圆锥曲线联立及韦达定理
圆锥曲线技巧提升:韦达化处理以及非对称韦达
而对于一般的和积关系,关系可能不是那么明显,如此例中正设直线,具体可参看策略三中的解析.
策略二:配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换,剩下的部分进行配凑
而半代换也有一定技巧,就是配凑.比如题中的 k1 k2
ty1 y2 y1 ty1 y2 3y2
,若只代换
y1 y2 ,
得 k1 k2
9t 4 3t 2
配凑可得 y1 y2 ( y1 y2 )2 2 y1 y2 5
y2 y1
y2
2
非对称韦达
此外,在一些定点、定值、定线问题中,还常出现需要证明类似 ( y2 2)x1 为定值的情形, ( y1 2)x2
通过直线代换可得:( y2 2)xl (kx2 2)x1 kx1x2 2x1 , 但此时式子并不能完全整理为韦达定理 ( y1 2)x2 (kx1 6)x2 kx1x2 6x2
k2
y2 从而目标信息 k1
x2 2
k2
y1 (x2 y1 (x1
2) 2)
,要证明其值为定值.从
目标信息的形式来看,用 x 或 y 表示并无差异,考虑到直线不与 x 轴重合,故采用反设直线要方便些,
因此设 l : x ty 1.
通过直线替换后可得 k1 y1 (x2 2) y1 (ty2 1) ty1 y2 y1 k2 y2 (x1 2) y2 (ty1 3) ty1 y2 3y2
y1
9t 4 3t 2
3y2
,依然无法得到定值,因为落单的 y1 和 3y2 不一致,而此时为分式结构,分式结构的
定值需要满足上下一致,且对应成比例,抓住这个核心,可以对 y1 和 3y2 其中某个进行配凑使其能构成比例
形式.以分子为例,分子要出现
高中数学圆锥曲线系统讲解第19讲《韦达定理之设而不求》练习及答案
第19讲 韦达定理之设而不求知识与方法在圆锥曲线的大题中,将直线与圆锥曲线的方程联立,消去y (或x )整理得出关于x (或y )的一元二次方程是常规操作,如果设直线与圆锥曲线的交点分别是()11,A x y 、()22,B x y ,很多时候我们都不去求这两个交点的坐标,而是直接根据交点坐标会满足上面得到的关于x (或y )的一元二次方程,借助韦达定理来计算其他需要用到的量,这种处理方法叫做设而不求.一般地,若联立后得到的关键方程用20ax bx c ++=()0a ≠来表示,其判别式24b ac ∆=−,则:(1)12b x x a+=−;(2)12c x x a=;(3)12x x a−==;(4)()2222121212222b ac x x x x x x a −+=+−=;(5)12121211x x bx x x x c++==−.借助韦达定理及其推论,我们可以计算很多关于1x 和2x 的具有对称结构的代数式. 典型例题1.(★★★)设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM BM ⊥,求直线AB 的方程.【解析】(1)设()11,A x y ,()22,B x y ,则124x x +=,且21122244x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,两式作差得:()()()1212124x x x x y y +−=−,所以12121214y y x x x x −+==−,故直线AB 的斜率为1. (2)解法1:设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2x y '=,由(1)可得,012x =,故02x =,所以()2,1M ,设直线AB 的方程为y x t =+,联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得:2440x x t −−=,判别式16160t ∆=+>,故1t >−,由韦达定理,124x x +=,124x x t =−,1212242y y x x t t +=++=+,2212124x x y y t ⎛⎫== ⎪⎝⎭()112,1MA x y =−−,()222,1MB x y =−−,因为AMBM ⊥,所以0MA MB ⋅=,即()()()()()()2121212121212221125484250x x y y x x x x y y y y t t t −−+−−=−++−++=−−+−−+=解得:7t =或1−(舍去),所以直线AB 的方程为7y x =+.解法2:设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2x y '=,由(1)可得,012x =,故02x =,所以()2,1M ,设直线AB 的方程为y x t =+,联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得:2440x x t −−=,判别式16160t ∆=+>,故1t >−,由韦达定理,124x x +=,1212242y y x x t t +=++=+, 所以AB 中点为()2,2N t +,故211MN t t =+−=+而12AB x x =−==,因为AM BM ⊥,所以2AB MN =,故()21t =+,解得7t =或1−(舍去),所以直线AB 的方程为7y x =+.2.(★★★★)已知抛物线2:2C y px =过点()1,1P ,过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M 、N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ,其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.【解析】(1)将点()1,1代入22y px =解得:12p =,故抛物线C 的方程为2y x =,其焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14x =−.(2)设直线l 的方程为12y kx =+,设()11,M x y ,()22,N x y将2y x =代入12y kx =+消去x 整理得:22210ky y −+=()0k ≠判别式()22420k ∆=−−⨯>,所以12k <且0k ≠,由韦达定理,121y y k +=,1212y y k=,直线AB 的方程为1x x =,直线OP 的方程为y x =,直线ON 的方程为22y y x x =联立1x x y x =⎧⎨=⎩,解得:1y x =,所以1A y x =,联立122x x y y xx =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得:122x y y x =,所以122B x y y x = 故()122212212121221221122112112222222222M BA x y y y y y y y y y y x x y x y y y y y x x y x x x x x ++−+++−−=−=−== 2211122202k k k x ⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭== 所以2M B A y y y +=,故A 为线段BM 的中点.3.(2021·北京·20·★★★★)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,2A −,以4个顶点围成的四边形面积为(1)求椭圆E 的标准方程;(2)过点()0,3P −的直线l 斜率为k ,交椭圆E 于不同的两点B 、C ,直线AB 交3y =−于点M ,直线AC 交3y =−于点N ,若15PM PN +≤,求k 的取值范围.【解析】(1)由题意,2b =,四个顶点围成的四边形面积1222S a b =⨯⨯=,所以a =,即椭圆E 的标准方程为22154x y += (2)设()11,B x y ,()22,C x y ,直线l 的方程为3y kx =−, 直线AB 的斜率为112y x +,其方程为1122y y x x +=−, 联立11223y y x x y +⎧=−⎪⎨⎪=−⎩,解得:112x x y =−+, 所以112x PM y =+,同理,222x PN y =+,所以121222x x PM PN y y +=+++,联立223154y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得:()224530250k x kx +−+=,判别式()22900100450k k ∆=−+>.解得:1k <−或1k >,由韦达定理,1223045kx x k +=+,1222545x x k =+,显然120x x >,故1x 、2x 同号,而120y +>,220y +>,所以112x y +与222xy +同号, 故()()12121212122121212121222222111kx x x x x x x x x x PM PN y y y y kx kx k x x k x x −++=+=+=+=++++−−−++ 222222503045455253014545k k k k k k k k k −++==−+++,由题意,15PM PN +≤,所以515k ≤,故33k −≤≤, 综上所述,k 的取值范围为[)(]3,11,3−−.强化训练4.(★★★)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,长轴长为(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线:l y kx m =+()0k ≠与椭圆C 交于A 、B 两点,线段AB 的中垂线过点()1,0P ,求k 的取值范围.【解析】(1)由题意,椭圆C的离心率e=,长轴长2a =,所以a =,2b =,故椭圆C 的方程为22184x y +=.(2)设()11,A x y ,()22,B x y ,联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得:()222214280k x kmx m +++−=, 判别式()()222216421280k m k m ∆=−+−>,化简得:()224210k m +−>①, 由韦达定理,122421km x x k +=−+,()121222221my y k x x m k +=++=+,所以AB 中点为222,2121m m G k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭,因为AB 的中垂线过点()1,0P ,所以PG AB ⊥,从而222112121m k k km k +⋅=−−−+,化简得:221k m k +=−,代入①得:()222214210k k k ⎛⎫++−−> ⎪⎝⎭解得:2k <或2k >,故k 的取值范围为2,,22⎛⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.(★★★)已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为2,且过点2⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点1,03D ⎛⎫− ⎪⎝⎭且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点,点()1,0A ,证明:AP AQ ⊥.【解析】(1)由题意,2213124a b =⎨⎪+=⎪⎩,解得:1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以椭圆C 的方程为2212y x +=. (2)由题意,可设直线1的方程为13x my =−,代入2212yx +=消去x 整理得:()2241621039my my +−−=, 易得判别式0∆>,设()11,P x y ,()22,Q x y ,则()1224321my y m +=+,()12216921m y y m =−+ 所以()()12122223321x x m y y m +=+−=−+,()()221212122111839921m m x x m y y y y m −=−++=+ ()111,AP x y =−,()221,AQ x y =−,故()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=−−+=−+++()()()()()222222211869211611821610921321921921m m m m m m m −+++−−=++−==++++ 所以AP AQ ⊥.。
(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法:1、定义法(1)椭圆有两种定义。
第一定义中,r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
(2)双曲线有两种定义。
第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02020=+k b y a x 。
(2))0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的焦半径公式:10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=。
高考数学专题讲解:圆锥曲线韦达定理
高考数学专题讲解:圆锥曲线韦达定理第一部分:韦达定理解法设计【题型一】:已知直线的斜率例题一:已知斜率为1的直线l 与椭圆12:22=+y x C 相交于A 、B 两点。
解法设计:假设:直线l 与y 轴的截距为m 。
根据直线的斜截式方程得到直线l 的方程:m x y +=。
假设:两个交点的坐标。
A 点的坐标为),(11y x ,B 点的坐标为),(22y x 。
联立直线l 的方程和椭圆C 的方程: m x y +=022122222=-+⇒=+y x y xm x y +=代入02222=-+y x 得到:02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x022430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。
根据韦达定理得到:3421mx x -=+,322221-=⋅m x x 。
A ,B 为直线l 与椭圆C 的两个交点),(11y x A ⇒,),(22y x B 为直线:l m x y +=上的两点m x y +=⇒11,m x y +=22;322342212121mm m m x x m x m x y y =+-=++=+++=+; 2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅3233422343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。
【题型二】:已知直线与y 轴的截距例题二:已知:过点)2,0(的直线l 与双曲线C :x y 42=相交于A ,B 两点。
解法设计:假设:直线l 的斜率为k ,直线l 过点⇒)2,0(根据直线的斜截式方程的直线l :2+=kx y 。
假设:两个交点的坐标。
点A 的坐标为),(11y x ,点B 的坐标为),(22y x 。
圆锥曲线技巧提升篇:韦达定理联立及弦长问题
设点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ),
因为 AC 与 BD 同向,且|AC|=|BD|,故 | AC | | CB || BD | | CB |, | AB || CD |,
联立
y kx x2 4
y
1 ,
整理得
x2
B 两点都在曲线上时,通常称为弦长公式,根据前面的根差形式,弦长即可表达为:
| AB |
1 k 2 | x1 x2 |
1
k2
b2
△ a2k2
若是反设直线 x ty 1 ,则:
| AB |
1
1 t2
x1 x2
1 t2
y1 y2
特别地,在抛物线 y2 2 px( p 0) 中,若直线 AB 过焦点 F,根据抛物线定义,有
x4
16k 9 8k 2
64 9 8k
,所以
| CD |
1 k 2 | x1 x2 |
1 k2
( x1
x2 )2
4x1 x2
48(1 k 2 ) 9 8k 2
,
由|AB|=|CD|,即
4k 2
4
48(1 k 2 9 8k 2
)
,
整理即得 (8k 2 3)(k 2 1) 0 ,解得 k 2 1 (舍),或 k 2 3 , k 6 ,
| AB |
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1 k 2 | x1 x2 |
1
1 2 k
|
y1
y2
|
两点距离公式任何时候都可以使用,而若知道 A、B 两点所在直线的斜率,只需再知道它们横坐标
或纵坐标差值即可求两点距离.对于这两种情形,在后续的题型中都将出现,应懂得灵活应用.当 A、
(完整版)圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离:AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)标准方程: 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程: x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式:k 2 12 2标准方程:—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗?椭圆:近;双曲线:玄;抛物线:2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?b 2 tan —2P 在双曲线上时,S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙,PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式: (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ;焦点在y 轴上时为a ey °,可简记为“左加右减,上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2,M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支;C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式:P 在椭圆上时,S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式0,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2),将这两点代入曲线方程得到①②两个式子,然后①-②,整体消元..................... ,若有两个字母未知数,贝S要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。
妙用韦达定理解决圆锥曲线中向量共线问题
)2
−
16 3λ21
−
1=
所以 ( 16 −
(k01,26)所−λ22以k+2)13λ6221λ++2 +3322λ1λ611−++1131666λk212−−=136103k6.2k若2=−160k.−2λ同k22
= 0, 理 有: = 0,
则直线 l 过顶点, 不合题意所以 16 − k2 ̸= 0. 所以 λ1, λ2 是
± 2 , 故直线 AB 的斜率为 ± 2 .
3 类型二:
−→ PA
=
−−→ λ1P Q,
−−→ PB
3 =
−−→ λ2P Q
型
例 3 已知抛物线 C : y2 = 4x, 过抛物线焦点 F 的直 −−→ −→
线交 C 于 A, B 两点, 交准线 l 于点 M , 已知 M A = λ1AF , −−→ −−→ M B = λ2BF , 求 λ1 + λ2 的值.
y2 + m = −λ2y2, 整理得:
2
2
λ1
=
−1
−
my1
, λ2
=
−1
−
, my2
所以 k = ±2, 所以 Q(±2, 0).
解析 2 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等(于零, )设
4
l 的方程: y = kx + 4, A (x1, y1), B (x2, y2), 则 Q
(
)
(
−
y1 + y2 = (1 + λ)y2,
和 到
与两根之积得 (y1 + y2)2 =
y1y2
到 y1y2 = λy22, (1 + λ)2
圆锥曲线题型总结:圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结:圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下:设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B,P为直线AB上的任意一点,A(x1,y1),B(x2,y2),则可以得到AP=λPB。
利用这个条件,可以构造两根之和与两根之积,消去x2,然后利用XXX定理求解。
例如,对于题目“设双曲线C:2-x^2/a^2=y^2/b^2(a>b)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.设直线l与y轴的交点为P,且PA=5PB.求a的值.”,可以按照上述方法解题。
首先联立方程组,得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法,消去x2,得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解,得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0(x>1),设直线y=-2x+m与y轴交于点P,与双曲线C相交于点Q、R,且|PQ|<3/2|PR|,求PR/PQ的取值范围.”,可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a,向量PR为b,则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义,可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件,可以列出一个关于m的不等式。
最后,通过分析不等式的解集,可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$($x\neq 1$ 且 $x\neq -1$),设直线$y=x+m$($m>0$)与 $y$ 轴交于点 $P$,与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$,且 $|PQ|<|PR|$,求 $m$ 的取值范围。
解法一:设 $Q(x_1,y_1)$,$R(x_2,y_2)$,联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$($\lambda>1$),即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$,此时$y_P=x_P+m$,$y_Q=x_Q+m$。
高考数学圆锥曲线专题:韦达定理
高考数学圆锥曲线专题:韦达定理第一部分:直线的斜截式方程使用条件一:已知斜率第一类直线的方程:直线的斜截式方程直线的斜截式方程:b kx y +=,其中k 为斜率,b 为与y 轴的截距。
第一种使用条件:已知直线的斜率。
【例题一】:已知:斜率为1的直线与椭圆C :1222=+y x 相交于A ,B 两点。
【本题解析】:第一部分:韦达定理的计算部分。
韦达定理的使用条件:直线与曲线相交于两点。
第一步:假设两个交点的坐标。
假设:点A 的坐标为),(11y x ,点B 的坐标为),(22y x 。
第二步:假设直线的方程。
本题已知直线l 的斜率为1,需要假设直线l 与y 轴的截距得到直线l 的方程。
假设:直线l 的方程为:m x y +=。
第三步:联立直线l 的方程和椭圆C 的方程。
mx +022********=-+⇒=+⇒=+y x y x y 把m x y +=代入02222=-+y x 得到:02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x 0)22(430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。
第四步:韦达定理计算两个交点的横坐标之和21x x +,横坐标之积21x x 。
原理:一元二次方程02=++c bx ax 的两个根1x ,2x :a b x x -=+21,ac x x =21。
340)22(432122mx x m mx x -=+⇒=-++,322221-=m x x 。
第五步:根据直线的方程的纵坐标之和21y y +,纵坐标之积21y y 。
),(11y x A ,),(22y x B 为直线m x y l +=:上两点m x y +=⇒11,m x y +=22;3236342342212121mm m m m m x x m x m x y y =+-=+-=++=+++=+;2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅323342233343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。
圆锥曲线几个结论的拓展、变式及推广
2021年第4期(上)中学数学研究41圆锥曲线几个结论的拓展、变式及推广福建省莆田第五中学(351100)宋桂芳文[1]对2015年全国高考北京卷第19题进行了本质探究和推广,得到了关于椭圆、双曲线的3个结论,读后觉得意犹未尽.本文先将这些结论拓展到抛物线的情形,再给岀这些结论的等价变式及部分等价变式的推广.首先将[1]的这3个结论抄录如下:x2y2结论1(综合文[1]的结论1,2)已知椭圆c:x+y=a2b21(a>b>0)上一点P(x o,y o),A(m,n)为椭圆C上一动点,点A关于x轴(y轴)的对称点为B,若直线PA与x 轴(y轴)交于点M,直线PB与x轴(y轴)交于点N,则|OM|•|ON|=a2,如图1(|OM|•|ON|=b2,如图2).图1图222结论2(文[1]的结论3)已知双曲线C:|2—b2=1(a>0,b>0)上一点P(x o,y o),A(m,n)为双曲线C上一动点,点A关于x轴(y轴)的对称点为B,若直线PA与x 轴(y轴)交于点M,直线PB与x轴(y轴)交于点N,则图3图41结论的拓展以上结论只涉及椭圆、双曲线,那么,对于抛物线,有没有类似的结论经探究,可得结论3已知抛物线C:y2=2px(p>0)(x2=2py(p> 0)上一点P(x o,y o),A(m,n)为抛物线C上一动点,与点P 不关于x轴(y轴)对称,点A关于x轴(y轴)的对称点为B,若直线PA与x轴(y轴)交于点M,直线PB与x轴(y轴)交于点N,则|OM|=|ON|.证明对于抛物线C:y2=2px(p>0),由条件知B(m,—n),直线PA,PB的方程分别为y—y o=—y o•(x—x o),y—y o=一匹•(x—x o).分别令m—x o m—x oy=0,可得M(nx o一my o,0),N(nx o十my o,0).贝Jn—y o n+y onx o—my o+nx o+my on—y o n+y o_(nx o一my o)(n+y o)+(nx o+my o)(n—y o)n+y o(n—y o)(n+y o)2n2x o—2my O(n—y o)(n+y o)5又由P(x o,y o),A(m,n)在抛物线C上知y O=2pxo,n2= 2pm,则2n2x o—2my2=2x o•2pm—2m•2px o=0,从而nx o一my o+nx o十my o=0.又易知点M,N在y轴异侧, n—y o n+y o即nx o-my o与nx o十my o异号,从而有|om|=|ON|.n—y o n+y o相仿地,可以证明C:y2=2px(p>0)也具有相应性质,限于篇幅,此处从略.证毕.2结论的等价变式在上述结论中,由于点A,B关于x轴(y轴)对称O直线NA,NB(即卩NP)的斜率k1,k2满足k1+k2=0,故上述结论可分别等价表示为结论1',2',3':x2y2结论1'已知椭圆C:—2+b2=1(a>b>0)上一点P(x o,y o),A(m,n)为椭圆C上一动点(与点P不关于x轴(y轴)对称),直线PA与x轴(y轴)交于点M,点N在x轴(y轴)上,若直线NA,NP的斜率k1,k2满足k1+k2=0,则|OM|•|ON|=a2(|OM|•|ON|=b2).x2y2结论2'已知双曲线C:冷—y=1(a>b>0)上一点P(x o,y o),A(m,n)为双曲线C上一动点(与点P不关于x轴(y轴)对称),直线PA与x轴(y轴)交于点M,点N在x轴(y轴)上,若直线NA,NP的斜率k1,k2满足k1+k2=0,则|OM|•|ON|=a2(|OM|•|ON|=b2).结论3'已知抛物线C:y2=2px(p>0)(x2= 2py(p>0))上一点P(x o,y o),A(m,n)为抛物线C上一动点(与点P不关于x轴(y轴)对称),直线PA与x轴(y 轴)交于点M,点N在x轴(y轴)上,若直线NA,NP的斜率k1,k2满足k1+k2=0,则|OM|=|ON|.3部分等价变式的推广经探究发现,结论1',2'中有关“x轴”的情形及结论3'42中学数学研究2021年第4期(上)可以推广到更一般的情形.x2y2结论I已知椭圆C:x+y=1(a>b>0)上一点P(x o,y o),A(m,n)为椭圆C上一动点(与点P不关于x轴对称),直线PA与x轴交于点M,点N在x轴上,点N1在得u—s—rt=0,则a2—su=0.从而有s2进而得|OM|一牛.又由N(u,0)得|ON|=|OM|•|ON|=a2.证毕.a2u|u|,故过点N且垂直于x轴的直线上(不在直线PA上),若直线N1A,N1P,N1M的斜率k1,k2,k3满足k1+k2=2k3,则|OM|•|ON|=a2.证明设直线PA的方程为x=ry+s(r=0),与椭圆C的方程联立,得b2(ry+s)2+a2y2-a2b2=0,整理得(a2+b2r2)y2+2b2rsy+b2(s2-a2)=0.据韦达定理,得2b2rs”=b2(s2-a2)一a2+b2r2,y o n=a2+b2r2.易知直线PA与x轴交点M(s,0),设N仏0),N1(u,t),则k3=—-—.又由x o=ry o+s,m=rn+s彳得u—sn—t y o—tk1+k2一------------------m—u x o—u(n—t)(ry o+s—u)+(y o—t)(rn+s—u)y o+n y o n(rn+s—u)(ry o+s—u)2rny o+(s—u—rt)(n+y o)—2t(s—u)r2ny o+r(s—u)(n+y o)+(s—u)22r•:2;一2;2)十(s一u一rt)(一a2?+舄2)一2t(s一u)r2•十r(s一u)(-)+(s—u)2 2b2r(s2—a2—s2+su+rst)—2t(s—u)(a2+b2r2)类似地,结论—中有关“x轴”的情形及结论3可分别推广为x2y2结论II已知双曲线C:x一y=1(a>0,b>0)上一点P(x o,y o),A(m,n)为双曲线C上一动点(与点P不关于x轴对称),直线PA与x轴交于点M,点N在x轴上,点N1在过点N且垂直于x轴的直线上(不在直线PA上),若直线N1A,N1P,N1M的斜率k1,k2,k3满足k1+k2=2k3,则|OM|•|ON|=a2.结论III已知抛物线C:y2=2px(p>0)(x2= 2py(p>0))上一点P(x o,y o),A(m,n)为抛物线C上一动点(与点P不关于x轴(y轴)对称),直线PA与x轴(y轴)交于点M,点N在x轴(y轴)上,点N1在过点N 且垂直于x轴(y轴)的直线上(不在直线PA上),若直线N1A,N1P,N1M的斜率k1,k2,k3满足k1+k2=2k3,则|OM|=|ON|.下面只证明结论III,结论II仿结论I可证.b2r2(s2—a2—2s2+2su)+(s—u)2(a2+b2r2) 2[b2r(a2—su—rst)+t(s—u)(a2+b2r2)]b2r2(a2+s2—2su)—a2(s—u)2—b2r2(s2—2su+u2) 2b2r(a2—su—rst)+st(a2+b2r2)—tu(a2+b2r2)证明设直线PA的方程为x=ry+s(r=0),与抛物线C的方程联立并整理,得y2-2pry-2ps=0.据韦达定理,得y o+n=2pr,y o n=—2ps.易知直线PA与x 轴交点M(s,0),设N仏0),N1仏t),则k3=^—.又由u—sx o=ry o+s,m=rn+s.得b2r2(a2—u2)—a2(s—u)22[b2r(a2—su)+a2st—tu(a2+b2r2)] b2r2(a2—u2)—a2(s—u)22b2r(a2—su—tur)+a2t(s—u)n—t+y o—tk1+k2m—u x o—u(n—t)(ry o+s—u)+(y o—t)(rn+s—u)b2r2(a2—u2)—a2(s—u)2又由k1+k2=2k3及k3=—t—,可得us(rn+s—u)(ry o+s—u)2rny o+(s—u—rt)(n+y o)—2t(s—u) r2ny o+r(s—u)(n+y o)+(s—u)22r(—2ps)+(s—u—rt)•2pr—2t(s—u)(u—s)b2r(a2—su—tur)+a2t(s—u)=t[b2r2(a2-u2)-a2(s-u)2]今b2r(a2—su—tur)(u—s)=b2r2t(a2—u2)今u(a2—su—tur)—s(a2—su—tur)=rt(a2—u2)今u(a2—su)—s(a2—su—tur)=a2rt今u(a2—su)—s(a2—su)+stur=a2rt今u(a2—su)—s(a2—su)=rt(a2—su)今(a2—su)(u—s—rt)=0,r2(—2ps)+r(s—u)•2pr+(s—u)22[pr(—2s+s—u—rt)—t(s—u)]2p r2(—s+s—u)+(s—u)22[pr—s—u—rt)—t(s—u)]2[pr(s+u+rt)+t(s—u)] 2pr2(—u)+(s—u)22pr2u—(s—u)2又由k1+k2=2k3及k3=—t—,可得us(u—s)[pr(s+u+rt)+t(s—u)]=t[2pr2u—(s—u)2]今p r(s+u+rt)(u—s)=2pr2u今r[(s+u+rt)(u—s)—2rut]=0今r[(s+u)(u—s)+rt(u—s)—2rut]=0由于点N1(u,t)不在直线PA:x=ry+s(r=0)上,今r[(s+u)(u—s)—rt(u+s)]=0今r(s+u)(u—s—rt)=0,2021年第4期(上)中学数学研究43对一道预赛试题的思考与探究福建省周宁县第一中学(355400)叶桦题目(2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛第12题)22已知F1,F2分别为椭圆C:+豈=1(—>b>0)的左、右焦点,点P(乎,1)在椭圆C上,且AF1PF2的垂心为H(響,-3).(1)求椭圆C的方程;(2)设A为椭圆C左顶点,过点F2的直线l交椭圆C于D,E两点,记直线AD,AE的斜率岛,級,若仏+k=-1,求直线l的方程.图1直线AD,AE的斜率岛忌满足岛+k=A(A为非零常数),则直线l的斜率k=2(e—1)(其中e为椭圆C的离心率).证明设直线l的方程为x=hy+e,由入=0知h=0,直线l的斜率k=g.将直线l的方程与椭圆C方程联立,得h(a2+b2h2)y2+2b2ehy+b2(e2—a2)=0.设D(x1,y1),E(x2,y2),据韦达定理,2b2eh b2(e2—a2) y1+y2=-庐十丽,y1y2=aU-h,且有x1=hy1+e,x2=hy2+e.又由A(—a,0),得y1y2y1y2+=+=+x1+a x2+a+e+a hy2+e+a=2hy1y+(a+e)(y1+y)h2y1y2+h(a+e)(y1+y2)+(a+e)22•—+(a+e)(—2b2eh)a2十-22本题的答案是:(1)椭圆C的方程为x r+专=1;(2)直线l的方程为y=2(x-1).本题⑵的内涵丰富,意境深邃,值得引导学生深入思考与探究.1由特殊到一般的思考与探究本题的(2)的关键是在“仏+級=-2”的条件下求出直线l的斜率k=2.我们不禁要问:对于一般的椭圆22C:—2+b2=1(a>b>0),若+k=入(入为非零常数),那么,直线l的斜率k是否为某个定值?经探究,可得22性质1.1设A为椭圆C:|2+卷=1(—>b>0)的左顶点,过焦点F(e,0)的直线l交椭圆C于D,E两点,若b2(c2-a2)a2+b2h22b eh2+h(a+e)(—a2+b2h2)+(a+e)2b2h(e2—a2—ae—e2)b2h2(e2—a2)—2b2eh2(a+e)+(a+e)2(a2+b2h2)2b2h(—a2—ae)b2h2[e2—a2—2e(a+e)+(a+e)2)]+a2(a+e)2 2ah(a2—e2)(a+e)a2(a+e)2=-2(—-e)h=2(e-1)h,由此可得k=1=h特别地,当入k=2((1/2)-1)=-(1/2)斜率.类似地,有2(e-1)+k=_1=―2,=◎.证毕.Aa2=4,b2=3时,e12=2.这就是上述试题(2)的直线l的由于r=0且点N1(u,t)不在直线PA:x=ry+s(r=0)上得u-s-rt=0,故s+u=0,从而有|s=|u|,即|OM=|ON|.证毕.特别地,当点N1重合于点N时,结论I,II分别为结论1,2中有关“x轴”的情形,结论III为结论.至此,我们完成了对文[1]的3个结论的拓展、变式及推广.参考文献[1]张留杰.2015年高考北京第19题的本质探究[J].中学数学研究(江西),2016(3):24-26.。
解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论:常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法〔点参数、K 参数、角参数〕7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型〔1〕中点弦问题 〔2〕焦点三角形问题〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题 〔4〕圆锥曲线的有关最值〔围〕问题 〔5〕求曲线的方程问题1.曲线的形状--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2.曲线的形状未知-----求轨迹方程〔6〕存在两点关于直线对称问题 〔7〕两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法〔1〕椭圆有两种定义。
第一定义中,r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
〔2〕双曲线有两种定义。
第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离〞互相转化。
〔3〕抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要无视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法〞。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法〞,即设弦的两个端点A(*1,y 1),B(*2,y 2),弦AB 中点为M(*0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求〞法,具体有:〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有02020=+k by a x 。
圆锥曲线中韦达定理的运用技巧
一、复习
一元二次方程:ax2+bx+c=0(a 0)
1.x1+x2=
b a
,x1x2=
c a
(韦达定理与判别式无关),
2.判别式∆=b2-4ac:用来判断一元二次方程有无实数根,
从而判断直线与圆锥曲线的位置关系.
∆>0:方程有两个不相等的实数根,直线与圆锥曲线相交,且
有两个交点;∆=0:方程有两个相等的实数根,直线与圆锥曲
(2)若经过 F(0,2)的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 G,H(点
【 G 在解】 点设F,HH之(x1间,)y,1)且,G满(x2足,FyG2),F53(0FH,,2)求直线 l 的方程.
y
由FG
3 5
FH
得
x2
3 5
x1
①, y2
3 5
y1
4 5
.
F G
设
l:y=kx+2,代入
x2 2
G
在点
F,H
之间),且满足FG
3 5
FH
,求直线
l
的方程.
【解】设 H(x1,y1),G(x2,y2),F(0,2)
y F
由
FG
3 5
FH
得
x2
3 5
x1
,
y
2
3 5
y1
4 5
.
设
l:y=kx+2,代入
x2 2
y2
1得
G
O
x
H
(1+2k2)x2+8kx+6=0,所以
圆锥曲线的解题方法
圆锥曲线的解题方法导语:定义中提到的定点,称为圆锥曲线的焦点;定直线称为圆锥曲线的准线;固定的常数(即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值)称为圆锥曲线的离心率;焦点到准线的距离称为焦准距;焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。
过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点,此两点间的线段称为圆锥曲线的通径,物理学中又称为正焦弦。
第一、圆锥曲线的解题方法:一、求圆锥曲线方程(1)轨迹法:设点建立方程,化简证明求得。
例题:动点P(x,y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线x=—5的距离少2、求动点P的轨迹方程。
解析:依题意可知,{C},由题设知{C},{C}{C}。
(2)定义法:根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。
上述例题同样可以由定义法求出曲线方程:作直线x=—3,则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等,所以点P的轨迹是以A为焦点,以x=—3为准线的抛物线。
(3)待定系数法:通过题设条件构造关系式,待定参数即可。
例1:已知点(—2,3)与抛物线{C}的焦点的距离是5,则P=_____。
解析:抛物线{C}的焦点为{C},由两点间距离公式解得P=4例2:设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同,离心率为{C},则椭圆的方程为_____。
解析:抛物线{C}的焦点坐标为(2,0),所以椭圆焦半径为2,故离心率{C}得m=4,而{C},所以椭圆方程为{C}。
二、圆锥曲线最值问题(1)化为求二次函数的最值根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式,用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。
例题:曲边梯形由曲线{C}及直线x=1,x=2所围成,那么通过曲线上哪一点作切线,能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
解析:设切点{C},求出切线方程{C},再求出这条切线与直线x=1,x=2的交点纵坐标,根据梯形面积公式列出函数关系式:梯形面积={C},从而得出结论。
(2)利用圆锥曲线性质求最值先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式,再用几何或代数方法求最值。
圆锥曲线韦达定理联立公式
圆锥曲线韦达定理联立公式
韦达定理:两根之和等于-b/a,两根之差等于c/a:x1*x2=c/a;x1+x2=-b/a。
韦达定理公式变形:x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,1/x12+1/x22=(x12+x22)/x1x2,
x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)等。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理在求根的对称函数,讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为:(a,b,c分别为一元二次方程的二次项系数,一次项系数和常数项)。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件,韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根,实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合,则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
大招6圆锥曲线硬解定理
大招6圆锥曲线硬解定理 大招总结圆锥曲线与直线的联立及弦长的计算,一般较为繁琐,如果借用一些勇哥发明的口诀,可以快速写出答案,当然一些应该有的过程还是要装一下样子的.1.222210x y a b Ax By C ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()()222222222220a A b B x a ACx a C b B +++-=口诀:两家(加)小两口2222a A b B +a 方AC 偶22a AC a 方站门外C 方单身狗()2222a C b B -如果写出了这个式子,韦达定理就可以快速写出两根之和、两根之积. 2.弦长公式也有口诀可以速算.22222||MN a A b B =+口诀:小倍积(2)ab ,大方和成对()2222a Ab B +去见(减)单身()C 方。
见完回到分母上 3.判别式()222222224a b Ba Ab B C ∆=+-.只需要记住“成对去见单身方”即可。
直线与椭圆相切222220a A b B C ⇔+-= 直线与椭圆相交222220a A b B C ⇔+-> 直线与椭圆相离222220a A b B C ⇔+-<4麻花公式22122122222ABa b x y x y a A b B +=+口诀:大倍积小方积典型例题例1.过椭圆22154x y +=的右焦点作直线l 与椭圆交于,A B 两点,弦长||AB =则直线l 的斜率为 解方法1:椭圆22154x y +=的2,1,a b c e ====,右焦点为(1,0),设直线AB 的方程为(1)y k x =-,代入椭圆方程可得,()222245105200kxk x k +-+-=,即有21221045k x x k +=+,由椭圆的第二定义可得,12||AB a ex a ex =-+-.()2122102e 45k a x x k =-+==+ 解得2k =±. 故答案为:2±. 方法2:||AB =设直线方程0kx y k --=225,4,,1,a b A k B C k ====-=-由公式得:||AB ==()22815543k k +=+, 所以24,2k k ==±例2.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,直线l 的倾斜角为60︒,椭圆的离心率为23.如果15||4AB =,求椭圆C 的方程.解方法1:由23c e a ==,得22222295,44a c b a c c ==-=,则椭圆方程为222219544x y c c +=,即222203645x y c +=∵直线l 过右焦点F ,且倾斜角为60︒,∴直线l的方程为)y x c =-,联立222203645y x y c ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得:22128216630x cx c -+=. 设()()1122,,,A x y B x y 则2121221663,128128c c x x x x +==∴15||4AB ==,解得24c =中 ∴椭圆方程为:22195x y +=. 方法2:22222||AB a A b B=+0y -=1,A B C ==-=由公式得:22215||34AB a b ==+22281534ab a b =+,又23e =, 所以2259b a =解得3a =,椭圆方程为22195x y += 例3.已知椭圆225945x y +=,椭圆的右焦点为F , (1) 求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长;(2)判断点(1,1)A 与椭圆的位置关系,并求以A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程. 解方法1:(1)由题意可得:过点F 且斜率为1的直线方程为2y x =-, 联立直线与椭圆的方程可得:2143690x x --=,1212189,,714x x x x ∴+=⋅=-由弦长公式可得:30||7MN ==. (2)设以(1,1)A 为中点粗圆的弦与椭圆交于()()1122,,,E x y F x y , ∵(1,1)A 为EF 中点,12122,2x x y y ∴+=+= 把()()1122,,,E x y F x y 分别代入椭圆225945x y +=,得222211225945,5945x y x y +=+=。
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圆锥曲线联立及韦达定理
1、圆锥曲线与直线的关系
椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定: 椭圆:22
221x y a b +=(0)a b 双曲线:22
221x y a b
-=(0)a b 、
直线:y kx m =+ (PS :这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况,做题需要补充)
(1)椭圆与双曲线联立:
2
2
2222212()10k km m x x a b b b
+++-= (PS :联立时选择不通分,原因?看完就知道了)
类一元二次方程:2
0Ax Bx C ++= 2
221()k A a b
=+,所以0A ,即方程为一元二次方程。
判别式:24B AC ∆=- 22
2222221()4()(1)km k m b a b b
∆=-+- 化解得:22
222214()k m a b a b
∆=+- 1) 当0∆,方程无实根,直线与椭圆没有交点;
2) 当0∆=,方程有两个相同的根,直线与椭圆相切;
(相切是因为重根,而不是只有一个根)
3) 当0∆
,方程有两个不同的实根,直线与椭圆相交.
(2)双曲线与直线联立:
2
2
2222212()10k km m x x a b b b
----= 类一元二次方程中,2221()k A a b =-,22()km B b
=- 22
222214()k m a b a b
∆=-+ 1) 当0,0A B ==时,方程为10-=,无解,直线与双曲线相离;(此时为渐近线)
2) 当0,0A B =≠时,方程为一元一次方程,只有一个解,直线与双曲线只有一个交点(此时为渐近线
的平行线)
3) 当0,0A ≠∆时,一元二次方程无实数解,直线与双曲线相离;
4) 当0,0A ≠∆=时,一元二次方程有两个相同实数解,直线与双曲线相切;
5) 当0,0A ≠∆
时,一元二次方程有两个不同实数解,直线与双曲线相交.
PS :注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同!
2、联立方程与韦达定理
(1)韦达定理:
20Ax Bx C ++=运用韦达定理的前提:0,0A ≠∆≥
12B x x A +=-, 12C x x A
=,
12x x A
-==
(2)椭圆与直线联立相关的韦达定理:
2
2
2222212()10k km m x x a b b b +++-=
2
12222
21km
b x x k a b -+=+;
2
212222
1
1m b
x x k a b -=+;
1222
x x a b -=+
由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理:
121212()()()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++
22
222222
212()
1k m k m b a b k a b -++=+
2
12222
21m
a y y k a
b +=+;
2212121212()()()y y kx m kx m k y y km x x m =++=+++
222
22222222
21(1)()()1m km k k km m b b a b k a b -+-++=+ 222122
221m k a y y k a b -=+; 121212()()y y kx m kx m k x x -=+++=-
1222
y y a b -=+;
(3)双曲线与直线联立相关的韦达定理:
2
2
2222212()10k km m x x a b b b
----= 2122
2221km
b x x k a b
+=-; 2
212222
11m b x x k a b --=-;
1222
x x a b -=- 由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理:
121212()()()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++
22
2222
22
212()1k m k m b
a b k a b +-=-
21222221m
a y y k a b
+=-; 2212121212()()()y y kx m kx m k y y km x x m =++=+++
222
22222222
21(1)()()1m km k k km m b b a b k a b --++-=- 2
2
2122
221m k a y y k a b -=-; 121212()()y y kx m kx m k x x -=+++=-
1222
y y a b -=-;
PS :1、所有韦达定理所得的结果分母都一样,之后的处理就不需要通分;2、记住部分结论(联立的一元二次方程和判别式必须记住)会事半功倍;3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别,所有带2
b 项变号。
原因:椭圆的双曲线方程化解之后均是22
2221x y a a c +=-。
椭圆中22a c ,令222b a c =-;双曲线中
2
2a c ,令222b a c -=-。