图乘法练习题
乘法口诀表和乘法口诀练习题
九九乘法口诀表1X1=11X2=21X3=31X4=41X5=51X6=61X7=71X8=88X8=64 1X9=98X9=72 2 2=42 3=62 4=82X5=102 6=122 7=142 8=162 9=189 9=813 3=93 4=123 5=153 6=183 7=213 8=243 9=274 4=164 5=204 6=244 7=284 8=324 9=365 5=255 6=305 7=355X8=405 9=456 6=366 7=426 8=486 9=547 7=497 8=567 9=63九九乘法口诀表二年级乘法口诀练习试题〔一〕1.把口诀填写完整.二三〔) 一三〔) 一二〔二二〔) 三三〔) 三五〔2. 口算.3X 3=2X 3=2X2=3X 1 =3+3=1X2=2X 5=3X2=3.在.里填上“ 十〞,-〞或“X101=2 3 02=1 2 02=4 3 02=6101=0 3 02=5 1 03=3 3 03=64.看谁算的对（1）一共有多少只小鸟（2）一共有多少朵花二年级乘法口诀练习试题〔二〕3 03=92 03=63 03=6 6 04=10一二〔 〕 二三〔)三三〔〔〕得六(〕得四() 2.直接写得数.2X3= 3 X3= 2 X2= 2 x 1 = 2X5= 1X2=3X2=3X5=3.在.里填上a )? a力< =o3 X 202X3 1 x 201+2 2 x 303+3 2 X 203X2 2 X 202+22x 103+11.把口诀填完整.4.在.里填上““X得三5 02=10 1 02=3 2 02=4 3 01=35.看图列式（1）一共有几个苹果算式：口诀（2）一共有几个桃子算式：口诀二年级乘法口诀练习试题〔三〕1、看谁填的对.2X 3=2X 2+口 3 x 3=3X 口+32 .想一想,填一填.一辆汽车有〔〕个轮子,乘法算式：或口诀：_______________________二辆汽车有〔〕个轮子,乘法算式：或口诀：_______________________三辆汽车有〔〕个轮子,乘法算式：或口诀：____________________四辆汽车有〔〕个轮子,乘法算式：口诀：____________________3 .在.里填上2X404+4 3 X4Q12 4 X4O151X401+4 1 X 102 4 X 404+43X306 2 X 202+2 1 X 301+3 3 X1Q34 .小丽读一本30页得书,已经读了2天,每天读4页,小丽读了多少页5、有4条船,每条船只能坐4人,有15名学生能坐下吗二年级乘法口诀练习试题〔四〕1 .把口诀填完整.三五〔四五〔五五( )( ) -,五( )( )2 .读口诀写算式.一五得五二五一-h三五十五四五二十五五二十五_________________________ 四六二十四___________________________ 3 .找朋友.4X5= 2 X5= 5 X5= 5 11= 5 X3=二五一-h 四五二十五五二十五三五十五一五得五5X4= 5 X2= 5 X5= 1 X5= 3 X5=4 .在.里填上或.5 X2O7 13 03X5 5 X 50206 X 505X3 4 X 505+4 2 X 505+5 5. 一共有几只小鸡二年级乘法口诀练习试题〔五〕1 .计算.5X 5=3 X 5= 2 X 5= 5 X 1 = 5X4=5+ 5=4x 5=5x 3=2 .把口诀补充完整.〕二十3 .填空.4 .请你猜一猜.加法算式:乘法算式: 口诀:〕十五得五〕二十五四五〔（1） 一条红领巾有〔 〕个角, 5条红领巾有 〕个角.（2） 一只手有〔 〕根手指,一双手有〔〕根手指.（3） 一面国旗有〔〕颗星,3面国旗有〔〕颗星.0+0+O =15 Oxa =10O = ( ) 口=( )2 .读口诀写算式.一六得六二六十二三六十八四六二十四五六三十六六三十六3 .看谁算的对又快.5X6=3X 6=6X 6=1X 6=4X 6= 6X 5=6X2=6x 4=2x 6=5x 5= 4 .连线.12 18 24 30 36 66 X6 6 X2 6 X4 3 X6 5 X65 .看谁算的准又快.6X6-4= 3 X6+10= 5 x 6-6= X2+13= 6、想一想算一算.买一盒笔用6元钱.买2盒用多少钱算式：__________________________买3盒用多少钱算式：__________________________买5盒用多少钱算式：__________________________买4盒用多少钱算式：__________________________7.把口诀补充完整.六七〔〕三七〔) ( 〕三十五一^b (〕五七〔) ( 〕四十九四七〔〕二七〔) ( )——8. 口算.7X 2= 3X 7= 6 X 7= 5 X7=7 X7=7X 6= 7 X5=7 9 .在O 里填上““v〞或“二6X 7042+22 4 X6O30 510 .看谁算得快. 7X2=5 X 7= 4X 7=7 X 7= 7X 3=2 X7= 6X5= 7 X 6=11 .小红每个星期做7颗五角星,12、小红每天做一件好事,4个星期做了几件好事 13、同学们做队列表演,排成6行,每行7人,(1)、共有多少人参加表演X1= 7 X2= 7 X 701420+30 07X7 X 707X5 7 X 707+7 6 X 7=7 X 5= 7 X 4= 6 X 4= 6 X 6= 5 X 6= 3X 7= 5 x 5= 3个星期做多少颗五角星x 3=(2)、其中男同学有24人,女同学有多少人14 . 7X2+7= ( ) X ( )=( )7X4=7X 3+ ( ) 7 x 4=6X4+ ( 15 .周老师、李老师、王老师每人从粉笔盒里拿走支.盒里原来有多少支笔16 .想一想,填一填A X □ =42△二( 17 .把口诀补充完整.二八( )五八( ) 18 .口算.OX A =12) □=()三八( )六八( )7支粉笔后,盒里还剩下70=()四八( )七八( )7X2= 3 X 7= 6 X 7= 5 X7= 7 X 7= 7 X 6= 7 X 5= 71= 7 X2= 7 X3= 19.听口诀写算式.三八二十四七八五十六( )( )( )( )( )(20.&渐吟填./桂父喜八八四11 w >J 1-WF<拓味却成-v(□T 竹42「,〞,1 > -X6O30 X 767 2.列式计算.五八四十四八三十二( )( ))M乘海口瓜菜嚏题(六) 「4、20+30 /O7与卜7 /飞一 5 "一X 7G7+7(1) 6个8相加的和是多少(2) 一个因数是7,另一个因数是8,它们的积是多少(3)两个数都是8,它们的和是多少积是多少3,每个☆代表8朵花红花：☆☆☆☆紫花：☆☆☆☆☆☆☆☆绿花：☆☆☆☆☆☆黄花：☆种类红花紫花绿花黄花朵数口诀5. □算5X8= X 3= X 2= 1 X 8=七七〔 〕 〔 〕八三十二〔 〕七二十一 〔 〕八四十八7．我会填.1 〕先改写成乘法算式,再算出得数.8 + 8 + 8+8 + 8写成乘法算式是：〔〕x 〔 〕二〔 〕或〔 〕x 〔 〕二〔〕 〔2〕 8X4=〔〕,表示〔 〕个〔〕相加,得〔 〕；也表示〔 个〔 〕相加,得〔 〕 .口诀： 〔 6．我会补充口诀.〕八十六 2X8=3 X6=4 X8= 8 x 5= 8X7= 8 x 4= 7 x 8= 7 x 6=五〔 〕三十五八〔 〕六十四 六〔 〕四十二 〔 〕七〔3〕 8X4=〔〕,表示〔〕个〔〕；也表示〔〕个〔〕相加,得〔〕.口诀：〔)°8.我会连.4X 8=五七三十五6个87X 5=六八四十八7的5倍8X 6=四八三十二4与8相乘3X 8=七八五十六8的7倍7X 6=六七四十二8+8+88X7=三八二十四7个6二年级乘法口诀练习试题(七)(2)母鸡有几只公鸡： 1__9 只母鸡： 只2、每辆车限坐乘客8人,现在有26位乘客,3辆车能坐得下吗3、小明每天看8页书,一星期能看多少页4 .商场里有一种袜子每双3元钱,妈妈有20元,想买6双这样的袜子,她带的钱够吗5 .校园里有2排教室,每排6间,一共有多少间教室6 .乐乐送给欢欢3盒苹果,每盒9个,共有苹果多少个7 .每个学生宿舍有3张床,5个这样的宿舍有几张床1 .看图列式.(1) 一共有几颗星 红星：।—8 颗 ,一 । । । । ।蓝星： V颗8 .二年级有5个班,每个班选出4名三好学生,一共选出多少名9 .小明、小强和小红,各得了3朵小红花,他们共得几朵小红花10 .写出得数,并说出用哪一句口诀8X6= 4 X8= 3 X8= 7 x 8= 2 x 8=6 X8= 8 X4= 8 X3= 8 x 7= 8 x 2=11 .在口里填数.8 x 8=8X7+口8 x 5=8X6-口8 X 口+8=8X6 8 XD= 8 X 7-812 . 一本语文练习本是7元,一本数学练习本8元.本书12345678买语文练习本的钱买数学练习本的钱13 .你能想出几种不同的填法看谁想得多□ X □ = 24□ X 口= 16口= 1214.补充口诀并根据口诀写出两道乘法算式二九〔〕〕九五十四四九〔〕〔〕九四十五八〔〕七十二〔〕九六十三15. 口算9X3= 99X4= 9 16.填空：()X 9= 727 X ( ) =63()X ()17.在.里填上“ 十X 6= 9X 9= 59 x (5 x (X2= 4X9= 8)=27 5)=35 4=36 ( ) X ( )=18〞或“一〞,为什么x 9= 9 x 1 =x 9= 6 x 9=x ( ) =45x ( ) =329 X 3=9X409 9 X 6=9X 509 5 x 6=5X 405x 2 8 x 907x 9=918.补全口诀四〔〕三十六五〔〕四十五〔〕八五十六〕九六十三九〔〕八斗〕七四十九〔 1〕 9+9+9+9+9+9写成乘法算式是〔〕或〔⑵2 x 9读作〔〕,表示有〔〕个〔（3）3 个 9 相加,写成算式是〔〕 .（4） 9 X 5+9= 〔 〕 9 X 3-9=〔 〕2．连一连.5 个7〔 〕九七十二 〔〕九十八2．完成课本第 86 页第 5 题.9X5= 9 X6= 9X1= 9X9=1 ．填空.三〔 〕二十七 六〔 〕六〔 〕五十四9 X4= 9X3= 9 X2 =9x7=9x 8 =〕〕相加.7X54X8 六九五十四9+99X6 五七三十五 4 的 8倍 6X8 九九八十一 9 个6 3X9三九二十七 6 个8 9X9六八四十八3个 9倍3.在0填上“>〞“<〞或“=〞4 X 6020+2 2+2 02X2 8+2 03X5 8 X 208+2 9+1 09X1 7 X 707+7 〔 2〕 7 个 9 是多少(3) 两个因数都是 9,积是多少5．解决问题.1 )小华有 9 张两元的钱,他一共有多少元钱5X9040 6 X7O42 5X70304．列式计算：( 1) 9的 4倍是多少4) 8 与 9 的积是多少(2)、学校买了9面流动红旗,一面花了6元钱,一共要花多少钱(3)、学样的餐桌每张可坐4位小朋友,幼儿园大班的小朋友正好坐满9张餐桌,幼儿园大班有多少位小朋友(4)、在校门口两边各要摆9盆花,共需要多少盆花下面各题怎样算得快请你想一想,写出来.9+9+9+9+9+5+49X5-92X9+99X3+9X51 .按要求摆一摆.(1)第一行摆3个4,第二行是第一行的5倍.第一行：△△△第二行: __________________________________(2)第一行4个口,第二行是第一行的2倍.第一行：□□□第二行: ____________________________________2 .计算：(1) 5的4倍是多少(2) 6的3倍是多少3,填空.(1)男生有5人,女生是男生的3倍,女生有( )人(2)苹果3个,梨是苹果的2倍,梨有( )个.4.判断题.(对的打,错的打OOO□□□□□□△△△△△△△△△△△△△的个数是.的4倍.〔〕△的个数是口的2倍.〔〕1 .计算.5X3-3= 44X4+6= 62 .在O里填上或‘5X6024 26X505+6 63X6018 5 3 .算一算.一个小熊玩具6元. 3个多少元列式〔4个多少元列式〔X 6+6= 5 X 5+5= X 5-7= 3 X 6-9= OX 606X2X4O5X 5X6O5X 5+5〕口诀〔〕口诀〔5个多少元列式〔6个呢列式〔4 .填空.（〕X 〔〕 =12（〕X 〔〕 =24（〕X 〔〕 =8 5 .看谁填的对又快.1只乌龟〔1〕张嘴,〔2〕2只乌龟〔〕张嘴,〔〕3只乌龟〔〕张嘴,〔〕4只乌龟〔〕张嘴,〔〕5只乌龟〔〕张嘴,〔〕6只乌龟〔〕张嘴,〔〕〕口诀〔〕口诀〔〔〕X 〔〕 =12〔〕X 〔〕 =16〔〕X 〔〕 =9只眼睛〔4〕条腿.只眼睛〔〕条腿.只眼睛〔〕条腿.只眼睛〔〕条腿.只眼睛〔〕条腿.只眼睛〔〕条腿.6 .下面括号可以填几()X6V25 6 x ( ) v 38 20 >3X ()34 > 5 X ()7 .填空(1)3乘5积是(),再加上17,得().⑵ 一个因数是4,另一个因数是4,积是().(3)5乘6得() 四、判断,对的画,错的画“X〞.⑴ 3+3+3+3=4 X3 () ⑵ 5+5+5+4=5 X4-1()(3) OOO OOO写成乘法算式2X 3或3X2()(4) 3X 2=6读作：3X2等于6(),还是3乘2等于6(。
点子图与乘法算式 小学数学 练习题
一、选择题1. 4×2用画图的方法不可以表示为( )。
A．B．C．2. 如图方框中是淘气在计算12×4时所用的方法．你认为下面（）幅点子图可以清楚地表示出淘气这种方法的计算过程。
A．B．C．D．以上三种都可以3. 每个小朋友画12朵花，4个小朋友画多少朵花？小芳通过列竖式得到了答案，计算过程如下：竖式中方框框出的数相当于选项（）中圈出的数。
A．B．C．4. 能表示4×3的是图（）。
A．B．C．5. 在下列数中，（）不是平方数。
A．4 B．36 C．10 D．25二、填空题6. 看图列式。
加法算式：________________或________________ 乘法算式：________________或________________7. 算一算，填一填。
8. 用自己喜欢的图形画一画9.加法算式：________________乘法算式：________________或________________10. 横着数是( )个( )，竖着数是( )个( )。
三、解答题11. 分别用两种方法在图上表示算式。
6×3＝（） 2×7＝（）12. 分别用两种方法在点子图上表示算式。
············································································································································3×7＝（）13. 用两种方法在图上表示算式。
乘法口诀图形练习题
乘法口诀图形练习题
一、图形填空题
1. 请在下面的图形中填入正确的乘法口诀结果：
- □ × □ = 8 （提示：这是2的乘法口诀）
- □ × □ = 15 （提示：这是3的乘法口诀）
2. 用图形表示乘法口诀：
- 画出4个苹果，然后画出5个苹果，表示4乘以5的结果。
3. 根据图形写出乘法口诀：
- 观察下面的图形，一共有6个星星，每个星星有3个角。
写出对
应的乘法口诀。
二、图形匹配题
1. 将下列图形与正确的乘法口诀结果匹配：
- □ × □ = 12 （提示：可能是3的乘法口诀）
- □ × □ = 24 （提示：可能是4的乘法口诀）
2. 观察下列图形，选择正确的乘法口诀：
- 一个长方形由7个正方形组成，每个正方形由2个小正方形组成。
选择正确的乘法口诀。
三、图形应用题
1. 一个班级有6个小组，每个小组有4个学生。
用图形表示这个班级
的总人数，并写出对应的乘法口诀。
2. 一个花园里有5行花，每行有3朵花。
用图形表示这个花园的花的总数，并写出对应的乘法口诀。
四、图形拓展题
1. 用图形表示乘法口诀的倍数关系：
- 画出2的倍数图形，从2开始，直到20。
2. 用图形表示乘法口诀的递增关系：
- 画出3的乘法口诀图形，从3×1开始，直到3×10，展示递增的规律。
通过这些练习题，学生可以更直观地理解乘法口诀的意义，并在图形的帮助下加深记忆。
希望这些练习题能够帮助学生更好地掌握乘法口诀。
乘法口诀练习100题
乘法口诀练习100题(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--乘法一练习题（2-6的乘法口诀）姓名一、填空题1．看图写出两个乘法算式并写出口诀．（1）△△△△△△△△△△△△△△△算式______________或 ______________ 口诀_______________（2）☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆算式：______________或 ______________口诀 ____________2．看图，先写加法算式，再写乘法算式．（1）△△△△△△△△△加法算式： ___________________ 乘法算式__________________（2）第四单元 <wbr> <wbr>乘法一练习题（2-6的乘法口诀）加法算式：____________________ 乘法算式：__________________（3）第四单元 <wbr> <wbr>乘法一练习题（2-6的乘法口诀）加法算式：___________________ 乘法算式：_________________（4）○○○○○○加法算式：___________________ 乘法算式：___________________3．列式计算．（1）5个3连加是多少加法：________________________ 乘法：_____________________（2）4乘6，积是多少 _________________________（3）3和2相乘，积是多少________________________（4）一个因数是2，另一个因数是6，积是多少_________________________4．看算式写口诀第四单元 <wbr> <wbr>乘法一练习题（2-6的乘法口诀）第四单元 <wbr> <wbr>乘法一练习题（2-6的乘法口诀）第四单元 <wbr> <wbr>乘法一练习题（2-6的乘法口诀）5．填写口诀．（1）5×（）＝15→口诀是（）（2）2×（）＝12→口诀是（）（3）3×（）＝12→口诀是（）（4）（）×6＝24→口诀是（）（5）（）×4＝16→口诀是（）（6）（）×3＝9→口诀是（）6．在（）里填上适当的数．（1）2×（）＝12 （2）2×（）＝10（3）4×（）＝8 （4）（）×4＝16（5）（）× 6＝24 （6）（）×（）＝9（7）5×（）＝20 （8）（）×6＝30（9）3×（）＝18 （10）3 ×（）＝158．在○里填上“＞”、“＜”或“＝”．（1）2×5○5＋2（2）5＋4○5×4 （3）34＋2○64（4）4＋3○90－78 （5）2×4○3×2（6）4×3○90－78（7）6－6○0（8）6×6○6＋6（9）3×4（）2×6（10）7＋2○10－29．在□中填上“＋”、“－”或“×”号．（1）6□5＝30（2）3□2＝6 （3）6□5＝11（4）4□3＝12（5）6□5＝1（6）5□3＝2 （7）6□4＝24（8）3□6＝18 10．在○里填上“＋”“－”或“×”．（1）3○1＝3（2）6○3＝18 （3）2○2＝0（4）6○4＝10（5）3○3＝9（6）5○0＝5 （7）5○4＝20（8）6○2＝4（9）2○4＝6（10）4○4＝16二、判断题1．在正确答案的（）里画“√”．（1）和是8的算式：4×26＋22＋62×44＋4（）（）（）（）（）（2）积是4的算式：2＋22×21＋31×4（）（）（）（）（3）一个因数是3的算式：3×54＋32×35－34×3（）（）（）（）（）（4）一个因数是5的算式：5×22×56×55×35×4（）（）（）（）（）2．观察下面算式，可以改成乘法算式的画“√”，不能改的在上画“×”．（1）3＋3＋3___________（2）4＋4＋4___________（3）5＋5＋5＋6___________（4）2×2×2___________（5）2＋2＋2＋3___________（6）6＋6＋6＋6___________三、应用题1．第四单元 <wbr> <wbr>乘法一练习题（2-6的乘法口诀）①买3杯圣代多少元__________________________________-②买4包薯条多少元__________________________________-③买5个派多少元__________________________________-④买一个圣代和一包薯条、一个派共多少元__________________________________-2．二年级有3个班参加跳绳比赛，每个班选6个人参加，一共选多少人3．做一件上衣要5个扣子，做4件同样的上衣要多少个扣子4．有6个同学看卡通漫画，每个同学看2本，一共看了多少本 5．小红每天折5只纸鹤，折了5天，一共折了多少只纸鹤6．同学们去公园划船，每条船上坐4人，3条船上坐多少人7．一根绳子，剪掉32米，还剩28米，这根绳子长多少米8．每个同学种2盆花，5个同学种多少盆花9．一只小花猫有4条腿，6只小花猫共有多少条腿10．小兰买3块橡皮，每块橡皮3角钱，小兰一共花了多少钱妈妈给他1元钱，应剩下多少钱。
一年级乘法画图练习题
一年级乘法画图练习题一、基本乘法画图题1. 请画出3个2的乘法图。
2. 请画出4个3的乘法图。
3. 请画出2个4的乘法图。
4. 请画出5个2的乘法图。
5. 请画出3个3的乘法图。
二、进阶乘法画图题1. 请画出6个2的乘法图。
2. 请画出7个3的乘法图。
3. 请画出4个4的乘法图。
4. 请画出5个5的乘法图。
5. 请画出6个3的乘法图。
三、混合乘法画图题1. 请画出2个3和4个2的乘法图。
2. 请画出3个4和2个3的乘法图。
3. 请画出4个5和2个4的乘法图。
4. 请画出5个3和3个5的乘法图。
5. 请画出6个2和4个3的乘法图。
四、挑战乘法画图题1. 请画出8个2的乘法图。
2. 请画出9个3的乘法图。
3. 请画出7个4的乘法图。
4. 请画出8个5的乘法图。
5. 请画出10个2的乘法图。
五、颜色分类乘法画图题1. 用红色画出4个2的乘法图，用蓝色画出3个2的乘法图。
2. 用绿色画出5个3的乘法图，用黄色画出4个3的乘法图。
3. 用橙色画出6个2的乘法图，用紫色画出5个2的乘法图。
4. 用粉色画出3个4的乘法图，用棕色画出2个4的乘法图。
5. 用灰色画出4个5的乘法图，用黑色画出3个5的乘法图。
六、形状分类乘法画图题1. 用正方形画出5个2的乘法图。
2. 用三角形画出6个3的乘法图。
3. 用圆形画出4个4的乘法图。
4. 用长方形画出7个2的乘法图。
5. 用星形画出5个3的乘法图。
七、组合乘法画图题1. 请画出2个2和3个3的组合乘法图。
2. 请画出3个4和2个5的组合乘法图。
3. 请画出4个2和4个4的组合乘法图。
4. 请画出5个3和3个4的组合乘法图。
5. 请画出6个2和2个5的组合乘法图。
八、创意乘法画图题1. 设计一个包含7个2的乘法图，并用自己的想象力添加装饰。
2. 设计一个包含8个3的乘法图，并用自己的想象力添加图案。
3. 设计一个包含6个4的乘法图，并用自己的想象力添加颜色。
4. 设计一个包含7个5的乘法图，并用自己的想象力添加形状。
小学数学《乘法原理》练习题(含答案)
小学数学《乘法原理》练习题（含答案）知识要点完成一件事，这件事情可以分成n个步骤来完成，第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，第n步有N种不同的方法。
那么完成这件事情一共有A×B×.....×N 种不同的方法。
用乘法算出一共有多少种方法，这就是乘法原理。
例：李老师周五要去新城，首先得从家到公交总站，然后得再坐公交车到新城。
如果说李老师的家到公交总站有5种可选择的路线，然后再从公交总站到新城有2条可选择的路线，李老师从家到新城一共有多少条路线？从上面示意图看出，李老师必须先的到公交总站，然后再到新城。
李老师要完成从家到新城的这件事，需要2个步骤，第1步是从家到公交总站，一共5种选择；第2步从公交总站到新城，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条，因为从家到公交总站的每一步都有2种路线到新城。
解题指导11.乘法原理在解决搭配问题中的应用，先明确第一步有几种方法，再明确第二步有几种方法，然后两种方法数相乘的积，就是方法的总数。
【例1】马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？分析与解：由下图可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。
事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。
第一步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方法。
对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有3×2＝6（种）。
【变式题1】贝奇打算吃过面包、喝点饮料后去运动，一共有2种面包、3种饮料、2种运动可供选择，贝奇一共有多少种选择？解题指导22.乘法原理在组数中的应用。
用几个数组数，要先选定最高位上的数有几种方法，用去一个数后，还有几个数能满足下一数位，这个数位上就有几种方法。
依次类推，再把每个数位组的方法数相乘，就得到一共的组数方法。
【例2】用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？【分析与解】组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法。
图片乘法口诀练习题
图片乘法口诀练习题一、基础练习1. 看图写乘法：下面有几张图片，每张图片上有几个相同的物体，请写出对应的乘法表达式。
- 苹果图片，有3个苹果。
表达式：______ × 3 = 3- 气球图片，有4个气球。
表达式：4 × ____ = 4- 书本图片，有2本相同的书。
表达式：2 × ____ = 22. 乘法填空：根据图片上的物体数量，填写正确的乘法表达式。
- 有5个相同的星星。
表达式：____ × 5 = 5- 有6个相同的小汽车。
表达式：6 × ____ = 6二、进阶练习1. 乘法计算：根据图片上的物体数量，计算出乘法结果。
- 有7个相同的小船。
计算：7 × 1 = ____- 有8个相同的小鸭子。
计算：8 × 2 = ____2. 乘法应用：将乘法应用到实际问题中。
- 如果每个篮子里有9个鸡蛋，那么3个篮子里一共有多少个鸡蛋？计算：9 × 3 = ____三、挑战练习1. 乘法混合运算：根据图片上的物体数量，进行混合乘法运算。
- 有10个相同的小房子，每个房子里有2个窗户。
计算：10 × 2 = ____2. 乘法与加法结合：结合乘法和加法解决实际问题。
- 一个班级有12个学生，每个学生有5本书。
如果班级里又来了3个新学生，那么现在班级里一共有多少本书？计算：12 × 5 + 3 × 5 = ____四、总结通过这些练习题，孩子们可以加深对乘法口诀的理解和记忆，同时提高解决实际问题的能力。
家长和老师可以利用这些练习题作为教学辅助材料，帮助孩子们在轻松愉快的氛围中学习数学。
请注意，以上练习题中的空白部分需要孩子们根据图片上的物体数量填写正确的数字。
希望这些练习题能够帮助孩子们更好地掌握乘法口诀。
5的乘法口诀及练习题
5的乘法口诀及练习题
同学们，先来看一张有意思的图画。
我们也来学一学，用手放到白纸上，摆出这样的形状，然后画出轮廓，再涂一涂颜色。
我们的一只手有5个手指，两只手呢？用乘法算式就是5×2=10.
再看看这张图片。
根据图片我们来编一下5的乘法口诀。
5×5=25 五五二十五
5×6=30 五六三十
5×7=35 五七（）
5×8= 五八（）
5×9= 五九（）
填一填这张表格。
1
同学们发现了什么规律吗？5和1、3、5、7、9相乘的时候，积的个位数都是5.和2、4、6、8相乘的时候，积的个位上都是0.
练一练。
1，读口诀，写出两个乘法算式。
五七三十五乘法算式乘法算式
五九四十五乘法算式乘法算式
五六三十乘法算式乘法算式
2，算一算，我和爸爸妈妈一共有多少个手指？
3，在○里填上“+”“－”或者“×”
4，画一画，填一填。
5，解决问题。
一只小兔子一天要吃掉7根胡萝卜，5只小兔子一天要吃掉多少胡萝卜？
2。
分数乘法应用题(线段图练习)10
是把( 甲数)看作单位‘1’
单位“1” 2 9
？
甲数
甲数的 1 与乙数相等 5
是把( 甲千米
８４千米
列式计算:
84×
5 6
= 70(千米)
男生人数占全班人数的 4 9
全班人数 × 4 = 男生人数 9
桔子重量等于苹果的 5 8
苹果的重量 × 5 = 桔子的重量 8
列式计算
（1）25的
1 5
是多少？
25 1 5 5
（2）100的
1 10
是多少？ 100 1 10
10
求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
我国的数量 ＝ 全世界数量 ×
1 4
织女星的速度 ＝
牛郎星的速度
×
7 13
我们学校有14位老师,男老师占了
3 7
，
男老师有多少人？
我们学校有14位老师,男老师占了
3 7
，
女老师有多少人？
分数乘法应用题
(线段图练习)
张扬博
42× 4 = 24 7
5×3 = 1 18 5 6
2×3 = 1 94 6
5×3 = 1 65 2
20千克的
1 5
是多少?
20千克
？千克
1
205 ×51 = 4 (千克)
甲数是乙数的 1 5
是把(乙数)看作单位‘1’
单位“1” 1 5
？
乙数
２
乙数是甲数的
乘法看图练习题
乘法看图练习题本文为乘法看图练习题，旨在帮助读者巩固乘法的基础知识和提升计算能力。
以下是一些乘法练习题，每个题目都附有对应的图片，通过观察图片中的物品数量，读者需要利用乘法运算求解出正确答案。
1. 题目一：图片中有3个篮球场，每个篮球场上有5个篮球。
请计算一共有多少个篮球？[图片描述：三个篮球场，每个篮球场上有5个篮球，共计15个篮球。
]2. 题目二：图片中有4个花园，每个花园里有6朵花。
请计算一共有多少朵花？[图片描述：四个花园，每个花园里有6朵花，共计24朵花。
]3. 题目三：图片中有5个包含2只猫的笼子，请计算一共有多少只猫？[图片描述：五个笼子，每个笼子里有两只猫，共计10只猫。
]4. 题目四：图片中有6个包含3本书的书架，请计算一共有多少本书？[图片描述：六个书架，每个书架上有三本书，共计18本书。
]5. 题目五：图片中有7个果篮，每个果篮里有4个苹果。
请计算一共有多少个苹果？[图片描述：七个果篮，每个果篮里有四个苹果，共计28个苹果。
]6. 题目六：图片中有8个水池，每个水池中有5条鱼。
请计算一共有多少条鱼？[图片描述：八个水池，每个水池里有五条鱼，共计40条鱼。
]通过这些乘法看图练习题，读者能够加深对乘法的理解，并巩固乘法运算能力。
在解答问题的过程中，读者不仅需要观察图片，理解题目所描述的情境，还需要应用乘法运算来得出正确的答案。
这样的练习能够培养读者的逻辑思维和数学计算能力，为日后的学习打下良好的基础。
希望本文所提供的乘法看图练习题对您有所帮助，让您在乘法运算方面有更深入的理解和熟练的应用。
通过持续的练习和学习，相信您的数学水平会不断提升！。
乘法图练习题
乘法图练习题
一、基础乘法图绘制
1. 绘制一个4x4的乘法图，即包含1到4的乘法关系。
2. 用不同颜色的彩笔标记出每个乘法结果，例如：1x1用红色，2x2用蓝色等。
3. 观察乘法图，找出所有乘积为8的组合。
二、乘法图填空
1. 在下面的乘法图中填入正确的乘积。
- 2x3 = ?
- 3x4 = ?
- 4x2 = ?
2. 完成以下乘法图的剩余部分。
- 5x1 = ?
- 6x2 = ?
- 7x3 = ?
三、乘法图应用题
1. 小明有3个篮子，每个篮子里有5个苹果。
如果小明要把这些苹果平均分给4个朋友，每个朋友能得到多少个苹果？
2. 学校图书馆有4排书架，每排有6本书。
如果每本书需要被借阅2次，那么总共需要借阅多少次？
3. 一个班级有6个小组，每个小组有7个学生。
如果每个学生需要完成2项作业，这个班级总共需要完成多少项作业？
四、乘法图拓展练习
1. 绘制一个6x6的乘法图，并找出所有乘积为12的组合。
2. 观察6x6的乘法图，找出所有乘积为偶数的组合。
3. 使用6x6的乘法图，计算1到6的乘法总和。
五、乘法图挑战题
1. 如果你有一个9x9的乘法图，找出所有乘积为25的组合。
2. 在9x9的乘法图中，哪些乘积是三位数？
3. 利用9x9的乘法图，计算1到9的乘法总和。
结束语
通过这些练习题，学生可以加深对乘法的理解和记忆，同时提高解决实际问题的能力。
乘法图是一个有趣且有效的学习工具，可以帮助学生在轻松愉快的氛围中掌握乘法知识。
二年级数学 表内乘法 看图列式50题 有答案 10+3页
第 11 页 共 13 页
Sx2114--2
23. 解：4×2＝8 24. 解：5×4=20（个） 25. 解：3×4=12（人） 26. 解：
27. 3×8=24，8×3=24，三八二十四 28. 解：2×3=6；2×4=8；4×3=12 29. 解:6×3=18，3×6=18 30. 解：6×3=18，3×6=18，18÷3=6，18÷6=3 31. 解：3×4=12,，4×3=12，12÷3=4，12÷4=3 32. 解： △△△△△ △△△△△ △△△△△ 5×3=15（个） 33. （1）7+7+7+7=28；7×4=28；4×7=28 （2）3+3+3+3+3=15；3×5=15；5×3=15 34. 解：6×5=30(颗) 答：一共有 30 颗. 35. 解：2×4=8 或 4×2=8 36. 解：3×3+2=11 或 3×4-1=11 二、应用题
○ ( ) ( )=( )
24.可以坐多少人？
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Sx2114--1
26.每次摆 2 根小棒，摆一摆，说一说。
27.看图列算式,并写出口诀 28.好朋友，拉拉手．
29.看图，写两道乘法算式．
第 6 页 共 13 页
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Sx2114--1
6.看图写出
加法算式：（ 乘法算式： （ 7.填一填．
） ）
（1）加法算式：
(只)
（2）乘法算式：
(只)
8.每条船上有多少人，有几条船，一共有多少人．
加法算式：
(人)
乘法算式：
(人)
9.
( )+ ( )+( )+( )=( ) ( )×( )=( )或( )×( )=( )
乘法口诀表及乘法口诀练习试题
九九乘法口诀表1×1=11×2=22×2=41×3=32×3=63×3=91×4=42×4=83×4=124×4=161×5=52×5=103×5=154×5=205×5=251×6=62×6=123×6=184×6=245×6=306×6=361×7=72×7=143×7=214×7=285×7=356×7=427×7=49 1×8=82×8=163×8=244×8=325×8=40 6×8=487×8=56 8×8=641×9=92×9=183×9=274×9=365×9=456×9=547×9=63 8×9=729×9=81九九乘法口诀表二年级乘法口诀练习试题（一）1．把口诀填写完整。
二三（）一三（）一二（）二二（）三三（）三五（）2．口算。
3×3= 2×3= 2×2= 3×1=3+3= 1×2= 2×5= 3×2=3．在○里填上“+”，“-”或“×”。
1○1=2 3○2=1 2○2=4 3○2=61○1=0 3○2=5 1○3=3 3○3=64．看谁算的对。
（1）一共有多少只小鸟？（2）一共有多少朵花？二年级乘法口诀练习试题（二）1．把口诀填完整。
一二（）二三（）三三（）（）得六（）得四（）得三2．直接写得数。
2×3= 3×3= 2×2= 2×1=2×5= 1×2= 3×2= 3×5= 3．在○里填上“＞”“＜”“﹦”。
1至5的乘法口诀练习题
1至5的乘法口诀练习题1、看图列算式。
乘法算式：口诀：☆☆☆☆ ☆☆☆☆ 乘法算式：☆☆☆☆ ☆☆☆☆口诀：一共有多少颗☆？2、看谁算得又快又准。
5×4＝－4＝3×4＝3×3＝5×5＝×2＝6＋5＝×3＝4×4＝1×5＝＋3＝＋5＝3×1＝5＋1＝×3＝1×1＝ +2＝ +5＝2×2＝4＋3＝×3= 1+1=+4＝×3、把下面的乘法口诀补充完整。
十五三三一四一三二四得二二五十二二十五一二得一得六一五得四十五3、写出口算下面的算式所用的乘法口诀。
3×3＝×2＝×4＝5×3＝×4=3×1＝×2＝×5＝5×1＝×4=4、根据口诀写出两道乘法算式。
三四十二四五二十二三得六一三得三__________ ___________ _______________________________ ___________ ___________ ___________1—5的乘法口诀练习姓名:_____________一、看谁算得又快又准。
5×4＝－4＝×4＝×3＝5×5＝5×2＝×3－9＝×4＝1×5＝＋8＝＋5＝3×1＝＋5＝×4＋8＝×3＝＋1＝×3＝1×1＝＋3＝1+1=×5－10＝×2＝×3=×3＋5＝×3＋6＝二、补充口诀。
十六三三一四一三二四得二二五十二二十五一二得一得六一五得四十五三、根据口诀写出两道乘法算式。
三四十二四五二十二三得六一三得三__________ ___________ _______________________________ ___________ ___________ ___________四、看图列式计算。
二年级数学 表内乘法 看图列式50题 有答案 10+3页
表内乘法看图列式练习50题（有答案）1.看图写出乘法算式。
2.看图写算式。
（1）有（）个（）加法算式：乘法算式：3.小松鼠一共采了多少个松果？4.看图写出乘法算式和口诀5.看图写算式。
（1）①有________个________②加法算式：________③乘法算式：________（2）乘加算式：________乘减算式：________6.看图写出加法算式：（）乘法算式：（）7.填一填．（1）加法算式：(只) （2）乘法算式：(只)8.每条船上有多少人，有几条船，一共有多少人．加法算式：(人)乘法算式：(人)9.( )+ ( )+( )+( )=( )( )×( )=( )或( )×( )=( )10.一共有多少只？加法算式：(________ )乘法算式：____(________ )11.看图回答（1）一共有多少枝花？（2）乘法算式:12.13.看图写出乘法算式。
14.看图写出乘法算式。
15.一共有多少块？16.一共多少元？17.算一算，小蜜蜂一共有多少条腿？18.看图列式计算5厘米19.一共有多少枝？20.先提出问题，再解决它。
21.按图列式．计算结果.22.看图回答（1）可以这样写：＋＋＋＋=×=（2）还可以这样写：＋=×=23.看图填空并计算．2个4是多少？( )○( )=( )24.一共有多少个同学跳绳？25.1条船可以坐3个人，这样的4条船可以坐多少人？26.每次摆2根小棒，摆一摆，说一说。
27.看图列算式,并写出口诀28.好朋友，拉拉手．29.看图，写两道乘法算式．30.31.32.画△，表示3个5。
一共有多少个△？33.看图列式计算。
（1）加法算式：________乘法算式：________或：________（2）加法算式：________乘法算式：________或：________34.看图列式计算35.看图列算式36.看图列算式37.看图写一道乘法算式和除法算式.38.一共有多少只羊？39.一共开了多少朵花？40.看图写一道乘法算式和除法算式.41.看图回答42.解决问题．43.一共有多少枝铅笔？44.小猫一共钓了多少条鱼？45.一共有多少只猴？46.一共有几只小蜜蜂？47.一共有多少把钥匙？48.看图写出乘法算式和口诀49.每串珠子有6个，4串共有多少个？50.一共有几瓶汽水?表内乘法看图列式练习50题答案：1.4×5=20，5×4=202.（1）解：4个3，4+4+4+4=16，4×4＝16（2）乘加算式：乘减算式：解：5×3+2=17，5×4-3=173.解：5×3=15（个）4.解:3×5=15,口诀:三五十五5.（1）4；3；4+4+4+4=16；4×4＝16（2）5×3+2=17；5×4-3=176.加法算式：3＋3＝6;乘法算式:3×2＝6或2×3＝67.（1）3＋3＋3＋3＋3＝15(只)像这样加数都相同的加法，可以用乘法计算．（2）5×3＝15(只)8.4＋4＋4＝12(人),4×3＝12(人)9.解：3+3+3+3=123×4=124×3=1210.6+6+6=18(只)；3+3+3+3+3+3=18(只)；6×3=18(只)；3×6=18(只)11.（1）32枝（2）解：4×8=32(枝)12.解：5×4=20，4×5=20，20÷4=5，20÷5=413.6×5=30，5×6=3014.3×3=915.解：4×6=24(块)16.解：25元5×5=25(元)17.解：6×5=30（条）18.解：5×7=35(厘米)19.解：5×4＋4=24(枝)20.解：一共有多少朵花？算式是3×4=12（朵）21.解：3×6＝18，6×3＝1822.（1）2；2；2；2；2；10；2；5；10（2）5；5；10；5；2；1023.解：4×2＝824.解：5×4=20（个）25.解：3×4=12（人）26.解：27.3×8=24，8×3=24，三八二十四28.解：2×3=6；2×4=8；4×3=1229.解:6×3=18，3×6=1830.解：6×3=18，3×6=18，18÷3=6，18÷6=331.解：3×4=12,，4×3=12，12÷3=4，12÷4=332.解：△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△5×3=15（个）33.（1）7+7+7+7=28；7×4=28；4×7=28（2）3+3+3+3+3=15；3×5=15；5×3=1534.解：6×5=30(颗)答：一共有30颗.35.解：2×4=8或4×2=836.解：3×3+2=11或3×4-1=11二、应用题37.5×3=15，15÷3=5，15÷5=338.5×8+8=48（只）答：一共有48只羊。
看图写算式
看图写算式
作者：赵自强
来源：《小学生学习指导_趣味课堂·低年级》2019年第10期
看图写算式，要学会多种思考方法。
同一幅图，可以根据不同的思路，写出不同算式。
例题：根据下图示意，写出算式。
能够写出几种不同的算式？
[分析与解]上图示意的桃子数量可以有两种理解——
第一种理解为：左边有6个桃子，右边有6个桃子。
一共有多少个桃子？
第二种理解为：左边前排有3个桃子，左边后排有3个桃子;右边前排有3个桃子，右边后排有3个桃子。
一共有多少个桃子？
当我们学习了乘法以后，像这样的图示就可以写出加法、乘法两种算式。
如果按照第一种理解：（6，6）1.加法题目
加法的问题是：把6和6合在一起，一共是多少？
加法算式：6+6=12（个）
2.乘法题目
乘法的问题是：求2个6是多少？
乘法算式：6×2=12（个），或2×6=12（个）
如果按照第二种理解：（3，3，3，3）
1.加法题目
加法的問题是：把3和3、3、3合在一起，一共是多少？
加法算式：3+3+3+3=12（个）
2.乘法题目
乘法的问题是：求4个3是多少？
乘法算式：3×4=12（个），或4×3=12（个）
练习题：根据下图示意，写出算式。
能够写出几种不同的算式？。
沪教版六年制二年级上册数学练习题看图写乘法算式练习题
小学数学沪教版二年级上册看图写乘法算式1．看图写算式。
算式：_________________口诀：_________________2．看图写算式。
算式：_________________口诀：_________________3．看图写算式。
列式：____________列式：____________4．看图写算式。
（）×（）=（）5．看图写算式。
（）×（）=（）6．看图回答问题。
一共有（）个4，加法算式（），乘法算式是（）或（）。
7．看图列式。
用加法算式：__________或__________用乘法算式：__________或__________8．看图列式。
用加法算式：__________或__________用乘法算式：__________或__________9．看图写算式。
__________________________10．看图写算式。
乘法算式：________________11．看图写算式。
乘法算式：________________12．看图写算式。
加法算式：_______________ 乘法算式：_______________13．看图写算式。
加法算式：_______________乘法算式：_______________14．看图写算式。
加法算式：_______________乘法算式：_______________15．看图写算式。
加法算式：_______________；乘法算式：_______________或_________________ 16．看图写算式。
加法算式：_______________ 乘法算式：_______________ 或_____________ 17．看图写算式。
加法算式：_______________ 乘法算式：___________ 或___________。
18．看图写算式。
加法算式：_______________ 乘法算式：____________或____________。
二年级乘法图画练习题
二年级乘法图画练习题一、看图列式计算1. 图画中有5个篮子，每个篮子里有3个苹果。
一共有多少个苹果？答：5 × 3 = 15（个）2. 学校操场上有4排学生，每排有7个学生。
操场上一共有多少个学生？答：4 × 7 = 28（个）3. 一只小鸡有2条腿，5只小鸡一共有多少条腿？答：2 × 5 = 10（条）4. 一个班级有6个小组，每个小组有4个学生。
这个班级一共有多少个学生？答：6 × 4 = 24（个）5. 花园里有3排花，每排有8朵。
花园里一共有多少朵花？答：3 × 8 = 24（朵）二、填空题1. 一个正方形有4个角，2个正方形一共有____个角。
答：82. 一个班级有9个小组，每个小组有3个学生，这个班级一共有____个学生。
答：273. 一个篮子里有6个鸡蛋，3个篮子一共有____个鸡蛋。
4. 一个班级有7个小组，每个小组有5个学生，这个班级一共有____个学生。
答：355. 一个书架有5层，每层放4本书，这个书架一共可以放____本书。
答：20三、应用题1. 小明有3盒蜡笔，每盒有6支蜡笔。
小明一共有多少支蜡笔？答：3 × 6 = 18（支）2. 学校图书馆有5个书架，每个书架有10本书。
图书馆一共有多少本书？答：5 × 10 = 50（本）3. 一个班级有8个小组，每个小组有5个学生，这个班级一共有多少个学生？答：8 × 5 = 40（个）4. 一个水果店有4箱苹果，每箱有9个苹果。
水果店一共有多少个苹果？答：4 × 9 = 36（个）5. 一个班级有6个小组，每个小组有7个学生。
这个班级一共有多少个学生？答：6 × 7 = 42（个）四、判断题1. 如果每个篮子里有4个苹果，3个篮子一共有12个苹果。
（对/错）2. 如果每个小组有4个学生，5个小组一共有20个学生。
（对/错）答：对3. 如果每个班级有6个小组，每个小组有5个学生，那么一共有30个学生。
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Fi Δii
Fj Δji
Fj j
Δji Δjj
Fj j
Δjj Δji
W W
Fi Δij Fj Δji
Fi Δij F j Δji
功的互等定理
力 i 在力 j 引起的位移上作的功(虚功)， 等于力 j 在力 i 引起的位移上作的功(虚功) 。
一般地，对线弹性结构:
力系 i 的力在力系 j 引起的相应位移上所作 的功，等于力系 j 的力在力系 i 引起的相应位
A
Fl
1
2
B
M Mdx
wC
EI F B ΔB
C
3 FB
2
wC
1 EI
1 2
l
Fl 2
l 3
1 2
l 2
Fl 2
l 3
3 2
3F 2k
M
l
l
3
l3
2
Fl 3 9F ()
8EI 4k
16
图乘法小结
图乘法是 Mohr 积分的一种简单算法， 适用于等刚度直杆。要点为：
d
x
Mohr积分是单位载荷法在线弹性结构上 的应用，其要点为：
• 构造一个虚力状态，计算出单位力引 起的内力方程 FN , M , FQ ,T.
• 计算原结构中实际载荷引起的内力方程 FN , M , FQ , T .
• 对整个结构计算Mohr积分。
求任意点A的位移
q(x) A
ΔA
弯矩 M ( x ) 单位载荷法：
题：求图示刚架A 截面 的转角或C 点的挠度。 已知各部分弯曲刚度为
EI。
(a)
(b)
(c)
(d) 49
练习二：
50
练习二：
51
Homework:
11- 19(a) 21(a) 32
q
解：作载荷弯矩图和单位
A
B
C 弯矩图。
l
ql2 l
2
8 C2
M
C1
C3
ql 2
1
M
8
C
1 EI
1 2
l
ql 2 8
l 3
2 l ql 2 l 3 84
ll 43
l
l 3 24
2
1 3
l 2
ql 2 8
3l 8
ql 4
()
128EI
13
例2 试求图示刚架结点B的水平位移uB 。EI为常数。 [解]作载荷弯矩图和单位弯矩图。
Δ FN FN d x M M dx TT d x
l EA
l EI
l GIP
注：卡氏定理求含参数积分，再求导； 莫尔定理是纯数值积分；所以莫尔定理计算量小。
3
上节回顾 目的：找一个适于任何结构的一般方法
虚位移
虚
单
功 导出 位
原
载
理
荷
法
莫尔积分
图乘法
简化Mohr 积分，
至少有一 个M函数 为线性
位移上作的功
W
FΔ1
FRB Δ2
Fa2 6EI
(3l
a)
FRBl 3 3EI
第二组力在第一组力引起位移上作的功等于零，由功的互等得：
W Fa2 (3l a) FRBl3 0
6EI
3EI
F a2 FRB 2 l3 (3l a)
40
2011第八届全国周培源大学生力学竞赛试题
26
材力11-3
今天学习内容
内容 图乘法练习题
11.6 互等定理
要求 掌握图乘法 , 互等定理
练习 图乘法，互等定理
1
各种方法比较
方 法 应用范围
说明
计算量
功能原理
单个集中载荷 方向的位移
1.积分求变形能
W
n i 1
1 2
Fi
Δi
Vε
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
平衡结构在虚位移中，外力虚功等于杆 件的虚应变能。
单位载荷法
F1
K
F2
Δ=？
1
K Δ
实际位移状态作为虚位移
原问题: 求Δ
虚力状态： 加单位力
1 Δ F dl M d T d FQ d
单位载荷法的思想：
原结构虚构一个单位力作用，称虚力 状态。
在虚力状态上运用虚功原理，虚位移 取原问题的实际位移。
圆柱AB自重不计，长为L，直径为D，材料弹性模量为E，泊 A
B
松比为ν，剪切屈服应力为τs 。其中圆柱A 端固定，B端承受 引起50%屈服的扭矩MT 作用。
MT
L
（1）求作用于圆柱上的扭矩MT （6 分） （2）应用第三强度理论（最大剪应力理论），求在圆柱B端同时施加多大
的轴向拉伸应力而不产生屈服（6 分）
ql A
M图
ql
2
1A 1
M图
14
例3 试求图示刚架A，B 两点的相对线位移△AB 。EI
为常数。(同学练习)
[解]作载荷弯矩图和单位弯矩图。
A
a
C
B
F
a
D
1
A
a
C
B
1
a
D
a
a
Fa
2
M
a
M
a
ΔAB
1 1 2a EI 2
Fa 2
a
Fa 3 2EI
a
a
（靠近）
因 P0 = 1
弯矩
P0 =1 A
ΔA
10
已知：EI = 常量
例:
求：A，B 之间的相对线位移
解：1. 建立坐标系
R AF FB
2. 求载荷引起的内力方程
M =FRsinφ （0≤φ≤2π） 3. 加单位力并求单位力引起 内力方程
R A1
M R sin （0≤φ≤2π）
1B
4. 求ΔAB
F
Δij Δji
A
B
C
百分表
悬臂梁受力如图示。请设计一实验方案， 用百分表测量梁在各处的挠度。
A：移动百分表？
F
A
B
C
B：固定百分表？
aF l
1
FRB 第一组
2 第二组
1
已知 a， l， EI，F
求：FRB
解：构造第二组力系，其位移为：
Δ1
a2 6EI
(3l a)
Δ2
l3 3EI
第一组力在第二组力引起
（线弹性） （等刚度直杆）
非线弹性 其他
Wext Wint 0
Δ
FN FN EA
dx
MM EI
dx
TT GIP
dx
1 Δ FN dΔl M d T d
4
虚功原理
F1
F2
Fn
Δ1
Δ2
Δn
Fi Δi FN dl M d T d FQ d
2 3
a
a
Fa
a
4Fa 3 3EI
22
4. 求θC
在C 加一单位力偶，作单位力偶弯矩图 M 3
F
B Fa
1
C
1
Fa *
*
A
M
M3
C
1 EI
1 2
a
Fa
1
a
Fa
1
3Fa 2 2EI
23
本题
小结
B
B
a
A
a
C1
a
a
2a 3
F
F
C
B Fa
C
Fa *
（3）求圆柱体的体积改变量（8 分）
(1)
MT WP
MT D3
s 2
16
MT
D3 32
s
(2) 1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
max
1 3 2
1 2
2 4 2
1 2
2 4 s 22 s
ΔAB
1 EI
2
M MR d
0
2
FR3 sin2 d
EI 0
FR3
EI
（沿载荷方向分开） 11
图乘法
M
ω
C
x xc
M
MC
x
MM d x MC
Mohr积分等于载荷弯 矩图的面积 ω乘以它的 形心坐标处的单位力弯 矩值 M C .
例1： 试求图示外伸梁C点的竖向位移。EI为常数。
移上所作的功。
注：力系、位移均为广义的； 适用于线弹性结构。
二、位移互等定理 ---- 功的互等定理的特殊情况
Fi
i Δii
j
Δji
i Δij
Fj j
Δjj
Fi i j = Fj j i
Fj＝Fi
ij= ji
位移互等定理