合情推理

合情推理

（上饶市秦峰中学朱校华2014·11·03原创）美国有一位数学家、数学教育家叫波利亚，他撰了一本论著叫《数学与猜想》，在这本书的序言中，其中有这样一段话说得特别好，他说：“作为以后要想把数学作为自己终身职业的人，应该学习演绎推理，因为这是该学科的一大特点，当然他还要学习合情推理，因为这是使得他的研究工作能够得以进行的一种推理形式；如果你不是把数学作为自己终身职业的人，同样也要学习演绎推理，因为学习了演绎推理，你就获得了一种标准，这个标准就可以用来衡量日常生活中，我们碰到的一些事情；更应该要学习合情推理，因为在你的日常生活当中，方方面面都要用到合情推理.”波利亚很辩证地说清了演绎推理和合情推理这两种推理形式，对于一个无论是以后做数学研究的人，还是不做数学研究的人，它的重要性都阐释得很充分.说明合情推理对于我们每个人来说都是很重要的！必须要掌握！

事实上，推理不光是数学的一种基本思维方式，也是人们学习和生活当中，具备并经常使用的一种思维方式，推理主要包括演绎推理和合情推理。

演绎推理是从已知的事实出发，按照一些已确定的规则，然后进行逻辑的推理、证明和计算的一个过程。换句话说，演绎推理是从一般到特殊的一种思维形式，常常是由普通性的前提推出特殊性的结论的一种推理，主要有三段论、假言推理和选言推理三种样式。在几何的证明当中，实际上都是这样一种推理的形式。下面就三种形式分别举三个例子来悟悟：①正方形一定是长方形，这个图形是正方形，所以它一定是长方形；②如果一个图形是长方形，那么它的四个内角均是直角，这个图形四个内角不是直角，所以它不是长

方形；③一个三角形，或者是锐角三角形，或者是直角三角形，或者是钝角三角形，这个三角形不是锐角三角形和钝角三角形，所以它一定是直角三角形。

来推断，以获得一些可能性结论的一种思维方式。和演绎推理对比不一样的地方在于：合情推理往往是从特殊到一般的一种推理，所以合情推理得到的结论，可能不一定是对的，通常可称之为猜想或推测，是一个可许性结论。但是合情推理在数学整个发展过程当中，包括在学生学习数学和今后的社会实践和生活当中，却是特别重要的。有两个常用思维可用来支持这个合情推理的重要性。第一个就是抽象思维，抽象的过程，是从特殊到一般的过程，很多重要概念的形成，实际上是抽象的过程，这样一个过程对于概念的认识和理解，是非常重要的；第二个就是统计思维，最基本的推理方式是归纳，当然这里面还有其他直觉的、经验的成份，包括特殊化和一般化。事实上，数学概念的形成，定理的得到，是经历了归纳、类比的过程，最后才能形成所得到的一些认知.

在人的成长过程中，不专门从事数学工作，可能很少有机会接触严格的演绎推理，但是合情推理却要经常被使用到。我们日常生活中的许多现象，其实往往都是由合情推理得来的。比如，有一句谚语叫“红云变黑云，必有大雨淋；天色亮一亮，河水涨一丈！”你说怎么用演绎的方法去证明呢，它就是由合情推理产生的，但是它却能够给我们提供生活指导与帮助。因此，平常数学学习要注重大胆地去猜想、大胆地去归纳、大胆地去验证。通过动手动脑感悟到的东西，一定要先写出来；再利用演绎的方法从逻辑上去证明；另外，合情推理和演绎推理能力的培养，许多领域里面也都会有所体现。下面给出两例予以悟之！

第一例：有关含“绝对值式”计算的系列题：

a

a

⑴计算＝？，（显然字母a≠0，下同；答案：±1，说明“1个式子，有2个答案”！）

⑵计算 ± ＝ ？，（ab ≠0，；答案：±2或0 ，说明“2个式子，有3个答案”！）

⑶计算 ± ± ＝ ？，（abc ≠0，答案：±3或±1 ，说明“3个式子，有4个答案”!）

⑷计算 ± ± ± ＝ ？，仿上面猜想：是否应该“4个式子，有5个答案”呢?

经过分类讨论，细心计算后，不难得出它的正确结果是 “ ±4或±2或0 ”！……，进一步地运用 合情推理 可得出下面 一般性 的结论：

若有(2n-1)个含绝对值的式子进行加减计算(n 是正整数)，其运算结果应该有2n 个答案，以相反数形式成对出现，即±（2n-1）,±(2n-3),…，±3，±1 .

若有2n 个含绝对值的式子进行加减计算（n 是正整数），其运算结果应该有（2n+1）个答案，仍出现一对对的跟式中现存的绝对值式个数相关的连续偶数相反数,而最后成单的那个偶数是0，即±2n,±(2n-2),…，±4，±2, 0 .

第二例：有关含“等于自身”字眼的系列题： ① 平方等于自身的数是 ； ② 立方等于自身的数是 ； ③ 四次方等于自身的数是 ；

④ 五次方等于自身的数是 ；

⑤ 六次方等于自身的数是 ； ………… ………… ………… a a b b

a a

b b

c c a a

b b

c c

d d

⑥ 2n 次方等于自身的数是 (n 是正整数，下同)；

⑦ （2n+1）次方等于自身的数是 .

补充说明：式子 ，要关注的是：当a ＞0时，原式＝1；

当a ＜0时，原式＝ -1.反之也对：即当 ＝1时，a ＞0 ； 当 ＝ -1时，a ＜0. 如安徽中考题：若 + ＝0，则

＝ （关键由已知条件得出a 与b ：一个是正数， 另一个必是负数，于是ab ＜0，所以 ＝ -1很快得出！）

⑧ 相反数等于自身的数是 ；⑨倒数等于自身的数是 ；⑩ 绝对值等于自身的数 是 .（Key ：显然，任何数的一次方均等于自身；①0或1；② -1或0或1；③0或1；④ - 1或0或1；⑤0或1；⑥0或1；⑦ - 1或0或1；⑧0；⑨ - 1或1；⑩ 非负数） a a

a a a a a a

b b

ab

ab

ab ab