因式分解一对一辅导
八年级因式分解的四种方法
一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：年月日(星期 )3.因式分解(公式法):(1) 4x2-9；解：原式二(2) 16x2 + 24x + 9 ； 解：原式二(3) -4x2 + 4xy -y2 ；解：原式二 (4) 9(m + n)2 - (m - n)2 ； 解：原式二1.下列由左到右的变形，是因式分解的是 ________________ .①-3x2y2 --3-X2 - y2 ； (2)((2 + 3)(〃 - 3) = "2 一9 ； ④ 2mR + 2mr = 2m(R + r)；③ “2 — Z?2 +1 = (〃 + b)(a -Z?) + l ； (S)x2 -xy + x = x(x - y);⑦尸4y + 4 = (y-2)2.2.因式分解(提公因式法)：(1) 12a2b - 24ab2 + 6ab ；解：原式二- 4 = (m + 2)(m - 2)； (2)一“3 — a2 + Cl ； 解：原式二 (3) (a-Z?)(m + l)-(Z?-a)(M-l);解：原式二⑷ x(x-y)2-y(y-x)2 ；解：原式二(5 ) Xm + Xm-1 . 解：原式二(5)(x + 3y)2 -2(x + 3y)(4x-3y) + (4x-3y)2 ；解：原式二(6) x2(2x-5) + 4(5 -2x)；解：原式二(7) -8ax2 +16axy - 8ay2 ；(8) x4 - y4 ；解：原式二解：原式二(9) a4 -2a2 +1 ；(10) (a2 + b2)2 -4a2b2.解：原式二解：原式二4.因式分解（分组分解法）：(1) 2ax -10ay + 5by - bx；(2) m2 —5m一mn +5n；解：原式二解：原式二(3) 1 -4a2 -4ab-b2 ；(4) a2 + 6a + 9-9b2 ；解：原式二解：原式二♦【典型例题】因式分解(十字相乘法)：(1) x 2 + 4 x + 3 ；解：原式二(2) x2 + x一6 ；解：原式二(3) -x2 + 2x + 3 ；解：原式二(4) 2x2 + x-1 ；解：原式二(5) 3x2 + xy -2y2 ；解：原式二(6) 2x2 +13xy +15y2 ；解：原式二【巩固练习】1.因式分解(分组分解法)：(1)9 ax 2 + 9 bx 2 - a一b；解：原式二(2) a2 -2a + 4b-4b2. 解：原式二2.因式分解(十字相乘法):(1)x 3 - 2 x 2 - 8 x；解：原式二33) x4 -6x2 -27 . 解：原式二(2) x4 一7x2 +12 ；解：原式二三、随堂检测用适当的方法因式分解:(1) (2a一b)2 + 8ab；解：原式二(2) x2 - 2xy + y2 - 2x + 2y +1.解：原式二四、课堂小结五、课后作业用适当的方法因式分解：(1) a 2 - 8 ab +16b 2一c2 ；解：原式二(2) 4xy2 -4x2y- y3 ；解：原式二(3) 2(a -1)2 -12(a-1) +16 ；(4) (x +1)(x + 2) -12 ；解：原式二解：原式二因式分解拓展提高板块一：因式分解知识回顾1、列式子从左边到右边的变形中是分解因式的是( )A. x2 - x + 2 = x(x -1)+ 2 C. x2 -1 =(x + 1)Q -1)B. (a +b)aD. x -1 = x-b)=(.(1 \1 -72-b 2提公因式法一形如ma+mb+mc=m(a+b+c)分解因式：(1) 2a2bc2 + 8ac2 -4abc(2) m(m + n)3 + m(m + n)2 一m(m + n)(m 一n)运用公式法一平方差：a2 - b2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a2 土2ab+b2 = (a土b)2(1) a8 -1 (2) 4a2 +12ab + 9b2(3) 16(2m + n)2 一8n(2m + n) + n2 (4)(x2 + 4y2)2-16x2y2十字相乘法：x 2 + (p + q) x + pq = (x + p)(x + q)(1) x2 + 3x + 2 (2) 6a4 + 11a2b2 + 3b2 (3) x2 -(2m + 1)x + m2 + m - 2分组分解法：分组后能提取公因式，分组后能直接运用公式分解因式(1)3ax+4by+4ay+3bx (2)4x2 -4x- y2 + 4y-3板块二：综合应用例 1 ① x (x -1) + y (y +1) - 2 xy②(xy -1)2 + (x + y - 2)( x + y - 2 xy)③(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1) (xy-1)例 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x 3+6 x 2 +11 x + 6板块三：实际应用例3求证：一个三位数的百位数字与个位数字交换后，得到的数与原数之差能被99整除。
数学一对一辅导方案
数学一对一辅导方案一、具体辅导计划：1.辅导科目问题分析：懒：学习被动，对学习没有兴趣，基础知识掌握不扎实，需要梳理。
需要加强心态调整，需要鼓励和自信。
没有学习目标，需要根据其考试内容，制定相应的学习目标。
家里家长没有办法给孩子进行答疑。
2.辅导思路：采取教师“一对一精讲”+“陪读答疑解惑”+“心理辅导”相结合的教学模式。
整个教学思路以查漏补缺、同步教学、巩固提高、归纳总结、强化冲刺为目标，细分如下（具体根据学生实际情况进行灵活调整）：辅导方案为：心态、学科、习惯三方面同步跟踪3.授课要点：1)前期：主要是针对初中内容查漏补缺，把整个学科漏下的各个知识点补上。
这段时期需要激发学生高度的学习兴趣，调动学生积极良好的学习情绪，适应高强度规范化学习模式，为后面学习打好基础铺垫。
教师通过对该学生进行综合试卷测评和交流沟通，进一步深入了解她在学习方面的问题，掌握该学生的思维特点，制订符合该学生学习特性的个性化学科辅导方案。
教师除按时完成教学内容外，还要有针对性地在教学中解决现存的细节问题。
在此阶段主要以启发、鼓励、表扬、引导为主，师生双方建立起良好的教学关系，营造一个严谨而宽松的学习氛围。
主要措施：旧课程按实际情况查漏补缺，新课程学习内容分解，为该学生制定合理的近期目标；教师在安排学习任务时从易到难，让逐步获得成功感，提高学习兴趣；教师教学重点在于激发该学生的学习兴趣，掌握正确的数学学习方法，养成良好的学习习惯，把一些概念性的东西理解清楚了，该记的记，该背的背，把知识点抓起来；及时与家长沟通反馈，使家长充分了解该学生的具体学习情况，作好配合工作。
2)后期：在前期的基础上，对考试前期补习进行重点查漏补缺，根据该学生的实际情况适时进行合理指导。
把之前复习中遗留的问题再次进行针对性查漏补缺；完成一次教学评估，并进行指导补充；及时与家长沟通反馈，使家长随时充分了解该学生的具体学习情况，作好配合工作；3)备注：假期是一个学科体统地查漏补缺的黄金时间段，根据目前该学生的实际情况，必须加强强化训练，题量也要上去，并作一定要求地陪读答疑，以配合一对一教师精讲，及时做到内化。
4--十字相乘法、分组分解法
师航教育一对一个性化辅导讲义4因式分解--十字相乘法、分组分解法学习目标：1．熟练的使用十字相乘法、分组分解法进行多项式的因式分解。
2．熟练的使用因式分解进行简便运算。
3．了解使用配方法、添项(拆项)法、待定系数法来分解因式4．会利用因式分解解决有关的综合题目重点：熟练的运用十字相乘法、分组分解法、配方法进行多项式的因式分解难点：利用因式分解解决有关的综合题目因式分解--十字相乘法、分组分解法知识点一：十字相乘法在二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a＝a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c＝c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2＋a2c1，若它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c的一次项系数b，即a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x＋c1与a2x＋c2之积，即ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)。
要点诠释：（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：在上式中，竖向的两个数必须满足关系a1a2＝a，c1c2＝c；斜向的两个数必须满足关系a1c2＋a2c1＝b，分解思路为“看两端，凑中间。
”（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
（3）形如x2＋px＋q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
，这时只需考虑如何把常数项分解因数。
例如把x2＋2x－15分解因式，x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)。
1-1．把2x2－7x＋3因式分解。
思路点拨：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
具体如下：分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3＝1×3＝3×1＝(－3)×(－1)＝(－1)×(－3)。
3因式分解---完全平方公式
师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
串讲03 因式分解(9个常考点 5种重难点题型 2个易错)七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)
请你选择一种方法因式分解：
mx － my ＋ nx － ny ；
【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny )
＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ).
(1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4；
【解】 原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.4×10＝2 024.
(2)36.8×
＋20.2×
【解】 原式＝
＝
×55＝13.
－2×来自.×(36.8＋20.2－2)
题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
考点2 公因式的定义
4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为
2a
5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是( D
A. xmyn
B. xmyn－1
C. 4 xmyn
D. 4 xmyn－1
2x3–2x2y+8y–8x
解
6k2+9km – 6mn–4kn
=2(x3–x2y+4y–4x)
=(6k2+9km) – (6mn+4kn)
=2[(x3–x2y) +(4y–4x)]
=3k(2k+3m) –2n (3m+2k)
=2[x2(x-y)-4(x-y)]
初中数学竞赛专题辅导 因式分解(二)
初中数学竞赛专题辅导因式分解(二) 1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
陈锦星八年级数学教案3因式分解(二)
旭博教育一对一个性化辅导教案讲义：课题—分解因式（二）学生：陈锦星学科：数学教师：麦明秀日期： 2012-8-20 ★考点分析:1、掌握分解配方法、公式法、十字相乘法的灵活运用：2、培养学生分析式子，总结规律的能力3、培养学生归纳总结的能力，拓展学生的视野。
★重难点重点：配方法、公式法的灵活运用难点：配方法★教学过程：一、复习导入1、因式分解(1)x2+3x-10 (2)5x2－8x－13(3)4x2+15x+9 (4)15x2+x－2二、新知识讲解：（一）预备知识例1、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+ =(x+6)2（2）x2―12x+ =(x―)2（3）x2+8x+ =(x+ )2从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。
例2、用配方法解方程x2+2x－1=0时分析：先把它变成(x+m)2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。
解：①移项得__________________②配方得__________________（两边同时加上一次项系数一半的平方）即（x+_____）2=__________③x+__________=__________或x+__________=__________④x1=__________,x2=__________配方法：通过配成的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。
3、解方程(1)x2－4x+3=0 (2)x2+6x+9=8同步练习1、将下列各方程写成(x+m) 2=n的形式（1）x2－2x+1=0 (2)x2+8x+4=02、解下列方程(1) x2一l0x十25＝7；(2) x2十6x＝1.(二)中考应用（必做题）解方程：在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？（一）知识点1：配方法例3、分解因式1．x 2-2xy-35y 2 2．x 2-12x-15 3.x 2-9xy+4y 2同步练习 1、x 2-10x+5 2．x 2-12x+6 3．x 2+7xy-28y 2例4、因式分解1． 3x 2-12x-15 2．2x 2-4xy-35y 2 3.2x 2-9xy+4y 2同步练习1． 4x 2-12x-18 2．3x 2-9xy-35y 2 3.4x 2-9xy+4y 2例3、分解因式1、52+-bx x2、c bx x +-23、c bx ax +-2小结：对于任意的c 、、b a )0(≠a ，c bx ax +-2=))((21x x x x --其中a ac b a b x 24221-+-=，aac b a b x 24222---=，另ac b 42-=∆ 以上就是分解因式的公式法，（解方程也可以应用），但前提是0>∆例4、用公式法分解因式1．2552--x x 2．7622--x x 3．5432--x x同步练习1．2852--x x 2．7922--x x 3．2432+-x x三、巩固练习1、20x 2+( )+14y 2=(4x-7y)(5x-2y)． 2．x 2-3xy-( )=(x-7y)(x+4y)．3．x 2+( )-28y 2=(x+7y)(x-4y)． 4．x 2+( )-21y 2=(x-7y)(x+3y)．5．kx 2+5x-6=(3x-2)( )，k=______．6．6x 2+5x-k=(3x-2)( )，k=______．7．6x 2+kx-6=(3x-2)( )，k=______．8．18x 2-19x+5=(9x+m)(2x+n)，则m=_____，n=_____．9．18x 2+19x+m=(9x+5)(2x+n)，则m=_____，n=_____．10．已知()223f x x x =++，⑴求()f x 的最值；⑵若[]3,2x ∈--，求()f x 的最值。
2020-2021学年北师大版八年级数学下因式分解优生辅导训练含答案
北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》经典好题优生辅导训练1．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．62．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20223．下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（）A．﹣22B．﹣1C．7D．115．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和676．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）7．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣18．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z9．多项式4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3等于下列哪个选项（）A．2x（x﹣1）2B．2x（x+1）（x﹣1）C．x（x+1）（x﹣1）D．2（x﹣1）2（x﹣1）10．已知a，b，c是直角三角形的三边，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（）A．＞0B．＝0C．＜0D．不确定二．填空题（共10小题）11．分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝．12．计算：40372﹣8072×2019＝．13．若a，b，c分别是△ABC的三条边，a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0．则△ABC的形状是．14．若a＝2017x+2018，b＝2017x+2019，c＝2017x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc ＝．15．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值．16．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝．17．因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2＝．18．若x+y﹣1＝0，则x2+xy+y2﹣2＝．19．若多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，则m的值为．20．（1）若x2+y2＝10，xy＝3，那么代数式x﹣y的值为．（2）若x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式x+y的值为．三．解答题（共7小题）21．因式分解：（x2+4x）2﹣2（x2+4x）﹣15．22．我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy++9y2﹣＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（）2＝[（x﹣5y）+][（x﹣5y）﹣]＝（x﹣y）（x﹣）；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．23．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．24．分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）25．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．26．先分解因式，再求值：已知5x+y＝2，5y﹣3x＝3，求3（x+3y）2﹣12（2x﹣y）2的值．27．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2，可得等式；（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝．参考答案1．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，原式＝0．故选：B．2．解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．3．解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；②﹣a2b2+1＝1﹣（ab）2＝（1+ab）（1﹣ab），因此②能用公式法分解因式；③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；⑤﹣mn+m2n2＝（﹣mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．4．解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b ﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1，故选：B．5．解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故选：B．6．解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．7．解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，∴b＝0.5，a＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．8．解：原式＝（2x+y﹣z）（2x﹣y+z），∴另一个因式是2x+y﹣z．故选：D．9．解：原式＝4x2+4+（x2+2x+1）（x﹣3）+x3﹣3x2+3x﹣1＝4x2+4+x3﹣x2﹣5x﹣3+x3﹣3x2+3x﹣1＝2x3﹣2x＝2x（x2﹣1）＝2x（x+1）（x﹣1）．故选：B．10．解：将代数式因式分解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b﹣c）（a﹣b+c），根据三角形两边之和大于第三边知：a﹣b﹣c＜0，而a﹣b+c＞0，则：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，故选：C．11．解：（p+1）（p﹣4）+3p＝p2﹣3p﹣4+3p＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）．12．解：原式＝40372﹣2×4036×2019＝40372﹣4036×4038＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）＝40372﹣（40372﹣1）＝1故答案为：113．解：∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，解得：a＝b＝c，又∵a，b，c分别是△ABC的三条边，∴△ABC是等边三角形，故答案为等边三角形．14．解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝3，故答案为3．15．解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．16．解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝202017．解：原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）＝（3x+3y）（x﹣y）＝3（x+y）（x﹣y）．故答案为：3（x+y）（x﹣y）．18．解：∵x+y﹣1＝0，∴x+y＝1，∴x2+xy+y2﹣2＝＝＝﹣，故答案为：﹣．19．解：∵多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，∴2（m﹣2）＝±10，解得：m＝7或﹣3，故答案为：7或﹣320．解：（1）∵x2+y2＝10，xy＝3，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝10﹣6＝4，则x﹣y＝±2；（2）∵x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，∴x2+xy+x+y2+xy+y＝42，即（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，分解因式得：（x+y﹣6）（x+y+7）＝0，则x+y＝6或﹣7．故答案为：（1）±2；（2）6或﹣721．解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+3）＝（x+5）（x﹣1）（x+3）（x+1）．22．解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16+7﹣16＝（x﹣4）2﹣9＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）；（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x+13m•（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2＝（x+6m）2﹣49m2＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）＝（x+13m）（x﹣m）．23．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴（a+b）﹣c＞0，∴a﹣b＝0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．24．解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．25．解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2；（2）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2；（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．26．解：原式＝3[（x+3y）2﹣4（2x﹣y）2]＝3[（x+3y）+2（2x﹣y）][（x+3y）﹣2（2x﹣y）]＝3（x+3y+4x﹣2y）（x+3y﹣4x+2y）＝3（5x+y）（﹣3x+5y），当5x+y＝2，5y﹣3x＝3时，原式＝3×2×3＝18．27．解：（1）由题意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；（3）∵a+b＝10，ab＝20，∴S阴影＝a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20；（4）①根据题意，作出图形如下：②由上面图形可知，2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．故答案为（a+2b）（2a+b）．。
初高中数学衔接教程因式分解
第一讲 因式分解一、知识归纳1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式：（1）))((22b a b a b a -+=-；（2）222)(2b a b ab a ±+±；（3）33223)(33b a b ab b a a ±=±+±；（4）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；（5）))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++；（6）*1221);)((N ••n b ab b a ab a b a n n n n n n ∈++⋯+⋅+-=-----； （7）当n 为正奇数时))((1221----+-+-+=+n n n n n n b ab b a ab a b a 当n 为正偶数时))((1221-----++-+=-n n n n n n b ab b a ab a b a2、十字相乘法因式分解3、待定系数法因式分解4、添项与拆项法因式分解5、长除法二、例题讲解例1：因式分解：3762--x x例2：因式分解：2222224)()(2b a x b a x -++-例3：因式分解310434422-+---y x y xy x例4：利用待定系数法因式分解（1）2031493222+-+-+y x y xy x（2）310434422-+---y x y xy x例5：利用添项法、拆项法因式分解（1）763-+x x（2）15++x x例6：已知0132=--x x ，求198757623+-+x x x 的值。
三、课堂练习1、分解因式（1）)()(66x y z y z y x x --+-+（2）222224)1(b a b a --+（3）832434--+m m m分解因式（1）44+x（2）893+-x x3、分解因式（1）233222+++-+y x y xy x（2）25335222-++--y x y xy x4、已知多项式133+++bx ax x 能被12+x 整除，且商式是13+x 则=-b a )( 。
一对一辅导方案-初中数学
对老师讲解的要求比较高,有一些题目老师应整理出相似的题型给学生训练,比如我们老师他就会出一道
题,然后再用这一道题加以变化,好像是几何的一道题,他叫我们做完以后又会去掉一个条件或者加上一个条件再做一遍,这样就比单纯的题海战术要强的多.
错的题目应该多整理,多看,学了一次是不够的,必须反复的加强记忆.而且题目总是从课本上出的,所以课本上的概念要背熟.选择一些比较精简有代表性的题目给学生做,但要有一定的题量,不能太多也不能太少.。
八年级整式的乘法与因式分解
8．单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
9．多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
12．一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是，若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了。
五、解决问题。
1.（长沙）先化简，再求值： ，其中 ．
2、(厦门)计算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x
3、若 ，求 的值
am·an＝am＋n（m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
例：(－2a)2(－3a2)3
2． ＝amn（m、n为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例：(－a5)5
3． （n为正整数）
积的乘方等于各因式乘方的积．
例：(－a2b)3
4． ＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
10．单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3
11．多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
7．2n(－1＋3mn2)＝
8．若k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，则k＝
9．(－3x2)＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝
(2021年整理)一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义
一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义）的内1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法.容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义的全部内容。
1、一元二次方程解法重点、难点2、会解一元二次方程，并能熟练运用四种方法去解考点及考试要一元二次方程的四种解法求教学内容第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m m x ++-=-的一个根是0，求m 的值。
3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+;4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。
新课标第一网课前检测5。
已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值.一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式:2()x a b +=举例:解方程：29(1)25x += 解：方程两边除以9，得: 225(1)9x +=1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解。
初三数学一对一第02讲——一元二次方程(二)求根公式、因式分解法
第二讲 一元二次方程（二）——求根公式、因式分解法一、一元二次方程之技巧解法因式分解法：提公因式，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因式法，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。
22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+= 十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。
二、根的判别式：ac b 42-=∆当ac b 42-=∆＞0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根.反之亦然. 当ac b 42-=∆=0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根. 反之亦然. 当ac b 42-=∆＜0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有的实数根. 反之亦然.三、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅==== 对称轴X= -顶点坐标为x=- ，y=定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-= 法2：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a ++=⇔-++= 12b x x a⇒+=-；12c x x a ∙= 法3：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12b x x a +=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-， 12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== 等【典例分析】板块一：判别式的应用知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
七年级数学一对一辅导计划
（9）期末总复习
内容总结
（1）七年级数学一对一辅导计划
基本情况
数学基础比较扎实，基础的题型对他来说不难，计算时有粗心，读题特别是新颖的题目需再细心、认真的去分析。对于拓展型题、新题型题目需多练，提高灵活性，通过适当的练习来巩固知识点。
辅
导
计
划
（1）第一单元《平行线》专项训练辅导：活用判定两直线平行方法。（全章考点专训题目）巩固判定两直线平行方法同时，练习相关中考题型，锻炼解题思维。
（4）继续第三单元《整式乘除》训练。专训：幂的运算、整式的乘除运算、乘法公式的应用。(视掌握情况而定课次)
（5）第五单元《因式分解》训练。专训因式分解方法：提公因式、十字相乘法（拓展）、巧用公式法、巧用转化思想（特殊），并会用因式分解解决其他问题。（此次可能需要一次课加上半节课，视掌握情况而定）。
（6）第六单元《分式》。专训分式的定义及性质+分式运算技巧。
（2）第二单元《二元一次方程组》辅导：讲解运用相关概念列方程求待定系数的值（此类不难适当提提）。主要讲解解二元一次方程的方法：整体加减法、辅元法、还原法等。在练习中学会去挖掘条件包括题目中隐藏的条件，先学会观察方程特点在用合适方法灵活求解。
（3）继续辅导第二单元《二元一次方程组》常见方程组解应用题的类型题，简单讲解，只要能学会列方程求解；+复习第三单元《整式乘除》框架复习，本章公式繁多，易混淆。框架复习并做相关题型理清公式运用。
因式分解1讲义模板
教学目标
重点、难点
考点及考试要求 教学内容
一、因式分解的意义 把一个多项式化成为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 总结：(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆变 形. (2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式. (3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不 能再分解为止. 二、提公因式法 (1)公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式. (2)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (3)公因式的构成： ①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 提公因式时要一次提尽.公因式可以是单项式，也可以是多项式。 练习： （1）2x2y－xy （2）6a2b3－9ab2 （3）x（a－b）＋y（b－a） （4）ax＋ay＋bx＋by
a 4 1 a 2 1 a 1a 1
4、对某些多项式还要了解经过一定变形后才能分解的因式，如：分解 x 2 4 xy 3 y 2 的因式，此题用 现有的方法还不能分解因式.但若适当处理后配成完全平方，就可以继续分解.
x 2 4 xy 3 y 2 x 2 4 xy 3 y 2 y 2 y 2 x 2 4 xy 4 y 2 y 2 x 2 y y 2 x 2 y y x 2 y y x y x 3 y
（2）3ax2+6axy+3ay2
（3）4x2－12x＋9
（4）16x4+24x2+9；
人教版八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解大单元教学设计
2.整式的乘法：讲解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，让学生通过练习熟练掌握。
3.因式分解：引导学生探索提公因式法、平方差公式、完全平方公式等因式分解方法，并通过实例讲解和练习，让学生掌握这些方法。
4.应用拓展：设计具有挑战性的实际问题，让学生运用所学的整式乘法与因式分解知识解决问题，提高他们的数学应用能力。
6.定期进行课堂小结和单元测试，及时了解学生的学习进度和掌握情况。通过测试结果，分析学生的薄弱环节，针对性地进行教学调整。
7.结合信息技术，利用多媒体教学资源和网络平台，为学生提供丰富的学习资源和拓展练习。这样既可以满足不同学生的学习需求，又可以拓宽学生的知识视野。
8.培养学生自主学习的能力，鼓励他们在课后进行自主探索和实践。通过布置探究性作业，引导学生主动发现问题、解决问题。
3.引入新课：通过以上讨论，教师引导学生认识到整式乘法在解决实际问题中的重要性，进而导入新课——整式的乘法与因式分解。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，教师将详细讲解整式的乘法法则和因式分解方法。
1.整式的乘法法则：教师通过具体例子，讲解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，并引导学生观察规律，总结通用的乘法法则。
在此基础上，学生对数学学习的兴趣和积极性存在差异，部分学生对数学具有较强的兴趣，愿意主动探究和解决问题；而另一部分学生可能对数学学习抱有恐惧心理，缺乏信心。因此，在本章节的教学中，教师应关注学生的情感态度，激发他们的学习兴趣，帮助他们建立自信心。
此外，学生在数学思维和解决问题的策略上也需要进一步培养。针对这些情况，教师应结合学生的实际情况，采用多样化的教学手段和策略，促进学生的全面发展。
(完整版)一对一辅导措施初中数学
1、三视图(主视图，左视图、俯视图>；
2、展开图；
3、太阳光与影子；
4、灯光与影子。
2
1、会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球>的三视图；
2、能根据三视图描述基本几何体或实物的原型．
3、了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外>之间的联系。
26、锐角三角函数
1、30o，45o，60o，90o角的三角函数值；
2、圆的对称性
3、圆周角和圆心角的关系
4、直线和圆的位置关系
5、圆和圆的位置关系
6、弧长及扇形的面积
7、圆锥的侧面积
4
1、掌握垂直于弦的直径的性质；
2、掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用；
3、会利用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算；
4、掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理，并能运用它们进行有关的计算；
2、掌握三角形成立的条件；
3、理解并掌握全等三角的性质及其判定；
4、掌握并学会应用角平分线的性质；
8、全等三角形
1、全等三角形的性质；
2、各种三角形全等的判定方法；
3、全等三角形进行证明；
4、尺规作图；
5、重点题型及中考真题演练。
4
1、根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识．
2、勾股定理及逆定理；
3、直角三角形的判定；
4、勾股定理及逆定理的综合运用；
5、重点题型及中考真题演练。
2
1、理解并掌握直角三角形的性质；
2、掌握直角三角形的判定；
3、能将直角三角形的性质应用到实际生活中。
12、图形的平移与旋转
1、生活中的平移；
初二数学一对一辅导方法
初二数学一对一指导计划学员：年级：八年级下估计课时：10学校：指导科目：数学难易度：基础学生基本状况：基础知识基本掌握，但一次函数、一元一次方程、几何三者综合的题目解答存在困难，而综合性题目正是期末考试，各样大型考试中常有的一类题型，只有将这类在考试中出现的要点，难点一类题型给学生深度分析后，才能在数学成绩上明显提高。
讲课出发点工作目标指导思想详尽描绘仔细落实工作计划，做好参加对象的指导工作和思想教育工作，增强对学生课时工作的惯例管理和检查，让学生建立起学习的信心和勇气，战胜自卑的心理。
使学生学有所长、学有所用。
经过数学课的教课，使学生确实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必要的数学基本知识和基本技术；努力培育学生的运算能力、逻辑思想能力，以及剖析问题和解决问题的能力。
1. 论述学习数学重要性，激发学习动机，形成学习数学动力。
学习动机是直接推进学生学好数学达到学习目的的内在动力，直接影响学习成效。
2.培育学生踊跃健康的思想感情工作举措3. 经过对学生进行恰如其文的剖析，深入观察，查漏补缺，因材施教，耐心教育，晓之以理，动之以情，促进他们把外面动机转变成内部动机，把“你要我学” 变成“我自己要学” ，只有这样，才能真实促进学困生发生根天性的转变。
4.夸奖鼓舞为主，成立优秀的师生关系。
课时计划指导内容估计课时备注一次函数，反比率函摸清学生单薄环节，对学生基本情数，全等三角形，一课时 1况进行认识，做好对学生针对性辅元一次方程组导的计划掌握一次函数与几何的互相联系，一次函数与几何深课时 2认识一次函数的求解，以及各样三度分析课时 3角形，四边形，菱形的规则和定理的掌握探究多项式各项公因式的过程，依实数，因式分解课时 4据数学化归思想方法进行因式分解，探究利用完整平方公式进行因式分解的过程，感觉逆向思想的意义，掌握因式分解的基本步骤．勾股定理的发现过程，掌握勾股定勾股定理，平行四边理的内容，会用面积法证明勾股定课时 5形，三角形的判断和理，三角形、平行四边形的性质了课时 6证明定理解，简单的三角形和四边形的计算问题，并会进行相关的论证领悟正比率函数的定义，会从实质问题中提炼出正比率函数的分析式，列出可化为一元一次方程的分正比率函数，分式方课时7式方程解决实质问题。
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》(第2课时)教学设计
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第2课时）教学设计一. 教材分析《因式分解》（第2课时）是华师大版数学八年级上册12.5章的重要内容。
这部分内容主要包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法。
学生在学习这部分内容时，需要掌握因式分解的基本概念和方法，能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过例题和练习题，帮助学生巩固因式分解的技巧，提高解题能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的乘法，具备一定的代数基础。
但是，对于因式分解的概念和方法，部分学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。
同时，由于因式分解的方法较多，学生可能难以区分和选择合适的方法，教师需要引导学生理解各种方法的适用场景，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解的基本方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过例题和练习题，培养学生运用因式分解方法解题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探讨的学习态度，使学生感受到数学的实用性。
四. 教学重难点1.重点：掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法。
2.难点：如何选择合适的因式分解方法，以及如何灵活运用各种方法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解因式分解的概念和方法。
2.示例法：教师通过讲解典型例题，展示因式分解的过程，引导学生模仿和理解。
3.练习法：学生通过大量练习，巩固因式分解的方法，提高解题能力。
4.讨论法：学生分组讨论，合作解决问题，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材：华师大版数学八年级上册。
2.教案：详细的教学设计。
3.课件：用于辅助教学的PPT或其他多媒体材料。
4.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
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因式分解一对一辅导
2.多项式 （1）在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。
（2）多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。
（3）其中多项式中不含字母的项叫做常数项。
3.整式
（1）概念：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
（2）,
， 是整式， 不是整式。
4.整式的乘除 （1）同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加 a m ×a n =a m+n (m,n 正整数)
（2）幂的乘除法法则：
①底数不变，指数相乘（a m ）n =a mn (m,n 正整数)a 0=1,a ≠0 a -p =1/a p （a ≠0,p 是正整数）
②底数不变，指数相减 a m /a n =a m-n (a 不等于0，m,n 都是正整数，且m 大于n
（3）积的乘法法则：（ab ）n =a n b n
（4）单项式和单项式相乘：系数，同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
（5）单项式和多项式相乘：用单项式乘以多项式得每一项，再把所得积相加
（6）多项式和多项式相乘：（a+n ）(b+m)=ab+am+nb+nm
（7）乘法公式： （1）平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2
（2）完全平方差公式：（a-b ）2=a 2-2ab+b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2
（8）整数化简：先乘方，再乘除，最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式
（9）单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于 只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（10）多项式除以单项式，先把这个多项式得每一项除以这个单项式，再把所有的商相加
知识点二、因式分解
1.因式分解
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式。
因式分解与整式乘法是互逆关系。
因式分解与整式乘法的区别和联系:
①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
2.多项式分解因式：
（1）提取公因式（2）公式法（3）分组分解法（4）十字相乘法
3.提取公因式
（1） 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
如: )(c b a ac ab +=+。