哈密顿算子
哈密顿算子的计算
哈密顿算子的计算哈密顿算子是量子力学中一个重要的概念，用于描述系统的总能量。
它是由物理学家威廉·罗维·哈密顿（William Rowan Hamilton）在19世纪提出的，并且在量子力学的发展中起到了关键的作用。
在量子力学中，哈密顿算子被表示为一个算符，通常用H来表示。
它的作用是对波函数进行操作，得到系统的能量本征值和相应的能量本征态。
哈密顿算子可以描述一个单粒子系统或多粒子系统的总能量，并且可以应用于各种不同的物理系统。
哈密顿算子的一般形式如下：H = T + V其中，T表示系统的动能，V表示系统的势能。
动能可以根据粒子的质量和动量来计算，而势能则与粒子所处的位置和相互作用有关。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统的能量本征值和能量本征态。
求解哈密顿算子的本征值问题通常需要使用量子力学中的求解方法，如波函数展开、变分法、微扰理论等。
通过这些方法，可以得到系统的能谱和相应的波函数，从而了解系统的能级结构和性质。
对于简单的系统，如一维无限深势阱，哈密顿算子的求解相对较简单。
在这种情况下，势能V为常数，哈密顿算子的形式为：H = - (h^2 / 2m) * d^2/dx^2 + V其中，h为普朗克常数，m为粒子的质量，d^2/dx^2表示对波函数进行两次偏导数。
通过求解这个本征值问题，可以得到系统的能量本征值和相应的波函数。
对于更复杂的系统，如多粒子系统或具有特殊势能的系统，哈密顿算子的求解就更加困难。
此时需要借助数值计算和近似方法来求解。
一种常用的方法是使用算符分解和离散化的技术，将哈密顿算子表示为一个矩阵形式，并通过对矩阵进行对角化来求解本征值问题。
除了用于求解能量本征值和能量本征态外，哈密顿算子还可以用于描述系统的演化。
根据薛定谔方程，波函数在时间上的演化由哈密顿算子决定。
通过对哈密顿算子进行时间演化，可以预测系统在不同时间点上的状态和性质。
哈密顿算子是量子力学中一个重要的概念，用于描述系统的总能量和演化。
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
哈密顿算子
AdS ( A)dv
27. Stokes 公式
Adl ( A)dS
l S
例1 已知 求
ur ) (
u 3x sin yz , r xi y j zk
解 由公式10知 ur ) u u ( r r 3 r u 3sin yzi 3xz cos yz j 3xy cos yzk 3(sin yzi xz cos yz j xy cos yzk ) ur ) 9x sin yz 3x sin yz 3xyz cos yz 3xyz cos yz (
2 2 2 A rot A (2z 2x y)i (3xz 0) j (4xyz 0)k (2z 2 2x2 y)i 3xz 2 j 4xyzk
A
M
(2 4)i 3 j 8k 6i 3 j 8k
15. u) u u ( u 为调和量 16. (u) 0 17. A) 0 (
下面公式中 r 0 19. r r r 22. f (u) f (u)u
r xi y j zk , r r 20. 3 r 21. r 0
l S
例4 验证 Green 第一公式
S (u v)dS (vu vu)dV 与第二公式 (uv vu )dS (uv vu )dV
S
证明：由 Gauss 公式
AdS (A)dV 取 A u v ，用公式10
证毕.
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设 u u ( x, y, z ), 则
u
u x u i y u j z
k grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
div A
k
i
A x P
j
y
z
rot A
Q
R
E z E y Bx y z t By E x E z z x t E y E x Bz x y t
引进哈密顿算符：
i j k x y z
D B 0 D H t B E t
dp pn ds
矢量场的散度(divergence)
对矢量场，在笛卡尔坐标系下其散度定 义为：
V x V y V z V x y z
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl)
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰
• • • • Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 散度(div) 旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
x i y
j z k
• 称为▽( Nabla ，奈 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
哈密顿算子
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子（HamiltonianOperator）是物理系统的动能和位能的组合，通常被认为是物理系统本质由来的参数，用来描述物理系统的性质（物理量）。
2. 公式及推导
哈密顿算子可以用如下公式表示：
H=Hp+Hk
其中，Hp 为位能，Hk 为动能。
（1）位能Hp：一般地，位能公式可以写成
Hp=- 2
它表示的是物体的力学位能，具有空间变化的粒子受到的力学位能，表示为几何位能。
（2）动能Hk：动能Hk 可以用牛顿动力学的方法推导出，用来描述物体受到的动能，即速度的平方加上位移的有关量，即：
Hk=1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
其中，m 为物体的质量，x，y，z 分别为物体的X，Y，Z 轴坐标。
所以，将上面两个公式相加，得到的哈密顿算子公式可以表示为： H=- 2+1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
以上就是哈密顿算子运算公式及推导的介绍，哈密顿算子是物理系统本质由来的参数，可以用来描述物理系统的性质，是物理实验中经常用到的重要参数。
《2024年哈密顿算子理论选论》范文
《哈密顿算子理论选论》篇一一、引言哈密顿算子理论是物理学和数学中一个重要的概念，尤其在量子力学和电磁场理论中发挥着核心作用。
该理论以哈密顿算子为核心，通过对系统的势能和动能进行数学描述，提供了求解复杂物理系统的方法。
本文将选论哈密顿算子理论的部分关键内容，包括其定义、性质、应用及发展。
二、哈密顿算子的定义与性质哈密顿算子，也称为哈密顿算符或哈密顿函数，通常表示为H。
它代表了物理系统的总能量。
哈密顿算子的定义为系统动能与势能之和，可以描述为一个态矢量在希尔伯特空间中的算符。
哈密顿算子具有以下性质：1. 自伴随性：在量子力学中，哈密顿算子具有自伴随性，即它与自身的厄米共轭相等。
2. 时间演化：在量子力学中，系统的状态随时间演化，而这个演化过程由哈密顿算子决定。
3. 普适性：无论是在经典力学还是量子力学中，哈密顿算子都可用于描述系统的总能量。
三、哈密顿算子理论的应用哈密顿算子理论在物理学和数学中有着广泛的应用。
在量子力学中，哈密顿算子用于描述粒子的运动状态和能量。
在电磁场理论中，哈密顿算子用于描述电磁波的传播和相互作用。
此外，在分子结构、化学反应动力学等领域也有着重要的应用。
四、哈密顿算子理论的发展自哈密顿算子理论提出以来，经过多年的发展，已经形成了较为完善的理论体系。
随着科学技术的进步，人们对哈密顿算子理论的研究不断深入，提出了许多新的概念和方法。
例如，在量子力学中，人们通过引入路径积分等方法来研究哈密顿算子的性质和应用；在电磁场理论中，人们利用哈密顿算子研究电磁波的传播和变换等。
五、结论哈密顿算子理论是物理学和数学中一个重要的概念，具有广泛的应用价值。
通过对哈密顿算子的定义、性质、应用及发展的探讨，我们可以更好地理解其在物理系统和数学模型中的作用。
未来，随着科学技术的不断发展，哈密顿算子理论将会有更广泛的应用和更深入的研究。
六、展望随着科学技术的发展和研究的深入，哈密顿算子理论将会在更多领域得到应用。
第九讲 第三章哈密顿算子
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
第13讲哈密顿算子1
既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。 数量场 u
v 矢量场 B
v ∂u ∂u ∂u ( A • ∇ )u = Ax + Ay + Az ∂z ∂x ∂y v v v v v ∂B ∂B ∂B ( A • ∇ ) B = Ax + Az + Ay ∂x ∂y ∂z
1.哈密顿算子
∇ 算子的显著特点在于它的双重性，既是一个
'
散度运算公式 （1）
v v div (cA) = cdiv A v v ∇ • (cA) = c∇ • A
（
c
为常数）
（2）
（2）
v v v v div ( A ± B ) = divA ± divB v v v v ∇ • ( A ± B) = ∇ • A ± ∇ • B
（5）
v v v （3） divuA = udivA + gradu • A（ u 为数性函数） v v v ∇ • uA = u∇ • A + ∇u • A （10）
3.算子运算
∂ v ∂ v ∂ v 算子 ∇ = i + j + k实际上是三个数性微分算 ∂z ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ ， ， 子 的线性组合；数性微分算子服从乘积 ∂x ∂y ∂z
的微分法则。 乘积的微分法则：当算子作用于两个函数的乘积 时，每次只对其中的一个因子作用，而把另外一 个因子看作常数。
2.基本运Leabharlann 公式的算子表示 奥氏公式v v v ∫∫ A • dS = ∫∫∫ divAdV
S Ω
v v v ∫∫ A • dS = ∫∫∫∇ • AdV
S Ω
（27）
斯托克斯公式
∫
l
▽哈密顿算子的各种公式
▽哈密顿算子的各种公式
摘要：
一、引言
二、哈密顿算子的概念与性质
三、哈密顿算子的基本公式
四、哈密顿算子的应用领域
五、总结
正文：
【引言】
哈密顿算子是量子力学中非常重要的一个概念，它不仅能描述粒子的动能，还能描述势能，因此在物理学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍哈密顿算子的各种公式，并探讨其在量子力学中的作用。
【哈密顿算子的概念与性质】
哈密顿算子是一个厄米算子，它有四个基本性质：加法性、齐次性、可积性和正则性。
加法性是指哈密顿算子可以将不同的物理量相加得到一个新的哈密顿算子；齐次性是指哈密顿算子满足哈密顿方程；可积性是指哈密顿算子的本征函数可以构成正交函数系；正则性是指哈密顿算子的本征值是实数。
【哈密顿算子的基本公式】
哈密顿算子的基本公式为：H = T + V，其中T是动能算子，V是势能算子。
在具体问题中，T和V的公式会根据问题的具体情况而变化。
例如，在自由粒子问题中，T = (1/2)m(d/dx)^2，V = 0；在势垒透射问题中，T =
(1/2)m(d/dx)^2，V = V(x)。
【哈密顿算子的应用领域】
哈密顿算子在量子力学中有广泛的应用，例如在粒子在势垒中的透射问题、原子物理中的电子能级问题、分子物理中的分子轨道问题等。
在这些问题中，哈密顿算子是描述物理系统的动力学行为的基本工具。
【总结】
哈密顿算子是量子力学中的重要概念，它不仅可以描述粒子的动能，还可以描述势能。
哈密顿算子加速度矢量
哈密顿算子与加速度矢量一、哈密顿算子的基本性质哈密顿算子是分析力学中的重要工具，具有许多独特的性质。
首先，它是一个二阶微分算子，能够对标量场或矢量场的分量进行微分运算。
在三维空间中，哈密顿算子通常表示为▽=▽x+▽y+▽z，其中▽x、▽y、▽z分别是沿x、y、z轴的微分算子。
哈密顿算子有一些重要的性质，如▽(f+g)=▽f+▽g，▽(fg)=f▽g+g▽f等。
这些性质表明，哈密顿算子可以将标量场或矢量场的运算转化为其分量的一阶微分运算。
此外，哈密顿算子还具有反交换性，即▽ij=▽ji。
二、加速度矢量的物理意义加速度矢量是描述物体运动速度变化快慢和方向的物理量。
它等于物体速度矢量的变化率，即物体位置随时间的变化率。
在三维空间中，加速度矢量由三个分量组成：ax、ay、az，分别表示沿x、y、z轴的加速度。
加速度矢量的物理意义在于描述物体运动状态的改变。
在经典力学中，加速度矢量用于描述牛顿第二定律中的力，即F=ma。
当物体受到外力的作用时，加速度矢量会发生变化，导致物体的运动状态发生改变。
三、哈密顿算子与加速度矢量的关系哈密顿算子与加速度矢量之间存在一定的联系。
在分析力学中，拉格朗日函数L=T-V，其中T为动能函数，V为势能函数。
通过求解拉格朗日方程dL/dx=▽L·▽x=0，我们可以得到物体的运动轨迹。
在这个过程中，▽L的作用是对L中的每一个变数进行变分运算，这实际上与加速度矢量的定义有所关联。
具体来说，当一个物体在空间中运动时，它的速度矢量和位置矢量都是随时间变化的。
通过应用哈密顿算子对位置矢量进行微分运算，可以得到物体速度矢量的变化率，即加速度矢量。
因此，哈密顿算子在某种程度上可以用来描述物体的加速度。
四、结论综上所述，哈密顿算子和加速度矢量都是物理学中非常重要的概念。
哈密顿算子是分析力学中的基本工具，用于描述矢量场或标量场的一阶微分运算；而加速度矢量则是描述物体运动速度变化快慢和方向的物理量。
哈密尔顿算子
哈密尔顿算子哈密尔顿（W.R.Hamilton ）引进了一个向量型微分记号：kzj y i x∂∂+∂∂+∂∂=∇成为哈密尔顿算子，读作Nabla （纳普拉）。
它是一种微分运算符号，同时又可以被看做向量，作用到数量函数u （x ，y ，z ）上，得k zu j y u i x u u k z j y i x u∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)(这就是数量函数的梯度，▽与u 的乘积看作是数量运算。
哈密尔顿算子▽作用到向量函数kz y x R j z y x Q i z y x P M F),,(),,(),,()(++=上，有数量积与向量积两种运算，分别定义为)()()(M F div k zR j y Q i x P k R j Q i P k zj y i x F=∂∂+∂∂+∂∂=++∙∂∂+∂∂+∂∂=∙∇ 和)()()(M F rot R Q P z y x k j i k R j Q i P k zj y i x F=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=++⨯∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇ 注意到▽算子的向量性质，▽·u ，▽F ，▽×u 等记号都是没有意义的，同样，▽（▽u ），▽·（▽·F ）,▽×（▽·F ）也都是没有意义的。
另外，▽算子和一般的向量不同。
例如对一般向量F ，G 及常数λ，有FG G F F G G F F F ⨯-=⨯∙=∙=λλ 可视为向量的交换相乘。
对哈密尔顿算子▽，函数u （x,y,z ）或F （x,y,z ）在▽的左边和▽相乘，表示对函数u 和F 求微分，但在▽的左边和▽相乘，▽对函数没有微分作用，乘积仍为一个微分算子，例如k zu j y u i x u u∂∂+∂∂+∂∂=∇z Ry Q x P F ∂∂+∂∂+∂∂=∇∙kx Q y P j z P x R i y R z Q R Q Pk j iF)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇∙仍然可以作用在数量函数或向量函数上。
哈密顿算子
哈密顿（W.R.Hamiltonian）引进了一个矢性微分算子，称之为哈密顿算子或者▽ 算子。 记号▽ 读作“那勃乐（Nzbla）”，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质，其优点 在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程， 并且推导简明扼要，易于掌握。
=
r i
r j
ur kxFra biblioteky z运算规则 （1）梯度
标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场，该矢量场反应了标量场A的分布。
（2）散度
（2）旋度
拉普拉斯算子
引入新的矢性微分算子：
常用公式
该算子既可以作用在数性函数 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函数B(M) 上，即
注意：
（1） 与 是完全不同的；
（2） 与
是无意义的。
公式汇总
矢量分析与场论：P64
哈密顿算子公式
哈密顿算子公式哈密顿算子，也称为向量微分算子，这可是个在数学和物理学中相当重要的概念呢！咱们先来说说哈密顿算子的公式长啥样。
它通常用符号“▽”来表示，在直角坐标系中，它可以写成：▽ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k 。
这里的i、j、k 分别是 x、y、z 方向上的单位向量，而∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z 则表示对相应变量的偏导数。
这看起来有点复杂，对吧？那我给您举个例子。
比如说，我们有一个函数 f(x,y,z) = x² + y² + z²，那么▽f 就等于 (2x)i + (2y)j + (2z)k 。
这就好像是哈密顿算子给这个函数来了一次“全方位的审视”，得出了它在各个方向上的变化情况。
我记得有一次在课堂上，我给学生们讲解哈密顿算子。
当时有个学生特别可爱，他一脸困惑地问我：“老师，这哈密顿算子到底有啥用啊？感觉好抽象！”我笑着跟他说：“你想想啊，假如你在爬山，你想知道哪个方向坡最陡，哪个方向最平缓，这哈密顿算子就能告诉你！”学生们一听，眼睛都亮了，好像突然对这个抽象的概念有了点感觉。
那哈密顿算子在物理学中的应用就更广泛啦！在电磁学中，电场强度 E 和磁场强度 B 都可以用哈密顿算子来表示和计算。
比如静电场中的高斯定理，可以用▽·E = ρ/ε₀来描述，这里的▽·表示散度运算。
还有在流体力学中，速度场的旋度可以用▽×v 来表示，通过它我们能了解流体的旋转情况。
再比如说，研究电磁波的传播时，麦克斯韦方程组里就有哈密顿算子的身影。
它帮助我们理解电场和磁场如何相互作用、如何传播。
总之，哈密顿算子虽然看起来有点让人头疼，但它可是我们探索自然世界的有力工具。
就像一把神奇的钥匙，能打开很多科学奥秘的大门。
希望通过我的这番讲解，能让您对哈密顿算子公式有更清晰的认识和理解。
要是还有啥疑问，咱们继续探讨！。
哈密顿算子与矢量叉乘
哈密顿算子与矢量叉乘一、哈密顿算子介绍1.1 定义哈密顿算子，又称为拉普拉斯算子或二阶偏微分算子，是数学中常用的一个算子。
在三维空间中，哈密顿算子可以表示为▽² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²。
其中，▽²表示哈密顿算子，∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z分别表示对x、y、z的偏导数。
1.2 物理意义哈密顿算子在物理学中具有重要的意义。
在量子力学中，哈密顿算子可以描述粒子的能量，由此可以求解物理系统的能量本征值和能量本征态。
在经典力学中，哈密顿算子描述了粒子的动能与势能之间的变化关系。
二、矢量叉乘介绍2.1 定义矢量叉乘，也称为向量叉积或外积，是向量运算中的一种。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为 a x b = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ -a₂b₁)k。
其中，i、j、k分别表示x、y、z轴方向上的单位矢量。
2.2 几何意义矢量叉乘在几何学中有重要的几何意义。
两个向量的叉乘结果是一个新的向量，它与原来的两个向量都垂直。
这个新向量的模长等于原来两个向量构成的平行四边形的面积，方向则由右手法则决定。
三、哈密顿算子与矢量叉乘的关系3.1 矢量算子与哈密顿算子在三维空间中，矢量运算与哈密顿算子之间存在一定的关系。
通过一个标量函数和一个矢量函数的叉乘可以得到一个新的矢量函数。
这个新的矢量函数可以表示为∇ x F = (∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z)i + (∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x)j + (∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y)k。
其中，∇表示哈密顿算子，F为一个矢量函数。
3.2 叉乘与旋度矢量叉乘与旋度之间有密切的联系。
在矢量分析中，旋度可以用哈密顿算子和叉乘来表示，即∇ x F = (∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z)i + (∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x)j + (∂F₂/∂x -∂F₁/∂y)k。
哈密顿算子课件
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
ex
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
A
x
ex
y
ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex ey ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey
Ay x
Ax y
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
ex
u y
ey
u z
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2. 算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
结果：
(1). R R
R
R R R
哈密顿算子
应当注意这里 A 与 A 是完全不同的。 现在我们把用 表示的一些常见公式列 在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数， A，B为矢性函数。
(1) (cu) c u
（c为常数）， (2) （cA ）= c A （c为常数），
(3) （cA ）= c A （c为常数），
S
9
第一章 矢量分析
例1 证明
(uv) u v v u.
证
(uv) i j k uv y z x (uv) (uv) (uv) i j k x y z v u v u (u v )i (u v ) j x x y y v u (u v )k z z
哈密顿算子
哈密顿引进了一个矢性微分算子：
i j k x y z
称为哈密顿算子或 算子。 算子本身并无意义，而是一种微分运算符 号，同时又被看作是矢量。
2015-7-4
1
第一章 矢量分析
其运算规则如下：
u u u u i j k u i j k y z x y z x grad u,
Ay Az Ax Az Az Ay ( )i ( )j ( )k y z z x x y rot A,
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋 度都可用 表示。
2015-7-4 3
第一章 矢量分析
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进 如下的一个数性微分算子 A ( Ax i Ay j Az k ) i j k y z x
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第一章 矢量分析
(25) [ f (r )r ] 0, (26) ( r r ) 0 ( r 0),
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2 A
2 x2
2 y 2
2 z 2
Axex Ayey Azez
2 Ax x2
2 Ax y 2
2 Ax z 2
ex
2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
ey
2 Az x2
2 Az y 2
2 Az z 2
ez
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
ex
y ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex
ey
ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
y
ey
z
ez
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
gradu u
u
x
ex
y
ey
z
x ey
Ay x
Ax y
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
5.拉普拉斯算子
x
ex
y
ey
z
ez
x
ex
y
ey
z
ez
2 x2
2 y 2
2 z 2
2
2u
2 x 2
2 y 2
2 z 2
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
哈密顿算子—矢量微分算子
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(2) 因为
1 R
1 R2
R
1 R2
R R
R R3
1 R
1 R2
R
1 R2
R R
R R3
1 R
本节要点
1. 哈密顿算子与不同物理量的作用关系； 2. 拉普拉斯算子与不同物理量的作用关系；
特别提示：在不同坐标系中 u 、 A 、 A 的计算公式也不同。
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2. 算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
证明：(1) 因为
R
R x
ex
R y
ey
R z
ez
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理:
R y
(
y
y) R
R (z z)
z
R
R
(
x
R
x)
ex
( y y) R ey
(z z) R ez
R R
R
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
R
(x
x) R
ex
(y
y) R
ey
(z
z) R
ez
R R
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
2. 算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
直角坐标系中
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
柱坐标系中
u
球坐标系中
u
u r
er
1 r
u
e
1
r sin
u
e
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2. 算子 在不同的坐标系中有不同的表达式； 3. 设 a、b 为任意常数，函数 u1 、u2 、u 为任意标量
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(1) 因为
R R R R x ex y ey z ez
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理:
R ( y y) y R
R (z z) z R
场，则 (au1 bu2 ) au1 bu2
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
ex
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
A
x