九年级数学三角形综合
2020年中考数学九年级三轮冲刺：《三角形综合》(四)
三轮冲刺：《三角形综合》（四）1．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．2．在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）如图1，若AE＝BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD．求证：①AF＝CE；②OD平分∠AOC；（2）如图2，若AE＝2CF，作∠BCP＝∠AEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CE＝CP．3．如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D，E分别是AB，AC的中点，过点B作直线DE的垂线段BM，垂足为M，点F是直线ED上一动点，作Rt△BFG，使∠BFG ＝90°，∠FGB＝30°，连接GD．【观察猜想】如图（2），当点F与点D重合时，则的值为．【问题探究】如图（1），当点F与点D不重合时，请求出的值及两直线GD、ED夹角锐角的度数，并说明理由．【问题解决】如图（3），当点F、G、A在同一直线上时，请直接写出的值．4．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的高与中线．（1）如图1，求证：AE＝AD；（2）如图2，点F在AD的延长线上，连接BF，CF，若BE＝CF，求证：∠AEB＝∠AFB；（3）在（2）的条件下，如图3，过点A作BF的平行线交CF于点G，若FG＝6，求BE 的长．5．如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD为斜边BC上的高线．（1）求证：AD2＝BD⋅CD；（2）如图2，过A分别作∠BAD，∠DAC的角平分线，交BC于E，M两点，过E作AE的垂线，交AM于F．①当tan C＝时，求的值；②如图3，过C作AF的垂线CG，过G点作GN∥AD交AC于M点，连接MN．若∠EAD＝15°，AB＝1，直接写出MN的长度．6．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、PE ∥AC，过点D作DE∥AB，DE与PE交于点E．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为．（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在BC边上时，求t的值．（3）设△DPE与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．8．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB 于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上9．已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°．提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由．综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长．10．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D．（1）点E、F分别在DA、DC的延长线上，且AE＝CF，连接BE、AF，猜想线段BE和AF 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，连接EF，将△DEF绕点D顺时针旋转角α（0°＜α＜90°），连接AE、CE，若四边形ABCE恰为平行四边形，求DA与DE的数量关系；（3）如图3，连接EF，将△DEF绕点D逆时针旋转，当点A落在线段EF上时，设DE与AB交于点G，若AE：AF＝3：4，求的值．参考答案1．（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．（2）解：如图2中，连接BD．∵AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠DEA＝∠CDE＝60°，∵EF⊥AD，∴∠FEA＝∠DEA＝30°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝30°，EC＝BD，∴∠EDB＝90°，∵AE＝4，AF＝2，AC＝，∠EFA＝∠AFC＝90°，∴EF＝＝＝2，CF＝＝＝，∴EC＝BD＝3，∴BE＝＝＝．（3）解：如图3中，作CM⊥CA，使得CM＝CA，连接AM，BM．∵CA＝CM，∠ACM＝90°，∴∠CAM＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠MAB＝45°+45°＝90°，设AB＝AC＝m，则AM＝m，BM＝＝m，∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＝∠ACD，∵CA＝CM，CB＝CD，∴△ACD≌△MCB（SAS），∴AD＝BM＝m，∴＝＝．2．（1）证明：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝60°，∵AE＝BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝EC．②如图1中，∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝∠OCA+∠BAF＝∠BAC＝60°，又∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠AOE＝∠ADC，∵∠AOE+∠AOC＝180°，∴∠ADC+∠AOC＝180°，∴A，D，C，O四点共圆，∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°，∴∠AOD＝∠COD，∴OD平分∠AOC．（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．∵AE＝2CF，AM＝ME，∴AM＝CF，∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA，∴△ACM≌△CAF（SAS），∴∠ACM＝∠CAF，∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF，∴∠CME＝∠CFP，∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM，∴△CME≌△PFC（ASA），∴CE＝PC．3．解：【观察猜想】如图（2）中，结论：当点F与点D重合时，则的值为2．理由：设BM＝a．∵AE＝EC，AD＝DB，∴DE∥BC，∴∠BDM＝∠ABC＝30°，∵BM⊥EM，∴∠BMD＝90°，∴BD＝2BM＝2a，DM＝BM＝a，在Rt△GDB中，∵∠GDB＝90°，∠G＝30°，∴GD＝BD＝2a，∴＝＝2．故答案为2．【问题探究】如图（1）中，结论：的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60°．理由：延长GD交BF的延长线于P．在Rt△BDM中，设BM＝a，则BD＝2a，DM＝a，在Rt△BGF中，设BF＝b，则BG＝2b，FG＝，在△BGD与△BFM中，∵BG：BF＝2b：b＝2a：a＝BF：BM，∠DBG＝60°﹣∠FBD＝∠FBM，∴△BGD∽△BFM，∴DG：FM＝BD：BM＝2a：a＝2：1，即的值为2，∵△BGD∽△BFM，∴∠PFD＝∠MFB＝∠BGD，则在△PDF与△PBG中，∠PDF＝∠PBG＝60°．故的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60°．【问题解决】结论：的值为4+或4﹣．如图（3）﹣1中，当点G在线段AF上时，∵△BDG∽△BMF，∴∠BDG＝∠BMF＝90°，∴GD⊥AB，∵AD＝BD，∴GD垂直平分线段AB，∴GA＝GB，设BF＝x，则BG＝2x＝AG，FG＝，∴BG：AF＝2x：＝4﹣．如图（3）﹣2中，当点G在线段AF的延长线上时，设BF＝x，同法可得：BG＝AG＝2x，GF＝x，∴AF＝2x﹣x，∴BG：AF＝2x：（2x﹣x）＝4+．∴的值为4+或4﹣．4．（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝AC，∵BE是△ABC的中线，∴AE＝EC＝AC，∴AD＝AE．（2）证明：如图2中，作BP⊥CA交CA的延长线于P．∵∠P＝90°，∠BCP＝30°，∴BP＝BC＝CD，∵∠FDC＝∠P＝90°，BE＝CF，BP＝CD，∴Rt△BPE≌Rt△CDF（HL），∴∠BEP＝∠CFD，∵DF⊥BC，CD＝DB，∴FB＝FC，∴∠BFD＝∠CFD，∴∠AEB＝∠AFB．（3）解：如图3中，设AG交BE于H，交BC于M，作CN∥AD交AM的延长线于G．∵AG∥BF，∴∠GAF＝∠AFB，∵∠FAB＝∠AFC，∴∠GAF＝∠AFG，∴GA＝GF＝6，∵CN∥AF，∴∠N＝∠FAG，∠GCN＝∠AFG，∴∠N＝∠GCN，∴CG＝GN，∴CF＝AN＝BE，∵∠ACB＝30°，∠DCN＝90°，∴∠BAE＝∠ACN＝120°，∵∠AEB＝∠AFC＝∠N，∴△BAE≌△ACN（AAS），∴AE＝CN＝AD，∵∠ADM＝∠MCN＝90°，AMD＝∠CMN，∴△ADM≌△NCM（AAS），∴AM＝MN，∵∠N+∠NMG＝90∠NCG+∠MCG＝90°，∴∠GMC＝∠GCM，∴CG＝GM＝GN，∴AG＝3GN＝6，∴CG＝GN＝2，∴BE＝CF＝FG+CG＝6+2＝8．5．（1）证明：如图1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴△BAD∽△ACD，∴＝，∴AD2＝BD•CD．（2）①解：如图2中，作EH⊥AB于H，MG⊥AC于G．∵AD⊥BC，∴∠tan C＝＝，∴可以假设AD＝3k，CD＝4k，则AC＝5k，BD＝k，AB＝k，∵MA平分∠CAD，MD⊥AD，MG⊥AC，∴DM＝MG，∵∠ADM＝∠AGM＝90°，AM＝AM，∴Rt△MAD≌Rt△MAG（HL）∴AD＝AG＝3k，设MD＝MG＝x，则CG＝2k，CM＝4k﹣x，在Rt△CMG中，∵CM2＝MG2+CG2，∴（4k﹣x）2＝x2+（2k）2，∴x＝k，∴DM＝k，同法可得DE＝k，∴＝＝．②如图3中，∵AE平分∠BAD，∠EAD＝15°，∴∠BAD＝30°，∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAC＝60°，∠C＝30°，∵MA平分∠CAD，∴∠MAC＝∠MAD＝30°，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠AMB＝∠MAC+∠MCA＝60°＝∠B＝∠BAM，∴MA＝MC，△ABM是等边三角形，∴AM＝BM，∵GN∥AD，∴∠GNC＝∠DAC＝60°，∵CG⊥AG，∴∠AGC＝90°，∴∠ACG＝60°＝∠CNG，∴△CGN是等边三角形，∴NC＝CG，∵AC＝2CG，∴AN＝CN，∵BM＝MC，∴MN＝AB＝．6．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．7．解：（1）如图1中，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵PD⊥AC，∴cos A＝＝，∴＝，∴AD＝4t，故答案为4t．（2）如图2中，当点E落在BC上时，∵DE∥AB，PE∥AD，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∴＝，∴＝，解得t＝1，∴当点E落在BC边上时，t的值为1．（3）①如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PDE，∵PE∥AD，∴∠DPE＝∠ADP＝90°，∵DE＝5t，PE＝4t，∴PD＝3t，∴S＝•PD•PE＝×3t×4t＝6t2．②如图3中，当1＜t≤2时，S＝•（MN+PD）•PN＝[3t+3t﹣（10﹣5t）]•（10﹣5t）＝﹣18t2+48t﹣24．综上所述，S＝．（4）①如图4﹣1中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝．②如图4﹣2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝③如图4﹣3中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，AP＝PB，此时t＝1，综上所述，满足条件的t的值为或或1．8．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．9．提出问题：解：在△DBA和△CAB中，∵．∴△DBA≌△CAB（AAS），∴AD＝BC；类比探究：结论仍然成立．理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEB．∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△DBA≌△EAB（AAS），∴BE＝AD，∵∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴AD＝BC．综合运用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．由（2）得，AD＝BC＝BE＝1．在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°．由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，∴EF＝BE＝1．在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，∴△CBE∽△CFB．∴＝，令CE＝x，∴1＝x（x+1）．解得，x＝，∴CF＝．由∠FBC＝∠C，∴BF＝CF．又AF＝BF，∴AC＝2CF＝+1．10．解：（1）BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：延长FA交BE于H，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACD＝45°，AB＝AC，∴∠BAE＝∠ACF＝135°，又∵AB＝AC，AE＝CF，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠EBA＝∠FAC，∵∠BAF＝∠ABE+∠BHA＝∠BAC+∠CAF，∴∠BAC＝∠BHA＝90°，∴BE⊥AF；（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BC，∵四边形ABCE恰为平行四边形，∴AE＝BC＝2AD，AE∥BC，∴∠EAD＝∠ADB＝90°，∴DE＝＝＝AD；（3）如图3，连接BE，过点E作EH⊥AB于H，DN⊥AB于N，由图1可得：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，AD⊥CD，又∵AE＝CF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠DEF＝45°由图3可得：∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，又∵AD＝BD，DE＝DF，∴△ADF ≌△BDE （SAS ）， ∴BE ＝AF ，∠DFE ＝∠BED ＝45°， ∴∠AEB ＝90°， ∵AE ：AF ＝3：4，∴设AE ＝3a ，AF ＝BE ＝4a ， ∴AB ＝＝＝5a ，∵AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，DN ⊥AB ， ∴DN ＝BN ＝AN ＝a ，∵S △ABE ＝AE ×BE ＝AB ×EH ， ∴EH ＝＝a ，∴AH ＝＝a ，∵∠BED ＝∠AED ＝45°， ∴， ∴BG ＝，AG ＝，∴GH ＝a ，GN ＝a ，∴EG ＝＝a ，DG ＝＝a ，∴＝＝．1、在最软入的时候，你会想起谁。
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--三角形综合
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--三角形综合1．如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，CE△AB，AF△BC，（1）求证：CF=EF；（2）求△EFB的度数.2．如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=8，BC=10，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC匀速运动，点Q到达点C后，立即以每秒4个单位的速度沿CB返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点Q运动时间为t秒．（1）当t=3时，BQ=，当t=7时，BQ=．（2）如图，当点P运动到AB的中点时，猜想PQ与AB的位置关系，并证明你的结论．（3）在点P、Q运动过程中，若△BPQ是等边三角形时，求t的值．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点P以2cm/s的速度沿射线BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运动时，P点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．（1）用含t的代数式表示PC的长；（2）若点Q的运动速度为1cm/s，当△CQP是以△C为顶角的等腰三角形时，求t的值；（3）当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP在某一时刻全等．4．如图，在ΔABC中，∠C=90°，将ΔACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．（1）当∠B=28°时，求∠CAE的度数；（2）当AC=6，AB=10时，求线段DE的长．5．如图，△ABC由两个全等的含45°的直角板拼成，其中，∠ACB=90°，AC=BC，AB= 8，点D是AB边长的中点，点E时AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于F，交射线CD于点G．（1）当点E在点D的左侧运动时，（图）．求证：△ACE≌△CBG；（2）当点E在点D的右侧运动时（图）（1）中的结论是否成立？请说明理由：（3）当点E运动到何处时，BG=5，试求出此时AE的长．6．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD= AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为；（2）探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由．7．如图，△ABC 中，AB=AC，△BAC ＜60°，将线段AB 绕点A逆时针旋转60°得到点D，点 E 与点D 关于直线BC 对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE 的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA - PB =CD 成立？若存在，请用文字描述出点P 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．8．如图，点M是△ABC的边AB上一点，连接CM，过A作AD⊥CM于点D，过B作BE⊥CM于点E．（1）如图①，若点M为AB的中点时，连接AE，BD，求证：四边形ADBE是平行四边形；（2）如图②，若点M不是AB的中点，点O是AB上不与M重合的一点，连接DO，EO，已知点O在DE的垂直平分线上，求证：AO=BO．9．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE△DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，△B+△D=180°，CB=CD，△BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明.10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=mx+m交x轴于点A，交y轴的正半轴于点B，点C在x轴的正半轴上，连接BC，tan∠BAO=3tan∠BCO．（1）求点A，C的坐标；（2）如图1，点P在第一象限内，横坐标为t．PD⊥y轴于点D，PA⊥BC于点E，AP= BC，求m与t之间的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）（3）如图2，在（2）的条件下，设BC交DP于点F，当BF=PE时，求m的值．11．综合与实践问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在△ABC中AB=AC=6，∠BAC=30°，求BC的长．（1）探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，BE，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC的长；（2）探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE，连接BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；（3）奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度在不断变化，直接写出AF的最大值和最小值．12．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB与△EFC全等，△ADB＝△EFC＝90°，△B＝45°，AB＝6．（1）将直角边AD和EF重合摆放．点P、Q分别为BE、AF的中点，连接PQ，如图1．则△APQ的形状为．（2）操作探究若将△EFC绕点C顺时针旋转45°，点P恰好落在AD上，BE与AC交于点G，连接PF，如图2．①FG：GA＝▲ ；②PF与DC的位置关系为▲ ；③求PQ的长；（3）开放拓展若△EFC绕点C旋转一周，当AC△CF时，△AEC为．13．在Rt△ABC中，△ACB＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB 上，连接BD，过点D作DF△AC于点F．（1）如图1，当点F与点A重合时，求△ABC的度数；（2）若△DAF＝△DBA，①如图2，当点F在线段CA上时，求△ABC的度数；②当点F在线段CA的延长线上，且BC＝7时，请直接写出△ABD的面积．14．在△ABC中，AB=AC，△BAC=90，BD平分△ABC交AC于点D.（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E.若AB=BF，求证：BD垂直平分AF.（2）如图2，CE△BD，垂足E在BD的延长线上.试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由.（3）如图3，点F为BC上一点，△EFC= 12△ABC，CE△EF，垂足为E，EF与AC交于点M.直接写出线段CE与线段FM的数量关系.15．如图，在菱形ABCD中，△ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE△BC，△EAF＝△ABC时，①求证：AE＝AF；②连结BD，EF，若EFBD=25，求S△AEFS菱形ABCD的值；（2）当△EAF＝12△BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．16．已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD 的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若∠COD=60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵CE△AB，∴△ACE是等腰直角三角形，△BEC=90°，∵AB=AC，AF△BC，∴BF=CF，即F是BC的中点，∴Rt△BCE中，EF= 12BC=CF；（2）解：由（1）得：△ACE是等腰直角三角形，∴△BAC=△ACE=45°，又∵AB=AC，∴△ABC=△ACB= 12(180°−45°)=67.5°，∴△BCE=△ACB-△ACE=67.5°-45°=22.5°，∵CF=EF，∴△CEF=△BCE=22.5°，∵△EFB是△CEF的外角，∴△EFB=△CEF+△BCE=22.5°+22.5°=45°. 2．【答案】（1）6；2（2）解：PQ⊥AB，理由如下：在BQ上截取BE=BP，∵点P运动到AB的中点，∴AP=PB=4，∴t=41=4s，∴BQ=4×2=8，∵PB=BE=4，∠B=60°，∴△PEB是等边三角形，∴PE=BE=4，∠EPB=∠PEB=60°，∴QE=PE=4，∴∠EPQ=∠EQP，∵∠EPQ+∠EQP=∠PEB=60°，∴∠QPE=30°，∴∠QPE+∠EPB=90°=∠QPB，∴PQ⊥AB；（3）解：当0≤t≤5，BQ=2t，当5<t≤152，BQ=10−4(t−5)=30−4t，∵△BPQ是等边三角形，∴BP=BQ，∴8−t=2t或8−t=30−4t，∴t=83或t=223．3．【答案】（1）解：∵点P的运动速度为2cm/s，∴BP=2t，∴PC=10−2t；（2）解：△CQP以∠C为顶角的等腰三角形，则PC=CQ，PC=10−2t，CQ=t，即10−2t=t，解得：t=10 3，∴当t=103s时，△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形；（3）解：①当BP=CQ时，BD=CP，此时△BPD≅△CQP，根据题意可得：BP=2t，CQ=at，BD=13AB=6，PC=10−2t，∴2t=at，6=10−2t，解得：a =2，t =2， ②当BP ≠CQ 时，∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ，∴BP =CP =12BC =5，BD =CQ =6，∴t =52s ，∴a =CQ t =125cm/s ， 综上可得：当Q 的速度为2cm/s 或125cm/s 时，△BPD 与△CQP 在某一时刻全等．4．【答案】（1）∵∠C =90° ， ∠B =28°∴∠CAB =90−∠B =90°−28°=62°由折叠的性质可知 ∠CAE =∠EAB∴∠CAE =12∠CAB =31° （2）∵∠C =90° ， AC =6 ， AB =10 ∴BC =√AB 2−AC 2=√102−62=8由折叠的性质可知 AC =AD,CE =DE,∠EDA =∠C =90°∴∠EDB =180°−∠EDA =180°−90°=90°设 DE =x ，则 BE =8−x,DB =10−6=4 在 Rt △EDB 中, ED 2+DB 2=EB 2 ∴x 2+42=(8−x)2 解得 x =3 ∴DE =35．【答案】（1）证明：在 Rt △ABC 中，∵AC =BC ，∴∠A =∠ABC =45° ．∵点 D 是 AB 的中点，∴∠BCG =12∠ACB =45° ，∴∠A =∠BCG ．∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90° ． ∵∠ACE +∠BCF =90° ， ∴∠CBG =∠ACE ， 在 △ACE 和 △CBG 中，{∠ACE =∠CBGAC =BC ∠A =∠BCG，∴△ACE ≌△CBG (ASA) （2）解：结论仍然成立，即△ACE△△CBG ． 理由如下：在Rt△ABC 中， ∵AC=BC ，∴△A=△ABC=45°．∵点D 是AB 的中点，∴△BCG= 12 △ACB=45°，∴△A=△BCG ．∵BF△CE ，∴△CBG+△BCF=90°． ∵△ACE+△BCF=90°， ∴△CBG=△ACE ， 在 △ACE 和 △CBG 中，{∠ACE =∠CBGAC =BC ∠A =∠BCG，∴△ACE ≌△CBG (ASA) （3）解：在Rt△ABC 中， ∵AC=BC ，点D 是AB 的中点， ∴CD△AB ，CD=AD=BD= 12AB=4，在Rt△BDG 中， DG =√BG 2−BD 2=√52−42=3 ， 点E 在运动的过程中，分两种情况讨论： ①当点E 在点D 的左侧运动时，CG=CD-DG=1， ∵△ACE△△CBG ， ∴AE=CG=1；②当点E 在点D 的右侧运动时，CG=CD+DG=7， ∵△ACE△△CBG ， ∴AE=CG=7． 故答案为：1或7．6．【答案】（1）NM ＝NP ；60°（2）解：△MNP 是等边三角形．理由如下：由旋转可得，△BAD ＝△CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD△△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，△ABD ＝△ACE ，∵点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．∴MN ＝12BD ，PN ＝12CE ，MN△BD ，PN△CE ，∴MN ＝PN ，△ENM ＝△EBD ，△BPN ＝△BCE，∴△ENP＝△NBP＋△NPB＝△NBP＋△ECB，∵△EBD＝△ABD＋△ABE＝△ACE＋△ABE，∴△MNP＝△MNE＋△ENP＝△ACE＋△ABE＋△EBC＋△EBC＋△ECB＝180°−△BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形．7．【答案】（1）解：如图即为所求，（2）解：△CDE是等边三角形.如图，连接BD、CE，由点D与点E关于直线BC对称可知BF垂直平分DE，∴CD=CE,BD=BE由旋转可知AB=AD,∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形∴AB=BD=AD,∠BAD=∠ABD=60°∴∠CAD=60°−∠BAC∵AB=AC∴∠ABC=180°−∠BAC2=90°−∠BAC2,BE=BD=AB=AC∴∠FBD=∠ABC−∠ABD=90°−∠BAC2−60°=30°−∠BAC2∴∠EBD=2∠FBD=60°−∠BAC∴∠CAD=∠FBD在△ACD和△BED中，{AD=BD ∠CAD=∠EBD AC=BE∴△ACD≅△BED(SAS)∴CD=ED∴CD=ED=CE∴△CDE是等边三角形；（3）解：存在，如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△ABC′，延长AC′交直线CE于点P，连接BP，由（2）得△CDE是等边三角形，∴∠DCE=60°∴∠DCF=∠ECF=30°∴∠BCD=150°由旋转可得CD=C′A,∠C′BC=60°,∠BC′A=∠BCD=150°，∴∠BC′P=30°∵PA−PB=CD,PA−PC′=C′A=CD∴PB=PC′∴∠C′BP=∠BC′P=30°∴∠PBC=30°∵∠BCP=∠ECF=30°∴∠PBC=∠BCP∴BP=CP所以直线CE上存在点P，使得PA - PB =CD 成立，点P在点C左边距离为CE长的位置. 8．【答案】（1）证明：证法一：∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴AD∥BE，∴∠ADM=∠BEM=90°（或∠DAM=∠EBM）∵点M为AB的中点，∴AM=BM∵∠AMD=∠BME，∴△ADM≌△BEM∴AD=BE∴四边形ADBE是平行四边形证法二：∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴∠ADM=∠BEM=90°∵点M为AB的中点，∴AM=BM∵∠AMD=∠BME，∴△ADM≌△BEM∴DM=EM∴四边形ADBE是平行四边形（2）证明：延长DO交BE于F，∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴AD∥BE，∠BEM=90°∴∠DAO=∠EBO，∠ODE+∠OFE=∠DEO+∠FEO=90°∵点O在DE的垂直平分线上，∴DO=EO∴∠ODE=∠DEO∴∠OFE=∠FEO∴FO=EO∴DO=FO∵∠AOD=∠BOF∴△ADO≌△BFO∴AO=BO．9．【答案】（1）2＜AD＜6（2）解：如图2，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM同（1）得：△BMD≅△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF，DM=DF∴DE是MF的垂直平分线∴EM=EF在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM∴BE+CF>EF；（3）解：BE+DF=EF；证明如下：如图3，延长AB至点N，使BN=DF，连接CN∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∴∠NBC=∠D在△NBC和△FDC中，{BN=DF ∠NBC=∠D CB=CD∴△NBC≅△FDC(SAS)∴CN=CF，∠NCB=∠FCD ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°∴∠BCE+∠FCD=70°∴∠BCE+∠NCB=70°∴∠ECN=70°=∠ECF在△NCE和△FCE中，{CN=CF ∠ECN=∠ECF CE=CE∴△NCE≌△FCE(SAS)∴EN=EF∵BE+BN=EN∴BE+DF=EF.10．【答案】（1）解：∵直线y=mx+m交x轴于点A，交y轴的正半轴于点B，当x=0时，y=m,∴B（0，m）当y=0时，mx+m=0，解得x=-1∴A（-1,0）∴OA=1,OB=m∵tan∠BAO=OBOA=m1=m,tan∠BCO=OBOC=mOC又tan∠BAO=3tan∠BCO∴3mOC=m∴OC=3∴C（3，0）（2）解：过点P作PH△x轴于点H，则△PHA=90°=△BOC∴△PAH+△APH=90°∵AP△BC∴△AEC=90°∴△PAH+△BCO=90°∴△APH =△BCO∵AP=BC∴△APH△△BCO，∴PH=OC=3,AH=BO，∴t-(-1)=m，则m=t+1；（3）解：过点E作EM△x轴于点M，延长ME交BD于N，则△NMO=90°∵△APH△△BCO，PH=3=OC，BD=m-3∴△DBF =△PAH,∵PD△y轴∴△PDO =△PHO=△DOH =△NMO=90°∴△NPE =△PAH=△DBF∵BF=PE∴△BDF△△PNE，∴BD=NP= m-3=MH，∵OH=t∴OM=OH-MH=OH-MH=t-（m-3）=t-m+3又OC=3∴CM=OC-OM=3-（t-m+3）=m-t∵m=t+1∴CM=m-t=1∴AM=AH-MH=（1+t）- （m-3）=1+t-m+3=3∵△CEM =△EAM∴1EM=EM3故EM= √3∴tan△EAM= tan△CBO∴EM AM=√33=3m，∴m=3 √3．11．【答案】（1）解：如图4，延长CB、DE交于点H.∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE∴△ABC≌△ADE，∠CAE=∠BAD=90°，△H=90°，∴AB=AD=6，AC=AE=6，∠DAE=∠BAC，DE=BC ∵AB=AC=6，∠BAC=30°∴△ABC是等腰三角形，∠BAE=∠CAE−∠BAC=60°∴∠ABC=180°−∠BAC2=75°，∵AE=AB=6∴△AEB是等边三角形∴BE=AB=6，∠ABE=60°∴∠EBH=180°−∠ABE−∠ABC=45°∴△EBH是等腰直角三角形∴HE=HB．∵AD=AB，∠DAB=90°．∴△ABD是等腰直角三角形，∠BDA=45°．在Rt△EBH中，由勾股定理，得HE2+HB2=BE2．∴HE2+HB2=62=36．∴HE2=HB2=18∴HE=HB=√18=3√2．在△BDH中，∠H=90°，∠BDH=∠EDA−∠BDA=∠ABC−∠BDA=30°．在Rt△BDH中，BH=12BD=3√2．∴BD=6√2．在Rt△BDH中，tan∠BDH=BH DH，∴3√2 DH=√3 3，∴DH=3√6．∴DE=DH−EH=3√6−3√2．∵DE=BC，∴BC的长是3√6−3√2．（2）解：四边形ADFC是菱形．理由如下：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，AB=AC，∠BAC=30°，∴△ABC≌△ADE，∠BAD=∠CAE=120°．∴AC=AE，AB=AD，∠BAC=∠DAE=30°．∴AC=AE=AB=AD．∴△ACE是等腰三角形∴∠ACE=∠AEC=180°−∠CAE2=30°．同理可得：∠ABD=∠ADB=30°．∵∠ACB=180°−∠BAC2=75°．∴∠BCG=∠ACB−∠ACE=45°，∠FBC=∠ABC+∠ABF=105°．∴在△BFC中，∠BFG=180°−∠FBC−∠BCG=30°．∴∠BFG=∠ACF，∠BFG=∠ADB．∴DB∥AC，FC∥AD．∴四边形ADFC是平行四边形．∵AD=AC，∴四边形ADFC是菱形．（3）解：如图5，作AH△BD于点H，则∠AHB=90°∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∠BAD=120°∴AB=AD=6∴△ABD是等腰三角形∴BH=DH=12BD∴∠ABD=∠ADB=180°−∠BAD2=30°．在Rt△ABH中，△AHB=90°，△ABH=30°，AB=6∵BHAB=cos∠ABH=cos30°∴BH=3√3∴BD=2 BH=6√3由（2）知四边形ADFC是菱形∴DF=AD=6∴BF=BD-DF=6√3－6当△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，当旋转到A、B、F第一次三点共线时，如图6，△BGF≌△BG″F″，∴BF=BF″此时AF有最小值，此时AF=AF″=AB-BF″=AB-BF=6-（6√3－6）=12－6√3当旋转到A、B、F第二次三点共线时，如图7，△BGF≌△BG′F′，∴BF=BF′此时AF有最大值，此时AF=AB+BF′=AB+BF=6+6√3－6=6√3故AF的最大值是6√3，AF的最小值是12−6√3 12．【答案】（1）等腰直角三角形（2）①∵AB=6，△B=45°，△ADB=90°，∴√AD2+BD2=AB，∴AD=BD= 3√2，∴EF= 3√2，∵△BFC=△BAC=90°，∴△GFE=△BAG，∵△AGP=△EGF，∴△ABQ=△GBF，∴△EGF△△BGA，∴FGAG=EFAB，∴FGAG=EFAB=3√26=√22=1√2故答案为：1:√2；②如图，过P作PM//BC交CE与点M，∴EMCM=EPBP=11，∴EM=CM∴FM//BC，∴F在PM上，∴PF△CD，故答案为：平行；③∵BP=PE，BD=CD，∴DP为△BCE的中位线，∴PD//CE，∵CE△BC，∴PD△BC，又∵AD△BC，∴P在AD上，△APF=△ADC=90°，∵Q 为AF 的中点， ∴PQ= 12AF ，又∵△B=45°，△ADB=90°，∴EF =√22AB =3√2 ，∴FC=EF= 3√2 ， ∴AF=AC-CF=6- 3√2 ，∴PQ= 12AF = 3−3√22；（3）22.5°或67.5°13．【答案】（1）解：由旋转的性质可得△ABC△△ADE∴△BAC=△DAE∵DF△AC ，点F 与点A 重合， ∴△CAD=90° ∴△BAC=△DAE=45° ∵△ACB=90°∴△ABC=90°-△CAB=45°；（2）①∵△ABC△△ADE ，则△BAC=△DAE=12△DAF∵△DAF=△DBA ， ∴△DAE=12△DAF=12△DBA∵△ABC△△ADE ∴AB=AD∴△DBA=△BDA ，设△BAC=△BAD-x ，则△DBA=△BDA-2x ∵△BAD+△ABD+△ADB=180° ∴x+2x+2x=180°解得：x=36° ∴△BAC=36°∴△ABC=90°-△BAC=54°； ②493√3 14．【答案】（1）证明：∵BD 平分△ABC ，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE△△FBE（SAS），∴AE=FE，△AEB=△FEB= 12× 180°=90°，∴BD垂直平分AF.（2）解：BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，∵CE△BD，△ABE=△FBE，∴GE=2CE=2GE，∵△CED=90°=△BAD，△ADB=△EDC，∴△ABD=△GCA，又AB=AC，△BAD=△CAG，∴△BAD△△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）解：FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH= 12FM，∴△NMH=△NBH，∵△EFC= 12△ABC=22.5°，∴△MNC=2△NFH=2× 12△ABC=△ABC，∵AB=AC，△BAC=90，∴△ABC=△ACB=△MNC=45°，∵△EMC=△MFC+△MCF=22.5°+45°=67.5°，∴△ECM=90°-△EMC=22.5°，∴△NFH=△MCE，又∵△FHN=△E=90°，∴△FNH△△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE.15．【答案】（1）解：①∵菱形ABCD，∴AB=AD，△ABC=△ADC，AD△BC，∵AE△BC，∴AE△AD，∴△EAF+△DAF=△BAE+△ABE=90°，∵△EAF＝△ABC，∴△DAF=△BAE，在△ABE和△ADF中{∠ABC=∠ADC AB=AD ∠DAF=∠BAE∴△ABE△△ADF（ASA）∴AE=AF.②连接AC，∵菱形ABCD，∴AB=BC=CD，AC△BD，∵△ABE△△ADF，∴BE=CF ， ∴CE=CF ∵AE=AF ∴AC△EF ∴BD△FE ， ∴△CEF△△CBD ， ∴EC BC =EF BD =25设EC=2a ，则AB=BC=5x ，BE=3a ， ∴AE =√25a 2−9a 2=4a ， ∵AE AB =AF BC ，△EAF=△ABC ， ∴△AEF△△BAC ，S △AEF S △ABC =(AEAB)2=(4a 5a)2=1625S △AEFS 菱形ABCD=S △AEF 2S △ABC=12×1625=825.（2）解：∵菱形ABCD ， ∴△BAC=12△BAD ，∵△EAF=12△BAD ，∴△BAC=△EAF ， ∴△BAE=△CAM ， ∵AB△CD ， ∴△BAE=△ANC ，同理可知：△AMC=△NAC ， ∴△MAC△△ANC ， ∴AC CN =AM NA； 当△AMN 时等腰三角形， 当AM=AN 时，在△ANC和△MAC中{∠ANC=∠CAM AM=AN ∠AMC=∠NAC∴△ANC△△MAC（ASA）∴CN=AC=2，∵AB△CN，∴△CEN△△BEA，∴CEBE=CNAB=24=12∵AB=BC=4∴CE4−CE=12解之：CE=43；当NA=MN时△NMA=△NAM，∵AB=BC，∴△BAC=△BCA，∵△BAC=△EAF，∴△NMA=△NAM=△BAC=△BCA，∴△ANM△△ABC，∴AMAN=ACAB=12∴AC CN =AM NA =12 ∴CN=2AC=4=AB 解之：AC=2∵△CEN△△BEA （AAS ） ∴CE=BE=2； 当MA=MN 时，易证△MNA=△MAN=△BAC=△BCA ， ∴△AMN△△ABC ∴AM AN =AB AC =42=2 ∴CN=12AC=1∵△CEN△△BEA ， ∴CE BE =CN AB =14 ∴CE 4−CE =14 解之：CE =45;∴当CE 为43或2或45时，△AMN 是等腰三角形.16．【答案】（1）OC =OD（2）解：数量关系依然成立．证明（方法一）：过点O 作直线 EF//CD ，交BD 于点F ，延长AC 交EF 于点E ．∵EF//CD∴∠DCE=∠E=∠CDF=90°∴四边形CEFD为矩形．∴∠OFD=90°，CE=DF由（1）知，OE=OF∴△COE≌△DOF(SAS)，∴OC=OD．证明（方法二）：延长CO交BD于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC//BD，∴∠A=∠B，∵点O为AB的中点，∴AO=BO，又∵∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE(ASA)，∴OC=OE，∵∠CDE=90°，∴OD=OC．（3）解：①数量关系依然成立．证明（方法一）：过点O作直线EF//CD，交BD于点F，延长CA交EF于点E．∵EF//CD∴∠DCE=∠E=∠CDF=90°∴四边形CEFD为矩形．∴∠OFD=90°，CE=DF由（1）知，OE=OF∴△COE≌△DOF(SAS)，∴OC=OD.10分证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC//BD，∴∠ACO=∠E，∴点O为AB的中点，∴AO=BO，又∵∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE(AAS)，∴OC=OE，∵∠CDE=90°，∴OD=OC．②AC+BD=√3OC。
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(一)
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（一）1．已知：等边△ABC中．（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．2．（1）发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．填空：①∠DCE的度数是；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是．（2）探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC 边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．（3）应用如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．3．（1）问题发现：如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延长线上，连接CE，求证：△ABD≌△ACE．（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D点在边BC的延长线上，连接CE．请判断：①∠ACE的度数为．②线段BC，CD，CE之间的数量关系是．（3）问题解决：在（2）中，如果AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．4．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝，当N在F→C路径上时，CN＝．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．5．已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．（1）如图1，∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内，∠ADB＝60°，求证：∠BDC ＝60°．请根据以下思维框图，写出证明过程．（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．②当射线BM在BC下方，请问∠BDC的度数会变吗？若不变，请说明理由；若改变，请直接写出∠BDC的度数．（3）在第（2）题的条件下，作AF⊥BD于点F，连结CF，已知BD＝6，CD＝2，求△CDF的面积．6．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．填空：①则的值为；②∠EAD的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC＝4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E 在△ABC外，∠CBE＝150°，∠ACE＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）判断△ACE的形状并加以证明．（3）连接DE，若DE⊥CD，AD＝3，求DE的长．8．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC 的形状，并说明理由．9．如图，已知在ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点E与点M在AC所在直线的两侧，AE⊥AB，AE＝BC，点N在AC边上，CN＝AM，连接ME、BN；（1）根据题意，补全图形；（2）ME与BN有何数量关系，判断并说明理由；（3）点M在何处时BM+BN取得最小值？请确定此时点M的位置，并求出此时BM+BN 的最小值．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，以AB为一边向上作等边三角形ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接CE，AE，CD．（1）判断△CBE的形状，并说明理由；（2）求证：AE＝DC；（3）填空：①若AE，CD相交于点F，则∠AFD的度数为．②在射线AB上有一动点P，若△PBC为等腰三角形，则∠ACP的度数为．参考答案1．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，∵点M是BC的中点，∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，∵∠AMN＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，AB＝2BM，设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，∴AN＝3x，∴；（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，∴△AMG为等边三角形，∴AM＝AG，∴BM＝CG，∵∠AGM＝∠ABC＝60°，∴∠MGC＝∠NBM＝120°，∵MG∥BC，∴∠GMC＝∠MCB，∵∠MNB＝∠MCB，∴∠GMC＝∠MNB，∴△MGC≌△NBM（AAS），∴MG＝BN，∵△AMG为等边三角形，∴AM＝MG，∴AM＝BN；（3）如图3，过点P作PM∥BC交AB于点M，∴△AMP为等边三角形，∴AP＝MP，∠AMP＝60°，∵P为AC的中点，∴AP＝PC，∴MP＝PC，∵∠ACB＝60°，∴∠EMP＝∠PCF＝120°，∵∠AEP＝∠PFC，∴△PCF≌△PME（AAS），∴CF＝ME，∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB，又∵P为AC的中点，MP∥BC，∴MB＝，∴BF﹣BE＝BC+BC＝，∴．2．（1）发现解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴CA＝BC＝CE+CD；故答案为：CA＝CE+CD．（2）探究∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°．∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，∵CB＝CD+DB＝CD+CE，∴CA＝CD+CE．（3）应用DA＝5或．作DE⊥AB于E，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵∠BDC＝90°，DB＝DC，∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴BE＝6﹣DE，∵BE2+DE2＝BD2，∴DE2+（6﹣DE）2＝26，∴DE＝1，DE＝5，∴AD＝或AD＝5．3．（1）问题发现：证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）类比探究：①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，故答案为：45°；②∵△ACE≌△ABD，∴BD＝CE，∴BC+CD＝CE，故答案为：BC+CD＝CE；（3）问题解决：解：在（2）中，同（1）的方法可证：△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，在Rt△BAC中，，∴，又∵CD＝1，由（2）得CE＝BC+CD＝3，在Rt△BAC中，，则线段DE的长是．4．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t．②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣1（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，8﹣t═3t﹣6，解得，t＝3.5，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18，解得，t＝6.5，综上所述，当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．5．（1）证明：在BM上取一点E，使AE＝AD．∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAE＝60°﹣∠EAC＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝120°，∴∠BDC＝120°﹣60°＝60°．（2）①在BD上取一点E，AE＝AD，如图2，∵∠ABC＝∠ADB＝30°，且AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠AED＝∠ADE＝30°，∴∠BAC＝∠EAD＝120°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BDC＝150°﹣30°＝120°．②会变．如图3．在DB延长线上取一点E，使得AE＝AD，同理可得：△BAE≌△CAD，∴∠ADC＝∠E＝30°，∴∠BDC＝∠ADE+∠ADC＝30°+30°＝60°．（3）如图，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，作CH⊥BM，如图4，∵∠BDC＝120°，∴∠CDH＝60°，∴∠DCH＝30°，∴，∴，∴如图5，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，，∴．6．解：（1）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE即∠CBE＝∠ABD，∵∠ACB＝∠BED＝45°，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∠BED＝∠BDE＝45°，∴AB＝BC，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，∴＝1，∠EAD＝45°+45°＝90°．故答案为：1，90°．（2），∠EAD＝90°．理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan60°＝，在Rt△DBE中，tan∠BED＝＝tan60°＝，∴＝，又∵∠ABD＝∠EBC，∴△ABD∽△∠CBE，∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°．（3）如图，由（2）知：＝＝，∠EAD＝90°，∴AD＝CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AC＝8，AB＝4，∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且点M是DE的中点，∴AM＝BM＝DE，∵△ABM为直角三角形，∴AM2+BM2＝AB2＝（4）2＝48，∴AM＝BM＝2，∴DE＝4，设EC＝x，则AD＝x，AE＝8﹣x，Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，∴（8﹣x）2+（x）2＝（4）2，解之得：x＝2+2（负值舍去）．∴EC＝2+2．∴AD＝CE＝2+6．∴线段AD的长为（2+6）．7．（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，∴△DBC是等边三角形．∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．在△ADB和△ADC中，∵，∴△ADC≌△ADB（SSS）．∴∠ADC＝∠ADB．∴∠ADC＝（360°﹣60°）＝150°．（2）解：△ACE是等边三角形．理由如下：∵∠ACE＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠ECB．∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，∴∠ADC＝∠EBC．在△ACD和△ECB中，∵，∴△ACD≌△ECB（ASA）．∴AC＝CE．∵∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．（3）解：连接DE．∵DE⊥CD，∴∠EDC＝90°．∵∠BDC＝60°，∴∠EDB＝30°．∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°，∴∠DBE＝90°．∴EB＝DE．∵△ACD≌△ECB，AD＝3，∴EB＝AD＝3．∴DE＝2EB＝6．8．（1）解：∠ADE＝45°．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADE＝45°；（2）（1）中的结论成立证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝45°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝90°．即∠DAE＝90°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝45°．（3）△CGH为等腰直角三角形．理由如下：∵∠BCA＝∠ACE＝45°，∴∠GCH＝90°，又∵AH⊥BC，AG⊥CE，∴AG＝AH，∵∠ACG＝∠AGC＝45°，∴AG＝CG，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠HCA＝∠HAC＝45°，∴AH＝HC，∴CH＝CG，∴△CGH为等腰直角三角形．9．解：（1）如图1所示：（2）ME＝BN．证明：延长AM交BC于点F，如图．∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM．∵AE⊥AB，∴∠MAE+∠BAM＝90°．∴∠MAE+∠CAM＝90°∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AF⊥BC．∴∠C+∠CAM＝90°．∴∠MAE＝∠C．又∵AM＝CN，AE＝BC，∴△AME≌△CNB（SAS）．∴ME＝BN．（3）由（2）知ME＝BN，则当B，M，E三点共线时，此时BM+BN取得最小值，点M的位置如图2，∵AB＝5，BC＝6，∴AE＝BC＝6，∴BE＝＝＝．∴BM+BN的最小值是．10．解：（1）△CBE是等边三角形．理由如下：∵点E在BC垂直平分线上，∴EC＝EB，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBE＝60°，∴△CBE是等边三角形．（2）∵△ABD是等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝90°，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DBC，由（1）可知：△CBE是等边三角形，∴EB＝CB，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC；（3）①设AB与CD交于点G，∴∠EAB＝∠CDB，又∵∠AGC＝∠BGD，∴∠AFD＝∠ABD＝60°．故答案为：60°．②∵△BCP为等腰三角形，当BC＝BP时，如图2，∠ABC＝∠BCP+∠BPC＝30°，∴∠BCP＝15°，∴∠ACP＝90°+15°＝105°；当PC＝PB时，如图3，∴∠PCB＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＝60°；当BP＝BC时，如图4，∵∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠CPB＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACP＝90°﹣75°＝15°．综合上述可得∠ACP的度数为15°或60°或105°．故答案为：15°或60°或105°．。
九年级中考数学复习三角形综合压轴题专题练习
九年级中考数学复习三角形综合压轴题专题练习1、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝5，求BE的值．2、如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC＝∠C1．3、如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．=；（1）求证：BD CE∆（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当ABC 的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．△中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ 4、在Rt ABC⊥AB,垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3,BC=4,当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；△中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在（3）在Rt ABC一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．5、已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8(1) 如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC 边上，EF交AD于点KEF的值①求AK②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值(2) 若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长6、【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．（1）【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．7、感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=（用含a的代数式表示）8、如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3(1) 求证：EF＋PQ＝BC(2) 若S1＋S3＝S2，求AEPE的值(3) 若S3－S1＝S2，直接写出AEPE的值9、在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．⑴当AB＝AC时，（如图1），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；⑵当AB＝kAC时（如图2），求BEFD的值（用含k的式子表示）．10、提出问题⑴如图1，在等边△ABC中，点M是BC上任意一点(不含端点B、C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，求证：∠ABC=∠CAN；类比探究⑵如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，⑴中的结论∠ABC=∠CAN还成立吗？请说明理由.拓展延伸⑶如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC，连接CN，试探究∠ABC与∠CAN的数量关系，并说明理由.11、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x=；（2）当点M落在AD上时，x=；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．12、已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E(1) 如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB3，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积(2) 如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝5为6，求四边形AB CD的面积(3) 如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC3，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）＝513、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s 的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．14、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）15、我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC 是否是”等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是”等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A'BC ，连结AA′交直线BC 于点D ．若点B 是△AA′C 的重心，求的值．（3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直E 1B C E （D 1）A PE 1BCED D 1A线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．16、【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=．【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．17、如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b.填空：当点A位于__________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________.（用含a，b的式子表示）（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2 , 0），点B的坐标为（5 , 0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.18、已知：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°。
2021年九年级中考数学压轴专题复习：三角形的综合练习
2021中考数学压轴专题复习：三角形的综合练习1、在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A 1B1 C．（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．2、△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC ＜180°，DB平分∠PBC，且 DB＝DA．（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．3、情景观察:如图①,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F．①写出图①中所有的全等三角形；②线段AF与线段CE的数量关系是,并写出证明过程；问题探究:如图②,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为点D,AD与BC交于点E．求证:AE=2CD．4、已知△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．探究：如图①，当点A在边EC上，点C在线段BD上时，连结BE、AD．求证：BE=AD，BE⊥AD．拓展：如图②，当点A在边DE上时，AB、CE交于点F，连结BE．若AE=2，AD=4，则的值为．5、如图1，在中，AB=AC，O为BC中点，D为线段OC上的一个动点，AD ⊥BH于H.（1）求证：DO DA DH DB=；（2）如图2，若HD平分∠OHC，求DODB的值；（3）如图3，BH延长线交AC于E，若OE⊥AC，AB=13，BC=10，直接写出tan∠DAC的值6、如图,在△ABC中,CA=CB,AB=10,600<∠<C，AF⊥BC于点F，在FC上截取FD=FB，点E是AC上一点，连接DA、DE，且∠ADE=∠B.(1)求证：ED=EC(2)若∠C=30∘，求BD长；(3)在(2)的条件下,将图1中△DEC绕点D逆时针旋转得到△DE′C′,请问在旋转的过程中,以点D. E. C′、E′为顶点的四边形可以构成平行四边形吗?若可以，请求出该平行四边形的面积；若不可以，请说明理由。
2020年九年级数学中考三轮复习：《三角形综合训练》(解析版)
中考三轮复习：《三角形综合训练》1．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，0），C（2，7），连接AC，交y轴于D，且a＝，（）2＝5．（1）求点D的坐标．（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．（3）如图3，若Q（m，n）是x轴上方一点，且△QBC的面积为20，试说明：7m+3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由．解：（1）∵a＝，（）2＝5，∴a＝﹣5，b＝5，∵A（a，0），B（b，0），∴A（﹣5，0），B（5，0），∴OA＝OB＝5．如图1，连接OC，设OD＝x，∵C（2，7），∴S△AOC＝×5×7＝17.5，∵S△AOC ＝S△AOD+S△COD，∴5x•＝17.5，∴x＝5，∴点D的坐标为（0，5）；（2）如图2，∵A（﹣5，0），B（5，0），C（2，7），∴S△ABC＝×（5+5）×7＝35，∵点P在y轴上，∴设点P的坐标为（0，y），∵S△ACP ＝S△ADP+S△CDP，D（0，5），∴5×|5﹣y|×+2×|5﹣y|×＝35，解得：y＝﹣5或15，∴点P的坐标为（0，﹣5）或（0，15）；（3）7m+3n是定值．∵点Q在x轴的上方，∴分两种情况考虑，如图3，当点Q在直线BC的左侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，∵S△QBC ＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，∴＝20，∴7m+3n＝﹣5．如图4，当点Q在直线BC的右侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，∵S△QBC ＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，∴＝20，∴7m+3n＝75，综上所述，7m+3n的值为﹣5或75．2．平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足（2a+b+5）2+＝0，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，连AD交BC于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值；（3）如图2，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连结FG，∠BAC的角平分线与∠DFG 的角平分线交于点H，求∠G与∠H之间的数量关系．解：（1）∵（2a+b+5）2≥0，≥0，且（2a+b+5）2+＝0，∴，解得：，∴A（﹣4，0），B（0，3）．（2）设C（0，c），E（0，y），∵将线段AB平移得到CD，A（﹣4，0），B（0，3）．∴由平移的性质得D（4，3+c），过D作DP⊥x轴于P，∴AO＝4＝OP，DP＝3+c，OE＝y，OC＝﹣c，∵S△ADP ＝S△AOE+S梯形OEDP，∴，∴，解得y＝．∴BE﹣OE＝（BO﹣OE）﹣OE＝BO﹣2OE＝3﹣2×＝﹣c＝OC，∴＝1．（3）∠G与∠H之间的数量关系为：∠G＝2∠H﹣180°．如图，设AH与CD交于点Q，过H，G分别作DF的平行线MN，KJ，∵HD平分∠BAC，HF平分∠DFG，∴设∠BAH＝∠CAH＝α，∠DFH＝∠GFH＝β，∵AB平移得到CD，∴AB∥CD，BD∥AC，∴∠BAH＝∠AQC＝∠FQH＝α，∠BAC+∠ACD＝180°＝∠BDC+∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC＝∠FDG＝2α，∵MN∥FQ，∴∠MHQ＝∠FQH＝α，∠NHF＝∠DFH＝β，∴∠QHF＝180°﹣∠MHQ﹣∠NHF＝180°﹣（α+β），∵KJ∥DF，∴∠DGK＝∠FDG＝2α，∠DFG＝∠FGJ＝2β，∴∠DGF＝180°﹣∠DGK﹣∠FGJ＝180°﹣2（α+β），∴∠DGF＝2∠QHF﹣180°．3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （m ，n +1），B （m +2，n ）．（1）当m ＝1，n ＝2时．如图1，连接AB 、AO 、BO ．直接写出△ABO 的面积为 ．（2）如图2，若点A 在第二象限、点B 在第一象限，连接AB 、AO 、BO ，AB 交y 轴于H ，△ABO 的面积为2．求点H 的坐标．（3）若点A 、B 在第一象限，在y 轴正半轴上存在点C ，使得∠CAB ＝90°，且CA ＝AB ，求m 的值，及OC 的长（用含n 的式子表示）．解：（1）∵A （1，3），B （3，2），∴S △ABC ＝3×3﹣×1×3﹣×2×1﹣×2×3＝．故答案为．（2）如图2中，∵S △ABO ＝S △AOH +S △OBH ＝•OH •（m +2﹣m ）＝2，∴OH ＝2（3）如图3中，作AD ⊥y 轴于D ，BE ⊥DA 交D 的延长线于E ．∵∠ADC ＝∠E ＝∠CAB ＝90°，∴∠DAC +∠EAB ＝90°，∠EAB +∠ABE ＝90°，∴∠DAC ＝∠ABE ，∵AC ＝AB ，∴△DAC≌△EBA（AAS），∴AD＝BE＝m，CD＝AE＝2，∴OC+CD＝n+1，∴OC＝n﹣1（n＞1），∴OC+CD＝n+m＝n+1，∴m＝1．4．在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BC上，连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，若AB＝5，BC＝8，CD＝2，求△ABD的面积；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，过B作BE⊥AC分别交AC于点E，交AD 于点F，截取AC中点G，延长BG到点H，连接AH，使∠AHB＝∠ACB﹣∠ABH，若∠ADB＝45°，求证：AH＝DF．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝4，∴在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，∴S＝•BD•AH＝×6×3＝9．△ABD（2）如图2中，作FM⊥BD于M，作AN⊥BC于N．∵AB＝AC，AN⊥BC，∴BN＝CN，∠BAN＝∠CAN，∠ABC＝∠ACB，∵BE⊥AC，∴∠ANC＝∠ANB＝∠BEC＝90°，∴∠CN+∠ACB＝90°，∠FBM+∠ACB＝90°，∴∠FBM＝∠CAN＝∠BAN，∵∠H＝∠ACB﹣∠ABH，∴∠H＝∠ABC﹣∠ABH＝∠HBC，∵AG＝GC，∠AGH＝∠CGB，∴△AGH≌△CGB（AAS），∴AH＝BC，∵∠AND＝90°，∠D＝45°，∴∠NAD＝∠D＝45°，∵∠BFA＝∠D+∠FBD，∠BAF＝∠DAN+∠BAN，∴∠BFA＝∠BAF，∴BA＝BF，∵∠ANB＝∠BMF＝90°，∴△ANB≌△BMF（AAS），∴BN＝FM，∵DF＝FM，∴DF ＝BN ， ∴DF ＝2BN ＝BAH ，即AH ＝DF ．5．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，AD 为底边BC 上的高，动点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动到A 点停止，设运动时间为t （s ），连接BP ．（0≤t ≤8）（1）求AD 的长；（2）设△APB 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得S △APB ：S △ABC ＝1：3，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使得点P 在线段AB 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝DC ＝6cm ，在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，AB ＝10cm ，BD ＝6cm ，∴AD ＝＝＝8（cm ）．（2）y ＝S △APB ＝S △ABD ﹣S △PBD ＝×6×8﹣×6×t ＝﹣3t +24．∴y ＝24﹣3t （0≤t ≤8）．（3）∵S△APB ：S△ABC＝1：3，∴（24﹣3t）：×12×8＝1：3，解得t＝．∴满足条件的t的值为．（4）由题意点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，在Rt△PBD中，∵PB2＝PD2+BD2，∴t2＝（8﹣t）2+62，解得t＝．∴满足条件的t的值为．6．如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC下点D，DE⊥AB于点E （1）求证：AE＝3EB；（2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE+PF 的最小值及此时BP的长；（3）在（2）的条件下，连接EF，若AD＝，当PE+PF取最小值时，△PEF的面积是2．（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠BAC＝60°∵AD⊥BC，∴BD＝DC＝4，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝2，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6，∴AE＝3BE．（2）解：如图2中，延长DF到H，使得DH＝DF，连接EF，连接EH交BC于点P，此时PE+PF的值最小．∵∠AED＝90°，AF＝FD，∴EF＝AF＝DF，∵DF＝DH，∴DE＝DF＝DH，∴∠FEH＝90°，∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝4，∠B＝60°，∴AD＝BD•tan60°＝4，∵∠BAD＝∠BAC＝30°，FE＝FA，∴∠FEA＝∠FAE＝30°，∴∠EFH＝60°，∠H＝30°，∵FH＝AD＝4，∴EH＝FH•cos30°＝6，∴PE+PF的最小值＝PE+PH＝EH＝6，∵PD＝DH•sin30°＝2，∴BP＝BD﹣PD＝2．（3）解：如图2中，∵BE＝BP＝2，∠B＝60°，∴△BPE是等边三角形，∴PE＝2，∵∠PEF＝90°，EF＝AF＝DF＝2，∴S＝•PE•EF＝×2×2＝2．△PEF7．在△ABC中，∠ABC＝60°（1）AB＝AC，PA＝5，PB＝3①如图1，若点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数．②如图2，若点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．（2）如图3，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是2．解：（1）在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，①如图1，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBP′，连接PP′，∴BP＝BP′，∠PBP′＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形；∴PP′＝PB，∠BPP′＝60°，由旋转的性质得，P′C＝PA＝5，∵PP′2+PC2＝32+42＝25＝P′C2，∴△CPP′是直角三角形，∠CPP′＝90°，∴∠BPC＝∠BPP′+∠CPP′＝60°+90°＝150°；②如图2中，以AP为边向上作等边△PAE，作EF⊥BP交BP的延长线于F．∵∠EAP＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠PAC，∵AE＝AP，AB＝AC，∴△EAB≌△PAC（SAS），∴BE＝PC，∵∠APE＝∠APB＝60°，∴∠EPF＝180°﹣60°﹣60°＝120°，∵PE＝PA＝5，∴PF＝PE•cos60°＝，EF＝PE•sin60°＝，∴BF＝BP+PF＝3+＝，∴BE＝＝＝7，∴PC＝PE＝7．（2）如图3中，将△PBF绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝60°，∠PBF＝60°，∵∠ABP＝∠EBF，∴∠EBF+∠BC＝60°，∴∠EBC＝120°，∵PB＝BF，∠PBF＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝CP+PF+EF，根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝EC 的长，在Rt△EBH中，∵∠EBH＝60°，EB＝6，∴BH＝BE•cos60°＝3，EH＝EB•sin60°＝3，∴CH＝BH+CB＝3+8＝11，∴EC＝＝＝2．8．全等三角形是研究图形性质的主要工具，以此为基础，我们又探索出一些轴对称图形的性质与判定．通过寻找或构造轴对称图形，能运用其性质及判定为解题服务．（1）如图①，BE⊥AC，CD⊥AB，BD＝CE，BE与CD相交于点F．①求证：BE＝CD；②连接AF，求证：AF平分∠BAC．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE．请你只用无刻度的直尺画出∠BAC的平分线．（不写画法，保留画图痕迹）．（3）如图③，在△ABC中，仍然有条件“AB＝AC，点D，E分别在AB和AC上”．若∠ADC+∠AEB＝180°，则CD与BE是否仍相等？为什么？（1）①证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BF＝CF，DF＝EF，∴BF+EF＝CF+DF，即BE＝CD；②证明：由①得：DF＝EF，∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴AF平分∠BAC．（2）解：连接BE、CD交于点O，作射线AO交BC于F，如图②所示：AF即为所求；理由如下：∵AB＝AC，∴∠DBC＝∠ECB，在△BDC和△CEB中，，∴△BDC≌△CEB（SAS），∴∠BCD＝∠CBE，∴∠ABO＝∠ACO，OB＝OC，同理：△ABO≌△ACO（SAS），∴∠OAB＝∠OAC，∴AF是∠BAC的平分线；（3）解：CD＝BE，理由如下：分别作CF⊥AB于F，BG⊥AC于G，如图③所示：∴∠CFB＝90°，∠BGC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△FBC和△GCB中，，∴△FBC≌△GCB（AAS）．∴CF＝BG，∵∠ADC+∠AEB＝180°，又∵∠BEG+∠AEB＝180°，∴∠ADC＝∠BEG，在△CFD和△BGE中，，∴△CFD≌△BGE（AAS），∴CD＝BE．9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒lcm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，求出此时t的值；（3）当P在运动过程中，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形．（直接写出结果）（4）若M为AC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M、N使得BM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴由勾股定理得AC＝＝8，连接BP，如图所示：当PA＝PB时，PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即（8﹣t）2+62＝t2，解得：t＝，∴当t＝秒时，PA＝PB；（2）如图1，过P作PE⊥AB，又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴CP＝EP，在Rt△ACP和Rt△AEP中，，∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），∴AC＝AE＝8，∴BE＝2，设CP＝EP＝x，则BP＝6﹣x，在Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2，解得x＝，∴CP＝，∴CA+CP＝8+＝，∴t＝；当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t＝10+8+6＝24；综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为秒或24秒；（3）①如图2，点P在CA上，当CP＝CB＝6时，△BCP为等腰三角形，则t＝8﹣6＝2；②如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，∴t＝20；③如图4，若点P在AB上，当CP＝CB＝6时，△BCP为等腰三角形；作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD＝＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝＝3.6，∴PB＝2BD＝7.2，∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，此时t＝21.2；④如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝5，∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，∴t＝19；综上所述，t为2s或20s或21.2s或19s时，△BCP为等腰三角形．（4）存在M、N使得BM+MN的值最小，理由如下：作点B关于AC的对称点B'，过B'作AB的垂线交AC于M，交AB于N，连接BM，如图6所示：则B'C＝BC＝6，B'M＝BM，∠B'NB＝90°，BM+MN＝B'M+MN＝B'N，∴BB'＝2BC＝12，∵∠ACB＝∠B'NB＝90°，∠B'BN＝∠ABC，∴△B'BN∽△ABC，∴＝＝＝，∴B'N＝AC＝×8＝9.6，综上所述，存在M、N使得BM+MN的值最小，BM+MN的最小值为9.6．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠ANH＝∠AEH，∴AN＝AC，∴NH＝CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN＝DC，∴∠DNH＝∠DCH，∴∠AND＝∠ACB，∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN，∴BN＝DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，∴∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，∴∠CGE＝∠AEN，∴CG＝CE，∵M是BC中点，∴BM＝CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN＝CG，∴BN＝CE，∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝CE﹣BN．11．在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于A（0，a），交x轴于B（b，0），且a，b满足（a﹣b）2+|3a+5b﹣88|＝0．（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，已知点D（2，5），求点D关于直线AB对称的点C的坐标．（3）如图2，若P是∠OBA的角平分线上的一点，∠APO＝67.5°，求的值．解：（1）由题意得解得∴A（0，11），B（11，0）（2）如图一，延长FD交AB于点E，连结CE因为OB＝OA＝11所以三角形OAB是等腰直角三角形易得△DEC，△AFE都是等腰直角三角形所以FE＝AF＝OA﹣OF＝11﹣5＝6∴CE＝DE＝EF﹣FD＝6﹣2＝4所以C的横坐标为6．，纵坐标为5+4＝9故C的坐标为（6，9）（3）如上图，作PM垂直AB于点M，作PM垂直OB于点L，在L的左侧取一点N，使得NL＝AM ∵PB是∠ABO的平分线所以PM＝PL∴△AMP≌△NLP∴∠NLP＝∠APM∴∠APN＝∠MPL∵∠ABO＝45°∴∠MPL＝135°∴∠APN＝135°又∠APO＝67.5°∴∠NPO＝∠APO＝67.5°∵PN＝PA，PO＝PO∴△OPN≌OPA∴∠PON＝∠POA＝45°，NO＝AO＝11设NL＝a，则MA＝a，∴BL＝BM＝a+11∵BL＝22﹣a∴22﹣a＝a+11∴a＝11﹣∴LO＝11﹣（11﹣）＝∴PO＝LO＝11所以＝312．以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，AB ＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC＝90°时，求AM与DE的数量和位置关系．（2）如图2，当△ABC为一般三角形时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．（3）如图3，若以△ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他条件不变（1）中的结论是否依然成立，并说明理由．解：（1）AM＝DE，AM⊥DE，理由如下：延长MA交DE于F，如图1所示：∵∠BAC＝90°，M是BC中点，∴AM＝BC，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∠BAC＝90°，∴∠EAD＝90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴DE＝BC，∠ABC＝∠AED，∴AM＝DE，∵∠BAE＝90°，∴∠BAM+∠EAF＝90°，∴∠AED+∠EAF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AM⊥DE；（2）（1）中的结论成立，AM＝DE，AM⊥DE，理由如下：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN、CN，延长MA交DE于F，如图2所示：∵M是BC中点，∴BM＝CM，∴四边形ABNC是平行四边形，∴BN＝AC＝AD，BN∥AC，∴∠NBA+∠BAC＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠DAE+∠BAC＝180°，∴∠NBA＝∠DAE，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴AN＝DE＝2AM，∠BAN＝∠AED，∴AM＝DE，∵∠BAE＝90°，∴∠BAN+∠EAF＝90°，∴∠AED+∠EAF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AM⊥DE；（3）（1）中的结论成立，理由如下：由（1）的结论，当∠BAC＝90°，可得AM＝DE，AM⊥DE，当∠BAC≠90°时，延长CA到F，使AF＝AC，连接BF，延长AM交DE于G，如图3所示：则AF＝AX＝AD，∵M是BC中点，∴AM是△BCF的中位线，∴AM＝BF，AM∥BF，∴∠MAC＝∠F，∵∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠BAF＝∠EAD，在△ABF和△AED中，，∴△ABF≌△AED（SAS），∴BF＝DE，∠F＝∠ADE，∴AM＝DE，∴∠BAC＝∠ADE，∵∠MAC+∠DAM＝∠DAC＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AGD＝90°，∴AM⊥DE；综上所述，（1）中的结论成立．13．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4）（1）如图1，若点B的坐标为（3，0），△ABC是等腰直角三角形，BA＝BC，∠ABC＝90°，求C点坐标．（2）如图2，若点E是AB的中点，求证：AB＝2OE；（3）如图3，△ABC是等腰直角三角形，BA＝BC，∠ABC＝90°，△ACD是等边三角形，连接OD，若∠AOD＝30°，求B点坐标．（1）解：过点C作CD⊥x轴于D，如图1所示：∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∵CD⊥x轴，∴∠BDC＝90°＝∠AOB，在△BDC和△AOB中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴OA＝DB，OB＝DC，∵点A（0，4），点B（3，0），∴DB＝4，DC＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C点坐标为（7，3）；（2）证明：延长OE至F点，使得EO＝EF，连接FB，如图2所示：∵点E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AOE和△BFE中，，∴△AOE≌△BFE（SAS），∴OA＝FB，∠AOE＝∠F，∴OA∥BF，∴∠AOB+∠FBO＝180°，∵∠AOB＝90°，∴∠FBO＝90°，∴∠AOB＝∠FBO，在△AOB和△FBO中，，∴△AOB≌△FBO（SAS），∴AB＝OF，∵EA＝EB，EO＝EF，∴OE＝AE＝EB，∴AB＝2OE；（3）解：过点D作DM⊥y轴于M，CN⊥OD于N，CH⊥y轴于H，CG⊥x轴于G，如图3所示：则四边形OHCG是矩形，∴OH＝CG，∵∠AOD＝30°，∴∠ODM＝90°﹣30°＝60°，OD＝2DM，∵△ADC为等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∠ADC＝60°，∵∠ADM+∠ADO＝60°，∠CDN+∠ADO＝60°，∴∠ADM＝∠CDN，在△DMA和△DNC中，，∴△DMA≌△DNC（AAS），∴DM＝DN，∴OD＝2MD＝2DN，∴DN＝ON，∴CD＝CO＝AC，∴HA＝HO＝CG＝2，由（1）得CG＝OB∴OB＝2，∴B点坐标为（2，0）．14．已知，△ABC，AD⊥BD于点D，AE⊥CE于点E，连接DE．（1）如图1，若BD，CE分别为△ABC的外角平分线，求证：DE＝（AB+BC+AC）；（2）如图2，若BD，CE分别为△ABC的内角平分线，（1）中的结论成立吗？若成立请说明理由；若不成立，请猜想出新的结论并证明；（3）如图3，若BD，CE分别为△ABC的一个内角和一个外角的平分线，AB＝8，BC＝10，AC＝7，请直接写出DE的长为 4.5 ．（1）证明：如图1，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK+BC+CH＝AB+BC+AC，∴DE＝（AB+AC+BC）；（2）解：结论不成立．DE＝（AB+AC﹣BC）．理由：如图2，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK﹣BH＝AB+AC﹣BC，∴DE＝（AB+AC﹣BC）；（3）解：分别延长AE、AD交BC或延长线于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝KH又∵KH＝BC﹣BK+HC＝BC+AC﹣AB．∴DE＝（BC+AC﹣AB），∵AB＝8，BC＝10，AC＝7，∴DE＝（10+7﹣8）＝4.5，故答案为4.5．15．在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，0）、B（0，），a、b满足：a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，且AB＝AC．（1）判断△ABC的形状并证明；（2）如图1，点D为BA延长线上一点，AD＝AB，E为x轴负半轴上一点，F为DE上一点，连接CF交AD于点G，∠EFC＝120°，求的值；（3）如图2，R（3a，0）点P为线段BR上一动点，以AP为边作等腰△APQ，PA＝PQ，且∠APQ＝∠RAB，连接AQ．当点P运动时，△ABQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．解：（1）结论：△ABC是等边三角形．理由：∵a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，∴（a+b）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+b）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a＝﹣2，b＝2，∴A（﹣2，0），C（2，0），∴OA＝OC，∵BO⊥AC，∴BA＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．（2）如图1中，作BH∥DE交x轴于H．∵∠DEA＝∠BHA，∠DAE＝∠BAH，AD＝AB，∴△DAE≌△BAH（AAS），∴AE＝AH，∵∠D+∠DGF＝∠EFH＝120°，∠D+∠DEA＝∠DAC＝120°，∴∠DEA＝∠DGF＝∠AGH，∴∠AGH＝∠BHC，∵∠GAH＝∠BCH＝120°，AH＝BC，∴△AHG≌△CBH（AAS），∴AG＝CH，∴＝＝＝2．＝4．（3）结论：△ABQ的面积不变，S△ABQ理由：如图2中，在x轴的正半轴上取一点M，使得PR＝PM，连接PM，QR．由题意R（﹣6，0），A（﹣2，0），B（0，﹣2），∴OR＝6，OB＝2，∴tan∠PQM＝，tan∠OAB＝∴∠PRM＝∠PMR＝30°，∠OAB＝60°，∴∠RPM＝120°，∵∠RPM＝∠APQ＝120°，∴∠APM＝∠RPQ，∵PR＝PM，PQ＝PQ，∴△PRQ≌△PMA（SAS），∴∠PRQ＝∠AMP＝30°，∴∠ARQ＝60°＝∠OAB，∴AB∥QR，∴S△ABQ ＝S△ABR＝×4×2＝4．16．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．（1）填空：m＝ 4 ，n＝ 4 ；（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D 的坐标；（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：①△ACE为等腰直角三角形；②BF﹣EF＝OC．解：（1）∵（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，∴m＝n＝4，故答案为：4，4；（2）如图1，过点C作CH⊥OA，CG⊥OB，∵点A（0，4）和点B（4，0），∴OA＝OB＝4，＝×4×4＝8，∴S△ABO∵△AOC的面积为2，∴AO×CH＝×4×CH＝2，S＝6＝×OB×CG＝×4×CG，△BOC∴CH＝1，CG＝3，∴点C（1，3），∵DC＝OC，∴点D（2，6）（3）①∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵BE平分∠ABO，∴∠EBO＝∠EBC，且BE＝BE，OB＝OC，∴△OBE≌△CBE（SAS）∴∠EOB＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝90°，且∠OAB＝45°，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴AC＝CE，且∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；②如图2，作OM平分∠AOB，交BE于点M，∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝∠BOM＝45°，∴∠AOM＝∠BOM＝∠OAB＝∠OBA，∵OB＝OC，BE平分∠ABO，∠ABO＝45°，∴∠OBE＝22.5°，BE⊥OC，∠COB＝∠OCB＝67.5°，∴∠AOC＝22.5°＝∠COM，∴∠AOC＝∠BOM，且OB＝OA，∠OAB＝∠OBM，∴△ACO≌△OMB（ASA）∴BM＝OC，∵∠EFO＝∠MFO＝90°，OF＝OF，∠AOC＝∠COM，∴△EFO≌△MFO（ASA）∴EF＝FM，∴BF﹣EF＝BF﹣FM＝BM＝OC．17．【问题发现】（1）如图①，数学课外资料《全品》P4页有一道题条件为：“D是等边三角形ABC的边BC上的一动点，以AD为边在AB上方作等边△ADE，若AB＝10，AD＝8……”，小明认为AD有最小值，条件AD＝8是错误的，他的想法得到了王老师的肯定，那么AD的最小值是5．王老师又让小明研究了以下两个问题：【问题探究】（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在AB上，且AD ＝1，以CD为直角边向右作等腰直角△DCE，连接BE，求△BDE的周长；【问题解决】（3）如图③，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，试求△BDE面积的最大值．【问题发现】解：（1）当AD⊥BC时，AD的值最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC＝AB＝10，BD＝BC＝5，∴AD＝＝＝5，故答案为：5；【问题探究】解：（2）作CM⊥AB于M，如图②所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠ABC＝45°，AB＝AC＝4，CM＝AB＝AM＝BM＝2，∴DM＝AM﹣AD＝1，∴BD＝BM+DM＝3，CD＝＝＝，∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，DE＝CD＝，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE＝1，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝3+1+＝4+；【问题解决】解：（3）作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图③所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM＝BM，设BM＝x，则AM＝CM＝x，∴AB＝x+x＝3+，解得：x＝，∴BM＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y+﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE＝（y+﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y）×（y+﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．18．等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，F为AB上的一点，连接CF，过点B作BH⊥CF交CF于G，交AC于H．（1）如图1，延长BH到点E，连接AE，当∠EAB＝90°，AE＝3，求BF的长；（2）如图2，若F为AB的中点，连接FH，求证：BH+FH＝CF；（3）如图3，在AB上取点K，使AK＝BF，连接HK并延长与CF的延长线交于点P，若G 为CP的中点，PG＝2．求AH+BH的值（直接写出答案）解：（1）∵BH⊥CF，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CFB＝∠CFB+∠BCF＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE＝3．（2）证明：如图2中，过点A作AD⊥AB交BH的延长线于点D．∴∠BAD＝∠CBF＝90°，∴∠D+∠ABD＝∠CFB+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCF，在△ABD与△BCF中，，∴Rt△BAD≌Rt△CBF（AAS），∴AD＝BF，BD＝CF．∵F为AB的中点，∴AF＝BF，∴AD＝AF，在△ADH与△AFH中，，∴△AHD≌△AHF（SAS），∴DH＝FH．∵BD＝BH+DH＝BH+FH，∴BH+FH＝CF；（3）如图3中，过A作AM⊥AB，交BH延长线于M，由（2）证得△MAB≌△FBC，∴AM＝BF＝AK，∠AMB＝∠CFB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∵∠MAB＝90°，∴∠MAH＝45°，∴∠MAH＝∠CAB，在△MAH与△KAH中，，∴△MAH≌△KAH（SAS），∴∠AMB＝∠AKH，∴∠AKH＝∠CFB，∵∠AKH＝∠PKF，∠CFB＝∠PFK，∴∠PKF＝∠PFK，∵FC⊥BH，G是PC中点，∴CH＝PH，∴∠AHK＝2∠P，在△PFK中，∠PKF＝＝90°﹣∠P，则90°﹣∠P+45°+2∠P＝180°，解得∠P＝30°，在CH上取一点R，使RH＝BH，连接BR，∴∠RHB＝＝60°，∴△RHB是等边三角形，∴BH＝BR＝RH，∵∠CAB＝∠ACB＝45°，∠AHB＝180°﹣60°＝120°，∠BRC＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABH＝∠RBC，在△ABH与△CBR中，，∴△ABH≌△CBR（ASA），∴AH＝CR，∵cos30°＝，∴CH＝＝CG＝PG，∴RH+RC＝BH+AH＝PG＝，∴BH+AH＝．19．如图（1），AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2m/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t （s）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，判断线段PC与PQ满足的关系，并说明理由．（2）如图（2），将图（1）中的AC⊥AB，BD⊥AB为改“∠CAB＝∠DBA＝a°”，其它条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ACP≌△BPQ，∵AC⊥AB，BD⊥AB∴∠A＝∠B＝90°∵AP＝BQ＝2∴BP＝6∴BP＝AC，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ，∴∠C＝∠QPB，∵∠APC+∠C＝90°，∴∠APC+∠QPB＝90°，∴PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：6＝8﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：6＝xt，2t＝8﹣2t解得：x＝3，t＝2．20．已知△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD 的度数为120°或75°或30°或15°．（2）如图2，点D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于G，GH⊥AC 于H，当点D在BC边上移动时，请判断线段AH，AC，CD之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点D在BC延长线上，连接AD，E为AD上一点，AE＝AC，连接BE交AC于F，若AF＝2ED＝3，则线段CF的长为．解：（1）如图1中，当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．当AP＝AD时，可得∠AP1D＝15°，∠AP3D＝75°．当PA＝PD时，可得∠AP2D＝120°．当DA＝DP时，可得∠AP4D＝30°，综上所述，满足条件的∠APD的值为120°或75°或30°或15°．故答案为120°或75°或30°或15°．（2）结论：AC+CD＝2AH．理由：如图2中，连接AG，作GN⊥CM于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BQ＝BD，∴△BDQ是等边三角形，AQ＝DC，∴∠BQD＝60°，∴∠AQD＝120°，∵CG是∠ACB的外角平分线，∴∠ACG＝60°，∠DCG＝120°，∵∠ADG＝60°，∴∠ADB+∠GDC＝120°，∵∠QAD+∠ADB＝120°，∴∠QAD＝∠CDG，∴△AQD≌△DCG（ASA），∴AD＝DG，∵∠ADG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AG＝DG，∵GH⊥C，GN⊥CM，CG平分∠ACM，∴GH＝GN，∠GHC＝∠GNC＝90°，∵CG＝CG，∴Rt△CGH≌Rt△CGN（HL），Rt△AGH≌Rt△DGN，∴CH＝CN，AH＝DN，∴AC+CD＝AH+CH+DN﹣CN＝2AH．（3）如图3中，在BC上截取BG＝CF，则CG＝AF＝3，过点D作QH∥AB，分别交AC，BE 的延长线于Q，H．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵QH∥AB，∴∠ABE＝∠H，∵∠AEB＝∠DEH，∴∠H＝∠DEH，∴DE＝DH＝1.5，设AB＝BC＝AC＝m，∵△ABG≌△BCF（SAS），∴∠BAG＝∠CBF，设∠BAG＝∠CBF＝x，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝60°﹣x，∴∠BAE＝180°﹣2（60°﹣x）＝60°+2x，∴∠DAG＝∠DGA＝60°+x，∴DA＝DG＝m+1.5，∴CD＝m﹣1.5＝CQ＝DQ，∴QH＝QD+DH＝m，∴QH＝AB，∵∠AFB＝∠QFH，∠BAF＝∠Q，∴△ABF≌△QHF（AAS），∴AF＝FQ，∴3＝m﹣2+m﹣1，5，∴m＝，∴CF＝．故答案为．。
数学人教版九年级下册相似三角形与全等三角形的综合
《相似三角形与全等三角形的综合》教学设计
原创：左自金
．定义
________斜边和一条直角边对应成比例，两
图（1）图（2）
为了测量某棵树的高度，小明用长为2 m
15 m，则树的高度为
图（2）
，AC 是⊙O 的直径，
2、问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.
甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．
可采用等式
如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都ED的延长线交AB于点F.
ACB∽△DCE；(2)EF⊥AB.。
2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合(含答案)
2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合1．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．2．如图，已知CD是△ABC的高，AD＝1，BD＝4，CD＝2．直角∠AEF的顶点E是射线CB上一动点，AE交直线CD于点G，EF所在直线交直线AB于点F．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若G为AE的中点，求tan∠EAF的值；（3）在点E的运动过程中，若，求的值．3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，m），B（﹣m，0），C（n，0），AC＝5且∠OBA＝∠OAB，其中m，n满足．（1）求点A，C的坐标；（2）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接BP、CP，用含有t的式子表示△BPC的面积为S（直接写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使得S△PAB ＝S△POC，若存在，请求出t的值，并直接写出BP中点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．一副三角板直角顶点重合于点B ，∠A ＝∠C ＝45°，∠D ＝60°，∠E ＝30°． （1）如图（1），若∠AFE ＝75°，求证：AB ∥DE ；（2）如图（2），若∠AFE ＝α，∠BGD ＝β，则α+β＝ 度．（3）如图（3），在（1）的条件下，DE 与AC 相交于点H ，连接CE ，BH ，若DG ＝2CG ＝2GH ，BC ＝10，S △CEH ＝S △BEH ，求△BDH 的面积．5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，PC＝PA，设∠APB＝α，∠BPC＝β．（1）如图1，当点P在△ABC内，①若β＝153°，求α的度数；小明同学通过分析已知条件发现：△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且PC＝PA，从而容易联想到构造一个顶角为120°的等腰三角形．于是，他过点A作∠DAP＝120°，且AD＝AP，连接DP，DB，发现两个不同的三角形全等：≌再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出α的度数．请利用小王同学分析的思路，通过计算求得α的度数为；②小王在①的基础上进一步进行探索，发现α、β之间存在一种特殊的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明．（2）如图2，点P在△ABC外，那么a、β之间的数量关系是否改变？若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由．6．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB 于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上7．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连结BE（1）求证：AD＝BE．（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于E．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，BN＝a，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．8．已知，点A（t，1）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x 轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．（1）如图1，若OB＝1，OC＝，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；（2）如图2，当t＝1，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值；（3）如图3，点H（m，n）是AB上一点，∠A＝∠OHA＝90°，若OB＝OC，求m+n的值．9．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，点C为线段AB上一点，连接OC．（1）直接写出a＝，b＝；（2）如图1，P为OC上一点，连接PA，PB，若PA＝BO，∠BPC＝30°，求点P的纵坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点M是AB上一动点，以OM为边在OM的右侧作等边△OMN，连接CN．若OC＝t，求ON+CN的最小值（结果用含t的式子表示）10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC，且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ，过点Q作QM ⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．11．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，以AB为斜边向上作等腰直角△ABC，BC交y轴于点D，C（﹣2，4）．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，动点E从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正半轴运动，设运动时间为t秒，连接CE，设△ECD的面积为S，请用含t的式子来表示S；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E在OD的延长线上时，点F在直线CE的下方，且CF⊥CE，CF＝CE．连接AD，取AD的中点M，连接FM并延长交AO于点N，连接FO，当S△NFO ＝10S△AMN时，求S的值．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A（﹣2，0），点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°（1）求点B的坐标；（2）点P为AC延长线上一点，过P作PQ∥x轴交BC的延长线于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d；（3）在（2）的条件下，点E是线段CQ上一点，连接OE、BP，若OE＝PB，∠APB﹣∠OEB ＝30°，求PQ的长．13．在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．（1）若m，n满足．①直接写出m＝，n＝；②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．14．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别为x、y轴正半轴上一点，其中a、b满足：b﹣8＝+，C为AB的中点．（1）求A、B两点坐标；（2）E为OB上一点，连CE交x轴于D，若BE＝AD，如图1，求D点坐标；（3）F为x轴上的点，连FC，在（2）的条件下，若∠ACF＝45°，求F点坐标．15．如图所示，M为等腰三角形ABD的底边AB的中点，过D作DC∥AB，连接BC，AB＝6cm，DM＝3cm，DC＝3﹣cm．动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S．（1）当点P在线段AM上运动时，PM＝．（用t的代数式表示）（2）求BC的长度；（3）当点P在MB上运动时，求S与t之间的函数关系式．16．如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．17．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE与CD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．”…老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD ＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”（1）求证：∠ABE＝∠DBC；（2）求证：线段BC平分∠ACD；（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．18．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．19．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．20．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．参考答案1．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∵∠DBA＝∠CAB，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵AD＝1，CD＝2，BD＝4，∴CD2＝AD•BD，∴＝，∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD＝∠B，∵∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）如图1中，作EH⊥AB于H．∵AD⊥AB，EH⊥AB，∴DG∥HE，∵AG＝GE，∵AD＝DH＝1，∵DB＝4，∴BH＝DB﹣DH＝3，∵EH∥CD，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴tan∠EAF＝＝＝．（3）如图2中，作EH⊥AB于H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∴＝＝＝，∵CD＝2，BD＝4，∴EH＝，BH＝，∴AH＝AB﹣BH＝5﹣＝，DH＝AH﹣AD＝，在Rt△AEH中，AE＝＝＝，∵DG∥EH，∴＝，∴＝，∴EG＝，∵AE⊥EF，EH⊥AF，∴△AEH∽△EFH，∴＝，∴＝，∴EF＝∴＝＝．3．解：（1）由，解得，∴A（0，4），C（3，0）．（2）如图1中，当0＜t＜4时，S＝•BC•OP＝×5×（4﹣t）＝﹣t+10．如图2中，当t＞4时，S＝•BC•OP＝×5×（t﹣4）＝t﹣10．综上所述，S＝．（3）当0＜t＜4时，由题意，×t×4＝××（4﹣t）×3，解得t＝．此时，OP＝4﹣＝，∴P（0，），∵B（﹣4，0），∴BQ的中点Q的坐标为（﹣2，）当t＞4时，由题意，×t×4＝××（t﹣4）×3，解得t＝36，此时OP＝36﹣4＝32，∴P（0，﹣32），∵B（﹣4，0），∴BP的中点Q的坐标为（﹣2，﹣16）．综上所述，满足条件的t的值为或36．点Q的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣16）．4．（1）证明：如图（1），∵∠AFE＝75°，∠A＝45°，∴∠ABE＝75°﹣45°＝30°，∵∠E＝30°，∴∠E＝∠ABE，∴AB∥DE；（2）解：如图（2），△ABF中，∠AFE＝∠A+∠ABE＝α①，△BGE中，∠BGD＝∠E+∠CBF＝β②，①+②得：α+β＝∠A+∠E+∠CBF+∠ABE＝45°+30°+90°＝165°；故答案为：165；（3）解：∵DE∥AB，∴∠CGH＝∠ABC＝90°，∵S△CEH ＝S△BEH，∴，∴CG＝BG，∵BC＝10，∴CG＝2，BG＝8，∵DG＝2CG＝2GH，∴DG＝4，GH＝2，∴△BDH的面积＝＝＝24．5．解：（1）①如图1，过点A作AH⊥DP于H，∵∠DAP＝∠BAC＝120°，∴∠DAB＝∠PAC，且AD＝AP，AB＝AC，∴△ADB≌△APC（SAS）∴BD＝PC＝PA，∠ADB＝∠APC，∵∠DAP＝120°，AD＝AP，AH⊥DP，∴∠ADP＝∠APD＝30°，DH＝PH，∴AP＝2AH，HP＝AH，∴DP＝AP，∴DB＝DP，∴∠DBP＝∠DPB＝∠APB﹣∠APD＝α﹣30°，∴∠BDP＝180°﹣2（α﹣30°）＝240°﹣2α，∴∠ADB＝∠BDP+∠ADP＝270°﹣2α＝∠APC，∵∠APB+∠APC+∠BPC＝360°，∴270°﹣2α+α+β＝360°，∴β﹣α＝90°，当β＝153°时，α＝63°，故答案为：△ADB，△APC，63°；②β﹣α＝90°，理由如上；（2）α+β＝90°，理由如下：如图2，作∠PAN＝120°，且PA＝NA，连接PN，BN，∵∠PAN＝∠BAC＝120°，∴∠BAN＝∠PAC，且AB＝AC，AP＝AN，∴△ABN≌△ACP（SAS）∴∠BNA＝∠APC，PC＝BN＝AP，∵∠PAN＝120°，PA＝NA，∴∠APN＝∠ANP＝30°，∴PN＝AP＝BN，∴∠BPN＝∠PBN＝α+30°，∵∠BPN+∠PBN+∠BNP＝180°，∴2（α+30°）+β﹣α+30°＝180°，∴α+β＝90°．6．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．7．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：由（1）得：△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，∵∠AHC＝∠BHE，∴∠AEB＝∠ACH＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CM⊥DE，∴CM＝DM＝ME＝7，∴DE＝2CM＝14，∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝26；（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM．在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2×＝2b．∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝＝a．∵AD＝BE，AE＝AD+DE，∴AE＝BE+DE＝a+2b．8．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，如图1所示：∵点A（t，1），∴AD＝1，OD＝t，∵A，B，C在同一条直线上，∴∠OCB＝∠DCA，∵tan∠OCB＝＝＝，∴tan∠OCB＝tan∠DCA＝＝，即＝，解得：CD＝，∴t＝OD＝OC+CD＝+＝3；（2）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，如图2所示：则∠ADB＝∠ANB＝90°，∵t＝1，∴点A（1，1），∴AD＝AM＝OM＝1，∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，∴∠ACO＝∠ACN，∵AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，∴AN＝AM＝AD＝1，在Rt△ABD和Rt△ABN中，，∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），∴BN＝BD＝OB+1，同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝1+CM，∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+1+CM﹣OB＝OB+1﹣CN+1+CM﹣OB＝2；（3）作HG⊥OC于G，如图3所示：∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OCB＝45°，∵∠OHA＝90°，∴OH⊥AB，∴△OCH是等腰直角三角形，∵HG⊥OC，∴△OGH是等腰直角三角形，∴OG＝GH，即m＝﹣n，∴m+n＝0．9．解：（1）∵a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝b．b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，故答案为4，4．（2）如图1中，分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，E．∵∠BEO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠BOE+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵BO＝AO，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴OD＝BE，∵∠BPC＝30°，∴PB＝2BE＝2OD，∵AP＝BO＝AO，AD⊥OP，∴OD＝DP，∴PB＝PO，过P作PF⊥OB，∴OF＝OB＝2，即点P的纵坐标的为2．（3）如图2中，以OA为边在x轴下方作等边△OAG，连接GN．∵∠MON＝∠AOG＝60°，∴∠MOA＝∠NOG，∵OM＝ON，OA＝OG，∴△OMA≌△ONG（SAS），∴∠OGN＝∠OAM＝45°，即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动，作OH⊥OC交CA的延长线于H，连接NH．GH．由（2）可知∠ACO＝60°，在四边形ACOG中，∠COG＝360°﹣60°﹣60°﹣45°﹣60°＝135°，∴OC∥NG，∵OC⊥OH，∴OH⊥NG，∵∠OHC＝30°＝∠AGO，∴点G在以G为圆心GO为半径的⊙G上，∴GO＝GA，∴NH垂直平分线段OH，∴O，H关于GN对称，∴ON+NC＝NH+NC≥CH，∵CH＝2OC＝2t，∴ON+NC≥2t，∴ON+CN的最小值为2t．10．解：（1）如图1中，在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，∴AB＝＝＝20，∵PQ∥AC，∴∠A＝∠QPM，∵∠C＝∠PMQ＝90°，∴△ACB∽△PMQ，∴＝＝，∴＝＝，∴PM＝4t，MQ＝3t，当0＜t≤时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．当＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．（2）如图2中，当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当点Q落在BC边上时t的值为s．（3）如图3﹣1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．如图3﹣2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝•PK•BK＝×（20﹣5t）•（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．（4）如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，∴△QGK≌△QGM（AAS），∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，∴PG＝PK＝t，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，∴t＝．如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．∵•AC•BC＝•AB•CG，∴CG＝＝＝，AG＝＝＝，∵∠CMG＝∠GCM＝45°，∴CG＝GM＝，∴AM＝9t＝+，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵C（﹣2，4），∴CH＝4，OH＝2，∵AC﹣BC，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝BH＝4，∴OB＝OH＝2，∵OD∥CH，∴CD＝DB，∴OD＝CH＝2，∴D（0，2），B（2，0）．（2）由（1）可知D（0，2），所以当0≤t＜2时，当t＞2时，，综上所述，S＝．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD，AF．FO．∵C（﹣2，4），△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝8，由（1）知B（2，0），∴OB＝2，OA＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AOH＝90°，∴∠CHE＝∠CAB＝45°，∴OH＝OA＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵∠CHE＝45°，∴∠CDH＝∠CHE＝45°，∴CH＝CD，∵CF⊥CE，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCE+∠ECD＝90°，∴∠HCE＝∠DCF，又∵CF＝CE，∴△HCE≌△DCF（SAS），∴HE＝FD＝6﹣t，∠CDF＝∠CHE＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠CDF＝∠CBA，∴FD∥AB，∴∠FDM＝∠NAM，∵M是AD中点，∴DM＝AM，又∵∠FMD＝∠NMA，∴△DMF≌AMN（ASA），∴AN＝FD＝6﹣t，∵DM＝AM，∴S△DMF ＝S△AMF∵△DMF≌△AMN，∴S△DMF ＝S△AMN，∴S△NFA ＝2S△AMN∵S△NFO ＝10S△AMN∴S△NFO ＝5S△NFA，∴5AN＝ON，∵OA＝6，∴AN＝1，∴AN＝6﹣t＝1，∴t＝5，∴S＝t﹣2＝5﹣2＝3．12．解：（1）在Rt△AOC中，A（﹣2，0），∠A＝60°，∴OA＝2，∠ACO＝∠ABC＝30°∴AC＝2OA＝4，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝8，即OB＝AB﹣OA＝8﹣2＝6，则B（6，0）；（2）如图1所示，在Rt△MCP中，MP＝t，∠MCP＝30°，∴CP＝2MP＝2t，在Rt△CQP中，∠CQP＝30°，CP＝2t，∴PQ＝4t，即d＝4t；（3）如图2所示，过P作PM∥y轴，交BC于M，∴∠APM＝∠DCP＝∠ACO＝30°，∵∠APB﹣∠OEB＝30°，∴∠APB﹣30°＝∠OEB＝∠BPM，∵∠BMP＝180°﹣60°＝120°＝∠OCE，∵OE＝PB，∴△OCE≌△BMP（AAS），∴OC＝BM＝2，∵BC＝4，∴CM＝4﹣2＝2，Rt△PCM中，∠CPM＝30°，CP＝2t，∴PM＝4，∴PC2+CM2＝PM2，∴，4t2+12＝48，t＝3或﹣3（舍），∴PQ＝4t＝12．13．解：（1）①由，解得，故答案为4，4．②如图1中，∵A（0，4），C（4，0），∴OA＝OC＝4，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC＝OC，∠ACO＝45°，∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝CD，∠DCB＝45°，∴∠OCD＝∠ACB，＝＝，∴∠OCD∽△ACB，∴∠BAC＝∠DOC＝90°，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∴AE＝AC，∵AO⊥EC，∴EO＝OC＝AO＝4，＝•EC•AO＝×8×4＝16．∴S△ACE（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．∵PC∥OA，∴∠P＝∠ADH，∠DCP＝∠ODC，∵∠ADH＝∠ODC，∴∠P＝∠PCD，∴DP＝DC，∴△DPC是等腰三角形，∵∠DKC＝∠KCO＝∠DOC＝90°，∴四边形ODKC是矩形，∴OD＝CK，∵DK⊥PC，∴PK＝CK＝OD，设OD＝x，则PK＝CK＝x，PC＝2x，∵OA＝OC，AD＝11，OG＝8，∴CG＝OC﹣OG＝x+3，∵GH⊥DC，∴∠CFG＝∠COD＝90°，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠CGF+∠FCG＝90°，∴∠ODC＝∠CGF，∴∠CGH＝∠P，∵CH＝CH，∠HCG＝∠HCP＝45°，∴△HCG≌△HCP（AAS），∴CG＝CP，∴x+3＝2x，∴x＝3，∴D（0，3）14．解：（1）根据题意得：，解得：a＝4，∴b＝8，∴A（4，0），B（0，8）；（2）∵C为AB的中点，∴C（2，4），设OE＝b，∵BE＝AD，∴AD＝8﹣b，∵OA＝4，∴OD＝4﹣b，设直线CD的解析式为：y＝kx+b，把C（2，4）代入得：2k+b＝4，∴k＝，∴直线CD的解析式为：y＝x+b，∵D（b﹣4，0），则﹣+b＝0，解得：b＝2或8（舍），∴D（﹣2，0）；（3）由（2）知：直线CD的解析式为：y＝x+2分两种情况：①当F在点A的左侧时，如图2，过F作FG⊥AB于G，∵∠BAO＝∠FAG，∴tan∠BAO＝tan∠FAG＝＝＝2，设AG＝x，则FG＝2x，∵∠ACF＝45°，∠CGF＝90°，∴CG＝FG＝2x，∵AC＝AB＝＝2，∴AG＝2﹣2x＝x，x＝，∴AF＝x＝，∴OF＝4﹣＝，∴F（，0）；②当点F在点A的右侧时，如图3，过C作CP⊥CF，交x轴于点P，CH⊥x轴于H，过A 作AG⊥CF于G，∵∠ACF＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴CG＝AG＝，由（2）知：AP＝，∵AH＝2，∴PH＝﹣2＝，∵CH＝OB＝4，∴PC＝＝，∵AG∥PC，∴，即＝，∴AF＝10，∴F（14，0），综上，点F的坐标为（，0）或（14，0）．15．解：（1）如图1中，PM＝3﹣t．故答案为3﹣t．（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图2，∵DA＝DB，AM＝BM，∴DM⊥AB．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠DMB＝90°．∴CE∥DM．∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，∴四边形DCEM是矩形．∴CE＝DM＝3，ME＝DC＝．∵AM＝BM，AB＝6，∴AM＝BM＝3．∴BE＝BM﹣ME＝．∵∠CEB＝90°，CE＝3，BE＝，∴CB＝＝＝2．（3）①当3＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，∵QF⊥AB，CE⊥AB，∴∠QFB＝∠CEB＝90°．∴QF∥CE．∵BQ＝t，∴QF＝∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）•＝；②当＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4，此时QF＝DM＝3．∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）×3＝．综上所述：当3＜t≤时，S＝；当＜t≤时，S＝．16．解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，∴CD＝4t．∴AD＝＝＝5t，当点C在点B右侧时，CB＝3t﹣5，∴CF＝CB．∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．（2）当0＜t＜时，S＝•（5﹣3t）•4t＝﹣6t2+10t．当t＞时，S＝•（3t﹣5）•4t＝6t2﹣10t．（3）①如图1中，当DF＝AD时，△ADF是轴对称图形．则有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，②如图2中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．③如图3中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为或或．17．（1）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBD，∴∠ABE＝∠CBD．（2）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BD，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∴∠ACB＝∠BCD＝60°，∴CB平分∠ACD．（3）解：结论：EC+BE＝BC．理由：∵DA＝DF，∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到△DMA，连接AM．∵DA＝DF，BD＝BF，∴∠DAF＝∠F＝∠BDF，∵∠BCD＝∠ABC＝60°，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠DAF，∵∠MDA＝∠BDF＝∠F＝∠DAB，∴∠MDA＝∠CDA，∴D，C，M共线，∵∠AMD＝∠DBF＝∠CDB，∠ACM＝∠BCD＝60°，AM＝DM＝BD＝BF，∴△AMC≌△BDC（AAS），∴CM＝DC＝BD＝BE，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，∴BC＝AC＝EC+AE＝CE+CD＝CE+BE，∴EC+BE＝BC．18．（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°∵CG＝CH＝1，∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，∴HA＝HG＝，∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．（2）解：如图2中，连接CD，DE．∵CF⊥AG，BC⊥CF，∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CD＝BD，∠CDB＝90°，∵∠CDB＝∠CFB＝90°，∴∠FBD＝∠DCE，在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF．（3）如图3中，结论：＝．理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．∵AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，∵∠BAG＝15°，∴∠CAE＝75°，∵CE⊥AG，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝15°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，∵BF⊥CE，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴AF垂直平分线段BC，∴AF平分∠CAB，∴∠FAB＝∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，∴EF＝AE，设EF＝AE＝m，∵HC＝HA，∴∠HCA＝∠HAC＝15°，∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，∴AH＝2AE＝2m，EH＝m，∴EC＝2m+m，∴AC＝＝＝（+）m，∵BD＝AB＝AC＝m，∴＝．19．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD＝＝＝5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，。
2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练(一)
2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练（一）一．选择题1．下列四组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2cm、4cm、5cm B．15cm、20cm、25cmC．0.2cm、0.3cm、0.4cm D．1cm、2cm、2.5cm2．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两个锐角对应相等3．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠C＝30°，则∠D的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．已知在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，则这个三角形的最短边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm5．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A 和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC ＝3，则BD的长度为（）A．B．2 C．D．37．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知AD 为△ABC 的高线，AD ＝BC ，以AB 为底边作等腰Rt △ABE ，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①∠DAE ＝∠CBE ；②CE ⊥DE ；③BD ＝AF ；④△AED 为等腰三角形；⑤S △BDE ＝S △ACE ，其中正确的有（ ）A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤二．填空题 11．在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，则△ABC 的面积为＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝26cm ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，则点C 与点D 的距离是 cm ．13．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2交于点O ．若∠B ＝35°，则∠AOC ＝ °．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°．AB ＝5，AC ＝13，BC ＝12，∠BAC 与∠ACB 的角平分线相交于点D ，点M 、N 分别在边AB 、BC 上，且∠MDN ＝45°，连接MN ，则△BMN 的周长为 ．15．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC上的一点，连接AP，作∠APD＝∠B，交AC于点D，且∠PDC＝∠BAP，作AE⊥BC于点E．（1）∠EAP的大小＝（度）；（2）已知AP＝6，①△APC的面积＝；②AB•PE的值＝．三．解答题17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，作∠EAB＝∠BAD，AE边交CB 的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连结CF．（1）求证：BE＝CF；（2）若∠ACF＝100°，求∠BAD的度数．18．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．（1）求证：BG＝CF；（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．19．如图1，△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD：AD：CD＝2：3：4．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S＝90cm2，如图2，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A △ABC运动，同时动点Q从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点P运动的时间为t（秒），①若△DPQ的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点P运动的过程中，△PDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10．（1）如图1，求点C到边AB距离；（2）点M是AB上一动点．①如图2，过点M作MN⊥AB交AC于点N，当MN＝CN时，求AM的长；②如图3，连接CM，当AM为何值时，△BCM为等腰三角形？21．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝100米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A逆时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点M是线段BD的中点，连接MC，ME．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：MC与ME的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断MC与ME的数量关系和位置关系，并证明你的结论．22．在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，3）．（1）如图1，若点B在x轴正半轴上，点A（1，﹣1），AB＝BC，AB⊥BC，则点B坐标为．（2）如图2，若点B在x轴负半轴上，CE⊥x轴于点E，CF⊥y轴于点F，∠BFN＝45°，NF交直线CE于点N，若点B（﹣1，0），BN＝5，求点N坐标．（3）如图3，若点B，F分别在x，y轴的正半轴上，CF＝BF，连接CB，点P、Q是BC上的两点，设∠PFQ＝θ（0°＜θ＜45°），∠BFC＝2∠PFQ，则以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形的形状为（①钝角三角形②直角三角形③锐角三角形④随线段的长度而定），请选择，并给出证明．参考答案一．选择题1．解：A、∵22+42≠52，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；B、∵152+202＝252，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；C、∵0.22+0.32≠0.42，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；D、∵12+22≠2.52，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；故选：B．2．解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；故选：D．3．解：在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠D＝∠C，∵∠C＝30°，∴∠D＝30°，故选：A．4．解：在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，∴这个三角形的最短边长为×8＝4（cm）．故选：B．5．解：根据题意可得：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴AB＝DE，∴依据是SAS，故选：D．6．解：设CD＝x，∵在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴AD＝BD，∵在△ACD中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2x，即BD＝AD＝2x，∵BC＝3＝BD+CD＝2x+x，解得：x＝1，即BD＝2x＝2，故选：B．7．解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，∵DF∥BC，∴EN⊥DF，∴EN∥HG，∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，∴△END∽△HGD，∴＝，∵E为HD中点，∴＝，∴＝，即HG＝2EN，∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，∴四边形NMCD为矩形，∴MN＝DC＝2，∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，∴EM＝AE＝3，∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，则HG＝2EN＝2．故选：B．8．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S＝×3×4＝6．△ODQ故选：D．9．解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确∵∠DOF＝∠AOE，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正确，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故④正确，若③成立，则∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，故选：C．10．解：①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD＝90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝45°，AE＝BE，∴∠CBE+∠BAD＝45°，∴∠DAE＝∠CBE，故①正确②在△DAE和△CBE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；∴∠EDA＝∠ECB，∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EDC+∠ECB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴CE⊥DE；故②正确；③∵∠BDE＝∠ADB+∠ADE，∠AFE＝∠ADC+∠ECD，∴∠BDE＝∠AFE，∵∠BED+∠BEF＝∠AEF+∠BEF＝90°，∴∠BED＝∠AEF，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD＝AF；故③正确；④∵AE≠DE，∴△ADE不是等腰三角形，⑤∵AD＝BC，BD＝AF，∴CD＝DF，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF＝CE，∴S△AEF ＝S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF ＝S△BED，∴S△BDE ＝S△ACE．故⑤正确；故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝，故答案为：30．12．解：连接CD，∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B，∵∠B+∠A＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴CD＝AB＝13（cm），故答案为：13．13．解：连接BO并延长，点D在BO的延长线上∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O，∴OA＝OB，OC＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，∴∠AOD＝2∠ABO，∠COD＝2∠CBO，∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝2（∠ABO+∠CBO）＝70°，故答案为：70．14．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．15．解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB＝＝5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，，∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝8﹣x在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x＝；∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP＝．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或．故答案为：1或．16．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠B+∠BAP+∠APB＝180°，∠APD+∠DPC+∠APB＝180°，∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠DPC，∵∠BAP＝∠PDC，∴∠DPC＝∠PDC，∵∠C＝45°，∴∠DPC＝∠PDC＝67.5°，∵∠B＝∠APD＝45°，∠PDC＝∠APD+∠PAC，∴∠PAC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAE＝∠EAC＝∠BAC＝×90°＝45°，∴∠EAP＝∠EAC﹣∠PAC＝45°﹣22.5°＝22.5°；故答案为：22.5；（2）①过点C作CG⊥AP交AP延长线于G，过点B作BH⊥AP于H，过点P作PF⊥AC于F，如图所示：∴∠BHA＝∠AGC＝90°，∵∠BAH+∠GAC＝90°，∠ACG+∠GAC＝90°，∴∠BAH＝∠ACG，在△ABH和△CAG中，，∴△ABH≌△CAG（AAS），∴AH＝CG，∵∠BAP＝67.5°，∠APB＝180°﹣∠APD﹣∠DPC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠BAP＝∠APB，∴AB＝BP，∵BH⊥AP，∴AH＝PH＝AP＝×6＝3，∴CG＝AH＝3，＝AP•CG＝×6×3＝9，∴S△APC故答案为：9；＝AC•PF，②∵S△APC∴AC•PF＝18，∵∠EAP＝∠CAP＝22.5°，PF⊥AC，PE⊥AE，∴PE＝PF，∵AB＝AC，∴AB•PE＝AC•PF＝18．故答案为：18．三．解答题（共6小题）17．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD．又∵∠EAB＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EAB．在△ACF和△ABE中，，∴△ACF≌△ABE（SAS）．∴BE＝CF．（2）解：∵△ACF≌△ABE．∴∠ABE＝∠ACF＝100°，∴∠ABC＝80°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠BAC＝20°，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝10°．18．（1）证明：连接BD，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，∴DG＝DF，在Rt△BDG和Rt△CDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），∴BG＝CF；（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，∴AC＝AF+AB+AG，∴AC＝2AG+AB，∵AB＝10cm，AC＝14cm，∴AG＝＝2cm．19．解：（1）设BD＝2x，则AD＝3x，CD＝4x，∴AB＝BD+AD＝5x，由勾股定理得，AC＝＝5x，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；＝90cm2，（2）∵S△ABC∴×5x×4x＝90，解得，x＝3，∴BD＝6m，AD＝9m，CD＝12m，由题意得，BP＝t，AQ＝t，则AP＝15﹣t，当DQ∥BC时，∠ADQ＝∠ABC，∠AQD＝∠ACB，∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝9，即t＝9，当PQ∥BC时，∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ，即15﹣t＝t，解得，t＝7.5，综上所述，当△DPQ的边与BC平行，t的值为9或7.5；（3）在Rt△CDA中，点E是AC的中点，∴DE＝AC＝AE＝7.5，∴当点P与点A重合时，△PDE为等腰三角形，此时t＝15，如图3，当DP＝DE＝7.5时，BP＝BD+DP＝13.5，此时t＝13.5，如图4，当PD＝PE时，△PDE为等腰三角形，作EH⊥AB于H，∵ED＝EA，∴DH＝DA＝4.5，设DP＝EP＝x，由勾股定理得，EH＝＝6，∴PH＝x﹣6，在Rt△EHP中，EP2＝EH2+PH2，即x2＝62+（x﹣4.5）2，解得，x＝，则BP＝6+＝，综上所述，当△PDE为等腰三角形时，t的值为15或13.5或．20．解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即82+BC2＝102，解得，BC＝6，∵，∴10CD＝6×8，∴CD＝，∴点C到边AB的距离为；（2）①连接BN，如图2所示：∵MN⊥AB，∴∠BMN＝90°，∴∠BMN＝∠ACB＝90°，在Rt△BCN与Rt△BMN中，∴Rt△BCN≌Rt△BMN（HL），∴BC＝BM，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣6＝4，∴AM的长为4cm；②当AM为5、4或时，△BCM为等腰三角形．当BM＝CM时，△BCM为等腰三角形，如图3所示：∵BM＝CM，∴∠BCM＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠BCM+∠ACM＝90°，∴∠A＝∠ACM，∴AM＝CM，∴AM＝BM＝AB，∴AM＝5；当BM＝BC＝6时，△BCM为等腰三角形，如图4所示：AM＝AB﹣BM＝4；当BC＝CM＝6时，△BCM为等腰三角形，如图5所示，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，∴BD 2+（）2＝62，∴BD＝，∵BC＝CM，CD⊥AB，∴DM＝BD＝，∴AM＝AB﹣BD﹣DM＝．21．解：（1）∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，在△CPD和△BPA中，，∴△CPD≌△BPA（ASA），∴AB＝CD＝100（米），故答案为：100；（2）如图2，延长EM交BC于F，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠ACB＝∠CED＝90°，∴DE∥BC，∴∠MDE＝∠MBF，在△MED和△MFB中，，∴△MED≌△MFB（ASA）∴EM＝FM，DE＝BF，∵DE＝AE，∴EA＝FB，∵CA＝CB，∴CA﹣EA＝CB﹣FB，即CE＝CF，∵EM＝FM，∴MC＝ME，MC⊥ME，故答案为：MC＝ME，MC⊥ME；（3）MC＝ME，MC⊥ME，理由如下：如图3，延长EM至H，使MH＝EM，连接BH、CE、CH，在△MDE和△MBH中，，∴△MDE≌△MBH（SAS），∴BH＝DE＝AE，∠MDE＝∠MBH，∵∠MDE＝135°，∠ABC＝45°，∴∠CBH＝90°，在△CAE和△CBH中，，∴△CAE≌△CBH（SAS），∴CE＝CH，∵ME＝MH，∴MC＝ME，MC⊥ME．22．解：（1）如图1，过点C作CD⊥OB于D，过点A作AH⊥OB于H，∵点C的坐标为（3，3），点A（1，﹣1），∴CD＝OD＝3，OH＝AH＝1，∵AB⊥BC，CD⊥OB，AH⊥OB，∴∠ABC＝∠AHB＝∠CDB＝90°，∴∠ABH+∠CBD＝∠ABH+∠HAB＝90°，∴∠CBD＝∠HAB，又∵AB＝BC，∴△ABH≌△BCD（AAS），∴BD＝AH＝1，∴BO＝4，∴点B（4，0），故答案为：（4，0）；（2）∵点C的坐标为（3，3），点B（﹣1，0），∴CE＝CF＝OE＝3，BO＝1，∴BE＝4，∴EN＝＝＝3，∴点N（3，﹣3）；（3）如图3，将△CPF绕点F顺时针旋转2θ，得到△BGF，∴△CPF≌△BGF，∴FG＝FP，BG＝CP，∠CFP＝∠BFG，∠C＝∠FBG，∵∠BFC＝2∠PFQ，∴∠CPF+∠BFQ＝∠PFQ，∴∠BFG+∠BFQ＝∠PFQ，又∵FG＝PF，FQ＝FQ，∴△PFQ≌△GFQ（SAS），∴GQ＝PQ，∴以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形就是以线段BQ，GQ，GB长度为边长的△BGQ，∵∠PFQ＝θ（0°＜θ＜45°），∴∠BFC＝2∠PFQ＜90°，∴∠C+∠FBC＞90°，∴∠GBF+∠FBC＞90°，∴△BGQ是钝角三角形，∴以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形是钝角三角形，故答案为①．。
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》1．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．2．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．3．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；（3）如图3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC ＝2，求S△CDF的值．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1＝∠2；（2）如图2，过B作BH⊥AD，垂足为H，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝60°，∴∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∴∠FBH＝30°，∴BF＝2FH，在△AHB和△BFC中，∴△AHB≌△BFC（AAS），∴BF＝AH＝AF+FH＝2FH，∴AF＝FH，∴BF＝2AF；（3）如图3，过C作CM⊥AD交AD延长线于M，过C作CN⊥BE交BE延长线于N，∵∠BFD＝2∠CFD＝90°，∴∠EFC＝∠DFC＝45°，∴CF是∠MFN的角平分线，∴CM＝CN，∵∠BAC＝∠BFD＝90°，∴∠ABF＝∠CAD，在△AFB和△CMA中，∴△AFB≌△CMA（AAS）∴BF＝AM，AF＝CM，∴AF＝CN，∵∠FMC＝90°，∠CFM＝45°，∴△FMC为等腰直角三角形，∴FM＝CM，∴BF＝AM＝AF+FM＝2CM，∴S△BDF ＝2S△CDF，∵AF＝CM，FM＝CM，∴AF＝FM，∴F是AM的中点，∴S△AFC ＝S△AMC＝S△AFB，∵AF⊥BF，CN⊥BF，AF＝CN，∴S△AFB ＝S△BFC，设S△CDF ＝x，则S△BDF＝2x，∴S△AFB ＝S△BFC＝3x∴S△AFC ＝S△AFB＝x，则3x+3x+x＝2，解得，x＝，即S△CDF＝．4．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝40 °，若△AMN的周长为9，则BC＝9 ．（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA 的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．解：（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，故答案为：40；9；（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，∴∠BAM+∠CAN＝45°，∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，∴AM2+AN2＝MN2，∴BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH＝PE，∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝CP，在Rt△APH和Rt△CPE中，，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），∴AH＝CE，在△BPH和△BPE中，，∴△BPH≌△BPE（AAS）∴BH＝BE，∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．5．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为DE＝BD+CE；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠AFE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE ＝∠DFA +∠AFE ＝∠DFA +∠BFD ＝60°，∴△DEF 为等边三角形．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，﹣4）．（I ）如图①，若C 的坐标为（﹣1，0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点P 的坐标；（II ）如图②，在（I ）的条件下，连接OH ，求∠OHC 的度数；（III ）如图③，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子S △BDM ﹣S △ADN 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．解：（I ）由题意，OA ＝OB ＝4，∵∠AHC ＝90°，∠BOC ＝90°，∴∠CAH ＝∠CBO ，在△OAP 和△OBC 中，，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1，则点P 的坐标为（0，﹣1）；（II ）如图②，过O 分别作OM ⊥BC 于M ，作ON ⊥AH 于N ，则四边形MONH 为矩形，∴∠MON ＝90°，∵∠COP ＝90°，∴∠COM ＝∠PON ，在△COM 和△PON 中，，∴△COM ≌△PON （AAS ）∴OM ＝ON ，又OM ⊥BC ，作ON ⊥AH ，∴HO 平分∠MHN ，∴∠OHC ＝∠MHN ＝45°；（III ）式子S △BDM ﹣S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图③，连接OD ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，点D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，OD ＝AD ＝BD ＝，∠OAB ＝45°，∴∠BOD ＝45°，∴∠MOD ＝135°，∴∠MOD ＝∠NAD ＝135°，∵∠ODA ＝90°，∠MDN ＝90°，∴∠MDO ＝∠NDA ，在△MOD 和△NAD 中，，∴△MOD ≌△NAD （ASA ）∴S △MDO ＝S △NDA ，∴S △BDM ﹣S △ADN ＝S △BDM ﹣S △ODM ＝S △BDO ＝××4×4＝4．7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED＝CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD：AF＝1：2，则AF＝2x，∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DF＝EF，由（1）、（2）可得，在Rt△FAE中，EF＝＝＝3x，∵AE2+AD2＝2CD2∴，解得x＝1，∴AB＝2+4．8．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；（2）如图2，若点D不是AC的中点，AD＝CE是否成立？证明你的结论；（3）如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D为AC中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE（AAS），∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）AD＝CE．证明：如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD＝CE，∴AD＝CE．9．如图（a），△ABC、△DCE都为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一直线上，连接AD．（1）若AB＝2，CE＝，求△ACD的周长；（2）如图（b），点G为BE的中点，连接DG并延长至F，使得GF＝DG，连接BF、AG．（i）求证：BF∥DE；（ii）探索AG与FD的位置关系，并说明理由．（1）解：∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝45°，DC＝DE，∠DCE＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△DCE中，DC2+DE2＝CE2＝（）2＝2，∴DC＝DE＝1，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝3+；（2）（i）证明：在△BGF和△EGD中，，∴△BGF≌△EGD（SAS）∴∠GBF＝∠E，∴BF∥DE；（ii）AG⊥FD，理由如下：如图（b）连接AF，∵△DEG≌△FBG，∴BF＝DE＝CD，∠GBF＝∠E＝45°，∵∠ABF＝∠ABC+∠GBF＝90°，∴∠ABF＝∠ACD，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴AF＝AD，又∵DG＝FG，∴AG⊥FD．10．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，（1）M点如图1的位置时，如果AM＝5，求BN的长；（2）M点在如图2位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系AB+BM＝BN；（3）M点在如图3位置时，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．（1）解：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB﹣∠MPB＝MPN﹣∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN＝5；（2）解：AB+BM＝BN，理由如下：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB+∠MPB＝MPN+∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN，∴BN＝AM＝AB+BM，故答案为：AB+BM＝BN；（3）证明：∵△PAB是等边三角形，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，∵BM＝AB，∴PB＝BM，∴∠BPM＝∠PMB，∵∠ABP＝60°，∴∠BPM＝∠PMB＝30°，∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥AB．11．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数150°；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE 的长．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．12．（1）发现：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠CAD＝90°，AB＝6，请求出△ABC的面积；（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，﹣4），点B为平面内一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．解：（1）AC＝DE，BC＝AE；故答案为：DE，AE；（2）作AE⊥CD于E，如图2所示：∵AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AE＝CD＝DE＝CE，∴AD＝AC＝AE，设AE＝DE＝CE＝x，则AC＝AD＝BD＝x，∴BE＝x+x，BC＝2x+x，∴AB2＝（x+x）2+x2＝62，解得：x2＝18﹣9，∴△ABC的面积＝BC×AE＝（2x+x）×x＝×（2+）×x2＝×（2+）×（18﹣9）＝18；（3）分两种情况：①过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，如图3所示：则∠C＝90°，∵点A的坐标为（﹣1，﹣4），∴AD＝1，OD＝CE＝4，∵∠OBO＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中，，∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x+1，∴CE＝BE+BC＝x+1+x＝OD＝4，∴x＝，x+1＝，∴点B的坐标（，）；②如图4，同理可得，点B的坐标（﹣，﹣），综上所述，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．13．模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为 5 ．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC ＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，故答案为：5；模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．14．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为（0，3）；（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求的值．（1）解：∵B（0，1），∴OB＝1，∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，∴BC＝AB＝2，∴OC＝OB+BC＝3，∴点C的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；（2）证明：连接OD，如图2所示：∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∵∠OAB＝30°，∴∠OAE＝30°+60°＝90°，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，∵MN是OA的垂直平分线，∴OD＝AD，∴△OAD是等边三角形，∴AO＝AD，在△ABD和△AEO中，，∴△ABD≌△AEO（SAS），∴BD＝OE；（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，∴AH＝AB，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴OB＝AB，∴AH＝OB，在Rt△AEH和Rt△BAO中，，∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH＝AO＝AD，在△HFE和△AFD中，，∴△HFE≌△AFD（AAS），∴EF＝DF，∴DE＝2DF，∴＝．15．在平面直角坐标系中，M（m，n）且m、n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C，过C作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．（1）求点M的坐标；（2）如图1，在B点运动的过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值；若变化，写出A点的横坐标a的取值范围；（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x轴下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK，求∠OKB的度数．解：（1）m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，m2+n2﹣2mn+n2+4n+4＝0，（m﹣n）2+（n+2）2＝0，则m﹣n＝0，n+2＝0，解得，m＝﹣2，n＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，∴CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠TCB＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BCO+∠TCB＝90°，∴∠ACT＝∠CBO，在△CBO和△ACT中，，∴△CBO≌△ACT（AAS），∴CT＝BO＝﹣b，AT＝CO＝t，∴a＝b+t，∵DO＝DM，∴∠DOM＝45°，∴∠MOC＝135°，∴∠MOC+∠ABC＝180°，∴O、M、B、C四点共圆，∴∠CMB＝∠COB＝90°，∵CA＝CB，∴M为AB中点，∴b+t＝﹣4，∴a＝﹣4；（3）连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，由（2）可知T（﹣4，0），∴OT＝4，又点M的坐标为（﹣2，﹣2），∴△TMO为等腰直角三角形，∴MT＝MO，∵∠THM＝90°，∠TMO＝90°，∴∠TMH＝∠MON，在△HTM和△NMO中，，∴△HTM≌△NMO（AAS），∴HT＝MN，HM＝ON，∴HK＝KN，∴KN＝ON，∴∠OKB＝45°．16．在等边三角形ABC中，点P从点B出发沿射线BA运动，同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动，P、Q两点运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PE∥AC交BC于点E，求证：EP＝CQ．（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为F．①当点P在线段BA上运动时，求证：BF+CD＝BC．②当点P在线段BA延长线上运动时，直接写出BF、CD与BC之间的数量关系．（1）证明：由题意得：BP＝CQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC＝60°，∠BEP＝∠BCA＝60°，∴∠B＝∠BPE＝∠BEP，∴△BPE是等边三角形，∴EP＝BP，∴EP＝CQ．（2）①证明：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图②所示：由（1）得：EP＝CQ，∠BEP＝∠ACB＝60°，△BPE是等边三角形，∴∠DEP＝∠DCQ＝120°，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，在△DPE和△DQC中，，∴△DPE≌△DQC（AAS），∴ED＝CD，∴BF+CD＝EF+ED＝BC．②解：当点P在线段BA延长线上运动时，BC+2CD＝2BF，理由如下：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图③所示：同①得：△BPE是等边三角形，△DPE≌△DQC，∴ED＝CD，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，∵BC﹣BF＝CF，∴BC﹣BF＝EF﹣2CD＝BF﹣2CD，∴BC+2CD＝2BF．17．问题情境：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题初探：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AB上的一个动点（D与A，B 不重合），连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，连接BE．（1）当点D在线段AB上时，AD与BE的数量关系是AD＝BE；位置关系是AD⊥BE；AB，BD，BE三条线段之间的关系是AB＝BD+BE．类比再探：（2）如图2，当点D运动到AB的延长线上时，AD与BE还存在（1）中的位置关系吗？若存在，请说明理由．同时探索AB，BD，BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．能力提升：（3）如图3，当点D运动到BA的延长线上时，若AB＝7，AD＝2，则AE＝9 ．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，即AD⊥BE，∴AB＝BD+AD＝BD+BE；故答案为：AD＝BE；AD⊥BE；AB＝BD+BE；（2）AD⊥BE，理由如下：∵∠ACB＝90°AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠A＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE，即AD⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，∴BE＝AB+BD；（3）∵△ABC、△CDE是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE＝BD＝AD+AB＝9，故答案为：9．18．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：△ADC≌△BEC；（2）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AD∥BC；（3）如图2，若AD＝AB，已知AF＝10，AE＝4，求BC的长．证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，△ABC和△DEF为等腰三角形，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）证明：由（1）得：△ADC≌△BEC，∴∠DAC＝∠EBC＝60°，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC；（3）解：在FA上截取FM＝AE，连接DM，如图2所示：∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中，，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．∴BC＝AF﹣AE＝10﹣4＝6．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于点P，∠EBC＝∠BAD．（1）如图1，求证：∠APE＝∠C；（2）作AF∥BC交DE延长线于点F，PE＝EC．①如图2，求证：AD＝AF；②如图3，过点E作EG⊥BC于点G，若DP＝1，DC＝7，直接写出DG的长为 4 ．（1）证明：∠APE＝∠ABP+∠BAD，∠ABC＝∠ABP+∠EBC，∵∠EBC＝∠BAD，∴∠APE＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠APE＝∠C；（2）①证明：如图2，作EG⊥DC于G，EH⊥AD于H，在△EHP和△EGC中，，∴△EHP≌△EGC（AAS）∴EH＝EG，又EG⊥DC，EH⊥AD，∴∠ADF＝∠CDF，∵AF∥BC，∴∠F＝∠CDF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF；②解：如图3，作EH⊥AD于H，由（2）①可知，△EHP≌△EGC，∴PH＝GC，在△DEH和△DEG中，，∴△DEH≌△DEG（AAS）∴DH＝DG，∴DG＝DH＝DP+PH＝1+GC，∴1+GC+GC＝7，解得，GC＝3，∴DG＝DC﹣GC＝7﹣3＝4，故答案为：4．20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M 在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t，点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，9﹣t═3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒或6秒时，△MDC与△CEN全等．。
2023年九年级中考数学重难点训练——三角形的综合
2023年中考数学重难点训练——三角形的综合一、综合题1．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF折叠，使点D 落在AC 上的点N 处。
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF 的面积。
2．如图，已知菱形中 ABCD ，且 60BAD ∠=︒ 延长 AB 至点 E ，使 BE AB = ，连接 BD 和CE ．（1）求证：DAB CBE ≌ ； （2）求证：四边形 DBEC 是菱形．3．已知：如图，四边形ABCD 是正方形，点E 、F 分别在BC 、CD 上，连接AE 、EF 、AF ，且∠DAE ＝∠AEF ．（1）求证：EF ＝BE+DF ；（2）线段AF 的垂直平分线交AD 于点G ，连接FG ，求证：∠EFG ＝90°； （3）在（2）的条件下，若tan∠DFG ＝34 ，EF ＝ 203，求S ∠AEF ． 4．如图所示，已知∠ABC 中，BC=30cm ，AD=10cm ．AD 是高，矩形EFGH 内接于∠ABC 中，且长边FG 在BC 边上．设EF=x ， FG=y ．（1）求y 与x 的函数关系式．并求自变量x 的取值范围． （2）若x ：y=1：2，求矩形EFGH 的面积．（3）当EF 为何值时，矩形EFGH 的面积最大？最大面积是多少?5．如图，Rt∠ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边，向∠ABC 的内侧作等腰Rt∠ABE 、Rt∠ACD ，点M 是BC 的中点，连接MD 、ME ．（1）若AB ＝8，AC ＝4，求DE 的长；（2）求证：AB ﹣AC ＝2DM ．6．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3cm ，过点A 作∠EAF ＝60°，分别交DC ，BC 的延长线于点E ，F ，连接EF.（1）如图1，当CE ＝CF 时，判断∠AEF 的形状，并说明理由；（2）若∠AEF 是直角三角形，求CE ，CF 的长度；（3）当CE ，CF 的长度发生变化时，∠CEF 的面积是否会发生变化，请说明理由.7．已知等边∠ABC 和射线AP ，作AC 边关于射线AP 的对称线段AD ，连接BD ，CD ．（1）如图1，当射线AP 在∠BAC 内部时， ①请依题意补全图形；②若∠PAC ＝15°，则∠BDC ＝ ▲ 度； ③若∠PAC ＝x°，试求∠BDC 的度数；（2）如图2，当射线AP 在∠BAC 外部的AC 右侧时，设BD 交AP 于点E ， ①∠BDC ＝ ▲ 度；②线段AE ，BE ，DE 之间有何数量关系？试说明理由．8．如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为（﹣2，2）.点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿x 轴正方向运动，过点Q 作直线l 垂直x 轴.当点P 到达点O 时，点Q 也停止运动.连接BP ，作PD∠BP 交直线l 于点D.连结BD 交y 轴于点E ，连接PE.设点P 的运动时间为t （s ）.（1）①点D 的坐标为 （用含t 的代数式表示）. ②当0＜t≤2时，∠PED 的大小范围是 .（2）当0＜t ＜2时，∠POE 的周长C 是否随t 的变化而变化？若变化，求出C 关于t 的关系式；若不变，求出C 的值.（3）当t ＝ 秒时，∠PBE 为等腰三角形（直接给出答案）.9．如图，已知正方形OEFG 的顶点O 与正方形ABCD 的中心O 重合，若正方形OEFG 绕O 点旋转．（1）探究：在旋转的过程中线段BE 与线段CG 有什么数量关系及位置关系？证明你的结论； （2）若正方形ABCD 的边长为a ，探究：在旋转过程中四边形OMCN 的面积是否发生变化？若不变化求其面积，若变化指出变化过程．10．（1）问题发现：如图（1），在∠OAB 和∠OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝36°，连接AC ，BD 交于点M ．①ACBD的值为 ；②∠AMB 的度数为 ； （2）类比探究 ：如图（2），在∠OAB 和∠OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC ，交BD 的延长线于点M ．请计算ACBD的值及∠AMB 的度数． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，将∠OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ．若OD＝1，OB 13C 与点M 重合时AC 的长．11．如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O .设θG ∠=.（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF BC ⊥成立的θ值. （2）当θ90=︒时，试给出tan ABC ∠的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由.12．如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积；（2）在y轴上是否存在一点Q，连接QA，QB，使∠AQB的面积等于四边形ABDC的面积的一半？若存在这样的点，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点P是线段BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系，并证明你的结论．13．如图1，菱形ABCD中，DE∠AB，垂足为E，DE＝3cm，AE＝4cm，把四边形BCDE沿DE所在直线折叠，使点B落在AE上的点M处，点C落在点N处，MN交AD于点F．（1）证明：FA＝FM；（2）求四边形DEMF面积；（3）如图2，点P从点D出发，沿D→N→F路径以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为t秒，当t 为何值时，∠DPF的面积与四边形DEMF的面积相等．14．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB∠x轴于B，AC∠y轴于C，A（4m，3m），且四边形ABOC的面积为48．（1）如图①，求A点的坐标；（2）如图②，点D从O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，同时点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线BA运动，DE交线段AC于F，设运动的时间为t，当S∠AEF＜S∠CDF时，求t的取值范围．15．如图1，在等腰直角三角形ADC中，904ADC AD∠==，．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG CE，．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为(090)αα<<．（1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD∆与CED∆是否全等，并说明理由；②当CE CD=时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG CP⊥；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S∠ABG＝2S∠OBG时，求t的值．（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG＋BH的最小值．17．如图1，已知点A，B，C，D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．（1）求证：∠ACE∠∠DBF；（2）如果把∠DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG．求证：四边形BGCE是平行四边形．18．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE求证：四边形AFCE为菱形；（2）如图1，求AF的长；（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿∠AFB和∠CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t 秒．若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB ，CN=CD ，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD ，AD∠BC ， ∴AM=CN ，∴AM ﹣MN=CN ﹣MN ，即AN=CM ， 在∠ANF 和∠CME 中，∴∠ANF∠∠CME （ASA ），∴AF=CE ，又∵AF∠CE ，∴四边形AECF 是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x ，则EM=8﹣x ，CM=10﹣6=4，在Rt∠CEM 中，（8﹣x ）2+42=x 2，解得：x=5，∴四边形AECF 的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．2．【答案】（1）解：∵菱形 ABCD∴AD BC ， AD BC = ∴CBE DAB ∠=∠ ∵BE AB =∴()DAB CBE SAS ≌ （2）解：∵菱形 ABCD ， ∴DC BE ， ==DC AD AB BE = ， ∴四边形 DBEC 是平行四边形， ∵60DAB ∠=︒ ∴∠ABD 是等边三角形 ∴AB BD BE == ． ∴四边形 DBEC 是菱形．3．【答案】（1）证明：过点A 作AH∠EF 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，AD∠BC ， ∴∠BEA ＝∠DAE ， ∵∠DAE ＝∠AEF ， ∴∠BEA ＝∠AEF ， 在∠ABE 和∠AHE 中，∵B AHEBEA AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴∠ABE∠∠AHE （AAS ）， ∴AB ＝AH ，BE ＝HE ， ∴AH ＝AD ，∴Rt∠AHF∠Rt∠ADF （HL ）， ∴DF ＝HF ， ∵EF ＝HE+HF ， ∴EF ＝BE+DF（2）解：如图2，由题意知GA ＝GF ，∴∠GAF ＝∠GFA ， 由（1）知∠AFE ＝∠AFD ， ∵∠FAD+∠AFD ＝90°， ∴∠GFA+∠AFE ＝90°，∴∠EFG ＝90°（3）解：由tan∠DFG ＝ DG DF ＝ 34可设DG ＝3x ，DF ＝4x ， 则AG ＝GF ＝22DG DF +＝()()2234x x +＝5x ，EH ＝DF ＝4x ，∴BC ＝CD ＝AD ＝8x ，∴CF＝CD﹣DF＝4x，∵EF＝203，∴BE＝EH＝EF﹣FH＝203﹣4x，则EC＝BC﹣BE＝8x﹣（203﹣4x）＝12x﹣203，在Rt∠ECF中，由EF2＝EC2+CF2得（203）2＝（12x﹣203）2+（4x）2，解得：x1＝0（舍），x2＝1，即AH＝AD＝8x＝8，∴S∠AEF＝12EF•AH＝12×203×8＝8034．【答案】（1）解：如图，∵EF=x，FG=y，∴DM=EF=x，AM=AD-DM=10-x，∵EH//BC，∴EH AMBC AD=，即1030y x-=，∴y=30-3x；∵y＞0，∴30-3x＞0，即x＜10，∵x＞0，∴x取值范围为0＜x＜10；（2）解：∵x：y=1：2，∴y=2x，∵y=30-3x，∴2x=30-3x，∴x=6，∴y=12，∴矩形EFGH的面积=6×12=72；（3）解：设四边形EFGH的面积为S，则S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75，∴当x=5时，即EF=5时，S有最大值为75．5．【答案】（1）解：直角∠ABE中，AE＝22AB＝4 2，在直角∠ACD中，AD＝22AC＝2 2，则DE＝AE﹣AD＝4 2﹣2 2＝2 2；（2）解：延长CD交AB于点F．在∠ADF和∠ADC中，{∠FAD=∠CADAD=AD∠ADF=∠ADC，∴∠ADF∠∠ADC（ASA），∴AC＝AF，CD＝DF，又∵M是BC的中点，∴DM是∠CBF的中位线，∴DM＝12BF＝12（AB﹣AF）＝12（AB﹣AC），∴AB﹣AC＝2DM．6．【答案】（1）解：∠AEF是等边三角形，理由如下：连接BE、DF，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC＝AD，∠ABC＝∠ADC，在∠BCE和∠DCF中，BD DCBCE DCFCE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠BCE∠∠DCF（SAS），∴∠BE＝DF，CBE＝∠CDF，∴∠ABC+∠CBE＝∠ADC+∠CDF，即∠ABE＝∠ADF，在∠ABE和∠ADF中，AB ADABE ADFBE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠ABE∠∠ADF（SAS），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴∠AEF是等边三角形；（2）解：分两种情况：①∠AFE＝90°时，连接AC、MN，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC＝AD＝3，∠D＝∠B＝60°，AD∠BC，AB∠CD，∴∠ABC和∠ADC是等边三角形，∴AC＝AD，∠ACM＝∠D＝∠CAD＝60°＝∠EAF，∴∠MAC＝∠NAD，在∠MAC和∠NAD中，MAC NADAC ADACM D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴∠MAC∠∠NAD（ASA），∴AM＝AN，CM＝DN，∵∠EAF＝60°，∴∠AMN是等边三角形，∴AM＝MN＝AN，设AM＝AN＝MN＝m，DN＝CM＝b，BM＝CN＝a，∵CF∠AD，∴∠CFN∠∠DAN，∴CF FN CN aAD AN DN b===，∴FN＝amb，∴AF＝m+amb，同理：AE＝m+bma，在Rt∠AEF中，∵∠EAF＝60°，∴∠AEF＝30°，∴AE＝2AF，∴m+bma＝2（m+amb），整理得：b2﹣ab﹣2a2＝0，（b﹣2a）（b+a）＝0，∵b+a≠0，∴b﹣2a＝0，∴b＝2a，∴CFAD＝12，∴CF ＝12 AD ＝ 32， 同理：CE ＝2AB ＝6；②∠AEF ＝90°时，连接AC 、MN ，如图3所示：同①得：CE ＝12 AD ＝ 32，CF ＝2AB ＝6； （3）解：当CE ，CF 的长度发生变化时，∠CEF 的面积不发生变化；理由如下：作FH∠CD 于H ，如图4所示：由（2）得：BM ＝CN ＝a ，CM ＝DN ＝b ， ∵AD∠CF ， ∴∠ADN∠∠FCN ，∴AD DN bCF CN a== ， ∵CE∠AB ，∴∠FCH ＝∠B ＝60°，∠CEM∠∠BAM ，∴CE CM bAB BM a == ， ∴AD CECF AB= ， ∴CF×CE ＝AD×AB ＝3×3＝9， ∵CH ＝CF×sin∠FCH ＝CF×sin60°＝32CF ， ∠CEF 的面积＝ 12 CE×FH ＝ 12 CE× 3CF ＝ 12 ×9× 3 ＝ 93，∴∠CEF 的面积是定值，不发生变化.7．【答案】（1）解：①解：如图，补全图形：；②150°；③由对称可知，∠PAC=∠PAD=x°， ∵AD=AB=AC ，∠BAD=60°-2x°， ∴∠ADC=1802902x x ︒-︒=︒-︒ ，∠ADB= ()180602602x x ︒-︒-︒=︒+︒ ， ∴∠BDC=∠ADC+∠ADB= 90x ︒-︒ + 60x ︒+︒ =150°； ∠BDC 的度数为150°；（2）解：①30°；②BD=2DE+AE ，理由如下： 如图，在BD 上截取EG=EC ，由（2）①知：∠BDC=30°，∠ADB=∠ABD=60°-α， 由对称可知，∠EDC=∠ECD=30°，∠AED=90°+30°=120°， ∴∠BEC=∠EDC+∠ECD=60°， ∴∠CGE 是等边三角形， ∴∠BGC=∠AED=120°，∵∠CBG=60°-∠ABD=60°-(60°-α)=α， ∵∠CBG=∠DAE=α， ∴∠CBG∠∠DAE （AAS ），∴AE=BG，∵EG=CE=DE，∴BD=2DE+BG，即BD=2DE+AE．8．【答案】（1）（t，t）；90°≤∠PED＜135°（2）解：结论：∠POE的周长C＝4，是定值.理由：延长OA到K，使得AK＝CE，连接BK，∵BC＝BA，∠BCE＝∠BAK＝90°，CE＝AK，∴∠KAB∠∠ECB（SAS），∴KB＝EB，∠KBA＝∠EBC，∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠EBC＝45°，∴∠KBP＝∠KBA+∠ABP＝∠EBC+∠ABP＝45°，∴∠KBP＝∠EBP，∴∠KBP∠∠EBP（SAS），∴KP＝EP，∴EP＝KP＝KA+AP＝CE+AP，∴∠POE的周长C＝PE+OP+OE＝PA+OP+OE+EC＝2OA＝4，是定值.（3）2或（22﹣2）9．【答案】（1）解：BE＝CG，BE∠CG，理由如下：连接OB、OC，延长GC交BE于T点，交OE于H点，∵O是正方形的中心，∴OB＝OC．∵∠BOE+∠MOC＝90°，∠COG+∠MOC＝90°，∴∠BOE＝∠COG．又OE＝OG，∴∠OBE∠∠OCG（SAS）．∴BE＝CG，∠BEO＝∠CGO．∵∠OHG+∠CGO＝90°，∠OHG＝∠EHT，∴∠EHT+∠BEO＝90°，即∠HTE＝90°，所以GC∠BE（2）解：在旋转过程中四边形OMCN的面积不发生变化，理由如下：在∠OBM和∠OCN中45BOM CONOB OCOBM OCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴∠OBM∠∠OCN（ASA）∴四边形OMCN的面积＝∠OMC面积+∠OCN面积＝∠OMC面积+∠OBM面积＝∠OBC面积．∵∠OBC面积＝14a2．所以在旋转过程中四边形OMCN的面积不发生变化．10．【答案】（1）1；36°（2）解：在∠OAB 和∠OCD 中，∵∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°， ∴tan30°=3OD OB OC OA ==， ∵∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA ， 即∠DOB=∠COA ， ∴∠DOB∠∠COA ， ∴3AC OC BD OD== ∠DBO=∠CAO ，∵∠DBO+∠OEB=90°，∠OEB=∠MEA ， ∴∠CAO+∠MEA=90°， ∴∠AMB=90°， ∴ACBD3，∠AMB=90°； （3）3311．【答案】（1）证明：如图所示：连接BF 、CE ，∵菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线）， ∴点G 、B 、E 共线，FC BG FC BC BE ∴==， ，FC BE FC BE ∴=， ，∴四边形BFCE 是平行四边形，∴EF 与BC 相互平分，即：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分； 又∵EF BC ⊥， ∴四边形BFCE 是菱形，∴BE=BF ，又∵菱形BCDE 和菱形BCFG ，GF BG BF BE ∴=== ， GFB ∴ 为等边三角形， θ60G ∴∠==︒；（2）解：如图所示：连接AF ，AO ，设EF 与AC 交于点H ，∵EF 垂直平分AC90AF FC AO CO AHO ∴==∠=︒，， ，由（1）知，O 为BC 的中点，∴动点A 在以O 为圆心，BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，90BAC AO BO CO ∴∠=︒==， ，OBA OAB ∴∠=∠ ，90OAB OAC AOH OAC ∠+∠=∠+∠=︒ ， AOH OAB OBA ∴∠=∠=∠ ，在AOF 和COF 中，AF CF AO CO FO FO =⎧⎪=⎨⎪=⎩， AOF COF ∴≌ ， FAO FCO ∴∠=∠ ，∵θ90=︒，菱形BCFG ， ∴四边形BCFG 为正方形，90FCO FC BC ∴∠=︒=， ， 90FAO FCO ∴∠=∠=︒，设FC BC x ==，则AF CF x == ，1122AO OC BC x === ，在Rt FAO 中，212AF xtan FOA AO x ∠===， AOH OBA ∠=∠， 2tan ABC tan FOA ∴∠=∠=.12．【答案】（1）解：由题意，点C 的坐标为（0，2），D 点坐标为（4，2），∵AC∠BD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABDC 的面积＝2×4＝8． （2）解：存在．设Q 点坐标为（0，t ），∵S ∠QAB ＝ 12S 四边形ABCD ，∴12•4•|t|＝4，解得t ＝±2， ∴Q 点坐标为（0，2）或（0，﹣2）． （3）解：结论：∠OPC ＝∠PCD ＋∠POB ． 理由：过点P 作PE∠CD ．∵AB∠CD ， ∴PE∠AB∠CD ，∴∠EPC ＝∠PCD ，∠EPO ＝∠POB ， ∴∠OPC ＝∠EPC ＋∠EPO ＝∠PCD ＋∠POB ．13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD∠BC ， ∴∠A+∠B ＝180°，由折叠可知∠NMB ＝∠B ，且∠NMA+∠NMB ＝180°， ∴∠A ＝∠NMA ， ∴FA ＝FM ；（2）解：过点F 作FG∠AM 于G ，由（1）可知AG ＝GM ＝1AM 2， Rt∠ADE 中，AE ＝4cm ，DE ＝3cm ， ∴AD ＝5cm ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ＝5cm ， ∴EB ＝AB ﹣AE ＝1cm ， ∴EM ＝EB ＝1cm ， ∴AM ＝AE ﹣EM ＝3cm ，∴13AG AM 22== cm ，又∵3tan 4FG DE A AG AE ∠=== cm ， ∴9FG 8=cm ， ∴2ADE AFM 1111927S AE DE 346cm ,S AB FG 32222816∆=⋅=⨯⨯==⋅=⨯⨯=cm 2， ∴S 四边形DEMF ＝S ∠ADE ﹣S ∠AFM ＝6﹣27691616= cm 2 ； （3）解：分两种情况：①0＜t≤5时，如图2，此时P 在边DN 上，过点F 作FH∠ND 于H ，∵DN∠AM ， ∴53DN FN AM FM == ， ∵MN ＝BC ＝5，∴FN ＝525588⨯= ， sin∠N ＝FH DE 3FN AD 5== ， ∴FH ＝ 32515588⨯= ， S ∠DPF ＝ 11151522816DP FH t ⋅=⋅⋅= ，令 1569t 1616= 解得： 6915t = ； ②∵DN+FN ＝5+ 256588= ， 当 6558t << 时，P 在FN 上，如图3，过P 作PK∠DN 于K ，∵PN ＝t ﹣5， ∴PK ＝3(5)5t - ， S ∠DPF ＝S ∠NFD ﹣S ∠NPD ＝11513319555(5)2825216t t ⨯⨯-⨯⨯-=-+ ， 令﹣ 319569t 21616+= ，解得：t ＝ 214， 所以，综上，当t ＝ 6915 或t ＝ 214时，∠DPF 面积与四边形DEMF 面积相等． 14．【答案】（1）解：∵ AB∠x 轴， AC∠y 轴，∴四边形ABOC 是矩形，∵AC =4m ，AB=3m ，四边形ABOC 的面积为48， ∴4m×3m=48， ∴m=2或-2，∵点A 在第一象限， ∴m=2，∴A （8，6）；（2）解：由题意知，OD=t ，AE=2t ， ∵S ∠AEF ＜S ∠CDF ，∴S ∠CDF +S 五边形ABODF ＞S ∠AEF +S 五边形ABODF ，即S 四边形ABOC ＞S 梯形DOBE ， ∴148(62)82t t >++⨯ ， ∴2t < ，∴t 的取值范围是 02t << ．15．【答案】（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形 ADC 中，AD=CD ， 90ADC ∠= ， 在正方形 DEFG 中，GD=ED ， 90GDE ∠= ， 又∵90ADE EDC ∠+∠=︒ ， 90ADE ADG ∠+∠=︒ ， ∴ADG CDE ∠=∠ 在AGD 和 CED 中，AD CD ADG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AGD CED ≅ （SAS ）；②如解图2，过A 点作AM∠GD ，垂足为M ，交FE 与N ，∵点 E 是 AD 的中点，∴在正方形 DEFG 中，DE=GD=GF=EF=2， 由①得AGD CED ≅ ，∴AG CE = ， 又∵CE CD = ， ∴4AG AD CD === ， ∵AM∠GD ， ∴112GM GD == ， 又∵90D F ∠=∠=︒ ， ∴四边形GMNF 是矩形， ∴2MN GF == ， 在 Rt AGM 中， 22224115AM AG GM =-=-=，∴15cos AM GAM AG ∠==∵//FG AM ， ∴GAM AGF ∠=∠ ∴15cos 4FG AGF GH ∠==， ∴815cos 15FG GH AGF ===∠． （2）①由①得 AGD CED ≅ ，∴GAD ECD ∠=∠ ，又∵90ECD ECA DAC ∠+∠+∠=︒ ，∴90GAD ECA DAC ∠+∠+∠=︒ ， ∴90APC ∠=︒ ，即： AG CP ⊥ ；②∵90APC ∠=︒ ， ∴sin PC AC PAC =⋅∠ ， ∴当 PAC ∠ 最大时，PC 最大， ∵∠DAC=45°，是定值，∴GAD ∠ 最大时， PAC ∠ 最大，PC 最大， ∵AD=4，GD=2，∴当GD∠AG ， 30GAD ∠=︒ 最大，如解图3，此时 22224223AG AD GD =-=-=，又∵AG CP ⊥ ， EF FG ⊥ ，∴F 点与P 点重合， ∴CEFP 四点共线，∴CP=CE+EF=AG+EF= 232 ， ∴线段 PC 得最大值为： 232 ．16．【答案】（1）结论：四边形BOCE 是矩形．理由：∵BE∠OC ，EC∠OB ， ∴四边形OBEC 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC∠BD ， ∴∠BOC ＝90°，∴四边形BOCE 是矩形．（2）如图2中，∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ＝3cm ，OB ＝OD ＝4cm ， ∵S ∠ABG ＝2S ∠OBG ， ∴AG ＝2OG ，∴2t ＝2（3﹣2t ）或2t ＝2（2t ﹣3）， 解得t ＝1或t ＝3，∴满足条件的t 的值为1或3．（3）如图2中，设OG ＝x ，则BG ＋BH ＝224x +＋22(3)4x -+ ，欲求BG ＋BH 的最小值，相当于在x 轴上找一点P(x ，0)，使得点P(x ，0)到A(0，4)和B(3，4)的距离最小，如图3中，作点B 关于x 轴的对称点 B ' ，连接 AB ' 交x 轴于P ，连接BP ，此时PA ＋PB 的值最小， ∵A(0，4)， B ' (3，﹣4)， ∴当B 点在y 轴右侧时， AP ＋PB ＝AP ＋ PB ' ＝ AB ' ＝2283+＝73，当B 点在y 轴左侧时，由于线段整体移动，同理，得 AP ＋PB ＝AP ＋ PB ' ＝ AB ' ＝ 73，∴BG ＋BH 的最小值为73．17．【答案】（1）证明：如图1，∵OB ＝OC ，∴∠ACE ＝∠DBF ， 在∠ACE 和∠DBF 中，ACE DBFE FAE FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴∠ACE∠∠DBF （AAS ） （2）证明：如图2，∵∠ACE ＝∠DBF ，∠DBG ＝∠DBF ， ∴∠ACE ＝∠DBG ，∴CE∠BG ，∵CE ＝BF ，BG ＝BF ， ∴CE ＝BG ，∴四边形BGCE 是平行四边形．18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD∠BC ， ∴∠EAO=∠FCO ，∵EF 是AC 的垂直平分线， ∴OA=OC ， ∵∠AOE=∠COF ， ∴ΔAOE∠ΔCOF （ASA ）， ∴OE=OF ， ∵OA=OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形， ∵EF∠AC ，∴平行四边形AFCE 是菱形； （2）解：∵四边形AFCE 是菱形， ∴AF=FC ，设AF=xcm ，则CF=xcm ，BF=(8－x)cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，则在RtΔABF 中，由勾股定理得： ()22248x x +-=， 解得：x=5，即AF=5cm ； （3）解：分为三种情况：①P 在AF 上，∵P 的速度是1cm/s ，而Q 的速度是0.8cm/s ，∴Q 只能在CD 上，此时以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形不是平行四边形；②当P 在BF 上时，Q 在CD 或DE 上，其中只有当Q 在DE 上时，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ=8－(0.8t －4)，CP=5+(t －5)， ∴8－(0.8t －4)=5+(t －5)，解得： 203t =； ③当P 在AB 上时，Q 在DE 或CE 上，此时以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形不是平行四边形； 综上所述，当203t =时，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形．。
2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项(三)
2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项（三）练习一1．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，连结AE．（1）如图①，当点D在线段AB上，点E与点A在CD同侧．求证：AE＝BD．（2）如图②，当点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE＝1，AB＝4，则AD＝．（3）如图③，当点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧时，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系：．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；（4）设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝°，∠DEC＝°；（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．5．已知△ABC是等边三角形，点P，Q分别为边AB，BC上的动点（端点除外）点P，Q 以相同的速度，同时从点A，点B出发，直线AQ，CP相交于点M．（Ⅰ）如图①，求证：△ABQ≌△CAP；（Ⅱ）如图①，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小；（Ⅲ）如图②，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．练习二6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、F是线段AB上两点，连结CD，过A作AE⊥CD于点E，过点F作FM⊥CD于点M．（1）如图1，若点E是CD的中点，求∠CAE的大小；（2）如图2，若点D是线段BF的中点，求证：CE＝FM；（3）如图3，若点F是线段AB的中点，AE＝，CE＝1，求FM的值．7．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1．且AD＝AE＝1．（1）如图1，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．直接写出DE的值，BC的值；（2）现将△ADE如图2放置，连接CE，BE，CD，求证：CD＝BE；（3）现将△ADE如图3放置，使C，A，E三点共线，延长CD交BE于点F，求证：CF垂直平分BE．8．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l 于点D．（1）如图l，点P在线段AB上，依题意补全图形．①求证：∠BDP＝∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．9．定义：点P是△ABC内部的一点，若经过点P和△ABC中的一个顶点的直线把△ABC 平分成两个面积相等的图形，则称点P是△ABC关于这个顶点的均分点，例如图1中，点P是△ABC关于顶点A的均分点．（1）下列图形中，点D一定是△ABC关于顶点B的均分点的是；（填序号）（2）在△ABC中，BC＝2，AB＝AC且AB＞BC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，且≤BP≤2，直接写出∠BPC的范围；（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，点P是△ABC关于顶点A的均分点，直线AP与BC交于点D，当BP⊥AD时，BP＝4，求CP的长．10．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．练习三11．如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B（a，b）且a、b满足+（b﹣5）2＝0，D为y轴上一动点，以AD为边作等边△ADC，CB交y轴于E．（1）如图1，求A点坐标；（2）如图2，D为y正半轴上一点，C在第二象限，CE的延长线交x轴于M，当D 点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由；（3）如图3，D在y轴负半轴上，以DA为边向右构造等边△DAC，CB交y轴于E 点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持△DAC为等边三角形，连BE，试求CE，OD，AE三者的数量关系，并证明你的结论．12．【教材呈现】数学课上，胡老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【试一试】如图1，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．第一步：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于线段DE长的一半）为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C；第三步：作射线OC．射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线．【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小萱同学发现只利用直角三角板也可以作∠AOB的角平分线，方法如下（如图2）：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．（1）请写出小萱同学作法的完整证明过程．（2）当∠MON＝60°时，量得MN＝4cm，则△MON的面积是cm2．13．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6时，AC＝，BC＝；如图2，当sin∠PAB＝，AB＝4时，AC＝，BC＝；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．14．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．15．阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：①△DEC和△DAC的关系是，判断的依据是；②△BDE是三角形；③BC的长为．（2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC ＝2，求AD的长．参考答案1．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．2．（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD；（2）解：如图②，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∴AD＝AB+BD＝AB+AE＝5，故答案为：5；（3）解：同（2）的证明方法可得，△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∴AB+BD＝BD＝AE，故答案为：AB+AD＝AE．3．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，∴AB＝＝＝25；（2）如图1，P在AC上时，点E在BC上，DE∥AC，∵DE∥AC，∴∠CPE＝∠DEP，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，由题意得：AP＝5t，sin A＝，即，∴PD＝3t，∴AD＝4t，BD＝25﹣4t，∵∠DPE＝90°，∴∠APD+∠CPE＝90°＝∠APD+∠A，∴∠CPE＝∠A＝∠DEP，∴sin∠DEP＝，∴DE＝5t，∵DE∥AC，∴，即，解得：t＝；如图2，P在BC上时，点E在AC上，DE∥BC，由题意得：CP＝5t﹣20，PB＝15﹣（5t﹣20）＝35﹣5t，∵∠EPD＝∠PDB＝90°，∴EP∥AB，∵DE∥BC，∴四边形EPBD是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∵∠CEP＝∠A＝∠PDE，∴sin∠CEP＝sin∠PDE，∴＝，即，∴EP＝，∴＝，解得：t＝；综上，t的值是或；（3）如图3，P在AC上，△PDE与△ABC重叠部分图形是△PDE，设直线PE与BC 交于点F，∵AP∥DE，AD∥PE，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∵△ADP≌△PCF，∴PC＝AD＝4t，∵AC＝AP+CP，即20＝5t+4t，∴t＝，∴△PDE的周长＝PD+PE+DE＝3t+4t+5t＝12t＝12×＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；如图4，P在BC上，△PDE与△ABC重叠部分的图形是△PDE，设直线PE与AC交于点G，同理得：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB，∵△GCP≌△PDB，∴PC＝BD＝5t﹣20，Rt△PDB中，cos B＝＝，∴＝，解得：t＝，∴PB＝35﹣5×＝，∵∠C＝∠PDB＝90°，∠B＝∠B，∴△PDB∽△ACB，∴＝，∴△PDB的周长＝×（15+20+25）＝，∴△PDE的周长＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；综上，△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为或；（4）分两种情况：①如图5，P在AC上，设PE与CQ交于点O，连接PQ，∵Q是DE的中点，∴DQ＝EQ＝t，∴S△PDQ＝S△PQE，Rt△PDE中，PD＝3t，PE＝4t，DE＝5t，∵＝＝，∴＝，∴＝，∴＝1，∵DE∥CP，∴，即＝1，解得：t＝；②如图6，P在BC上，＝，同理得：＝1，∵CP＝5t﹣20，PB＝35﹣5t，由上题知：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∴EQ＝，∵ED∥PC，∴＝1，∴EQ＝CP，∴＝5t﹣20，解得：t＝5；综上，t的值是或5．4．解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝105°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣50°﹣105°＝25°；∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣25°＝105°，故答案为：25，105；（2）∵∠B＝∠C＝50°，∴∠DEC+∠EDC＝130°，又∵∠ADE＝50°，∴∠ADB+∠EDC＝130°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）．（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，①∠BDA＝100°时，则∠ADC＝80°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝50°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形；②∠BDA＝115°时，则∠ADC＝65°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝65°，∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝65°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形．5．解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．6．（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵AE⊥CD，EC＝ED，∴AC＝AD，∴∠CAE＝∠DAE＝22.5°，∴∠CAE＝22.5°．（2）证明：过点B作BN⊥CD交CD的延长线于点N．∴∠BNC＝90°，∵AE⊥CD，∴∠CEA＝∠BNC＝90°，∴∠CAE+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCN＝90°，∴∠CAE＝∠BCN，在△AEC和△CNB中，，∴△AEC≌△CNB（AAS），∴CE＝BN，∵FM⊥CD，BN⊥CD，∴∠FMD＝∠BND＝90°，∵点D是线段BF的中点，∴FD＝BD，在△FMD和△BND中，，∴△FMD≌△BND（AAS），∴FM＝BN，∴CE＝FM．（3）解：在线段AE上取点G，使得AG＝CE，连结CF、EF，如图3所示：∵AF＝FB，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，CF＝AF，∵∠FAG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠FCE＝90°，∴∠GAF＝∠ECF，在△AGF和△CEF中，，∴△AGF≌△CEF（SAS），∴FG＝EF，∠AFG＝∠CFE，∴∠EFG＝∠AFC＝90°∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG＝EF，∠GEF＝45°，∴∠MEF＝90°﹣45°＝45°，∴△EFM是等腰直角三角形，∴EF＝FM，∴AE﹣CE＝AE﹣AG＝EG＝EF＝2FM＝﹣1，∴FM＝．7．（1）解：在Rt△ADE中，∠A＝90°，AD＝AE＝1，∴DE＝＝＝，同理，BC＝＝2+，故答案为：；2+；（2）证明：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，即∠CAD＝∠BAE，在△CAD和△BAE中，，∴△CAD≌△BAE（SAS），∴CD＝BE；（3）证明：∵C，A，E三点共线，∴CE＝CA+AE＝+2，∴CE＝CB，∴点C在线段BE的垂直平分线上，∵BD＝AB﹣AD＝，DE＝，∴BD＝DE，∴点D在线段BE的垂直平分线上，∴CF垂直平分BE．8．解：（1）①补全图形如图1，证明：如图1，设PD与BC的交点为点E，根据题意可知，∠CPD＝90°，∵BC⊥l，∴∠DBC＝90°，∴∠BDP+∠BED＝∠PCB+∠PEC＝90°，∴∠BDP＝∠PCB；②BC﹣BD＝BP．证明：如图2，过点P作PF⊥BP交BC于点F，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝45°，∴BP＝BF，∠PFB＝45°，∴∠PBD＝∠PFC＝135°，又∵∠BDP＝∠PCF，∴△BPD≌△FPC（AAS），∴BD＝FC，在等腰直角△BPF中，BF＝BP，∴BC﹣BD＝BP．（2）BD﹣BC＝BP．证明：如图3，过点P作PM⊥PB交BD于点M，由（1）可知∠ABC＝∠PBM＝45°，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴PB＝PM，∠PBC＝∠PCB＝135°，同（1）可得∠PDB＝∠PCB，∴△PMD≌△PBC（AAS），∴DM＝BC，∵PB＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝PB，∴BD﹣DM＝BM＝BD﹣BC＝PB．9．解：（1）在图①中，∵∠BAE＝∠CAE，∴点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点；在图②中，∵BE＝CE，∴点D一定是△ABC关于顶点A的均分点，但点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点．在③中，∵∠ABE＝∠CBE，AB≠BC，∴点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点；④∵AE＝CE，∴点D一定是△ABC关于顶点B的均分点．故答案为：④．（2）60°≤∠BPC≤90°．如图1，点P是△ABC关于顶点A的均分点，∵AB＝AC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，∴BD＝CD，∴AD⊥BC，∵BC＝2，∴BD＝1，∴当∠BED＝45°时，BE＝，当∠BFD＝30°时，BF＝2BD＝2，∵点P在AD上运动，且≤BP≤2，∴60°≤∠BPC≤90°．（3）解：如图2，过C点作CE⊥AP，交直线AP于点E．∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC＝10，∴BD＝CD＝5．在Rt△BPD中，∵∠BPD＝90°，∴BP2+PD2＝BD2．∵BP＝4，BD＝5，∴PD＝3．∵BP⊥AP，CE⊥AP，∴∠BPD＝∠CED＝90°．∵∠BDP＝∠CDE，∴△BPD≌△CDE（AAS）．∴PD＝DE，PB＝CE＝4．∴PE＝2PD＝6．在Rt△PEC中，∵∠PEC＝90°，∴PE2+CE2＝CP2．∴CP＝＝＝．10．（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴，∴，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN＝DC＝2a，∵tan∠DEC＝，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴，∵CE∥DN，∴△CEF∽△NDF，∴．11．解：（1）如图1中，作BF⊥AO于F．∵+（b﹣5）2＝0，∴a＝﹣5，b＝5，∴B（﹣5，5），∵BA＝BO，BF⊥OA，∴FA＝FO＝5，∴OA＝10，∴A（﹣10，0）．（2）点M的坐标不发生变化．理由：如图2中，∵△ABO，△ADC都是等边三角形，∴∠OAB＝∠DAC，OA＝OB，AD＝AC，∴∠OAD＝∠BAC，∴△OAD≌△BAC，∴∠AOD＝∠CBA＝90°，在Rt△ABM中，∵∠ABM＝90°，AB＝OA＝10，∠BAM＝60°，∴AM＝2AB＝20，∴OM＝AM﹣OA＝10，∴M（10，0）．（3）结论：OD＝CE+AE．理由：如图3中，取AE的中点R，连接BR、OR．∵∠ABE＝∠AOE＝90°，AR＝ER，∴BR＝AR＝RE＝OR，∴A、B、E、O四点共圆，∴∠BAE＝∠BOE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AE，∵△ABO，△ADC都是等边三角形，∴∠OAB＝∠DAC，OA＝OB，AD＝AC，∴∠OAD＝∠BAC，∴△OAD≌△BAC，∴OD＝BC＝CE+BE＝CE+AE．即OD＝CE+AE．12．解：【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS，故答案为：SSS；【问题2】（1）在Rt△OPN和Rt△OPM中，，∴Rt△OPN≌Rt△OPM（HL），∴∠NOP＝∠MOP，∴OP为∠AOB的平分线；（2）∵∠MON＝60°，OM＝ON，∴△MON为等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝4（cm），∵OM＝ON，OP为∠AOB的平分线，∴NH＝HM＝MN＝2（cm），由勾股定理得，OH＝＝＝2（cm），∴△MON的面积＝×MN×OH＝×4×2＝4（cm2），故答案为：4．13．（1）解：如图1，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，∵∠PAB＝45°，AB＝6，∴AP＝PB＝6，如图1，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB．且EF＝AB，∴，∴PE＝PF＝3，由勾股定理得：AE＝BF＝＝＝3，∴AC＝BC＝2AE＝6，如图2，∵sin∠PAB＝，AB＝4，AF⊥BE，∴∠PAB＝30°，∴BP＝AB＝2，AP＝2，∵AF、BE是△ABC的中线，∴PE＝PB＝1，PF＝AP＝，由勾股定理得：AE＝＝＝，BF＝＝＝，∴AC＝2AE＝2，BC＝2BF＝2，故答案为：6，6，2，2；（2）解：猜想：AB2、BC2、AC2三者之间的关系是：AC2+BC2＝5AB2，证明：如图3，设PF＝m，PE＝n则AP＝2m，PB＝2n，在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2①，在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（）2②，在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（）2③，由①得：m2+n2＝，由②+③得：5（m2+n2）＝，∴AC2+BC2＝5AB2；（3）解：如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q，∵FN∥BG，BG⊥AC，∴FN⊥AC，∵F是BC的中点，∴N是CG的中点，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝FC，DE∥FC，∵ED＝EG，∴EG＝FC，EG∥FC，∴四边形EFCG是平行四边形，∴Q是FG的中点，∴△FCG是中垂三角形，∵AB＝4，BC＝2，∴CG＝EF＝BD＝2，FC＝，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，即5×5＝（2）2+FG2，∴GF＝．14．（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠BCD+∠ACE＝120°，∵∠AEC＝60°，∴∠ACE+∠EAC＝120°，∴∠BCD＝∠EAC，∵∠AEC＝∠BDC＝60°，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD＝CE，∵∠AEF＝∠AFH＝60°，∴∠AFE+∠FAE＝∠AFE+∠GFH＝60°，∴∠FAE＝∠GFH，∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，∴∠HGF≌△FEA（AAS），∴GH＝EF，∴CF＝EF+CE＝HG+BD；（3）解：HG＝CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED＝60°，连接AE，在l上取一点M，使BM＝BD，∵∠BDC＝60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM＝60°，∴∠CBM+∠ABM＝∠ABM+∠ABD，∴∠ABD＝∠CBM，∵∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ANC＝∠DNB，∴∠ACE＝∠ABD＝∠CBM，∵∠ACE+∠BCE＝∠ACE+∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBM（ASA），∴CE＝BM＝BD，∵∠AFH＝120°，∴∠AFC+∠GFH＝∠AFC+∠FAE＝60°，∴∠GFH＝∠FAE，∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH＝FE，∵EF＝CF+CE∴HG＝CF+BD．故答案为：HG＝CF+BD．15．解：（1）如答图1，①在△ACD与△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS）；②由①知，△ACD≌△ECD，∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形；③由①知，△ACD≌△ECD，则EC＝AC＝3.6，DE＝AD＝2.2．又∵BE＝DE，∴BE＝AD＝2.2．∴BC＝BE+EC＝2.2+3.6＝5.8．故答案是：①△ACD≌△ECD；SAS；②等腰；③5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，如答图2，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，则△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，则△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．。
浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 综合测试卷(原卷+答案)
第四章综合测试卷 相似三角形班级 学号 得分 姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.己知 ab =25,则a +b b的值为( )A 25B 35C 75D 232.如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列等式一定成立的是( )A.BC DF=12 B.∠A 的度数∠D 的度数=12C.△ABC的面积△def 的面积= 12 D. △ABC 的周长△def 的周长= 123.如图,在直角坐标系中,△OAB 的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O 为位似中心,在第三象限内作与△OAB 的位似比 13的位似图形△OCD,则点C 坐标为( )A. (-1,-1)B.(−43,−1)C.(−1,−43) D. (-2,-1)4. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 △ABP 与△ECP 相似的是( )A.∠APB=∠EPCB. ∠APE=90°C. 点 P 是BC 的中点D. BP: BC=2:35.如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连结AD,点E 在AC 边上,过点E 作EF∥BC,交 AD 于点F,过点E 作EG∥AB,交BC 于点G,则下列式子一定正确的是( ) A.AE EC=EF CDB.EF CD=EG ABC.AFFD=BG GCD.CG BC=AF AD6. 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE(DE=BC=0.5m ，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点 G 处，测得CG=15m ，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得 EG=3m ，小明身高EF=1.6m,则凉亭的高度AB 约为( )A. 8.5mB. 9mC. 9.5mD. 10m7. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处8. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大 12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N第二步,连结MN 分别交AB,AC 于点E,F;第三步,连结DE,DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE 的长是( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 如图,在△ABC 中,点 D 为BC 边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB,过点 D 作DE⊥AD,DE 交AC 于点E,若DE=1,则△ABC 的面积为( )A. 2B. 4C.25D. 810. 在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH 垂直平分 AC,点 H 为垂足.设AB=x ，AD=y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图所示，点 E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交 CD 于点F ，连结BF.写出图中任意一对相似三角形： .12. 已知 a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a 的值为 .13. 如图,在平行四边形ABCD 中,AB=10,AD=6,点E 是AD 的中点,在AB 上取一点F,使△CBF∽△CDE,则 BF 的长是 .14. 如图，在一块斜边长为30cm 的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC=1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为 .15.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为16. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2).如果点C 在x 轴上，且点 C 与点O 及点A 不重合，当点 C 的坐标为 时，使得由点B ，O ，C 构成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个符合条件的点).三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,在△ABC中，DE‖BC,EF‖AB,求证：△ADEO△EFC.18. (6分)如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少?19.(6分)如图,点 P 是⊙O的直径AB 延长线上一点,且AB=4,点 M为A AB上一个动点(不与A，B重合)，射线 PM与⊙O交于点 N(不与M重合).(1)当M在什么位置时，△MAB的面积最大? 并求出这个最大值；(2)求证:△PAN∽△PMB.20. (8 分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.21. (8分)如图,在△ABC中,点 D,E分别在边AB,AC上,且∠ABE=∠ACD,BE,CD交于点G,连结DE.(1)求证:△AEDO△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求证:DE=CE.22.(10分)如图,在 △ABC 中,点D,E,F 分别在AB,BC,AC 边上, DE‖AC,EF‖AB.(1)求证: △BDEO △EFC.(2)设AF FC=12,①若. BC =12,，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20,求△ABC 的面积.23.(10分)在矩形ABCD 中,AE⊥BD 于点E,点 P 是边AD 上一点.(1)若BP 平分∠ABD,交 AE 于点G,PF⊥BD 于点F,如图①,证明四边形 AGFP 是菱形;(2)如图②,若PE⊥EC,求证:AE·AB=DE·AP;(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP 的长.24.(12分)如图,已知 △ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB,BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是2cm/s,当点 Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动.设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1) 当 t =2时，判断 △BPQ 的形状，并说明理由；(2)设 △BPQ 的面积为 S (cm²),求S 与t 的函数表达式；(3)如图,作 QR//BA 交AC 于点R,连结PR,当t 为何值时,△APR∽△PRQ?第四章综合测试卷 相似三角形1. C2. D3. B4. C5. C6. A7. B8. D9. B 10. D 11. △ADF∽△ECF(答案不唯一)12. 12 13. 1.8 14. 100cm² 15.24516. (-1,0)或(1,0)或(-4,0)(答案不唯一)17. 证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵EF∥AB,∴△EFC∽△ABC,∴△ADE∽△EFC.18. 解：设这个正方形零件的边长为 xmm ，则△AEF 的边EF 上的高AK=(80-x) mm.∵四边形EF-HG是正方形,∴EF∥GH,即 EF∥BC.∴△AEF CABC.∴EF BC=AK AD,即 x 120=80−x 80⋅∴x =48.∴这个正方形零件的边长是48mm.19. (1)解:当点 M 在 AB 的中点处时，△MAB 的面积最大，此时( OM⟂AB,∵OM =12AB =12×4=2,∴S ABM =12AB ⋅OM =12×4×2=4. (2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.20. 解: ∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD =∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD.∵BC=4,∴CD=4.∵AB∥ CD,∴ABECDE,∴AB CD=AE CE,∴84=AE CE,∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.21. 证明:(1)∵∠ABE=∠ACD,且∠A 是公共角, ∴ABEACD.∴AE AD=AB AC,即AEAB =ADAC ,又∵∠A 是公共角,∴△AED∽△ABC. (2)∵∠ABE=∠ACD,∠BGD=∠CGE,∴△BGD∽ CGE.:DG EG=BG CG,即DG BG=EG CG.又∵∠DGE=∠BGC,∴△DGE∽△BGC.∴∠GBC=∠GDE,∵BE 平分∠ABC,∴∠GBC=∠ABE,∵∠ABE=∠ACD,∴∠GDE=∠ACD.∴DE=CE.22. (1)证明:∵DE∥AC,∴∠BED=∠C.∵EF∥AB,∴∠B=∠FEC,∴△BDE∽△EFC.(2)解:①∵EF//AB,∴BE EC=AF FC=12.∵BC = 12,∴BE12−BE =12,∴BE =4.②∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC,∴S△BC= (EC BC)2⋅∴BE EC=12,∴EC BC=23.又∵△EFC 的面积是20, ∴20SABC=(23)2,∴SABC=45,即△ABC 的面积是45.23. (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE,∵BP 平分∠ABD,∴∠ABG=∠PBD.∵∠AGP=∠BAG+∠ABG,∠APB =∠ADE+∠PBD,∠ABG=∠PBD,∴∠AGP=∠APG,∴AP=AG,∵PA⊥AB,PF⊥BD,BP 平分∠ABD,∴PA=PF,∴PF=AG,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP 是平行四边形,∵PA=PF,∴四边形AGFP 是菱形.(2)证明:∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED=∠PEC=90°,∴∠AEP=∠DEC,∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,∴∠EAP=∠EDC,∴△AEP∽△DEC,∴DE·AP.(3)解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=√AB²+AD² =5,∵AE ⊥BD,∴S ABD =12⋅BD ⋅AE = 12⋅AB ⋅AD,∴AE =255,∴DE =AD 2−AE 2=455,∵AE ⋅AB =DE ⋅AP,∴ AP =255×1455=12.24. 解:(1)△BPQ 是等边三角形.当t=2时,AP=21 =2( cm),BQ=2×2=4( cm),∴BP=AB-AP=6-2=4( cm),∴BQ=BP,又∵∠B = 60°,∴△BPQ 是等边三角形.(2)如图,过点 Q 作QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2tcm,∠B=60°,∠BEQ=90°,得 QE =3tcm,由AP= tcm,得 PB =(6−t )cm,∴S =12BP ⋅QE = 12×(6−t )×3t =−32t 2+33t.(3)∵QR‖BA,∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°,∴△QRC是等边三角形,∴QR=RC=QC=(6-2t)cm⋅:BE=12BQ=12×2t=t(cm),∴EP=AB−AP−BE=6−t−t=6−2t(cm),∵EP‖QR,EP=QR,∴四边形 EPRQ是平行四边形,∴PR=EQ3tcm.又∵∠PEQ=90°,∴∠APR∠PRQ=90°,∴△APR∽△PRQ,∴∠QPR=∠A=60∘,QRPR=6−2t3t=3,解得t=65.∴当t=65时,△APR∽△PRQ.。
2022年中考数学九年级一轮复习：三角形综合练习题
在△APC和△QPD中，
，
∴△APC≌△QPD（ASA），
∴AC=QD=BC，
∴BP=BC-PC=QD-CD=CQ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
过P作 交BA于F，
∴∠FPA=∠PAC，
∵∠APE=∠ECQ= ，∠AEP=∠QEC，
∴∠PAE=180°-∠AEP- =180°-∠QEC- =∠PQC，
（3）当点P在直线BC上，当 ， ， 时，请利用备用图探究 面积的大小（直接写出结果即可）．
23．如图，在等边 中，点 在 边上，点 为 延长线上一点，连接 ，过点 作 交 延长线于点 ．
（1）如图1，若 ， ， ，求 的长；
（2）如图2，若 ，点 在 的垂直平分线上，点 在 边上，连接 交 于点 ，且 ，求证： ；
∴AF∥DG，
∴∠GDB=∠AEB，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAG=60°，AC=AB=8，
∴∠ADG=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠ABP=∠APQ=90°，
∴∠APB+∠BAP=∠APB+∠HPQ=90°，
∴∠BAP=∠HPQ，
∴△APB∽△PQH，
∴ ，即 ，
∵∠ACQ=90°，
∴∠QCH=∠ACB=45°，
∴∠CQH=90°-∠QCH=45°，
∴CH=QH，
设PH=8m，QH=15m,
∴CH-PH=CP=7，
∴15m-8m=7m=7，
∴∠EAG＝∠F，
九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(四)(Word版,带答案)
九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（四）1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+＝0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF＝BC；②直接写出点C到DE的距离．2．已知：如图，点P是等边△ABC内一点，连接PC，以PC为边作等边三角形△PDC，连接PA，PB，BD．（1）求证：∠APC＝∠BDC；（2）当∠APC＝150°时，试猜想△DPB的形状，并说明理由；（3）当∠APB＝100°且DB＝PB，求∠APC的度数．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．点E为AD上一点，点F为BE延长线上一点，且AF＝AC．（1）如图1，若∠FBC＝∠BAC＝30°．①判断△BAF的形状，并证明；②若AE＝（+1）BE，则＝．（直接写出结果）（2）如图2，若∠FBC＝45°，作AG⊥BF于G，求证：EF＝BE+2AG．4．如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为Rt△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．（1）如图1，AB＝10，cos A＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是．（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．5．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE的长．6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝16，CD是斜边AB上的中线，P是边AC上一点，连接DP，以DP为直角边作等腰直角三角形DPE（点E始终在直线AB右侧）．（1）求点D到边AC的距离；（2）当△PEC是以PE为腰的等腰三角形时，求所有满足要求的AP长．（3）如图2，当斜边DE与AC有交点时，记交点为Q，若AP＝CQ，则S△DPE ＝．（直接写出答案）7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，作AF ⊥AE且AF＝AE，BF交AC于D．（1）如图1，求证：D为BF中点；（2）如图1，求证：BE＝2CD；（3）如图2，若＝，直接写出的值．8．在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E为BC上一个动点，CF⊥AE于G，交AB于F．（1）如图1，当AE平分∠CAB时，求BE的长．（2）如图2，当E为BC中点时．①求CG的长．②连接EF，求GF+EF的值．（3）如图3，在E运动过程中，连接BG，则BG的最小值为．9．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝BC．（1）连接BD，如图1，若∠BAD＝90°，AD＝3，求DC的长；（2）点E，F分别在射线DC，DA上．①如图2，若点E，F分别在线段CD，AD上，且满足∠EBF＝90°﹣∠ADC，求证：EF＝AF+CE；②如图3，若点E，F分别在线段DC延长线与DA延长线上，且满足EF＝AF+CE，请直接写出∠EBF与∠ADC之间的数量关系．10．（1）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．①如图1，点M、N在底边BC上，且∠ANB＝45°，∠MAN＝60°．请在图中作出∠NAD＝60°，且AD＝AM，连接ND、CD；并直接写出BM与CN的数量关系．②如图2，点M在BC上，点N在BC的上方，且∠MBN＝∠MAN＝60°，求证：MC＝BN+MN；（2）如图3，在四边形ABCD中，∠CAB＝50°，BD平分∠ABC，若∠ADC与∠ABD互余，则∠DAC的大小为（直接写出结果）．参考答案1．解：（1）∵，∴，∵（a﹣2）2≥0，，∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，Ⅰ、当∠BAC＝90°时，如图1，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝CB，过点C作CG⊥OA于G，∴∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠BAO＝∠ACG，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝OA﹣AG＝1，∴C（2，1），Ⅱ、当∠ABC＝90°时，如图2，同Ⅰ的方法得，C（1，﹣1）；即：满足条件的点C（2，1）或（1，﹣1）（3）①如图3，由（2）知点C（1，﹣1），过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，在△BOE和△CLE中，，∴△BOE≌△CLE（AAS），∴BE＝CE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAO+∠BEA＝90°，∵∠BOE＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴；②点C到DE的距离为1．如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，由①知BE＝CF，∵BE＝BC，∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴CK＝CH＝1．2．解：（1）如图，∵△ABC，△PDC是等边三角形，∴AC＝BC，PC＝PD＝CD，∠ACB＝∠PCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCD，且AC＝BC，PC＝CD，∴△ACP≌△BCD（SAS）∴∠APC＝∠BDC；（2）△DPB是直角三角形．理由：∵∠BDC＝∠APC＝150°，∠PDC＝60°∴∠BDP＝∠BDC﹣∠PDC＝90°，∴△DPB是直角三角形；（3）设∠APC＝x，则∠BPD＝200°﹣x，∠BDP＝x﹣60°∵PB＝DB，∴∠BPD＝∠BDP，∴200°﹣x＝x﹣60°，∴x＝130°，∴∠APC＝130°3．解：（1）①△BAF为等腰直角三角形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠FBC＝∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°，∠BAD＝∠CAD＝15°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∴∠ABF＝45°，∴△BAF为等腰直角三角形；②如图1，过点A作AM⊥BF于点M，设BE＝x，则AE＝（+1）x，∵∠FBC＝30°，∴DE＝BE＝x，∠BED＝∠AEF＝60°，∴∠EAM＝30°，∴EM＝AE（+1）x，∵△ABF为等腰直角三角形，AM⊥BF，∴AM＝MF＝BM，∴BM＝EB+EM＝x+x＝x，∴EF＝EM+MF＝x＝（2+）x，∴＝4+2．故答案为：4+2．（2）证明：如图2，过点A作AH⊥AE，交BC于点H，∵∠FBC＝45°，AD⊥BC，∴∠BED＝∠AEH＝45°，∴∠AHE＝∠AEH＝45°，AE＝AH，∴∠AEB＝∠AHF＝135°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（AAS），∴BE＝FH，∴AG＝EG＝GH，∴EH＝2AG，∴EF＝FH+EH＝BE+2AG．4．解：（1）∵AB＝10，cos A＝，∴cos A＝，∴AC＝8，CD＝5，∴＝＝6，设BE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，∵DE为完美分割线，∴AD2+BE2＝DE2，∴32+x2＝52+（6﹣x）2，解得：x＝．∴BE＝．故答案为：．（2）证明：如图2，∵DA＝DP，∴∠DAP＝∠DPA，∵PE⊥PD，∴∠DPA+∠EPB＝90°，又∠A＝∠B，∴∠EPB＝∠B，∴EP＝EB，∴AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，∴DE是直角△ABC的完美分割线．（3）解：延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，∵AP＝BP，∠APD＝∠BPF，∴△APD≌△BPF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠FBP，∴∠EBF＝∠CBA+∠FBP＝∠CBA+∠A＝90°，∵DE是完美分割线，∴DE2＝AD2+BE2＝BF2+BE2＝EF2，即ED＝EF．又PD＝PF，∴∠EPD＝90°，过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，则∠MPD＝∠NPE＝90°﹣∠MPE，∴△MPD∽△NPE，∴，设PD＝a，则PE＝2a，则DE＝＝a，∴cos∠PDE＝＝．5．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．6．解：（1）过D用DF⊥AC于点H，如图1，则DF∥BC，∵D是AB的中点，∴AF＝CF，∴DF＝，∵BC＝，∴DF＝6，故点D到边AC的距离为6；（2）当PE＝CE时，如图1，过点E作EG⊥PC于点G，∴PG＝CG，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵PD＝EP，∠DFP＝∠PGE＝90°，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝CG＝6，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣6﹣6＝4；当PE＝PC时，如备用图1，过D作DF⊥AC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，则DF∥BC，AF＝CF＝8，DF＝BC＝6，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝EP，∴△PDF≌△EPG（AAS），∴DPG＝6，PF＝EG，设PE＝PC＝x，则EG＝FP＝8﹣x，由勾股定理得，PE2﹣EG2＝PG2，∴x2﹣（8﹣x）2＝62，解得，x＝，即PC＝，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣，综上，AP＝4或；（3）过点D作DF⊥AC于点F，过点E作EG⊥AC于G，则DF∥EG∥BC，∵D是AB的中点，∴AF＝CF＝8，DF＝，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，设AP＝CQ＝x，则PF＝QF＝，∵∠DPE＝90°，∠DFP＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPF，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝PE，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝6，PF＝EG＝8﹣x，∴QG＝PG﹣PQ＝6﹣2（8﹣x）＝2x﹣10，∵DF∥EG，∴△DFQ∽△EGQ，∴，即，解得，x＝14+6＞16（舍），或x＝14﹣6，∴PF＝QF＝EG＝8﹣x＝6﹣6，∴＝．另一解法：过D作DF⊥AC于点F，延长DF至M，使得DF＝FM，过M作MN⊥DE，与DE的延长线交于点N，如图2，则DF∥BC，∴QD＝QM，∴∠QDM＝∠QMD，∵D是AB的中点，DF∥BC，∴AF＝CF＝8，DF＝，∴DM＝12，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，∴DP＝DQ，∴∠PDF＝∠QDF，∴∠PDF＝∠QMF，∴DP∥QM，∴∠MQN＝∠PDE＝45°，∴∠NMQ＝45°＝∠MQN，∴MN＝QN，不妨设MN＝QN＝x，则DP＝QD＝QM＝，∵DN2+MN2＝DM2，∴，解得，，∴，∴，∴．故答案为：72﹣36．7．证明：（1）如图1，过F点作FG⊥AC于点G，∵∠FAG+∠CAE＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°，∴∠CAE＝∠AFG，在△AGF和△ECA中，，∴△AGF≌△ECA（AAS），∴AG＝EC，FG＝AC，∵AC＝BC，∴BC＝FG，又∵∠FGD＝∠DCB＝90°，∠FDG＝∠CDB，∴△FGD≌△BCD（AAS），∴DF＝BD，即D为BF的中点；（2）证明：∵△FGD≌△BCD，∴DC＝GD，∴CG＝2CD，∵AG＝CE，AC＝BC，∴CG＝BE，∴BE＝2CD；（3）解：如图2，过F点作FG⊥AC于点G，∵，∴，∵AC＝CB，∴，由（1），（2）可知△AGF≌△ECA，△FGD≌△BCD，∴CE＝AG，CD＝DG，∴，∴，∴，∴．∴．8．解：（1）∵AE平分∠CAB，∴点E到AC，AB的距离相等，∴，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝4，∴，∴，∴BE＝×4＝4（2﹣）＝8，即BE＝8﹣4；（2）①∵点E是BC的中点，∴CE＝BE＝BC＝2，∴AE＝＝2，∵CF⊥AE，∴S△ACE＝AE•CG＝AC•CE，∴CG＝．②过点B作BM⊥BC交CF延长线于点M，∵BM⊥BC，∴∠CBM＝90°，∴∠CBM＝∠ACE＝90°，∵∠ACG+∠BCM＝90°，∠ACG+∠CAE＝90°，∴∠BCM＝∠CAE，在△CBM和△ACE中，，∴△CBM≌△ACE（ASA），∴AE＝CM＝2，CE＝BM，∵CE＝BE，∴BM＝BE，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝∠MBF＝45°，在△EBF和△MBF中，，∴△EBF≌△MBF（SAS），∴EF＝MF，∴GF+EF＝GF+MF＝GM＝CM﹣CG＝2﹣．∴GF+EF＝．（3）取AC的中点N，连接NG，BN，∵点N是AC的中点，∴AN＝CN＝AC＝2，∴BN＝＝2，∵CF⊥AE，∴∠AGC＝90°，∴NE＝AC＝2，∴BG≥BN﹣NG，当且仅当B，G，N三点共线时，BG取得最小值，∴BG的最小值为2﹣2．故答案为：2﹣2．9．（1）解：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝90°，∴∠C＝90°＝∠A，在Rt△ABD和Rt△CBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴DC＝DA＝3；（2）证明：如图2，延长DC到G，使得CG＝AF，连接BG，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠A＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，且∠BCD+∠BCG＝180°，∴∠A＝∠BCG，∵AB＝BC，CG＝AF，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF＝BG，∠ABF＝∠CBG，又∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠EBF＝90°﹣∠ADC＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝∠CBG+∠EBC＝∠EBG，∵BE＝BE，∴△EBF≌△EBG（SAS），∴EF＝EG＝EC+CG＝CE+AF；（3）解：∠EBF与∠ADC之间的数量关系为：∠EBF＝90°+∠ADC．在CD的延长线上截取CH＝AE，连接BH，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°，且∠DAB+∠EAB＝180°，∴∠BCD＝∠EAB，且AB＝BC，AE＝CH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC，∵EF＝AE+CF，∴EF＝CH+CF＝HF，且BF＝BF，BE＝BH，∴△EBF≌△HBF（SSS），∴∠EBF＝∠HBF，∵∠EBF+∠HBF+∠EBA+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠HBC+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠ABC＝360°，∴2∠EBF+180﹣∠ADC＝360°，∴∠EBF＝90°+∠ADC．10．解：（1）①BM＝2CN．如图1，作出∠NAD＝60°，且AD＝AM，连接ND、CD；∵∠MAN＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∵∠CAD+∠CAN＝60°，又∵AD＝AM，AB＝AC，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴BM＝CD，∠B＝∠ACD＝30°，∵AM＝AD，∠MAN＝∠DAN，AN＝AN，∴△AMN≌△ADN（SAS），∴∠ANM＝∠AND＝45°，∴∠MND＝90°，又∵∠DCN＝∠ACB+∠ACD＝60°，∴∠CDN＝30°，∴CD＝2CN，∴BM＝2CN．故答案为：BM＝2CN．②如图2，在CB上截取CG＝BN，连接AG，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝30°，∵∠NBM＝60°，∴∠ABN＝30°，在△ABN和△ACG中，，∴△ABN≌△ACG（SAS），∴∠BAN＝∠CAG，AN＝AG，∴∠BAN+∠BAM＝∠BAM+∠CAG＝∠MAN＝60°，∴∠MAG＝∠BAC﹣∠BAM﹣∠CAG＝60°，在△AMN和△AMG中，，∴△AMN≌△AMG（SAS），∴MN＝MG，∴MC＝MG+GC＝MN+BN．（2）如图3，过点D作DM⊥BA于点M，DN⊥BC于点N，在AM上截取MK＝CN，连接DK，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，DM＝DN，∵∠ADC＝90°﹣∠ABD，∠MDN＝180°﹣2∠ABD，∴∠MDN＝2∠ADC，在△DMK和△DNC中，，∴△DMK≌△DNC（SAS），∴DC＝DK，∠MDK＝∠CDN，∴∠NDC+∠ADM＝∠MDK+∠ADM＝∠ADC，∴∠ADC＝∠ADK，∵AD＝AD∴△ADC≌△ADK（SAS），∴∠DAC＝∠DAM＝．故答案为：65°．。
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》1．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．2．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．3．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；（3）如图3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC ＝2，求S△CDF的值．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1＝∠2；（2）如图2，过B作BH⊥AD，垂足为H，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝60°，∴∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∴∠FBH＝30°，∴BF＝2FH，在△AHB和△BFC中，∴△AHB≌△BFC（AAS），∴BF＝AH＝AF+FH＝2FH，∴AF＝FH，∴BF＝2AF；（3）如图3，过C作CM⊥AD交AD延长线于M，过C作CN⊥BE交BE延长线于N，∵∠BFD＝2∠CFD＝90°，∴∠EFC＝∠DFC＝45°，∴CF是∠MFN的角平分线，∴CM＝CN，∵∠BAC＝∠BFD＝90°，∴∠ABF＝∠CAD，在△AFB和△CMA中，∴△AFB≌△CMA（AAS）∴BF＝AM，AF＝CM，∴AF＝CN，∵∠FMC＝90°，∠CFM＝45°，∴△FMC为等腰直角三角形，∴FM＝CM，∴BF＝AM＝AF+FM＝2CM，∴S△BDF ＝2S△CDF，∵AF＝CM，FM＝CM，∴AF＝FM，∴F是AM的中点，∴S△AFC ＝S△AMC＝S△AFB，∵AF⊥BF，CN⊥BF，AF＝CN，∴S△AFB ＝S△BFC，设S△CDF ＝x，则S△BDF＝2x，∴S△AFB ＝S△BFC＝3x∴S△AFC ＝S△AFB＝x，则3x+3x+x＝2，解得，x＝，即S△CDF＝．4．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝40 °，若△AMN的周长为9，则BC＝9 ．（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA 的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．解：（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，故答案为：40；9；（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，∴∠BAM+∠CAN＝45°，∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，∴AM2+AN2＝MN2，∴BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH＝PE，∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝CP，在Rt△APH和Rt△CPE中，，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），∴AH＝CE，在△BPH和△BPE中，，∴△BPH≌△BPE（AAS）∴BH＝BE，∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．5．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为DE＝BD+CE；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠AFE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE ＝∠DFA +∠AFE ＝∠DFA +∠BFD ＝60°，∴△DEF 为等边三角形．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，﹣4）．（I ）如图①，若C 的坐标为（﹣1，0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点P 的坐标；（II ）如图②，在（I ）的条件下，连接OH ，求∠OHC 的度数；（III ）如图③，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子S △BDM ﹣S △ADN 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．解：（I ）由题意，OA ＝OB ＝4，∵∠AHC ＝90°，∠BOC ＝90°，∴∠CAH ＝∠CBO ，在△OAP 和△OBC 中，，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1，则点P 的坐标为（0，﹣1）；（II ）如图②，过O 分别作OM ⊥BC 于M ，作ON ⊥AH 于N ，则四边形MONH 为矩形，∴∠MON ＝90°，∵∠COP ＝90°，∴∠COM ＝∠PON ，在△COM 和△PON 中，，∴△COM ≌△PON （AAS ）∴OM ＝ON ，又OM ⊥BC ，作ON ⊥AH ，∴HO 平分∠MHN ，∴∠OHC ＝∠MHN ＝45°；（III ）式子S △BDM ﹣S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图③，连接OD ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，点D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，OD ＝AD ＝BD ＝，∠OAB ＝45°，∴∠BOD ＝45°，∴∠MOD ＝135°，∴∠MOD ＝∠NAD ＝135°，∵∠ODA ＝90°，∠MDN ＝90°，∴∠MDO ＝∠NDA ，在△MOD 和△NAD 中，，∴△MOD ≌△NAD （ASA ）∴S △MDO ＝S △NDA ，∴S △BDM ﹣S △ADN ＝S △BDM ﹣S △ODM ＝S △BDO ＝××4×4＝4．7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED＝CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD：AF＝1：2，则AF＝2x，∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DF＝EF，由（1）、（2）可得，在Rt△FAE中，EF＝＝＝3x，∵AE2+AD2＝2CD2∴，解得x＝1，∴AB＝2+4．8．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；（2）如图2，若点D不是AC的中点，AD＝CE是否成立？证明你的结论；（3）如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D为AC中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE（AAS），∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）AD＝CE．证明：如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD＝CE，∴AD＝CE．9．如图（a），△ABC、△DCE都为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一直线上，连接AD．（1）若AB＝2，CE＝，求△ACD的周长；（2）如图（b），点G为BE的中点，连接DG并延长至F，使得GF＝DG，连接BF、AG．（i）求证：BF∥DE；（ii）探索AG与FD的位置关系，并说明理由．（1）解：∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝45°，DC＝DE，∠DCE＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△DCE中，DC2+DE2＝CE2＝（）2＝2，∴DC＝DE＝1，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝3+；（2）（i）证明：在△BGF和△EGD中，，∴△BGF≌△EGD（SAS）∴∠GBF＝∠E，∴BF∥DE；（ii）AG⊥FD，理由如下：如图（b）连接AF，∵△DEG≌△FBG，∴BF＝DE＝CD，∠GBF＝∠E＝45°，∵∠ABF＝∠ABC+∠GBF＝90°，∴∠ABF＝∠ACD，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴AF＝AD，又∵DG＝FG，∴AG⊥FD．10．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，（1）M点如图1的位置时，如果AM＝5，求BN的长；（2）M点在如图2位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系AB+BM＝BN；（3）M点在如图3位置时，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．（1）解：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB﹣∠MPB＝MPN﹣∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN＝5；（2）解：AB+BM＝BN，理由如下：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB+∠MPB＝MPN+∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN，∴BN＝AM＝AB+BM，故答案为：AB+BM＝BN；（3）证明：∵△PAB是等边三角形，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，∵BM＝AB，∴PB＝BM，∴∠BPM＝∠PMB，∵∠ABP＝60°，∴∠BPM＝∠PMB＝30°，∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥AB．11．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数150°；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE 的长．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．12．（1）发现：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠CAD＝90°，AB＝6，请求出△ABC的面积；（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，﹣4），点B为平面内一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．解：（1）AC＝DE，BC＝AE；故答案为：DE，AE；（2）作AE⊥CD于E，如图2所示：∵AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AE＝CD＝DE＝CE，∴AD＝AC＝AE，设AE＝DE＝CE＝x，则AC＝AD＝BD＝x，∴BE＝x+x，BC＝2x+x，∴AB2＝（x+x）2+x2＝62，解得：x2＝18﹣9，∴△ABC的面积＝BC×AE＝（2x+x）×x＝×（2+）×x2＝×（2+）×（18﹣9）＝18；（3）分两种情况：①过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，如图3所示：则∠C＝90°，∵点A的坐标为（﹣1，﹣4），∴AD＝1，OD＝CE＝4，∵∠OBO＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中，，∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x+1，∴CE＝BE+BC＝x+1+x＝OD＝4，∴x＝，x+1＝，∴点B的坐标（，）；②如图4，同理可得，点B的坐标（﹣，﹣），综上所述，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．13．模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为 5 ．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC ＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，故答案为：5；模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．14．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为（0，3）；（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求的值．（1）解：∵B（0，1），∴OB＝1，∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，∴BC＝AB＝2，∴OC＝OB+BC＝3，∴点C的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；（2）证明：连接OD，如图2所示：∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∵∠OAB＝30°，∴∠OAE＝30°+60°＝90°，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，∵MN是OA的垂直平分线，∴OD＝AD，∴△OAD是等边三角形，∴AO＝AD，在△ABD和△AEO中，，∴△ABD≌△AEO（SAS），∴BD＝OE；（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，∴AH＝AB，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴OB＝AB，∴AH＝OB，在Rt△AEH和Rt△BAO中，，∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH＝AO＝AD，在△HFE和△AFD中，，∴△HFE≌△AFD（AAS），∴EF＝DF，∴DE＝2DF，∴＝．15．在平面直角坐标系中，M（m，n）且m、n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C，过C作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．（1）求点M的坐标；（2）如图1，在B点运动的过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值；若变化，写出A点的横坐标a的取值范围；（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x轴下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK，求∠OKB的度数．解：（1）m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，m2+n2﹣2mn+n2+4n+4＝0，（m﹣n）2+（n+2）2＝0，则m﹣n＝0，n+2＝0，解得，m＝﹣2，n＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，∴CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠TCB＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BCO+∠TCB＝90°，∴∠ACT＝∠CBO，在△CBO和△ACT中，，∴△CBO≌△ACT（AAS），∴CT＝BO＝﹣b，AT＝CO＝t，∴a＝b+t，∵DO＝DM，∴∠DOM＝45°，∴∠MOC＝135°，∴∠MOC+∠ABC＝180°，∴O、M、B、C四点共圆，∴∠CMB＝∠COB＝90°，∵CA＝CB，∴M为AB中点，∴b+t＝﹣4，∴a＝﹣4；（3）连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，由（2）可知T（﹣4，0），∴OT＝4，又点M的坐标为（﹣2，﹣2），∴△TMO为等腰直角三角形，∴MT＝MO，∵∠THM＝90°，∠TMO＝90°，∴∠TMH＝∠MON，在△HTM和△NMO中，，∴△HTM≌△NMO（AAS），∴HT＝MN，HM＝ON，∴HK＝KN，∴KN＝ON，∴∠OKB＝45°．16．在等边三角形ABC中，点P从点B出发沿射线BA运动，同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动，P、Q两点运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PE∥AC交BC于点E，求证：EP＝CQ．（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为F．①当点P在线段BA上运动时，求证：BF+CD＝BC．②当点P在线段BA延长线上运动时，直接写出BF、CD与BC之间的数量关系．（1）证明：由题意得：BP＝CQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC＝60°，∠BEP＝∠BCA＝60°，∴∠B＝∠BPE＝∠BEP，∴△BPE是等边三角形，∴EP＝BP，∴EP＝CQ．（2）①证明：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图②所示：由（1）得：EP＝CQ，∠BEP＝∠ACB＝60°，△BPE是等边三角形，∴∠DEP＝∠DCQ＝120°，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，在△DPE和△DQC中，，∴△DPE≌△DQC（AAS），∴ED＝CD，∴BF+CD＝EF+ED＝BC．②解：当点P在线段BA延长线上运动时，BC+2CD＝2BF，理由如下：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图③所示：同①得：△BPE是等边三角形，△DPE≌△DQC，∴ED＝CD，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，∵BC﹣BF＝CF，∴BC﹣BF＝EF﹣2CD＝BF﹣2CD，∴BC+2CD＝2BF．17．问题情境：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题初探：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AB上的一个动点（D与A，B 不重合），连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，连接BE．（1）当点D在线段AB上时，AD与BE的数量关系是AD＝BE；位置关系是AD⊥BE；AB，BD，BE三条线段之间的关系是AB＝BD+BE．类比再探：（2）如图2，当点D运动到AB的延长线上时，AD与BE还存在（1）中的位置关系吗？若存在，请说明理由．同时探索AB，BD，BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．能力提升：（3）如图3，当点D运动到BA的延长线上时，若AB＝7，AD＝2，则AE＝9 ．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，即AD⊥BE，∴AB＝BD+AD＝BD+BE；故答案为：AD＝BE；AD⊥BE；AB＝BD+BE；（2）AD⊥BE，理由如下：∵∠ACB＝90°AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠A＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE，即AD⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，∴BE＝AB+BD；（3）∵△ABC、△CDE是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE＝BD＝AD+AB＝9，故答案为：9．18．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：△ADC≌△BEC；（2）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AD∥BC；（3）如图2，若AD＝AB，已知AF＝10，AE＝4，求BC的长．证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，△ABC和△DEF为等腰三角形，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）证明：由（1）得：△ADC≌△BEC，∴∠DAC＝∠EBC＝60°，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC；（3）解：在FA上截取FM＝AE，连接DM，如图2所示：∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中，，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．∴BC＝AF﹣AE＝10﹣4＝6．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于点P，∠EBC＝∠BAD．（1）如图1，求证：∠APE＝∠C；（2）作AF∥BC交DE延长线于点F，PE＝EC．①如图2，求证：AD＝AF；②如图3，过点E作EG⊥BC于点G，若DP＝1，DC＝7，直接写出DG的长为 4 ．（1）证明：∠APE＝∠ABP+∠BAD，∠ABC＝∠ABP+∠EBC，∵∠EBC＝∠BAD，∴∠APE＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠APE＝∠C；（2）①证明：如图2，作EG⊥DC于G，EH⊥AD于H，在△EHP和△EGC中，，∴△EHP≌△EGC（AAS）∴EH＝EG，又EG⊥DC，EH⊥AD，∴∠ADF＝∠CDF，∵AF∥BC，∴∠F＝∠CDF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF；②解：如图3，作EH⊥AD于H，由（2）①可知，△EHP≌△EGC，∴PH＝GC，在△DEH和△DEG中，，∴△DEH≌△DEG（AAS）∴DH＝DG，∴DG＝DH＝DP+PH＝1+GC，∴1+GC+GC＝7，解得，GC＝3，∴DG＝DC﹣GC＝7﹣3＝4，故答案为：4．20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M 在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t，点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，9﹣t═3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒或6秒时，△MDC与△CEN全等．。
2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项(五)
2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项（五）1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，连接BE、CE．（1）求证：BE＝CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，原题设其它条件不变．求证：∠CAD＝∠CBF．（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝45°，判断△CFE的形状，并说明理由．2．在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD＝BC．他发现先在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM＝CD即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，则可以证明△BEF与全等，判定它们全等的依据是；ⅱ）由∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB＝°；…②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD＝BC的过程．（2）如图2，若∠ABC＝40°，求证：BF＝CA．3．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点．（1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM＝PN，求证：BM＝CN；（2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，CN与AC之间的数量关系；（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，且∠MAN+∠MPN ＝180°，若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．4．在△ABC中，AB＝AC，以BC为边作等边△BDC，连接AD．（1）如图1，直接写出∠ADB的度数；（2）如图2，作∠ABM＝60°在BM上截取BE，使BE＝BA，连接CE，判断CE与AD 的数量关系，请补全图形，并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，AE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE的长．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC 的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．求CG的长．6．如图1，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE．（1）若D为AC的中点，求的值；（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落任AB上，如图2，F为DB的中点．①画出△DEF关于点F成中心对称的图形，②求的值；（3）如图3，将△ADE绕点A顺时针旋转，F为BD的中点，当AC＝6，AD＝4时，则CF的最大值为（直接写出结果）．7．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E证明：DE＝BD+CE．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请问结论DE＝BD+CE是否成立，若成立，请你给证明：若不存在，请说明理由．（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，D、A、E 三点都在直线m上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，只出现m与BC的延长线交于点F，若BD＝5，DE＝7，EF＝2CE，求△ABD与△ABF的面积之比．8．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣3，0）、B（0，3），AD⊥BC交BC于D点，交y轴正半轴于点E（0，t）（1）当t＝1时，求C点的坐标；（2）如图2，求∠ADO的度数；（3）如图3，已知点P（0，2），若PQ⊥PC，PQ＝PC，求Q的坐标（用含t的式子表示）．9．用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图（1），若O为AB的中点，则直线OC△ABC的等腰分割线（填“是”或“不是”）（2）如图（2）已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．（3）如图（3），在△ABC中，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，求线段BQ的长度等于．（直接写出答案）．10．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b且填空：当点A 位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a、b的式子表示）．（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．参考答案1．证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C＝90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C＝90°，∴∠CAD＝∠CBF；（3）△CEF是等腰直角三角形，理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF＝BF，在△AEF和△BCF中，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴EF＝CF，∵∠CFE＝90°，∴△CFE为等腰直角三角形．2．解：（1）BC＝CD+BE①如图1，在BC上取一点M，使BM＝BE，∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，∴∠FBC＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠BFE＝60°；故答案为：△BMF，SAS，60；②由①知，∠BFE＝60°，∴∠CFD＝∠BFE＝60°∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBF＝∠MBF，在△BEF和△BMF中，，∴△BEF≌△BMF（SAS），∴∠BFE＝∠BFM＝60°，∴∠CFM＝∠BFC﹣∠BFM＝60°，∴∠CFM＝∠CFD＝60°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠FCM＝∠FCD，在△FCM和△FCD中，∴△FCM≌△FCD（ASA），∴CM＝CD，∴BC＝CM+BM＝CD+BE；（2）如图2，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝80°，∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝20°，∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝40°，∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝80°，∠ABC＝∠BCE，∴BE＝CE，在△ABC的边AB左侧作∠ABG＝20°，交CE的延长线于G，∴∠FBG＝∠ABD+∠ABG＝40°＝∠ACE．∵∠AEC＝80°，∴∠BEG＝80°，∴∠G＝180°﹣∠ABG﹣∠BEG＝80°＝∠BEG＝∠AEC，∴BG＝BE，∴BG＝CE，在△BGF和△CEA中，，∴△BGF≌△CEA，∴BF＝AC．3．（1）证明：∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，∴PB＝PC，在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN，∴BM＝CN；（2）AM+CN＝AC，理由如下：在Rt△PBA和Rt△PCA中，，∴Rt△PBA≌Rt△PCA，∴AB＝AC，∴AM+CN＝AM+BM＝AB＝AC，故答案为：AM+CN＝AC；（3）∵AC：PC＝2：1，PC＝4，∴AC＝8，∵PB⊥AE，PC⊥AF，∴∠ABP＝∠ACP＝90°，∴∠MAN+∠BPC＝180°，又∵∠MAN+∠MPN＝180°，∴∠MPB＝∠NPC，在△PBM和△PCN中，，∴△PBM≌△PCN，∴四边形ANPM的面积＝四边形ABPC的面积＝×8×4×2＝32．4．解：（1）如图1中，∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为150°．（2）结论：CE＝AD．理由：∵∠ABE＝∠DBC＝60°∴∠ABE﹣∠DBM＝∠DBC﹣∠DBM ∴∠1＝∠2，∵AB＝BE，BD＝DC∴△ABD≌△EBC∴CE＝AD．（3）解：∵△ABD≌△EBC∴∠BCE＝∠BDA＝150°∵∠DCE＝90°，∠DEC＝60°∴∠CDE＝30°∵DE＝2∴CE＝1，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°DE ＝2，BD＝由勾股BE＝，∵∠ABE＝60°AB＝BE∴△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．5．（1）证明：∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝60°，∴∠EDB＝60°﹣∠B＝30°，∴∠EDB＝∠B，∴DE＝EB；（2）解：ED＝EB，理由如下：取AB的中点O，连接CO、EO，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，OC＝OA，∴△ACO为等边三角形，∴CA＝CO，∵△CDE是等边三角形，∴∠ACD＝∠OCE，在△ACD和△OCE中，，∴△ACD≌△OCE，∴∠COE＝∠A＝60°，∴∠BOE＝60°，在△COE和△BOE中，，∴△COE≌△BOE，∴EC＝EB，∴ED＝EB；（3）取AB的中点O，连接CO、EO、EB，由（2）得△ACD≌△OCE，∴∠COE＝∠A＝60°，∴∠BOE＝60°，△COE≌△BOE，∴EC＝EB，∴ED＝EB，∵EH⊥AB，∴DH＝BH＝3，∵GE∥AB，∴∠G＝180°﹣∠A＝120°，∵∠GCD＝∠GCE+60°＝∠CDA+60°，∴∠GCE＝∠CDA，在△CEG和△DCO中，，∴△CEG≌△DCO，∴CG＝OD，设CG＝a，则AG＝5a，OD＝a，∴AC＝OC＝4a，∵OC＝OB，∴4a＝a+3+3，解得，a＝2，即CG＝2．6．解：（1）如图1中，作EQ⊥AC于Q．∵△ADE是等腰直角三角形，∴EQ＝QA＝QD，设EQ＝QA＝QD＝a，∵AD＝DC，∴AD＝DC＝2a，BC＝AC＝4a，∴在Rt△CDB中，BD＝＝2a，在Rt△CQE中，EC＝＝a，∴＝＝．（2）①如图2中，△DEF关于点F对称的△FBH如图所示；②连接CF、CH．∵△FDE≌△FBH，∴DE＝BH＝AE，∠EDF＝∠FBH＝135°，EF＝FH，∵∠ABC＝45°，∴∠CBH＝90°＝∠CAE，∵CA＝CB，∴△CAE≌△CBH，∴EC＝CH，∠ACE＝∠BCH，∴∠ECH＝∠ACB＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形．∵EF＝FH，∴CF⊥EH，CF＝EF＝FH，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EC＝EF，∴＝．（3）如图3中，延长EF到H，使得EF＝FH．连接CF、CH，延长ED交BC于K．∵∠ACK＝∠AEK＝90°，∴∠CAE+∠EKC＝180°，∵∠EKC+∠EKB＝180°，∴∠CAE＝∠EKB，∵DF＝FB，∠DFE＝∠BFH，FE＝FH，∴△DFE≌△BFH，∴DE＝BH＝QE，∠DEF＝∠FHB，∴EK∥BH，∴∠EKB＝∠CBH，∴∠CAE＝∠CBH，∵CA＝CB，∴△CAE≌△CBH，∴EC＝CH，∠ACE＝∠BCH，∴∠ECH＝∠ACB＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形．∵EF＝FH，∴CF⊥EH，CF＝EF＝FH，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EC＝CF，∴当EC的值最大时，CF的值也最大，∵EC的最大值＝AC+AE＝6+2，∴6+2＝CF，∴CF的最大值＝3+2，故答案为3+2．7．（1）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵CE⊥直线m，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）解：结论DE＝BD+CE成立，证明：∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，∠BDA＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，即结论DE＝BD+CE成立；（3）由（2）得，△ABD≌△CAE，∴AE＝BD＝5，∴AD＝DE﹣AE＝2，∴EF＝2CE＝4，∴△ABD与△ABF的面积之比＝AD：AF＝2：9．8．解：（1）如图1，当t＝1时，点E（0，1），∵AD⊥BC，∴∠EAO+∠BCO＝90°，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∴∠EAO＝∠CBO，在△AOE和△BOC中，∵，∴△AOE≌△BOC（ASA），∴OE＝OC＝1，∴点C坐标（1，0）．（2）如图2，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE＝S△BOC，且AE＝BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM＝ON，∴OD平分∠ADC；∴∠ADO＝∠ABO＝45°；（3）如图3，过P作GH∥x轴，过C作CG⊥GH于G，过Q作QH⊥GH于H，交x轴于F，∵P（0，2），C（t，0），∴CG＝FH＝2，PG＝OC＝t，∵∠QPC＝90°，∴∠CPG+∠QPH＝90°，∵∠QPH+∠HQP＝90°，∴∠CPG＝∠HQP，∵∠QHP＝∠G＝90°，PQ＝PC，∴△PCG≌△QPH，∴CG＝PH＝2，PG＝QH＝t，∴Q（﹣2，2﹣t）．9．解：（1）如图（1），是．∵∠ACB＝90°，O为AB中点，在Rt△ACB中，OC＝AB＝AO＝BO，∴得等腰△AOC和等腰△BOC．则直线OC是△ABC的等腰分割线故答案为：是；（2）由题可知PA＝PB，BC＝6，设CP＝x，则PA＝PB＝8﹣x，在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2，∴62+x2＝（8﹣x）2，x＝．即：CP＝．（3）BQ＝5或2或6或．①若△ACQ为等腰三角形，如图（3），当AC＝AQ时，AQ＝8，BQ＝AB﹣AQ＝2，如图（4），当QC＝QA时，Q为AB中点，BQ＝AB＝5．当CA＝CQ时，Q不在线段AB上，舍去．②若△BCQ为等腰三角形．如图（5），当CQ＝CB时，过C作CM⊥AB于M，此时M为BQ的中点，S△ABC＝BC•AC＝AB•CM×6×8＝×10CMCM＝．Rt△CMQ中，BM＝＝，∴BQ＝2QM＝．如图（6），当BC＝BQ时，BQ＝BC＝6．如图（7），当QC＝QB时，Q为AB中点，BQ＝AB＝5．综上，BQ＝2或5或或6．故答案为：5或2或6或．10．解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝6；（3）连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2 ，∴最大值为2 +3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，∴P（2﹣，）．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（2﹣，﹣）时，也满足条件．综上所述，满足条件的点P坐标（2﹣，）或（2﹣，﹣），AM的最大值为2+3．。
2021年九年级数学中考复习专题：三角形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)(四)
2021年九年级数学中考复习专题：三角形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（四）1．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），AB＝6，点P从点O出发沿线段OA向终点A运动，点P的运动速度是每秒2个单位长度，点D是线段OA的中点．（1）求点B的坐标；（2）设点P的运动时间为点t秒，△BDP的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当点P与点D重合时，连接BP，点E在线段AB上，连接PE，当∠BPE＝2∠OBP时，求点E的坐标．2．如图，在△ABC中，点E在AC边上运动（不含端点），BE平分∠DBC交DA于点P，且DB＝BC．（1）试说明：∠PEA＝∠DEB；（2）过点B作BF⊥AD交于点F，若∠P＝∠ABC＝60°，试说明：AB＝BC；（3）在（2）的条件下，试探究PA、PD、PB满足怎样的数量关系？说明理由．3．在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，b）在y轴正半轴上，连接AB，在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，连接OC．（1）求△OAC的面积；（2）过C作CD⊥x轴于点D，在CD上截取CE＝AD，连接OE，求证：OE∥BC；（3）在（2）的条件下，连接AE，∠AED＝∠BOC，求OB+OC的值．4．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足（a+5）2+＝0，过C作CB⊥x轴于B．（1）a＝，b＝，三角形ABC的面积＝；（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED 的度数；（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．5．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝（用含a的代数式表示）．【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为．6．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为°，△AOB．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．7．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE＝90°，∠DEF ＝90°，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系．（1）请你完成这道思考题；（2）若将题中的条件“∠ADE＝90°，∠DEF＝90°，点P是FC上一点”改为“∠AED＝∠C，∠B＝∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．9．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，D为AB中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上以cm/s的速度由C点向A点运动，P、Q两点同时出发．（1）设运动时间为t，则BP的距离可表示为；CQ的距离可表示为；（2）在点P、Q的运动过程中，存在某一时刻，使得△BPD≌△CPQ吗？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）若点P、Q均以原来的速度按逆时针方向沿△ABC的三边循环运动，经过多长时间点P与点Q第一次相遇？此时它们在哪条边上？10．在矩形ABCD中，E是AD延长线上一点，F、G分别为EC、AD的中点，连接BG、CG、BE、FG．（1）如图1，①求证：BG＝CG；②若GF＝3，求BE的长；（2）如图2，若ED＝CD，过点C作CH⊥BE于点H，若BC＝4，∠EBC＝30°，求EH的长．参考答案1．解：（1）∵A（6，0），∴OA＝6，在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝6，OA＝6，∴OB＝＝＝6，∴B（0，6）．（2）①当0＜t＜3时，S＝•PD•BO＝•（3﹣2t）×6＝9﹣6t，当3＜t≤6时，S＝•DP•OB＝（2t﹣3）×6＝6t﹣9．（3）如图，作PJ∥OB交AB于J，过点E作EK⊥OA于K．∵PJ∥OB，∴∠OBP＝∠BPJ，∵∠BPE＝2∠OBP，∴∠JPE＝∠OBP，∵EK∥PJ，∴∠PEK＝∠JPE＝∠OBP，∴tan∠PEK＝tan∠OBE＝，∴＝，设PK＝m，则EK＝2m，∵OA＝OB＝6，∠AOB＝90°，∴∠EAK＝45°，∵EK⊥OA，∴∠EKA＝90°，∴∠EAK＝∠KEA＝45°，∴EK＝AK＝2m，∴PA＝3m＝3，∴m＝1，∴OK＝4，EK＝2，∴E（4，2）．2．（1）证明：∵BE平分∠DBC，∴∠EBD＝∠EBC，∵EB＝EB，DB＝CB，∴△EBD≌△EBC（SAS），∴∠DEB＝∠CEB，∵∠PEA＝∠CEB，∴∠PEA＝∠DEB．（2）证明：∵∠P＝∠ABC＝60°，BF⊥DP于F，∴∠FBP＝30°，∴∠EBC＝∠EBD，∠ABE+∠EBC＝∠ABE+∠DBE＝60°，∴2∠ABE+∠ABF+∠FBD＝60°，∴∠ABE+∠FBD＝∠ABE+∠ABF＝30°，∴∠DBF＝∠ABF，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，∴∠BDF＝∠BAF，∴BD＝BA，∵BD＝BC，∴BA＝BC．（3）结论：PA+PD＝PB．理由：由（2）可知，BD＝BA，∵BF⊥AD，∴AF＝DF，∵∠BFP＝90°，∠FBP＝30°，∴PB＝2PF＝2（PA+AF）＝PA+PA+2AF＝PA+PA+AD＝PA+PD．即PA+PD＝PB．3．解：（1）如图1中，过点C作CH⊥x轴于H．∵A（3，0），∴OA＝3，∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠OAB＝∠ACH，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴OA＝CH＝3，∴S＝•OA•CH＝．△AOC（2）如图2中，连接OE．∵△AOB≌△CDA，∴OB＝AD，∵CE＝AD，∴OB＝CE，∵OB∥CD，∴四边形OECB是平行四边形，∴OE∥BC．（3）如图3中，作∠BOC的角平分线OJ交DC的延长线于J．连接OC，AJ，OE，AE．∵OJ平分∠BOC，∴∠BOJ＝∠JOC，∵DJ∥OB，∴∠OJC＝∠BOJ，∴∠OCJ＝∠CJO，∴OC＝CJ，∵∠AED＝∠OBC，∴∠AED＝∠OJC，∴AE∥OJ，∴S△ACJ ＝S△OAC，∴＝，∴＝，∵EC＝OB＝AD＝b，OA＝CD＝3，∴OC＝CJ＝，DE＝3﹣b，∴＝，∴＝﹣3﹣b，∴9+9+6b+b2＝+9+b2﹣+6b﹣18，整理得，3（）2﹣﹣1＝0，解得＝1或﹣（舍弃），∴b＝1，经检验b＝1是方程的解，∴OB＝1，OC＝5，∴OB+OC＝6．4．解：（1）∵（a+5）2+＝0，又∵（a+5）2≥0，≥0，∴a＝﹣5，b＝5，∵CB⊥x轴，∴点A坐标（﹣5，0），点B坐标（5，0），点C坐标（5，4），∴S△ABC＝×10×4＝20．故答案为：﹣5，5，20；（2）∵BD∥AC，∴∠CAB＝∠ABD，过E作EF∥AC，如图2，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠CAE＝∠CAB＝＝∠AEF，∠DEF＝∠BDE＝∠ODB，∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝（∠CAB+∠ODB）＝＝45°；（3）存在，设P（0，t），分两种情况：①当P在y轴正半轴上时，如图3，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，∵S△APC ＝S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝S△ABC＝20，∴，解得t＝6，②当P在y轴负半轴上时，如图4，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，∵S△APC ＝S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝20∴，解得t＝﹣2，∴P（0，6）或（0，﹣2）．5．解：（1）∵M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，∴S＝a，故答案为a；（2）连接BD，∵△CDE的面积为1，，∴S△BDC ＝3S△DEC＝3，∵，∴S△ABC ＝4S△BDC＝12；（3）连接BD，设S△ADM＝a，∵M是AB的三等分点（AM＝AB），∴S△ABD ＝3a，S△BDM＝2a，∵N是BC的中点，∴S△ABN ＝S△ACN，S△BDN＝S△CDN，∴S△ADC ＝S△ADB＝3a，∴S△ACM＝4a，∵AM ＝AB ，∴S △CBM ＝2S △ACM ＝8a ，∴S △CDB ＝6a ，S △ABC ＝12a ，∴S △BDN ＝3a ，∴S 四边形BMDN ＝5a ，∴S 四边形BMDN ＝S △ABC ＝×1＝，故答案为．6．解：（1）∵AB ⊥OM ，∴∠BAO ＝90°，∵∠AOB ＝60°，∴∠ABO ＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB 是“灵动三角形”．故答案为：30，是．（2）∵∠OAB ＝90°，∠BAC ＝70°，∴∠OAC ＝20°，∵∠AOC ＝60°＝3×20°，∴△AOC 是“灵动三角形”．故答案为：是．（3）①当∠CAB＝3∠ABC，时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°．②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°，综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．7．解：（1）结论：∠BDP+∠EGP＝180°．理由：∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠EGP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．（2）结论不变．∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠DEF，∴∠ADE＝∠DEF，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠EGP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．8．解：（1）∵∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，∴PC平分∠ACB，∴∠PCD＝∠PCE＝∠ACB＝×90°＝45°，∵PC⊥DE，∴∠CPD＝90°，∴∠CDE＝45°，∴∠ADP＝135°，∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵∠PBA＝∠ABC＝25°，∠PAB＝∠BAC＝20°，∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．（2）结论：∠APB＝∠ADP．理由：∵PB，PA分别是∠ABC，∠BAC的角平分线，∴∠PBA＝∠ABC，∠PAB＝∠BAC，∴∠APB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，∵∠ADP＝135°，∴∠APB＝∠ADP．9．解：（1）∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上以cm/s的速度由C点向A点运动，∴BP＝2t，CQ＝t，故答案为：2t，t；（2）存在，此时t＝2，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴当BP＝CP，CQ＝BD时，△BPD≌△CPQ，∴2t＝8﹣2t，×10，∴t＝2，∴t＝2时，△BPD≌△CPQ；（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意得，x＝2x+2×10，解得x＝40，∴点P共运动了40×2＝80cm，∴80＝56+24＝2×28+24，∴点P，点Q在AB边上相遇，∴经过40秒，点P与点Q第一次相遇，此时它们在边AB上．10．（1）①证明：∵G为AD的中点，∴AG＝DG，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠CDG＝90°，在△ABG和△DCG中，，∴△ABG≌△DCG（SAS），∴BG＝CG；②证明：延长GF、BC交于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AGB＝∠CBG，∠EGF＝∠Q，∵F为EC的中点，∴EF＝CF，在△GFE和△QFC中，，∴△GFE≌△QFC（AAS），∴GE＝CQ，GF＝QF，由（1）得：BG＝CG，∴∠CBG＝∠BCG，∴∠AGB＝∠BCG，∴∠BGE＝∠GCQ，在△BGE和△GCQ中，，∴△BGE≌△GCQ（SAS），∴BE＝GQ＝2FG＝6；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDA＝90°，AD∥BC，∴∠CDE＝90°，∠AEB＝∠EBC＝30°，∵ED＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∴∠CEB＝45°﹣30°＝15°，在BE上截取EG＝CG，如图2所示：则∠GCE＝∠CEB＝15°，∴∠CGB＝∠GCE+∠CEB＝30°，∴∠EBC＝∠CGB，∴CG＝BC＝4，∴EG＝4，∵CH⊥BE，∴GH＝BH，∠CHB＝90°，∵∠EBC＝30°，∴CH＝BC＝2，GH＝BH＝CH＝2，∴EH＝GH+EG＝2+4．。
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三角形综合
已知抛物线y ＝x 2
（1）在抛物线上有一点A (1，1)，过点A 的直线l 与抛物线只有一个公共点，直接写出直线l 的解析式；
（2）如图，抛物线有两点F 、G ，连接FG 交y 轴于M ，过G 作x 轴的垂线，垂足为H ，连接HM 、OF ，求证：OF ∥MH ；
（3）将抛物线y ＝x 2沿直线x y 4
3
移动，新抛物线的顶点C ，与直线的另一个交点为B ，与y 轴的交点为D ，作直线x ＝4与直线CD 、BD 交于点N 、E ，求EN 的长。
【例题精讲一】三角形中的计算与证明
例1. 1、如图，在等边△ABC 中，点D 为BC 上一动点，以AD 为底在直线AD 左侧作等腰△ADE ，且AE ＝DE ，
∠AED ＝120°（点D 在运动过程中，点E 始终在△ABD 的内部）。
（1）∠ADB 和∠BAE 的数量关系为 ；
（2）判断△BDE 的形状并证明；
（3）当点D 运动到图2所示的位置时，延长BE 交AD 于点F ，若DF ＝2AF ，BF ＝223＋，则等边△ABC 的边长为 。
2、已知△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠BEF＝90°，连AF、CF，点M为AF的中点，连EM，将△BEF绕点B旋转。
（1）如图1，猜想CF、EM的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，过B点作BN⊥EM，交ME的延长线于N点，若BN＝4，EN＝2，BC＝10，请求出此时∠CBF与∠BCF之间的数量关系。
【课堂练习】
1、如图1，等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，CE 和AC 重合。
（1）求证：AD ＝BE ； （2）当CD ＝
2
3
AC 时，若CE 绕点C 顺时针旋转30°，连BD 交AC 于点G ，取AB 的中点F 连FG （如图2），求证：BE ＝2FG ；
（3）在（2）的条件下AB ＝2，则AG ＝__________（直接写出结果）。
2、已知等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC＝∠BEF＝90°，点M为AF的中点，连EM。
（1）如图1，点F在边BC上，求证；CF＝2ME；
（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转至如图2的位置，其它条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请证明你的结论；
（3）过B作BS⊥ME于S，如图3，若BF＝10，BS＝3，CF＝6，求△MEF的面积。
【例题精讲二】三角形与旋转
例2.1、在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD。
（1）如图1，若∠BAC＝30°，30°＜m＜l80°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值．
（3）如图3，若∠BAC＝90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使AE：BE＝2，若存在，求出所有符合条件的m的值，若不存在，请说明理由。
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝．P 为AC 边上一动点，PC ＝，以点P 为中心，将△ABC 逆时针旋转90°，得到△DEF ，DE 交边AC 于G 。
（1）用含有的式子填空：DP ＝ ，AG ＝ ； （2）如图2，当F 在AB 上时，求证：PG ＝PC ； （3）如图3，当P 为DF 的中点时，求AG ∶PG 的值。
3t t
【课堂练习】
1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)、B(0，2)，将△AOB绕点(－1，－1)顺时针旋转90°得△DEF，点A的对应点为D，点O的对应点为点E，点B的对应点为点F。
（1）在平面直角坐标系中画出△DEF；
（2）点P在坐标轴上，若∠APB＝45°，求P点坐标；
（3）①若点M在第二象限，∠AMB＝45°．设AM＝m，BM＝n，FM＝t，试探究m、n、t三者之间的数量关系，并证明；
②若点M在第三象限，∠AMB＝45°，直接写出m、n、t三者间的数量关系。
（备用图）
1、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，点P 为射线AB 上一动点，PQ ⊥AC 交直线AC 于点Q ，作QE ∥AB 交直线BC 于点E 。
（1）连PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转90°到PF ，连QF ① 如图1，当AP ＝2时，求FQ 的长；
② 如图2，当AP ＞22时，判断FQ 、EQ 和AP 的关系并证明；
（2）如图3，当P 在线段AB 上时，O 为PE 中点，过点O 作OM ⊥AC 于M ．若OM ＝2
1
PE ，则AP ＝___________。
2、如图1，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠EDF ＝90°，AB 、EF 的中点均为G 。
（1）求证：CD ＝BF ；
（2）如图2，把△DEF 绕点G 顺时针旋转，BF 、CD 交于点H ．若AC ＝22，DF ＝23，∠BGE ＝2
1
∠BHD 时，求CD 的长；
（3）如图3，把△DEF 绕点G 顺时针旋转，BF 、CD 交于点H ．若AC ＝22，求AH 的最小值。