实变函数第三章复习题及解答
实变函数论课后答案第三章1
实变函数论课后答案第三章1第三章第一节习题1.证明：若E 有界，则m E *<∞.证明：若n E R ⊂有界，则存在一个开区间(){}120,,;n M n E R I x x x M x M ⊂=-<<.（0M >充分大）使M E I ⊂.故()()()111inf ;2n nn n m n n i m E I E I I M M M ∞∞*===⎧⎫=⊂≤=--=<+∞⎨⎬⎩⎭∑∏.2.证明任何可数点集的外测度都是零.证：设{}12,,,n E a a a =是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零，故{}{}{}()12111,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞∞∞****===⎛⎫==≤== ⎪⎝⎭∑∑.3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要0m E μ*≤≤，就有1E E ⊂，使1m E μ*=.证明：因为E 有界，设[],E a b ⊂（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=∅<<，则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=∅=∅===. 考虑x x x +∆与，不妨设a x x x b ≤≤+∆≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +∆=+∆=+∆⎡⎡⎣⎣.可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E **+∆≤++∆⎡⎣()[]()(),f x m x x x f x x *≤++∆=+∆.对0x ∆<，类似得到()()f x f x x x ≤+∆+∆. 故总有()(),f x x f x x a x b +∆-≤∆<<.这说明()f x 在[],a b 上连续，由中介值定理知 (),a b ξ∃∈，使得()f c ξ=. 令[)1,E a E ξ=，则()11,m E f c E E ξ*==⊂. 若0μ=，则取11,0E E m E *=∅⊂=. 若1m E μ*=，取11,E E m E m E **==. 证毕.4.证明如果()f x 是[],a b 上的连续函数，则2R 中的点集()(){},;,x y a x b y f x ≤≤=的外测度为零.证明：n N ∀∈，将[],a b n 等分，即取分点012n x x x x b <<<<=，1,i i b ax x n---=1,2,i n =.因为()f x 在有界闭区间[],a b 连续，从而一致连续，故()0,0εδδε∀>∃=>，使当[]'"'",,,x x x x a b δ-<∈时()()()'"16f x f x b a ε-<-.所以存在()00N N ε=>，使n N ≥时()4b a nδ-<. 令()()()()()()()()22,;,1616ni i i i i b a b a I x y x x x f x y f x n n b a b a εε⎧⎫--⎪⎪=-<<+-<<+⎨⎬--⎪⎪⎩⎭.则()n i I 均为开区间，()()()482n i b a I n b a nεε-=⋅=-，且 ()(){}()1,,;,ni i i i i A x y x x x y f x I +∀=≤≤=⊂.事实上，()(), ,i x f x A ∀∈1,i i x x x +≤≤()12i i i b a b a x x x x n nδ+--∴-≤-=<< 从而()()()16i f x f x b a ε-<-.故()()22i i b a b a x x x n n---<<+ ()()()()()1616i i f x f x f x b a b a εε-<<+--即()(),n i x f x I ∈ 而()(){}0,;,n n i i Ax y a x b y f x I =≤≤=⊂()0122nnni i i n m A I nnεεε*==+∴≤==⋅≤∑∑由ε的任意性，则0m A *=.若[],a b 无界。
实变函数 第三章 测度论习题解答
第三章 测度论习题解答1.证明：若E 有界，则+∞<E m *。
证明 E 有界，必有有限开区间E 使得I E ⊂,因此+∞<≤I m E m **.2.证明可数点集的外测度为零证明 设E ，对任意0>ε，存在开区间i I ，使得i i I x ∈，且i i I 2ε=（在p R 空间中取边长为pi2ε的包含i x 的开区间i I ），所以E Ii i⊃∞= 1，且ε=∑∞=1i i I ，由ε的任意性得0*=E m 。
3.设E 是直线上一有界集合0*>E m ，则对任意小于E m *的正数c ，恒有E 的子集1E ，使c E m =1*。
证明 设x b x a Ex Ex ∈∈==sup ,inf ，则[]b a E ,⊂，令[]E x a E x ,⊂，b x a ≤≤，)(x f =x E m *是[]b a ,上的连续函数；当0>∆x 时，xx x x m E E m E m E m x f x x f x x x x x x ∆=∆+≤-≤-=-∆+∆+∆+),()()()(****于是当0→∆x用类似方法可证明，当0>∆x ，0→∆x 时，)()(x f x x f →∆-，即)(x f 是[]b a ,上的连续函数。
由闭区间上连续函数的介值定理)(a f={}0)(**==a E m E m a ，)(b f =[]E m b a E m **),(= ，因此对任意正数c ，E m c *<，存在[]b a x ,0∈，使c x f =)(0， 即[]c E x a m E m x ==),(0**0 ，令[]E E x a E ⊂= 01,，则c E m =1*。
4.设n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，n i S E i i ,,2,1, =⊂，求证 n n E m E m E m E E E m *2*1*21*)(+++=证明 因为n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，由§2定理3推论1，对任意T有∑===ni i ni i S T m S T m 1*1*)()( ，特别取 ni i S T 1==，则i i nj j i E S E S T === )(1，ni in i i ES T 11)(===，所以∑∑=======ni i ni i ni i ni i E m S T m S T m E m 1*1*1*1*)())(()( 。
实变函数第三章习题参考解答
实变函数第三章习题参考解答1.设f 是E 上的可测函数，证明：R a '∈∀，})(|{a x f x E ==是可测集.解：R a '∈∀，因为)(x f 是E 上的可测，所以})(|{a x f x E ==与})(|{a x f x E ≤=均是可测集.从而})(|{a x f x E ==})(|{a x f x E ≥==})(|{a x f x E ≤= 可测.2.设f 是E 上的函数，证明：f 在E 上的可测当且仅当对一切有理数r ，})(|{r x f x E >=是可测集.证：)(⇐R a '∈∀，取单调递减的有理数序列∞=1}{k k r 使得a r k k =+∞→lim ，则})(|{})(|{1k k r x f x E a x f x E >=>=∞= .由每个k r x f x E >)(|{}的可测性，知})(|{a x f x E >=可测.从而，)(x f 在E 上的可测.)(⇒设f 在E 上的可测，即R a '∈∀，})(|{a x f x E >=可测.特别地，当r a =时有理数时，})(|{r x f x E >=可测. 3. 设f 是R '上的可测函数，证明：对于任意的常数α，)(x f α是R '上的可测函数. 为证上述命题，我们先证下面二命题：命题1.若E 是R '中的非空子集，则R '∈∀α，有E m E m *||*αα=证明：当0=α时，因为}0{=E α，则E m E m *||*αα=.不妨设，0≠α.因为E I I E m i i i i ⊃=∞=∞=∑11||inf{* ，i I 为开区间}.0>∀ε,存在开区间序列∞=1}{i i I ，E I i i ⊃∞=1 ，||*||*1αε+<≤∑∞=E m I E m i i .又因为E I i i ⊃∞=α1 （注：若),(i i i I βα=，则 ⎩⎨⎧=ααααβααβααα),,(),,(i i i i i I .所以εααααα+⋅<==≤∑∑∑∞=∞=∞=E m I I IE m i i i i i i*||||||||||||*111.由ε得任意性，有i i i i i I E I I E m ,||inf{*11αα⊃≤∞=∞=∑ 为开区间}故存在开区间∞=1}{i i I ，使E I i i α⊃∞=1，且εα+<≤∑∞=E m I E m i i *||*1.又因为E I i i ⊃∞=α11，故εαα+<≤∑∞=E m I E m i i *|1|*1.由ε得任意性，有E m E m αα**||≤从而E m E m αα**||=.命题2.设R E '⊂，+∞<E m *，则E 可测⇔R '∈∀α，E α可测.(由P54.19题的直接推论). 证：)(⇐是直接的，我们仅需证明)(⇒R '∈∀α，如果0=α，则}0{=E α为零测集.故E α可测.不妨设0≠α.现在证明R T '⊆∀，)(*)(**E C T m E T m T m αα +=.事实上，对于R T '⊆∀，则R T '⊆α1，因为E 在R '可测，所以)1(*)1(*)1(*CE T m E T m T m ααα+=，即)(*||1)(*||1*||1CE T m E T m T m αααα+=)(*)(**E C T m E T m T m αα +=即E α可测.3.设f 是R '上的可测函数，证明：对于任意常数α，)(E f α仍是R '上的可测函数.解：记R E '=，对于R '∈∀α，当0=α时，R a '∈∀，⎩⎨⎧>'=≤∅=>af R E a f a f x E )0(,)0(,})0(|{.故})(|{a x f x E >α可测所以：)(x f α可测.当0≠α时，R '∈∀α，令x y α=，则})(|{})(|{a y f xyE a x f x E >=>α= })(|{1a y f y E >α.在因为f 在R '可测，故})(|{a y f y E >可测，又由命题2，})(|{})(|{a x f x E a y f y E >=>可测.从而)(x f α使R E '=上哦可测函数.4.设)(x f 是E 上的可测函数，证明：3)]([x f 在E 上可测.证明：R '∈∀α，因为)(x f 在E 上可测.所以})(|{3a x f x E >是可列集.即})(|{})(|{33a x f x E a x f x E >=>可测.从而3)]([x f 在E 上可测.5.若],[b a 上的函数)(x f 在任意线段],[βα)(b a <<<βα上可测，试证它在整个闭区间上也可测.证明：N k ∈∀，),(]21,21[11b a b b b a E k k k ⊆---+=++，)(x f 在k E 上可测，记 ),(*b a E =，则k k E E ∞==1.又因为R '∈∀α，})(|{})(|{*1αα>=>∞=x f x E x f x E k k .由每个})(|{α>x f x E k 的可测性，得})(|{*α>x f x E 可测.所以)(x f 在),(*b a E =可测. 令},{0b a E =，],[b a E =即E E E *=. })(|{})(|{*})(|{0ααα>>=>x f x E x f x E x f x E故})(|{α>x f x E 可测，从而)(x f 在E 上可测.],[βα=E 7.设f 是E 上的可测函数，证明： （i ）对R '上的任意开集O ，)(1O f-是可测集； (ii) 对R '中的任何开集F ，)(1F f-是可测集；（iii ）对R '中的任何δG 型集或σF 型集M ，)(1M f-是可测集.证：（i ）当O 时R '中有界开集时，由第一章定理11（P.30），O 是至多可数个互不相交的开区间i i i )},{(βα的并，即),(i i iO βα =. })(|{)],[()],([)(111i i ii i ii i ix f E f f O f βααβαβα<<===---由f 在E 上哦可测性，知：每个})(|{i i x f x E βα<<可测，从而)(1O f-可测.若O 是R '的误解开集，N n ∈∀，记],[n n E n -=，则n n E O O =是R '中有界开集，且n n O O ∞==1，故][][)(11111n n n O f O f O f-∞=∞=--== .故由)(1n O f-得可测性，知)(1O f -可测.(ii) 设F 是R '中的任一闭集，记F R O -'=是R '中开集.)()(11F R fO f-'=--=)()(11F fR f---'，即)()()(111O fR fF f----'= .由)(1O f-与)(1R f '-得可测性，知，)(1F f-可测.（iii ）设G ，F 分别为R '中δG 型集和σF 型集.即，存在开集列∞=1}{k k G ，闭集列∞=1}{k k F 使得k k G G ∞==1k k F F ∞==1，从而，][)(111k k G f G f-∞=-= 且][)(111k k F f F f-∞=-= .由)(1k G f -与)(1k F f -的可测性，知)(1G f-与)(1F f -均可测.8.证明：E 上两个可测函数的和仍是可测函数.证明：设)(x f ，)(x g 是E 上的两个可测函数，令})(|{0±∞=-=x g x E E E ，R a '∈∀)}(})(|{})()(|{00x g a x f x E a x g x f x E ->=>+=)()(|{01X g a r x f x E i i ->>∞= =i i r x f x E >∞=)(|{[01}])(|{0i r a x g x E ->.由)(x f ，)(x g 在E 可测，知)(x f ，)(x g 在0E 可测. 从而N i ∈∀，}])(|{0i r x f x E >与}])(|{0i r a x g x E ->可测. 故})()(|{0a x g x f x E >+可测.又因})(|{±∞=x g x E })()(|{a x g x f x E >+ 是零测集，故可测.从而g f +在E 上可测. 9.证明：若)(x f 是1E 及2E 上的非负可测函数，则f 也是21E E 上的非负可测函数.证明：因为)(x f 是1E 及2E 上的非负可测函数，则R a '∈∀，})(|{1a x f x E >与})(|{2a x f x E >均可测.于是，记21E E E =，则=>})(|{a x f x E })(|{1a x f x E >})(|{2a x f x E > 可测.从而)(x f 在21E E E =上非负可测.10.设E 是nR 中有界可测集，f 是E 上几乎处处有限的可测函数，证明：0>∀ε，存在闭集E F ⊂，使得ε<-)(F E m ，而在F 上)(x f 有界.证明：（法一）由sin lu 定理，0>∀ε，∃闭集E F ⊂，使得ε<-)(F E m 且)(x f 在F 上连续，现在证)(x f 在F 上有界.如果)(x f 在F 无界，即0>∀M ，F x m ∈∃使得M x f m >|)(|.特别的，当11=M 时，F x ∈∃1有11|)(|M x f >；当}2,1|)(m ax {|2+=x f M ，F x ∈∃2，使得22|)(|M x f >；; 当},1|)(m ax {|k x f M k +=时，F x k ∈∃，使得k k M x f >|)(|，从而，得F 中互异点列F x k ⊂}{，使得N k >∀，k x f k >|)(|，即+∞=∞→|)(|lim k k x f .另一方面，因为F 为有界，且F x k k ⊂∞=1}{，故∞=1}{k k x 有一收敛子列∞=1}{k k x ，不妨设0lim x x k n k =∞→，则F x ∈0，又因为)(x f 在0x 连续.对1=ε，N k ∈∃0，0k k ≥∀时，恒有1|)(||)(||)(||)(|000<-≤-x f x f x f x f k k n n ，即)(|1|)(|0x f x f k n +≤.取N k ∈*，|)(|1*0x f k +>，则*|)(|*k x f kn ≤，但由*k n x 得定义，有***|)(|k n x f k n k≥>，这是一矛盾.从而)(x f 在F 有界.证明：（法二）由sin lu 定理，0>∀ε，∃闭集E F ⊂，使得ε<-)(F E m 且)(x f 在F 上连续，现在用有限覆盖定理证：)(x f 在F 上有界.F x ∈∀0，因为)(x f 在0x 连续.所以对1=ε，00>∃x δ使得F x O x x ),(00δ∈∀，恒有：1|)()(||)()(|00<-<-x f x f x f x f ，即1|)(||)(|0+<x f x f .从而),(000x Fx x O F δ∈⊂ .因为F 是有界闭集，故由有限覆盖定理，存在)1(0x ，)2(0x ，, F x k ∈)(0，N k ∈，使得),()(0)(01i x i ki x O F δ=⊂ .取}11|({|)(0k i x f nax M i ≤≤+=，则F x ∈∀，有),(0)(x i o x O x δ∈，M x f x f i ≤+≤1|)(|)(|)(0.从而)(x f 在F 有界.11.设}{n f 是E 上的可测函数序列，证明：如果0>∀ε，都有+∞<>∑∞=}|)(|{1εx f xmE n n ，则必有0)(lim =∞→x f n n ][,E e a .证：0>∀ε，因为+∞<>∑∞=}|)(|{1εx f xmE n n ，故0}|)(|{lim1=>∑∞=∞→εx f xmE n n N .又因为})1|)(|{(}0)(|{11kx f x E x f x E n N n N k n >=→/∞=∞=∞=故})]1|)(|{([}0)(|{11kx f x E m x f x mE n N n N k n >=→/∞=∞=∞=}]1|)(|{[lim }1)(|{lim 11k x f x E m k x f x E m n N n N k n N k >=>≤∞=∞→∞=∞→∞=∑∑∑∑∑∞=∞=∞→∞==>≤110}]1|)(|{limk n Nn N k k x f x mE ，故0)(lim =∞→x f n n ][,E e a12．证明:如果)(x f 是n R 上的连续函数，则)(x f 在n R 的任何可测自己E 上都可测. 证明：（1）先证：)(x f 在n R 上可测.令n R E =，R a '∈∀，因为)),((})(|{1+∞=>-a fa x f x E .现在证：)),((1+∞-a f是一个开集.事实上，)),((10+∞∈∀-a fx ，),[)(0+∞∈a x f ，取2)(0ax f -=ε.因为)(x f 在0x 连续，则对于02)(0>-=ax f ε，0>∃δ，使),(0δx O x ∈∀时，ε<-|)()(|0x f x f ，即 ))(,)(()(00εε+-∈x f x f x f =-+--=)2)()(,.2)()((0000ax f x f a x f x f)2)()(,.2)()((0000ax f x f a x f x f -+--),()2)()(,.2)((000+∞⊂-++=a a x f x f a x f ，故)],[(),(10+∞⊂-a f x O δ，从而)],[(1+∞-a f 为开集，可测.即，)(x f 在n R 上可测.(2)再证：nR E ⊆∀可测，f 在E 可测.事实上，这是P59性质2的直接结果.14.设}{n f ,}{n h 是E 上的两个可测函数序列，且f f n ⇒，h h n ⇒，h f ,(都是E 上的有限函数)证明： （i ）h f ,是E 上可测函数 （ii ）对于任意实数α ，β，h f h f n n βαβα+⇒+若+∞<mE ，则还有（iii ）h f h f n n ⋅⇒⋅若+∞<mE ，且n h ，h 在E 上几乎处处不等于0，则（iv ）hfh f n n ⇒.证明：（i ）因为f f n ⇒，n f 是可测函数列，由Riesz 定理，}{n f 有一个子列}{k n f ，使得f f k n ⇒ ][,E e a .再由P62性质4，f 是在E 可测，同理，h 在E 可测.（ii ）先证：当f f n ⇒时，R '∈∀α，有f f n αα⇒.事实上，当0=α时，0>∀ε，∅=≥-}|{εααf f x E n .所以∅=≥-∞→}|{lim εααf f x mE n n .当0≠α时，因为}||||{}||{αεεαα≥-=≥-f f x E f f x E n n ，故 }||||{}||{lim αεεαα≥-=≥-∞→f f x E f f x mE n n n 0}||||{lim =≥-=∞→αεf f x mE n n .从而f f n αα⇒.再证：h f h f n n βαβα+⇒+. 事实上，0>∀ε，⊆≥-+-⊆≥+-+}|)|||{}|)()|{εββααεβαβαh h f f x E h f h f x E n n n n }2|)|{}2||{εββεαα≥-≥-h h x E f f x E n n .≤≥-+-≤≥+-+}|)|||{}|)()|{εββααεβαβαh h f f x mE h f h f x mE n n n n)(0}2|)|{}2||{∞→→≥-+≥-n h h x mE f f x mE n n εββεαα. 0}|)()({lim =≥+-+∞→εβαααh f f f x mE n n所以：h f h f n n βαβα+⇒+. （iii ）现在证：h f h f n n ⋅⇒⋅.先证：f f n ⇒，必有22f f n ⇒.事实上，若0}|{lim 022≠≥-∞→εf f x mE n n （对于某个00>ε）.因为+∞<mE ，而N n ∈∀，mE f f x E n ≤≥-≤}|{0022ε，则∞=≥-1022}|{{n n f f x mE ε是有界无穷数列.故存在}{n f 的子列}{k n f 使得0}|{lim 022>=≥-∞→l f f x mE k n k ε.事实上，如果每个}{n f 的收敛子列}{k n f 都0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k n k .故0>∀δ，N ∈∃N 时，恒有),0(}|{022δεU f f x mE kn ∈≥-.倘若不然，∃无穷个∞=1}{k m k f ，使得 ),0(],0[}|{022δεU mE f f x mE k m -∈≥-.即∞=≥-1022}}|{{k m f f x mE kε是有界无穷点列，它有一收敛子列.不妨设这收敛子列就是它本身.因为N k ∈∀，δ≥-|}{22f f x mE kn ，故0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k n k .故 .}|{lim *022δε≥=≥-∞→l f f x mE k m k 这与}{k n f 得每个收敛子列都为零极限矛盾，从而0>∀δ，N ∈∃N ，使得N n ≥∀时，有δε<≥-}|{022f f x mE n .即0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE n k ，这与.0}|{lim 022≠≥≥-∞→εεf f x mE k m k 矛盾.所以 }{n f 有子列}{k n f 使得0}|{lim 022>=≥-∞→l f f x mE kn k ε.另一方面：因为f f n ⇒，所以f f k n ⇒.故由Riesz 定理}{n f 有一子列}{k n f '，有f f k n →' ][,E e a ，从而22f f kn →' ][,E e a .故.0}|{lim 022=≥-∞→εf f xmE km k 这与l f f x mE k m k =≥-'∞→}|{lim 022ε矛盾.从而，.0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k n k 最后证：h f h f n n ⋅⇒⋅. 事实上，])()[(4122n n n n n n h f h f h f --+=⋅h f h f h f ⋅=--+⇒])()[(4122. 习题14（iii ）引理例1，设)(x f ，)2,1)(( =n x f n 都是E 上的可测函数列且+∞<mE ，如果f f n ⇒，则22f f n ⇒.证明：设f f n ⇒，若22f f n ⇒/，即0>∃0ε使得.0}|{lim 022=/≥-∞→εf f x mE k n k 即0>∃0δ，N ∈∀N ，N n N ≥∃，有0022}|{1δε≥≥-f f x mE n . 特别的，当1=N 时，N n ≥∃1，有00022}|{1δε≥≥-f f x mE n ；当11+=n N 时，N n ≥∃2，有0022}|{2δε≥≥-f f x mE n ； 当12+=n N 时，N n ≥∃3，有0022}|{3δε≥≥-f f x mE n这样继续下去，得}{n f 的一子列∞=1}{k n k f 使得N k ∈∀，+∞<≤≥-≤mE f f x mE kn }|{0220εδ，即∞=≥-1022}|{{k n f f x mE kε是一个有界的无穷数列，有一收敛子列∞='≥-1022}|{{k n ff x mE k ε，0}|{{lim 0022>≥=≥-'∞→δεl f f x mE kn k .另一方面，因为f f n ⇒，所以f f k n ⇒'，由Riesz 定理，∞=1}{k n k f 必有一子列∞=1}{k m k f 使得f f k m ⇒ ][,E e a .所以22f f km ⇒ ][,E e a .从而22f f km ⇒.即0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k m k ，这与0}|{{lim 0022>≥=≥-'∞→δεl f f x mE k n k 矛盾. 例2，设f f n ⇒，h h n ⇒，则h f h f n n ⋅⇒⋅证：因为h f h f h f h f h f h f n n n n n n ⋅=--+⇒--+=⋅])()[(41])()[(412222。
实变函数习题与解答(电子科大) (2)
由 f 在 E 上的可测性知，每个 E{x | α i < f ( x) < 可测. 若O是 的无解开集时，对于 ∀n ∈
∞
β i } 可测，从而 f −1 (O)
，记 E n = [ − n, n] ，则 On =
O ∩ En 是
中有界开集，并且 O = ∪ On ，故
n =1
f
再由 f
故， E{ x | f ( x ) > α } 是可测集，从而 f ( x ) 在 E 上可测. 7. 设 f 是 E 上的可测函数，证明： （1）对 （2）对 （3）对 上的任意开集 O ， f 中的任何开集 F ， f
−1 −1
(O) 是可测集； ( F ) 是可测集；
−1
中的任何 Gδ 型集或 Fσ 型集 M ， f
证明 设 f ( x ) 和 g ( x ) 是 E 上的两个可测函数，令
E 0 = E − E{x | g ( x) = ±∞}
并且对于 ∀a ∈ , 因为
E0 {x | f ( x) + g ( x) > a} = E0 {x | f ( x) > a − g ( x)}
= ∪ E0 {x | f ( x) > ri > a − g ( x)}
f
由f
−1
−1
(G ) = ∩ f −1 [G k ] 且 f
k =1
∞
−1
( F ) = ∪ f −1 [ Fk ] .
k =1 −1
(G k ) 与 f
−1
( Fk ) 的可测性知, f
−1
(G ) 与 f
( F ) 均可测.
8. 证明： E 上两个可测函数的和仍是可测函数.
实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf 0=≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf 0=⇒=⇒∉≥x A x m nk m A nm A k χχ，故0)(inf sup =≥∈x m A nm N b χ ，即)(inf lim x n A nχ=0 ，从而)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交. （ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i ni i ni A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i ni B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|min 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i ni B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥}1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ =}1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈=}1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
实变函数(复习资料_带答案)资料
2页，共19页） 3、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数 4．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0Efx 四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设2,()1,xxfxx为无理数为有理数 ，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。 2、（8分）求0ln()limcosxnxnexdxn 五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c
6页，共19页） 又()0,mEF所以()fx是EF上的可测函数，从而是E上的 可测函数……………………..10分 《实变函数》试卷二 一.单项选择题（3分×5=15分） 1．设,MN是两集合，则 ()MMN=（ ） (A) M (B) N (C) MN (D) 2. 下列说法不正确的是( ) (A) 0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点 (B) 0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点 (C) 存在E中点列nP，使0nPP，则0P是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言( )是正确的。 （A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。 （A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若()fx是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()fx在,abL可积|()|fx在,abL可积； (B) (),|()|,fxabRfxabR在可积在可积 (C) (),|()|,fxabLfxabR在可积在可积; (D) (),()fxaRfxL在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分) 1、设11[,2],1,2,nAnnn，则nnAlim_________。 2、设P为Cantor集，则 P ，mP_____，oP=________。 3、设iS是一列可测集，则11______iiiimSmS 4、鲁津定理：__________________________________________ 5、设()Fx为,ab上的有限函数，如果_________________则称()Fx为,ab上的绝对连续函数。 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分) 1、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间11对应的映射。
实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案
，再由极限的唯一性，
上下极限还有用交集与并集来表示。
定理3
⑴ ； ⑵
证明我们利用
来证明⑴式.记 ， .设 ，则对任意取定的 ，总有 ，使 ，即对任何 ，总有 ，故 .反之，设 ，则对任意的 ，总有 ，即总存在 ，有 ，所以 ，因此 ，即 .
2.集合的包含关系
若集合A和B满足关系：对任意 ∈A,可以得到x∈B，则成A是B的子集，记为A B或B A，若A B但A并不与B相同，则称A是B的真子集.
例7. 若 在R上定义，且在[a,b]上有上界M，即任意对
∈[a,b]有 M.用集合语言表示为：[a,b] { ： M}.
用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例.
(1)单射:对任意 ,若 ,使得 ;
(2)满射:对任意 ,存在 ,使得 .
则称A和B对等,记为 ,规定 .
例1 我们可给出有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义:集合A称为有限合,如果 或者A和正整数的某截断 对等。
注：有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义，例如A的总个数与正整数的某个截断相对应。
⑵式可同样证明.
用定理3，例12中的⑴式和⑵式可分别简写为
，
.
如果 ，则称 收敛，记为 .若极限允许取 ，则单调数列总有极限，在集合论中也有类似的结论.
5.单调系列
如果集列 满足 ， ，则称 为增加（减少）系列.增加与减少的集列统称为单调集列.容易证明：单调集列是收敛的.如果 增加，则 ，如果 减少，则 .请读者自证.
第一章 集合
早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。
(0195)《实变函数》复习大纲、样题及
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
曹广福版实变函数第三章习题解答
第三章习题参考解答1.设f 是E 上的可测函数，证明：R a '∈∀，})(|{a x f x E ==是可测.解：R a '∈∀，因为)(x f 是E 上的可测，所以})(|{a x f x E ==与})(|{a x f x E ≤=均是可测集.从而})(|{a x f x E ==})(|{a x f x E ≥==})(|{a x f x E ≤= 可测.2.设f 是E 上的函数，证明：f 在E 上的可测当且仅当对一切有理数r ，})(|{r x f x E >=是可测集.证：)(⇐R a '∈∀，取单调递减的有理数序列∞=1}{k k r 使得a r k k =+∞→lim ，则})(|{})(|{1k k r x f x E a x f x E >=>=∞= .由每个k r x f x E >)(|{}的可测性，知})(|{a x f x E >=可测.从而，)(x f 在E 上的可测.)(⇒设f 在E 上的可测，即R a '∈∀，})(|{a x f x E >=可测.特别地，当r a =时有理数时，})(|{r x f x E >=可测.3. 设f 是R '上的可测函数，证明：对于任意的常数α，)(x f α是R '上的可测函数. 为证上述命题，我们先证下面二命题：命题1.若E 是R '中的非空子集，则R '∈∀α，有E m E m *||*αα=证明：当0=α时，因为}0{=E α，则E m E m *||*αα=.不妨设，0≠α.因为E I I E m i i i i ⊃=∞=∞=∑11||inf{* ，i I 为开区间}.0>∀ε,存在开区间序列∞=1}{i i I ，E I i i ⊃∞=1 ，||*||*1αε+<≤∑∞=E m I E m i i .又因为E I i i ⊃∞=α1 （注：若),(i i i I βα=，则 ⎩⎨⎧=ααααβααβααα),,(),,(i i i i i I .所以εααααα+⋅<==≤∑∑∑∞=∞=∞=E m I I IE m i i i i i i*||||||||||||*111.由ε得任意性，有i i i i i I E I I E m ,||inf{*11αα⊃≤∞=∞=∑ 为开区间}故存在开区间∞=1}{i i I ，使E I i i α⊃∞=1，且εα+<≤∑∞=E m I E m i i *||*1.又因为E I i i ⊃∞=α11，故εαα+<≤∑∞=E m I E m i i *|1|*1.由ε得任意性，有E m E m αα**||≤从而E m E m αα**||=.命题2.设R E '⊂，+∞<E m *，则E可测⇔R '∈∀α，E α可测.(由P54.19题的直接推论).证：)(⇐是直接的，我们仅需证明)(⇒R '∈∀α，如果0=α，则}0{=E α为零测集.故E α可测.不妨设0≠α.现在证明R T '⊆∀，)(*)(**E C T m E T m T m αα +=.事实上，对于R T '⊆∀，则R T '⊆α1，因为E 在R '可测，所以)1(*)1(*)1(*CE T m E T m T m ααα+=，即)(*||1)(*||1*||1CE T m E T m T m αααα+=)(*)(**E C T m E T m T m αα +=即E α可测.3.设f 是R '上的可测函数，证明：对于任意常数α，)(E f α仍是R '上的可测函数.解：记R E '=，对于R '∈∀α，当0=α时，R a '∈∀，⎩⎨⎧>'=≤∅=>af R E af a f x E )0(,)0(,})0(|{.故})(|{a x f x E >α可测所以：)(x f α可测.当0≠α时，R '∈∀α，令x y α=，则})(|{})(|{a y f xyE a x f x E >=>α= })(|{1a y f y E >α.在因为f 在R '可测，故})(|{a y f y E >可测，又由命题2，})(|{})(|{a x f x E a y f y E >=>可测.从而)(x f α使R E '=上哦可测函数.4.设)(x f 是E 上的可测函数，证明：3)]([x f 在E 上可测.证明：R '∈∀α，因为)(x f 在E 上可测.所以})(|{3a x f x E >是可列集.即})(|{})(|{33a x f x E a x f x E >=>可测.从而3)]([x f 在E 上可测.5.若],[b a 上的函数)(x f 在任意线段],[βα)(b a <<<βα上可测，试证它在整个闭区间上也可测.证明：N k ∈∀，),(]21,21[11b a b b b a E k k k ⊆---+=++，)(x f 在k E 上可测，记 ),(*b a E =，则k k E E ∞==1.又因为R '∈∀α，})(|{})(|{*1αα>=>∞=x f x E x f x E k k .由每个})(|{α>x f x E k 的可测性，得})(|{*α>x f x E 可测.所以)(x f 在),(*b a E =可测.令},{0b a E =，],[b a E =即E E E *=.})(|{})(|{*})(|{0ααα>>=>x f x E x f x E x f x E故})(|{α>x f x E 可测，从而)(x f 在E 上可测.],[βα=E7.设f 是E 上的可测函数，证明： （i ）对R '上的任意开集O ，)(1O f -是可测集； (ii) 对R '中的任何开集F ，)(1F f-是可测集；（iii ）对R '中的任何δG 型集或σF 型集M ，)(1M f-是可测集.证：（i ）当O 时R '中有界开集时，由第一章定理11（P.30），O 是至多可数个互不相交的开区间i i i )},{(βα的并，即),(i i iO βα =.})(|{)],[()],([)(111i i ii i ii i ix f E f f O fβααβαβα<<===---由f 在E 上哦可测性，知：每个})(|{i i x f x E βα<<可测，从而)(1O f-可测.若O 是R '的误解开集，N n ∈∀，记],[n n E n -=，则n n E O O =是R '中有界开集，且n n O O ∞==1，故][][)(11111n n n O f O f O f-∞=∞=--== .故由)(1n O f-得可测性，知)(1O f -可测.(ii) 设F 是R '中的任一闭集，记F R O -'=是R '中开集.)()(11F R f O f-'=--=)()(11F f R f ---'，即)()()(111O f R f F f----'= .由)(1O f-与)(1R f '-得可测性，知，)(1F f -可测.（iii ）设G ，F 分别为R '中δG 型集和σF 型集.即，存在开集列∞=1}{k k G ，闭集列∞=1}{k k F 使得k k G G ∞==1k k F F ∞==1，从而，][)(111k k G f G f-∞=-= 且][)(111k k F f F f-∞=-= .由)(1k G f -与)(1k F f -的可测性，知)(1G f -与)(1F f -均可测.8.证明：E 上两个可测函数的和仍是可测函数.证明：设)(x f ，)(x g 是E 上的两个可测函数，令})(|{0±∞=-=x g x E E E ，R a '∈∀ )}(})(|{})()(|{00x g a x f x E a x g x f x E ->=>+=)()(|{01X g a r x f x E i i ->>∞= =i i r x f x E >∞=)(|{[01}])(|{0i r a x g x E ->.由)(x f ，)(x g 在E 可测，知)(x f ，)(x g 在0E 可测. 从而N i ∈∀，}])(|{0i r x f x E >与}])(|{0i r a x g x E ->可测. 故})()(|{0a x g x f x E >+可测.又因})(|{±∞=x g x E })()(|{a x g x f x E >+ 是零测集，故可测.从而g f +在E 上可测. 9.证明：若)(x f 是1E 及2E 上的非负可测函数，则f 也是21E E 上的非负可测函数.证明：因为)(x f 是1E 及2E 上的非负可测函数，则R a '∈∀，})(|{1a x f x E >与})(|{2a x f x E >均可测.于是，记21E E E =，则=>})(|{a x f x E })(|{1a x f x E >})(|{2a x f x E > 可测.从而)(x f 在21E E E =上非负可测.10.设E 是nR 中有界可测集，f 是E 上几乎处处有限的可测函数，证明：0>∀ε，存在闭集E F ⊂，使得ε<-)(F E m ，而在F 上)(x f 有界.证明：（法一）由sin lu 定理，0>∀ε，∃闭集E F ⊂，使得ε<-)(F E m 且)(x f 在F 上连续，现在证)(x f 在F 上有界.如果)(x f 在F 无界，即0>∀M ，F x m ∈∃使得M x f m >|)(|.特别的，当11=M 时， F x ∈∃1有11|)(|M x f >；当}2,1|)(ma x{|2+=x f M ，F x ∈∃2，使得22|)(|M x f >； ; 当},1|)(max{|k x f M k +=时，F x k ∈∃，使得k k M x f >|)(|，从而，得F 中互异点列F x k ⊂}{，使得N k >∀，k x f k >|)(|，即+∞=∞→|)(|lim k k x f .另一方面，因为F 为有界，且F x k k ⊂∞=1}{，故∞=1}{k k x 有一收敛子列∞=1}{k k x ，不妨设0lim x x k n k =∞→，则F x ∈0，又因为)(x f 在0x 连续.对1=ε，N k ∈∃0，0k k ≥∀时，恒有1|)(||)(||)(||)(|000<-≤-x f x f x f x f k k n n ，即)(|1|)(|0x f x f k n +≤.取N k ∈*， |)(|1*0x f k +>，则*|)(|*k x f kn ≤，但由*kn x 得定义，有***|)(|k n x f k n k≥>，这是一矛盾.从而)(x f 在F 有界.证明：（法二）由sin lu 定理，0>∀ε，∃闭集E F ⊂，使得ε<-)(F E m 且)(x f 在F 上连续，现在用有限覆盖定理证：)(x f 在F 上有界.F x ∈∀0，因为)(x f 在0x 连续.所以对1=ε，00>∃x δ使得F x O x x ),(00δ∈∀，恒有：1|)()(||)()(|00<-<-x f x f x f x f ，即1|)(||)(|0+<x f x f .从而),(000x Fx x O F δ∈⊂ .因为F 是有界闭集，故由有限覆盖定理，存在)1(0x ，)2(0x ，, F x k ∈)(0，N k ∈，使得),()(0)(01i x i ki x O F δ=⊂ .取}11|({|)(0k i x f nax M i ≤≤+=，则F x ∈∀，有),(0)(x i o x O x δ∈，M x f x f i ≤+≤1|)(|)(|)(0.从而)(x f 在F 有界.11.设}{n f 是E 上的可测函数序列，证明：如果0>∀ε，都有+∞<>∑∞=}|)(|{1εx f xmE n n ，则必有0)(lim =∞→x f n n ][,E e a .证：0>∀ε，因为+∞<>∑∞=}|)(|{1εx f xmE n n ，故0}|)(|{lim 1=>∑∞=∞→εx f x mE n n N . 又因为})1|)(|{(}0)(|{11kx f x E x f x E n N n N k n >=→/∞=∞=∞=故})]1|)(|{([}0)(|{11kx f x E m x f x mE n N n N k n >=→/∞=∞=∞=}]1|)(|{[lim }1)(|{lim 11k x f x E m k x f x E m n N n N k n N k >=>≤∞=∞→∞=∞→∞=∑∑∑∑∑∞=∞=∞→∞==>≤110}]1|)(|{lim k n Nn N k k x f x mE ，故0)(lim =∞→x f n n ][,E e a12．证明:如果)(x f 是nR 上的连续函数，则)(x f 在nR 的任何可测自己E 上都可测. 证明：（1）先证：)(x f 在nR 上可测.令nR E =，R a '∈∀，因为)),((})(|{1+∞=>-a fa x f x E .现在证：)),((1+∞-a f 是一个开集.事实上，)),((10+∞∈∀-a fx ，),[)(0+∞∈a x f ，取2)(0ax f -=ε.因为)(x f 在0x 连续，则对于02)(0>-=ax f ε，0>∃δ，使),(0δx O x ∈∀时，ε<-|)()(|0x f x f ，即 ))(,)(()(00εε+-∈x f x f x f =-+--=)2)()(,.2)()((0000ax f x f a x f x f )2)()(,.2)()((0000ax f x f a x f x f -+--),()2)()(,.2)((000+∞⊂-++=a a x f x f a x f ，故)],[(),(10+∞⊂-a f x O δ，从而)],[(1+∞-a f 为开集，可测.即，)(x f 在n R 上可测.(2)再证：nR E ⊆∀可测，f 在E 可测.事实上，这是P59性质2的直接结果.14.设}{n f ,}{n h 是E 上的两个可测函数序列，且f f n ⇒，h h n ⇒，h f ,(都是E 上的有限函数)证明： （i ）h f ,是E 上可测函数（ii ）对于任意实数α ，β，h f h f n n βαβα+⇒+若+∞<mE ，则还有（iii ）h f h f n n ⋅⇒⋅若+∞<mE ，且n h ，h 在E 上几乎处处不等于0，则（iv ）hf h f n n ⇒.证明：（i ）因为f f n ⇒，n f 是可测函数列，由Riesz 定理，}{n f 有一个子列}{k n f ，使得f f k n ⇒ ][,E e a .再由P62性质4，f 是在E 可测，同理，h 在E 可测.（ii ）先证：当f f n ⇒时，R '∈∀α，有f f n αα⇒.事实上，当0=α时，0>∀ε，∅=≥-}|{εααf f x E n .所以∅=≥-∞→}|{lim εααf f x mE n n .当0≠α时，因为}||||{}||{αεεαα≥-=≥-f f x E f f x E n n ，故 }||||{}||{lim αεεαα≥-=≥-∞→f f x E f f x mE n n n 0}||||{lim =≥-=∞→αεf f x mE n n .从而f f n αα⇒.再证：h f h f n n βαβα+⇒+. 事实上，0>∀ε，⊆≥-+-⊆≥+-+}|)|||{}|)()|{εββααεβαβαh h f f x E h f h f x E n n n n}2|)|{}2||{εββεαα≥-≥-h h x E f f x E n n .≤≥-+-≤≥+-+}|)|||{}|)()|{εββααεβαβαh h f f x mE h f h f x mE n n n n)(0}2|)|{}2||{∞→→≥-+≥-n h h x mE f f x mE n n εββεαα. 0}|)()({lim =≥+-+∞→εβαααh f f f x mE n n所以：h f h f n n βαβα+⇒+. （iii ）现在证：h f h f n n ⋅⇒⋅. 先证：f f n ⇒，必有22f f n ⇒.事实上，若0}|{lim 022≠≥-∞→εf f x mE n n （对于某个00>ε）.因为+∞<mE ，而N n ∈∀，mE f f x E n ≤≥-≤}|{0022ε，则∞=≥-1022}|{{n n f f x mE ε是有界无穷数列.故存在}{n f 的子列}{k n f 使得0}|{lim 022>=≥-∞→l f f x mE k n k ε.事实上，如果每个}{n f 的收敛子列}{k n f 都0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k n k .故0>∀δ，N ∈∃N 时，恒有),0(}|{022δεU f f x mE kn ∈≥-.倘若不然，∃无穷个∞=1}{k m k f ，使得 ),0(],0[}|{022δεU mE f f x mE km -∈≥-.即∞=≥-1022}}|{{k m f f x mE k ε是有界无穷点列，它有一收敛子列.不妨设这收敛子列就是它本身.因为N k ∈∀，δ≥-|}{22f f x mE kn ，故0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k n k .故 .}|{lim *022δε≥=≥-∞→l f f x mE k m k 这与}{k n f 得每个收敛子列都为零极限矛盾，从而0>∀δ，N ∈∃N ，使得N n ≥∀时，有δε<≥-}|{022f f x mE n .即0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE n k ，这与.0}|{lim 022≠≥≥-∞→εεf f x mE k m k 矛盾.所以 }{n f 有子列}{k n f 使得0}|{lim 022>=≥-∞→l f f x mE kn k ε.另一方面：因为f f n ⇒，所以f f k n ⇒.故由Riesz 定理}{n f 有一子列}{k n f '，有f f k n →' ][,E e a ，从而22f f kn →'][,E e a .故.0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE km k 这与l f f x mE k m k =≥-'∞→}|{lim 022ε矛盾.从而，.0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k n k 最后证：h f h f n n ⋅⇒⋅. 事实上，])()[(4122n n n n n n h f h f h f --+=⋅h f h f h f ⋅=--+⇒])()[(4122. 习题14（iii ）引理例1，设)(x f ，)2,1)(( =n x f n 都是E 上的可测函数列且+∞<mE ，如果f f n ⇒，则22f f n ⇒.证明：设f f n ⇒，若22f f n ⇒/，即0>∃0ε使得.0}|{lim 022=/≥-∞→εff x mE k n k 即0>∃0δ，N ∈∀N ，N n N ≥∃，有0022}|{1δε≥≥-f f x mE n . 特别的，当1=N 时，N n ≥∃1，有00022}|{1δε≥≥-f f x mE n ；当11+=n N 时，N n ≥∃2，有0022}|{2δε≥≥-f f x mE n ；当12+=n N 时，N n ≥∃3，有0022}|{3δε≥≥-f f x mE n这样继续下去，得}{n f 的一子列∞=1}{k n k f 使得N k ∈∀，+∞<≤≥-≤mE f f x mE kn }|{0220εδ，即∞=≥-1022}|{{k n f f x mE kε是一个有界的无穷数列，有一收敛子列∞='≥-1022}|{{k n f f x mE k ε，0}|{{lim 0022>≥=≥-'∞→δεl f f x mE k n k .另一方面，因为f f n ⇒，所以f f k n ⇒'，由Ri e s z 定理，∞=1}{k n k f 必有一子列∞=1}{k m k f 使得f f k m ⇒ ][,E e a .所以22f f km ⇒ ][,E e a .从而22f f km ⇒.即0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k m k ，这与0}|{{lim 0022>≥=≥-'∞→δεl f f x mE k n k 矛盾. 例2，设f f n ⇒，h h n ⇒，则h f h f n n ⋅⇒⋅ 证：因为h f h f h f h f h f h f n n n n n n ⋅=--+⇒--+=⋅])()[(41])()[(41222215.设}{n f 是E 上的可测函数，+∞<mE ，则当f f n ⇒且f 是有限函数时，对于Np ∈∀，有（i ）p p n f f ||||⇒（ii ）对于E 上的任意可测函数h ，有p p n h f h f ||||-⇒-证：先证：当f f n ⇒，有||||f f n ⇒，对于o >∀ε，因为f f f f n n -≤-||||，故}|)()(|{}||{εε≥-⊃≥-x f x f x E f f x E n n所以≤≥-≤}|)()(|{0εx f x f x E n 0}|)()(|{→≥-εx f x f x mE n故0}|)(||)(|{lim =≥-∞→εx f x f x mE n n ，从而||||f f n ⇒. （i ）N p ∈∀,ppn f f ||||⇒当2=p 时，||||f f n ⇒，由14题（iii ）有22||||||||||||f f f f f f n n n =⋅⇒⋅=.假设kkn f f ||||⇒，又因为||||f f n ⇒，所以111||||||||||||++=⇒⋅=k k n k n k n f f f f f f .故N p ∈∀，ppn f f ||||⇒.(ii)因为0>∀ε，0}|(|{lim }|)()(|{lim =≥-=≥---∞→∞→εεf f x mE h f h f x mE n n n n所以当f f n ⇒时，对任何可测函数h ，有h f h f n -⇒-.再由前面的证明：||||h f h f n -⇒-.再由（i ）的结论，p p n h f h f ||||-⇒-.。
实变函数试题库(3)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（3） 本科一、填空题1．设为集合，则 ,A B ()\B A B A I U A BU 2．设为无理数集，则 （其中表示自然数集的基数）A A c c []0,13．设，如果中没有不是内点的点，则称是nE ⊂¡E E 4．任意个闭集的交是5．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，()f x E 1a ∀∈¡()E x a f xb ⎡⎤≤<⎣⎦（）则称在上 a b ≤()f x E 6．可测函数列的上确界也是7．设，，则()()n f x f x ⇒()()n g x g x ⇒..a e ()()n n f x g x ⇒8．设，那么由黎斯定理，有子列，使 于()()n f x f x ⇒(){}n f x ()k n f x ..a e E二、选择题1．下列集合关系成立的是（）A cc A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭I I B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭I U C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I U D cc cA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭I U 2．设，则( )n R E ⊂ A E E ⊃B E E '⊂C E E '⊂D E E=3．设为康托集，则（ ）P 是可数集 是不可数集 是开集A PB 0mP =C PD P4．下列集合关系成立的是（ ）若则 若则A A B ⊂c c B A ⊂B A B ⊂c cA B ⊂ 若则 若则C A B ⊂A B B =I D A B ⊂A B B=U 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设是狄利克莱函数，即，则（ ）()D x ()[][]10,100,1x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为中有理数为中无理数几乎处处等于 几乎处处等于A ()D x 1B ()D x 0是非负可测函数 是可积函数C ()D x D ()D x L 2．设，，则（ ）nE ⊂¡*0m E = 是可测集 的任何子集是可测集 是可数集 不一定是可数集A EB EC EDE 3．设，，则（ ）nE ⊂¡()10E cx Ex x Eχ∈⎧=⎨∈⎩ 当是可测集时，是可测函数 当是可测函数时，是可测A E ()E x χB ()E x χE 集当是不可测集时，可以是可测函数C E ()E x χ 当是不是可测函数时，不一定是可测集D ()E x χE 4．设是上的连续函数，则（ ）()f x (),a b 在上有界 在上可测A ()f x (),a bB ()f x (),a b 在上可积 在上不一定可积C ()f x (),a b LD ()f x (),a b L 四、判断题1. 对等的集合不一定相等.（）2. 称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集. （ ）()(),f x g x E ()()f x g x ≠x3. 可数个开集的交是开集 （ ）4. 可测函数不一定是连续函数. （ ）5. 对等的集合有相同的基数. （）五、定义题1. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.2. 简述中开集的结构.1R 3. 可测集与闭集、集有什么关系？F σ4. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？六、计算题1. 设，为中有理数集，求.()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩E 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰2. 设，求.()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰七、证明题1．设是上的可测函数，则对任何常数，有()f x E 0a >()[|()]af x EmE x f x a ee dx-≥≤⎰2．设是上的可积函数，为的一列可测子集，，如果()f x E {}n E E mE <+∞lim n n mE mE→∞=则lim()()nE En f x dx f x dx→∞=⎰⎰3．证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =U U 4．设是零测集，则的任何子集是可测集，且nE R ⊂EF 0mF =5. 证明：上的实值连续函数必为上的可测函数1R ()f x 1R本科实变函数试题库及参考答案（3）1、填空题1.=2.=3.开集4.闭集5.可测6.可测函数7.8.()()f x g x ()()k n f x f x →二、单选题1.B2.A3.B4.A三、多选题1.BCD 2.ABD 3.AB 4.BD四、判断题 √√×√√五、定义题1.答：若，又，则A B B *⊂:B A A *⊂:A B:2.答: 设为中开集，则可表示成中至多可数个互不相交的开区间的并.G 1R G 1R 3.答：设是可测集，则，闭集，使或 集，E 0ε∀>∃F E ⊂()\m E F ε<∃F σF E⊂使.()\0m E F =4.答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.六、解答题1.解：因为，所以于0mE =()cos ,.f x x a e =[]0,1于是()0,0,22cos f x dx xdxππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而在上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式cos x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰2.解：因为在上连续，所以可测()n f x []0,1()1,2,n =L 又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++L 而，所以.22lim01n nxn x →∞=+()lim 0n n f x →∞=因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nn n n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰七、证明题1.证明 因为在上可测，所以是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性()f x E ()f x e质，()()[|()][|()]a f x f x E x f x a E x f x a Ee dx e dx e dx≥≥≤≤⎰⎰⎰而，[|()][|()]a a E x f x a e dx e mE x f x a ≥=⋅≥⎰所以()[|()]a f x EmE x f x a e e dx-≥≤⎰2.证明因在上可积，由积分的绝对连续性知，对任意，存在，()f x E L -0ε>0δ>对任何，当时有，由于，故对上述的A E ⊆mA δ<|()|Af x dx ε<⎰lim n n mE mE →∞=<+∞，存在，当时，且有，于是0δ>0k 0n k >n E E ⊆()n n mE mE m E E δ-=-<，|()()||()|nnEE E E f x dx f x dx f x dx ε--=<⎰⎰⎰即lim ()()nE En f x dx f x dx→∞=⎰⎰3.证明 ()\()()()(\)(\)c c cA B C A B C A C B C A C B C ===U U I I U I U 4.证明 设，，由外测度的单调性和非负性，，所以F E ⊂*0m E =*00m F mE ≤≤=，于是由卡氏条件易知是可测集*0m F =F 5.证明，不妨假设，因为是上的连续函数，故是1,a b R ∀∈a b <()f x 1R ()f x 上的连续函数，记，由在上连续，则，使[],a b [],F a b =()f x F (),M m m M ∃<，则显然易证，是闭集，即为上的可测()m f x M ≤≤()1,R F f αα∀∈≥()f x [],a b 函数，由的任意性可知，是上的可测函数.,a b ()f x 1R。
武汉大学 实变函数论 第三章 实变函数作业参考答案
f ( x) x 3 A x x [ 0,1] A x ,
于是有 由于
x3 , x
在
0,1
是连续函数，所以
x3 , x
是可测函数，又因为特征函数是可测函数即
A x , [ 0,1] A x
是可测函数. 在根据定
f ( x) x 3 A x x [ 0,1] A x ,
1 1 1 , N , 使得m, n N , f m ( x) f n ( x) x ( E ( f n ( x) f ( x) )), k k k k 1 N 1 m N n N
1 x E ( f m f n ) x ( E ( f m ( x) f n ( x) )), k 于是 k 1 N 1 m N n N 1 A 是可测集，当 E ( f m f n ) ( E ( f m ( x) f n ( x) )), k 证明：要证明 因此有 m 1 N 1 m N n N
2 证明若
解：
f 在 E 上可测， E f 0 是可测集. 则 f 在 E 上可测.
（1）反例：设 E 是 [0,1] 中的不可测集，令
x, x E , f ( x) x, x 0,1 E. f ( x) 不可测. 若 0 E ，则 E ( f 0) E 不可测. 若 0 E ，则 E ( f 0) E 不可测.所以 f ( x) 总是不可测的.
同理可证明 E ( f
E, a 0 a) c E f 0 f a E f 0 f a , a 0
实变泛函第三章答案
3.2 设(X,ρ)为距离空间，试证ρ(x,y )是关于x,y 的连续函数。
解：要证ρ(x,y )是关于x,y 的连续函数，即证当x →x 0,y →y 0时，ρ(x,y)→ρ(x 0,y 0). 显然，当x →x 0,对∀ε有ρ(x,x 0,)<ε2,同时，当y →y 0, ∀ε有ρ(y,y 0)<ε2. ρ(x,y )−ρ(x 0,y 0)≤ρ(x,x 0,)+ρ(x 0,,y)≤ρ(x,x 0,)+ρ(x 0,y 0)+ρ(x 0,,y )−ρ(x 0,y 0) =ρ(x,x 0,)+ρ(y,y 0)≤ε2+ ε2=ε. 即ρ(x,y )−ρ(x 0,y 0)≤ε，即ρ(x,y)→ρ(x 0,y 0).3.4设(X,ρ)为距离空间，定义ρ1(x,y)=ρ(x,y )1+ρ(x,y )， 证明ρ1也是X 上的一个距离空间。
证明：因为ρ是X 上的一个距离，ρ(x,y )≥0，ρ(x,x )=0。
ρ(x,z )+ρ(y,z )≥ρ(x,y ). 所以，ρ1(x,y )=ρ(x,y )1+ρ(x,y )≥0，ρ1(x,x )=ρ(x,x )1+ρ(x,x )=0.最后只需证(X,ρ1)满足三角不等式。
ρ1(x,z )+ρ1(z,y )=ρ(x,z )1+ρ(x,z )+ρ(z,y )1+ρ(z,y )>ρ(x,z )1+ρ(x,z )+ρ(z,y )+ρ(z,y )1+ρ(z,y )+ρ(x,z )=ρ(x,z )+ρ(z,y )1+ρ(z,y )+ρ(x,z )≥ρ1(x,y ).所以(X,ρ1)是一个距离空间。
3.6 设X 为距离空间，G ⊂X,则G 在X 中稠密⇔G =X .证明：⇒：G 在X 中稠密，则X ⊂GX 和X 为距离空间，则G ⊂X ，即G =X 。
⇐: =X ,则X ⊂，显然G 在X 中稠密。
即命题成立。
3.9 设X 为完备的距离空间，X 1为X 的稠密子集，若离X 1≠X ，且按照X 上的距离，把X 1看做独立的距离空间，则X 1不完备，并由此证明闭区间[a,b]上的Rieman 可积函数全体按照距离ρ(x,y )=∫|x (t )−y (t )|dt ba是一个不完备的距离空间。
实变函数论课后答案第三章3
使得 则从 ，
是至多可数集，从而知也是至多可数集，从而有 （P54习题2）
（，，） 令，我们来证明是完备集 1）是闭集：，存在， 则，推出， 若，则，，为至多可数集， ，充分大时，， （）
实变函数第三章复习题及解答
第三章 复习题一、判断题1、设()f x 是定义在可测集nE R Í上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。
（√ ）2、设()f x 是定义在可测集nE R Í上的实函数，如果对某个实数a ，有[()]E x f x a >不是可测集，则()f x 不是E 上的可测函数。
（√ ）3、设()f x 是定义在可测集nE R Í上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ³为可测集。
（×（× ）4、设()f x 是定义在可测集n E R Í上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a =为可测集。
（×（× ）5、设()f x 是定义在可测集nE R Í上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a £为可测集。
（√ ）6、设()f x 是定义在可测集nE R Í上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b （a b <）， [()]E x a f x b £<为可测集。
（×（× ）7、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。
（√ ）8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ，则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。
（×（× ）9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则()f x 在E 上“基本上”连续。
（√ ） 10、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x Þ（x E Î），则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。
实变函数第三章习题答案
*
知，对
c ( f ( a ), f ( b )) ( 0 , m E ), [ a , b ], 使得 f ( ) m ([ a , ] E ) c .
*
即 E 0 [ a , ] E E , 使得 m E 0 c .
n
lim mE ( f n f ) 0 .
又 f n ( x ) g n ( x ) a .e 于 E ，所以 mE ( f n g n ) 0 .
记 E 0 E ( f n g n )，则 mE 0 0 .
n 1
对 x E E 0 , 有 f n ( x ) g n ( x )，且
1
证明：(1“ ” ). 由于 f ( x ) 在 E 上可测，所以对 a R , E ( f a ) 可测 . 特别地，对 r Q , E ( f r ) 可测 .
1
( rn
{ rn }：
n 1
[ a
“ ” a R , 严格单增有理数列
rn a ( n ), 有 rn a ， E ( f a ) E ( f r ). 且 n
于是 m ( lim E n ) 0 , 故 lim E n 可测，且 m ( lim E n ) 0 .
n n n
5 .证明： F 为 F 型集 CF 为 G 型集 .
证明： F 为 F 型集 F Fi ( I a , Fi闭 )
i I
CF C ( Fi ) CF i ( I a , CF i 开 ).
知， 子列 f n i ( x ) f ( x ) a .e 于 E .于是 mE ( f n i f ) 0 .
实变函数论课后答案第三版
1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ⊂.证明：若()B A A B -=，则()A B A A B ⊂-⊂，故A B ⊂成立. 反之，若A B ⊂，则()()B A A B A B B -⊂-⊂，又x B ∀∈，若x A ∈，则()x B A A ∈-，若x A ∉，则()x B A B A A ∈-⊂-.总有()x B A A ∈-.故()B B A A ⊂-，从而有()B A A B -=。
证毕2. 证明c A B A B -=.证明：x A B ∀∈-，从而,x A x B ∈∉，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ∀∈-， 所以c A B A B -⊂.另一方面，c x A B ∀∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈∉，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ⊂-.综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9.证明：定理4中的（3）：若A B λλ⊂（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧∈∧⊂.证：若x A λλ∈∧∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ⊂（∀λ∈∧）成立知x A B λλ∈⊂，故x B λλ∈∧∈，这说明A B λλλλ∈∧∈∧⊂.定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=.证：若()x A B λλλ∈∧∈，则有'λ∈∧，使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧∈⊂.反过来，若()()x A B λλλλ∈∧∈∧∈则x A λλ∈∧∈或者x B λλ∈∧∈.不妨设x A λλ∈∧∈，则有'λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧∈⊂⊂.故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧⊂.综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=.定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧=.证：()c x A λλ∈∧∀∈，则x A λλ∈∧∉，故存在'λ∈∧ ，'x A λ∉所以'c c x A A λλλ∈∧∉⊂从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧⊂.反过来，若c x A λλ∈∧∈，则'λ∃∈∧使'c x A λ∉，故'x A λ∉，x A λλ∈∧∴∉，从而()c x A λλ∈∧∈()c c A A λλλλ∈∧∈∧∴⊃. 证毕定理9：若集合序列12,,,,n A A A 单调上升，即1n n A A +⊂（相应地1n n A A +⊃）对一切n 都成立，则 1lim n n n A ∞→∞==（相应地）1lim n n n A ∞→∞==.证明：若1n n A A +⊂对n N ∀∈成立，则i m i mA A ∞==.故从定理8知11liminf n i m n m i mm A A A ∞∞∞→∞=====另一方面,m n ∀，令m i i mS A ∞==，从1m m A A +⊂对m N ∀∈成立知 11111()()m i mi m i i m i mi m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+==⊂==.故定理8表明1111limsup liminf n i m m n n n m i mm m A A S S A A ∞∞∞∞→∞→∞=========故1lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞→∞→∞→∞====.4. 证明()()A B B A B B -=-的充要条件是B =∅. 证：充分性若B =∅，则()()A B B A A A A A -=-∅∅=-∅==∅=∅-∅必要性 若()()A B B A B B -=-，而B ≠∅则存在x B ∈.所以()()x A B B A B B ∈-=-即所以,x A B x B ∈∉这与x B ∈矛盾， 所以x B ∈.4. 设{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求()F A .又如果1;1,2,3,,S n n⎧⎫==⎨⎬⎩⎭01;A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为奇数,{}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭,问()()01,F A F A 是什么. 解:若{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =∅.若011111;1,2,3,,;1,,,,3521S n A nni ⎧⎫⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭为奇数, 则从1111111,,,,,,,3521242ci i ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭, 易知()111111,,1,,,,,,,,3521242F A S i i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭. {}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭. 令11;1,2,,;1,2,212B i C i i i⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. {}{}{}1,F A S AK A B K C K A =∅==∅为的子集，或.证明: 因为{}111,,,,,321A B i ⎧⎫⎧⎫∈⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭的任何子集()1F A .所以有()1B F A ∈,而c B C =,故()1C F A ∈,又()1F A ∅∈. 任取B 的一子集A ,()1A A F A ∅=∈,且()1A C F A ∈. 显S A ∈,故只用证A 的确是一个σ-域.(1) ,c c S S A ∅==∅∈,且B ∀的子集A ,若K =∅,则,c KA A A C∅==(B A -是B 的子集,故()()ccAA C F A ∅=∈)又B ∀的子集A ,()cc c c A C A C A B ==. 显然是B 的子集,所以()()cc A C A B A =∅∈.又若n A 为B 的子集()1,2,3,,n n K C ==或∅. 则()111nn n n n n n A K A K A K ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这里1n n A A B ∞==⊂是B 的子集.1n n K K C ∞===或∅.所以()1n n n A K A ∞=∈.若n A 中除B 的子集外,还有S ,则()1n n n A K S A ∞==∈.若n A 中有∅,不影响1n n A B ∞=⊂.故A 是σ-域,且()1F A A =. 证毕.6.对于S 的子集A ，定义A 的示性函数为()10A x Ax x Aϕ∈⎧=⎨∉⎩证明：（1）()()liminf liminf nnA A x x ϕϕ=（2）()()limsup limsup nnA A x x ϕϕ=证明：x S ∀∈，若()liminf nA x x ϕ∈则()liminf 1nA x ϕ=。
《实变函数》第三章期末复习题解答
《实变函数》第三章期末复习题解答一、填空题1. 有界可测集和无界可测集统称为（可）测集2. 点集为可测集的充要条件是为（可）测集.3.任何开集，闭集都是（可）测集.4. 任何波雷尔集都是（可）测集5. 任何可测集必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集的（并集和差集）mE=，则的任何子集也可测且测度为（零）．6. 如果0二、单选题1. 至少有一个内点的可测集的测度一定（A）零．A＞ B ＜ C ＝ D 以上答案都不对2. 中任何可测集都可表为至多可列个互不相交的有界可测集的（B）A交集 B 并集 C 交集的补集 D 并集的补集3. 设E是有限点集或可列点集，则mE=（A）A 0B 1C mD e4. 可列个外侧度为零的集合的并集的外侧度为（A）A 0B 1C 2D 不存在5. 若m E*（C）0，则E为可测集。
A＞ B ＜ C ＝ D ≠⊂.若(m B﹨A)=0,则mB（C）mA6. 设A和B均可测，且A BA＞ B ＜ C ＝ D ≠三、证明题或计算题1. .设都是中的点集，其中是可测集，并且.试证也是可测集.证因可测，，所以由卡拉皆屋独利条件，得因为. 所以. 由习题3中的第6题可知是可测集. 由此可知是可测集.2. 证明若为有界集，则 ．证 因为 为有界集，故存在 中的长方体 ，使．由外测度的单调性，可知，但，所以．3. 设E ⊂[0，1]，且mE =0.求mE 的值.解：令E 为[0，1]中所有有理数集合，则mE =0，但由于E =[0，1]，故mE =m [0，1]=14. 证明[0，1]中的无理数集可测且测度为1.证明：设[0，1]中的有理数集为Q ，[0，1]中的无理数集为I ，则Q I φ=， 且[0，1]=QI .由于Q 为可测集，故Q 可测且侧度为0，又因为I =[0，1]- Q ， 且[0，1]和Q 都是可测集，故I 可测.于是从[0，1]= Q I ，Q I φ=及测度的可加性得m [0，1]=mQ mI +，因此mI =1.5. 设12,S S 均为可测集，12S S ⊂，且1mS ＜+∞，则2(m S ﹨1S )＝21mS mS - 证明:因为12S S ⊂，所以22(S S =﹨11)S S . 由题设条件1mS ＜+∞，于是21mS mS -=2(m S ﹨1S ).故2(m S ﹨1S )＝21mS mS - 6．设12,,,,n E E E 是[0，1] 中的一列可测集，且对任意正整数k ，有k mE ＞1-1k. 求证 m （1n i i E =）=1.证明：由于[0,1](1,2,)i E i n ⊂=，所以1n i i E =[0,1]⊂，于是m （1n i i E =）≤m [0，1]=1. 另一方面，由于对任意自然数k ，有k mE ＞1-1k ，故1-1k＜k mE ≤m （1n i i E =），1,2k =.因此，令k →∞，得 1≤m （1n i i E =）.总之m （1n i i E =）=1.7．设12,,,n S S S 是互不相交的可测集，(1,2,)i i E E i n ⊂=.证明11()nni i i i m E m E **===∑.证明：由题设条件易知(1,2,)i E i n =互不相交.令T=1n i i E =，则T ∩i S =(1,2,)i E i n =.由于(1,2,)i E i n =是互不相交的可测集，故由推论3.2.1得1[()]ni i m TS *==1()ni i m TS *=∑，即 11()nni i i i m E m E **===∑。
实变函数第三章习题解答
第三章 作 业
1．证明：若E 有界，则m E ∗<+∞．
2．证明：可数点集的外测度为零．
3．证明：设E 是直线上一有界集，，则对任意小于的正数，恒有0m E ∗>m E ∗c E 的子集，使．
1m E c ∗=
4．证明：设是一些互不相交的可测集合，，，求证 ． 12,,,n S S S i i E S ⊂1,2,,i n = 11()n n
i i i i m E m E ∗
∗===∑∪
5．若0m E ∗=，则E 可测．
6．证明康托尔（Cantor ）集合的测度为零．
7．设且．若,q A B R ⊂m B ∗<+∞A 是可测集，证明
．
()()m A B mA m B m A B ∗∗∗=+−∪∩
8．证明：若E 可测，则对于任意0ε>，恒有开集及闭集，使， G F F E G ⊂⊂而(),()m G E m E F εε−<−<．
9．设，存在两列可测集{}，使得且，则q E R ⊂,{}n n A B n n A E B ⊂⊂lim ()0n n n m B A →∞
−=E 可测．
10．设，证明成立不等式：,q A B R ⊂()()m A B m A B m A m B ∗∗∗+≤+∪∩∗．
11．设，若对任意的n E R ⊂0ε>，存在闭集，使得F E ⊂()m E F ε∗−<，证明E 是可测集．
12．证明：直线上所有可测集合作成的类μ的基数等于直线上的所有集合类的基数．。
实变函数第三章复习题及解答
第三章 复习题一、判断题1、对任意n E R ⊆，*m E 都存在。
（√ ）2、对任意n E R ⊆，mE 都存在。
（× ） 3、设n E R ⊆，则*m E 可能小于零。
（× ） 4、设A B ⊆，则**m A m B ≤。
（√ ）5、设A B ⊆，则**m A m B <。
（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。
（× ）7、**11()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。
（√ ）8、设E 为nR 中的可数集，则*0m E =。
（√ ）9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。
（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。
（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。
（√ ）12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。
（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。
（× ） 14、E 是可测集⇔c E 是可测集。
（√ ）15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞= ，1n n S ∞= 都是可测集。
（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。
（√ ）17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。
（√ ）18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。
（√ ）19、若E =∅，则*0m E >。
（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。
（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。
（√ ）22、在nR 中必存在测度为零的无界集。
（√ ）23、若A ，B 都是可测集，A B ⊆且mA mB =，则()0m B A −=。
（× ） 24、∅和n R 都是可测集，且0m ∅=，n mR =+∞。
（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E −≥12mE mE −。
《实变函数》综合训练题(三)及解答
《实变函数》综合训练题（三）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）\()\A A B A B ⋂= （B ）\()\A A B A B ⋂≠ （C ）()B A A A B ⋂⋃=⋃ （D ）(\)B A A ⋂≠∅ 2、若nE R ⊂是孤立点集，则（ B ）（A ）E E '⊃ （B ）E '=∅ （C ）E 的内部≠∅ （D ）E E '= 3、设W 是[0,1]上的无理数集，则（ C ）（A ）W 是可数集 （B ）W 是开集 （C ）W 是不可数集 （D ）0m W = 4、设()f x 是1R 上的单调函数，则（ D ）（A ）()f x 在1R 上连续 （B ）()f x 在1R 中的不连续点有不可数个 （C ）()f x 在1R 上一定不L 可积 （D ）()f x 是1R 上的可测函数5、设E 是nR 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若2()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ），()f z 在E 上几乎处处为零 （B ）在E 上，()0f z ≡ （C ）在E 上，()0f z ≠ （D ）[()0]0m E x f x == 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]上康托集，则（B 、C ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0m E > 2、若1E R ⊂至少有一个聚点，则（C 、D ）（A ）*0m E > （B ）*0m E =（C ）E 可能是可数集 （D ）E 可能是不可数集3、设[,]E a b ⊂是不可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （C 、D ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的不可测函数4、设()f x 在可测集E 上不L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z -都在E 上不L 可积（B ）()f z +和()f z -至少有一个在E 上不L 可积 （C ）()f z 在E 上可能L 可积 （D ）()f z 在E 上一定不L 可积5、设()f z 是[,]a b 的有界变差函数，则（ A 、D ）（A ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （B ）()f z 是[,]a b 的连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上不可导 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则A B⋂=\(\)A A B2、设nE R ⊂，如果E 满足E E '=，则E 是 完全 集。
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第三章 复习题
一、判断题
1、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。
（√ ）
2、设()f x 是定义在可测集n
E R ⊆上的实函数，如果对某个实数a ，有[()]E x f x a >不是可测集，则()f x 不是E 上的可测函数。
（√ ）
3、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。
（× ）
4、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a =为可测集。
（× ）
5、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a ≤为可测集。
（√ ）
6、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b （a b <）， [()]E x a f x b ≤<为可测集。
（× ）
7、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。
（√ ）
8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ，则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。
（× ）
9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则()f x 在E 上“基本上”连续。
（√ ）
10、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x ⇒（x E ∈），则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。
（× ）
11、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ，则()()n f x f x ⇒（x E ∈）。
（× ）
二、填空题
1、[]E f a > 等于 11[]n E f a n ∞
-≥+U ，[]E f a ≥ 等于 11[]n E f a n ∞->-I 。
2、[]E a f b << 包含于 []E f a >，[]E a f b << 包含于 []E f b <；
[]E a f b << 等于 [][]E f a E f b ><I ，[]E a f b << 等于 [][]E f a E f b >-≥。
3、设1
n n E E ∞==U ，则[]E f a < 等于 1[]n n E f a ∞
=<U 。
4、设1n n E E ∞==I ，则[]E f a ≥ 等于 1
[]n n E f a ∞=≥I 。
5、由于区间I 上的单调函数()f x 的不连续点所成的集为 至多可数 集，则()f x 为I 上的 几乎处处 连续函数，从而()f x 为I 上的 可测 函数。
6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测 。
7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限 。
8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。
9、叙述叶果洛夫定理 设E 是测度有限的可测集，则E 上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。
10、叙述鲁津定理 设E 是可测集，则E 上的可测函数“基本上”是连续函数 。
11、若()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈），则()f x 等于 ()g x 几乎处处于 E 。
三、证明题
1、证明：1
R 上的连续函数必为可测函数。
证明：设()f x 是1R 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ，11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从而是可测集。
所以，()f x 是1R 上的可测函数。
2、证明：1
R 上的单调函数必为可测函数。
证明：不妨设()f x 是1R 上的单调递增函数，对任意实数a ，记inf{()}A x f x a =>，由单调函数的特点得，当{()}A x f x a ∈>时，{()}[,)x f x a A >=+∞，显然是可测集；当{()}A x f x a ∉>时，{()}(,)x f x a A >=+∞，也显然是可测集。
故()f x 是1R 上的可测函数。
3、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E 。
证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n
∞=≠=-≥U ，而 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k
-≥⊂-≥⋃-≥， 所以，
111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k
-≥≤-≥+-≥， 由()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈）得
1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=，1lim []02n n mE x f g k
→∞-≥=。
所以，1[]0mE x f g k
-≥
=，从而[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E 。
4、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±（x E ∈）。
证明：对任意0σ>，由于
()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-， 所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，
1()()2n f x f x σ-≥和1()()2
n g x g x σ-≥至少有一个成立。
从而
11[[]][][]22
n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥⊂-≥⋃-≥， 所以，
11[[]][][]22
n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。
又由()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈）得，
1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1lim []02
n n mE x g g σ→∞-≥=。
所以，
lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞
±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±（x E ∈）。
5、若()()n f x f x ⇒（x E ∈），则()()n f x f x ⇒（x E ∈）。
证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有
[][]n n E x f f E x f f σσ-≥⊂-≥，
[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥。
又由()()n f x f x ⇒（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞
-≥=。
所以，
lim []0n n mE x f f σ→∞
-≥=，即()()n f x f x ⇒（x E ∈）。