不定积分求解方法

探讨不定积分的解题方法

班级学号

20124111 2012411151 洁珊

摘要

在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。

为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。

研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。

求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。关键词

不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。前言

正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某

一已知函数。提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。

标题一、直接积分法

我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。

下面的基本积分表就必须掌握

1.0dx c

=⎰

2

adx ax c =+⎰

3. ()1

0,01

a a

x

x dx c a x a +=+≠>+⎰ 4()1

ln ||0dx x c x x

=+≠⎰

5.x x

e e c =+⎰

6.(0,1)ln x x a

a dx c a a x

=+>≠⎰

1

7.cos sin axdx ax c a

=+⎰

()1

8sin cos 0axdx ax c a a

=-+≠⎰

()29sec tan 0xdx x c a =+≠⎰

2

10.csc tan xdx x c =+⎰ 11.sec tan sec x xdx x c =+⎰g

12.csc cot csc x xdx x c =-+⎰g

13.arcsin arccos 'dx x c x c =+=-+⎰

2

14.arctan cot '1dx dx x c arc x c x

=+=-++⎰ 22

115.ln ||2dx x a c x a a x a

-=+-+⎰ 16.sec ln |sec tan |xdx x x c =++⎰

在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况

(1).假分式化为真分式

方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。 例：

()()()6

264422

2

422222

42

253

112211

112111

121

112arctan 53

x dx

x x x x x x dx x x x x x x dx x x dx x dx dx x x x x x C +++--++-=++-+++-=+=-+-+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

(2).复杂的三角函数利用积化和差公式转化为熟悉的积分公式

()1.sin sin cos cos sin αβαβαβ

+=+()2.sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ()3.cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()4.cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+

()()5sin sin 2cos sin αβαβαβ

+--=⎡⎤⎣⎦ ()()6.sin sin 2sin cos αβαβαβ

++-=⎡⎤⎣⎦

()()7.cos cos 2sin sin αβαβαβ--+=⎡⎤⎣⎦

()()8.cos cos 2cos cos αβαβαβ-++=⎡⎤⎣⎦

9.sin sin 2sin cos 22αβ

αβαβ+-⎛⎫⎛⎫+=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

10.sin sin 2sin cos 2

2αβ

αβαβ-+⎛⎫⎛⎫-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

11.cos cos 2cos cos 2

2αβ

αβαβ+-⎛⎫⎛⎫+=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

12.cos cos 2sin sin 2

2αβ

αβαβ+-⎛⎫⎛⎫-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

例1：求

2

sin

xdx ⎰

解：

2

sin

xdx ⎰

(

)

1cos 2111

cos 2sin 222

24x dx dx xdx x x c -==

-=-+⎰⎰⎰

（利用到公式7） 例2：求cos3sin x xdx ⎰g

解

：

()1111cos3sin sin 4sin 2cos 4sin 22242x xdx x x dx x x c ⎛⎫

=-=-++ ⎪⎝⎭

⎰⎰g （利用公式5）

标题二、换元积分法

所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分不能转化为积分公式时，则通过换元转化。