量上反映场在某回路上的旋涡特性。
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6
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
流速场
均匀直线流动 非均匀直线流动
水流沿平行于水管 轴线方向流动
流体做涡旋运动
=0，无旋涡运动
2014年3月20日星期四
0，有产生旋涡的源
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《场论初步》
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
4
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
l A dl l P dx Q dy R dz
环量的性质： 环量是数量.
l
A
S
A
P Γ>0，场有沿着C旋转的量，旋 涡场，有旋涡源正向穿过曲面S. （a） （S的法向与C成右手螺旋关系）. Γ<0，场有沿着C反向旋转的量，有旋涡源反向穿过S.
1.4 矢量场的环量及旋度
1.4 矢量场的环量及旋度要研究产生矢量场的另一种场源。
1.4.1矢量场的环量矢量场的环量就是指矢量场的闭合线积分。
这里先研究变力做功问题，以便引导出矢量场线积分的概念。
用F (r )表示力场，沿图示路径l ，求由a 点到b 点所作的功。
将l 划分为N 个线元段，根据a 到b 的走向将各线元段表为线元矢量。
设第i 个线元矢量Δl i 与其上近似不变的力F i 之间的夹角为θi ，则元功为i i i i i i l F A l F ∆⋅=∆≈∆θcos将所有元段上的元功求和，求当N →∞、Δl i →0时的极限⎰∑⋅=∆⋅==→∆∞→l Ni i i l N A l F l F d )(lim 10即得沿路径l 由a 到b 变力F (r )作的功，它是标量。
若将式中的F (r )看成是任意的矢量场，则⎰⋅l l F d 就代表矢量场F (r )沿路径l 的标量线积分。
矢量场沿闭合路径的线积分，称为矢量场的环量(circulation)。
用C 表示⎰⋅=ll F C d （1.4.1）矢量场的环量可能为零，也可能不为零:① 若有0d =⋅⎰l l F ，该矢量场就是保守场或守恒场； ② 若有0d ≠⋅⎰l l F ，该矢量场叫做旋涡场。
对于场中的任意闭合路径矢量场的环量，与该闭合路径所围部分含有的旋涡源之间存在关联性，使环量具有检源作用。
在直角坐标系中，设矢量场为F ( x,y,z )，l 为任意闭合路径，环量可写成ib a⎰⎰++=⋅=lz y x lz F y F x F C )d d d (d l F （1.4.2）1.4.2矢量场的旋度为了表征矢量场中旋涡源的空间分布特性，要引入矢量场旋度概念。
在连续、可微的矢量场F (r )中，过观察点P 任作一面元∆S ，按其正法向方向确定面元矢量∆S=∆S n 'e 。
l 为面元的周界，其循行方向与∆S 的方向按惯例应符合右手法则，如图所示。
沿l 的循行方向求⎰⋅l l F d ，让∆S 向着P 点收缩，若极限sls ∆⋅⎰→∆l F d lim 0存在，它表示P 点处∆S 为如图取向时在单位面积周界上F (r )的环量。
矢量场的环量旋度
矢量场的环量__旋度
在矢量分析和流体力学中，矢量场的旋度（或称为旋涡）是一个重要的概念。
旋度描述了一个矢量场在某一点的变化率和方向。
具体来说，它给出了一个矢量场在某一点围绕一个点或一条线的旋转强度和方向。
旋度的数学定义是 curl(F) = ∇× F，其中 F 表示矢量场，∇表示哈密顿算子（一个矢量算子），× 表示矢量的叉乘。
这个定义表明，旋度是一个矢量，其大小等于原矢量场在三个方向上的变化率的最大差值，其方向垂直于原矢量场所在的平面。
在具体应用中，旋度有很多重要的用途。
例如，在电磁学中，根据安培定律和法拉第电磁感应定律，磁场的变化会产生电场，这个电场的大小和方向与磁场的变化率和方向有关。
这表明旋度在电磁场的变化和传播中起着重要作用。
在流体力学中，旋度描述了流体速度场的旋转情况。
如果一个流体速度场的旋度很大，那么这个流体的旋转速度就很大。
这种旋转流体在自然界和工程中有很多重要应用，例如龙卷风、旋涡星云、水涡等。
此外，在向量场中，如果一个向量场的旋度为零，那么这个向量场就是无旋的。
无旋向量场在很多实际应用中具有重要价值。
例如，无旋的电流场不会产生磁场，因此不会受到磁场的干扰。
因此，在电力工程中，无旋电流场的设计和分析是非常重要的。
总之，矢量场的旋度是一个描述矢量场在某一点的变化率和方向的重要概念。
它在矢量分析、流体力学、电磁学、工程应用等领域中有广泛的应用。
通过对旋度的计算和分析，我们可以更好地理解和描述自然现象以及设计各种实际应用。
向量场的旋度与环量
向量场的旋度与环量在物理学和数学领域中，向量场的旋度和环量是非常重要的概念。
它们帮助我们理解和描述向量场的性质和运动，应用广泛且具有深远的影响。
本文将介绍向量场的旋度概念、计算方法以及与环量的关系，帮助读者深入理解这一概念。
一、向量场的旋度向量场是定义在空间中每一点的一个向量的函数。
旋度是用来描述向量场在某一点的旋转性质的度量指标。
在数学上，旋度可以通过向量场的微分运算来定义。
假设有一个向量场F，可以表示为F = (P, Q, R)，其中P、Q、R分别表示向量场F在x、y、z方向上的分量。
则向量场的旋度可以表示为：∇ × F = ( ∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y )其中∇ × F表示旋度运算符作用在向量场F上的结果。
旋度的物理意义在于衡量了向量场在某一点围绕该点的旋转程度。
若旋度为零，则表示该点附近的向量场没有旋转；若旋度不为零，则表示该点附近的向量场存在旋转。
旋度的大小和方向可以通过计算得到，可以帮助我们判断向量场的旋转特性。
二、旋度的计算方法为了计算向量场的旋度，我们需要进行一系列的微分运算。
下面将介绍旋度的计算方法。
1. 对向量场F的每个分量进行偏微分，得到F的偏导数∂P/∂x，∂Q/∂y和∂R/∂z。
2. 根据旋度的定义，计算旋度的每个分量，即∂R/∂y - ∂Q/∂z，∂P/∂z - ∂R/∂x和∂Q/∂x - ∂P/∂y。
通过以上计算，即可求得向量场的旋度。
三、旋度与环量旋度与环量之间存在着紧密的关系。
环量是描述向量场沿着闭合曲线的流量的度量指标，是旋度的一种重要应用。
假设闭合曲线C围绕一个曲面S，并且向量场F通过曲面S。
曲线C的环量可以表示为：∮C F · dr其中∮表示沿着曲线C的积分，F表示向量场，dr表示曲线上的微小位移向量。
根据斯托克斯定理，环量与曲面的旋度有关。
具体而言，曲线C的环量等于曲面S上旋度的通量。
矢量场的环量和旋度习题解答
习题难度：易 矢量场的旋度是一个矢量，是空间坐标点的函数。
2. 下列陈述错误的是( ) A. 在场中某点M 处，根据 M 点处环量的大小可以判断闭合曲线中是否存在涡旋源 B. 在场中某点M 处，环量面密度反映了矢量在 M 点处环绕指定方向旋转的强弱情
况 C. 在场中某点M 处，M 点处的环量面密度是唯一的 D. 在场中某点M 处，经过点 M 的任意方向的环量面密度都可用旋度在该方向上的
D. ey
解析：本题考查旋度的计算，基本知识点
习题难度：中
ex ey
A
x
y
ez
z
(0 0)ex [0 (1)] ey (0 0) ez ey
x2 y3 (3z x)
1
4. 已知矢量 A x(z y)ex y(x z)ey z( y x)ez
，则在点 M(1, 0,1 )处沿2e 6e 3e
x
y
z
方向的环量密度( )
A. 6
B. 3
C. 17
D. 17/7
解析：本题考查旋度的性质，基本知识点
习题难度：中
在场中某点M 处，经过点 M 的任意方向的环量面密度都可用旋度在该方向上 的投影获得。
本题先求点 M(1, 0,1)处的旋度：
ex
ey
ez
A x
y
z (z y)ex (x z)ey ( y x)ezen172 Nhomakorabea2
761
73
17 7
5. 如图所示，则对点 M 描述正确的是( )
A. A 0 A 0
B. A 0 A 0 C. A 0 A 0
M
A
D. A 0 A 0 解析：本题考查散度和旋度的性质，基本知识点
2. 下列陈述错误的是( ) A. 在场中某点M 处，根据 M 点处环量的大小可以判断闭合曲线中是否存在涡旋源 B. 在场中某点M 处，环量面密度反映了矢量在 M 点处环绕指定方向旋转的强弱情
况 C. 在场中某点M 处，M 点处的环量面密度是唯一的 D. 在场中某点M 处，经过点 M 的任意方向的环量面密度都可用旋度在该方向上的
D. ey
解析：本题考查旋度的计算，基本知识点
习题难度：中
ex ey
A
x
y
ez
z
(0 0)ex [0 (1)] ey (0 0) ez ey
x2 y3 (3z x)
1
4. 已知矢量 A x(z y)ex y(x z)ey z( y x)ez
，则在点 M(1, 0,1 )处沿2e 6e 3e
x
y
z
方向的环量密度( )
A. 6
B. 3
C. 17
D. 17/7
解析：本题考查旋度的性质，基本知识点
习题难度：中
在场中某点M 处，经过点 M 的任意方向的环量面密度都可用旋度在该方向上 的投影获得。
本题先求点 M(1, 0,1)处的旋度：
ex
ey
ez
A x
y
z (z y)ex (x z)ey ( y x)ezen172 Nhomakorabea2
761
73
17 7
5. 如图所示，则对点 M 描述正确的是( )
A. A 0 A 0
B. A 0 A 0 C. A 0 A 0
M
A
D. A 0 A 0 解析：本题考查散度和旋度的性质，基本知识点
复变函数第四版-第二章_2.4 矢量场的环量及旋度
从（4.13）式知，我们知道旋度的一个重要性质，就是：旋度 矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即 有
ro t n A μ n ( 4 .1 5)
例如在磁场H 中，旋度rot H 式这样一个矢量，在给定点 处，它的方向乃是最大电流密度的方向，其模即为最大电流密 度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的电 流密度。在电学上称rot H 为电流密度矢量。
例5.
2 2 2 2 设ay2z2i+z2x2j+x2yj x 2 y 2 k2k,证明 A= y z iz x
A ro t A 0
证
由
0 2 D A 2 xz 2 xy 2
2
2 yz 0 2 yx
2
2
2y z 2 2 zx 0
2
2 2
得
于是有
3 7
2
6 7
2
2 7
8
2 7
18 7
第二章 场论
12
• 旋度
看环量面密度的计算公式(4. 11)把其中的三个数( Ry −Qz ) ,( Pz − Rx ) ,(Qx − Py ) 视为一个矢量R 的三个坐标，即取
R ( R y Q z ) i ( Pz R x ) j ( Q x Py ) k ( 4 .1 2 )
l
dl lim
s M
I S
s M
s
dI dS
( 4 .9 )
就是在点M 处沿方向n 的电流密度。
又在流速场v 中的一点M 处，沿n 的环量面密度，由(4.3)式为
n lim
v dl
矢量场的环量及旋度
已知空间中矢量场分布满足 Av(rv) rv ，求
矢量场在空间中的散度源分布。
分析：
意位在该置直矢，r角v量坐场是标的变系场量下量。：等r于v 其x空ev间x 位y置evy矢量z值evz rv 。在空间任
在圆柱坐标系下：rv 在球面坐标系下：rv
revevr r
zevz
例题二：
已知：Rv evvx (x x') evy (y y') evz (z z') ，
r r r z
3) 在球面坐标系下：
(evr
r
ev
1 r
ev
(
r
1 sin
)
)
gFv(rv)
1 r2
r
(r 2Fr )
1
r sin
(sin F )
1
r sin
F
一些常用的运算恒等式
( A B) A B (CA) C A
(A) A A
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
1、在散场度空的间定义Av(rv) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积
为 V ，则定义场矢量 Av(rv) 在M 点处的散度为：
divAv (rv)
lim
Ñs Av (rv)
v dS
v0
v
2、散度的物理意义
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
讨论：1）线元矢量 dl 的定义；
2) 蜒 l Av(rv)gdlv l Av(rv) cos (rv)dl
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；
反之，则矢量场存在涡漩运动。
矢量场在空间中的散度源分布。
分析：
意位在该置直矢，r角v量坐场是标的变系场量下量。：等r于v 其x空ev间x 位y置evy矢量z值evz rv 。在空间任
在圆柱坐标系下：rv 在球面坐标系下：rv
revevr r
zevz
例题二：
已知：Rv evvx (x x') evy (y y') evz (z z') ，
r r r z
3) 在球面坐标系下：
(evr
r
ev
1 r
ev
(
r
1 sin
)
)
gFv(rv)
1 r2
r
(r 2Fr )
1
r sin
(sin F )
1
r sin
F
一些常用的运算恒等式
( A B) A B (CA) C A
(A) A A
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
1、在散场度空的间定义Av(rv) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积
为 V ，则定义场矢量 Av(rv) 在M 点处的散度为：
divAv (rv)
lim
Ñs Av (rv)
v dS
v0
v
2、散度的物理意义
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
讨论：1）线元矢量 dl 的定义；
2) 蜒 l Av(rv)gdlv l Av(rv) cos (rv)dl
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；
反之，则矢量场存在涡漩运动。
第9讲矢量场的环量及旋度1
Q P ( Pdx Qdy) (( )dxdy x y l S
l 的方向为内边线顺时针，外边线逆时针。
2.环量面密度
环量只能描场中述以
通向任意方向
l
为边界的一块曲面
S
内
总的流（电流强度）；不能反映场中任意一点处
n 的流的密度（电流密度）。
n
流密度：矢量场中 M 点处沿任一方向
1.环量
dl ndl dl cos(t , x)i dl cos(t , y) j dl cos(t , z )k
dxi dyj dzk
l
t dl
cos(t , x), cos(t , y), cos(t , z) 为 l 切线矢量 t 的方向余弦。
《矢量分析与场论》
第9讲 矢量场的环量及旋度（1）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 环量 2. 环量面密度 3. 旋度
教材：第2章，第4节
1.环量
环量反映矢量场 A 和环线 l 之间的相互作用。 环线 l 为封闭曲线，其方向规定为：环线 l 和 流 I 成右手螺旋法则。
根据中值定理
[( R Q P R ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) y z z x
(
Q P ) cos(n, z )]M * S x y
2.环量面密度
其中 M *为 S 上的某一点，当 S M 时，有 M * M ， 于是
的
dl
A
在直角坐标系中，环量表示为：
A dl ( Pdx Qdy Rdz )
矢量场的环量和旋度课件
矢量场的环量和旋度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量。 旋度是描述矢量场中任一点旋转性质的量。
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的环量 二、环量面密度 三、矢量场的旋度
一、矢量场的环量
在矢量场中，若L是一条有向闭合曲线，则矢量场
A 沿有向闭曲线 L的线积分，称为矢量A 沿有向闭
曲线L的环量，即
2. 旋度代表矢量场的涡旋源的特性：
A 0 该点矢量线有旋
A 0
该点矢量线无旋
三、矢量场的旋度(rotation)
旋度小结： 3. 经过点M 的任意方向的环量面密度，都可用 旋度在该方向上的投影获得，即
环量面密度 ( A)M en
4.在矢量场中，若 A J 0 ， 称之为有旋场， J 称为旋度源；
进一步整理，可得
•
环量面密度 ( A)M
en
A M
en cos
rot A A
三、矢量场的旋度(rotation)
A A z
y
Ay e z x
Ax z
Az x
x ey
Ay
x
Ax e y z
旋度小结：
1. 矢量场的旋度是一个矢量，它是描述矢量场中 任一点旋转性质的量。
A
d L
L
一、矢量场的环量
环量的物理意义：不同物理量的环量意义不同。
以河水中放置的水轮为例，水轮边缘受到的力
为 A ，则矢量A 沿水轮边界 L 的环量表示水流
沿整个水轮所作的功。
A
d L
L
Γ0
Γ0
一、矢量场的环量
根据环量的大小判断闭合曲线中是否存在涡旋源：
Γ0
(无涡旋源)
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量。 旋度是描述矢量场中任一点旋转性质的量。
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的环量 二、环量面密度 三、矢量场的旋度
一、矢量场的环量
在矢量场中，若L是一条有向闭合曲线，则矢量场
A 沿有向闭曲线 L的线积分，称为矢量A 沿有向闭
曲线L的环量，即
2. 旋度代表矢量场的涡旋源的特性：
A 0 该点矢量线有旋
A 0
该点矢量线无旋
三、矢量场的旋度(rotation)
旋度小结： 3. 经过点M 的任意方向的环量面密度，都可用 旋度在该方向上的投影获得，即
环量面密度 ( A)M en
4.在矢量场中，若 A J 0 ， 称之为有旋场， J 称为旋度源；
进一步整理，可得
•
环量面密度 ( A)M
en
A M
en cos
rot A A
三、矢量场的旋度(rotation)
A A z
y
Ay e z x
Ax z
Az x
x ey
Ay
x
Ax e y z
旋度小结：
1. 矢量场的旋度是一个矢量，它是描述矢量场中 任一点旋转性质的量。
A
d L
L
一、矢量场的环量
环量的物理意义：不同物理量的环量意义不同。
以河水中放置的水轮为例，水轮边缘受到的力
为 A ，则矢量A 沿水轮边界 L 的环量表示水流
沿整个水轮所作的功。
A
d L
L
Γ0
Γ0
一、矢量场的环量
根据环量的大小判断闭合曲线中是否存在涡旋源：
Γ0
(无涡旋源)
电动力学-矢量分析4
2
( R 2 R cos )d 2 R
哈尔滨工程大学理学院
矢量场环量与旋度
第二章 场论
例2 求矢量场 A x ( z y ) i y ( x z ) j z ( y x ) k 在点M(1,0,1)处 的旋度以及沿 l 2 i 6 j 3 k 方向的环量面密度。
S M
( n , i ) |M ; ( n , j ) |M ; ( n , k ) |M
令
n
R ( R y Q z ) i ( Pz R x ) j ( Q x P y ) k
R n R cos( R , n )
R sin d ( 2 R cos ) R sin
2 2
2 0
( 2 R cos ) d ( R sin )
d
2
( 2 R cos ) R cos d
2
2 0
2 0
[ R (sin cos
2
2
) 2 R cos ]d
第二章 场论
( 3 ) rot ( u A ) urot A gradu A , u 为标量函数） （
( 4 ) div ( A B ) B rot A A rot B
( 5 ) rot ( gradu ) 0 ( 6 ) div ( rot A ) 0
矢量场环量与旋度
环量面密度
第二章 场论
l
M s
n
当曲面S在保持M点于其上的条件下，沿自身缩向M点 时，若极限 环量面密度
( R 2 R cos )d 2 R
哈尔滨工程大学理学院
矢量场环量与旋度
第二章 场论
例2 求矢量场 A x ( z y ) i y ( x z ) j z ( y x ) k 在点M(1,0,1)处 的旋度以及沿 l 2 i 6 j 3 k 方向的环量面密度。
S M
( n , i ) |M ; ( n , j ) |M ; ( n , k ) |M
令
n
R ( R y Q z ) i ( Pz R x ) j ( Q x P y ) k
R n R cos( R , n )
R sin d ( 2 R cos ) R sin
2 2
2 0
( 2 R cos ) d ( R sin )
d
2
( 2 R cos ) R cos d
2
2 0
2 0
[ R (sin cos
2
2
) 2 R cos ]d
第二章 场论
( 3 ) rot ( u A ) urot A gradu A , u 为标量函数） （
( 4 ) div ( A B ) B rot A A rot B
( 5 ) rot ( gradu ) 0 ( 6 ) div ( rot A ) 0
矢量场环量与旋度
环量面密度
第二章 场论
l
M s
n
当曲面S在保持M点于其上的条件下，沿自身缩向M点 时，若极限 环量面密度
1.3矢量场的环量旋度
方向上的投影。
4、旋度运算的基本公式
C 0
(C为常矢量 )
(cA) c A
(A B) A B
(uA)
u
A
u
A
(A B) B A A B
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转
换关系。
AБайду номын сангаасdS A dl
S
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
lim
S 0
l
S
在矢量场中，一个给定点 M 处沿不同方向n ，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA n lim
A dl
l
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示
rotA A
在直角坐标系中的表示
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
A1(、r)矢矢沿量量闭场场合的路A(环径r)量l沿的场环中量的。一条闭合路径
l
的曲线积分称为矢量场
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
rotn A
q
4
0
y
z r3
z
y r3
ex
z
x r3
x
z r3
《矢量分析与场论》 矢量场的环量及旋度
。
R Q P R Q P rotA ( )i ( ) j ( )k y z z x x y R Q P R Q P div(rotA) ( ) ( ) ( ) x y z y z x z x y
0
1.旋度运算的基本公式
例：设矢量场
A
的旋度为 rotA 0 ，若存在非零
函数 u ( x, y, z )使 uA 为某数量场 ( x, y, z) 的梯度， 即 uA grad，试证明 A rotA （习题5第10题）。
rot(uA) rot( grad ) 证： rot( grad ) 0 rot(uA) 0 rot(uA) urotA gradu A 0
电位矢量的旋度为，
qr rot D rot ( ) rot ( f (r )r ) 3 4r q f (r ) 4r 3
i rotr x x j y y k 0 z z
1.旋度运算的基本公式 例：设点电荷
电位移矢量 D
q
位于坐标原点，试证明其产生的
qr rot D rot ( ) rot ( f ( r ) r )0 3 4r
1.旋度运算的基本公式
例：设函数 u ( x, y, z ) 及矢量
第10题）(1) 证：（1）
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k 的
2u 2u zx xz
1.旋度运算的基本公式
例：设函数 u ( x, y, z ) 及矢量
第10题）(1) 证：（1）
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k 的
电磁场与电磁波(矢量分析)2
显然，在上面结果中将 ' ，则
R ' R aR R ' R 3
1 1 a ' R 2 R R R ' R 0
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
11/62
域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示
为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
Fl 0 Fl 0 Fl
l l
l3
l4
x
( ydx xdy) 4 ( ydx xdy)
l l1
4 ( R x)dx ( R y )dy 4 R 2 R R
0 0
改变路径绕 向，结果为 负值
环量与路径形状、大小及其绕向有关。
2014-9-29 信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民 3/62
重要定理 ——斯托克斯定理 A dl A ds
l s
闭合线积分 —— 面积分
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
7/62
1.4 矢量场的环量与旋度
举例： xa x ya y 已知矢量 A 求点M(2,1,0)的旋度以 y x 及该点处沿 l ay az 的环量密度。
格林定理表明，场量是一个体积分与一个面积分的和， 面积分代表边界上的场，体积分代表所求区域内的场。格
林定理给出了由边界条件和区域内场源求解场的方法。
2014-9-29
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R ' R aR R ' R 3
1 1 a ' R 2 R R R ' R 0
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11/62
域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示
为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
Fl 0 Fl 0 Fl
l l
l3
l4
x
( ydx xdy) 4 ( ydx xdy)
l l1
4 ( R x)dx ( R y )dy 4 R 2 R R
0 0
改变路径绕 向，结果为 负值
环量与路径形状、大小及其绕向有关。
2014-9-29 信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民 3/62
重要定理 ——斯托克斯定理 A dl A ds
l s
闭合线积分 —— 面积分
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1.4 矢量场的环量与旋度
举例： xa x ya y 已知矢量 A 求点M(2,1,0)的旋度以 y x 及该点处沿 l ay az 的环量密度。
格林定理表明，场量是一个体积分与一个面积分的和， 面积分代表边界上的场，体积分代表所求区域内的场。格
林定理给出了由边界条件和区域内场源求解场的方法。
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矢量场的环量__旋度
Biblioteka rotn Alim
S 0
l
S
在矢量场中，一个给定点 M 处沿不同方向n，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA
nlim
A dl
l
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示
rotA A
在直角坐标系中的表示
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
1、矢量场的环量
矢量场 A(r) 沿场中的一条闭合路径 l 的曲线积分称为矢量场
A(r) 沿闭合路径 l 的环量。
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
ex ey ez A
x y z
Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e e ez
A
1
z
A A Az
在球坐标系中的表示
er re r sine
A
1
r 2 sin r
Ar rA r sinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。
矢量场在某点处沿 n方向的环量面密度，等于旋度在该
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
S 0
l
S
在矢量场中，一个给定点 M 处沿不同方向n，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA
nlim
A dl
l
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示
rotA A
在直角坐标系中的表示
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
1、矢量场的环量
矢量场 A(r) 沿场中的一条闭合路径 l 的曲线积分称为矢量场
A(r) 沿闭合路径 l 的环量。
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
ex ey ez A
x y z
Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e e ez
A
1
z
A A Az
在球坐标系中的表示
er re r sine
A
1
r 2 sin r
Ar rA r sinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。
矢量场在某点处沿 n方向的环量面密度，等于旋度在该
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
工程电磁场1-矢量场的环量与旋度
2015-6-18
华北电力大学电气与电子工程学院
25
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
5） div( A B) B rotA A rotB 6） div(rotA) 0 公式 4)可根据梯度和旋度在直角坐标系 中的计算公式直接证明。 公式 6)可利用旋度和散度在直角坐标系中 的计算公式直接证明。
Ax ( )dxdy x y
2015-6-18 28
Ay
华北电力大学电气与电子工程学院
工程电磁场
斯托克斯定理的解释：
主讲人： 王泽忠
环量：法向环量面密度的面积分 环量：矢量闭合线积分 环量面密度＝旋度在法线方向的投影 矢量闭合线积分＝旋度的面积分（通量） （1．5 结束）
2015-6-18
2015-6-18
华北电力大学电气与电子工程学院
31
工程电磁场
只是一种运算
主讲人： 王泽忠
不是函数，不是物理量，
当它以一定方式作用于空间函数时， 所得的矢量或标量空间函数才具有意义。 应用 算子的目的， 是为了使场论中的有关公式更为简洁， 便于记忆和运算。
2015-6-18
华北电力大学电气与电子工程学院
主讲人： 王泽忠
例 已知 A a( yex xe y ) ， a 为常数，求 rotA 。 解
Ax ay ， Ay ax ， Az 0
Ay Ax Ax Az Az Ay rotA ( )ex ( )e y ( )ez y z z x x y
以点积方式作用于矢量函数，得标量函数
A (e x e y e z ) Ax e x Ay e y Az e z x y z Ax Ay Az = x y z
1.4环量和旋度
②作为旋度在该方向的投影。 【解】：
①矢量 l ex 2ey 2ez 的方向余弦为
矢量场为 由环量面密度公式
A x( z y)ex y( x z )ey z ( y x)ez
1 2 2 cos , cos , cos 3 3 3
1 2 2 19 ( z y) ( x z ) ( x y) 3 3 3 (1,2,3) 3
②
ex ey ez rot A A x y z x( z y ) y ( x z ) z ( y x) ( z y )ex ( z x)ey ( y x)ez
环量面密度 ( ) n ( Az Ay ) cos Az Ax cos Ay Ax cos A y z
c
x
S
z
x
y
斯托克斯定理
A dl ( A) d S
rot A 5ex 4ey 3ez
在点M (1, 2,3) 处旋度为
(1,2,3) l 1 l 方向的单位矢量 o l (ex 2ey 2ez ) l 3 在点M (1, 2,3) 处沿 l 方向的环量面密度为：
式中S为闭合曲线l所包围的曲面。
物理含义：
矢量A沿任意闭合曲线l的环量等于以l为边界的曲面S 上旋度的面积分。
斯托克斯定理的证明：
S 0
lim
dl
l
S
rot A n
A dl ( A) d S
矢量场旋度的定义与计算
U3
dd 8
dux du2 du3 h2 F. h3 FU3
圆柱坐标系:
rci a z
VxF = - d
(
P
d
r dr d dz
Fr rF Fz
0
4.斯托克斯定理：
J Vx （ 戸）. §戸,页
物理含义： 一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。
小结:
1.矢量场的环量 C = §戸. 2.旋度的定义 2 =蚣i戸• "ax
1.7矢量场的旋度
1. 矢量场的环量 2. 旋度的定义 3. 旋度的计算
4. 斯托科斯定理
1.环量:
在矢量场中，任意取一闭合曲线, 将 矢量沿该曲线积分称之为环量。
C戒尸・d/
可见：环量的大小与环面的方向有关。
2.旋度的定义：
—矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方 向， 那么该矢量称为该点矢量场的旋度。
表达式：rot戸=lim 丄[dn(L F • df]max AS TO "由 ax
旋度可用符号表示：rotF = VxF
3.旋度的计算：
以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为:
Vx 戸= （Vx 戸）x4+（Vx"+（VxE
其中：（Vx戸）、为X方向的环量密度。
_ （fc F-df （Vx 戸）=lim 71
x ASTO
△Sx其中:争戸.源自T=J戸&+［戸疋+［戸E
J Z1
Jlab
Jlbc
lcd
lda
其中: 皿=曲（-J ） d原=烦， d館=&包
d"=臥-句） 所以:
「丄戶.込=-牛
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(curl F ) n curl F e n F d l lim
l s 0
s
旋度直角坐标式的推导
l F d l Fy ( x , y , z)y Fz ( x , y y , z)z
Fy ( x , y , z z )y Fz ( x , y , z )z
z
Fy(x,y,z+Δz) Δz Fz (x,y,z)Fy
o
Δsx
Δy
l1
Fz(x,y+Δy,z)
y
Fz Fy Fz Fy ( )yz ( )S x y z y z
x
推导旋度的直角坐标 式所取的面元和它的围线
于是得旋度的x方向分量：
(curl F ) x lim
水流沿平行于水管轴线方向流动 C=0，无涡旋运动
流体做涡旋运动C0，有产生 涡旋的源
2、旋度 （1）环量密度
过点P 作一微小有向曲面S,它的边界曲线记为l,曲
面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当S点P 时, 存在极限
en
dC lim d S S 0
上式称为环量密度
Fd l S
或用 算符将其写成
ex F x Fx
ey y Fy
ez z Fz
(3）旋度的物理意义 • 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 • 点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 • 在矢量场中，若F=J0, 称之为旋度场(或涡旋场)，J 称 为旋度源密度(或涡旋源密度)； • 若矢量场处处F=0，称之为无旋场或保守场。
l
l
S P
面元法向矢量与周界 循行方向的右手关系。
过点P 的有向曲面S 取不同的方向，其环量密度将会不同。
（2）旋度
P 点的旋度定义为该点的最大的环量密度，并令其方向
为 en , 即
Fdl en curl F lim l s 0 s max
旋度与环量密度的关系：投影
S x 0
F d l F
l
z
S x
y
Fy z
同理可求得 curlF 的y，z分量
F F (curl F ) y x z z x , (curl F ) z Fy x Fx y
所以
Fy Fx Fx Fz Fz Fy curl F ( ) ex ( )ey ( ) ez y z z x x y
F
M
2 3e x 3 6e y 6 2e z ex 3e y 4 ez
作业：1.8
F ( x , y , z ) Fy ( x , y , z )y Fz ( x , y , z ) z y z y Fy ( x , y , z ) Fy ( x , y , z ) z y Fz ( x , y , z )z z
环量的计算
在直角坐标系中，设
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez dl = dx ex+ dy ey+ dz ez
则环量可写成
C F d l ( Fx dx Fy dy Fz dz )
l l
例：流速场
§1.4 矢量场的环量及旋度
1、环量 矢量场沿闭合线的线积分
从变力作功问题引入矢量场环量的概念。
Ai Fi li cosi Fi li
A lim ( Fi li ) F d l
N N l 0 i 1 l
Δ li
b ‘ Fi ‘ ‘l
a
‘ ‘
‘
‘ θi
一段积分路径及其细分
若将F(r)看成是任意的矢量场，上述积分则代表矢
量场F(r)沿路径 l 的标量线积分。矢量场的环量是上述 矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果，因此， F(r)的环量为
C F d l
l
Ft
F Fn
环量不为零的矢量场叫做旋涡场， 其场源称为旋涡源，矢量场的环量有 检源作用。 环量为零的矢量场叫做保守场或守恒 场，静电场就是保守场。
例 4 已知F=(2xyz)ex(x+yz2)ey+(3x2y+4z)ez试就图所示xoy平面上
以原点为心、3为半径的圆形路径，求F 沿其逆时针方向的环量。 解 在 xoy 平面上，有 F = (2xy)ex+(x+y)ey+(3x2y)ez
，
dl=dxex+dyey
l
y (x,y)
F d l 2 x y dx x y dy
l l
3
o
x
设 则
x = 3cos ，y = 3sin
2π
F d l 23cos 3sin 3sin d 3cos 3sin 3cos d 9sin cos 9sincos d
(4）有关旋度的几个关系式 • 相对位置矢量的旋度为零，即
R0
• f(r)与F(r)之积 fF 的旋度有恒等 式 • f(R) 与 R 之积的旋度，有
r 0
( f F ) f ( F ) f F
f ( R) R 0
证明： f ( R) R f ( R) R f ( R) R df R df 0 R R R 0 dR dR R
Fz
xyz xyz e x xyz xyz e y xyz xyz e z z x y z y x xz xy e x xy yz e y yz xz e z
l 0 2π 2 2 0
1 2 91 sincos d 9 sin 18π 0 2 0
2π
2π
例 5 求矢量场 F=xyz（exey+ez) 在点 M(1,3,2)处的旋度。
解：
ex F
x
ey
y
ez
z
Fx
Fy
l s 0
s
旋度直角坐标式的推导
l F d l Fy ( x , y , z)y Fz ( x , y y , z)z
Fy ( x , y , z z )y Fz ( x , y , z )z
z
Fy(x,y,z+Δz) Δz Fz (x,y,z)Fy
o
Δsx
Δy
l1
Fz(x,y+Δy,z)
y
Fz Fy Fz Fy ( )yz ( )S x y z y z
x
推导旋度的直角坐标 式所取的面元和它的围线
于是得旋度的x方向分量：
(curl F ) x lim
水流沿平行于水管轴线方向流动 C=0，无涡旋运动
流体做涡旋运动C0，有产生 涡旋的源
2、旋度 （1）环量密度
过点P 作一微小有向曲面S,它的边界曲线记为l,曲
面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当S点P 时, 存在极限
en
dC lim d S S 0
上式称为环量密度
Fd l S
或用 算符将其写成
ex F x Fx
ey y Fy
ez z Fz
(3）旋度的物理意义 • 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 • 点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 • 在矢量场中，若F=J0, 称之为旋度场(或涡旋场)，J 称 为旋度源密度(或涡旋源密度)； • 若矢量场处处F=0，称之为无旋场或保守场。
l
l
S P
面元法向矢量与周界 循行方向的右手关系。
过点P 的有向曲面S 取不同的方向，其环量密度将会不同。
（2）旋度
P 点的旋度定义为该点的最大的环量密度，并令其方向
为 en , 即
Fdl en curl F lim l s 0 s max
旋度与环量密度的关系：投影
S x 0
F d l F
l
z
S x
y
Fy z
同理可求得 curlF 的y，z分量
F F (curl F ) y x z z x , (curl F ) z Fy x Fx y
所以
Fy Fx Fx Fz Fz Fy curl F ( ) ex ( )ey ( ) ez y z z x x y
F
M
2 3e x 3 6e y 6 2e z ex 3e y 4 ez
作业：1.8
F ( x , y , z ) Fy ( x , y , z )y Fz ( x , y , z ) z y z y Fy ( x , y , z ) Fy ( x , y , z ) z y Fz ( x , y , z )z z
环量的计算
在直角坐标系中，设
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez dl = dx ex+ dy ey+ dz ez
则环量可写成
C F d l ( Fx dx Fy dy Fz dz )
l l
例：流速场
§1.4 矢量场的环量及旋度
1、环量 矢量场沿闭合线的线积分
从变力作功问题引入矢量场环量的概念。
Ai Fi li cosi Fi li
A lim ( Fi li ) F d l
N N l 0 i 1 l
Δ li
b ‘ Fi ‘ ‘l
a
‘ ‘
‘
‘ θi
一段积分路径及其细分
若将F(r)看成是任意的矢量场，上述积分则代表矢
量场F(r)沿路径 l 的标量线积分。矢量场的环量是上述 矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果，因此， F(r)的环量为
C F d l
l
Ft
F Fn
环量不为零的矢量场叫做旋涡场， 其场源称为旋涡源，矢量场的环量有 检源作用。 环量为零的矢量场叫做保守场或守恒 场，静电场就是保守场。
例 4 已知F=(2xyz)ex(x+yz2)ey+(3x2y+4z)ez试就图所示xoy平面上
以原点为心、3为半径的圆形路径，求F 沿其逆时针方向的环量。 解 在 xoy 平面上，有 F = (2xy)ex+(x+y)ey+(3x2y)ez
，
dl=dxex+dyey
l
y (x,y)
F d l 2 x y dx x y dy
l l
3
o
x
设 则
x = 3cos ，y = 3sin
2π
F d l 23cos 3sin 3sin d 3cos 3sin 3cos d 9sin cos 9sincos d
(4）有关旋度的几个关系式 • 相对位置矢量的旋度为零，即
R0
• f(r)与F(r)之积 fF 的旋度有恒等 式 • f(R) 与 R 之积的旋度，有
r 0
( f F ) f ( F ) f F
f ( R) R 0
证明： f ( R) R f ( R) R f ( R) R df R df 0 R R R 0 dR dR R
Fz
xyz xyz e x xyz xyz e y xyz xyz e z z x y z y x xz xy e x xy yz e y yz xz e z
l 0 2π 2 2 0
1 2 91 sincos d 9 sin 18π 0 2 0
2π
2π
例 5 求矢量场 F=xyz（exey+ez) 在点 M(1,3,2)处的旋度。
解：
ex F
x
ey
y
ez
z
Fx
Fy