§11.3 格林(Green)公式

y
下面证明 如图，
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
类似可证
y
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
( ξ 介于 x 与 x +Dx 之间 )
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，则
任取起点为 A，终点为 B 的路径 L1 与 L2，若总有
y
G
B
L1
Байду номын сангаас
则称在 G 内曲线积分
A
L2
与路径无关.
O
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理 设开区域 G 是平面单连通区域，函数 P (x, y) , Q (x, y) 在 G 内具有一阶连续偏导数，则下面各命题是等 价的. 在G内：
沿
x
y
u(x, y)
x0 P( x, y0 )dx
Q( x, y)dy
y0
沿
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
例1 验证在 xOy 面内 是某个函数 u (x, y) 的全微分，并求 u (x, y)。 y 解
B(x,y)
在 xOy 面上皆成立. O
A(x,0)
是某个函数的全微分.
(Ⅰ) 沿任一闭曲线L的积分
(Ⅱ) 曲线积分
与路径无关；
（Ⅲ）存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy；
（Ⅳ）在G内
证明略.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，如何求 u (x, y)？
此时，积分与路径无关，只与起点和终点有关，如图，记
3. 曲线积分的基本定理
3. 曲线积分的基本定理
设 P (x, y) , Q (x, y) 在平面单连通区域G内有一阶连续
偏导数，且存在 u (x, y) ，使在 G 内 du Pdx Qdy,
设 A(x0,y0 )与B(x,y)为G内任意两点, 则有公式
(x,y)
( x0,y0 ) P( x, y)dx Q( x, y)dy u( x, y) u( x0 , y0 )
D
:
1 (

x) a

y x


b
2
(x)
d
y
E
D
B
A c
C Oa
x b
1. 格林（Green）公式
y
b
dx
2 ( x) P
x, y
dy
a
1 ( x )
y
L2:
b
a {P[ x,2( x)] P[ x,1( x)]}dx.
A
D
B
b
a P[ x,1( x)]dx
定积分中，牛顿-莱布尼茨公式
b
a F ( x)d x F (b) F (a)
表示：F( x) 在[a, b]上的积分可以通过它的原函数F ( x)
在这个区间端点的值来表达. 格林公式： 平面闭区域D上的 二重积分可以通过沿
D的边界曲线L上的曲线积分表达 .
1. 格林（Green）公式
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
1. 格林（Green）公式
根据两类曲线积分之间的关系，格林公式还可以表示为
是曲线上点(x,y)处的切向量的 方向余弦. 格林公式简单应用：
取 P y,Q x, 则
D 的面积
1. 格林（Green）公式
例1 求
为圆 解 补充
的上半周。
y
N
成为闭合曲线，它所围成
D
的区域为D. O
Q x
其中 x
A(a,0)
1. 区域的连通性
设 D 为平面区域，如果 D 内任一闭曲线所围成的部分 都属于 D，则称 D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域.
例 D1,D2为图中浅色区域.
D2 D1
单连通区域
复连通区域
1. 格林（Green）公式
L
D
L
Dl
边界曲线 L 的正向: 当观察者沿边界行走时，区域 D 总在他的左边。
L1:
Oa
b

b
{
a
P[
x,1(
x)]

P[
x,2
(
x)]}dx.
故
1. 格林（Green）公式
类似可证 因此，
y
A
M
D3 P
B D1
(2) 再考虑一般情形
O
如图闭区域 D，其边界线为
引入辅助线
把 D 分成 D1, D2, D3 三个部分，于是
D2
x
C
N
1. 格林（Green）公式
L
lD
因此，
O
A(0,1) x
（D1为 l 所围闭区域）
1. 格林(Green)公式
2. 平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
3. 曲线积分的基本定理
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
积分与路径无关： 如图，G 是平面开区域，
在 G 内存在， 对于 G 内任意两点 A 和 B，
1. 格林（Green）公式
2. 格林公式 定理（Green公式） 设平面闭区域D由分段光滑曲线 L
围成，函数 P(x, y) , Q (x, y) 在 L 上具有一阶连续偏导数， 则有
其中 L 为 D 的正向边界曲线.
1. 格林（Green）公式
证明 (1) 先设 D 既是 X 一 型区域，又是 Y 一 型区域.
1. 格林（Green）公式
原式
y
N
D
O
x
A(a,0)
OA : y 0, x : 0 a
1. 格林（Green）公式
例2 利用格林公式计算
其中 D 是以
O (0, 0) , A (1, 1) , B(0, 1) 为顶点的三角形闭区域 .
解令
，则
D
xe y2 dy
OA

3. 曲线积分的基本定理
例2中
(2 xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3 x2 y2 )dy
d ( y3 x2 y2 sin x y)
u( x, y) y3 x2 y2 sin x y
原式 =
y3 x2 y2 sin x y
y M
A D3 P
B D1
D2
O
x
C
N
1. 格林（Green）公式
综上， 格林公式的实质： 建立了沿闭曲线的积分与其所围区 域上二重积分之间的联系。 注： 1. L 一定是有向闭曲线；
2. P (x, y), Q (x, y) 一定在区域 D 内有连续的偏导数；
3.
1. 格林（Green）公式
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
可用凑微分法完成，本题另解如下：
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
例2求 其中 L 为抛物线 的弧段。
上由点O (0, 0) 到
解
积分与路径无关.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
原式
1. 格林(Green)公式
2. 平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
xe y2 dy
OA AB BO
1. 格林（Green）公式
例3 求
L 是以 A (1, 0) 为中心，以 R
( R > 1) 为半径的圆依逆时针方向一周.
y
解
L
( x, y) (0,0) 时
O
A(0,1) x
1. 格林（Green）公式
在 L 内作一椭圆：
取顺时针方向.
l 和 L 所围区域为 D，由 Green 公式有 y
( ,1)
2
2
( 0 ,0 )
4