第三章 同步发电机的基本方程

磁势幅值的3/2倍
PLSS
P 1


Ld
0

0
0 Lq 0
0
0
L0

maf
PLSR 0

0
maD 0 0
0
0
maQ


3 2
maf
LRS
P 1


3 2
maD

0
0
0
3 2
maQ
0
0
0
磁链方程合写如下
再论互感系数不可逆的原因：
Ld
=
l0
+
m0
+
1 2
l2
+
m2

1 Lq = l0 + m0 - 2 l2 - m2

L0 = l0 - 2m0

百度文库
cos
cos(α
-120o
) cos(α
+
120o
)

P

2 3
sin
sin(α
-120o
)
sin(α +120o

1
1 1
)

2
2
2
显然，矩阵P的行相量是相互正交的（但模不等于1），转置并调整每列
的模便可得到逆矩阵
使P–1的各列相量模等于P
cos
sin
1
的各对应行相量模的倒数。
P
1

cos(α
-
120o
) sin(α
-
120o
)
1
cos(α +120o)
sin(α +120o)

Mi2

2

3 2
Mi1'

L2i2

此时互感系数不可逆
上式为变换到d、q、0坐标系的磁链方程，方程中的各项电感系数都变 为常数了。因为定子三相绕组已被假想的等效绕组dd和qq所代替，这两个绕 组的轴线总是分别与d轴和q轴一致的，而d轴向和q轴向的磁导与转子位置无 关，因此磁链与电流的关系（电感系数）自然亦与转子角无关。

0 maQ id
0
0


iq

L fD
0


i0

if
LD
0

iD

0
LQ

iQ


1 2

L1i1 Mi1

Mi2 L2i2

互感系数总是可逆的
令
i1'

2 3
i1
有
i1

3 2
i1'，及
1

3 2
L1i1'

0
r
0
ia
0


ib

vc v f



&c &f


0
0
r
rf
0
0

iicf

0

&D


0
0
rD
0

iD

0 &Q
0 0 rQ iQ
3-1 基本前提
一、理想同步电机
从三个方面把握假设的实质：
(1) 对称性质：转子结构关于交轴直轴对称，定子三相绕组轴线对称；
(2) 正弦性质：定、转子绕组磁势及气隙磁通正弦分布 (分布绕组，斜槽、分数槽，磁 性槽契等)，磁势、磁通的分布曲线及其叠加可用正弦函数描述；
(3) 线性性质：铁心磁场不饱和，电路分析可用叠加原理。
cos(
-120o) cos(
+120o)
sin sin( -120o) sin( +120o)
1
1 1

ii&ba ic
2
2
2

简写成 逆变换为
idq0 Piabc iabc P 1idq0
相应地有电压、磁链的变换
1

(规格化即为正交矩阵求逆)
转子位置角 = 0+t
顺便观察 P&P1 = ？
从a、b、c坐标系到d、q、0坐标系的变换
电流变换关系，即各相电流 (磁势)在d轴或q轴上的投影的2/3倍。
id iq i0


P
ii&ba ic

2 3
cos
maf
cos(

120o)

LaD LDa maD cos

LbD LDb maD cos( 120o)
LcD

LDc

maD
cos(

120o)

以(－90° )代换 得到定子绕组与转子横轴阻尼绕组之间的互感系数
LaQ LbQ

LQa LQb
磁链方程可简写成：
ψabc ψ fDQ


LSS

LRS
LSR iabc
LRR


i
fDQ

自感和互感系数是变化的，必须进一步讨论。
原始方程说明： 1. 原始方程有6个状态（电压）方程，6个代数（磁链）方程，总计12个方程。 2. 从外部看，只关心绕组端口的电流与电压，故将保留电压方程，消去磁链方程。 3. 发电机准确数学模型为6阶状态（电压）方程。
va = &a－ria vf = &f +rf if
电势方程可简写成：
vabc v fDQ



&abc &fDQ


rS

0
0 iabc
rR

i
fDQ

讨论：6电压个方程，表面上看相互独立，实际上是相互耦合的。
2．磁链方程（ 6个绕组之间有互感磁链）
定子电流正方向： 由发电机机端流出。 （符合实际情况）
相电流磁链方向： 为绕组轴线方向。
（轴线方向定义）
感应电势分别为： &a , &c , &b
（符合楞次定律）
定子电压等于： 感应电势减去电阻压降。（符合实际情况）
va = &a－ria
转子：
励磁电流磁链方向：d轴正方向。
d 轴超前于q轴90°。

Lbb l0 l2 cos 2( 120o)
Lcc

l0
l2 cos 2(a
120o)

定义：d轴与a相绕组轴线正方向的夹角 l0 > l2
定子绕组的自感
2．定子互感 （仅讨论周期与特征点：周期为 ，= －30°时，a相与b相互感最大）
Lab Lbc

Lba Lcb
二、电感系数（说明：自感大小与磁路的磁导有关，互感大小与绕组之间的位置角
有关，而正弦变化规律函数的周期与特征点则可以直接观察。）
电感系数讨论：电感矩阵LSS是对称阵矩阵，且各系数是转子位置角的周期函数。
1．定子自感 （仅讨论周期与特征点：周期为 ，= 0°时，a相最大。）
Laa l0 l2 cos 2
定子的电势方程为
υabc &abc rsiabc
全式左乘P，便得
vdq0 P&abc rsidq0
P不是常数矩阵，P&abc不能用&dq0替代
∵ ψdq0 Pψabc 对两边求导
&dq0 P&ψabc P&abc ∴ P&abc &+P&ψabc &dq0 +P&P 1ψdq0
LaD LbD LcD L fD LDD LQD
LaQ LbQ LcQ L fQ LDQ LQQ

ia

ib

ic
i f
iD
iQ

式中， Laa为绕组a的自感系数； Lab 为绕组a和绕组b之间的 互感系数；其余类此。
dd绕组的电势方向 发电机电势 (右手定则)
υd &d q rid
υq

&q
d

riq

υ0 &0 ri0

注意：因为转子电流与磁链均没
有变换，故转子电压方程不变。
派克变换的直流电机模型
qq绕组的电势方向
三、d、q、0系统的磁链方程
将式磁链方程展开写成
华中科技大学何仰赞 温增银编
电力系统分析
湖南大学电气与信息工程学院
刘光晔 2011年5月
第三章 同步发电机的基本方程
▪ 3-1 基本前提 ▪ 3-2 同步发电机的原始方程 ▪ 3-3 d、q、0坐标系的同步电机方程 ▪ 3-4 同步电机的常用标幺制 ▪ 3-5 基本方程的拉氏运算形式 ▪ 3-6 同步电机的对称稳态运行
a b

c f
D
Q


Laa Lba

Lca

L
fa

LDa
LQa
Lab Lbb Lcb L fb LDb LQb
Lac Laf Lbc Lbf Lcc Lef L fc L ff LDc LDf LQc LQf
vdq0 Pvabc
dq0 P abc
vabc P 1vdq0
abc P 1 dq0
上述变换也称为派克(Park)变换。物理意义是?
电流派克变换的分析：
目标结果是？
定子电流通用相量
1. 将三相电流的瞬时值向一个旋转的轴线投影之和的2/3倍。如果三相电流是对称的，这个投影值 就恒定，刚好对应定子电流产生旋转磁势位置。但这个旋转磁势的幅值等于每相脉振磁势的幅值。

maQ maQ
sin sin(
120o)
LcQ

LQc

maQ
sin(

120o)

横轴滞后直轴90°
3-3 d、q、0坐标系的同步电机方程
一、坐标变换和d、q、0系
坐标变换的目标： 简化磁链方程中的电感系数矩阵：将定子电感矩阵对角化，同时将变系 数矩阵化为常系数矩阵。最后得到解耦的常系数磁链方程，简化分析计算。
绕组顺时针方向 旋转等效于磁场 逆时针方向旋转
0 0 而 P&P1 0 0
0 0 0
问题：直流电机电刷的 作用？回答即可分析。
定义横轴滞后直轴 90º(导体先切割直轴)
正电流产生 直轴磁通(右 手定则)
变压器电势 (右手定则)
最后可得d、q、0轴分量 表示的电势方程式如下
Lf ， LD， LQ LfD=LDf， LfQ=LQf=0， LDQ=LQD =0 4．定子绕组和转子绕组间的互感系数 仅讨论周期与特征点
= 0°时，a相与f绕组互感最大，周期为2。
Laf Lbf
Lfa Lfb
maf maf
cos

cos( 120o)
Lcf
Lfc
讨论：旋转磁势幅值是单 相脉振磁势振幅的3/2倍
a
b
c
120
120
三相脉振磁场合成旋转磁场示意图
也可用物理学中 波的传递现象解 释旋转磁场形成
二、假定正向的选取 绕组轴线方向的定义？
准备：画螺两个单端接地的旋绕组，电流流入为电抗器，电流流出为发电机(考虑磁
定子：
铁往复运动使磁链变化发电)。根据右手螺旋定则，讨论轴线方向、电流、磁链、电 压、电势参考方向的关系。分别写出这两种情形的电压方程，即为电势原始方程。
abc Lssiabc LSRi fDQ
fDQ LRSiabc LRRi fDQ
左乘以P，便得
dq0 PLss P1idq0 PLSRi fDQ fDQ LRS P 1idq0 LRRi fDQ
通过矩阵演算得到
旋转磁势(该磁链穿过 转子)幅值是每相脉振
2. 反过来，将一个旋转的电流相量向三相轴线投影，就可以得到三相对称电流。每相脉振磁势的 幅值等于旋转磁势的幅值，
3. 如果转子电流对定子的互感为1，那么定子电流对转子绕组的互感为3/2，这样会导致定、转子 之间的互感不可逆(因为定子电流产生的旋转磁势幅值是派克变换后电流磁势幅值的3/2倍) 。
二、d、q、0系统的电势
设2个线圈的自感分别为L1与L2，互感为M，则
Ld
d

0

q


0
0 f



3 2
m
fa

D


Q


3 2
mDa

0
0 Lq 0
0
0
3 2
mQa
0 maf 00 L0 0 0 Lf
0 LDf
00
maD 0
vf = &f +rf if
励磁电压等于：电阻压降加感应反电势。 为何轴线顺序与相量顺序相反？
同步发电机的回路图
同步发电机各绕组轴线正 向示意图
3-2 同步发电机的原始方程
一、电势方程和磁链方
1．电势方程（将前述6个绕组的电压方程联立求解）
va
vb

&a r 0 0
&b
实施办法(思路)：定子电感系数矩阵LSS是一个实对称矩阵，必与一对角矩阵相似。
即：存在P，使 P LSS P－1＝diang[Ld、 Lq 、 L0]
二元对称方程组，按列与按行消 去，可以使系数矩阵对角化，使 方程解耦。举例如右矩阵变换。
A

1 0.5
0.5
1

根据LSS，求解特征值为Ld、Lq 、L0(恰为常数)，对应的特征相量可排列成相似变换矩阵
[m0 m2 cos 2( [m0 m2 cos 2(
30o)] 90o)]

Lca Lac [m0 m2 cos 2( 150o)]
m0 > m2
l2 m2
定子电感矩阵LSS对称
定子绕组间的互感
3．转子绕组的自感和互感
自感系数和互感系数都是常数，分别记为