人教版数学高二(人教A版选修4-5)1.1.1不等式的基本性质 素材

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1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

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求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个 重要方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行 运算,是解答此类问题的基础,在使用不等式的性
质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一
定不能直接作差,而要转化为同向不等式后作和.
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α+β α-β π π π π 5.“已知- ≤α≤ ,- ≤β≤ ”,求 , 的取值 2 2 2 2 2 2 范围.
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(5)如果a>b>0,那么an > bn(n∈N,n≥2).
> n b(n∈N,n≥2). (6)如果a>b>0,那么 a 3.对上述不等式的理解
n
使用不等式的性质时,一定要清楚它们成立的前提条
件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用,例如: (1)等式两边同乘以一个数仍为等式,但不等式两边同 乘以同一个数c(或代数式)结果有三种:①c>0时得 同向不 等式;②c=0时得 等式 ;③c<0时得 异向 不等式.
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1.不等式的基本性质
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1.实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 .在数轴上,右边的数总 比左边的数 大 . (2)如果a-b>0,则 a>b ;如果a-b=0,则 a=b ;
如果a-b<0,则 a<b .
(3)比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的 差a -b的符号 ;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们 的值的大小,而这又归结为判断它们的 差的符号 .
π π 解:∵- ≤α≤ , 2 2 π π - ≤β≤ , 2 2 π α+β π ∴-π≤α+β≤π.∴- ≤ ≤ . 2 2 2 π π π π 又∵- ≤α≤ ,- ≤-β≤ , 2 2 2 2 π α-β π ∴-π≤α-β≤π.∴- ≤ ≤ . 2 2 2 α+β α-β π π ∴ 、 的取值范围均为[- , ]. 2 2 2 2

人教版数学高二A版选修4-5学业分层测评1 不等式的基本性质

人教版数学高二A版选修4-5学业分层测评1 不等式的基本性质

学业分层测评(一)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.设a ,b ,c ,d ∈R ,且a >b ,c >d ,则下列结论正确的是( ) A .a +c >b +d B .a -c >b -d C .ac >bdD.a d >b c【解析】 ∵a >b ,c >d ,∴a +c >b +d . 【答案】 A2.设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式中正确的是( ) A .b -a >0 B .a 3+b 3<0 C .b +a >0D.a 2-b 2<0【解析】 a -|b |>0⇒|b |<a ⇒-a <b <a ⇒a +b >0.故选C. 【答案】 C3.若a <b <0,则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1bB .2a >2bC .|a |>|b |>0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b【解析】 考查不等式的基本性质及其应用.取a =-2,b =-1验证即可求解.【答案】 B4.已知a <0,-1<b <0,那么( ) A .a >ab >ab 2 B .ab 2>ab >a C .ab >a >ab 2D.ab >ab 2>a【解析】 ab 2-ab =ab (b -1),∵a<0,-1<b<0,∴b-1<0,ab>0,∴ab2-ab<0,即ab2<ab;又ab2-a=a(b2-1),∵-1<b<0,∴b2<1,即b2-1<0.又a<0,∴ab2-a>0,即ab2>a.故ab>ab2>a.【答案】 D5.设a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<1a”的()【导学号:32750004】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】∵0<ab<1,当a<0且b<0时可推得b>1a,所以“0<ab<1”不是“b<1a”的充分条件,①反过来,若b<1a,当b<0且a>0时,有ab<0,推不出“0<ab<1”,所以“0<ab<1”也不是“b<1a”的必要条件,②由①②知,应选D.【答案】 D二、填空题6.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x).【解析】f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).【答案】>7.给出四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0.能得出1a<1b成立的有________.(填序号)【解析】1a<1b⇔1a-1b<0⇔b-aab<0,∴①②④可推出1a<1b成立.【答案】①②④8.已知α,β满足-1≤α+β≤1,1≤α+2β≤3,则α+3β的取值范围是________.【解析】设α+3β=λ(α+β)+μ(α+2β),可解得λ=-1,μ=2,∴α+3β=-(α+β)+2(α+2β).又-1≤α+β≤1,1≤α+2β≤3,∴1≤α+3β≤7.【答案】[1,7]三、解答题9.(1)已知a>b>0,c<d<0,求证:3ad<3bc;(2)若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:e(a-c)2>e(b-d)2.【证明】(1)∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c<-1d.又a>b>0,∴-ad>-bc>0,∴3-ad>3-bc,即-3ad>-3bc.两边同乘以-1,得3ad<3bc.(2)∵c<d<0,∴-c>-d>0.∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0,∴1(a-c)2<1(b-d)2.又∵e<0,∴e(a-c)2>e(b-d)2.10.设x,y为实数,且3≤xy2≤8,4≤x2y≤9,求x3y4的取值范围.【解】由4≤x2y≤9,得16≤x4y2≤81. ①又3≤xy2≤8,∴18≤1xy2≤13. ②由①×②得18×16≤x4y2·1xy2≤81×13,即2≤x3y4≤27,因此x3y4的取值范围是[2,27].[能力提升]1.若a,b为实数,则“0<ab<1”是“a<1b或b>1a”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】对于0<ab<1,如果a>0,则b>0,a<1b成立,如果a<0,则b<0,b>1a成立,因此“0<ab<1”是“a<1b或b>1a”的充分条件;反之,若a=-1,b=2,结论“a<1b 或b>1a”成立,但条件0<ab<1不成立,因此“0<ab<1”不是“a<1b或b>1a”的必要条件,即“0<ab<1”是“a<1b或b>1a”的充分而不必要条件.【答案】 A2.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①ca>cb;②ac<b c;③log b(a-c)>log a(b-c).其中所有的正确结论的序号是()A.①B.①②C.②③ D.①②③【解析】由a>b>1,c<0,得1a<1b,ca>cb;幂函数y=x c(c<0)是减函数,所以a c<b c;因为a-c>b-c,所以log b(a-c)>log a(a-c)>log a(b-c),①②③均正确.【答案】 D3.给出下列条件:①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1<b.其中能推出log b 1b<log a1b<log a b成立的条件的序号是________.(填所有可能的条件的序号) 【解析】∵log b1b=-1,若1<a<b,则1b<1a<1<b,∴log a1b<log a1a=-1,故条件①不可以;若0<a<b<1,则b<1<1b<1a,∴log a b >log a 1b >log a 1a =-1=log b 1b , 故条件②可以;若0<a <1<b ,则0<1b <1, ∴log a 1b >0,log a b <0,条件③不可以.故应填②. 【答案】 ②4.已知f (x )=ax 2+c ,且-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.【导学号:32750005】【解】 由-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,得 ⎩⎪⎨⎪⎧-4≤a +c ≤-1,-1≤4a +c ≤5.设u =a +c ,v =4a +c ,则有a =v -u 3,c =4u -v 3, ∴f (3)=9a +c =-53u +83v . 又⎩⎪⎨⎪⎧-4≤u ≤-1,-1≤v ≤5,∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤-53u ≤203,-83≤83v ≤403,∴-1≤-53u +83v ≤20, 即-1≤f (3)≤20.∴f (3)的取值范围为[-1,20].。

1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

[通一类] x 1 2 2 1.x∈R,比较(x+1)(x + +1)与(x+ )· +x+1)的大小. (x 2 2 x x 2 2 解:因为(x+1)(x + +1)=(x+1)· +x+1- )=(x+ (x 2 2
x 1)(x +x+1)- (x+1), 2
2
1 2 1 2 (x+ )(x +x+1)=(x+1- )(x +x+1) 2 2 1 2 =(x+1)(x +x+1)- (x +x+1). 2
的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式,一旦变化 出其他的范围问题,则不能再间接得出,必须“直来直去”, 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系,然后去求.
[通一类] 3.若已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(-2)的范围.
解:法一:∵f(x)过原点,∴可设 f(x)=ax2+bx.
的一个新亮点.
[考题印证] (2012· 湖南高考)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论:
c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是 A.① C.②③ B.①② D.①②③ ( )
[命题立意]本题考查不等式性质在比较实数大小中的
应用.
2
[例 2]
[研一题] 下列命题中正确的是
(
)
(1)若 a>b,c>b,则 a>c; a (2)若 a>b,则 lgb>0; (3)若 a>b,c>d,则 ac>bd; 1 1 (4)若 a>b>0,则a<b; a b (5)若 c>d,则 ad>bc;
(6)若a>b,c>d,则a-d>b-c. A.(1)(2) C.(3)(6) B.(4)(6) D.(3)(4)(5)

人教版高中数学选修4-5课件:1.1不等式.1

人教版高中数学选修4-5课件:1.1不等式.1

【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以1
ab
得 a
1
>b得1
> ,
,1故正1 确.
(2)因ab为c-aab>0,c-bb>0a ,且c-a<c-b
所以
>0,
又a>bc 1>a0>,所c 1以b
,正确.
a>b ca cb
(3)由 a >,所b 以 >a0,b
cd
cd
即即aaddcd>bcb>c0且,c所d以>0ac或dd>a0bd,c><0b,或c且accddd<<0b.c0<, 0,
超级记忆法-记忆 规律
TIP1:我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后! TIP2:可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识,由于不受后摄抑制的 影 响,更容易储存记忆信息,由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆 规律
TIP3:另外,还有研究表明,记忆在我们的睡眠过程中也并未停止,我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以,睡前的这段时间可是 非常 宝贵的,不要全部用来玩手机哦~
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆 的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然 成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的 正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一 作差法比较大小 【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么? 提示:常用作差比较法.

1.1.1不等式的基本性质课件人教新课标4

1.1.1不等式的基本性质课件人教新课标4

堂 双


导 学
所以xx-2yx2+x+1y>0.
达 标
所以A2>B2,又A>0,B>0,故有A>B.


互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
不等式的基本性质
新课标 ·数学 选修4-5
判断下列命题是否正确,并说明理由.


前 自
(1)若a>b,则ac2>bc2;
堂 双


导 学
(2)若ca2>cb2,则a>b;
自 主
A.3a>2a
B.a2<2a
双 基



1
C.a<a

D.3-2a>1-2a

堂 互
【答案】 D



课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
2.已知m,n∈R,则m1 >1n成立的一个充要条件是
课 前
A.m>0>n

主 导
C.m<n<0

B.n>m>0 D.mn(m-n)<0
()
当 堂 双 基 达 标

堂 方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答
互 动
探 此类问题的基础.

课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前 自
已知-6<a<8,2<b<3,分别求a-b,ab的取值范围.
当 堂 双





【解】 ∵-6<a<8,2<b<3.

∴-3<-b<-2,∴-9<a-b<6,

3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)

3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)

作业
一、课本 P10 2
二、补充
1.比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小.
2
2.如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小. 3.已知 a 0,比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)(a 2 a 1) 的大小.
2.
0
基本理论

• 1.实数在数轴上的性质:
• 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应,因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小:
A a a<b
B b x
B b a>b
A a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右 边时,a>b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
2
(3)
a
2
b
(4)
2 2
a
b
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一:比较实数的大小. 一般步骤: 作差-变形-判断符号—下结论。 变形是关键: 1°变形常用方法:配方法,因式分解法。 2°变形常见形式是:变形为常数;一个常数与几 个平方和;几个因式的积。
• 同向不等式: • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的 左边都小于右边(不等号的方向相同). • 异向不等式: • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个 的左边小于右边(不等号的方向相反). • 同解不等式 • 形式不同但解相同的不等式。 • 其它重要概念 • 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式

2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书:第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1.不等式的基本性

2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书:第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1.不等式的基本性

1.不等式的基本性质1.实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小.在数轴上,右边的数总比左边的数大.(2)如果a-b>0,则a>b;如果a-b=0,则a=b;如果a-b<0,则a<b.(3)比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差与0的大小;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差与0的大小.2.不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实,可以得到不等式的一些基本性质:(1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c.(3)如果a>b,那么a+c>b+c.(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.(5)如果a>b>0,那么a n>b n(n∈N,n≥2).(6)如果a>b>0n∈N,n≥2).3.对上述不等式的理解使用不等式的性质时,一定要清楚它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用,例如:(1)等式两边同乘一个数仍为等式,但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种:①c>0时得同向不等式;②c=0时得等式;③c<0时得异向不等式.(2)a>b,c>d⇒a+c>b+d,即两个同向不等式可以相加,但不可以相减;而a>b>0,c>d>0⇒ac>bd,即已知的两个不等式同向且两边为正值时,可以相乘,但不可以相除.(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值,并且n∈N,n≥2,否则结论不成立.而当n取正奇数时可放宽条件,a>b⇒a n>b n(n=2k+1,k∈N),a>b⇒na>nb(n=2k+1,k∈N*).已知x,y均为正数,设m=x +y,n=x+y,试比较m和n的大小.两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负,得出大小 m -n =1x +1y -4x +y =x +y xy -4x +y =+-4xy+=-+,∵x ,y 均为正数,∴x >0,y >0,xy >0,x +y >0,(x -y )2≥0. ∴m -n ≥0,即m ≥n (当x =y 时,等号成立).比较两个数(式子)的大小,一般用作差法,其步骤是:作差—变形—判断差的符号—结论,其中“变形”是关键,常用的方法是分解因式、配方等.1.已知a ,b ∈R ,比较a 4+b 4与a 3b +ab 3的大小. 解:因为(a 4+b 4)-(a 3b +ab 3) =a 3(a -b )+b 3(b -a ) =(a -b )(a 3-b 3) =(a -b )2(a 2+ab +b 2) =(a -b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22+34b2≥0. 当且仅当a =b 时,等号成立, 所以a 4+b 4≥a 3b +ab 3.2.在数轴的正半轴上,A 点对应的实数为6a29+a4,B 点对应的实数为1,试判断A 点在B 点的左边,还是在B 点的右边?解:因为6a29+a4-1=--9+a4≤0,所以6a29+a4≤1. 当且仅当a =±3时,等号成立,所以当a ≠±3时,A 点在B 点左边,当a =±3时,A 点与B 点重合.已知a >b >0,c <d <0,e <0.求证:a -c >b -d .可以作差比较,也可用不等式的性质直接证明. 法一:e a -c -eb -d=-d -a +--=-a +c ---,∵a >b >0,c <d <0,∴b -a <0,c -d <0.∴b -a +c -d <0.又∵a >0,c <0,∴a -c >0.同理b -d >0, ∴(a -c )(b -d )>0. ∵e <0,∴-a +c --->0,即e a -c >eb -d . 法二:⎭⎪⎬⎪⎫c<d<0⇒-c>-d>0a>b>0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a -c>b -d>0⇒1a -c <1b -d e<0⇒e a -c >e b -d.进行简单的不等式的证明,一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上,如果不能直接由不等式的性质得到,可以先分析需要证明的不等式的结构,利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件.3.已知x ≥1,y ≥1,求证:x 2y +xy 2+1≤x 2y 2+x +y . 证明:左边-右边=(y -y 2)x 2+(y 2-1)x -y +1 =(1-y )=(1-y )(xy -1)(x -1).因为x ≥1,y ≥1,所以1-y ≤0,xy -1≥0,x -1≥0. 所以x 2y +xy 2+1≤x 2y 2+x +y .4.已知a ,b ,x ,y 都是正数,且1a >1b ,x >y ,求证:x x +a >yy +b .证明:因为a ,b ,x ,y 都是正数,且1a >1b ,x >y ,所以x a >y b ,所以a x <by .故a x +1<b y +1,即x +a x <y +b y .所以x x +a >yy +b.(1)已知-π2≤α≤β≤2,求α-β的取值范围.(2)已知-1≤a +b ≤1,1≤a -2b ≤3,求a +3b 的取值范围. 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质. (1)∵-π2≤α≤β≤π2, ∴-π2≤α≤π2,-π2≤-β≤π2,且α≤β.∴-π≤α-β≤π且α-β≤0.∴-π≤α-β≤0.即α-β的取值范围为.(2)设a +3b =λ1(a +b )+λ2(a -2b )=(λ1+λ2)a +(λ1-2λ2)b .解得λ1=53,λ2=-23.∴-53≤53(a +b )≤53,-2≤-23(a -2b )≤-23.∴-113≤a +3b ≤1.即a +3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-113,1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础,在使用不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作差,而要转化为同向不等式后作和.5.已知1≤α+β≤4,-2≤α-β≤-1,求2α-β的取值范围. 解:设2α-β=m (α+β)+n (α-β),∴⎩⎪⎨⎪⎧m +n =2,m -n =-1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m =12,n =32.又∵1≤α+β≤4,-2≤α-β≤-1, ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12α+β,-3≤32α-β-32⇒-52≤2α-β≤12.∴2α-β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-52,12.6.三个正数a ,b ,c 满足a ≤b +c ≤2a ,b ≤a +c ≤2b ,求ba 的取值范围.解:两个不等式同时除以a ,得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a +ca≤2,①b a ≤1+c a ≤2·ba ,②将②×(-1),得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a +ca≤2,-2·b a ≤-1-c a ≤-ba,两式相加,得1-2b a ≤b a -1≤2-b a ,解得23≤b a ≤32.即b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,32. 课时跟踪检测(一)1.下列命题中不.正确的是( ) A .若3a>3b ,则a >b B .若a >b ,c >d ,则a -d >b -c C .若a >b >0,c >d >0,则a d >bcD .若a >b >0,ac >bd ,则c >d解析:选D 当a >b >0,ac >ad 时,c ,d 的大小关系不确定. 2.已知a >b >c ,则下列不等式正确的是( ) A .ac >bc B .ac 2>bc 2C .b (a -b )>c (a -b )D .|ac |>|bc |解析:选C a >b >c ⇒a -b >0⇒(a -b )b >(a -b )c . 3.如果a <b <0,那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B .ab <b 2C .-ab <-a 2D .-1a <-1b解析:选D 对于A 项,由a <b <0,得b -a >0,ab >0,故1a -1b =b -a ab >0,1a >1b ,故A 项错误;对于B 项,由a <b <0,得b (a -b )>0,ab >b 2,故B 项错误;对于C 项,由a <b <0,得a (a -b )>0,a 2>ab ,即-ab >-a 2,故C 项错误;对于D 项,由a <b <0,得a -b <0,ab >0,故-1a -⎝ ⎛⎭⎪⎫-1b =a -b ab <0,-1a <-1b成立,故D 项正确.4.若a >0>b >-a ,c <d <0,则下列结论:①ad >bc ;②a d +bc <0;③a -c >b -d ;④a (d -c )>b (d-c )中,成立的个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:选 C ∵a >0>b ,c <d <0,∴ad <0,bc >0,∴ad <bc ,故①不成立.∵a >0>b >-a ,∴a >-b >0,∵c <d <0,∴-c >-d >0,∴a (-c )>(-b )(-d ),∴ac +bd <0,∴a d +b c =ac +bdcd <0,故②成立.∵c <d ,∴-c >-d ,∵a >b ,∴a +(-c )>b +(-d ),a -c >b -d ,故③成立.∵a >b ,d -c >0,∴a (d -c )>b (d -c ),故④成立.成立的个数为3.5.给出四个条件:①b >0>a ;②0>a >b ;③a >0>b ;④a >b >0. 能得出1a <1b成立的有________(填序号).解析:由1a <1b ,得1a -1b <0,b -a ab <0,故①②④可推得1a <1b成立.答案:①②④6.设a >b >1,c <0,给出下列三个结论:①c a >c b ;②a c <b c;③log b (a -c )>log a (b -c ).其中所有的正确结论的序号是________.解析:由a >b >1,c <0,得1a <1b ,c a >c b ;幂函数y =x c (c <0)是减函数,所以a c <b c;因为a -c >b -c ,所以log b (a -c )>log a (a -c )>log a (b -c ),①②③均正确.答案:①②③7.已知-1<x +y <4且2<x -y <3,则z =2x -3y 的取值范围是________. 解析:设z =2x -3y =m (x +y )+n (x -y ),即2x -3y =(m +n )x +(m -n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m +n =2,m -n =-3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-12,n =52.∴2x -3y =-12(x +y )+52(x -y ).∵-1<x +y <4,2<x -y <3,∴-2<-12(x +y )<12,5<52(x -y )<152.由不等式同向可加性,得3<-12(x +y )+52(x -y )<8,即3<z <8.答案:(3,8)8.若a >0,b >0,求证:b2a +a2b≥a +b . 证明:∵b2a +a2b -a -b =(a -b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b -b a =-+ab,(a -b )2≥0恒成立,且已知a >0,b >0, ∴a +b >0,ab >0.∴-+ab≥0.∴b2a +a2b≥a +b . 9.已知-6<a <8,2<b <3,分别求2a +b ,a -b ,ab 的取值范围.解:∵-6<a <8,∴-12<2a <16. 又2<b <3,∴-10<2a +b <19. ∵2<b <3,∴-3<-b <-2. 又∵-6<a <8,∴-9<a -b <6. ∵2<b <3,∴13<1b <12.①当0≤a <8时,0≤ab <4;②当-6<a <0时,-3<ab<0.综合①②得-3<ab<4.∴2a +b ,a -b ,ab的取值范围分别为(-10,19),(-9,6),(-3,4).10.已知a >0,a ≠1. (1)比较下列各式大小.①a 2+1与a +a ;②a 3+1与a 2+a ; ③a 5+1与a 3+a 2.(2)探讨在m ,n ∈N +条件下,am +n+1与a m +a n的大小关系,并加以证明.解:(1)由题意,知a >0,a ≠1,①a 2+1-(a +a )=a 2+1-2a =(a -1)2>0. ∴a 2+1>a +a .②a 3+1-(a 2+a )=a 2(a -1)-(a -1) =(a +1)(a -1)2>0,∴a 3+1>a 2+a , ③a 5+1-(a 3+a 2)=a 3(a 2-1)-(a 2-1)=(a 2-1)(a 3-1). 当a >1时,a 3>1,a 2>1,∴(a 2-1)(a 3-1)>0. 当0<a <1时,0<a 3<1,0<a 2<1, ∴(a 2-1)(a 3-1)>0,即a 5+1>a 3+a 2. (2)根据(1)可得am +n+1>a m +a n.证明如下:a m +n +1-(a m +a n )=a m (a n -1)+(1-a n )=(a m -1)(a n -1).当a >1时,a m>1,a n>1,∴(a m-1)(a n-1)>0. 当0<a <1时,0<a m<1,0<a n<1, ∴(a m-1)(a n-1)>0.综上可知(a m-1)(a n-1)>0,即a m +n+1>a m +a n.。

高中数学新人教A版选修4-5课件:第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质

高中数学新人教A版选修4-5课件:第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质

探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1

a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作

5.1不等式的基本性质 课件(人教A版选修4-5)

5.1不等式的基本性质 课件(人教A版选修4-5)
(开方法则)
性质是求解和证明不等式的基础. 例1(1) 已知a > b, c < d , 求证:a-c > b-d (2) 已知a>b> 0,c>d>0, 求证:ac>bd
c c (3) 已知a>b> 0, c <0, 求证: a b
1 1 思考 已知 a>b, 试判断 与 的大小关系. a b 1 1 性质 a b, ab 0 ; a b 1 1 a b, ab 0 . a b
(1) a b b a (对称性) (2) a b, b c a c (传递性) (3) a b a c b c (加法法则) (i ) a b c a c b.
(ii ) a b, c d a c b d
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也已知a > 0,a2-2ab+c2 =0,bc>a2,试 比较a、b、c的大小。
1. 设a, b是两个实数,它们在数轴上所对应 的点分别为A, B,那么, 当点A在点B的左 边时, a<b; 当点A在点B的右边时, a>b。 A a a< b B b
x
B b a>b
A a
x
2. 关于实数a, b的大小关系,有以下事实:
a b ab0 a b ab0 a b ab0
c 例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则 的取值 a (-2,-0.5) 范围是___________。 思考 已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1, -1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。 [-1, 20] 练习 1.对于实数a, b, c,给出下列命题: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)若a>b,c<d,则a+c<b+d; (4)若a>b,c>d,则ac>bd; (5)若a<b<0,则 a2>ab>b2 (2) 、(5) 其中,正确命题的序号是________________.

3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)

3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
2
(3)
a
2
b
(4)
2 2
a
b
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一:比较实数的大小. 一般步骤: 作差-变形-判断符号—下结论。 变形是关键: 1°变形常用方法:配方法,因式分解法。 2°变形常见形式是:变形为常数;一个常数与几 个平方和;几个因式的积。
2.
0
基本理论

• 1.实数在数轴上的性质:
• 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应,因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小:
A a a<b
B b x
B b a>b
A a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右 边时,a>b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1.比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大.
2
2.如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小. 3.已知 a 0,比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)(a 2 a 1) 的大小.
• 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小

3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)

3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)

• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行:①作差;②变形;③定号; ③下结论。
• 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小
• 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小:
1 * (1)16 与18 ; ( 2) 与2 n (n N ) n1 n
18 16
(3)比较a b 和a b 的
a b b a
2
(3)
a
2
b
(4)
2 2
a
b
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一:比较实数的大小. 一般步骤: 作差-变形-判断符号—下结论。 变形是关键: 1°变形常用方法:配方法,因式分解法。 2°变形常见形式是:变形为常数;一个常数与几 个平方和;几个因式的积。
2.

5.1不等式的基本性质 课件(人教A版选修4-5)

5.1不等式的基本性质 课件(人教A版选修4-5)

(1) a b b a (对称性) (2) a b, b c a c (传递性) (3) a b a c b c (加法法则) (i ) a b c a c b.
(ii ) a b, c d a c b d
(开方法则)
性质是求解和证明不等式的基础. 例1(1) 已知a > b, c < d , 求证:a-c > b-d (2) 已知a>b> 0,c>d>0, 求证:ac>bd
c c (3) 已知a>b> 0, c <0, 求证: a b
1 1 思考 已知 a>b, 试判断 与 的大小关系. a b 1 1 性质 a b, ab 0 ; a b 1 1 a b, ab 0 . a b
(乘法法则) (同向加)
3.不等式的基本性质:
(4) a b, c 0 ac bc; a b, c 0 ac bc
a b 0, c d 0 ac bd (同正同向乘) n n (5) a b 0 a b (n N , n 2) (乘方法则) n n (6) a b 0 a b (n N , n 2)
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
作业:P 2. 3
补充 已知a > 0,a2-2ab+c2 =0,bc>a2,试 比较a、b、c的大小。
c 例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则 的取值 a (-2,-0.5) 范围是___________。 思考 已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1, -1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。 [-1, 20] 练习 1.对于实数a, b, c,给出下列命题: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)若a>b,c<d,则a+c<b+d; (4)若a>b,c>d,则ac>bd; (5)若a<b<0,则 a2>ab>b2 (2) 、(5) 其中,正确命题的序号是________________.

3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)

3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
择合适的方法.
作商比较法: 作商——变形——与1比较大小. 大多用于比较幂指式的大小.
练习
1、若m 0,比较m 与2 的大小
2、选择题: 已知 a b ,在以下4个不等式中正确的是:
(1)
m
m
1 1 a b
lg(a 2 1 ) lg(b 2 1 ) (2)
• 同向不等式: • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的 左边都小于右边(不等号的方向相同). • 异向不等式: • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个 的左边小于右边(不等号的方向相反). • 同解不等式 • 形式不同但解相同的不等式。 • 其它重要概念 • 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式
• 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小
• 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小:
1 * (1)16 与18 ; ( 2) 与2 n (n N ) n1 n
18 16
(3)比较a b 和a b 的
a b b a
2
(3)
a
2
b
(4)
2 2
a
b
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一:比较实数的大小. 一般步骤: 作差-变形-判断符号—下结论。 变形是关键: 1°变形常用方法:配方法,因式分解法。 2°变形常见形式是:变形为常数;一个常数与几 个平方和;几个因式的积。
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打印版 第01课时 不等式的基本性质
一、引入:
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”:“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在;日常生活中息息相关的问题,如“自来水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮?”、“用一块正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形?”等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且,不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等)和它们的证明,数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发,说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题:a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么? 分析:起初的糖水浓度为a b ,加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++,只要证m a m b ++>a b 即可。

怎么证呢?
二、不等式的基本性质:
1.实数的运算性质与大小顺序的关系:
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知:
0>-⇔>b a b a
0=-⇔=b a b a
0<-⇔<b a b a
得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。

2.不等式的基本性质:
①如果a>b ,那么b<a ,如果b<a ,那么a>b 。

(对称性)
②如果a>b ,且b>c ,那么a>c ,即a>b ,b>c ⇒a>c 。

③如果a>b ,那么a+c>b+c ,即a>b ⇒a+c>b+c 。

推论:如果a>b ,且c>d ,那么a+c>b+d .即a>b , c>d ⇒a+c>b+d .
④如果a>b ,且c>0,那么ac>bc ;如果a>b ,且c<0,那么ac<bc .
⑤如果a>b >0,那么n n b
a > (n ∈N ,且n>1) ⑥如果a>
b >0,那么n n b a > (n ∈N ,且n>1)。

三、典型例题:
例1 已知a>b ,c<d ,求证:a-c>b-d .
例2 已知a>b>0,c<0,求证:b
c a c >。

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