九年级数学直角三角形复习

∴x=200， ∴AB=AE+BE=（200 3 +200）米．
3 2
2
9．解：如图，过点C作水平线与AB的延长线 交于点D，则AD⊥CD． ∵∠BCD=15°， ∴∠ACD=50°， 在Rt△CDB中， CD=7×cos15°， BD=7×sin15°． 在Rt△CDA中， AD=CD×tan50°=7×cos15°×tan50°． ∴AB=AD-BD =（7×cos15°×tan50°-7×sin15°） =7（cos15°×tan50°-sin15°）≈6.2（m）． 答：树高约为6.2m．
2 2
1
60°
1 2
3 2
3 3
3 2
300
450
450 ┌ 600
1 2
┌
3
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
tan α ＝
视线
h
l
铅 垂 线
仰角 水平线
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
解直角三角形：(如图)
只有下面两种情况：
2 AB=9× =3，∠PAB=90°-60°=30°， 6 ∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°． ∴PC=BC． 在Rt△APC中，
PC PC PC tan30°= AC AB BC 3 PC
，
PC 3 3 3 3 , PC = ， 即 3 PC 2 3
PC>3． ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
c
B a b
┌ C
（1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角
A
1.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B及C边)
2. 已知∠A，a.解直角三角形
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
【热点试题归类】
题型1 三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠ C=90°，AB=5，AC=4， 3 则sinA的值为_______ 5 ． 2. 在Rt△ABC中，∠ C =90°，BC=4，AC=3， 3 则cosA的值为______ 5 ． 3. 如图1，在△ABC中，∠C =90°，BC=5， AC=12，则cosA等于（ D ）
6.如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固 定，CD• 与地面成40°夹角，且DB=5m，现要 在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB 的高为多少米？（• 结果保留三个有效数字） 6．解：在Rt△BCD中， ∠BDC=40°，DB=5m，BC ∵tan∠BDC= DB ， ∴BC=DB· tan∠BDC =5×tan40°≈4.195． ∴EB=BC+CE=4.195+2≈6.20． 答：略．
2.如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请 来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和 楼房的影长分别是0.5米和15米，已知小华的身 高为1.6米， 那么分所住楼房的高度 48 为________ 米． 3．如图3，两建筑物AB和CD 的水平距离为30米，从A点测 得 D• 点的俯角为30°，测得C 点的俯角为60°，则建筑物 CD的高为______ 20 3米．
这节课你有哪些收获?
你能否用所学的知识去解决一些 实际问题吗?
题型5 综合与创新
1.小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向 正北方向匀速行进，如图1，出发时，在B点他 观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟 后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南 1.8 千 方向，则这座仓库到公路的距离为_____ 米．（参考数据： 3 ≈1.732，结果 保留两位有效数字）
解直角三角形的依据
1、三边之间的关系 锐角之间的关系
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
边角之间的关系（锐角三角函数） a sinA ＝ c
Ｂ
c a
ＡFra Baidu bibliotek
cosA＝ c
a tanA＝ b
b
b
Ｃ
2、30°，45°，60°的三角函数值 30° sina cosa tana 45°
2 2
3
3
解得x=90 3 +90．
4.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角 为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高 AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求 小山BD的高（精确到0.1m， 3 ≈1.732）．
4．解：如图，过C点作CE⊥AD于C．
设BC=x，则EC=BC=x． 在Rt△ACE中，AC= 3 x，
（精确到0.1m）．
5．解：在Rt△ADE中，DE=3 2 ， ∠DAE=45°， DE ∴sin∠DAE= AD ，
∴AD=6． 又∵AD=AB， BC 在Rt△ABC中，sin∠BAC= AB ，
∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
解：过C作CD⊥AB于D， AD ， 设CD=x．在Rt△ACD中，cot60°=
∴AD= 3 3
x．
CD
在Rt△BCD中，BD=CD=x．
3 x+x=8． 3
∴
解得x=4（3- 3 ）． 1 1 CD= ×8×4（3∴S△ABC= AB· 2 2
3 ）
=16（3-
3）=48-16 3 ．
2．解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知：
8．解：如图，作DE⊥AB于E，作DF⊥BC 于F，在Rt△CDF中∠DCF=30°，CD=400米， 1 ∴DF=CD· sin30°= ×400=200（米）．
3 CF=CD· cos30°= ×400=200 （米）． 在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设DE=x米， ∴AE=tan60°· x= 3 x（米）． 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在Rt△ACB中，∠ACB=45°， ∴AB=BC， 即 3 x+200=200 3 +x．
2.先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A• 与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、 y轴上（如图2），• 再将此矩形在坐标平面内按 逆时针方向绕原点旋转30°（如图3），若 AB=4，BC=3，则图（2）和图（3）中点B的 坐标为___，点C的坐标为____．
3
答案：图（2）中：B（4，0），图（3）中：B（2 ，2）； 图（2）中：C（4，3），图（3）中：C（ 4 3 3 , 3 3 4）． 2 2
CD 2 3 1.5 sin 60 3 2
CE
=（4+
3 ）（米）．
答：拉线CE的长为（4+ 3 ）米．
8．已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰 角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到 D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的 仰角为60°，求山的高度AB．
9.如图，在一个坡角为15°的斜 坡上有一棵树，高为AB．当太 阳光与水平线成50°时，测得该 树在斜坡的树影BC的长为7m， 求树高．（精确到0.1m）
∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
题型4 应用举例
1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就 能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树 的高（如图1），她测得CB=10米， ∠ACB=50°，请你帮助她算出树高AB约为 12 米．（注：①树垂直于地面；②供选 ________ 用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.2）
4.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高， 4 E• 为边AC• 的中点，BC= 14，AD=12，sinB= ，求：（1）线段DC的长；
5
（2）tan∠EDC的值． AD 12 4．解：（1）在Rt△ABD中，AB= sin B 4 =15． ∴BD= AB2 AD2 =9． ∴CD=BC-BD=14-9=5． （2）∵E是Rt△ADC斜边AC的中点， ∴DE=EC，∴∠EDC=∠C．
2 5 12 12 A. , B. , C. , D. 12 13 5 13
4. 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB =90°， 5 ， CD⊥AB于点D，已知AC=
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
5 A． 3 2 B. 3 2 5 C. 5 5 D. 2
CD AB
5. 如图3所示，AB是⊙O的直
3.如图，某校九年级3班的一个学生小组进行测 量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测 得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD• 的长 度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点 A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°．请你 帮助他们计算出小山的高度BC（计算过程和结 果都不取近似值）．
① 由△FGH∽△ABH得
FG GH 1.7 5 ,即 AB BE x 10 y ．
② 由①，②得y=7.5，x=5.95≈6.0米． 所以路灯杆AB的高度约为6.0米．
5.如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯 子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点； 当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC=• 65°，∠DAE=45°，点D 到地面的垂直距离DE=3 2 m，求点B到地面的垂直距离BC
题型3 解斜三角形 1.如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8，• 求△ABC的面积（结果可 保留根号）． 2.如图，海上有一灯塔P，在它周围3 海里处有暗礁，• 一艘客轮以9海里/ 时的速度由西向东航行，行至A点处 测得P在它的北偏东60°的方向，继 续行驶20分钟后，到达B处又测得灯 塔P在它的北偏东45°方向，问客轮 不改变方向继续前进有无触礁的危险？
7.如图，在电线杆上的C处引位线CE、CF固定 电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆C处的仰 角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）
7．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H． 由题意可知四边形ABDH为矩形， ∠CAH=30°， ∴AB=DH=1.5，BD=AH=6． CH 在Rt△ACH中，tan∠CAH= AH ， 3 ∴CH=AH· tan∠CAH=6tan30°=6× =2 3 3 ∵DH=1.5，∴CD=2 3 +1.5． 在Rt△CDE中 ， CD ∵∠CED=60°，sin∠CED= ∴CE=
3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
A．3
16 B． 3
B
）
16 D. 5
20 C. 3
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标 如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正方形．• 若大正方形 的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b， 则a+b的值为（ B ） A．35 B．43 C．89 D．97
4.如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明 在 D• 点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G 点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．• 如果 小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确 到0.1米）．
4．解：设AB=x米，BD=y米． 由△CDE∽△ABE得
CD DE 1.7 3 ,即 AB BE x 3 y ．
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
．
等于（ D ）
B．cot∠AED D．cos∠AED
6．计算： |- 2 |+（cos60°-tan30°）+ 8
3 2 1
题型2 解直角三角形
1.如图4，在矩形ABCD中 DE ⊥ AC 于 E ， 设 3 ∠ADE=a， 且cosα = 5 ， AB=4，则AD的长为（
3.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF，• 数据如图，如果把小敏画的三角形 面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF， 那么你认为（ ） C A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC <S△DEF C．S△ABC =S△DEF D．不能确定
小敏画的三角形
小颖画的三角形