江苏省淮阴区2020届高三数学第二学期期初模拟训练七
2020年淮安市高三数学下期末一模试题(附答案)
本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
∵函数f（x）=xlnx只有一个零点，∴可以排除CD答案
又∵当x∈（0，1）时，lnx＜0，∴f（x）=xlnx＜0，其图象在x轴下方
∴可以排除B答案
考点：函数图像．
7．C
解析：C
【解析】
解析：2
【解析】
【分析】
利用已知条件求出公比 ，再求出 后可得结论．
【详解】
设等比数列 公比为 ，则 ，又数列 是递增的，∴ ，
∴ ， ， ， ．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和前 项和公式，属于基础题．
15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A点坐标为因
【详解】
∵ ．
∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA
即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC
∴sinC＝4cosAsinC
∵0＜C＜π，sinC≠0．
∴1＝4cosA，即cosA ，
那么 ．
故选C
【点睛】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
（2）若 ， ，求 ．
22．在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的值．
23．已知平面直角坐标系 .以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 点的极坐标为 ，曲线 的极坐标方程为
江苏省淮阴区2020届高三数学第二学期期初模拟训练七(word版,有答案)
淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练七数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1.已知集合}1,1,0{-=A ，}01|{2≥-=x x B ，则B A ⋂= ▲ .2.已知复数z 满足i i z 23-=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是 ▲ .3.已知角510°的终边经过点),3(a P -，则实数a 的值是 ▲ .4.如下图所示的流程图，输出n 的值是 ▲ .5.已知函数)sin 3()(x a x x f +=为偶函数，则实数a 的值是 ▲ .6.现有5根铁丝，长度（单位：cm ）分别为2.1，2.2，2.4，2.5，2.7，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是 ▲ ．7.已知单位向量b a ,的夹角为120°，则|2|b a -的值是 ▲ ．8.如图，已知正三棱柱111C B A ABC -中，AB =3，41=AA ，若点P 从点A 出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱11B A 运动到点C 1，则点P 运动的最短路程为 ▲ .9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足6224=-a a ，则11S 的值= ▲ ． 10.已知函数())0(1>-=a x ax f ，3)1()(-=x x g ，若()x f 与()x g 的图像交于A 、B 两个不同的点，点P 在圆C ：1)1(22=-+y x的取值范围是 ▲ .11.如图，由一个正方形ABCD 与正三角形BDE （点E 在BD 下方）组成一个“风筝骨架”，O 为正方形ABCD 的中心，点P 是“风筝骨架”上一点，设n m +=),(R n m ∈，则n m +的最大值是 ▲ .A 1B 1C 1ABC第8题第11题12.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，满足2=BFAF，则椭圆C 离心率的最小值是 ▲ . 13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤≤-+-=ax t x t x x x f ,1|1|21),1(log )(21，若存在实数t ，使()x f 的值域为]1,1[-，则实数a 的取值范围是 ▲ . 14.对任意R x ∈，不等式()()322244≤+++--x xxx b a 恒成立，则b a +的最大值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知32cos =A ，CB cos 5sin =. （1）求C tan 的值； （2）若2=a ，求ABC ∆的面积.16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC ． （1）求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2）点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BFBE的值．17．（本小题满分14分）某工厂C 发生爆炸出现毒气泄漏，已知毒气以圆形向外扩散，且半径以每分钟km 1的速度增大. 一所学校A ，位于工厂C 南偏西ο45，且与工厂相距km 5. 消防站B 位于学校A 的正东方向，且位于工厂C 南偏东ο60，立即以每分钟km 2的速度沿直线BC 赶往工厂C 救援，同时学校组织学生P 从A 处沿着南偏东ο75的道路，以每分钟a km 的速度进行安全疏散（与爆炸的时间差忽略不计）. 要想在消防员赶往工厂的时间内（包括消防员到达工厂的时刻），保证学生的安全，学生撤离的速度应满足什么要求？18．（本小题满分16分）如图所示，已知椭圆：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右准线方程是直线4:=x l ，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B （点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方）. （1）求椭圆的标准方程；（2）①求证：分别以PA 、PB 为直径的两圆都恒过定点C ；②若21=，求直线PC 的方程.A C BP x19．（本小题满分16分）设函数x a x x f ln 2)(2+=，（R a ∈）.（1）若曲线y=f （x ）在点（1，f (1)）处的切线方程为y =2x +m ，求实数a 、m 的值； （2）关于x 的方程f （x ）+2cosx =5能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若f （2x -1）+2>2f （x ）对任意),2[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分16分）若无穷数列}{n a 满足：0>n a ，且对任意n l k s <<<，l k n s +≥+（*∈N n l k s ,,,）都有l k n s a a a a +≥+，则称数列}{n a 为“T ”数列. （1）证明：正项无穷等差数列}{n a 是“T ”数列；（2）记正项等比数列}{n b 的前n 项之和为n S ，若数列}{n S 是“T ”数列，求数列}{n b 公比的取值范围；（3）若数列}{n c 是“T ”数列，且数列}{n c 的前n 项之和n T 满足21nn c c n T +≥， 求证：数列}{n c 是等差数列.淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练七 数 学（附加卷）注：本卷共三大题计4小题，共计40分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤．21A ．(本小题满分10分)已知直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，若直线过点（1,1），求实数a 的值．21B ．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t 是参数）， 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，且直线与圆C 相切，求实数m 的值．22.(本小题满分10分)某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．23.(本小题满分10分)随着城市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有个新农村集结区按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上，如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路，两条道路的交汇处安装红绿灯（集结区除外），在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个数为. （1）求；（2）求，并用数学归纳法证明.淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练七数学参考答案一、填空题1.{1,-1}2.i 32+-3.14.45.06.1037．7 8.31 9．66 10. [].222,222+- 11.3 12.31 13.]2,21( 14.4333-二、解答题15．解：（1）由32cos =A ，1cos sin 22=+A A 且),0(π∈A 得35sin =AO因为A+B+C=π，所以)sin(sin C A B += 又因为C B cos 5sin = 所以C C C C A cos 5sin 32cos 35)sin(=+=+ 得C C cos 352sin 32= 若0cos =C ，则1sin =C 不符合上式，所以0cos ≠C所以5tan =C（2）由5tan =C ，1cos sin 22=+C C 且),0(π∈C得630sin =C ，66cos =C C B cos 5sin =630= 由Bb A a sin sin =得3=b 25sin 21==∴∆C ab S ABC16．证明：（1）矩形ABCD 中AB ⊥BC ，平面ABCD ⊥平面BCE ， 平面ABCD ∩平面BCE = BC ，AB ⊂平面ABCD ∴AB ⊥平面BCE 又CE ⊂平面BCE ∴AB ⊥CE而BE ⊥EC 且AB ∩BE = B ，AB ，BE ⊂ 平面ABE ∴ CE ⊥平面ABE ，由CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABE （2）连接BD ，设BD ∩AC = O ，连接OF ， 矩形ABCD 中，O 是BD 中点若DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面DBE ，平面DBE ∩平面AFC = OF ∴OF ∥DE在△BDE 中，∵OF ∥DE ，O 是BD 中点，∴F 是BE 中点 ∴BEBF= 2 17. BC=25因为安全撤离，所以t PC >在]5,0[∈t 上恒成立CAP AP AC AP AC PC ∠⋅-+=cos 2222222525t at t a >-+=在]5,0[∈t 上恒成立所以0255)1()(22>+--=at t a t f1°a=1时，0255)(>+-=t t f 在]5,0[∈t 上恒成立，所以a=1符合题意2°0<a<1时，)(t f 的最小值只可能在端点处取得，所以只要0)0(>f 且0)5(>f ，解得10><a a 或，舍去3°a>1时（1）当5)1(252≥-a a即41711+<<a 时，)(t f 的最小值为0)5(>f ，得10><a a 或，所以41711+<<a （2）当5)1(252<-a a即4171+>a 时，0<∆得332>a ， 因为3324171>+所以4171+>a 综上，1≥a 即学生撤离的速度至少要是每分钟1km18. （1）13422=+y x （2）①设切点A ),(00y x ，则可证切线AP ：13400=+yy x x 所以点P ))1(3,4(00y x - 以AP 为直径的圆：0))1(3)(()4)((0000=---+--y x y y y x x x 由对称性可知定点在x 轴上，令y=0得03)4(002=+++-x x x x ，所以过定点C （1,0）同理，以BP 为直径的圆过定点C （1,0） ②设A ),(11y x ，B ),(22y x ，C （1,0） 因为21=，所以⎩⎨⎧-=-=1212223y y x x 又因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x yx ，所以A )853,47( P )556,4(-， 所以直线PC 的方程为552552+-=x y 19.（1）0,2=-=m a（2）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令g(x)= f （x ）+2cosx如果g （x ）=5有三个不同的实根，则g （x ）至少要有三个单调区间，则0)(='x g 至少两个不等实根，所以只要证明0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根x x a x x g sin 24)(-+='，2cos 24)(xax x g --=''， 1°当a<0时，0,0cos 242>->-x ax ，∴0)(>''x g ，∴)(x g '在),0(+∞单调递增，∴0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根；2°当a ≥0时，0cos 24)sin 24(>-='-x x x ，∴x x y sin 24-=在),0(+∞单调递增， ∴x x y sin 24-=>0，又因为a ≥0时0≥x a ，∴0sin 24)(>-+='x xax x g ， ∴0)(='x g 在),0(+∞没有实根综合1°2°可知，0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根，所以得证（3）∵f （2x-1）+2>2f （x ）对任意),2[+∞∈x 恒成立，且x a x x f ln 2)(2+=， ∴x a x a x x ln 2)12ln(4842>-++-对任意),2[+∞∈x 恒成立， ∴)12ln()12(4ln 422--->-x a x x a x 对任意),2[+∞∈x 恒成立， 令t a t t h ln 4)(-=，则)12()(2->x h x h 对任意),2[+∞∈x 恒成立，∵),2[+∞∈x 时122->x x ，且)12()(2->x h x h ，),3[12),4[2+∞∈-+∞∈x x ，∴t a t t h ln 4)(-=在),3[+∞∈t 单调递增∴04)(≥-='tat h 在),3[+∞∈t 恒成立， ∴12≤a20.（1）证明：l k n s a a a a --+=d l k n s )(--+因为正项无穷等差数列}{n a ，所以d>0，且l k n s +≥+，所以l k n s a a a a +≥+ 所以正项无穷等差数列}{n a 是“T ”数列（2）1°q=1时l k n s S S S S --+0)(1≥--+=a l k n s 成立，所以q=1； 2°q>1时l k n s S S S S --+)(11s n l k q q q q q a --+-=)1(11--+-=---s n s l s k s q q q q qa因为l k n s +≥+，所以s l k n -+≥，又因为q>1，所以s l s k s l k sn q q q q ---+-⋅=≥2所以1--+---s n s l sk q q q1-⋅-+≤----s l s k s l s k q q q q )1)(1(s l s k q q ----=<0所以l k n s S S S S --+)1(11--+-=---s n s l sk s q q q q qa >0，所以q>1 3°0<q<1时l k n s S S S S --+)(11s n l k q q q q qa --+-=)1(11--+-=---n s n l n k n q q q q q a)1111(11-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---sn ln kn n q q q q q a因为l k n s +≥+，所以s l k n -+≥，又因为0<q<1，所以sl sk sn q q q ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛111所以1111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---sn ln kn q q q sl sk ls ks q q q q ----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11111]11][11[-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--sl sk q q <0所以l k n s S S S S --+)1111(11ln kn sn n q q q q q a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=<0舍去综上：q ≥1（3）n n c c c T +++=Λ2111c c c T n n n +++=-Λ所以)()()(21121c c c c c c T n n n n ++++++=-Λ数列}{n c 是“T ”数列，所以n n c c c c +≤+-112，n n c c c c +≤+-123，…，n n c c c c +≤+11 所以)(21n n c c n T +≤，所以21nn c c n T +≤又因为21n n c c n T +≥，所以21nn c c n T +=，即)(21n n c c n T += 两次退位相减，可证数列}{n c 是等差数列21A.设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． 将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1．21B.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即圆C 的方程为()2224x y -+=，又由,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消t，得0x m -=，由直线l 与圆C 相切， 所以222m -=，即2m =-或6m =22.（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A ，则41)(2413==A A A P ，故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率14． （2）随机变量X 的所有取值为0,10,20,30,40．1(0)4P X ==，12241(10)6P P X P ===,22324411(20)6P P X P P ==+=，1222341(30)6C P P X P ===，33441(40)4P P X P ===所以，随机变量X 的分布列为:111110102030402046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．23.解：（1）5)5(,1)4(==P P（2）证明：①1)4(,444===C P n ，命题成立；假设)4(≥=k k n 时，4)(k C k P =则1+=k n 时，1321,,...,,,+k k A A A A A 按逆时针方向排列，依次连结k k k k A A A A A A 12111,......,,+++可增加k 条道路，则 11A A k +与凸四边形内部的道路交点为0；21A A k +与凸四边形内部的道路交点为)2(1-⋅k ； 31A A k +与凸四边形内部的道路交点为)3(2-k ；依次类推11-+k k A A 与凸四边形内部的道路交点为1)2(⋅-k ；则41334212322423)...(22)2)(1()]1)(2(...3221[)2(...32)1(+-=-+=+++---+=--++⨯+⨯--++++=+k k k k k k C C C C C C C k k k C k k k k k k k k P。
2020届淮阴区高三第二学期期初模拟训练(含答案)
淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练二数 学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．已知集合，，=⋂B A ________．2．________． 3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______.4.根据如图所示的伪代码，输出的的值为______.5．若c b a ,,满足23a =，2log 5b =，32c =，则c b a ,,从小到大的顺序为______. 6.将A ，B ，C 三个小球放入甲、乙两个盒子中，则A,B 放入同一个盒子中的概率为 .7. 如下图，在正三棱锥A BCD -中，AB BC =，E 为棱AD 的中点，若BCE ∆的面积为2，则三棱锥A BCD -的体积为______.{}2|650A x x x =-+≤{}|3B x y x ==-34i 34i12i 12i+--=-+a8. 已知函数的部分图像如上图，且，则的值为. 9.已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为 圆上一点，则的最小值为 .10.已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.11．若函数()y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[],A B 为()y f x =的“友情点对”，点对[],A B 与[],B A 可看作同一个“友情点对”，若函数()322,069,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为_______.12.在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点，且满足2AB AC CA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则tan tan A B +的最小值为 .13．若函数()ln f x x x a x =--在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为 .14.已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足n n n a a S 242+=，*N n ∈，()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><(,1),(,1)2A B ππ-ϕ2F 22:193x y C -=A B 22:(2)1E x y ++=2||||AB AF +2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈x R ∈x 2(+1)()f x f a <a设1)1(+⋅-=n n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和，则=n T 2______.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（本小题满分14分）的内角所对的边分别为，已知． （1）求的大小；（2）若，，且的面积为，求．16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，已知AB AC =，11A AC A AB ∠=∠，D 为棱BC 的中点，且平面11A C D 与棱柱的下底面ABC 交于DE . (1)求证：DE ．平面111A B C . (2)求证：1BC AA ⊥.ABC △,,A B C ,,a bc 22()sin a c b C +=+B 8b =a c >ABC△aAOBPQMN17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演 一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且 t 分钟时，2r at 百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车 S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度 开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(1． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点． 19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值 范围；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练二数 学二、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．已知集合，，=⋂B A ________． 【答案】2．________． 【答案】3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 【答案】404.根据如图所示的伪代码，输出的的值为______. 【答案】115．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则a ，b ，c 从小到大的顺序为______. 【答案】c a b <<6.将A ，B ，C 三个小球放入甲、乙两个盒子中，则A,B 放入同一个盒子中的概率为 .【答案】219. 如图，在正三棱锥A BCD -中，AB BC =，E 为棱AD 的中点，若BCE ∆的面积为2，则三棱锥A BCD -的体积为______.{}2|650A x x x =-+≤{}|3B x y x ==-[]3,534i 34i12i 12i+--=-+4i a【答案】322 10. 已知函数的部分图像如右图，且，则的值为 . 【答案】9.已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为 圆上一点，则的最小值为 . 【答案】910.已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.【答案】11．若函数()y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[],A B ()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><(,1),(,1)2A B ππ-ϕ56π-2F 22:193x y C -=A B 22:(2)1E x y ++=2||||AB AF +2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈x R ∈x 2(+1)()f x f a <a 1a <为()y f x =的“友情点对”，点对[],A B 与[],B A 可看作同一个“友情点对”，若函数()322,069,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为_______. 【答案】212.在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点，且满足2AB AC CA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则tan tan A B +的最小值为 .【答案】213．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为 .【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭14.已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足n n n a a S 242+=，*N n ∈，设1)1(+⋅-=n n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和，则=n T 2______. 【答案】)1(8+n n二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（本小题满分14分）的内角所对的边分别为，已知． （3）求的大小；（4）若，，且的面积为，求．ABC △,,A B C ,,a bc 22()sin a c b C +=+B 8b =a c >ABC△a【解析】（1）由，得， 所以，即， 所以有，因为，所以，所以，，所以， 又，所以，所以，即．（2）因为，所以，又，所以，把代入到中，得．16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，已知AB AC =，11A AC A AB ∠=∠，D 为棱BC 的中点，且平面11A C D 与棱柱的下底面ABC 交于DE . （1）求证：DE ∥平面111A B C .（2）求证：1BC AA ⊥.()22sin a c b C +=+2222sin a c ac b C ++=+2222sin a c b ac C +-+=()2cos 1sin ac B C +=()sin cos 1sin C B B C +=(0,π)C ∈sin 0C >cos 1B B +=cos 2sin 16πB B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭1sin 2π6B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πB <<ππ5π666B -<-<6ππ6B -=π3B =11sin 22ac B ac ==12ac =22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-=2()3664a c +-=10a c +=10c a =-12()ac a c =>5a =+17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演 一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且AOBPQMN （第17题）t 分钟时，2r at =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车 S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．【解析】（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 03361010x +=，解得03x =，所以()3 3Q ，． 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB --+= 答：水上旅游线AB 的长为2．（2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立， 即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝3 2时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上． 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． 18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其离．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．【解析】（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=，由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，，()22002200488488y y y y --=+=++． ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()020200208822828PB y y k y y y +==----+， 由MQ PB ⊥得，02MQ yk =，则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ①－②得. 即：．因此：， 故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k +=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． （3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数．由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2，检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数；当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列是整数列. 综上所述，的取值集合是{}12，. 20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．【解析】（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． （2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g(x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g’(x )＝ln x ＋1,令g’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析{}n a kg (x )min ＝g (e )＝－e －a ，而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2ef -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)， f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． （3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立．证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． 又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)，所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)．即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1．补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ． 补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1012,0202A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （1）求2B ；（2）求12A B -．解：（1）因为1202B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2121216=020204B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）因为1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，=20A ≠，所以110102A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. 所以12101616==1040202A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2． 以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为212(2x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）设l 与圆C 的交点为,A B ， l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +． 解：（1）设P ρθ（，）为圆C 上任意一点，则 圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2，得圆C 过极点，所以，cos 3OP OA πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以圆C 的极坐标方程为=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）由（1）得=4cos =2cos 23sin 3πρθθθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即2=2cos 23sin ρρθρθ+，根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，得22223x y x y +=+，即222230x y x y +--=．（*）xACPO设1122(1,),(1,)2222A B ++,将直线l 的参数方程代入（*），整理得210t --=12121t t t t +==-所以，12=PA PB t t +-===【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知0()sin +4x f x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，记()1()'()*n n f x f x n N -=∈．（1）123(),(),()f x f x f x ；（2）求40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ．解： 由20()sin +4x f x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭得()10()'(2cos x f x f x x =.同理，()2()2cos 2sin 2x f x x x =-，()3()4sin 2xf x e x =-（2）由（1）得，当()4n k k N =∈时，()()4()4sin cos 2kxk f x e x x =-⨯+，当()4+1n k k N =∈时，()()41()42cos 2kxk f x e x +=-⨯；当()4+2n k k N =∈时，()()4+2()42cos 2sin k xk f x x x =--， 当()4+3n k k N =∈时，()()43()44sin k x k f x e x +=--. 所以，()[]()4414243()()()()=45cos 5sin 45cos 4kk x x k k k k f x f x f x f x x x e x π+++⎛⎫+++--=-⨯+ ⎪⎝⎭所以，40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ()1=54cos 4n k x k e x π-=⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭∑()=14cos 4n x e x π⎛⎫⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭．23．（本小题满分10分）已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ．（1）求S 2，S 4的值；（2）若T n ＝7n ＋1112，试比较2nS 与T n 的大小，并给出证明．解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝2512．（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7×2＋1112＝2512，所以，2nS ＝T n ． 当n ＝3时，T 3＝7×3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞83＝T 3． 于是，猜想，当n ≥3时，2nS ＞T n ．下面用数学归纳法证明： ①当n =3时，结论成立；②假设n ＝k (k ≥3)时结论成立，即2kS ＞T k ；当n ＝k ＋1时，12k S +＝2kS ＋12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 ＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1＋1＋12k ＋2k －1＋2＋…＋12k ＋1）＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1×2k －1＋12k ＋1×2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112，当n ＝k ＋1时，2nS ＞T n ．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ． 综上，当n ＝1，2时，2n S =T n ；当n ≥3时，2nS ＞T n ．。
江苏省淮安市淮阴区2020届高三第二学期模拟数学试卷(pdf版,有解析)
5
18.
如图，椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 (a b 0) 的离心率是
3 2
，左右焦点分别为
F1
，
F2
，过点
P
0,
1 2
的动
直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点，当直线 l 过 F1 时， F2 AB 的周长为 8 .
2bc
6
由余弦定理知 cos B a2 c2 b2 3 .
2ac
25
从而 sin B 1 cos 2 B 11 （也可由正弦定理求 sin B ） 25
所以 sin( A B) sin A cos B cos Asin B 2 55 15
16．如图，在四棱锥 S ABCD 中，已知 SA SB ，四边形 ABCD 是平行四边形，且平面 SAB 平面 ABCD ， 点 M ， N 分别是 SC ， AB 的中点.
17．如图，三个校区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ 上找一处开 挖工作坑 P（不与点 O，Q 重合），为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，PB，已知 OA＝2 千米，∠AOB＝ ，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为 y 千米。 （1）将 y 表示成θ的函数，并写出θ的范围； （2）请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小。
10
二、填空题
1. 4
6． 0, 2
9
11．
4
淮阴区 2020 届高三第二学期模拟 数学
2． 棰
1
7．
3 12． 2021
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)
直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________． 答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B
2020届江苏省淮安市淮阴区高三下学期期初模拟训练数学试题(解析版)
2020届江苏省淮安市淮阴区高三下学期期初模拟训练数学试题一、填空题1．设集合{}21x x -≤≤，2{1}B y y x ==-，则A B =I _________. 【答案】{}21x x -≤≤【解析】先求解出集合B 的范围，再由交集的计算求解A B I 即可. 【详解】由题意，因为211x -≤，所以集合{1}B y y =≤， 所以{}21x A B x A =-=≤≤I . 故答案为：{}21x x -≤≤ 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于简单题. 2．已知复数，其中i 是虚数单位，则的值是_____________．【答案】【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】复数z=（1+i ）（1+3i ）=1﹣3+4i=﹣2+4i ， ∴|z|==．故答案为：．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 3．函数()2()ln 4f x x =-的定义域为________.【答案】(－2，2)【解析】根据对数真数大于零，解一元二次不等式求得函数的定义域. 【详解】由于对数的真数要大于零，故240x ->，解得()2,2x ∈-，即函数的定义域为()2,2-. 【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.考查函数的定义域往往通过以下几个方面来考虑：一个是对数的真数大于零，一个是分母不能为零，一个是偶次方根被开方数要为非负数，一个是零次方的底数不能为零.定义域要写成集合或者区间的形式.4．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200车的时速，所得数据均在区间[]40,60内的汽车有______辆.辆汽车中，时速在区间[)【答案】80⨯+⨯=【解析】试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.【考点】频率分布直方图5．如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.详解：程序执行如下2018T <Ti15Y 5 10Y 5015Y750 20Y 1500025N输出故2018T <不成立时，25i =. 故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键6．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________． 【答案】310【解析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案． 【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有25C =10种选法； 其中选出的2名都是女同学的有23C =3种选法， ∴2名都是女同学的概率为310． 故答案为：310． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p 的值为_____________． 【答案】2【解析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p值．【详解】∵中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（，0），∴，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．8．在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.【答案】【解析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积．【详解】∵在正四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA=2，高SO=2，∴底面中心到顶点的距离AO==2因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB2=16该棱锥的体积为V=S ABCD•SO=×16×2=．故答案为．【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题．9．等比数列{}n a的各项均为正数，其前n项和为n S，已知23 4S=，415 4S=，则6a＝_______．【答案】8【解析】利用基本元的思想，将两个已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组求得1,a q 的值，进而求得6a 的值. 【详解】由于数列为等比数列，故()()2141131411514a q qa q q ⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得11,24a q ==，故55611284a a q ==⨯=.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量1,a d 、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.解题过程中主要利用除法进行消元，要注意解题题意公比为正数这一条件.10．函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为_______． 【答案】8【解析】试题分析：由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A （-2，-1），可得2m+n=1，所以()1111223322n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2{21n mm n m n =+=，即22{221m n -==-时，等号成立，所以11m n+的最小值为322+【考点】本题考查基本不等式求最值点评：解决本题的关键是求出A 点坐标，注意利用基本不等式的条件 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线(a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P 处的切线与直线垂直，则2a ＋3b 的值是_______．【答案】﹣8【解析】由曲线y=ax 2+（a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x ﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，解方程可得答案． 【详解】∵直线2x ﹣7y+3=0的斜率k=， ∴切线的斜率为﹣，曲线y=ax 2+（a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x ﹣7y+3=0垂直， ∴y′=2ax ﹣，∴，解得：a=﹣1，b=﹣2， 故2a ＋3b =﹣8， 故答案为：﹣8 【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，是解答的关键． 12．已知1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 【答案】78-【解析】因为22cos 2cos 212sin 336πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再代入求解.. 【详解】 ∵已知1sin 64πα⎛⎫-=⎪⎝⎭ 所以2217cos 2cos 212sin 12336168πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=---=-+⨯=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：78-. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==.若点M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅u u u u v u u u u v的最小值为_______.【答案】214【解析】如图所示，以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，求出A ，D ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出． 【详解】 如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴， 过点D 作DP x ⊥轴，过点D 作DQ y ⊥轴，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，23CB CD ==∴()00B ，，()20A ，，(0,23C ，(3D ， 设()0,M a ，则()2,AM a =-u u u u r，( 3,3DM a =-u u u u r ， 故(232121 63244AM DM a a a ⎛=+-=-+≥ ⎝⎭⋅u u u u r u u u u r ，故答案为214． 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题． 14．已知函数()()212f x x mx x R =++∈，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______．【答案】()01，【解析】若0m ≥，则()212f x x mx =++在[]0,2上递增，()212f x x mx =++有最小值12，不合题意， 0m ∴<，要使()f x 在[]0,2的最大值为12，如果22m-≥，即4m ≤-，则()91222f m =+≤，得522m -≤≤-矛盾，不合题意；如果22m-<，则2915222{?{?22112242m m m m m +≤-≤≤-⇒⇒=-≥--≤， 2m ∴=-， ()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有四个零点，则()y f x =与2y ax =有四个交点，只有2y ax =开口向上，即0a >，当2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根， 0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有三个不同的零点，要使函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点， 2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的开口要比2y x =的开口大，可得1a <， 01a ∴<<，即实数a 的取值范围为()0,1，故答案为()0,1.二、解答题15．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=.（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由线面平行的性质得出//EF AB ，可以判断点F 为AC 的中点，从而求出λ的值；（2）由AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，得到BC AE ⊥，BC DE ⊥，由面面垂直的判断定理即可证明平面BCD ⊥平面AED . 【详解】（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC I 平面=ABD AB ， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AFAC λ=，得1=2λ； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又=AE DE E ⋂，AE ⊂平面AED ，DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED . 【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题.16．已知O 为坐标原点，()cos ,1OA x =u u u v，()2cos 3sin2OB x x =u u u v ，R x ∈，若()f x OA OB =⋅u u u v u u u v .⑴ 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）2 【解析】（1）由题意得到()2216f x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可得函数的周期和单调增区间；（2）根据图象变换得到()52112g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据x 的范围得到512x π+的取值范围，然后可得()g x 的最小值． 【详解】(1)由题意()cos ,1OA x =u u u v，()2cos OB x x =u u u v ，所以()22cos cos212sin 216f x x x x x x π⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)由(1)得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数为2sin 16y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到的图象对应的函数为52sin 12sin 14612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()52sin 112g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴55,1236x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴当55126x ππ+=，即512x π=时，()g x 有最小值，且()min 552sin 12126g x g ππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， ∴函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2． 【点睛】（1）解决三角函数的有关问题时，一般将所给的函数化为()φy Asin x ω=+的形式，然后将φx ω+作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质进行求解．（2）求函数()φy Asin x ω=+在给定区间上的最值或范围时，先由所给的范围得到φx ω+的范围，然后结合函数的图象求解．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ，Q ．(1)若AP PQ =，求直线l 的斜率；(2)过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：2AP AQMN ⋅为定值． 【答案】（1）3k =（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设直线()2l y k x =+的方程为,代入椭圆方程得221642?41p k x k --⋅=+由AP PQ =，有1p x =-，可得出直线的斜率； （2）设直线l 斜率为k ，联立方程组分别求出AP ，AQ ，MN ，代入计算化简即可得出结论．试题解析：（1）依题意，椭圆C 的左顶点()20A -，，设直线l 的斜率为k (0)k >，点P 的横坐标为P x ， 则直线l 的方程为()2y k x =+．①又椭圆C ：2214x y +=， ②由①②得，()222241161640k x k x k +++-=，则22164241p k x k --⋅=+，从而222814p k x k-=+． 因为AP PQ =，所以1p x =-．所以2228114k k -=-+，解得32k =（负值已舍）． （2）设点N 的横坐标为N x ．结合（1）知，直线MN 的方程为y kx =．③ 由②③得，22414N x k =+．从而()()22222p N x AP AQ MN x +⋅= 222282214142414k k k⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==⨯+，即证． 18．如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从ABC 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．【答案】（1）6464()97，（2）398]4（，【解析】试题分析：（1）由路程、速度、时间关系可得关系式：1216164v-≤，解简单含绝对值不等式即可，注意单位统一（2）首先乙先到达D地，故16v＜2，即v＞8．然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米：分三段讨论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t)2＋9≤25，②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12－6t)2＋(16－vt)2≤25，三种情况的交集得8＜v≤394．试题解析：解：（1）由题意，可得AD＝12千米．由题可知12161 64v-≤解得6464 97v≤≤．（2）经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于乙先到达D地，故16v＜2，即v＞8．①当0＜vt≤5，即0＜t≤5v时，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－48vv＋36) t2．因为v2－48vv＋36＞0，所以当t＝5v时，f(t)取最大值，所以(v2－48vv＋36)×(5v)2≤25，解得v≥154．②当5＜vt≤13，即5v＜t≤13v时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)2(t－16v-)2＋9．因为v＞8，所以16v-＜5v，(v－6)2＞0，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，所以(v －6)2(13v －16v -)2＋9≤25，解得398≤v≤394．③当13≤vt≤16，13v ≤t≤16v时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，因为12－6t ＞0，16－vt ＞0，所以当f(t)在(13v ，16v )递减，所以当t ＝13v时，f(t)取最大值， (12－6×13v )2＋(16－v×13v )2≤25，解得398≤v≤394． 因为v ＞8，所以 8＜v≤394． 【考点】实际应用题，分段函数求函数最值19．设函数()3()()f x x t m x t =---，其中t ，R m ∈.（1）若9m =，求()f x 的极值；（2）若曲线()y f x =与直线()y x t =---m 的取值范围.【答案】（1）极大值为-；（2）()7,+∞【解析】（1）把9m =代入()f x 后求导，判断()f x 的单调性，进而可以求得极值；（2）将公共点转化为零点问题，构造函数()()31g x x m x =+-+，求导判断()g x 的单调性，结合零点定理即可求出m 的取值范围. 【详解】（1）当9m =时，()()()39f x x t x t =---，()()(2393f x x t x t x t '=--=-+--，令()0f x ¢=，解得x t =+x t =当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表；∴()y f x =的极大值为(((39f t =-=，极小值为((3f t +=-=-（2）由题意，曲线()y f x =与直线()y x t =---可转化为()()0f x x t +-+=令u x t =-，可得()310u m u +-+=；设函数()()31g x x m x =+-+，即函数()y g x =有三个不同的零点；()()231g x x m '=+-，当1m £时，()0g x ¢³恒成立，此时()g x 在R 上单调递增，不合题意当1m >时，令()0g x ¢=，解得1x =，2x = ()0g x ¢>，解得1x x <，或2x x >， ()0g x ¢<，解得12x x x <<，∴()g x 在()1,x -∞和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，∴()g x 的极大值为())321109m g x g ⎛-==+> ⎝；极小值为())32219m g x g --==+若()20g x ≥，由()g x 的单调性可知，函数()g x 至多有两个零点，不合题意；若()20g x <，即()321m ->7m >2x >，0g=>，1x -<，((610g m -=--从而由零点定理知，()y g x ∴=在区间()121,m x --，()12,x x ，()2,1x m -内各有一个零点，符合题意；∴m 的取值范围是()7,+∞. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，构造函数和零点定理的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题. 20．设数列的前项和为．已知，设.⑴ 求证：当时，为常数；⑵ 求数列的通项公式；⑶ 设数列是正项等比数列，满足：，，求数列的前n 项的和．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】（1）由题意求出，然后通过作差可得，故结论成立；（2）根据（1）中的结论，即是常数列且，可得；（3）由题意得，所以，故利用错位相减法求和．【详解】（1）证明：由题意知，当n=1时，，∴； 当时，，∴，∴∴，∴， ∴当时，为常数0. （2）由（1）得，是常数列. ∵，∴，∴，∴.（3）由（2）知，∵数列是正项等比数列，∴公比为2，∴．∴……③，∴……④，③④得：，设……⑤，∴……⑥，⑤⑥得：，，∴，∴．【点睛】用错位相减法求和的注意事项（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．21．已知矩阵-11aAb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b∈R，若点(1,1)P在矩阵A的变换下得到的点1(1,4)P（1）求实数,a b 的值； （2）求矩阵A 的逆矩阵.【答案】（1）2,3a b ==；（2）111553255A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据点P 在矩阵A 的变化下得到的点()11,4P ，写出题目的关系式，列出关于a,b 的等式，解方程即可,（2）计算()det A ，从而得到矩阵A 的逆矩阵. 【详解】（1）因为111114a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，所以1114a b -=⎧⎨+=⎩,所以23a b =⎧⎨=⎩ ． （2）()21det 531A -==，11111555532325555A --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 【点睛】本题考查二阶矩阵与逆矩阵，属于基础题.22．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是21y t x t=+⎧⎨=⎩（t 是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+．求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】消去参数即可求直线l 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化求解曲线C 的直角坐标方程,利用直线与圆的位置关系，通过点到直线的距离以及圆的半径以及半弦长的关系求解|AB|．【详解】消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，)4πρθ=+即2(sin cos )ρθθ=+，两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，所以()()22112x x -+-=，圆心C 到直线l 的距离d ==，所以弦长为5AB ==． 【点睛】本题考查直线的参数方程以及圆的极坐标方程的应用，考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．23．将4名大学生随机安排到A,B,C,D 四个公司实习． （1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X 表示分到B 公司的学生的人数，求X 的分布列和数学期望E (X )． 【答案】（1）332；（2）分布列见解析，()1E X =。
江苏省七市(南通泰州扬州徐州淮安连云港宿迁)2020届高三第二次调研考试数学试题含附加题(原版+解析)
17．（1）记椭圆 E 的焦距为 2c（ c 0 ）．因为右顶点 A(a ，0) 在圆 C 上，右准线 x = a2 与圆
c
C： ( x − 3)2
+
y2
=
1
相切．所以
(a − 3)2
a2 − 3 c
+ 02 = 1， 解得
= 1，
a = 2， c = 1．
于是 b2
= a2
− c2
= 3 ，所以椭圆方程为：
17．（本题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
C：(x﹣3)2＋y2＝1，椭圆
E：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
＞b＞0)的右顶点 A 在圆 C 上，右准线与圆 C 相切．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设过点 A 的直线 l 与圆 C 相交于另一点 M，与椭圆 E 相交于另一点 N．当 AN＝
．
13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME—7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化
而成的（如图(2)），其中 OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则 A6A7 A7A8 的值
是
．
14．设函数
f
(
x)
=
log
2
x−a
,
0
x4
，若存在实数
m，使得关于
x
的方程
f (x) = m
f (8 − x), 4 x 8
个圆锥的体积分别为 V1，V2，则 V1 +V2 的值是
．
V
1
9．在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
x2 a2
淮安市淮阴中学2020届高三期中数学试题卷附答案解析
A 可得到
2k ，结合 0 即可求得结果. 3
【详解】
由图象可得
f
x 最小正周期：T
4 3
7 12
6
，即 2
2
又
f
7 12
A
sin
7 6
A
2k ， k Z 3
∴x|x﹣2|≤1，
x2 2x 1 2x x2 1
∴ x 2
或 x＜2
，解得 x 2 1，
3．函数 y ln(x 1) 2 的定义域为________． 2x
4．已知单位向量
a
，
b
的夹角为120
，则
|
a
2b
|
的值是________．
5．已知等比数列an满足a2 + 2a1 = 4，a32 = a5，则该数列的前 5 项的和为______________. 6．“ a b ”是“ 2a 2b ”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）
淮安市淮阴中学 2020 届高三期中数学试题
一、填空题
1．全集U {1, 2, 3, 4, 5}，集合 A {1,3, 4} ， B 3,5，则 C (A B) _______.
2．已知向量
a
(2,
m)
，
b
(1,
2)
，且
a
b
，则实数
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。
2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。
13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。
1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。
16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。
证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。
17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。
1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。
若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。
18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。
现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。
2020届江苏省高三高考全真模拟(二)数学试题(解析版)
2020届江苏省高三高考全真模拟（二）数学试题一、填空题1．已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则U A =ð________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算，即可得答案； 【详解】Q {}1U x x =>，{}2A x x =>，∴{}12U A x x =<?ð，故答案为：{}12x x <?. 【点睛】本题考查集合的补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算，化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q 20202(111)1iz i i z i -⇒==++=， ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：四. 【点睛】本题考查复数的次幂运算和除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==.故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.4．已知向量(1,2)a =r， (2,1)b =-r ，则()a ab ⋅-r r r 的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算，即可得答案； 【详解】Q (1,3)a b -=-r r，∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=r r r，故答案为：5. 【点睛】本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．【答案】27【解析】根据程序语言所表示的当型循环，直接模拟程序运行，即可得答案； 【详解】3,3S i ==，6,5S i ==， 11,7S i ==， 18,9S i ==，27,11S i==，输出27S=，故答案为：27.【点睛】本题考查算法语言的当型循环，考查阅读理解能力，属于基础题.6．在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个，从中随机取出1个球，该球是红球的概率是25．现从中一次随机取出2个球，则这2个球的颜色相同的概率为________．【答案】25【解析】先求出红球和白球的个数，再利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】易得：红球2个，白球3个，∴22232525C CPC+==，故答案为：25.【点睛】本题考查古典概型概率计算，求解时注意利用计数原理进行计算，属于基础题.7．已知x，y满足约束条件221x yy xy+≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3yzx-=的最大值为________．【答案】23-【解析】作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；【详解】约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3yzx-=的几何意义是可行域内的点(,)x y与点(0,3)连线的斜率，由图可知过点（1，1）时，max 23z =-． 故答案为：23-. 【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用. 8．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________． 【答案】3【解析】求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【详解】由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭， ∴()62k k Z ππωπ-=+∈，解得63()k k Z ω=--∈．因为0>ω，所以ω的最小值为3． 故答案为：3. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知一个圆柱的高为3cm ，体积为312cm π，则该圆柱的外接球的表面积为________2cm ． 【答案】25π【解析】设圆柱的底面半径为rcm ，求出圆柱的外接球的直径，再代入球的表面积公式，即可得答案； 【详解】设圆柱的底面半径为rcm ．由2312r ππ⨯=，得2r =（负值舍去），所以圆柱的外接球的直径为5cm ，故外接球的表面积为2254252cm ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：225cm π. 【点睛】本题考查圆柱的外接球表面积，考查空间想象能力、运算求解能力.10．已知函数22()4x f x x =+，21()2x g x a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若对任意[)11,x ∈+∞，都存在[)21x ∈+∞,，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】根据题意可得函数()f x 的值域为函数()g x 值域的子集，从而得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案； 【详解】Q222()44x f x x x x==++当[)11,x ∈+∞时，1144x x +…，当且仅当12x =时取等号，所以()1f x 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 当[)21x ∈+∞,时，[)22x -∈+∞0,，所以221()2x -∈(]0,1，∴()2g x 的取值范围为(],1a a +．由题意知(]10,,12a a ⎛⎤⊆+ ⎥⎝⎦，所以0a …且112a +…，解得102a -剟． 综上，实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查全称量词与存在量词的运用、函数值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用子集关系解题.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作倾斜角为30°的直线，与圆222:C x y b '+=交于点A ，B ．若60AOB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________．【答案】2【解析】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c -+=（c为双曲线C 的半焦距），易得22c =，再结合222c a b =+，即可得答案； 【详解】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c +=（c 为双曲线C的半焦距），由题意知圆心O 到直线l，所以22c b =． 因为222c a b =+，所以双曲线C的离心率c e a =．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，则1210a a a +++L 的值为________． 【答案】1023【解析】根据等差中项的性质得12n n S a +=，再利用临差法可得12n na a +=，从而得到数列为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】由题意得12n n S a +=，所以1112a a +=，解得11a =．由12n n S a +=，得1112n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是等比数列．因为11a =，所以12n n a -=，故10121012102312a a a -++⋯+==-．故答案为：1023. 【点睛】本题考查数列的n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.13．如图在等腰三角形ABC 中，2AB =，5AC BC ==．若D 是ABC V 所在平面内一点，且0DB DC ⋅=u u u r u u u r，设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为________．【答案】138． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，求得点D 的轨迹方程，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ．由0DB DC ⋅=u u u r u u u r知DB DC ⊥，所以点D 在以BC 为直径的圆上．以BC 为直径的圆的方程为2215(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以可设1,12D θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,12AD θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．因为(2,0)AB u u u r =，(1,2)AC =u u u r，AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ．所以3cos 22212θλμθμ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1212λθθμθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以511sin )1sin()8λμθθθθθϕ+=++=++=++， 其中tan 2ϕ=， 所以λμ+的最大值为138． 故答案为：138． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意辅助角公式和三角函数有界性的运用.14．已知函数323,0()31,0x x t x f x x x ⎧-++≤=⎨->⎩，若函数(())y f f x =恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．【答案】3|42t t ⎧⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =【解析】令()s f x =，则()y f s =，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求s 的值，再求x 的值，对t 分5种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案； 【详解】因为2()360f x x x '=-+≤在0x ≤上恒成立，所以()f x 在(],0-∞上单减，令()s f x =，则()y f s =．（ⅰ）当0t >时，只有13s =，显然不成立（ⅱ）当0t =时，10s =，213s =，此时如图：有四个交点，∴满足题意．（ⅲ）当10t -<<时，如图1，由()0f s =得10s <，213s =． 由213s =得3x x =或4x ， 由10s <且321130s s t -++=，知32113t s s =-．要使()y f s =有4个不同的零点，必须由1()f x s =得1x x =或2x ， 此时321113t s s s =-…，解得1313s -…，133s +…（舍去）， 又211360t s s '=->在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦恒成立， 所以()2113t s s =-在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦上为增函数，所以31312t --<…．（ⅳ）当1t =-时，由(1)0f ->，(0)0f <，得110s -<<，此时满足题意． （ⅴ）当1t <-时，如图2，由()0f s =得10s <，213s =． 要使()y f s =有4个不同的零点，必须110s -<<，此时32113(4,0)t s s =-∈-，所以41t -<<-．综上，实数t 的取值范围是3134t t ⎧-⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =．【点睛】本题考查分段复合函数的零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，BA AD ⊥，CD AD ⊥，E 是棱D 上一点，AE PD ⊥，AE AB ⊥．（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：平面ADP ⊥平面PCD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明AB CD ∥，再根据线面平行的判定定理，即可证得结论； （2）证明AE ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论； 【详解】（1）在四边形ABCD 内，因为BA AD ⊥，CD AD ⊥，所以AB CD ∥． 又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ． （2）因为AE AB ⊥，//AB CD ，所以AE CD ⊥．又因为AE PD ⊥，CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． 又因为AE ⊂平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力. 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos 212sin 2AA +=． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）3A π=；（2 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，可得关于cos A 的一元二次方程，即可得答案；（2）利用余弦定理求出a 的值，再利用正弦定理求得sin B ，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos B ，最后代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】（1）因为2cos 212sin2AA +=， 所以cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又因为0A π<<，所以3A π=．（2）由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-．因为4b =，5c =，3A π=，所以222145245212a =+-⨯⨯⨯=，即a =由正弦定理知sin sin a b A B=，即4sin sin 3B π=．所以sin B =．因为b c <，所以B C <，即B 为锐角，故cos 7B =．所以1sin sin cos cos sin 33327B B B πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆1O 、半圆2O 和正方形ABCD 组成的，且8AB cm =．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ，标签的其中两个顶点E ，F 在AM 上，另外两个顶点G ，H 在CN 上（M ，N分别是AB ，CB 的中点）．设EF 的中点为P ，1FO P θ∠=，矩形EFGH 的面积为2Scm ．（1）写出S 关于θ的函数关系式()S θ （2）当θ为何值时矩形EFGH 的面积最大？ 【答案】（1）()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【解析】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，利用矩形的面积公式，即可得答案； （2）利用导数可得：当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即可得答案； 【详解】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，则()8sin (8cos 42)S EF EH θθθ=⋅=+， 即()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）()32[cos (2cos 2)sin (2sin )]S θθθθθ'=+⋅-()22322cos 2sin 2θθθ=-()2324cos 22θθ=+-．因为0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以224cos 4θ<…，122θ<…，所以24cos 2cos 20θθ+->，故当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增． 故当4πθ=时，[]max ()32sin2cos 26444S ππθ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭． 答：当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆E 相切于点P （点P 在第一象限内），与圆2212x y +=相交于点A ，B ，且2AP PB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）162y x =-+．【解析】（1）直接根据短轴和离心率的值，求出,a b ，即可得椭圆的方程；（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，根据三角形相似可得12333OP OD ==，再利用点P 的坐标标可得,k m 的关系，从而得到直线的方程. 【详解】（1）设椭圆E 的焦距为2c ，则2222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=．因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()222216422210k m m k ∆=--+=，整理得2221m k =+．设点P 的坐标为()00,x y ，则022221km k x k m -==-+，01y m=． 设直线OP 交圆2212x y +=于点C ，D ，则AP CPBP DP=．又因为2AP PB =u u u r u u u r ，所以1233OP OD ==2224143k m m +=，与2221m k =+联立解得12k =-（正值舍去），6=m 所以直线l 的方程为162y x =-+． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是利用向量关系得到长度的比例关系.19．已知各项均为正数的两个数列{}n a ，{}n b 满足11121n nn n a a a a +++=+-，2212log log 1n n n a b b +=++．且111a b ==．（1）求证数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求使得等式236m m i S a T +-=成立的有序数对()(,),*m i m i N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）12n nb -=；（3）见解析.【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s …不成立，从而得到4s =，9m =，6l =． 【详解】（1）由11121n nn n a a a a +++=+-得()()()11112n n n n a a a a +++-=+，即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为1的等差数列． （2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=， 所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n nb -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n nb -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m l S a T +-=，得(1)236212l m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2l m m +-=． 则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s …，则221220t s =-…，故5t …． 又因为s t >，所以12222232s t t t t +--=厖．这与2212s t -=矛盾，所以4s …．由于2212s t -=，则只能4s =，2t = 此时9m =，6l =． 【点睛】本题考查数列递推关系、等差、等比数列基本量运算、及数论的相关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20．已知函数()(1)x f x x e =-，()ln g x a x =+，其中e 是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切． ①求实数a 的值；②求函数()()()x f x e g x ϕ=+的单调区间； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． 【答案】（1）①2a e =-，②函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【解析】（1）①利用导数的几何意义求出在1x =处的切线方程，再利用切线与曲线()g x 也相切，可求得a 的值；②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+，对绝对值内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性.（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=，令2()1x m x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>，故()m x 在(0,)+∞上单调递增，再利用零点存在定理证明函数()h x 的极小值小于0，及1ln0h b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证得结论；【详解】（1）①由()(1)x f x x e =-得()x f x xe '=，所以切线的斜率(1)k f e '==． 因为切点坐标为(1,0)，所以切线的方程为(1)y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得1()g x x'=， 所以()111g x e x '==，得11x e =． 所以切点坐标为1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为点1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线(1)y e x =-上．所以2a e =-． ②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+． 当2e x e -…时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=-+-+， 因为()0xe x xe xϕ'=+>恒成立，所以()x ϕ在)2,e e -⎡+∞⎣上单调递增． 当20e x e -<<时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=---+． 所以()xex xe xϕ'=-． 因为[]2()(1)0xex x e xϕ''=++>恒成立，所以()x ϕ'在()20,e e -上单调递增． 注意到(1)0ϕ'=，所以当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<；当()21,e x e -∈时，()0x ϕ'>． 所以()x ϕ在(0,1)上单调递减，在()21,e e -上单调递增．综上，函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞．（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=．令2()1xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>， 故()m x 在(0,)+∞上单调递增．又因为(1)10m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()0m x =在(0,)+∞上有唯一解，从而()0h x '=在(0,)+∞上有唯一解．不妨设为0x ，则011lnx b<<． 当()00,x x ∈时，()0()()0m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0()()0m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增． 故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，1()10t x x'=-<，所以()t x 在(1,)+∞上单调递减， 从而当1x >时，()(1)0t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111111ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln 0b h b e t b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在(0,)+∞上恰好有2个零点． 【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程、导数研究函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.21．换T :22x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1A -． 【答案】110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【解析】设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得方程组，解方程组即可得答案； 【详解】由1022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1022A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则1101022222201a b ab AAcd a c b d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以10220221a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得10112a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，所以110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【点睛】本题考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力，求解时注意待定系数法的应用. 22．直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程13x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为222x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于点A ，B ．求OAB V 的面积．． 【解析】将直线的参数方程化为普通方程，再利用直线过定点，得到三角形的面积12112S y y =⨯⨯-，求出直线与抛物线交点的纵坐标，即可得答案；【详解】由13x t y t =+⎧⎨=⎩，消去参数t 得3(1)y x =-，由222x m y m ⎧=⎨=⎩消去参数m 得22y x =． 联立方程组23(1)2y x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得23260y y --=，解得y =或y =． 因为直线l 过定点(1,0)．所以OAB V的面积12112S y y =⨯⨯-=． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系、三角形面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围． 【答案】120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭… 所以25120a a -…，解得1205a 剟． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 24．在直三校柱111ABC A B C -中，ABC V 是等直角三角形，90ACB ∠=︒，42AB =，M 是AB 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长；（2）已知点N 在棱1CC 上，若平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角的余10N 的位置． 【答案】（1）22（2）N 在棱1CC 的中点处．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设1A A a =，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于a 的方程，解方程即可得答案；（2）由（1）知1(0,0,22)C ，设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)BN λ=--u u u u r ，求出平面1B AN 的一个法向量12241,1,n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ，平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，再代入向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设1A A a =．由42AB =4AC BC ==，则(4,0,0)A ，(0,0,0)C ，1(4,0,)A a ，1(0,4,)B a ，(2,2,0)M所以1(2,2,)AM a =--u u u u r ，1(0,4,)=--u u u r B C a ． 因为11A M B C ⊥，所以(2)02(4)()()0a a -⨯+⨯-+-⨯-=，解得22a =1A A 的长为22（2）由（1）知1(0,0,22)C设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)B N λ=--u u u u r ．设平面1B AN 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ．由1111n B A n B N ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u v u u v r ，得1111144204(2)0x y z y z λ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，取12241,1n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ． 易知平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，设平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角为θ，1212122210cos cos ,22411n n n n n n θλλ⋅====⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u u r u r u u r u r u u r ．解得λ=2λ=-（舍去） 所以N 在棱1CC 的中点处．【点睛】本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.25．整数2n …，集合{}1,P x x n x N =∈剟，A ，B ，C 是集合P 的3个非空子集，记n a ，为所有满足A B ，A B C P ⋃⋃=的有序集合对(,,)A B C 的个数．（1）求2a ；（2）求n a ．【答案】（1）26a =；（2）52323n n n -⋅-+． 【解析】（1）由题意得{1}A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2或{}2A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2，即可得到2a 的值；（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -，即可得到n a 的值；【详解】（1）当2n =时，集合{}1,2P =，非空子集为{1}，{2}，{1,2}，因为A B ，A B C P ⋃⋃=，所以当{1}A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2；当{}2A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2．综上，26a =．（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -． 所以()()()12C 222C 2221n kk k n n n n nn k a -==-+--∑()()()()()()00011102222221222222222nk k n n n n k n nn n n k C C C C ==-+--------∑()0C 42223n kk k n n k ==-⋅-+∑0042223n nkkk k n n n k k C C ===-⋅-+∑∑ (14)2(12)23n n n =+-⋅+-+52323n n n =-⋅-+．【点睛】本题考查集合的新定义、二项式定理的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，难度较大.。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(七)附参考答案
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(七)数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5},B ={0,2,4,6},则A ∩B ＝ ▲ ． 2.已知复数z 满足z(2＋i )=2－3 i ,其中i 是虚数单位,则z的实部是 ▲ ． 3.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值是 ▲ ．4.如图,这是小明6次体育测试成绩的茎叶图,则小明这6次体育测试成绩的方差s 2＝ ▲ ．5.抛物线x 2＝12 y 的焦点到准线的距离是 ▲ ．6.函数y ≡－x 2＋2x ＋3 的定义域为 ▲ ．7.现有4张卡片,分別写有“强”身”健”“体”四个字,已知写有“强”的卡片被贴在宣传画中的① (如图),若其余3张卡片随机贴在②③④区(毎区贴1张卡片),则恰好能按图甲或乙组成“强身进体”宣传画的概率为 ▲ ．（第3题图）（第4题图）7 98 5 7 7 9 1 38.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36,点P 在棱AA 1上,则四棱锥P -BDD 1B 1的体积 为 ▲ ．9.已知方程sin2x －sin x ＝0,x ∈[0,2π],则该方程的所有实数根之和为 ▲ ． 10.如图,在四边形ABCD 中,AB ＝3,AD ＝1,CB ＝CD , ∠ADB ＝∠BCD ＝2,则AC → ・BD →的值为 ▲ ．11.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)， x ≥1，f （2－x ），x ＜1， 则不等式f (x )≤2的解集是 ▲ ．12.已知实数a ,b 满足则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤2，a ＞－1，则1a ＋1 －b 的最小值为 ▲ ．13.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A ,B 都在圆x 2＋y 2＝4上,且AB ＝2 2 ,点P (t ,4－t ) 则PA 2＋PB 2的最小值为 ▲ ．14.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项均为1, 其余各项均为大于1的正整数, 记c n ＝ a n ＋b n 若存在正整数k (k ≥2),满足C k －1＝100,C k +1＝1000,则C k 的值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,已知BC ＞AC ,cos A ＝45 ，sin(A －B )＝1010 .(1) 求tan2A 的值; (2) 求cos B 的值.甲① ② ③④（第7题图）强 身 健体乙强 健 身 体（第10题）如图、在四棱锥P -ABCD 中,已知AB ∥CD ,AD ⊥CD ,PA =AD ,F ,F 分別为线段PC ,PD 的中点,平面P AD ⊥平面PCD . （1）求证EF ∥平面P AB ； （2）求证CD ⊥平面P AD.17.(本小题满分14分)如图,为了保卫祖国海疆、我军在某海岸线(近似地看成直线)上相距20nmle 的A ,B 两处设立海防哨所.记某外轮所在位置为P ,在A 处测得∠BAP ＝α,在B 处测得∠ABP ＝β.按照《联合国海洋法公约》规定:领海宽度不超过12nmile ,外国船只除特许外,不得私自进入我国领海. （1）若α＝45°, β＝60°,则该外轮是否已进入我国领海?请说明理由. （2）若该外轮航行至点P 处(距海岸线403n mile ,且此时tan α＝－2)请求靠岸补给,我军立 刻同意并要求其继续保持到B 处的距离是到A 处距离的2倍航行直至靠岸,求该外轮从 发出请求到靠岸所航行的里程(π取3.14,结果保留1位小数).18.(本小题满分16分)在平面直角丝标系xoy 中已知圆 E : x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)过点(1， 22 )，短轴长为2.（1）求椭圆E 的标准方程;（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)是椭圆E 上异于顶点的3个不同的点,OC → ＝OA → ＋ OB →.① 直线AB ,OC 的斜率分别为k 1, k 2求证: k 1・k 2?为定值; ② 若y 1 y 2=,求OA → ・OB →的值.C（第16题）ADEFP（第17题）海岸线领海线已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ＜0时,f (x )＝a x ＋b -x (a ＞0且a ≠1,b ＞0且b ≠1).（1）若a ＝2, b ＝13.① 求函数f (x )在R 上的解析式; ② 解关于x 的不等式f (x )＞2・5x .（2）若a ＝b ,对任意的x 1,x 2∈(－∞,0),f (x 1)+f (x 2)≥kf (x 1+x 22)恒成立,求实数k 的最大值.20.(本小题满分16分)若数列{a n }满足只要a p ＝a q （p ，q ≥2,且p ≠q )必有a p -1＝a q -1,则称数列{a n }具有性质S. （1）若数列{a n }具有性质S,且a 4＝1,a 5＝2,a 8＝2,a 6＋a 7＝9,求a 3;（2）若数列{b n }是各项均不为0，且公差也不为0的等差数列，数列{c n }是等比数列,b 3＝c 5, 、b 5＝c 3，记a n = b n ・c n ,试判断数列{a n }是否具有性质S ，并说明理由; （3）已知数列{b n } (1≤n ≤100是有穷数列，且b 1=b 2,若a n -1=b n ＋cos a n (n ≥2),且对任意的a 100,数列{a n }具有性质S ,求证:数列{b n }(1≤n ≤100)是常数列.数学Ⅱ(附加题)21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知矩阵A ,B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 36 2 ,其中B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 0，求矩阵A 及它的特征值.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在极坐标系中,求圆C : ρ＝4sin θ的圆心C 到直线l : θ= π3 (ρ∈R )的距离.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分) 设x ∈R , 解不等式: ｜2x ｜＋｜x －1｜＞2.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在一个不透明的袋子里装有7个小球,其中有4个红球,编号分别为1,2,3,4;有3个白球, 编号分别为1,2,3.现从中随机取出4个小球.（1）求含有编号为3的小球的概率;（2）记取出的红球编号的最大值为X,求随机变量X的概率分布和数学期望E(X).23.(本小题满分10分)设数列{a n}同时满足以下三个条件:①对任意的n∈N※,a n∈N※,其中a2=2; ②对任意的n∈N※,a n＜a n+1;③对任意的正整数m,n,a mn＝a m·a n（1）求a4，a8的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式并证明.。
2020年江苏省淮安市高考数学模拟训练试卷(含答案) (7)
2020年江苏省淮安市高考数学模拟训练试卷7一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1≤2x≤2}，集合B={x|y=ln x}，则A∩B=（）A. [0，1）B. （0，1]C. [0，+∞）D. （0，+∞）2.已知复数z=1+i，则（）2=（）A. B. i C. - D. -i3.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是3，则输入的x为（）A. 2B. 2或-1C. 2或3D. 2或3或-14.欧阳修曾生动形象地描述了一位追求完美和极致的卖油翁，“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”若铜钱是直径为厘米的圆，中间有一个正方形孔，没有任何经验的人随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），正好落入孔中的概率是，则正方形孔的边长是（）A. 厘米B. 厘米C. 1厘米D. 2厘米5.已知直线y=x+m与圆x2+y2-2y-7=0相交于A，B两点，若|AB|=4，则实数m的值为（）A. 5B. -3C. 5或-3D. -5或36.已知函数f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且在x=时取得最大值，若f（α）=，则cos（2α+）的值为（）A. B. - C. D. -7.已知函数y=f（x）满足对任意的x∈R，总有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=1-|x-1|．若关于x的方程f（x）=log a x恰有三个不相等的实根，则实数a的取值范围为（）A. [3，5]B. （3，5）C. [4，5]D. （3，6）8.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A. 2B.C.D.9.已知抛物线C：x2=8y，过点P（1，-2）作该抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A. x-4y+8=0B. x+4y-8=0C. 4x一y+8=0D. 4x-y-8=010.若对于任意正数x，y，满足x+2y-1=0，且不等式+-m≥0恒成立，则实数m的最大值是（）A. 2B. 4C. 1+D. 1+211.已知在△ABC中，AM⊥BC，垂足是M，AM=2，BM=，△AMC沿AM折起至△AMD，若cos∠BDM=，则三棱锥D-AMB的外接球的表面积是（）A. 32πB.C. 20πD.12.已知函数f（x）在（0，+∞）内连续且可导，其导函数为f′（x），且满足f（1）=1，[f（x）+f′（x）]•ln x＞0（x≠1）恒成立，则下列命题正确的个数为（）①函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②∃x0∈（0，+∞）时，有f（x0）＜0；③曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0；④∀x∈（0，1）时，都有f（x）＞2-x．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某单位计划采购A，B两种型号的电脑，A，B两种电脑的采购数量分别用x，y表示，x，y满足下列不等式则采购A，B两种型号的电脑总数最多为______台．14.已知向量||=，||=2，=（2，3），记，的夹角为θ，则sinθ=______．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n•a n+1=3•2n，则S2019=______．16.在△ABC中，若cos2A-cos2B-cos2C=cos A cos B+cos C-cos2B，且AB=6，则S△ABC的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为公差不为0的等差数列，其中a1+a5=12，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，S n=，数列{}的前n项和T n，证明：T n ＜．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=PD，AB=AD，∠BAD=60°（1）求证：AD⊥PB；（2）若AB=PA=2，PB=，求点C到平面PBD的距离．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（2，0），双曲线-=1的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点O作两条射线OM，ON分别交椭圆C于M，N两点，当OM，ON斜率分别为k1，k2且△OMN的面积为1时，试问k1•k2是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．20.全国两会召开前夕，许多人大代表关心雾霾治理，倡导绿色发展，击碎十面“霾伏”．通过不懈努力，近两年某市空气质量逐步改善，居民享受着在藏天白云下出行和锻炼．PM2.5的值是表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高空气污染就越严重，如表是某人朋友圈内室外锻炼的人数与PM2.5的值x110100806050室外锻炼人数y9095100105110（人）（）请用相关系数（精确到）说明与之间具有线性相关关系；（2）若室外锻炼人数与PM2.5的值存在线性关系，请根据上表提供的数据，当PM2.5的值为40时，估计室外锻炼人数（四舍五入）；（3）将表格中的x与y数据看作五个点的坐标（x，y），从这五个点中任意抽取两个点，求这两个点都在圆（x-80）2+（y-90）2=100外的概率．参考公式：，b==，=-b参考数据：x i y i=39200，=34600，=50250，≈5.10，≈15.81．21.已知函数f（x）=ke x-e-x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）为奇函数．①证明：当x≥0时，f（x）≥2（x+）：②若不等式f（x）≥a（x+）对任意x≥0恒成立，求实数a的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=x，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求△C1PQ的面积．23.已知函数f（x）=2|x+1|+|x-1|．（1）求不等式f（x）＞2-x的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞a（x-1）恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案及其解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={x|0≤x≤1}，B={x|x＞0}，∴A∩B=（0，1]．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及指数函数的单调性，对数函数的定义域，交集的运算．2.答案：D解析：解：∵z=1+i，∴，则（）2==．故选：D．由z利用复数代数形式的乘除运算求得，再平方得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，输出的结果是3，当x≥0时，2x-1=3，解得x=2；当x＜0时，x2-2x=3，即x2-2x-3=0，解得：x=-1，或3（舍去）．故选：B．模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.答案：A解析：解：依题意，铜钱是直径为厘米，所以半径r=，设正方形的边长为a，则没有任何经验的人随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），正好落入孔中的概率是==，解得a=，故选：A．铜钱是直径为厘米，所以半径r=，设正方形的边长为a，则没有任何经验的人随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），正好落入孔中的概率是=，将r代入即可求出正方形孔的边长a．本题考查了几何概型的概率（面积型），正方形和圆的面积公式，属于基础题．5.答案：C解析：解：根据题意，圆x2+y2-2y-7=0，即x2+（y-1）2=8，其圆心为（0，1），半径r=2，若|AB|=4，则圆心到直线l即AB的距离d===2，又由圆心到直线y=x+m即x-y+m=0的距离d==，则有=2，解可得：m=5或-3；故选：C．根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线l即AB 的距离d，结合点到直线的距离公式可得=2，解可得m的值，即可得答案．本题考查直线与圆的的位置关系，涉及直线与圆相交的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：函数f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，则：，解得ω=．所以f（x）=sin（x+φ），在x=时取得最大值，即（k∈Z），由于0≤φ≤，所以φ=．由于f（α）=，所以sin（）=，所以cos（2α+）=1-=．故选：A．直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步利用2倍角的公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.答案：B解析：解：函数y=f（x）满足对任意的x∈R，总有f（x+2）=f（x），可知函数的周期为：2，当x∈[0，2]时，f（x）=1-|x-1|，所以函数y=f（x）的图象如图：关于x的方程f（x）=log a x恰有三个不相等的实根，可知a＞1，y=log a x必须夹在A点的下方，B点的上方，所以：，可得a∈（3，5）．故选：B．求出函数的周期，画出函数的图象，通过数形结合，列出不等式求解实数a的取值范围．本题考查函数与方程的应用，数形结合是解答函数的零点个数的有效方法，是中档题．8.答案：D解析：解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D-BD1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1．在正三角形BDC1中，BD=，所以面积S=．故选：D．根据三视图，得到四面体的直观图，然后判断四个面中的最大面积即可．本题主要考查三视图的识别和判断，将几何体放入正方体中去研究，是解决本题的关键．9.答案：A解析：解：设切点为A（x1，y1），B（x2，y2），又y'=x，则切线PA的方程为：y-y1=x1（x-x1），即y=x1x-y1，切线PB的方程为：y-y2=x2（x-x2）即y=x2x-y2，由P（1，-2）是PA、PB交点可知：-2=x1-y1，-2=x2-y2，∴过A、B的直线方程为：x-4y+8=0；故选：A．设出切点A，B的坐标，对抛物线方程求导，求得切线方程的斜率，则直线方程可得，把点P（1，-2）代入直线方程联立求得AB的直线方程；本题主要考查了直线与抛物线的综合问题．考查了学生分析问题和基本的运算能力．属于中档题．10.答案：D解析：解：对于任意正数x，y，满足x+2y-1=0，不等式+-m≥0恒成立，可得m≤=1+，因为1+≥1+2=1+2，当且仅当x=，并且x+2y-1=0时取等号，即y==，x=取等号．所以实数m的最大值是1+2．故选：D．通过“1”的代换，利用基本不等式求解表达式的最值，然后推出实数m的最大值．本题考查基本不等式求解函数的最值的应用，恒成立条件的转化，考查计算能力．11.答案：C解析：解：因为AMBC，所以AMDM，且AMBM，所以AM平面BDM，所以三棱锥A-MBD是一个侧棱垂直于底面的三棱锥，可以将其嵌入三棱柱中，设球心为O，球的半径为R，作OO'平面BDM，连接O'M，OM，设三角形BMD的外接圆半径为r，且，所以，所以，所以r=O'M=2，又，所以在Rt△OO'M中，，所以球的表面积为S=4πR2=4π•5=20π．故选：C．根据折叠问题当中不变的量，构成线面垂直，得出所属的三棱柱模型，即可求解．本题考查球的表面积，考查侧棱垂直于底面的三棱锥外接球问题，属于中档题．12.答案：B解析：解：f（1）=1，[f（x）+f′（x）]•ln x＞0（x≠1）恒成立，可得x＞1时，ln x＞0，即有f（x）+f′（x）＞0，0＜x＜1时，ln x＜0，即有f（x）+f′（x）＜0，考虑f（x）=，f′（x）=-，满足条件．对于①，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，故①错误；对于②，∀x∈（0，+∞）时，有f（x）＞0，故②错误；对于③，曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线斜率为-1，切线方程为x+y-2=0，故③正确；对于④，∀x∈（0，1）时，+x＞2，即f（x）＞2-x．故④正确．其中正确命题的个数为2．故选：B．讨论x＞1，0＜x＜1时，f（x）+f′（x）的符号，构造f（x）=，求得f′（x）=-，满足条件，由反比例函数的单调性可判断①；由函数的值域可判断②；求得f（x）在x=1处切线的斜率，再由点斜式方程可得切线方程，可判断③；由基本不等式可判断④．本题考查函数的导数的运用：求切线方程和单调性，考查构造函数法和基本不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于难题．13.答案：9解析：解答：解：作出x，y满足下列不等式对应的平面区域如图：设z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=y=-x+z经过点A（5，4）时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大，z max=5+4=9．故答案为：9．作出不等式组对应的平面区域，设利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.答案：解析：解：∵向量||=，||=2，=（2，3），记，的夹角为θ，∴|+|====，∴cosθ=，θ=，则sinθ=，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模，可得θ，求出sinθ的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．15.答案：21012-7解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n•a n+1=3•2n，①当n=2时，解得a6=6，当n≥2时，②，则得，所以数列{a n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比为q=2，所以S2019=（a1+a3+…+a2019）+（a2+a4+…+a2018）==21012-7，故答案为：21012-7首先利用数列的递推关系式求出数列为等比数列，进一步利用前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的的前n项和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.答案：3解析：解：设三角形内角A，B，C对应的三边为a，b，c，∵cos2A-cos2B-cos2C=cos A cos B+cos C-cos2B，∴（1-sin2A）-（1-sin2B）-（1-sin2C）=cos A cos B-cos（A+B）-（1-2sin2B），∴可得：sin A sin B+sin2B+sin2A-sin2C=0，∴由正弦定理可得：ab+b2+a2-c2=0，由余弦定理可得：ab+2ab cos C=0，解得cos C=-，可得：sin C=，∵AB=c=6，∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，可得36=a2+b2+ab，∴36≥2ab+ab=3ab，即ab≤12，当且仅当a=b时取等号．∴S△ABC=ab sin C≤12×=3，即S△ABC的最大值为3．故答案为：3．由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin A sin B+sin2B+sin2A-sin2C=0，由正弦定理，余弦定理解得cos C，可求sin C，由余弦定理，基本不等式可求ab≤12，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.答案：解：（1）数列{a n}为公差d不为0的等差数列，其中a1+a5=12，且a2，a4，a8成等比数列．可得2a1+4d=12，a42=a2a8，即（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），解得a1=2，d=2，则a n=2+2（n-1）=2n；（2）证明：S n==（2n）2，当n=1时，b1=S1=4，当n≥2时，b n=S n-S n-1=（2n）2-（2n-2）2=8n-4，上式对n=1也成立，可得b n=8n-4，n∈N*．===（-），前n项和T n=（1-+-+…+-）=（1-），由＞0，可得（1-）＜，即为T n＜．解析：（1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得S n==（2n）2，由数列的递推式可得b n=8n-4，n∈N*．=（-），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和，由不等式的性质即可得证．本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）证明：∵AB=AD，且∠BAD=60°∴△ABD是等边三角形设O是AD的中点，连接PO，BO，则BO⊥AD，∵△APD是等腰三角形∴PO⊥AD，∵PO∩BO=O，∴AD⊥平面PBO，∴AD⊥PB；（2）设PB中点为E，连接DE，∵AB=PA=2，PB=，∴AP=PD=AD=BD=2，OB=，DE=1，DE⊥BP，∴OP=BO=，OP2+OB2=PB2∴OP⊥OB，∵OP⊥AD，AD∩OB=O，∴OP⊥面ABCD，S△BCD=S△ABD=•OB•AD==，S△BDP=•DE•BP=×1×=，设点C到平面PBD的距离为h，∵V P-BCD=V C-BDP∴×OP×S△BCD=×h×S△BDP，即××=×h×，解得h=．解析：（1）设O是AD的中点，连接PO，BO，通过证明AD⊥平面PBO，证出AD⊥PB；（2）利用等体积法，即可求点C到平面PAB的距离本题考查空间直线、平面位置关系的判断，考查点面距离的计算，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力19.答案：解：（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（2，0），可得a=2，双曲线-=1的离心率为，可得=，解得b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），若MN的斜率不存在，设MN的方程为x=x1，由椭圆的对称性可得y1=-y2，由S△OMN=1，即|x1|•2|y1|=1，即|x1y1|=1，由椭圆方程可得|y1|=，即有|x1|=1，由于|x1|≤=2，当且仅当4-x12=x12，即x1=±，则y1=±，可设M（，），N（，-），则k1k2=•（-）=-；若MN的斜率存在，设为k，直线MN的方程设为y=kx+t，联立椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，则x1+x2=-，x1x2=，|MN|=|x1-x2|=•=•4•，又O到直线MN的距离为d=，则S△OMN=d|MN|=2|t|•≤•（t2+1+4k2-t2）=1，当且仅当1+4k2=2t2，上式取得等号，由S△OMN=1，可得1+4k2=2t2，满足△＞0，且x1+x2=-，x1x2=，则k1k2===k2++=k2+-==-．则k1•k2为定值-．解析：（1）由题意可得a=2，再由双曲线的离心率公式，可得b=1，可得椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），讨论MN的斜率不存在，求得直线MN的方程和M，N的坐标，可得k1•k2，再考虑MN的斜率存在，设为k，直线MN的方程设为y=kx+t，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，三角形的面积公式，结合基本不等式可得k，t关系式，由直线的斜率公式，化简整理可得定值．本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于难题．20.答案：解：（1）=×（110+100+80+60+50）=80，=×（90+95+100+105+110）=100，r====≈≈-0.99．∴y与x之间具有较强的负线性相关关系．（2）b====-≈-0.31，a=-b=100+0.31×80=124.8．∴y与x的线性回归方程为：y=-0.31x+124.8．当x=40时，y=-0.31×40+124.8≈112．当PM2.5的值为40时，室外锻炼人数估计为112人．（3）5个点中，只有点（80，100）在圆上，其余4点都在圆外，∴这五个点中任意抽取两个点，两个点都在圆外的概率为P==．解析：（1）根据公式计算相关系数；（2）求出线性回归方程，再计算x=40时的函数值即可；（3）根据组合数公式计算概率．本题考查了线性回归方程，概率计算，属于中档题．21.答案：解：（1）函数f′（x）=ke x+e-x，e x＞0．①k≥0，则f′（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）单调递增；②k＜0，则x＜-，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-）单调递增，当x＞-，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，-）单调递减；（2）若f（x）为奇函数，则f（0）=0，解得k=1，f（x）=e x-e-x，①f（x）≥2（x+），即e x-e-x≥2（x+），令函数y=e x-e-x-2（x+），则y′=e x+e-x-2-x2由y′=0，可得x=0可知x∈[0，+∞）时，函数y单调递增，∴当x=0，可得y min=0，即e x-e-x≥2（x+）恒成立；②根据①可知，当a=2时，x∈[0，+∞）时，函数y单调递增，e x-e-x≥2（x+）恒成立；可得不等式f（x）≥a（x+）对任意x≥0恒成立，实数a的最大值为2．解析：（1）利用导函数研究其单调性；（2）①根据f（x）为奇函数．求解k的值，构造新函数，结合导函数研究单调性求解最小值即可证明；②根据①结论可知实数a的最大值2．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为．（2）直线C2的方程为y=x，所以圆心（，2）到直线的距离d=，所以直线被圆所截得弦长为l=，所以△C1PQ的面积为．解析：（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.答案：解：（1）由f（x）=2|x+1|+|x-1|=，当x≤-1时，可得-1-3x＞2-x，解得x，∴x当-1＜x＜1时，可得3+x＞2-x，解得x，∴＜x＜1当x≥1时，可得3x+1＞2-x，解得x，∴x≥1综上所述，不等式f（x）＞2-x的解集为（-∞，-）∪（，+∞）；（2）当x≤-1时，f（x）=-1-3x，不等式f（x）＞a（x-1）恒成立，即-1-3x＞a（x-1）∴a＞=--3，∴y=--3在（-∞，-1]上为增函数，∴y≤-1，∴a＞-1，当-1＜x＜1时，f（x）=x+3，此时x-1＜0，不等式f（x）＞a（x-1）恒成立，即x+3＞a（x-1）∴a＞=+1，∴y=+1在（-1，1）上为减函数，∴y＜-1，∴a≥-1，当x=1时，此时f（x）=4＞0对任意的实数a都成立，当x＞1时，f（x）=2（x+1）+（x-1），若不等式f（x）＞a（x-1）恒成立，则a＜=+1=+1=+3，∴y=+3在（1，+∞）上为减函数，∴y＞3，∴a≤3，综上所述a的取值范围为[-1，3]解析：（1）利用零点分段化简f（x）=2|x+1|+|x-1|=，即可求解不等式f（x）＞2-x的解集；（2）分段讨论f（x）＞a（x-1）恒成立，即可求解实数a的取值范围．本题主要考查分段函数最值的求解，零点分段化简是解决本题的关键．。
2020年4月江苏省淮安市淮阴中学2020届高三毕业班高考综合模拟测试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省淮安市淮阴中学2020届高三毕业班下学期高考综合模拟测试数学试题(解析版)2020年4月一、填空题：1.复数4312i i++的虚部为_______. 【答案】1-【解析】【分析】化简得到2z i =-，得到答案.【详解】()()()()43124310521212125i i i i z i i i i +-+-====-++-，故虚部为1-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查了复数的虚部，意在考查学生的计算能力.2.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示,则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为__________.【答案】160【解析】【分析】利用频率分布直方图中频率之和为1,计算出得分不低于80分的频率为0.4,从而求出得分不低于80分以上的人数.【详解】得分不低于80分的频率为1(0.0150.0250.030)100.4 则得分不低于80分以上的人数为4000.4=160【点睛】本题考查频率分布直方图.频率分布直方图的纵坐标是频率÷组距,而不是频率．频数÷ 样本容量＝频率,此关系式的变形为频数÷ 频率＝样本容量,样本容量⨯频率＝频数．3.根据如图所示的伪代码,可知输出S 的值为__________【答案】21【解析】【分析】先读懂流程图的功能,然后逐步运算即可得解.【详解】解:由题意可知：当1i =时, 2135S =⨯+=,当3i =时, 2339S =⨯+=,当5i =时, 25313S =⨯+=,当7i =时, 27317S =⨯+=,当9i =时, 29321S =⨯+=,当11=i 时, 10i ≥,输出当前的S ,故输出S 的值为21,故答案为:21.【点睛】本题考查了流程图的功能,重点考查了运算能力,属基础题.4.若等差数列{}n a 的前5项和525S =,且23a =,则7a =______________.。
江苏省2020届高考数学模拟试题(二)(解析版)
【答案】3
【解析】设 ， ，
则
，
故 .
13．已知直线l：x＋my﹣2﹣m＝0(m R)恒过定点A，点B，C为圆O： 上的两动点，满足∠BAC＝90°，则弦BC长度的最大值为．
【答案】
【解析】直线l：x＋my﹣2﹣m＝0(m R)恒过定点A，可得A(2，1)，取BC中点D，
（2）求随机变量X的数学期望E(X)．
【解析】由于批量较大，可以认为随机变量 ,
（1）恰好有2件不合格的概率 ，
恰好有3件不合格的概率 ，
∵ ，
∴ ，即恰好有2件不合格的概率大；
（2）∵ ， .
随机变量 的概率分布为：
0
1
2
10
故 ．
23.已知 ， ，其中 ， ．
（1）求 ， ， ， 的值；
（2）记 ，求证：对任意的m ，m≥2，总有 ．
【答案】0.2
【解析】高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，
现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，
则高一学生抽取：5 2，
高二学生抽取：5 2，
高三学生抽取：5 1，
再从5位同学中选出2名一等奖，
基本事件个数n 10，
记 “两名一等奖来自同一年级”，
【答案】
【解析】将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度，可得
的图象.
根据图象与 的图象关于 轴对称，可得 ，
， ，即 时， 的最小值为 .
7．在长方体 中， ， ， ， 为 的中点，则点 到平面 的距离是______.
【答案】
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淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练七数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1.已知集合}1,1,0{-=A ，}01|{2≥-=x x B ，则B A ⋂= ▲ .2.已知复数z 满足i i z 23-=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是 ▲ .3.已知角510°的终边经过点),3(a P -，则实数a 的值是 ▲ .4.如下图所示的流程图，输出n 的值是 ▲ .5.已知函数)sin 3()(x a x x f +=为偶函数，则实数a 的值是 ▲ .6.现有5根铁丝，长度（单位：cm ）分别为2.1，2.2，2.4，2.5，2.7，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是 ▲ ．7.已知单位向量b a ,的夹角为120°，则|2|b a -的值是 ▲ ．8.如图，已知正三棱柱111C B A ABC -中，AB =3，41=AA ，若点P 从点A 出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱11B A 运动到点C 1，则点P 运动的最短路程为 ▲ .9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足6224=-a a ，则11S 的值= ▲ ． 10.已知函数())0(1>-=a x ax f ，3)1()(-=x x g ，若()x f 与()x g 的图像交于A 、B 两个不同的点，点P 在圆C ：1)1(22=-+y x的取值范围是 ▲ .11.如图，由一个正方形ABCD 与正三角形BDE （点E 在BD 下方）组成一个“风筝骨架”，O 为正方形ABCD 的中心，点P 是“风筝骨架”上一点，设n m +=),(R n m ∈，则n m +的最大值是 ▲ .A 1B 1C 1ABC第8题第11题12.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，满足2=BFAF，则椭圆C 离心率的最小值是 ▲ . 13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤≤-+-=ax t x t x x x f ,1|1|21),1(log )(21，若存在实数t ，使()x f 的值域为]1,1[-，则实数a 的取值范围是 ▲ . 14.对任意R x ∈，不等式()()322244≤+++--x xxx b a 恒成立，则b a +的最大值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知32cos =A ，CB cos 5sin =. （1）求C tan 的值； （2）若2=a ，求ABC ∆的面积.16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC ． （1）求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2）点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BFBE的值．17．（本小题满分14分）某工厂C 发生爆炸出现毒气泄漏，已知毒气以圆形向外扩散，且半径以每分钟km 1的速度增大. 一所学校A ，位于工厂C 南偏西ο45，且与工厂相距km 5. 消防站B 位于学校A 的正东方向，且位于工厂C 南偏东ο60，立即以每分钟km 2的速度沿直线BC 赶往工厂C 救援，同时学校组织学生P 从A 处沿着南偏东ο75的道路，以每分钟a km 的速度进行安全疏散（与爆炸的时间差忽略不计）. 要想在消防员赶往工厂的时间内（包括消防员到达工厂的时刻），保证学生的安全，学生撤离的速度应满足什么要求？18．（本小题满分16分）如图所示，已知椭圆：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右准线方程是直线4:=x l ，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B （点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方）. （1）求椭圆的标准方程；（2）①求证：分别以PA 、PB 为直径的两圆都恒过定点C ；②若21=，求直线PC 的方程.A C BP x19．（本小题满分16分）设函数x a x x f ln 2)(2+=，（R a ∈）.（1）若曲线y=f （x ）在点（1，f (1)）处的切线方程为y =2x +m ，求实数a 、m 的值； （2）关于x 的方程f （x ）+2cosx =5能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若f （2x -1）+2>2f （x ）对任意),2[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分16分）若无穷数列}{n a 满足：0>n a ，且对任意n l k s <<<，l k n s +≥+（*∈N n l k s ,,,）都有l k n s a a a a +≥+，则称数列}{n a 为“T ”数列. （1）证明：正项无穷等差数列}{n a 是“T ”数列；（2）记正项等比数列}{n b 的前n 项之和为n S ，若数列}{n S 是“T ”数列，求数列}{n b 公比的取值范围；（3）若数列}{n c 是“T ”数列，且数列}{n c 的前n 项之和n T 满足21nn c c n T +≥， 求证：数列}{n c 是等差数列.淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练七 数 学（附加卷）注：本卷共三大题计4小题，共计40分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤．21A ．(本小题满分10分)已知直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，若直线过点（1,1），求实数a 的值．21B ．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t 是参数）， 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，且直线与圆C 相切，求实数m 的值．22.(本小题满分10分)某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．23.(本小题满分10分)随着城市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有个新农村集结区按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上，如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路，两条道路的交汇处安装红绿灯（集结区除外），在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个数为. （1）求；（2）求，并用数学归纳法证明.淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练七数学参考答案一、填空题1.{1,-1}2.i 32+-3.14.45.06.1037．7 8.31 9．66 10. [].222,222+- 11.3 12.31 13.]2,21( 14.4333-二、解答题15．解：（1）由32cos =A ，1cos sin 22=+A A 且),0(π∈A 得35sin =AO因为A+B+C=π，所以)sin(sin C A B += 又因为C B cos 5sin = 所以C C C C A cos 5sin 32cos 35)sin(=+=+ 得C C cos 352sin 32= 若0cos =C ，则1sin =C 不符合上式，所以0cos ≠C所以5tan =C（2）由5tan =C ，1cos sin 22=+C C 且),0(π∈C得630sin =C ，66cos =C C B cos 5sin =630= 由Bb A a sin sin =得3=b 25sin 21==∴∆C ab S ABC16．证明：（1）矩形ABCD 中AB ⊥BC ，平面ABCD ⊥平面BCE ， 平面ABCD ∩平面BCE = BC ，AB ⊂平面ABCD ∴AB ⊥平面BCE 又CE ⊂平面BCE ∴AB ⊥CE 而BE ⊥EC 且AB ∩BE = B ，AB ，BE ⊂ 平面ABE ∴ CE ⊥平面ABE ，由CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABE （2）连接BD ，设BD ∩AC = O ，连接OF ， 矩形ABCD 中，O 是BD 中点若DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面DBE ，平面DBE ∩平面AFC = OF ∴OF ∥DE在△BDE 中，∵OF ∥DE ，O 是BD 中点，∴F 是BE 中点 ∴BEBF= 2 17. BC=25因为安全撤离，所以t PC >在]5,0[∈t 上恒成立CAP AP AC AP AC PC ∠⋅-+=cos 2222222525t at t a >-+=在]5,0[∈t 上恒成立所以0255)1()(22>+--=at t a t f1°a=1时，0255)(>+-=t t f 在]5,0[∈t 上恒成立，所以a=1符合题意2°0<a<1时，)(t f 的最小值只可能在端点处取得，所以只要0)0(>f 且0)5(>f ，解得10><a a 或，舍去3°a>1时 （1）当5)1(252≥-a a即41711+<<a 时，)(t f 的最小值为0)5(>f ，得10><a a 或，所以41711+<<a （2）当5)1(252<-a a即4171+>a 时，0<∆得332>a ， 因为3324171>+所以4171+>a 综上，1≥a 即学生撤离的速度至少要是每分钟1km18. （1）13422=+y x （2）①设切点A ),(00y x ，则可证切线AP ：13400=+yy x x 所以点P ))1(3,4(00y x - 以AP 为直径的圆：0))1(3)(()4)((0000=---+--y x y y y x x x 由对称性可知定点在x 轴上，令y=0得03)4(002=+++-x x x x ，所以过定点C （1,0）同理，以BP 为直径的圆过定点C （1,0） ②设A ),(11y x ，B ),(22y x ，C （1,0）因为21=，所以⎩⎨⎧-=-=1212223y y x x又因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x yx ，所以A )853,47( P )556,4(-， 所以直线PC 的方程为552552+-=x y 19.（1）0,2=-=m a（2）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令g(x)= f （x ）+2cosx如果g （x ）=5有三个不同的实根，则g （x ）至少要有三个单调区间，则0)(='x g 至少两个不等实根，所以只要证明0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根x x a x x g sin 24)(-+='，2cos 24)(xax x g --=''， 1°当a<0时，0,0cos 242>->-xax ，∴0)(>''x g ，∴)(x g '在),0(+∞单调递增，∴0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根； 2°当a ≥0时，0cos 24)sin 24(>-='-x x x ，∴x x y sin 24-=在),0(+∞单调递增，∴x x y sin 24-=>0，又因为a ≥0时0≥x a ，∴0sin 24)(>-+='x xax x g ， ∴0)(='x g 在),0(+∞没有实根综合1°2°可知，0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根，所以得证（3）∵f （2x-1）+2>2f （x ）对任意),2[+∞∈x 恒成立，且x a x x f ln 2)(2+=， ∴x a x a x x ln 2)12ln(4842>-++-对任意),2[+∞∈x 恒成立， ∴)12ln()12(4ln 422--->-x a x x a x 对任意),2[+∞∈x 恒成立， 令t a t t h ln 4)(-=，则)12()(2->x h x h 对任意),2[+∞∈x 恒成立，∵),2[+∞∈x 时122->x x ，且)12()(2->x h x h ，),3[12),4[2+∞∈-+∞∈x x ，∴t a t t h ln 4)(-=在),3[+∞∈t 单调递增∴04)(≥-='tat h 在),3[+∞∈t 恒成立， ∴12≤a20.（1）证明：l k n s a a a a --+=d l k n s )(--+因为正项无穷等差数列}{n a ，所以d>0，且l k n s +≥+，所以l k n s a a a a +≥+ 所以正项无穷等差数列}{n a 是“T ”数列（2）1°q=1时l k n s S S S S --+0)(1≥--+=a l k n s 成立，所以q=1； 2°q>1时l k n s S S S S --+)(11s n l k q q q q q a --+-=)1(11--+-=---s n s l s k s q q q q qa因为l k n s +≥+，所以s l k n -+≥，又因为q>1，所以s l s k s l k sn q q q q ---+-⋅=≥2所以1--+---s n s l sk q q q1-⋅-+≤----s l s k s l s k q q q q )1)(1(s l s k q q ----=<0所以l k n s S S S S --+)1(11--+-=---s n s l sk s q q q q qa >0，所以q>1 3°0<q<1时l k n s S S S S --+)(11s n l k q q q q qa --+-=)1(11--+-=---n s n l n k n q q q q q a)1111(11-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---sn ln kn n q q q q q a因为l k n s +≥+，所以s l k n -+≥，又因为0<q<1，所以sl sk sn q q q ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111所以1111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---sn ln kn q q q sl sk ls ks q q q q ----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11111]11][11[-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--sl sk q q <0所以l k n s S S S S --+)1111(11ln kn sn n q q q q q a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=<0舍去综上：q ≥1（3）n n c c c T +++=Λ2111c c c T n n n +++=-Λ所以)()()(21121c c c c c c T n n n n ++++++=-Λ数列}{n c 是“T ”数列，所以n n c c c c +≤+-112，n n c c c c +≤+-123，…，n n c c c c +≤+11 所以)(21n n c c n T +≤，所以21nn c c n T +≤又因为21n n c c n T +≥，所以21nn c c n T +=，即)(21n n c c n T += 两次退位相减，可证数列}{n c 是等差数列21A.设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． 将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1．21B.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即圆C 的方程为()2224x y -+=，又由,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消t，得0x m -=，由直线l 与圆C 相切， 所以222m -=，即2m =-或6m =22.（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A ，则41)(2413==A A A P ，故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率14． （2）随机变量X 的所有取值为0,10,20,30,40．1(0)4P X ==，12241(10)6P P X P ===,22324411(20)6P P X P P ==+=，1222341(30)6C P P X P ===，33441(40)4P P X P ===所以，随机变量X 的分布列为:111110102030402046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．23.解：（1）5)5(,1)4(==P P（2）证明：①1)4(,444===C P n ，命题成立；假设)4(≥=k k n 时，4)(k C k P =则1+=k n 时，1321,,...,,,+k k A A A A A 按逆时针方向排列，依次连结k k k k A A A A A A 12111,......,,+++可增加k 条道路，则 11A A k +与凸四边形内部的道路交点为0；21A A k +与凸四边形内部的道路交点为)2(1-⋅k ； 31A A k +与凸四边形内部的道路交点为)3(2-k ；依次类推11-+k k A A 与凸四边形内部的道路交点为1)2(⋅-k ；则41334212322423)...(22)2)(1()]1)(2(...3221[)2(...32)1(+-=-+=+++---+=--++⨯+⨯--++++=+k k k k k k C C C C C C C k k k C k k k k k k k k P。