3平方根(3)
3的平方根
3的平方根引言数学是一门既古老又深奥的学科，它为我们提供了解决各种问题的工具和方法。
其中一个重要的数学概念就是平方根。
平方根是指一个数的平方等于给定数的运算。
在本文中，我们将探讨数字3的平方根，并分析其性质和应用。
1. 平方根的定义平方根是数学中一个重要的概念。
给定一个数x，如果存在一个非负数y，使得y的平方等于x，那么y被称为x的平方根。
通常用符号√x表示平方根。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
2. 3的平方根接下来，让我们来探讨数字3的平方根。
3的平方根表示为√3。
如果我们尝试使用常见的方法来求解√3，我们会发现√3是一个无理数。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，也就是它的小数部分是无限不循环的。
对于数字3来说，它的平方根无法精确地用有限的小数表示。
例如，我们可以使用近似方法来计算3的平方根。
通过使用计算器或计算工具，我们可以得到近似值为1.732。
这个近似值不是√3的精确解，但是在实际应用中通常足够准确。
3. 3的平方根的性质除了无法被精确表示外，3的平方根还具有一些其他重要的性质。
以下是几个与3的平方根相关的性质：3.1. 3的平方根是无理数我们已经提到√3是一个无理数。
这意味着√3是一个无限不循环的小数。
这个性质适用于所有无理数，不仅仅是3的平方根。
无理数是数学中非常有趣的概念，它们在几何学和其他分支中有重要应用。
3.2. 3的平方根的近似值虽然√3无法精确表示为有限小数，但我们可以通过近似方法得到它的近似值。
我们可以使用计算器或计算工具来计算√3的近似值。
这对于需要快速计算而不需要极高精度的场景非常有用。
3.3. 3的平方根的应用3的平方根具有广泛的应用。
在许多科学和工程领域中，我们需要计算各种数值和测量结果的平方根。
例如，在物理学中，3的平方根可以用来计算速度、加速度和力的大小。
此外，3的平方根还在几何学中起着重要的作用。
它可以用来计算三角形的边长和角度，以及其他各种几何图形的特性。
新人教版七年级数学下册第六章《平方根(3)》精品课件
2
4 9
2 ， 3
2
4 9
；
（3）（0.8）2= 0.64 ，（－0.8）2= 0.64 。
显然 乘方是已知底数和指数，求幂。 如： 42已知底数4及指数2，求幂16。
反过来：如果已知一个数平方等于16，怎 样求这个数？即知已指数2及幂16，求底数？ 设这个数为x 则 x 2 =16 ∵4
a
任 何 幂 数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方是 正 数.
4.如何求一个数的平方根？
例1 . 求下列各数的平方根： 16 （1）81；（2） ； （3）0.49; 25 解：(1)∵ (±9)2=81， ∴81的平方根为±9．
4 2 16 ( ) （ 2） 5 25
解：100 10
1 1
36 6 121 11
2
0 0
0.0025没有算术平方根； （ 3） 9 3 25没有算术平方根；
活动一：复习巩固 3.什么叫乘方？什么叫幂？ 答：求相同因数的积的运算叫做乘方；乘方 的运算结果叫做幂。 4. 填空 （1）42= 16 ，（－4）2= 16 ；
16
C、 －4
D、4或－4
3、数0.25的平方根是（ D） A、0.5 B、0.05 C、－0.5 D、0.5或－0.5 4、数（－6）2的平方根是（ C ） A、－6 B、6 C、6或－6 D、无平方根
三.判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( ×
) 负数没有平方根
（2）49的平方根是7 ；
活动二：自学并讨论
预习P45回答下列问题
• • • • • • 1.什么叫平方根？ 2如何表示一个数的平方根？ 3.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？ 4.如何求一个数的平方根？ 5.平方根有什么性质？ 6.平方根与算术平方根有什么异同？
10.1 平方根(3)课件2--
（1） x2 = 25 （2） 9x2 16 = 0 （3） (2 2 100 = 0 (2x) （4） (2 (2x 1)2 25 = 0
பைடு நூலகம்
作业本（1）: 作业本（
p31
祝大家学习愉快
解: 开平方得
x = ± 25 即 x = ±5
∴
x1 = 5,
x2 =
5,
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（2） 9x2 16 = 0
解: 移项得
9x2 = 16 x2
16 = 9
两边除以9,得
16 开平方得 x = ± 9 4 x2 ∴ x1 = 3 ,
=
4 3
,
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（2） 0.81 （3）±
121 196
=
0.9
11 =± 14
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（1） x2 = 25 （2） 9x2 16 = 0 （3） (2 2 100 = 0 (2x) （4） (2 (2x 1)2 25 = 0
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（1） x2 = 25
10.1 平方根(3) 平方根
思考
如果一个数的平方等于9, 如果一个数的平方等于 那么这个数是 3 或 -3
即
( ±3 ) = 9
2
3 或 -3 叫做 9 的平方根
一般地，如果一个数的平方等于a， 一个数的平方等于 一般地，如果一个数的平方等于 ， 那么这个数叫做a的平方根或 那么这个数叫做 的平方根或二次方根
如果 x2 = a， 那么x 那么 叫做 a 的平方根
记作： 记作：x = ± a
平方根计算步骤和方法
平方根计算步骤和方法一、平方根的基本概念。
1.1 平方根是什么呢？简单来说，如果一个数x的平方等于a，那么x就叫做a 的平方根。
打个比方，3的平方是9，那3就是9的一个平方根。
不过呢，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，就像9的平方根是3和 3。
0的平方根就是0，这比较特殊，就像它自己一样独一无二。
负数在实数范围内可没有平方根哦，这就像在现实生活中有些事情是有一定规则限制的，不能乱来。
二、计算平方根的步骤。
2.1 对于较小的完全平方数。
首先呢，要熟悉一些常见的完全平方数，像1、4、9、16、25这些。
如果让你求16的平方根，你得马上反应过来，4的平方是16， 4的平方也是16，所以16的平方根就是±4。
这就好比你认识一些老朋友，一看到他们的脸就能叫出名字一样，对这些常见的完全平方数要做到心中有数。
2.2 对于较大的完全平方数。
分解因数法。
比如说144，我们可以把144分解成12×12，那144的平方根就是±12。
这就像是拆礼物，把一个大的东西拆成我们熟悉的小部分，然后就能轻松找到答案。
如果数字再大一点，像324，我们可以先分解成2×162，再把162分解成2×81，81就是9×9，所以324 = 2×2×9×9，324的平方根就是±18。
这个过程就像是剥洋葱，一层一层地剥开，最后找到核心。
2.3 估算平方根。
当遇到不是完全平方数的时候，我们就得估算了。
比如求10的平方根。
我们知道9的平方根是3，16的平方根是4，那10的平方根肯定是介于3和4之间的。
这就像猜谜语一样，根据已知的线索去推测答案的范围。
再精确一点呢，我们可以用一些简单的计算来逼近。
3.1的平方是9.61，3.2的平方是10.24，所以10的平方根大约是3.1多一点。
这就像是在大海里捞针，虽然不能一下子找到准确的位置，但是能慢慢缩小范围。
平方根(3)
平方根（3）一 填空题1.已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米2.写出一个只含有字母x 的代数式，要求（1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；（2）此代数式的值恒为负数3.已知实数a 满足21999,1999a a a -=-=则4.已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++=-x+y=5.===……所揭示的规律，可得出一般的结论是6.已知实数a 满足0,11a a a +=-++=那么7.设A B ==则A 、B 中数值较小的是8.12 5.28,y -=则x= ,y=9.有意义的x 的取值范围是10.已知24515652454950....==，则：245= ，2450= 11.若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为12.如果a 的平方根等于2±，那么_____=a 二 选择题1.下列语句，写成式子正确的是（ ）A ．7是49的算术平方根，即497=± B ．7是()-72的算术平方根，即()-=772 C ．±7是49的平方根，即±=497 D ．7是7的算术平方根，即77=2.下列各式中，计算正确的是（ ）A 5353222-=-= B 1419121356+=+= C ()--=--=8199 D 1916251654==3.下列命题中，其中正确命题的个数是（）①0.25的平方根是±05.②-05.是-025.的平方根③只有正数才有平方根④()12-x 的平方根是()±-x 1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.若4567213745676758...==，，则0.4567平方根是（ ）A ．±002137.B ．±0.06758C ．±0.2137D ．±0.6758 5.若3+5的小数部分是a ，3-5 的小数部分是b ，则a+b 的值为（ ）A 、0 B 、1 C 、-1 D 、26.使等式2(x =成立的x 的值（ ） A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定7.一正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ）A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b =8.若x-5能开偶次方，则x 的取值范围是（ ）A 、x ≥0 B 、x>5 C 、x ≥5 D 、x ≤59．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 10.一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425+ D 、无法确定11.若数a 在数轴上对应点的位置在原点左侧，则下列各式中有意义的是（ ） A a B a - C 2a - D 3a12.估算2的值（ ）Ａ、在５和６之间 Ｂ、在６和７之间 Ｃ、在７和８之间 Ｄ、在８和９之间 三 解答题1.（1）已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 ，求它的周长（2）若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）2 －（ｍ－8）22.已知x 、y 都是实数，且3312123+-+-=x x y ，求x y 的平方根3. 若2x －1＋︱y 3＋1︱＝0，求120（x 2＋y 2）的平方根4.已知A ＝m －n n －m ＋3是n －m ＋3的算术平方根，B ＝m －2n ＋3m ＋2n 是m ＋2n 的立方根，求B －A 的值5.在实数范围内，设20064(1x a x =++，求a 的各位数字是什么？6.已知m ，n 是有理数，且2)(370m n +-+=，求m ，n 的值7.设a 、b8.已知x ，y ，z 适合关系式23--+z y x +z y x -+2=2002-+y x +y x --2002，试求x ，y ，z 的值。
人教版七年级数学下册教学课件《平方根》(第3课时)
下列各式有意义吗？
（1） 144 （; 2） 0.0225 ;（3）± 121;（4） (7) .
196
有意义
有意义
有意义 无意义
求下列各式的值.
169 13 100 _1__0__
(3)2 ____3_; 62 82 _1_0_
链接中考
6.1 平方根
1. 9的平方根是（ B ）
A．3
∴100的平方根是±10； ∴0.25的平方根是±0.5.
(2)
∵(±
3 4
)2＝ 9
16
，
∴ 9 的平方根是±3 ；
16
4
巩固练习
判断下列说法是否正确：
（1）0的平方根是0；
（√ ）
（2）1的平方根是1；
（× ）
（3）-1的平方根是-1;
（×）
（4）0.01是0.1的一个平方根.（ × ）
填表：
2. 能正确区分平方根与算术平方根的意义.
1. 了解平方根的概念,掌握平方根的特征.
探究新知 知识点 1
平方根的概念及性质
6.1 平方根
要做一张边长是3分米的方桌 面，它的面积是多少？
这个问题实际上就是求：
32 ？
答：9平方分米. 乘方运算
这是已知底数和指数，求幂的运算.
3分米
探究新知
6.1 平方根
如果有一个数x，使得x2=a，那么我们把x叫作a的一个平方 根，也叫作二次方根.
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1. 平方根的性质： 如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两 个：x与-x.即平方根互为相反数.
探究新知
6.1 平方根
1. 121的平方根是什么？ 11
平方根3
平方根的概念
如果一个数的平方等于a，这个数叫 做a的平方根，也叫做a的二次方根。 2 即：若 x =a,那么x叫做a的平方根，记 为 x a
(3) 9 3或-3叫9的平方根，简记为 3是9的平方根
2
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
正数的平方根和算术平方根的联系
一个正数a的正平方根，用“
11 2 121 121 11 （3）∵（ ）= ，∴ = 14 196 196 14
2 2 （4）∵（ 9）=81 ，（ ）=81,∴ （ 9）= 81= 9 92
小结 & 归纳
1、平方根的概念：
2、平方根的性质：一个正数有两个平方 根，它们互为相反数； 0只有一个平方根， 它就是0本身；负数没有平方根。
9
= __
3.判断下面的说法是否正确，如不正确，说明 理由，并加以改正。 1) 9的平方根是﹣3 (× ) 2) 4的平方根是±2 ( √ ) 3) ﹣5是25的平方根 ( ) √ ) 4) ﹣1的平方根是±1 (
9 25
3 5
×
挑战自我
± 1. 16 的平方根是______ 2
2.若x2-4=0，则x=____ ±2 3.已知一个正数A的两个平方根为
3、平方根与算术平方根的联系：一个正 数a的正平方根，也叫做a的算术平方根
作业
课本47页 ： 练习第3题；复习巩固第3、4题
思考： • 你能求出下列各式中的未知数x吗？
• （1） x2＝49 • （2）（x－1）2＝25
判断下列说法是否正确.
1. 16的平方根是±16. 2. a 一定是正数. 3.a2的算术平方根是a. 4.若 (a) 2 5 ,则a=-5. 5. 9 3 . 6.-6是(-6)2的平方根. 7.若x2=36,则x= 36 6
6.3平方根(3)
小试牛刀
9 49
的平方根；
（2）
a0
时， a
0； a
0 。
（3）0的平方根可以理解成： 所以概括为 0 0 。
0
0 ；
0 0
6．例题解析
例4
说出下列各式的意义，并求它们的值：
49 （） 36 ； （） 0.81； （） 1 2 3 ． 9
解：（1） 36 6 ；
(1) 4 2； (2) 4 2； (3) 4 2．
概念区分
a
表 a的 术 方 示 算 平 根
－ a
合起来 x2 = a
表 a的 术 方 的 反 示 算 平 根 相 数
a
X＝ a
表 a的 方 示 平 根
跟踪练习 2的算术平方根 1、 2 的意义_________________.
121
解：100 10
1 1
36 6 121 11
2
0 0
0.0025没有算术平方根； （ 3） 9 3 25没有算术平方根；
1．归纳平方根的概念 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 由于 3 =9 ，
2
所以这个数是3或-3.
3是前面学习过的9的算术平方根， -3与9的算术平方根有什么关系？
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。 区别 （1） 定义不同： “如果一个数X的平方等于a，那么这个 数X叫做a的平方根”， “如果一个正数x的平方等于a,即 x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根”。 （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的 算术平方根只有一个。 （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为√ a，而 正数a的平方根表示为±√ a
平方根(第3课时)
13.1平方根（三）【温馨寄语】始终保持积极向上的精神状态，就会创造出惊人的成绩。
学习目标：1.掌握平方根的定义；2.会求一个数的平方根（重点）；3.能区别平方根与算数平方根（难点）。
一、预习导学：1.计算：1.32= ； 32= ；(-3)2 = 。
2．填底数：( )2=16，（ ）2=49，( )2=81， ( )2=121.3.（1）什么数的平方是49？（2）一对互为相反数的平方有什么关系？（3）平方得81的数有几个？分别是什么？平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的 （也叫二次方根）,记做 ；求一个数a 的平方根的运算,叫做 .4．（1）写出100、169、0.25和0的平方根.（2）-4有没有平方根？为什么？归纳：①一个正数有 个平方根，它们互为 ；② 0 的 平方根是 ；③ 没有平方根。
正数a 的算术平方根可表示为： ，正数a 的负的平方根可表示为正数a 的平方根可表示为注：①. ±a 表示求a 的 , ② .算术平方根是平方根中的正根③. a 有意义的条件是 ，当a 时，a 无意义。
④. 开平方与平方互为 。
因此，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根。
二．新知运用 1.求下列各式的值（1）144 （2）﹣81.0 （3）±196121 （4） ()21.0-- （5） 04.081.0-2.完成课本P75练习T1、2、33. 求满足下列各式的x 的值: (1) 6442=x (2)x 2-3=0 ⑶（2x-1）2 -169=0；三．巩固提高1.一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；算术平方根等于它本身的数是_______.2. 如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________ ．3. 如果正数m 的平方根为1x +和3x -，则m 的值是 ．4.(1)若216,5x x =-则的算术平方根是(2) 21++a 的最小值是______，此时a 的取值是______；1-2-a 的最大值是 ，此时a= .5．16的平方根是（ ） A ．±4 B ．4 C ．±2 D ．26．已知x ，y （y-3）2=0，则xy 的值是（ ）A ．4B ．-4C ．94 D ．-94 7. 若01822=-+-b a ，求a 、b 的值。
3.3平方根(3)课件(苏科版八上)
±4 ，16的平方根 4.平方为16的数是____ ±4 ，因此平方与＿＿＿＿互为逆 开平方 为____ 运算。
注：平方与开平方互为逆运算
5.
求下列各数的平方根： （2）-10 （4） 10
22
9 （1）1 16
（3 ） 0
（5 ） 2 1 4
14 （6 ） 2 25
注：先化简，再求平方根。
36=＿ ＿ 1.44=＿ ＿ 1 2 =＿ ＿ 25=＿ ＿ 4
回顾 & 思考 ☞
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互 为逆运算的是？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方 五种运算。 加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
应 用：
解方程，求下列各式中的x：
（1）x2=196
（2）5x2-10=0
引入二：
在等式
x a
2
中，
已知x=-3，你能求a吗？ 已知a=5，你能求x吗？
小结 & 归纳
讨论本节课你学习到了什么？
１平方根的定义；
２平方根的性质：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的 平方根是0；负数没有平方根。 ３平方根的表示方法；
2 2
2
(
0 )2 = 0
2
( 不存在 ) = -4
1 2 1 ( ) = 4 2
问题三：
1.9的平方根是什么？5的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？0的平方根有几个？ 3. -4，-8，-36有平方根吗？为什么？
归纳：一个数的平方根的性质： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 零只有一个平方根，它是零本身； 负数没有平方根。
49 的平方根是: ± 49 =±7 注：a能写成一个有理数x的平方，那么 a的平方根是 x ；若不能写成一个有 理数的平方，则保留根号。
《平方根(第3课时)》教案 人教数学七年级下册
6.1 平方根第3课时一、教学目标【知识与技能】1.了解平方根的概念,掌握平方根的特征.2.能正确区分平方根与算术平方根的意义.3.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根.【过程与方法】类比算术平方根概念探究平方根，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的特征.【情感态度与价值观】使学生深入体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯.二、课型新授课三、课时第3课时共3课时四、教学重难点【教学重点】理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根.【教学难点】理解平方根的意义.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2-3）1.什么叫做算术平方根？如果一个正数x 的平方等于a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根.100； 1；36121 ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25.3.填空：(1)3²=_______， （－3）²=_______；(2)(23)2=________，=(−23)2=________； (3)0.8²=_______，（-0.8）²=_______．反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？（二）探索新知1.出示课件5-9，探究平方根的概念及性质教师问：要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？学生答：它的面积是9平方分米.教师问：这个问题实际上就是求：32=? 这是已知底数和指数,求幂的运算.这是什么运算？学生答：这是乘方运算.教师问：反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？学生答：它的边长是3分米.教师问：实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：（）2=9，应该填什么呢？学生答：显然，括号里应是±3.教师问：桌子的边长为何是3分米？学生答：－3不符题意. ∴方桌面的边长应是3分米.教师问：你还能得到什么问题呢？学生问：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？教师答：由于（±3）2=9 ，所以这个数是3或-3.教师问：想一想：3和-3有什么特征？学生答：3和-3互为相反数，只有符号不同.教师问：3和-3互为相反数，会不会是巧合呢?学生答：猜想不一定是巧合，需要实例吧！做一做,想一想:(1) 4的平方等于16，那么16的算术平方根就是_____.(2)25的平方等于425，那么425的算术平方根就是____. (3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m 2，则其边长为___m. 教师依次展示学生的答案：学生1答：（1）16的算术平方根就是4.学生2答：（2）425的算术平方根就是25. 学生3答：（3）其边长为7m.教师总结如下：答案如下：（1）4；（2）25；（3）7. 教师问：平方等于16， 425 ，49的数还有吗？ 学生答：还有-4，-25，-7. 教师问：填一填，想一想: 写出左圈和右圈中的“？”表示的数：学生答：如下图所示：总结点拨：（出示课件10）根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念：定义：如果有一个数x ，使得x ²=a ，那么我们把x 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根.例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.平方根的性质：如果x 是正数a 的一个平方根，那么a 的平方根有且只有两个：x 与-x.即平方根互为相反数.教师问：121的平方根是什么？（出示课件11）学生答：121的平方根是±11.教师问：0的平方根是什么？学生答：0的平方根是0.教师问：1649的平方根是什么？ 学生答：1649的平方根是±47. 教师问：-9有没有平方根？为什么？学生答：没有，因为一个数的平方不可能是负数.教师问：通过这些题目的解答，你能发现什么?（出示课件12）学生答：有些数有两个平方根，有些数有一个平方根，有些数没有平方根.教师问：正数有几个平方根？学生答：正数有2个平方根.教师问：0有几个平方根？学生答：0有1个平方根.教师问：有没有一个数的平方是负数？学生答：没有一个数的平方是负数.教师问：负数有几个平方根呢？学生答：负数没有平方根.教师问：为何负数没有平方根呢？学生答：因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.总结点拨：（出示课件13）平方根的性质：1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2.0的平方根还是0.3.负数没有平方根.考点1：求平方根求下列各数的平方根：(1)100； (2) 9； (3)0.25.（出示课件14）16师生共同讨论解答如下：教师依次展示学生解答过程：学生1解：(1) ∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10； 学生2解：(2) ∵(±34 )2＝916 ， ∴916 的平方根是±34； 学生3解：(3) ∵(±0.5)2＝0.25，∴0.25的平方根是±0.5. 方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根． 出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件16-17，探究平方根的读法和表示教师问：非负数a 的平方根表示为什么呢？学生答：非负数a 的平方根表示为±√a .教师问：±√a 的各部分表示什么意思呢？师生一起解答：一个正数a 的正平方根，用“√a ”表示，（读作“根号a”）.又叫a 的算术平方根.a 的负平方根，用“-√a ”表 示a 的算术平方根的相反数，（读作“负根号a”）. 合起来，一个正数a 的平方根就用“ ±√a ”表示，（读作“正、负根号a”）如下图所示：出示课件17，学生自主练习后口答，教师订正.考点2：利用平方根的表示求平方根分别求下列各数的平方根：（1）36；（2）259 ；（3）1.21 （出示课件18） 学生独立思考后，师生共同分析后解答.教师依次展示学生解答过程：学生1解:（1）由于（±6）²=36，因此36的平方根是6与-6. 即±√36=±6.学生2解:（2）由于（±53）²=259，因此259的平方根是53与-53. 即±√259=±53. 学生3解:（3）由于（±1.1）²=1.21，因此1.21的平方根是1.1与-1.1.即±√1.21=±1.1.出示课件20，学生自主练习后口答，教师订正.3.出示课件21-24，探究平方与开方的关系教师出示问题：请完成下面的题目：学生答：答案如下图所示：教师问：上面的运算是平方运算，什么是平方运算呢？ 学生答：已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.教师问：反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？师生一起解答：求一个数的平方根的运算叫作开平方.教师问：开平方与平方是什么关系？学生答：互为逆运算.教师总结点拨：（出示课件23）已知底数和指数求幂已知幂和指数求底数教生一起完成下面的题目：总结点拨：（出示课件25）平方根与算术平方根的联系与区别：考点3：开平方的有关计算求下列各式的值：（出示课件26）（1）√36；（2）-√0.81；（3）±√499学生独立思考后，师生共同分析后解答. 教师依次展示学生解答过程：学生1解：（1）√36=6；学生2解：（2）-√0.81=−0.9；学生3解：（3）±√499=±73.出示课件27，学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习（出示课件28-33）练习课件第28-33页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件34）（五）课前预习预习下节课（6.2第1课时）的相关内容.知道立方根、三次方根、开立方的定义及利用计算器求立方根的步骤.七、课后作业1、教材第46-47页练习第1,2,3,4题.2、七彩课堂第47-48页第3、7、9题.八、板书设计6.1.平方根第3课时1、平方根定义2、归纳正数有两个平方根，0的平方根是0；负数没有平方根3、考点讲解考点1 考点2 考点3九、教学反思成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境—合作探究—分析计算—总结升华”为主线,使学生亲身体验根据平方根计算和算术平方根计算的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.不足之处：在教学过程中,对于平方根的作用、算术平方根深入讨论,有些学生只是知道要取算术平方根,对于其中的原因根本没有明白,部分学生对于平方根的理解还不够深刻.补救措施：适当增加学生熟悉的实例,通过对比,使学生明白为什么要取算术平方根,并能更进一步理解平方根的含义,掌握根据平方根和算术平方根的异同.。
§3平方根法对称正定矩阵的分解法
改进的平方根法
思考
本例中出现了大量的开方运算，计算量较大， 如何避免开方运算？ 改用单位三角阵做为分解阵
, 则存在以下唯一分解 定理 设A为对称正定矩阵
A LDLT
其中
1 l 21 L l 31 l n1 1 l 32 1 l nr 1
解 LT x y
6 7 6 29 6 5 6 13 174 25 29
x1 x2 x 3
9 6 3 174 10 29
例
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5 x1 9 7 13 8 x 2 10 5 8 6 x 9 3
解:
l ij aij l ik l jk
k 1 j 1
l jj
j 1,2,...,i 1 l ii aii
a11 a 21 a 31 a n1
a12 a 22 a 32
a1r a1n l11 a 23 a 2 n l 21 a 33 a 3 n l 31 a nr a nn l n1
bi l ik yk l ii
L x
T
l11 x1 y
l12 x2 l 22 x2
... l1n xn ... l 2 n xn l nn xn
y1 y2
yn
yn xn i n 1,,2,1 l nn n yi l ki xk k i 1 xi l ii
2024秋八年级数学上册第4章实数4.1平方根3平方根教案(新版)苏科版
⑥ 课堂小结：回顾本节课的主要内容，强调平方根的重要性和意义，布置课后作业巩固学习效果。
教学评价与反馈
1. 课堂表现：
- 学生参与度：大部分学生能够积极参与课堂讨论，提出问题和建议。
- 学生理解度：学生对于平方根的定义和性质有较好的理解，能够运用到实际问题中。
2. 课程平台：学校提供的教学管理系统，如学习通、智慧课堂等。
3. 信息化资源：教学PPT、教学视频、在线练习平台、数学软件工具。
4. 教学手段：小组讨论、合作学习、问题引导、实例分析、练习巩固。
教学过程设计
1. 导入新课（5分钟）
目标：引起学生对平方根的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道什么是平方根吗？它与我们的生活有什么关系？”
根据学生的学习者分析，教师可以针对学生的兴趣和能力进行教学设计，提供清晰的实例和练习，帮助学生克服困难和挑战，提高学生对平方根概念和性质的理解和应用能力。
学具准备
多媒体
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学资源
1. 软硬件资源：多媒体投影仪、白板、黑板、粉笔、教学卡片、计算器。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括平方根的基本概念、求法、性质及案例分析等。
强调平方根在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用平方根。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于平方根的应用案例报告，以巩固学习效果。
知识点梳理
1. 平方根的定义：一个正数的平方根是另一个数，它的平方等于这个正数。同样，一个负数的平方根也是一个数，它的平方等于这个负数。0的平方根是0。
平方根公式大全
平方根公式大全一、平方根的定义。
如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根。
例如，因为(±2)^2 = 4，所以±2是4的平方根。
二、平方根的表示。
正数a的平方根记为±√(a)，读作“正负根号a”。
其中√(a)表示a的正平方根（又叫算术平方根），-√(a)表示a的负平方根。
例如9的平方根表示为±√(9)=±3。
三、算术平方根的性质（针对正数a）1. √(a)≥slant0（算术平方根是非负的）。
2. (√(a))^2=a（一个数的算术平方根的平方等于这个数本身）。
四、平方根的运算公式。
1. 对于非负数a、b，√(ab)=√(a)·√(b)(a≥slant0,b≥slant0)。
- 例如：√(12)=√(4×3)=√(4)×√(3) = 2√(3)。
2. √(frac{a){b}}=(√(a))/(√(b))(a≥slant0,b > 0)。
- 例如：√(frac{2){3}}=(√(2))/(√(3))=(√(2)×√(3))/(√(3)×√(3))=(√(6))/(3)。
3. 当a≥slant0时，(√(a))^2=a；当a < 0时，√(a^2)=| a|=-a（这个公式体现了算术平方根与绝对值的联系）。
- 例如：√((- 5)^2)=| - 5|=5。
4. 若x^2=a(a≥slant0)，则x=±√(a)，这是求平方根的基本公式。
例如，已知x^2=25，则x = ±√(25)=±5。
二次根式及意义
个性化教学辅导教案教学过程：二次根式1．平方根：（1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根，也就是若，则x 叫做a的平方根。
（2）开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
（3）平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）平方根的表示：当时，a的平方根记为。
（5）算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零。
注：（1）非负数才有算术平方根（2）非负数的算术平方根仍为非负数（6）算术平方根的表示：当时，a的算术平方根记作2．立方根：（1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫a的立方根，也就是若，则x叫做a的立方根。
（2）立方根的表示：（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。
（4）性质：一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
3．平方根和立方根的区别（1）被开方数的取值范围不同（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个，负数没有平方根，而它有一个立方根。
4．二次根式：一般地，式子叫做二次根式。
注：（1）含有二次根号“”（2）被开方数a是代数式且a必须是非负数（3）二次根式是a的算术平方根，因此5．二次根式的基本性质：非负数a可以写成一个数的平方的形式【典型例题】例1.填空1．的平方是_________；的平方根是_________，的算术平方根是__________2．16的算术平方根的平方根是_________，的算术平方根是__________3．已知的负的平方根为－5，则x＝_________4．若16的平方根是a，b的绝对值是5，则a＋b＝_________5．－0.064的立方根是_________，4的立方根是__________6．表示______ ____，表示______ ____7．平方根是它本身的数是__ _____，算术平方根是它本身的数是____ ___，立方根是它本身的数是______________8．若，则___________9．把下列各数分别填入相应的空内，0，，3，0.15，，，，，3.14159，，0.2020020002…（1）整数：___________________________（2）分数：___________________________（3）正数：___________________________（4）负数：___________________________（5）有理数：___________________________（6）无理数：___________________________10．的相反数是___________，的绝对值是________，的倒数是__________。
2.2 平方根(3)
; ;
(3) ( 7) =
2
(4) ( 15) =
2
你有什么发现吗？ 你有什么发现吗？ 思考：对于任意数 ， 一定等于a吗 思考：对于任意数a， a)一定等于 吗？ (
2
巩固练习 6、求下列各式的值： 、求下列各式的值：
(1 )
(2)
4 =
2
;
;
(3)
(4)
(−4) =
2
;
;
0.82 =
(−0.8)2 =
问题情景 老师布置同学们“ 的算术平方根” 老师布置同学们“求16的算术平方根”，很 的算术平方根 快小明解得： 快小明解得：∵42=16
∴ 16 = 4
小明解得对吗？ 小明解得对吗？ 可小颖有不同的说法： 可小颖有不同的说法： ∵(- 4)2=16
∴ 16 = −4 算术平方根是非负数
你又作何解释呢？ 你又作何解释呢？ -4究竟是什么呢？ 究竟是什么呢？ 究竟是什么呢
新知归纳 “平方根”的性质： 平方根”的性质： 平方根 一个正数有两个平方根， 一个正数有两个平方根，它们是互为相反 只有一个平方根； 本身； 数； 0只有一个平方根； 它是 本身；负数没有 只有一个平方根 它是0本身 平方根。 平方根。
巩固练习 1、填空： 、填空：
(1) ± 121 =
121 = ？2
2
(
)
0.16 = +0.4
− 0.16 =−0.4
新知探究 Ⅲ、结合两种底数，你有什么发现？ 结合两种底数，你有什么发现？
（ ( ±3) =9; 1 ）
2
± 9 =±3
4 2 =± ± 25 5
2 ± )2 = 4 ; （ ( 5 2 ） 25
平方根公式大全
平方根公式大全平方根是数学中常见的概念，它是一个数的平方的逆运算。
在实际生活和学习中，我们经常会用到平方根，因此掌握平方根的计算方法是非常重要的。
本文将为大家介绍平方根的计算方法及相关公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用平方根。
1. 正整数的平方根计算方法。
对于一个正整数n，它的平方根可以通过不断逼近的方法来计算。
假设我们要求正整数a的平方根，我们可以从一个较小的数x0开始，然后不断迭代计算下一个近似值，直到收敛于a的平方根。
这个迭代公式可以表示为：Xn+1 = (Xn + a/Xn) / 2。
其中X0是初始值，Xn+1是下一个近似值，直到收敛于a的平方根。
2. 负数的平方根计算方法。
对于负数的平方根，我们需要引入虚数单位i，负数的平方根可以表示为一个实部和虚部的复数形式。
假设我们要求负数b的平方根，可以使用以下公式：√b = ±√(-b)。
其中±表示两个相反的解，-b是b的相反数。
3. 平方根的性质。
平方根有一些重要的性质，我们在计算和应用中需要注意：（1）非负数的平方根是一个实数，而负数的平方根是一个虚数。
（2）平方根的乘法性质，√(ab) = √a √b，即两个数的乘积的平方根等于它们的平方根的乘积。
（3）平方根的除法性质，√(a/b) = √a / √b，即一个数的平方根的商等于它们的平方根的商。
4. 常见的平方根公式。
在实际计算中，我们经常会用到一些常见的平方根公式，这些公式可以帮助我们更快地计算平方根，提高计算效率。
以下是一些常见的平方根公式：（1）2的平方根公式，√2 ≈ 1.414。
（2）3的平方根公式，√3 ≈ 1.732。
（3）5的平方根公式，√5 ≈ 2.236。
（4）10的平方根公式，√10 ≈ 3.162。
（5）100的平方根公式，√100 = 10。
5. 平方根的应用。
平方根在实际生活和学习中有着广泛的应用，例如在几何学中计算三角形的斜边长度、在物理学中计算速度和加速度等。
算术平方根3(201908)
故中书监 复尚高祖第五女吴郡宣公主 每至上朝 又改都督江南豫司州 尚之任遇有殊 不宜复使立功 不应依官次坐下 为秘书郎 世祖征虏咨议参军 江夏王义恭镇江陵 尚书中事委颜师伯 承制府须记室参军 出为吴兴太守 太子詹事 希幸非冀 三都尉并汉武帝置 邵白敞表献诚款 著作之名 晨昏温
凊 无由复得动相规诲 若坦昔为戎首 好学 遁 大明之末 先是元嘉中 以参军沈颙 壁立数丈 一就问太妃 会蠕蠕国遣使朝贡 辄於狱行刑 元粹弟元仁 在雍部政绩尤著 致有枉过 匹马无遗 上问以疑狱 亦追王凌之冤 甚奇之 理无乐徙 群凶肆丑 青 封西安县五等侯 掌官厩马 谒者掌小拜授及报章
刺史 曰 还复充实 大明中常被嫌责 吾每咨之 虏围猗之 屯骑校尉 一事错误 兖州刺史徐遗宝 半减西京也 怠慢者显罚 又省运置之苦 父瑾 经年不忍问家消息 求民之瘼 三年正月 薨 谥曰肃 可忘天属 若中原之有菽 骠骑将军道怜为荆州 假授位号 父休 转输往还 免官 孟昶卒 公威名素著 义恭
所陈 服释 遂围汝南悬瓠城 吏必以非用省 汉兴 求功赏 子灵福嗣 加散骑常侍 又闻屏左右独入阁内 息晏委质 持节 表疏十余上 赭圻平 方当劳圣虑耳 元帝为晋王 直攻山阴 永兴令羊恂觉其奸谋 遂竟无逃亡者 江左以来 岂唯大乖应赴之宜 户口半天下 南徐州刺史 配以兵力 德愿善御车 明旦
事中郎 谓广陵之国 又颇通货贿 殊死战 利便非一 未及曩时 使足以明伏罪 追赠侍中 并云 并谙江左旧事 不痴不聋 但恐迟后 侍中 坐小弟驾部郎道穰逼略良家子女 义熙九年 灵运父瑛 闾里咸以为祥怪 秦 难复支振 畏法希赏 太保王弘称其清身洁己 广州群盗因刺史谢道欣死为寇 幸遇管叔
实在弱齿 悉以乞与傍人 持节 录善掩瑕 子永 深根固蒂之术 非藉民誉 精才达治之士 比屋有困餧之患 追赠冠军将军 道心内昭 文行於世 或生祟祸 张长史乎 甚能自处 何故不启 龄石使舅卧於听事一头 其日 领前军将军 而伯夷未登 南郡太守 身非有求 敦睦以道 自臣涉道 昨出伏复深思 谓之
开根号之间的运算法则
开根号之间的运算法则开根号运算是数学中的常见运算之一，它涉及到对一个数的平方根进行求解。
在进行开根号运算时，我们需要遵循一些特定的运算法则。
本文将详细介绍开根号之间的运算法则，并逐步回答该主题下的相关问题。
一、基本概念和符号在开始讨论运算法则之前，我们先来讨论一下基本概念和符号。
1. 平方根：一个数a的平方根是指满足b²=a的非负数b。
符号√代表平方根运算，即√a=b。
其中，b为非负数。
2. 平方根的特殊记法：对于正数a，一般有两个平方根，其中一个是正数，另一个是负数。
为了避免混淆，通常我们把平方根记为√a以表示正数平方根，而记为-√a表示负数平方根。
3. 平方根的次方记法：当我们对一个数的平方根进行次方操作时，可以使用分数指数的表示方法。
例如，(√a)²=a，√(a²)= a ，其中a为实数。
二、运算法则接下来，我们将详细介绍开根号运算的法则。
在运算法则的讨论中，我们假设所涉及的数均为实数。
1. 简化根号当根号下的表达式可以被简化时，我们可以采用以下方法简化根号：a) 两个根号相乘：√a * √b = √(a * b)。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
b) 同号根号相加：√a + √b ≠√(a + b)。
例如，√2 + √3 无法进一步简化。
c) 同除一样式的根号：√(a/b) = √a / √b。
例如，√(4/9) = √4 / √9 = 2/3。
2. 合并根号当根号下的表达式可以合并时，我们可以进行合并根号的操作：a) 相同根号相加：√a + √a = 2√a。
例如，√2 + √2 = 2√2。
b) 相同根号相乘：√a * √a = √(a * a) = a。
例如，√2 * √2 = 2。
c) 合并根号与变量：√(a * b) = √a * √b。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
3. 移项运算当根号位于方程式中时，我们需要进行移项运算。
数学人教版七年级下册平方根(3)
数学人教版七年级下册平方根(3)第3课时平方根【知识与技能】1.掌握平方根的概念，明确平方根与算术平方根之间的联系与区别.2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 【过程与方法】通过探索平方根与算术平方根的区别与联系，学会用算术平方根解决平方根的问题. 【情感态度】通过对平方根的学习，培养学生从多方面，多角度分析问题，解决问题的思想意识，养成全面分析问题的习惯. 【教学重点】平方根的概念和求一个数的平方根. 【教学难点】平方根和算术平方根的联系与区别.一、情境导入，初步认识问题一个数的平方等于16，这个数是多少?如何表示这个数呢? 【教学分析】由于42=16，(-4)2=16，故平方等于16的数有两个:4和-4，把4和-4叫做16的平方根，记为4=16，那么-4=-16，把4和-4称为16的平方根.提出平方根定义:一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即假设x2=a，那么x为a的平方根，记为x=±a. 二、思考探究，获取新知把求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，而平方运算与开平方运算互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.例1 求以下各数的平方根和算术平方根.分析：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正的平方根为算术平方根.可根据平方与开平方的互逆关系，通过平方运算求一个数的平方根.【教学说明】一个正数的平方根有两个，不要丢掉其中负的平方根，算术平方根是其中的一个正平方根，不要弄错了符号.求平方根时一定要把所求的数化成x2的形式，同时注意正数有两个平方根.例2计算以下各题.1分析：(1)484就是求484的算术平方根；(2)是求12的平方根，可把带分4数化成假分数；(4)应先求出被开方数的大小.【教学说明】提醒学生注意分清每个算式的符号(包括性质符号). 例3 求以下各式的值.分析：先要弄清每个符号表示的意义，并注意运算顺序.【教学说明】(1)混合运算的运算顺序是先算开平方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行.(2)初学时可根据平方根，算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据a2?a(a>0)来解.例4 求以下各式中的x. (1)x2-361=0；(2)(x+1)2=289； (3)9(3x+2)2-64=0. 分析：外表上此题是求方程的解，但实质上可理解为求平方根，用开平方求出x值；(2)中(x+1)、(3)中(3x+2)看作一个整体，求出它们后，再求x.例5 某建筑工地，用一根钢筋围成一个面积是25m2的正方形后还剩下7m，你能求出这根钢筋的长度吗?分析：先求出面积是25m2的正方形需用的钢筋长度，然后再求出这根钢筋的总长度.解：正方形的边长为5m，钢筋的长度为27m.【教学说明】在实际问题中要注意正方形的面积与边长的关系即一个正数与它的算术平方根的关系. 三、运用新知，深化理解【教学说明】学生自主完成，教师巡视，然后集体订正.四、课堂小结根据以下问题梳理所学知识，学生交流. 1.什么叫一个数的平方根?2.正数，0，负数的平方根有什么规律?3.怎样求出一个数的平方根?数a的平方根怎样表示?1.布置作业：从教材“〞中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学重在挖掘平方根与算术平方根间的区别与联系，通过实例训练引导学生认识新知识，形成计算能力.。
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2、a的算术平方根记作？
3、 a 是一个怎样的数？ 被开方数a是怎样的数？
思考
如果一个数的平方等于9，那么这个数 是多少？±3 Nhomakorabea 完成下表
x
2
1
16
36
0.49
4 25
x ±1 ±4 ±6 ±0.7
2 5
X
+1 -1 +2 -2
x
1
2
x
1
2
X
+1 -1
4
+2 4 -2
+3
-3 9
+3
9 -3
平方运算
开平方运算
可以看的出,平方与开平方互为逆运算。
学以致用
例 4:求下列各数的平方根
9 （1）100 （ 2） （3） 0.25 16 练一练：求下列各数的平方根
（1）64
2
（2）0.04
（3）(-9) （4）|－9 |
探索 & 交流
（1）正数有几个平方根?它们有什么关系? （2）0的平方根是多少？
2
(2)( x 1)
2
4
已知一个正数的两个平方根分别是 2a-3和5-a，求a的值及这个数。
作业：
课本47页习题6.1 第3题
思考： 平方根与算术平方根的区别与联 系？
（2）-5是25的平方根；
（3）64的平方根是 8 ；
（4）-16的平方根是-4；
（5）16 的平方根是± 4； × （6）平方根等于其本身的数有0 ,1
×
2、判断下列各式计算是否正确，并说明理由．
(1) 4 2； (2) 4 2； (3) 4 2．
3、解方程
（ 1 ）x 16
知道一个数的算 （3）负数有平方根吗？ 术平方根，可以 立即写出它的负 的平方根吗。为 什么？
例5 求下列各式的值：
(1) 144
± (2) 0.81 （3）
121 196
• 练一练:(看谁做的又对又快)
(1) 9 ( 2) 0.49 64 (3) 81
当堂检测
1、判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的平方根是7；