函数递归之求n阶勒让德多项式

c语言n阶勒让德多项式

c语言n阶勒让德多项式勒让德多项式是数学中的一种常见函数，常用于描述球面的形状、量子力学、振动和波动等领域。

在计算机科学中，勒让德多项式也是非常重要的，尤其在图像处理和计算机视觉中，常常用来进行边缘检测、形态学处理、模板匹配等操作。

C语言中，可以直接使用math.h库函数来计算勒让德多项式，函数原型为：```cdouble legendre(int n, double x);```其中，n表示勒让德多项式的阶数，x表示自变量。

函数返回值为函数值。

需要注意的是，n必须为非负整数，x的范围应在[-1,1]之间。

我们可以使用递归的方式实现勒让德多项式的计算，具体代码如下：```c#include<stdio.h>#include<math.h>double Pn(int n,double x){double result;if(n==0) result=1;else if(n==1) result=x;else result=(2*n-1)*x*Pn(n-1,x)-(n-1)*Pn(n-2,x)/n;return result;}int main(){double x;int n;printf("请输入勒让德多项式的阶数n：");scanf("%d",&n);printf("请输入自变量x：");scanf("%lf",&x);printf("P%d(%lf)=%lf\n",n,x,Pn(n,x));return 0;}```在代码中，我们通过递归方式实现勒让德多项式的计算，并通过scanf函数从用户处获取函数的阶数n和自变量x，最终输出勒让德多项式的计算结果。

总之，勒让德多项式在数学和计算机科学中都具有重要的应用价值，掌握它的计算方法，对于进行图像处理和计算机视觉开发都有很大的帮助。

勒让德多项式及其正交性质

勒让德多项式及其正交性质勒让德多项式是一种重要的数学工具，在微积分、物理学等领域都有广泛的应用。

它是一类正交多项式，具有良好的性质，可以用于解决一些特殊的数学问题。

本文将讨论勒让德多项式及其正交性质，以期读者能够深入了解这一重要数学工具。

一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是一种定义在区间[-1,1]上的多项式函数，通常用Pn(x)表示，其中n为多项式的次数。

勒让德多项式可以通过如下公式递归地定义：P0(x) = 1P1(x) = xPn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)]/n这个公式可以用来计算任意次数的勒让德多项式。

勒让德多项式的前几个函数值如下：P0(x) = 1P1(x) = xP2(x) = (3x² - 1)/2P3(x) = (5x³ - 3x)/2P4(x) = (35x⁴ - 30x² + 3)/8二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，其中最重要的是正交性质。

1. 正交性质勒让德多项式在区间[-1,1]上的内积可以定义为：∫[-1,1] Pn(x)Pm(x)dx如果n=m，则积分结果为2/(2n+1)；如果n≠m，则积分结果为0。

也就是说，勒让德多项式之间具有正交性质。

这个性质非常重要，因为它能够使我们更方便地进行一些数学运算。

例如，计算某个函数在勒让德多项式基下的系数时，我们只需要进行一次内积计算即可。

2. 完备性质勒让德多项式在区间[-1,1]上具有完备性质。

也就是说，任何在该区间上连续的函数都可以用勒让德多项式展开，并且展开式收敛于原函数。

这个性质太过深奥，需要深入的数学知识，不在本文的讨论范围内。

3. 递推性质勒让德多项式之间具有递推性质，可以用如下公式计算高一阶的勒让德多项式：Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x) - nPn-1(x)这个公式可以用来快速地计算任意次数的勒让德多项式。

勒让德多项式递推公式推导

勒让德多项式递推公式推导
雷伯斯让德多项式递推公式是数学发展的一个里程碑。

它是一个可以用来快速计算高次多项式系数序列的重要公式，又称非递归式。

它以有趣的方式应用数学公式，使多项式系数序列计算变得更加合理、简单清晰。

雷伯斯让德多项式递推公式的形式为：
a_n=(n+ann+1+(n+2nn+2))*a_n-1
其中，a_n表示高次多项式的系数序列中的当前项系数，an+1表示高次多项式的系数序列中的下一项系数，同时还有nn+1和nn+2两个参数。

通常来说，我们可以很容易地计算第一项多项式系数序列a_1，但要计算多项式系数序列中的第n项，就需要比较复杂的计算过程。

雷伯斯让德多项式递推公式可以帮助我们快速计算第n项多项式系数序列，而不需要逐一计算每一项。

只要首先计算出a_1，然后将其与参数nn+1和nn+2相乘，再将所得的和再乘以上一项的系数a_n-1，即可获得当前项a_n的计算公式。

由此可见，雷伯斯让德多项式递推公式可以显著降低多项式计算的繁琐性，有效提升计算效率和准确性，也受到了数学家的一致欢迎。

它的出现使许多数学问题的解决变得更加轻松，再次推动了数学的发展，也为社会提供了不少便利。

勒让德多项式及其应用

勒让德多项式及其应用勒让德多项式是一种经典的特殊函数，它是由法国数学家勒让德于18世纪末研究长城摆的运动方程时发现的。

作为一个基本的特殊函数，勒让德多项式在物理、数学和工程学等领域中都有广泛应用。

本文将介绍勒让德多项式的定义、性质及其在物理和数学中的一些应用。

一、勒让德多项式的定义勒让德多项式P_n(x)的定义如下：其中n为整数，x为实数。

勒让德多项式是一类具有特殊结构的多项式函数，它可以通过递推关系式来求解。

具体来说，勒让德多项式满足以下递推公式：其中n+1次勒让德多项式可以通过n次和n-1次勒让德多项式来表达。

这个递推公式还有一个等价的形式：由此可以得到勒让德多项式的一些基本性质，例如P_n(x)在[-1,1]上有n个实根，其中n-1个简单实根和一个n阶重根。

此外，勒让德多项式还满足下列正交性：其中w(x)为勒让德多项式的权函数。

二、勒让德多项式的一些性质除了递推公式和正交性以外，勒让德多项式还有一些重要的性质。

例如，勒让德多项式是一个偶函数，即P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)。

此外，勒让德多项式还有如下的反演公式：其中f(y)和g(x)分别是两个函数，而K_n(x,y)是勒让德函数的核函数：其中P_n(x)和P_n(y)分别是n次勒让德多项式在x和y处的取值。

勒让德函数的核函数经常被用于计算物理中的各种耦合系统中的能量本征状态。

三、勒让德多项式在物理学中的应用勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁场和量子力学中。

在电磁场中，勒让德函数的核函数可以用来描述两个电荷或磁荷之间的相互作用。

在量子力学中，勒让德多项式则被用来表示转动不变性系统的波函数，比如氢原子和氢分子离子。

此外，在量子力学和粒子物理中，勒让德多项式还经常用来表示原子轨道和粒子的旋转等。

四、勒让德多项式在数学中的应用勒让德多项式在数学的一些分支中也有广泛的应用，特别是在微积分和数论等领域。

例如，在微积分中，勒让德多项式可以用来表示函数的幂级数展开式，而在数论中，勒让德多项式则被用来研究阶乘和高次导数等问题。

勒让德多项式递推公式证明

勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。

本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。

以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。

以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。

以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。

以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。

递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。

我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。

C++课后习题解答

C++课后习题程序3-14.用递归的方法编写程序求N阶勒让德多项式的值，在主程序中实现输入输出。

递归公式为1 (n=0)Pn(x)= x (n=1)[(2n-1)x*Pn-1(x)-(n-1)Pn-2(x)]/n (n>1)#include<iostream>using namespace std;long p(int x,int y) //Legendre polynomials函数定义{ if(y==0)return 1;else if(y==1)return x;elsereturn (((2*y-1)*x*p(x,y-1)-(y-1)*p(x,y-2))/y);}void main(){ int a; //legendre polynomials函数中x的值int n; //级数ncout<<"请输入legendre polynomials函数中x的值：\n";cin>>a;cout<<"请输入所要求的多项式级数：\n";cin>>n;p(a,n);cout<<"n阶勒让德多项式的值为(当x="<<a<<"时）:\n";cout<<p(a,n)<<endl; //输出多项式的值}4-8 定义一个Dog 类，包含的age、weight等属性，以及对这些属性操作的方法。

实现并测试这个类。

(第一个程序待调试)#include <iostream.h>class Dog{ public:Dog (int initialAge = 0，int initialWeight = 5);~Dog();int GetAge() { return itsAge;} // inline!void SetAge (int age) { itsAge = age;} // inline!int GetWeight() { return itsWeight;} // inline!void SetWeight (int weight) { itsAge = weight;} // inline!private:int itsAge，itsWeight;};Dog::Dog(int initialAge，int initialWeight){itsAge = initialAge;itsWeight = initialWeight;}Dog::~Dog() //destructor，takes no action{}int main(){ Dog Jack(2，10);cout << "Jack is a Dog who is " ;cout << Jack.GetAge() << " years old and";cout << Jack.GetWeight() << " pounds weight.\n";Jack.SetAge(7);Jack.SetWeight(20);cout << "Now Jack is " ;cout << Jack.GetAge() << " years old and";cout << Jack.GetWeight() << " pounds weight.";return 0；}程序二:#include <cstdlib>#include<iostream>using namespace std;class dog{ private:int m_age;int m_weight;public:dog():m_age(5),m_weight(10){}void setAge(int i){m_age=i;}void setWeight(int i){m_weight=i;}int age(){return m_age;}int weight(){return m_weight;}};int main(){ dog d;cout<<d.age()<<" "<<d.weight()<<endl;return 0;}4-9 设计并测试一个名为Rectangle的矩形类，其属性为矩形的左下角与右上角两个点的坐标，能计算矩形的面积。

勒让德多项式递推公式证明

勒让德多项式递推公式证明我们来了解一下以勒让德多项式的定义。

以勒让德多项式是一个由整数阶幂函数组成的多项式序列，通常用P_n(x)表示，其中n为非负整数。

以勒让德多项式可以由递推关系式定义，即：P_0(x) = 1P_1(x) = xP_n(x) = ((2n-1)x * P_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))/n根据这个递推关系式，我们可以通过递推的方式计算出以勒让德多项式的各阶多项式。

接下来，我们将证明以勒让德多项式的递推公式。

为了方便证明，我们先定义两个辅助多项式：Q_n(x) = d/dx[P_n(x)]R_n(x) = (x^2-1)Q_n(x) - n(n+1)P_n(x)我们证明Q_n(x)的递推关系式：Q_0(x) = d/dx[1] = 0Q_1(x) = d/dx[x] = 1Q_n(x) = d/dx[((2n-1)x * P_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))/n]= ((2n-1) * P_{n-1}(x) + (2n-1)x * Q_{n-1}(x) - (n-1)Q_{n-2}(x))/n= ((2n-1) * P_{n-1}(x) + (2n-1)x * Q_{n-1}(x) - (n-1)(x^2-1)Q_{n-2}(x) + n(n-1)P_{n-2}(x))/n= ((2n-1) * P_{n-1}(x) - n(x^2-1)Q_{n-2}(x) + n(n+1)P_{n-2}(x))/n= (2n-1) * P_{n-1}(x)/n - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)P_{n-2}(x)= (2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)/n * P_{n-2}(x)接下来，我们证明R_n(x)的递推关系式：R_0(x) = (x^2-1)Q_0(x) - 0 = x^2 - 1R_1(x) = (x^2-1)Q_1(x) - 1(1+1)P_1(x) = x^2 - 1 - 2x^2 = -x^2 - 1R_n(x) = (x^2-1)Q_n(x) - n(n+1)P_n(x)= (x^2-1)[(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)/n * P_{n-2}(x)] - n(n+1)P_n(x)= (x^2-1)(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x) - n(n+1)P_n(x)= [(x^2-1)(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - n(n+1)P_n(x)] - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x)= R_{n-1}(x) - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x)我们可以看出，R_n(x)的递推关系式与P_n(x)的递推关系式非常相似，只是多了一个(x^2-1)^2Q_{n-2}(x)的项。

递归方法求n阶勒让德多项式的值

递归方法求n阶勒让德多项式的值勒让德多项式是物理学和数学中一种常用的多项式，它旨在用更简单的方法描述复杂的函数。

它由下面公式给出：Ln(x)=∑(-1)n-kC(k)x^k其中，n为阶数，C(k)为调和级数n的系数，X=1；用递归方法求n阶勒让德多项式的值，可以采用递归公式：Ln(k+1)=-Ln(k)+x^k通过求解以上递归公式的循环就可以计算出某个给定n值下的Ln(x)的值：(1)首先确定输入参数n，以及调和级数系数C(k)；(2)其次定义一个变量L(x)，初始化成1，即L(0)=1；(3)接着定义另外一个变量temp，初始化成0，即temp=0；(4)接着开始循环，即令temp = temp + (-1)^(n-k)C(k)*x^k，当k = 0时，循环结束。

(5)最后令Ln(x)=L(x)+temp，即可求出n阶Ln(x)的值。

以上就是解决n阶勒让德多项式的值的递归方法，操作起来比较简单，但需要考虑的参数较多。

1. 什么是勒让德多项式勒让德多项式是用来描述复杂函数的一种多项式，它的公式为：Ln(x)=∑(-1)n-kC(k)x^k，其中，n为阶数，C(k)为调和级数n的系数，X=1。

2. 递归方法求n阶勒让德多项式的值采用递归公式：Ln(k+1)=-Ln(k)+x^k，从而又能以Ln(k)为条件来再计算Ln(k+1)，同时得到Ln(x)的值。

步骤如下：(1)确定输入参数n，以及调和级数系数C(k)；(2)定义一个变量L(x)，初始化成1，即L(0)=1；(3)定义另外一个变量temp，初始化成0，即temp=0；(4)循环，即令temp = temp + (-1)^(n-k)C(k)*x^k，当k = 0时，循环结束；(5)令Ln(x)=L(x)+temp，即可求出n阶Ln(x)的值。

n阶勒让德多项式的值

n阶勒让德多项式的值勒让德多项式，这个名字听起来是不是有点拗口？别担心，今天咱们就来聊聊这个看似高大上的数学玩意儿，其实也没那么复杂。

想象一下，你在阳光明媚的日子里，坐在公园的长椅上，喝着冰凉的饮料，和朋友们随便聊聊，这种感觉就是我们今天讨论这个话题的氛围。

勒让德多项式是一种在数学上非常有用的东西。

它像一位老朋友，时不时就会在你需要的时候冒出来，帮助你解决一些棘手的问题。

比如，物理学中的一些问题，或者在工程计算中，勒让德多项式可谓是个好帮手。

就像你在厨房里找不到开罐器，突然想起了旁边的朋友给你递过来，这种感觉一样，瞬间轻松了不少。

你知道吗？勒让德多项式其实是从一种叫做正交的概念衍生出来的。

听起来好像很复杂，但简单来说，就是这些多项式之间的关系有点像打麻将的朋友，互不干扰，各自发挥自己的作用。

这个特性让它们在很多地方都大显身手，真是让人不得不佩服。

它们有时像个魔术师，能把复杂的问题简单化，简直是数学界的超级英雄。

它们的值是什么呢？好吧，这里就要说到计算勒让德多项式的具体值了。

简单点说，就是在给定的点上，你把这个多项式“召唤”出来，让它给你一个结果。

这个过程就像你点了个外卖，选了你最爱的菜，然后耐心等待。

等啊等，终于外卖小哥来了，你打开一看，哇，简直美味无比。

就是这样，勒让德多项式给出的值，有时候也会让你眼前一亮。

你要知道，勒让德多项式的定义并不是一成不变的。

它们就像生活中的潮起潮落，有些情况需要用不同的方式去描述。

比如，当你需要第n阶的勒让德多项式的时候，其实就是在做一种“数的游戏”。

像玩积木一样，把不同的数拼在一起，最后得出一个公式。

听起来是不是很有趣？说到这里，我想起我小时候玩拼图的情景。

每当我找到一块合适的拼图，心里的那种成就感真是无与伦比。

勒让德多项式也有这种感觉，你把各个参数、数值组合在一起，最终得出的结果，让你有种“我终于搞定了”的喜悦。

无论是计算出某个具体值，还是在某个问题中找到它的应用，这种满足感让人乐此不疲。

用递归方法求n阶勒让德多项式的值c语言

用递归方法求n阶勒让德多项式的值c语言勒让德多项式是一种非常重要的数学函数，它在物理学、工程学和自然科学中有广泛的应用。

在本篇文章中，我们将介绍用递归方法求解n阶勒让德多项式的值的C语言实现。

勒让德多项式的定义如下：$$ P_{n}(x) = frac{1}{2^{n}n!} frac{d^{n}}{dx^{n}} left[(x^{2} - 1)^{n}ight] $$其中，$n$表示多项式的阶数，$x$表示多项式的自变量。

这个定义式非常复杂，但我们可以使用递归算法来简化问题。

我们可以将勒让德多项式看作是一个递归函数，每个函数都是前一个函数的导数再乘以一个系数。

具体而言，我们可以将勒让德多项式表示为：$$ P_{n}(x) = frac{2n-1}{n}xP_{n-1}(x) -frac{n-1}{n}P_{n-2}(x) $$当$n=0$时，多项式为$P_{0}(x) = 1$；当$n=1$时，多项式为$P_{1}(x)= x$。

这是递归函数求解的边界条件。

我们可以通过以下C语言代码实现这个递归算法：```c#include <stdio.h>double legendre(int n, double x) {if (n == 0) {return 1;} else if (n == 1) {return x;} else {return ((2 * n - 1) * x * legendre(n - 1, x) - (n - 1) * legendre(n - 2, x)) / n;}}int main() {int n;double x;printf('请输入多项式的阶数n和自变量x：');scanf('%d %lf', &n, &x);double result = legendre(n, x);printf('勒让德多项式P_%d(%.2lf)的值为：%.2lf', n, x, result);return 0;}```在这段代码中，我们首先定义了一个`legendre()`函数，它接受两个参数：$n$表示勒让德多项式的阶数，$x$表示自变量。

n阶勒让德多项式

n阶勒让德多项式
n阶勒让德多项式，即费马以及17世纪数学家阶勒让德发明的多项式，是一类可以累加次方系数形成多项式的代数结构，其格式通常为： p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x + a0，其中n为次方，an为系数。

它是多元多项式中最为简单和最引人注目的
代数结构之一，可以用来求解多项式等级，数学研究和科学模型。

费马在16. 和 17. 世纪，把多项式用来描述它发现的定理，但是他的定理中只有阶勒让
德多项式作为一种类型的多元多项式。

以后，哥白尼，除了把它用作几何定理的数学工具，也尝试用来求解力学模型，机械和重力计算等。

最后，阶勒让德多项式发展成为具有一系
列应用的重要数学结构，帮助我们解决一系列数学和科学的问题。

阶勒让德多项式可以用来解决非常复杂的问题。

它的精确性可以解决复杂的微分方程，并
用来模拟科学问题，如建模，反应，预测和决策。

有诸多的科学应用，如气体和液体的物理，数值计算，天气预报，航空飞行路径规划，传送原理等。

阶勒让德多项式在数学中也
有重要作用。

它可以用来解决数学中多元多项式的问题，包括拟合数据点，最小二乘法，
求导数和斐波那契数列等。

此外，阶勒让德多项式还可以用于绘图，带来更多精彩可视化效果，其动态图式可使数学
变得更容易理解。

因此，阶勒让德多项式在数学及其相关领域中应用大大改善，提升了可
视化和数学解决问题的效率。

通过阶勒让德多项式的应用，我们已经实现了解决许多复杂问题的能力，同时也为科学发
展做出了贡献，我们可以期望它会继续发展，带来更多的突破和发现。

函数递归之求n阶勒让德多项式

问题H: C语言习题求n阶勒让德多项式题目描述用递归方法求n阶勒让德多项式的值，递归公式为n=0 p n(x) =1n=1 p n(x) =xn>1 p n(x) =((2n-1)*x* p n-1(x) -(n-1)* p n-2(x))/n结果保留2位小数。

输入n和x的值。

输出p n(x)的值。

#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std;double polya(int n,int x){double a;if(n==0) a=1;if(n==1) a=x;if(n>1) a=((2*n-1)*x*polya(n-1,x)-(n-1)*polya(n-2,x))/n;return a;}int main(){int x,n;cin>>n>>x;cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2);cout<<polya(n,x)<<endl;return 0;}递归的原理就是先给出第一项或前两项的结果，然后其余的项要通过第一项或前两项来推算出;所以自定义函数时，要给出第一项或前两项的值(if(n==0) a=1; if(n==1) a=x;);利用递归的原理,根据其余项的公式给出计算方法(if(n>1) a=((2*n-1)*x*polya(n-1,x)-(n-1)*polya(n-2,x))/n;);在主函数中,输入数据(cin>>n>>x;),按照题目要求保留两位小数(cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2);)输出结果(cout<<polya(n,x)<<endl;)!。

n阶勒让德多项式递归公式

n阶勒让德多项式递归公式勒让德多项式是数学中的一类特殊函数，它在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

在这篇文章中，我们将介绍n阶勒让德多项式的递归公式及其相关性质。

n阶勒让德多项式可以表示为P_n(x)，其中n为多项式的阶数，x 为自变量。

它们可以通过递归公式来定义，这个递归公式写作：P_n(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x)其中P_{n-1}(x)和P_{n-2}(x)分别表示n-1阶和n-2阶的勒让德多项式。

这个递归公式允许我们根据已知的低阶多项式来计算更高阶的多项式。

递归公式的起点是P_0(x) = 1和P_1(x) = x，它们是勒让德多项式的基础。

通过这个递归公式，我们可以计算出任意阶数的勒让德多项式。

例如，我们可以计算出P_2(x) = (3x^2 - 1)/2，P_3(x) = (5x^3 - 3x)/2等等。

这种递归计算的方法使得计算复杂的勒让德多项式变得相对简单。

勒让德多项式有许多重要的性质和应用。

其中之一是勒让德多项式是正交的。

也就是说，对于不同的n和m，勒让德多项式满足以下积分关系：∫_{-1}^{1} P_n(x)P_m(x) dx = 0, (n ≠ m)这个性质使得勒让德多项式在数值计算和函数逼近中非常有用。

它们可以用来近似各种函数，尤其是在区间[-1, 1]上的函数。

另一个重要的性质是勒让德多项式满足勒让德微分方程，即：(1-x^2)P''_n(x) - 2xP'_n(x) + n(n+1)P_n(x) = 0这个微分方程描述了勒让德多项式的性质，其中P'_n(x)和P''_n(x)分别表示勒让德多项式的一阶和二阶导数。

勒让德多项式的递归公式还可以扩展到负整数的阶数。

例如，对于负整数n，我们可以使用以下递归公式来计算勒让德多项式：P_n(x) = (-1)^n P_{-n}(x)这个公式使得我们可以计算出负整数阶的勒让德多项式，从而扩展了勒让德多项式的应用范围。

递归函数求n阶勒让德的算法流程

递归函数求n阶勒让德的算法流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。

文档下载后可定制随意修改，请根据实际需要进行相应的调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种各样类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，如想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by theeditor. I hope that after you download them,they can help yousolve practical problems. The document can be customized andmodified after downloading,please adjust and use it according toactual needs, thank you!In addition, our shop provides you with various types ofpractical materials,such as educational essays, diaryappreciation,sentence excerpts,ancient poems,classic articles,topic composition,work summary,word parsing,copy excerpts,other materials and so on,want to know different data formats andwriting methods,please pay attention!1. 定义递归函数 `legendre(n, x)`，其中 `n` 表示勒让德多项式的阶数，`x` 表示自变量。

legendre多项式推导

legendre多项式推导勒让德多项式（Legendre polynomials）是一类重要的正交多项式，其推导过程可以通过递归关系和积分方法得到。

1. 递归关系推导：勒让德多项式可以通过以下递归关系定义：P_0(x) = 1P_1(x) = x(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)其中，P_n(x)表示阶数为n的勒让德多项式。

利用这个递归关系，我们可以依次计算出更高阶的勒让德多项式。

2. 积分方法推导：另一种推导勒让德多项式的方法是使用积分。

设f(x)为一个可积函数，我们想要将它展开成勒让德多项式的级数形式。

首先假设可以将f(x)展开为如下形式：f(x) = ∑_{n=0}^∞ a_n P_n(x)我们的目标是求解每个a_n的值。

为了实现这一点，我们将上述等式两边乘以P_m(x)并在区间[-1,1]上进行积分，可以得到：∫_{-1}^1 f(x)P_m(x)dx = ∑_{n=0}^∞ a_n ∫_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx由于勒让德多项式是正交的，即∫_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx = 0 (n ≠ m)，所以上述等式简化为：∫_{-1}^1 f(x)P_m(x)dx = a_m ∫_{-1}^1 P_m(x)P_m(x)dx =a_m(c_m)，其中c_m是一个常数。

我们可以通过计算∫_{-1}^1 f(x)P_m(x)dx 来求解 a_m 的值，从而得到展开式中每个项的系数。

综上所述，勒让德多项式可以通过递归关系或积分方法推导出来，并且可以用于展开函数。

其在物理学、数学和工程等领域中有广泛的应用。

勒让德多项式递推关系

勒让德多项式递推关系勒让德多项式递推关系是数学家克劳德勒让德（Claude-Franois-DiendeFermat）发现的一种深奥的公式，在计算机科学和其他数学领域中经常被使用。

该公式定义了一种用于计算多项式表达式值的简单方法，主要是利用多项式值的递归依赖关系，这种关系可以把给定多项式表达式分解成更简单的子表达式，使得求解多项式表达式可以缩小规模，找到更快捷的求解方式。

勒让德多项式递推关系的公式可以总结为：P（n）=a_1* P（n-1）+a_2* P（n-2）+…+a_k* P（n-k），其中P（n）表示长度为n的多项式表达式值，a_1，a_2，…，a_k是多项式系数，k表示多项式的类别，即多项式有k项。

例如，关于长度为4的多项式表达式的勒让德多项式递推关系可以表示如下：P（4）=a_1*P（3）+a_2*P（2）+a_3*P（1），此公式表明，使用这种递推关系，将一个复杂的多项式表达式分解成简单的子表达式。

勒让德多项式递推关系在实际计算中有重要应用。

例如，在向量空间理论中，需要计算不同长度表示式的多项式余弦值矩阵，其计算公式可以表示为：P（n）=2* Cos（n* theta/n），公式中P（n）表示长度为n的多项式表达式的值，theta表示多项式的类别，即多项式有theta项。

此时，若要计算长度为n的多项式表达式的值，可以使用勒让德多项式递推公式，即P（n）=2* Cos（n* theta/n）-P（n-1），这样一来，可以把原本复杂的计算过程简化，从而提高效率。

除了向量空间理论中的应用外，勒让德多项式递推关系也可以用于优化计算机编程中的算法。

例如，通过使用勒让德多项式递推关系，可以将一个复杂的算法优化成具有相同功能的简单的子算法，从而可以有效地提高算法的性能。

例如，有一个具有“链表”结构的复杂算法，可以通过使用勒让德多项式递推关系，将该算法展开成具有更简单的子算法结构，从而有效地提高算法的性能。

C++语言程序设计第三版课后题答案

第一章概述1-1 简述计算机程序设计语言的发展历程。

解：迄今为止计算机程序设计语言的发展经历了机器语言、汇编语言、高级语言等阶段，C++语言是一种面向对象的编程语言，也属于高级语言。

1-2 面向对象的编程语言有哪些特点？解：面向对象的编程语言与以往各种编程语言有根本的不同，它设计的出发点就是为了能更直接的描述客观世界中存在的事物以及它们之间的关系。

面向对象的编程语言将客观事物看作具有属性和行为的对象，通过抽象找出同一类对象的共同属性（静态特征）和行为（动态特征），形成类。

通过类的继承与多态可以很方便地实现代码重用，大大缩短了软件开发周期，并使得软件风格统一。

因此，面向对象的编程语言使程序能够比较直接地反问题域的本来面目，软件开发人员能够利用人类认识事物所采用的一般思维方法来进行软件开发。

C++语言是目前应用最广的面向对象的编程语言。

1-3 什么是结构化程序设计方法？这种方法有哪些优点和缺点？解：结构化程序设计的思路是：自顶向下、逐步求精；其程序结构是按功能划分为若干个基本模块；各模块之间的关系尽可能简单，在功能上相对独立；每一模块内部均是由顺序、选择和循环三种基本结构组成；其模块化实现的具体方法是使用子程序。

结构化程序设计由于采用了模块分解与功能抽象，自顶向下、分而治之的方法，从而有效地将一个较复杂的程序系统设计任务分解成许多易于控制和处理的子任务，便于开发和维护。

虽然结构化程序设计方法具有很多的优点，但它仍是一种面向过程的程序设计方法，它把数据和处理数据的过程分离为相互独立的实体。

当数据结构改变时，所有相关的处理过程都要进行相应的修改，每一种相对于老问题的新方法都要带来额外的开销，程序的可重用性差。

由于图形用户界面的应用，程序运行由顺序运行演变为事件驱动，使得软件使用起来越来越方便，但开发起来却越来越困难，对这种软件的功能很难用过程来描述和实现，使用面向过程的方法来开发和维护都将非常困难。

1-4 什么是对象？什么是面向对象方法？这种方法有哪些特点？解：从一般意义上讲，对象是现实世界中一个实际存在的事物，它可以是有形的，也可以是无形的。

用递归方法求n阶勒让德多项式的值

用递归方法求n阶勒让德多项式的值勒让德多项式是数学中的一类特殊函数，通常用于描述物理学中的自然现象。

它是一种正交多项式，可用于求解球形坐标系下的问题。

在本文中，我们将介绍一种用递归方法求解n阶勒让德多项式值的算法。

首先，我们需要定义勒让德多项式的递归公式。

对于n阶勒让德多项式，其递归公式为：$$ P_n(x) = frac{1}{2^n n!}frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n $$ 其中，$n!$表示n的阶乘，$frac{d^n}{dx^n}$表示对x求n次导数。

根据该公式，我们可以递归地计算出所有小于等于n的勒让德多项式的值。

接下来，我们需要一个递归函数来计算n阶勒让德多项式的值。

该函数的输入参数为n和x，输出参数为n阶勒让德多项式的值。

其伪代码如下：```function Legendre(n, x)if n == 0 thenreturn 1else if n == 1 thenreturn xelsereturn ((2*n-1)*x*Legendre(n-1, x) - (n-1)*Legendre(n-2,x))/nend ifend function```在该函数中，当n为0时，勒让德多项式的值为1；当n为1时，勒让德多项式的值为x。

对于其他情况，我们利用递归公式计算出n-1阶和n-2阶勒让德多项式的值，然后带入递归公式计算出n阶勒让德多项式的值。

最后，我们可以调用该函数来计算任意n阶勒让德多项式的值。

例如，当n为3时，勒让德多项式的递归公式为：$$ P_3(x) = frac{1}{2^3 3!}frac{d^3}{dx^3}(x^2-1)^3 $$ 将其带入递归函数中计算，得到：$$ P_3(x) = frac{5x^3-3x}{2} $$因此，我们可以用递归方法求解出n阶勒让德多项式的值。

C++使用递归方法求n阶勒让德多项式完整实例

C++使⽤递归⽅法求n阶勒让德多项式完整实例本⽂实例讲述了C++使⽤递归⽅法求n阶勒让德多项式的实现⽅法。

分享给⼤家供⼤家参考，具体如下：/** 作者：刘同宾* 完成⽇期：2012 年 11 ⽉ 24 ⽇* 版本号：v1.0* 输⼊描述：* 问题描述：⽤递归⽅法求n阶勒让德多项式的值。

* 程序输出：* 问题分析：略* 算法设计：略*/#include<iostream>using namespace std;int main(){double p(double,double);double s,n,x;cout<<"请输⼊n与x的值：";cin>>n>>x;s=p(n,x);cout<<"则多项式的值为："<<s<<endl;return 0;}double p(double n,double x){double s; // 函数名与变量名不能相同。

if(n==0){s=1;}else if(n==1){s=x;}else{s=((2*n-1)*x-p((n-1),x)-(n-1)*p((n-2),x))/n;//递归。

上机指导上写的是s=((2*n-1)*x*p((n-1),x)-(n-1)*p((n-2),x))/n 当输⼊3 4时，结果是154}return s;}希望本⽂所述对⼤家C++程序设计有所帮助。

勒让德多项式

程序执行情况如下图所示：
六、结论与心得
在调试的过程中，一开始我发现原来的程序进行到n=6时就发生了溢出，经过老师的指点后，我调整了程序后，将一部分数据进行约分，减少大数据的出现，有了进一步的发展，能够输到n=8，然而我没有放弃，利用double型和int型的区别去想，继续调整，终于达到n=10的阶段。但是后来的调整时发现数据很大，难以快速得到结果，因此我还没有时间去想如何调整到一个高效的程序。在这个过程中，我知道了有些事情，只有经历过了，才会知道自己的不足，我决定以后学习好专业语言，努力改进自己编写过的程序，将程序写得更好！
况，n=7输出错误。后来利用约简的方法，于是结果达到了n=8
的情况。接着我采用了double型，结果能输出n=10的情况，但
是在运行的过程中发现，输出很慢。
三、程序框图或流程图，程序清单与调用关系
第一问如图一所示：
图1 — 递归调用流程图 Y Y N N
开始输入n x n=0 ?
n=1? 返回 1 返回 1 递归调用treat() 输出结果结束
第二问如图二所示：
输出整合的结果
Y N 开始输入 n m=0
m﹤n/2 ?
结束
m=m+1
图2 — 求表达式的流程图
四、全部源程序清单
#include<stdio.h>
#define MAX 1000
#include<math.h>
float treat(int n,float x)
{//计算n阶勒让德多项式的值
{ if(D[i]!=0&&B[i]!=1)//输出首项的表达式 printf("%.0f/%.0fx^%.0f",A[i]*B[i],C[i],D[i]); else { if(D[i]==0&&B[i]==1)//输出n=0的表达式 printf("%.0f",A[i]); else if(D[i]!=0&&B[i]==1) printf("x");//输出n=1的表达式 else printf("%.0f/%.0f",A[i]*B[i],C[i]);//输出