数列求和(错位相减法-公开课)
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Sn a1 a2 a3 an1 an
后一项都比前 一项多乘个q
Sn a1 a1q a1q a1q
2
2 3
n 2
a1q
n1
n1
n
①
②
qSn a1q a1q a1q a1q
①—② ，得
a1q
错 位 相 n 减 a1 an q 法 a1 a1q q 1时 : S n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
两式相减得
2S n 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2 n n1
2Sn 3 2 （3 3 ) (2n 1) 3
即 Sn 2 2 2 23 2 n n 2 n1
2 2n 2 n 2 n1 (1 n)2 n1 2 1 2
故Sn 2 (1 n)2 n1
变式训练
例：数列{a n }的通项公式a n n， 数列{b n }的通项公式b n 2
提高题：（选做题）
已知数列 {a n }的前n项和为S n , 且S n 2n 2 n, n N , 数列{b n }满足a n 4 log2 bn 3, n N （1 ）求{a n }和{b n }的通项公式 bn （2）求数列 { n }的前n项和 2
等比数列前n项和公式推导 回顾:
公式法
(3)求数列{a n bn }的前n项和
分组求和法
新问题： 求数列{a n bn } 的前n项和
？
情景重现：
银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
银行一次性借给你1000万元，你可以分30个月 偿还，第一个月还2元，第二个月还4元，第三个月 还8元，第四个月还10元，以此类推，每个月的还 款数是前一个月的两倍。 你能接受这个方案吗？
普通高中人教版 数学 必修五
数列求和 专题
复习回顾
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？
1、公式法：
等差数列的前n项和公式：
n(n 1) S n a1 n d 或 2 等比数列的前n项和公式：
n
a1 a n Sn n 2
a1 (1 q ) a1 an q 当q 1,Sn 1 q 1 q 当q 1,Sn na1
32 3n 3 3 2 (2n 1) 3 n1 6 (2 2n) 3n1 1 3
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
(1 q)S n a1 a1q n (1 q)Sn a1 a1q
1 q
n
1 q
n
变式问题：
an 求数列 { } 的前n项和 bn
课堂练习
an n 1 解： n n ( ) n bn 2 2
1 1 2 1 n 1 1 n Tn 1 2 ( ) ( n 1) ( ) n ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn 1 ( ) 2 2 ( ) 3 (n 1) ( ) n n ( ) n 1 2 2 2 2 2 ① ②得 1 1 1 2 1 n 1 Tn 1 1 （ ） 1 （ ） n ( ) n 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 ( ) n n ( ) n 1 2 2 2 2 1 1 1 ( )n 2 2 n ( 1 ) n 1 2 1 2 1 2
情景重现：
请同学们考虑如何求出这个和？
2 3
2 3
等比数列的前n项和
30
30
后一项都比前 一项多乘个2
S 30 2 2 2 2
2 2 2 31 2 即2SS 30 30 2S30 2 2
2 3 4
2S30 2(2 2 2 2 ).
复习回顾
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？ 2、分组求和法：
等比”型数列的求 通项公式是“等差 注： 和
在求和之前，一定要先判断数列的类型， 如何判断？
通项公式：一次函数 指数型函数 等差数列
等比数列
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法探究
例题： 已知数列 {a n }的通项公式为a n n， 等差数列 数列{b n }的通项公式为b n 2 n 等比数列 (1)求数列{a n }的前n项和 (2)求数列{b n }的前n项和
31
作 减 法
S
S30 2 2
31 30
31
错位相减法!
2 2 2147483646 元
例：数列{a n }的通项公式a n n，数列{b n }的通项公式b n 2 n 新问题：求数列{a n bn }的前n项和
方法探究
解：a n bn n 2 n S n a1b1 a 2 b2 a n bn
①
②
1 1 1 ( )n n 2 2 1 1 故Tn 2 ( ) n 1 n ( ) n 2 2
n 1
课堂练习
2 n 求和： 1 3 3 3 (2n 1) 3
解： 记S n 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
错位相减法：
展开，乘公比，错位，相减
即S n 1 2 2 2 2 (n 1) 2 n 1 n 2 n
2Sn 1 2 2 2 2 3 (n - 1) 2 n n 2 n1 ①-②得 Sn 1 2 1 2 2 1 23 1 2 n n 2 n1
①展开：将Sn展开
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑤解出Sn
作业布置
4 6 2n 1、求和：（1 ）1 2 3 n 2 2 2 2 n1 （2）1 3x 5x (2n 1) x
基础题：（必做题）
2、求数列 {2n 3n }的前n项和
后一项都比前 一项多乘个q
Sn a1 a1q a1q a1q
2
2 3
n 2
a1q
n1
n1
n
①
②
qSn a1q a1q a1q a1q
①—② ，得
a1q
错 位 相 n 减 a1 an q 法 a1 a1q q 1时 : S n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
两式相减得
2S n 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2 n n1
2Sn 3 2 （3 3 ) (2n 1) 3
即 Sn 2 2 2 23 2 n n 2 n1
2 2n 2 n 2 n1 (1 n)2 n1 2 1 2
故Sn 2 (1 n)2 n1
变式训练
例：数列{a n }的通项公式a n n， 数列{b n }的通项公式b n 2
提高题：（选做题）
已知数列 {a n }的前n项和为S n , 且S n 2n 2 n, n N , 数列{b n }满足a n 4 log2 bn 3, n N （1 ）求{a n }和{b n }的通项公式 bn （2）求数列 { n }的前n项和 2
等比数列前n项和公式推导 回顾:
公式法
(3)求数列{a n bn }的前n项和
分组求和法
新问题： 求数列{a n bn } 的前n项和
？
情景重现：
银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
银行一次性借给你1000万元，你可以分30个月 偿还，第一个月还2元，第二个月还4元，第三个月 还8元，第四个月还10元，以此类推，每个月的还 款数是前一个月的两倍。 你能接受这个方案吗？
普通高中人教版 数学 必修五
数列求和 专题
复习回顾
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？
1、公式法：
等差数列的前n项和公式：
n(n 1) S n a1 n d 或 2 等比数列的前n项和公式：
n
a1 a n Sn n 2
a1 (1 q ) a1 an q 当q 1,Sn 1 q 1 q 当q 1,Sn na1
32 3n 3 3 2 (2n 1) 3 n1 6 (2 2n) 3n1 1 3
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
(1 q)S n a1 a1q n (1 q)Sn a1 a1q
1 q
n
1 q
n
变式问题：
an 求数列 { } 的前n项和 bn
课堂练习
an n 1 解： n n ( ) n bn 2 2
1 1 2 1 n 1 1 n Tn 1 2 ( ) ( n 1) ( ) n ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn 1 ( ) 2 2 ( ) 3 (n 1) ( ) n n ( ) n 1 2 2 2 2 2 ① ②得 1 1 1 2 1 n 1 Tn 1 1 （ ） 1 （ ） n ( ) n 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 ( ) n n ( ) n 1 2 2 2 2 1 1 1 ( )n 2 2 n ( 1 ) n 1 2 1 2 1 2
情景重现：
请同学们考虑如何求出这个和？
2 3
2 3
等比数列的前n项和
30
30
后一项都比前 一项多乘个2
S 30 2 2 2 2
2 2 2 31 2 即2SS 30 30 2S30 2 2
2 3 4
2S30 2(2 2 2 2 ).
复习回顾
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？ 2、分组求和法：
等比”型数列的求 通项公式是“等差 注： 和
在求和之前，一定要先判断数列的类型， 如何判断？
通项公式：一次函数 指数型函数 等差数列
等比数列
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法探究
例题： 已知数列 {a n }的通项公式为a n n， 等差数列 数列{b n }的通项公式为b n 2 n 等比数列 (1)求数列{a n }的前n项和 (2)求数列{b n }的前n项和
31
作 减 法
S
S30 2 2
31 30
31
错位相减法!
2 2 2147483646 元
例：数列{a n }的通项公式a n n，数列{b n }的通项公式b n 2 n 新问题：求数列{a n bn }的前n项和
方法探究
解：a n bn n 2 n S n a1b1 a 2 b2 a n bn
①
②
1 1 1 ( )n n 2 2 1 1 故Tn 2 ( ) n 1 n ( ) n 2 2
n 1
课堂练习
2 n 求和： 1 3 3 3 (2n 1) 3
解： 记S n 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
错位相减法：
展开，乘公比，错位，相减
即S n 1 2 2 2 2 (n 1) 2 n 1 n 2 n
2Sn 1 2 2 2 2 3 (n - 1) 2 n n 2 n1 ①-②得 Sn 1 2 1 2 2 1 23 1 2 n n 2 n1
①展开：将Sn展开
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑤解出Sn
作业布置
4 6 2n 1、求和：（1 ）1 2 3 n 2 2 2 2 n1 （2）1 3x 5x (2n 1) x
基础题：（必做题）
2、求数列 {2n 3n }的前n项和