初高中衔接数学专题八三角形“四心”定义与性质(可编辑修改版)

三角形“四心”定义与性质

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。的外心一般用字母表示。ABC ∆O

性 质：

1．外心到三顶点等距，即。

OC OB OA ==2．外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即

OE BC OD ⊥⊥,3.。AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=

∠2

1,21,21二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一般用字母表示，它具有如下性质：

ABC ∆I 性 质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径．⨯2

1⨯3.；

CE CD BD BF AF AE ===,,三角形的周长的一半。

=++CD BF AE 4.，。,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 C AIB ∠+=∠2

190 三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫垂心。的垂心一般用字母表示。

ABC ∆H 性 质：

1、顶点与垂心连线必垂直对边，

即。

AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,四、三角形的“重心”：

定

义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表

ABC ∆G 示。

性 质：

1.顶点与重心的连线必平分对边。

G 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。

2即GF

GC GE GB GD GA 2,2,2===三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重

心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.

已知 D 、E 、F 分别为三边BC 、CA 、AB 的中点，

ABC V

求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.

证明：

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.

三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.

例2 已知的三边长分别为，I 为的内心，且I 在的边

ABC ∆,,BC a AC b AB c ===ABC ∆ABC ∆上的射影分别为，求证：.BC AC AB 、、D E F 、、2b c a AE AF +-==

证明

例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.

已知 O 为三角形ABC 的重心和内心.

求证 三角形ABC 为等边三角形.

证明

正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.