高中数学新定义题

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新定义题

第I 卷（选择题)

一、单选题

1．定义一种新运算：⎩⎨

⎧<≥=⊗)

(,)(,b a b b a a b a ，已知函数x x x f 22

)(⊗=，若函数

k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）

A ．（0,1）

B ．]2,1(

C ．),2[+∞

D ．),2(+∞

【解析】试题分析：由题可知，x

x x f 22)(⊗=⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧><<<=)

1(2)10(2)

0(2x x x

x x x ，画出图像如图，当函

数k x f x g -=)()(恰有两个零点，即函数k x f =)(有两个交点时，实数k 的取值范围为),2(+∞；

2．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数

(),()(),()K f x f x K f x K f x K

≤⎧=⎨>⎩，取函数||

()2x f x -=，当12K =时，函数()K f x 的单调

递增区间为（ ）

A ．(,0)-∞

B ．(0,)+∞

C ．(,1)-∞-

D ．(1,)+∞ 【解析】试题分析：依题意可知，当||

()2

x f x -=，12

K =

时 ||||||

||1(),1122,22,||12()2,1111,||1,21

2,112

22

x

x x x x K x x x f x x x x ----⎧≥⎧⎪⎧≤≥⎪⎪⎪⎪

⎪===≤-⎨⎨⎨<⎪⎪⎪>⎩⎪⎪-<<⎩⎪⎩

根据指数函数的图象与性质可知，函数()K f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，故选C.

试卷第2页，总18页

考点：1.函数的新定义问题；2.分段函数；3.函数的单调性；4.指数函数的图象与性质. 3．设函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数； ②存在

[],a b D ⊆ ()b a >,使得()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么就称()y f x =是定义

域为D 的“成功函数”.若函数()()

2log (0,1)x a g x a t a a =+>≠是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为 ( ) A ．1,

4⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦

【解析】试题分析：无论01a <<，还是1a >，都有()g x 是增函数， 故()g a a =，

()g b b =，所以方程()g x x =有两个根，即2x x a a t =+有两个根，设x m a =，则直

线y t =与函数2

(0)y m m m =-+>有两个交点，

画出这两个图象可以看出t 的取值范围是10,4⎛

⎫ ⎪⎝⎭

，显然此时函数定义域为R . 4．定义：对于一个定义域为D 的函数f (x )，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和

y =kx +m 2，使得x ∈D 时，恒有kx +m 1

①f (x )=x 2(x ≥0)；②f (x )=√4−x 2；

③f (x )={e x −1,x ≤01−e −x ,x >0

；④f (x )=2x (|x|≥4). 其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．②③④

【答案】D 【解析】②③可由作图所得，④作图可知有一个宽度为1的通道，由定义可知比1大的通道都存在.

5．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)

()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13

++-=x x y ；

②)cos sin (23x x x y --=；③1+=x

e y ；④()ln ||0

00x x f x x ≠⎧=⎨

=⎩

，其中“H 函

数”的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 【解析】试题分析：：∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)

()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>恒成立，

∴不等式等价为()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，即函数f （x ）是定义在R 上的

增函数．

①13

++-=x x y ；'

2

31y x =-+，则函数在定义域上不单调．②

)cos sin (23x x x y --=；y'=3-2（cosx+sinx ）（x+

4

π

）＞0，函数单调递增，满足条件．③1+=x

e y 为增函数，满足条件． ④()ln ||0

0x x f x x ≠⎧=⎨

=⎩，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，

6．设函数f(x)的定义域为R,若存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立，则称f(x)为“倍约束函数”，现给出下列函数：①f(x)=2x ：②f(x)=x 2+1：③f(x)=sinx +cosx ；④f(x)=

x x 2−x+3

⑤f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且

对一切x 1,x 2均有|f(x 1)−f(x 2)|≤|x 1−x 2|,其中是“倍约束函数”的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【解析】试题分析：解：①对于函数f(x)=2x ，存在M=2，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立，所以该函数是“倍约束函数”；

②对于函数f(x)=x 2+1，当x =0时，f(x)=1，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立，所以该函数不是“倍约束函数”；

③对于函数f(x)=sinx +cosx ，当x =0时，f(x)=1，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立，所以该函数不是“倍约束函数”； ④对于函数f(x)=x x 2−x+3

，因为当x =0时，f(x)=0；

当x ≠0时，∵

|f(x)||x|

=|1

x 2−x+3|=

1

|(x−12)2+11

4

|

≤411，所以存在常数M =4

11，使|f(x)|≤M|x|

对 一切实数x 均成 立, 所以该函数是“倍约束函数”；

⑤由题设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，f(0)=0，所以在|f(x 1)−f(x 2)|≤|x 1−x 2|中令x 1=x ∈R,x 2=0，于是有|f(x)|≤|x|，即存在常数M =1，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立, 所以该函数是“倍约束函数”； 综上可知“倍约束函数”的有①④⑤共三个，所以应选C ． 考点：1、新定义；2、赋值法；3、基本初等函数的性质．