19.2.2 第4课时 一次函数与实际问题

第4课时一次函数与实际问题

1．根据问题及条件找出能反映出实际

问题的函数；(重点)

2．能利用一次函数图象解决简单的实

际问题，能够将实际问题转化为一次函数的

问题．(重点)

一、情境导入

联通公司手机话费收费有A套餐(月租

费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月

租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设

A套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费

为y2(元)，月通话时间为x(分钟)．

(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关

系式；

(2)月通话时间为多长时，A、B两种套

餐收费一样？

(3)什么情况下A套餐更省钱？

二、合作探究

探究点：一次函数与实际问题

【类型一】利用一次函数解决最值问

题

广安某水果店计划购进甲、乙两

种新出产的水果共140千克，这两种水果的

进价、售价如表所示：

(1)若该水果店预计进货款为1000元，

则这两种水果各购进多少千克？

(2)若该水果店决定乙种水果的进货量

不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安

排进货才能使水果店在销售完这批水果时

获利最多？此时利润为多少元？

解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出

产的水果共140千克，进而利用该水果店预

计进货款为1000元，列出等式求出即可；

(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利

润，再利用一次函数增减性得出最大值即

可．

解：(1)设购进甲种水果x千克，则购进

乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋

9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝

75(千克)．

答：购进甲种水果65千克，乙种水果

75千克；

(2)由图表可得甲种水果每千克利润为

3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利

润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－

x＋560.∵该水果店决定乙种水果的进货量

不超过甲种水果的进货量的

3倍，∴

140－

x≤3x，解得x≥35.∵－1<0，∴W随x的增

大而减小，则x越小W越大．∴当x＝35

时，W最大＝－35＋560＝525(元)，140－35

＝105(千克)．

答：当购进甲种水果35千克，购进乙

种水果105千克时，此时利润最大为525元．

方法总结：利用一次函数增减性得出函

数最值是解题关键．

【类型二】利用一次函数解决有关路

程问题

为倡导低碳生活，绿色出行，某

自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”

活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂

休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，

自行车队出发1h后，恰有一辆邮政车从甲

地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在

丙地完成2h装卸工作后按原路返回甲地，

自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并

且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地的时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：

(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；

(2)邮政车出发多久与自行车队首次相遇？

(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？

解析：(1)由“速度＝路程÷时间”就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追及问题设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以求出D 的坐标，由待定系数法求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．

解：(1)由题意得自行车队行驶的速度为72÷3＝24(km/h)．

(2)由题意得邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23

.

答：邮政车出发2

3h 与自行车队首次相

遇；

(3)由题意得邮政车到达丙地的时间为135÷60＝9

4(h)，∴邮政车从丙地出发返回甲

地前共用时为94＋2＋1＝214(h)，∴B (21

4，

135)，C (7.5，0)．自行车队到达丙地的时间为135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (49

8，

135)．设直线BC 的解析式为y 1＝k 1＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0＝7.5k 1＋b 1，解得⎩⎪⎨

⎪

⎧k 1＝－60，b 1＝450.∴y 1＝－60x ＋450.设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩

⎪⎨⎪

⎧72＝3.5k 2＋b 2，135＝49

8k 2＋b 2，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k 2＝24，

b 2＝－12，∴y 2＝24x －12.当y 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.

答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.

方法总结：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 【类型三】 利用一次函数解决图形面积问题

如图①，底面积为30cm 2的空圆

柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h (cm)与注水时间t (s)之间的关系如图②所示．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm 3/s)为多少？

(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm 2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．

解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需18s ；注满“几何