九年级数学三角形与圆综合复习

三角形与圆综合复习

1、如图，直径AB，CD的夹角为60°。P为的⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）PM、PN分别垂直于CD、AB，垂足分别为M、N，若⊙O的半径长为2，则MN的长为。

（第1题）（第2题）（第3题）

2、如图，在平面直角坐标系中，点B是x轴正半轴上一点，OB＝OA＝4，∠AOB＝α（0°＜α＜180°），以AB为直角边作等腰Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，点C在AB的右侧，连接OC。OC的长度随着α变化而变化，则

当α＝时，OC达到最大值，此时点C的坐标：。

3、如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是。

【例题精讲一】多边形中的计算与证明

AE 。将正方形AEFG绕例1.1、如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，62

点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）。

（1）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，直接写出BE的长；

（2）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请求出旋转过程中点Q运动的路线长；

（3）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由。（点Q即（2）中的点）

（备用图）

2、在△ABC中，以AB为斜边，作Rt△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°。

（1）如图1，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝23，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，则线段PM 的长为；

（2）如图2，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；

（3）如图3，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请求出线段BF、FC、AD之间的关系。

【课堂练习】

1、如图1，等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，CE 和AC 重合。 （1）求证：AD ＝BE ； （2）当CD ＝

2

3

AC 时，若CE 绕点C 顺时针旋转30°，连BD 交AC 于点G ，取AB 的中点F 连FG （如图2），求证：BE ＝2FG ；

（3）在（2）的条件下AB ＝2，则AG ＝__________（直接写出结果）。

2、已知等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC＝∠BEF＝90°，点M为AF的中点，连EM。

（1）如图1，点F在边BC上，求证；CF＝2ME；

（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转至如图2的位置，其它条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请证明你的结论；

（3）过B作BS⊥ME于S，如图3，若BF＝10，BS＝3，CF＝6，求△MEF的面积。

【例题精讲二】圆中的计算与证明

例2. 1、如图1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于G ，点C 是劣弧AE 的中点，点F 是劣弧ADB 的中点，BC 与

EF 交于点H 。

（1）求证：FB ＝FH ； （2）如图2，当点G 为半径OA 的中点时，求

CD

FB

的值； （3）如图3，若弦EF 恰好经过圆心O ，求

BG

CD

的值。

2、如图，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C。

（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝2，CE＝4，求AB的长。

【课堂练习】

1、如图，正方形ABCD，以BC为直径在正方形内作半圆O，过D作DE与半圆O相切于点E，连OE交AB于F。（1）如图1，连OD、DF，求证：∠ODF＝45°；

（2）如图2，过B作BM∥DF交OF于G，交⊙O于点M。若AD＝6，求BM的长。

2、如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线就交于B点，OC＝BC，AC＝1

2 OB。

（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长。

1、四边形ABDF中，点C、E分别在AF、DF上，且AB＝AC，BD＝DE，∠BDF＝2∠ABC，M为CE的中点。（1）画出△ACM关于点M成中心对称的图形；（2）求证：AM⊥DM；

（3）若AM＝3DM，求∠ABC的度数。

2、如图1，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠EDF ＝90°，AB 、EF 的中点均为G 。 （1）求证：CD ＝BF ；

（2）如图2，把△DEF 绕点G 顺时针旋转，BF 、CD 交于点H 。若AC ＝22，DF ＝23，∠BGE ＝2

1

∠BHD 时，求CD 的长；

（3）如图3，把△DEF 绕点G 顺时针旋转，BF 、CD 交于点H ．若AC ＝22，求AH 的最小值。

3、如图1，已知等腰Rt △ABC 中，E 为边AC 上一点，过E 点作EF ⊥AB 于F 点，以EF 为边作正方形EFAG ，且

AC＝3，EF＝2。

（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；

（2）将等腰Rt△ABC绕A点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC、MF，求MC与MF的关系；

（3）将△ABC绕A点旋转一周，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为__________。