第二章 方差分析方法(第二节)
第二章 方差分析方法(第二节)资料
2.有交互作用的正交试验的方差分析
• （1）原则
• 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显 著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B 的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。
•
例2－2某分析试验，起测定值受A、B、C三种因
素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在交互
作用，在设计试验方案时，可选用L8(27)表，试验安排 结果如表（试验指标要求越小越好）
（2）正交试验结果计算表
试验号因素
A 1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
2
6
2
7
2
8
2
K1
-5
K2
0
Qi
6.25
Si
3.1
B 1
1 1 2 2 1 1 2 2 +10 -15 81.25 78.1
• 因此，Se不一定通过ST-SA-SB-SC来计算，而可 以通过没有安排因素的列直接计算。
（2）计算规格化
在正交设计中每个因素的计算步骤完全一样，而且 每一个因素都和某一列相对应。如果某一列表现为误 差，相应平方和的计算和因素的完全一样。这样既便 于计算，又便于编制计算机程序。
由于上面两个性质，方差分析的基本计算可以化 到每一列上。
三.正交试验的方差分析
1.无交互作用情况（以例1－1为例）
列号 试验号
A温度（℃）1
1
1(80℃)
2
1(80℃)
3
1(80℃)
4
2(85℃)
5
2(85℃)
第二章方差分析与相关分析
第二章方差分析与相关分析在统计学中，方差分析和相关分析是两种常用的数据分析方法。
方差分析用于比较两个或多个组之间的差异，而相关分析用于探究变量之间的关系。
本章将详细介绍方差分析和相关分析的概念、原理和应用。
1.方差分析方差分析是一种用于比较不同组之间差异的统计方法。
它基于一种基本假设，即不同组之间的差异是由于随机误差造成的。
方差分析以方差作为度量不同组之间差异的指标，通过计算组内方差和组间方差来评估不同组之间的差异程度。
方差分析通常包括三个步骤：建立假设、计算方差和进行显著性检验。
首先，建立假设，即空假设和备择假设。
空假设认为不同组之间的差异是由于随机误差造成的，而备择假设则认为不同组之间存在显著差异。
接下来，计算组内方差和组间方差，通过比较两者的大小来评估不同组之间的差异程度。
最后，进行显著性检验，判断不同组之间的差异是否显著。
方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中。
例如，在医学研究中，可以用方差分析比较不同治疗方法的疗效差异；在市场调研中，可以用方差分析比较不同广告策略的效果差异。
2.相关分析相关分析用于探究两个变量之间的关系。
它通过计算两个变量之间的相关系数来评估它们之间的相关性。
相关系数的取值范围为-1到1，负值表示负相关，正值表示正相关，而0表示无相关。
相关分析通常包括两个步骤：计算相关系数和进行显著性检验。
首先，计算两个变量之间的相关系数。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量之间的相关性分析，而斯皮尔曼相关系数适用于有序变量之间的相关性分析。
接下来，进行显著性检验，判断两个变量之间的相关性是否显著。
相关分析广泛应用于各个领域的数据分析中。
例如，在经济学中，可以用相关分析研究两个经济指标之间的相关性；在社会学中，可以用相关分析探究两个社会变量之间的关系。
3.应用案例方差分析和相关分析在实际应用中的案例非常丰富。
以方差分析为例，假设我们研究了三种不同的农药对作物产量的影响。
方差分析第2部分单因素试验资料的方差分
(一)两因素单独观测值试验资料的方差分析 对于A、B两个试验因素的全部ab个水 平组合，每个水平组合只有一个观测值， 全
试验共有ab个观测值，其数据模式如表620所示。
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表6-20 两因素单独观测值试验数据模式
表6-20中
x i.
x
j 1
bБайду номын сангаас
ij
, x. j x..
Cx /N
2 ..
SST x C
2 ij
dfT N 1
df t k 1 df e dfT df t
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SSt xi2 . / ni C
SSe SST SSt
【例6.4】 5个不同品种猪的育肥试验，后期30天增 重(kg)如下表所示。试比较品种间增重有无差异。
这是一个单因素试验，k=5，n=5。
上一张 下一张 主 页 退 出
1、计算各项平方和与自由度
C
2 SST xij C (82 132 142 132 ) 2809.00
2 x..
/ kn 265 /(5 5) 2809 .00
2
2945.00 2809.00 136.00 1 1 2 2 SSt xi. C (51 412 60 2 482 652 ) 2809.00 n 5 2882.20 2809.00 73.20
系统分组方差分析两种,现分别介绍如下。
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一、交叉分组资料的方差分析
设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水
平，B因素分b个水平 。 所谓交叉分组是指A因
7-2(方差分析)
基本操作 【Contrast钮】 钮 用于对比检验,对各个控制变量不同水平下 用于对比检验 对各个控制变量不同水平下 的均值是否与某个检验值存在差异进行比 较,检验值的指定有 检验值的指定有 Deviation:观测变量的均值 观测变量的均值 Simple:第一水平或最后一水平观测变量的 第一水平或最后一水平观测变量的 均值 Difference:前一水平观测变量的均值 前一水平观测变量的均值 Helmert:后一水平观测变量的均值 后一水平观测变量的均值
基本操作 【Plots】 】 因素变量交互作用图形分析 【Post Hoc】 】 多重比较检验 【Save钮】 钮 将模型拟合时产生的中间结果或参数 保存为新变量供继续分析时用， 保存为新变量供继续分析时用，可保 存的东西有预测值、残差、 存的东西有预测值、残差、异常值诊 断。
基本操作 【Options钮】 钮 选项 Estimated Marginal Means:估计边际均值 估计边际均值
S A× B S A× B = 交互作用 S A× B ( r − 1)( s − 1) ( r − 1)( s − 1)
误
差 SE 和 ST
rs( t − 1)
rst − 1
SE SE = rs( t − 1)
总
二、双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 检验两个因素的交互效应 对两个因素的每一 组合至少要做两次试验. 组合至少要做两次试验 如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 如果已知不存在交互作用 或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用 则可以不考虑交互作用. 试验的指标影响很小 则可以不考虑交互作用 对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对两个因素的每一组合只做一次试验 也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 双因素无重复试验 对各因素的效应进行分析 的方差分析. 的方差分析
anova方差分析
anova方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组间差异的显著性。
ANOVA通过计算样本数据的方差来判断不同组之间的差异是否显著，从而推断总体差异的显著性。
本文将详细介绍ANOVA的原理、步骤和应用，并提供一个实际案例来说明其具体操作过程。
一、原理：ANOVA的原理基于两个统计推断的概念：方差和F分布。
方差是指一组数据中各个观察值与其平均值之间的差异。
F分布是一种概率分布，用于比较两个或多个样本数据的方差之间的差异。
ANOVA将样本数据的总方差分解为组内方差和组间方差，通过计算F值来判断组间方差是否显著大于组内方差。
二、步骤：进行ANOVA方差分析通常需要以下步骤：1. 建立假设：首先需要明确要比较的组别或处理之间的差异，然后建立相应的零假设（组别之间没有显著差异）和备择假设（组别之间存在显著差异）。
2. 数据整理：将收集到的数据按照组别分类整理，并计算每组的平均值、方差以及总体样本量。
3. 计算变异性：通过计算组内平方和、组间平方和、总平方和和均方来估计方差的大小。
4. 计算F值：利用均方计算F值，公式为F = 组间平方和 / 组内平方和。
5. 判断显著性：根据所采用的显著性水平（通常为0.05）和自由度来查找F分布表，比较计算得到的F值与临界F值，判断组间差异是否显著。
6. 进行后续分析：如果ANOVA结果显著，可以进行多重比较（如Tukey HSD检验）或其他进一步的统计分析，以确定具体哪些组别之间存在显著差异。
三、应用：ANOVA在实际应用中具有广泛的应用领域，常被用于以下几个方面：1. 科学研究：例如医学试验中比较不同药物治疗组的效果、生物学实验中比较不同处理条件下的实验结果等。
2. 工业品质控制：例如比较不同生产批次的产品质量、评估生产工艺参数对产品性能的影响等。
3. 教育评估：例如比较不同教学方法对学生成绩的影响、评估不同学校教育质量的差异等。
anova方差分析
anova方差分析ANOVA（方差分析）概述：方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间的均值差异是否具有统计显著性。
ANOVA 是一种多元统计分析方法，可以帮助我们理解因素对于观测变量的影响程度。
原理：在进行方差分析时，我们将总体均值之间的差异分为两部分，一部分是不同组内个体之间的差异（称为组内方差），另一部分是不同组之间的差异（称为组间方差）。
通过计算组内和组间方差的比值，我们可以得到方差比（F-ratio），从而判断不同组的均值之间是否存在显著差异。
步骤：1. 建立假设：* 零假设（H0）：不同组的均值没有显著差异。
* 备择假设（H1）：不同组的均值存在显著差异。
2. 计算方差：* 组间方差（SSB）：用于衡量不同组之间的差异。
* 组内方差（SSW）：用于衡量同一组内个体之间的差异。
3. 计算F值：* F值 = 组间方差 / 组内方差。
4. 判断显著性：* 根据F分布表，在给定显著性水平（一般取0.05）下，查找对应的临界值。
* 如果计算得到的F值大于临界值，则可以拒绝零假设，认为不同组的均值存在显著差异。
注意事项：1. 样本独立性：ANOVA要求不同组之间的样本必须相互独立，即每个个体只属于一个组，各组之间没有重叠。
2. 方差齐性：ANOVA要求不同组之间的方差相等，即组间方差与组内方差应该接近相等。
3. 正态分布：ANOVA要求不同组之间的观测值满足正态分布，以保证计算的结果准确性。
应用领域：ANOVA常用于实验研究、质量控制以及一些行业调查中，例如以下场景：- 新药疗效比较：比较不同药物在治疗同一疾病上的效果。
- 客户满意度调查：比较不同年龄、不同性别、不同教育程度等因素对客户满意度的影响。
- 厂商竞争力分析：比较不同厂商在市场份额、销售额等指标上的差异。
总结：ANOVA作为一种常用的统计方法，可以帮助我们确定不同组之间的均值差异是否具有统计意义。
单因素方差分析
2. 3.
一、方差分析的内容
4. 试验
这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水
平的试验
5. 总体
个总体 6. 样本数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取 的样本数据
因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四
二、方差分析的基本思想
（一）比较两类误差，以检验均值是否相等 （二）比较的基础是方差比
该饮料在五家超市的销售情况 超市
1 2 3 4 5
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
一、方差分析的内容
（二）几个基本概念
1. 因素或因子 所要检验的对象称为因子 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检 验的因素或因子 水平 因素的具体表现称为水平 A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平 观察值 在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售量就是观察值
什么时候起最好的影响作用。
方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计 方法，它是通过实验观察某一种或多种因素 的变化对实验结果是否带来显著影响，从而 选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事
物的因素往往很多，每一个因素的改变 都有可能影响产品产量和质量特征。有 的影响大些，有的影响小些。为了使生 产过程稳定，保证优质高产，就有必要 找出对产品质量有显著影响的那些因素 及因素所处等级。方差分析就是处理这
（三）如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差， 则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 （四）误差是由各部分的误差占总误差的比例来测 度的
方差分析
第九章方差分析第一节方差分析的一般问题一、方差分析的意义在工农业生产和科学研究中，经常要搞一些试验活动。
比如，为了解某个新品种的种植效果，需要在土壤条件、温度、湿度、施肥、灌溉等因素相同的情况下，将新品种与其他同类品种的种植结果作比较。
商品的包装方式和在商场里的摆放位置，对吸引顾客是有帮助的，那么为确定某商品合适的包装和销售位置，也可以进行观察试验。
在化工生产中，原料的成分、反应温度、压力、时间、催化剂、设备水平、操作规程等，对产品的得率和质量有很大的影响，通过实验研究，可以帮助我们找到一个最优的生产方案。
在试验基础上取得的数据，称为试验数据。
方差分析技术是对试验数据进行分析的一种比较有效的统计方法。
方差分析是费暄在马铃薯种植试验中首先提出来的，当初他采用的处理方法是，把观察数据看作是马铃薯品种与试验误差共同影响的总和，然后把条件（马铃薯品种）变异和随机试验误差进行比较，以此分析马铃薯品种之间是否存在显著的差异。
后来费暄给出的总结性意见是，方差分析是在若干个能够互相比较的资料组中，把产生变异的原因（主要是条件因素和随机因素）加以明确区分的方法和技术。
二十世纪二十年代，费暄又对方差分析作了系统的研究，并把他的研究成果写在《供研究人员用统计方法》等著作中。
关于单个总体均值和两总体均值差的检验内容，我们在前面已作了比较系统的介绍。
从形式上看，方差分析把这一类检验问题向前拓展了一步，它能够同时对若干个总体均值是否相等的假设进行检验，从而大大提高了统计分析的效率。
另外，方差分析对样本的大小没有更多的限制。
无论是大样本还是小样本，均可以使用方差分析方法。
方差分析方法的最大好处在于，在资料分析过程中所带来的种种便利性，其一，它能够使资料的层次结构清晰有序，其二，它能把一切需要进行的假设检验归结成一种共同格式。
有鉴于此，方差分析的思想逐渐渗透到统计学的许多方法之中。
比如，我们在相关与回归分析一章中所述的总离差平方和的分解，实际上就是方差分析思想的应用。
第2章-多因素方差分析
7
.603
Intercept
769.081
1
769.081
A
2.017E-03
1 2.017E-03
B
7.707E-02
1 7.707E-02
C
.799
1
.799
A*B
1.904
1
1.904
B*C
5.227E-02
1 5.227E-02
A*C
1.335
1
1.335
A * B *C
4.860E-02
1 4.860E-02
25
26
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: Y
Type III Sum
Sou rce
of Squares
Intercept Hypothesis145548.375
Err or
.
A
Hypothesis 12.250
Err or
666 .750
B
Hypothesis 100.125
Err or
666 .750
A* B
Hypothesis 666.750
Err or
271 5.500
df Mean Square
1
.
.a
.
2
6.1 25
6
111 .125b
3
33. 375
6
111 .125b
6 111.125
12
226 .292c
F .
.05 5
.30 0
.49 1
Sig . .
.94 7
方差分析
∑∑
i =1
k
= xi − x j =1
ni
2
∑
ni xi − x i =1
k
2
SSE = ∑∑ (xij − xi )
i =1 j =1
k
ni
2
前例的计算结果 SSA = 1456.608696
前例的计算结果 SSE = 2708
构造检验的统计量(三个平方和的关系)
第7讲 方差分析
第7讲 方差分析
律师 44 42 74 42 53 50 45 48 64 38 理疗师 55 78 80 86 60 59 62 52 55 50 木工 54 65 79 69 79 64 59 78 84 60 系统分析师 44 73 71 60 64 66 41 55 76 62
80
– 因素： 品牌， 货架位
60
– – – –
置 水平：A, B， 底，中， 顶 处理：A底，A中，A顶， B底，B中， B顶 观测值：每周的销售量 抽样：在18周内，每周 随机变换一种组合
品 牌 A
第1，9， 14周的销 售量
第2，7， 16周的销 售量
第4，12， 17周的销 售量
被投诉次数
40
一. 二. 三. 四.
数据结构 分析步骤 关系强度的测量 方差分析中的多重比较
3. 设µ1为零售业被投诉次数的均值，µ2为旅游业被投诉
次数的均值，µ3为航空公司被投诉次数的均值，µ4为 家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为
H0 ： µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 H1 ： µ1 , µ2 , µ3 , µ4 不全相等
什么是方差分析? 什么是方差分析? (例题分析) 例题分析)
方差分析
第一节
方差分析的基本思想和应用条件
一、方差分析的基本思想
根据实验设计的类型，把总的变异分成
两个或多个部分，每个部分都可以由某个因
素的作用（或某几个因素的交互作用）加以
解释，然后通过比较推断各种研究因素对实
验结果有无影响。
例4-2
某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗
效，按统一纳入标准选择 120名高血脂患者，采用 完全随机设计方法将患者等分为 4组，进行双盲试
二、完全随机设计方差分析
完全随机设计方差分析将总的变 异分解成两部分：组间变异和组内 变异。
变异来源
SS
2 X C
ν
N 1
MS
F
总
组间 组内
i 1
g
( X ij )2
j 1
ni
ni
C
g 1 SS组间 组间
N g SS 组内 组内
MS组间 MS组内
SS总 SS组间
表4-9 区组 1 2 3 4 5
不同药物作用后小白鼠肉瘤重量（g） A药 0.82 0.73 0.43 0.41 0.68 B药 0.65 0.54 0.34 0.21 0.43 C药 0.51 0.23 0.28 0.31 0.24
1、建立假设并确定检验水准
H0：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均
2.72
81.46
233.00
2.70
80.94
225.54
1.97
58.99
132.13
第i个处理组的第j个测量值
表4-1 g个处理组的试验结果
分组 测量值 统计量 第1组 X11 X12 … X1j … 第2组 X21 X22 . . . . . . . . . … X2j . . . . . .
方差分析的基本原理
方差分析的基本原理.
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本平均值之间的差异是否显著。
其基本原理是将总体方差分解为组内变异和组间变异，然后进行统计检验判断变异的差异是否由于随机误差。
方差分析的基本原理可以通过以下步骤来理解：
1. 假设：首先需要建立一个空假设，即组间的平均值相等。
而备择假设则是组间的平均值不相等。
2. 方差分解：将总体方差分解为组内的平均方差和组间的平均方差。
组内方差衡量了组内个体与各自组的平均值之间的差异，而组间方差衡量了各组平均值之间的差异。
3. 计算统计量：通过计算组间和组内的方差比（F值）来评估
组间和组内的变异程度。
这个比值越大，说明组间的差异相对较大。
4. 显著性检验：利用统计表进行显著性检验，比较计算得到的F值与理论F分布的临界值。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝空假设，认为组间的差异显著，即各组的平均值不相等。
5. 结果解释：如果显著性检验表明组间差异显著，接下来可以进行多重比较分析，进一步确定哪些组之间存在显著差异。
总之，方差分析通过将总体方差分解为组内和组间的方差，然
后进行显著性检验，以判断样本之间的平均值差异是否显著。
这种分析方法广泛应用于实验设计和统计推断中，帮助我们理解和解释数据之间的差异。
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（ANOVA）是一种统计学方法，用于比较三个或三个以上组的平均值是否存在显著差异。
它是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断组间差异是否显著。
方差分析可以用于不同实验设计和数据类型，是许多统计分析的基础。
首先，我们来了解一下方差分析的基本原理。
方差分析的核心思想是将总体的方差分解为组内变异和组间变异两部分。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，而组间变异是指不同组之间的差异。
通过比较组内变异和组间变异的大小，我们可以判断组间差异是否显著。
在进行方差分析时，我们需要计算F值来判断组间差异是否显著。
F值是组间均方与组内均方的比值，它反映了组间变异与组内变异的相对大小。
当F值大于1时，表示组间差异较大，我们可以拒绝原假设，认为组间差异显著。
方差分析有不同的类型，包括单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
在单因素方差分析中，我们只考虑一个自变量对因变量的影响；在双因素方差分析中，我们考虑两个自变量对因变量的影响；而在多因素方差分析中，我们考虑多个自变量对因变量的影响。
除了了解方差分析的基本原理，我们还需要注意方差分析的假设条件。
方差分析的假设包括正态性假设、方差齐性假设和独立性假设。
正态性假设是指因变量在各组内呈正态分布；方差齐性假设是指各组的方差相等；独立性假设是指各组之间相互独立。
在进行方差分析前，我们需要对这些假设进行检验，以确保分析结果的可靠性。
在实际应用中，方差分析常常与其他统计方法结合使用，如回归分析、协方差分析等。
通过综合运用不同的统计方法，我们可以更全面地分析数据，得出更可靠的结论。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，它可以用于比较多个组的平均值是否存在显著差异。
通过了解方差分析的基本原理、假设条件和应用范围，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地分析数据，得出科学的结论。
方差分析
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij x.. )2
i 1 j 1 m r
式（1）
将式（1）进行分解：
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
i 1 j 1 i 1
m
r
m
式（2）
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
fT=mr-1=n-1，fA=m-1，fe=mr-m=n-m
显然 fT= fA+ fe 式（10）
第二节 单因素试验方差分析
fT= fA+ fe 式（10）
式（10）称为偏差平方和自由度分解公式。因为总自 由度fT=n-1是总的数据个数减1，而组间自由度fA=m-1是因 素的水平数减1，都很好计算，所以一般先求出fT和fA，再 利用 fe =fT- fA 式（11） 求出组内自由度fe。
xi.
105.6 110.9 107.9 114.2 85.0 523.6
4
i 1
2 x ij
2820.24 3092.61 2958.13 3276.50 1807.24 13954.72
第二节 单因素试验方差分析
1、计算偏差平方和及自由度 x..=523.6 CT= x..2/n=523.62/20=13707.85
式（8） 式（9）
第二节 单因素试验方差分析
（三）计算自由度和方差
偏差平方和的大小，与参与求和的项数有关，为了比较 SA与Se的大小，应消除求和项数的影响，比较它们的平均值。 从数学上的理论推导知道，SA与Se的平均值，不是把SA与Se 分别除以相应的参与求和的项数，而应除以它们的自由度， 下面分别为ST 、SA与Se的自由度fT、fA和fe。
统计学方差分析ppt课件
水平
水平指因素的具体表现，如销售的 四种方式就是因素的不同取值等级。有 时水平是人为划分的，比如质量被评定 为好、中、差。
单元
单元指因素水平之间的组合。如销 售方式一下有五种不同的销售业绩，就 是五个单元。方差分析要求的方差齐就 是指的各个单元间的方差齐性。
元素
元素指用于测量因变量的最小单 位。一个单元里可以只有一个元素， 也可以有多个元素。
均衡
如果一个试验设计中任一因素各水 平在所有单元格中出现的次数相同，且 每个单元格内的元素数相同，则称该试 验是为均衡，否则，就被称为不均衡。 不均衡试验中获得的数据在分析时较为 复杂。
交互作用
如果一个因素的效应大小在另一 个因素不同水平下明显不同，则称为 两因素间存在交互作用。当存在交互 作用时，单纯研究某个因素的作用是 没有意义的，必须分另一个因素的不 同水平研究该因素的作用大小。如果 所有单元格内都至多只有一个元素， 则交互作用无法测出。
地点一 地点二 地点三 地点四 地点五
方式一
77
86
81
88
83
方式二
95
92
78
96
89
方式三
71
76
68
81
74
方式四
80
84
79
70
82
【解】设这四种方式的销售量的均值分别用 1•, 2•, 3•, 4• 表示，四 个销售地点的平均销售量用 •1, •2, •3, •4 表示；则要检验的假设为
例题
Excel操作
构造F统计量
判断与结论
例题
Excel操作
方差分析概述
因素和水平
单元和元素
均衡
交互作用
方差分析-统计学原理
yij ai ij , j 1 ,2,..., m ,2,..., r, i ,i 1 r m ia i 0 i1 2 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 N (0, ) ij
H0 ：a1 =a2 =…=ar =0
第三节 两因素方差分析 随机区组设计资料的方差分析
方差分析的应用条件
（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布； （2）各组总体方差相等，即方差齐性。
方差分析的用途
1 2 3 4 用于两个或多个均数间的比较 分析两个或多个因素的交互作用 回归方程的假设检验 方差齐性检验
第二节 单因素方差分析 完全随机设计资料的方差分析
一、完全随机设计 完全随机设计是采用完全随机化的分组方法， 将全部试验对象分配到g个处理组，各处理组分别 接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差 别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
一、 随机区组设计 随机区组设计（ randomized block design ），又称 配伍组设计，是配对设计的扩展。 具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素 将受试对象配成区组（block），再将各区组内的受 试对象随机分配到不同的处理组，各处理组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别 有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
方差分析的基本概念
将衡量试验结果的标志称为试验指标。 将影响试验结果的条件称为因素。 因素在试验中所处的不同状态称为该因 素的水平。
只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素 试验，相应的方差分析称为单因素方差分析。
二、变异分解 完全随机设计资料的方差分析表 变异来源 自由度 SS MS F 总变异
甲组 4.2 3.3 3.7 4.3 4.1 3.3
2金融风险与收益的均值-方差分析
第二章课件2：金融风险与收益的均值-方差分析风险与收益的协方差分析平均回报率和方差，或者标准差，提供了单只证券或者一个证券组合的回报分布的信息。
然而，这些数值并没有告诉我们不同证券回报之间的相互关联及其关联的方式。
假定在某个给定的月份之中，一个证券产生了高于其平均回报的回报。
假如我们知道发生了这样的结果，那么它对其他某个股票在同一时期产生的回报率的预期会有什么样的影响呢？当一个股票产生了高于其平均回报的回报，其他的股票也有出现同样结果的倾向吗？提供关于这个问题的一些信息的统计指标就是两个股票的协方差。
如果说方差是个绝对性的概念和分析方法的话，那么协方差就是个相对性的概念和分析方法。
因此，这个分析及其结果说明这样的基本思想：对于由不同风险的资产组成的投资组合，既要考虑它们各自的收益与风险之间的比较，又要考虑它们之间的相对收益比较和相对风险比较。
下面要研究的主要结果是，如何使一个投资组合的风险溢价是对应于状态价格密度的收益与投资组合收益之间的协方差。
现在考虑L 种不同的风险资产i Z ，1,2,,i L =⋅⋅⋅ （2.2.2）资产i Z 在投资组合中的数量是i k ，其现值是0i Z （即在日期0t =的价值）。
如果投资到该组合中的总财富是W ，则i k 和0i Z 应该满足 01L ii i k Z W ==∑ （2.2.3）在做金融资产收益和风险的研究中，人们都首先考虑无风险（金融术语是风险中性概率）的收益，然后再对比进行风险资产的研究。
下述字母和符号的含义分别为：ω—随机状态变量；()P ω—概率侧度，且()0P ω>；()Q ω—风险中性概率侧度；()()()Q L P ωωω=—状态价格向量。
因为风险资产的收益是随机变量，所以应该表示为 00()()i i i i i z T z R R z z -≡≡，1,2,,i L =⋅⋅⋅ （2.2.4） 类似地，可以把银行账户的收益定义为00()B T B R B -≡它们与公式 ()()()cov((),())j j j V Z E z q z E z V Z -≡比较，两者对风险资产收益的分析原理是一致的。
方差分析
9
10
3.05
3.42 10 2.5800 0.2743
2.61
2.86 10 2.9760 0.1581
3.77
4.23 10 4.1700 0.1605
3
3 30 3.240 0.6565
3.1433
3.5033 (N)
Ni
Xi
Si2
X
(S2)
随机区组设计方差分析变异构成
处理组变异 SS处理
例 欲研究二氧化硅的致纤维化作用，用50mg二氧
化硅对大鼠进行染尘，实验大鼠随机分为三组，染
尘后分别观察1个月、3个月、6个月，后测大鼠全
肺湿重，问三个时期的全肺湿重有无区别？
方差分析
1
二氧化矽50mg染尘后的三个时期大鼠全肺湿重(g） 1个月组 3.3 3.6 3个月组 4.4 4.4 6个月组 3.6 4.4
方差分析
35
表9-6 三种方案处理后大白兔血中蛋白含量减少量(g/L) 区组 1 2 3 A方案 2.21 2.32 3.15 B方案 2.91 2.64 3.67 C方案 4.25 4.56 4.33
4
5
1.86
2.56
3.29
2.45
3.89
3.78
6 7 8 9 10
1.98 2.37 2.88 3.05 3.42
2.74 3.15 3.44 2.61 2.86
4.62 4.71 3.56 3.77 4.23
分析变异
总变异
处理变异 区组变异
误差变异
方差分析
37
表9-6 三种方案处理后大白兔血中蛋白含量减少量(g/L)
区组 1 A方案 2.21 B方案 2.91 C方案 4.25
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(2 2 2)
2 2 2 3 (90 89.6) (94 89.6) ...... (84 89.6 ) 303.6
(3)组内变差平方和 Se
B时间（Min）2 1(90Min) 2(120Min) 3(150Min) 1(90Min) 2(120Min) 3(150Min) 1(90Min) 2(120Min) 3(150Min)
C用碱量（x%）3 1(5%) 2(6%) 3(7%) 2(6%) 3(7%) 1(5%) 3(7%) 1(5%) 2(6%)
显著性 * △
⊙
4列平方和刚好等于总平方和： S总=SA+SB+SC+Se
（4）正交表方差分析的特点 （a)总平方和等于个列的平方和
在上例中，第4列没有安排因素，如果我们按每个因素的平 方和计算第4列的K值
( 4) ( 4) K1( 4) 144, K 2 153, K 3 153
1 Q4 (1442 1532 1532 ) 22518 3 S4 Q4 P 22518 22500 18 Se
450 1 P 450 2 9 22500
（3）无交互作用方差分析表
方差分析表
方差来源 A B
C e 总和
变差平方和 SA=618 SB=114
SC=234 Se=18 984
自由度 2 2
2 2 8
平方差平方和 F临 FA 309 34.33 19 57 6.33 99
117 9 13.00 4 9
（2）计算规格化 在正交设计中每个因素的计算步骤完全一样，而且 每一个因素都和某一列相对应。如果某一列表现为误 差，相应平方和的计算和因素的完全一样。这样既便 于计算，又便于编制计算机程序。 由于上面两个性质，方差分析的基本计算可以化 到每一列上。
计算公式
• 设某一列有p个水平，每个水平有q次试验。K1 ，K2，⋯，Kp代表p个水平的q个数据之和，则 。
S A QA P S B QB P SC QC P ST W P Se ST S A S B SC
（2）无交互作用试验结果计算表
试验号 列号 A温度（℃）1
B时间（Min） 2 1(90Min) 2(120Min) 3(150Min)
C用碱量（x%）3 1(5%) 2(6%) 3(7%)
3.平均平方（均方）与均方期望值 第三步：平均平方（均方）与均方期望值计算 平方和除以自由度称为均方。记为S _ S 则：A间均方 SA A p 1 _ SA 误差均方 Se p (r 1) 它们的期望值为 E ( SA ) r A e
2 _ 2 _
E ( Se ) e
（3）特点三：便于分析因素的主次
• 判断标准：极差大的是重要因素；极差小的是 次要因素。 • 在方差分析表中，判断因素影响的主次，是根 据其均方的大小，均方大的是主要因素；均方 小的是次要因素。 • 同时方差分析还能指出试验误差的大小。 • 所以方差分析法更优于极差分析法。
2.有交互作用的正交试验的方差分析
• （1）原则 • 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显 著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B 的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。
8
9 K1 K2
3(90℃)
3(90℃) 123 144
2(120Min)
3(150Min) 141 165
1(5%)
2(6%) 135 171
3
1 144 153
62
64
K xi
i 1
9
K3
Qi Si
183
23118 618
144
22614 114
144
22734 234
153
22518 18
二.单因素方差分析法 （以例2－1为例）
• 1.方差分析法的基本思路： • （1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差 平方和、组间变差平方和，并赋予它们的数量表 示； • （2）用组间变差平方和与组内变差平方和在一 定意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素 水平的变化对指标影响不大；如两者相差较大， 组间变差平方和比组内变差平方和大得多，说明 因素水平的变化影响很大，不可忽视； • （3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向 。
i 1 9 2
p个水平，每水平q个试验号
1 p 2 1 p q 1 3 2 QA K i ( xij ) ( K iA ) 2 q i 1 q i 1 j 1 3 i 1 1 3 QB ( K iB ) 2 3 i 1 1 3 QC ( K iC ) 2 3 i 1
即正好等于Se。所以L9（3 ）的第4列平方和加在一起 正好等于总平方和即 S总=SA+SB+SC+S4 （2-49） S4=Se
4
特别提示：
• 方差分析的优点在于能使总平方和分解成因素 与误差平方和，而正交表将这种分解已固定到 每一列上，某一列在安排试验时没赋予它什么 内容，该列的平方和就反映试验误差。 • 因此，Se不一定通过ST-SA-SB-SC来计算，而可 以通过没有安排因素的列直接计算。
i 1 p
(x
j 1
r
ij
xi ) 2
_
(2 2 3)
Se (60) Se (65) Se (70) Se (75) Se (80) 式中： Se (60) (90 90) 2 (92 90) 2 (88 90) 2 8 Se (65) (97 94) 2 (93 94) 2 (92 94) 2 14 Se (70) (96 95) 2 (96 95) 2 (93 95) 2 6 Se (75) (84 85) 2 (86 84) 2 (82 84) 2 14 Se (80) (84 84) 2 (86 84) 2 (82 84) 2 8 Se Se (60) Se (65) Se (70) Se (75) Se (80) 50 我们发现有： ST S A Se
4 1 2 3
转化率（x%） 31 54 38
1 2 3
1(80℃) 1(80℃) 1(80℃)
4
5 6 7
2(85℃)
2(85℃) 2(85℃) 3(90℃)
1(90Min)
2(120Min) 3(150Min) 1(90Min)
2(6%)
3(7%) 1(5%) 3(7%)
3
1 2 2
53
49 42 57
⊙
_ _
（4）F0.1 FA F0.2 , 因素A有一定影响，记为 △
以例2－1为例，检验其中因素A的显著性 S /f 303.6 / 4 （ 1）计算F= A A 15.18 Se / f e 50.0 /10 （2）查F表（P377)， 对a＝0.05及a＝0.01分别有 F0.05 (4,10) 3.5 F0.01 (4,10) 6.0 （3）比较FA与Fa FA F0.05 , F0.01，因素A高度显著。
_
2
第四步：显著性检验（ 4.显著性检验(F检验) F检验）
SA / fA SA F= _ Se / f e Se
_
F>F临 显著 F<F临 不显著
例如当FA Fa时，若a＝0.05，就有（1－a） 100％即95％的 把握说因素A是显著的。若FA Fa，则在a水平下不能认为因 素A是显著的。通常是当试验精度很差时，a可取得比较大。
r
_
_
p
_
_
每水平重复试验数×水平均值与一般平均之差
S A 3[(k x) (k x) (k x) ]
A 1 2 A 2 2 A 3 2
_
_
_
ST
i 1
p
2 ( x x ) ( x x ) ij i 2 j 1 j 1
r
_
9
_
总体公式： K=x1 x2 ...... x9 1 1 P K2 K2 n 9 W xi
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
转化率（x%） 31 54 38 53 49 42 57 62 64
1 2 3 4 5 6 7 8 9
（1）方差分析理论依据
单因素：p个水平，每水平重复r次试验
SA
i 1
p
2 ( x x ) r ( x x ) i i 2 j 1 i 1
第二节 正交试验方差分析法
极差分析不能估计试验中以及试验结果 测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个 缺点，可采用方差分析的方法。
一.正交试验方差分析法基本含义与必要性
• 1.方差分析法的基本含义 所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将总变 差平方和进行分解，然后进行统计检验的一种数学 方法。 方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变化所 引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验 结果间的差异区分开来的一种数学方法。
方差分析表
方差来源 A e 总和 变差平方和 SA=303.6 Se=50.0 自由度 4 10 平方差平方和 75.9 5.0 F临 FA 3.5 15.18 6.0 显著性 **
第五步：小结 5.小结
令 Ki xij
j 1 q
p个水平，每水平q个试验号
K=
i 1 p
x
j 1
q
ij
1 2 1 p P K ( pq pq i 1 W