2020高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数6第6讲对数与对数函数练习(理)(含解析)
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 6 第6讲 对数与对数函数课件 理
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4．已知 log23＝a，3b＝7，则 log3 72 21的值为________．
解析：由题意 3b＝7，所以 log37＝b.
所 以 log3
72
21 ＝ log
6384＝来自log284 log263
＝
log2（22×3×7） log2（32×7）
＝
2＋2lolog2g32＋3＋lolgo2g32·3·lolog3g737＝2＋ 2a＋a＋abab.
a>0，且 a≠1， M>0，N>0
logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，c>0，且 c≠1，b>0)
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2.对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：___(0_，__＋__∞_)__
值域：R 过定点__(1_，__0)_
当 x>1 时，y>0
[迁移探究 2] (变条件)若本例(2)变为：当 0<x≤14时， x<logax， 求实数 a 的取值范围．
解：若 x<logax 在 x∈0，14成立，则 0<a<1，且 y＝ x的图象 在 y＝logax 图象的下方，如图所示，
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由图象知
14<loga14，所以0a<12>a14<，1，
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1．已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图 象如图，则下列结论成立的是( )
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第6讲 对数与对数函数教师用书 文 新人教版(
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对数与对数函数教师用书文新人教版基础巩固题组(建议用时:40分钟）一、选择题1。
(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a〉b〉1”是“log2a>log2b〉0”的（）A。
充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D。
既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b〉log21＝0;当log2a〉log2b〉0＝log21时，有a>b〉1。
答案A2.(2017·石家庄模拟）已知a＝log23＋log23，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a,b，c 的大小关系是（）A。
a＝b〈c B。
a＝b>cC.a<b〈cD.a〉b>c解析因为a＝log23＋log23＝log23错误!＝错误!log23〉1，b＝log29－log2错误!＝log23错误!＝a,c＝log32〈log33＝1.答案B3。
若函数y＝log a x（a〉0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（)解析由题意y＝log a x（a〉0,且a≠1)的图象过（3，1)点，可解得a＝3。
高三数学一轮复习第二章函数对数与对数函数课件文
1.(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试)若x∈(e-1,1),a=ln x,b=
( 1 )ln x,c=eln x,则 (
)
2
(A)c>b>a.
(B)b>a>c.
(C)a>b>c.
(D)b>c>a
【解析】c=eln x=x∈(e-1,1),a=lnx∈(-1,0),b=( 1 )ln x∈(1,2),所以b>c>a.
考点
考纲解读
1
对数的运算
理解对数的概念,掌握对
数的运算性质.
2
对数函数
掌握对数函数的概念、图
象和性质.
常考查对数函数的图象和性质,如定义域问题、真数与底数、 单调性、比较大小、解对数不等式、与导数函数结合、与数列结
合等问题.大题主要以结合导数为主.考查形式上选择题、填空题、 解答题均有可能.高考中客观题常考查对数的运算性质,对数的真数 与底数,对数函数的单调性等基本知识,一般是中低档题,主观题中常 考查对数的综合应用,如与数列的结合试题等.
2
【答案】D
2.(安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测)“a=1”是“函 数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)单调递增”的( )
(A)充分必要条件.
(B)必要不充分条件.
(C)充分不必要条件.
(D)既不充分也不必要条件.【解析】显然函数f(x)=lg(x+1),f(x)=lg(2x+1)在(0,+∞)上均单调递增, 所以“a=1”是“函数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)单调递增”的充分不 必要条件.
性质
定义域:(0,+∞) 值域:R 奇偶性:非奇非偶函数 过定点(1,0) 当x∈(0,1)时,y<0, 当x∈(1,+∞)时,y>0 在(0,+∞)是增函数
高三数学一轮 第二章 第六节 对数、对数函数课件 理
与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步 骤为：
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成 的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)， u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为 增函数，若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数， 即“同增异减”．
【解析】 (1)由题设，3－ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立，a>0 且 a≠1， ∵a>0，∴g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函 数，
从而 g(2)＝3－2a>0，∴a<32， ∴a 的取值范围为(0,1)∪1，32.
(2)假设存在这样的实数 a，由题设知 f(1) ＝1，
即 loga(3－a)＝1，∴a＝32， 此时 f(x)＝log323－32x， 当 x＝2 时，f(x)没有意义，故这样的实 数不存在．
【答案】 A
4．已知 loga(3a－1)有意义，那么实数 a 的取值范围是________．
a＞0
【解析】 由a≠1 3a－1＞0
，可得 a＞31且
a≠1.
【答案】 a＞13且 a≠1
5．函数 y＝ log1(3x－2)的定义域是________．
2
【解析】 要使 y＝ log1(3x－2)有意义
(3)令 u(x)＝xx＋ －bb，则函数 u(x)＝1＋x2－bb 在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分别为减函 数，所以当 0<a<1 时，f(x)在(－∞，－ b)和(b，＋∞)上分别为增函数；当 a>1 时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分 别为减函数．
(4)解关于 x 的方程 y＝logaxx＋ －bb，得 x＝ b(ay＋1)
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件 文
(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义 域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论 错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优 先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定 要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的 限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
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(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)． 所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0， ，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
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(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合 要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题，利用数形结合法求解．
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【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值 域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
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【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )
高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第六节对数与对数函数课件理
(3)已知 2x＝12，log213＝y，则 x＋y 的值为________． (4)设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[ 听 前 试 做 ] (1) log232－4log23＋4 ＝ log23－22 ＝ 2 － log23，又 log213＝－log23，两者相加即为 B.
)
(2)当 0<x≤12时，4x<logax，则实数 a 的取值范围是________．
[听前试做] (1)f(x)＝lg|x＋1 1|＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数 y
＝－lg|x|的图象左移 1 个单位得到．由 y＝－lg|x|的图象可知选 D.
(2)构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax.当 a>1 时不满足条件；当
1．对数的概念 如果 ax＝N(a>0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则： 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN ；②logaMN＝ logaM-logaN ；
(4)函数 y＝log2x 及 y＝log133x 都是对数函数．(
)
(5) 对 数函数 y ＝ logax(a>0 ， 且 a≠1) 在 (0 ， ＋ ∞) 上 是 增函 数．( )
(6) 函 数
y
＝
ln
1＋x 1－x
与
y ＝ ln(1 ＋ x) － ln(1 － x) 的 定 义 域 相
同．( )
3．函数 y＝ log133x＋4的定义域为________． 答案：－43，－1
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件
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1．已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 常数，其中 a>0，a≠1)的图象 如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 C．0<a<1，c>1
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B．a>1，0<c<1 D．0<a<1，0<c<1
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解析：选 D.由对数函数的性质得 0<a<1，因为函数 y＝loga(x ＋c)的图象在 c>0 时是由函数 y＝logax 的图象向左平移 c 个单 位得到的，所以根据题中图象可知 0<c<1.
质 当 x>1 时，y>0 当 0<x<1 当 x>1 时，y<0 当 0<x<1
时，y<0
时，y>0
在(0，＋∞)上是 _增__函__数__
在(0，＋∞)上是_减__函__数__
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3.对数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数 y＝logax，y＝ logbx，y＝logcx，y＝logdx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的 图象，如图所示．
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底数的限制：a>0，且 a≠1
对数式与指数式的互化：ax＝N⇒_lo_g__aN__＝__x_
负数和零没有对数 性质
1 的对数是_零__：loga1＝_0_ 底数的对数是_1_：logaa＝_1_ 对数恒等式：alogaN＝_N_
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高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数
第6 讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质①a log aN＝__N__；②log a a N＝__N__(a>0且a≠1)；③零和负数没有对数．(2)对数的运算性质(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log aMN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c (×) (2)log 2x 2＝2log 2x (×)(3)函数y ＝log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域为{x |x ＞12}(×) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)2．(2014·四川卷)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析 由已知得b ＝5a，b ＝10c,5d＝10，∴5a＝10c,5d＝10，同时取以10为底的对数可得，a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1d，即a ＝cd .答案 B3．(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.答案2784．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．(人教A 必修1P75B2改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析 当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数的运算【例1】 (1)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B ．12 C ．2D ．4(2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________.解析 (1)(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)D (2)2规律方法 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．【训练1】 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)lg 5＋lg 20的值是________．解析 (1)∵2a＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.答案 (1)A (2)1考点二 对数函数的图象及其应用【例2】 (1)(2014·福建卷)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)(2015·石家庄模拟)设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析 (1)由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.(2)构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2＜－1，－1＜x 1＜0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1＜0，所以lg(x 1x 2)＜0，即0＜x 1x 2＜1，故选D. 答案 (1)B (2)D规律方法 在解决对数函数图象的相关问题时，要注意：(1)底数a 的值对函数图象的影响；(2)增强数形结合的解题意识，使抽象问题具体化．【训练2】 已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0＜a －1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1 C ．0＜b －1＜a ＜1 D ．0＜a －1＜b －1＜1解析 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1＜log a b ＜0，解得1a ＜b ＜1.综上有0＜1a＜b ＜1.答案 A考点三 对数函数的性质及其应用【例3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析 (1)∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 5 2＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1，∴c ＞a ＞b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)，故选A.答案 (1)D (2)A规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【训练3】 (1)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12 a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0， log 12 －x ，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 (1)∵a ＞0，∴2a＞1，∴log 12 a ＞1，∴0＜a ＜12.又∵b ＞0，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b＜1，∴0＜log 12b ＜1，∴12＜b ＜1.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1，∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0， log 12 －a ＞log 2－a ，解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案 (1)A (2)C[思想方法]1．研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错防范]1．在运算性质log a M n＝n log a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |(n ∈N ＋，且n 为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析 log a b ·log c a ＝log a b ·1log a c ＝log a blog a c ＝log c b ，故选B.答案 B2．(2014·郑州一模)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )解析 当x ＝1时，函数无意义，故排除B ，D.又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．答案 A3．(2014·安徽卷)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析 由3＜7＜9得log 33＜log 37＜log 39，∴1＜a ＜2，由21.1＞21＝2得b ＞2，由0.83.1＜0.80＝1得0＜c ＜1，因此c ＜a ＜b ，故选B.答案 B4．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(0，13)D ．(3，＋∞)解析 由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，故选D.答案 D5．(2014·长春质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)．答案 B 二、填空题6．(2014·陕西卷)已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析 ∵4a＝2，∴a ＝log 42＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012 ＝10.答案107．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 28．(2014·淄博一模)已知函数f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )＞0的x 的取值范围是________．解析 由题意知y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，(1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)判断函数f (x )的单调性．解 (1)要使f (x )有意义，需满足1－x1＋x＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，1＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f (－x )＝lg 1＋x1－x＝－lg 1－x 1＋x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)．设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg 1－x 11＋x 1－lg 1－x 21＋x 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1·1＋x 21－x 2＝lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴1－x 1x 2＋x 2－x 1＞1－x 1x 2－(x 2－x 1)＝(1＋x 1)(1－x 2)＞0， ∴1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞1，∴lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(－1,1)上是减函数．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12()log 2a x ＋3log a x ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意， ∴a ＝12.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－1. 答案 C12．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x＜log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 答案 B13．(2015·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12， 故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 14．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值； (2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)，∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a 1＋a.。
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第6讲对数与对数函数[基础题组练]1．(2019·惠州模拟)若函数f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|，其中a＞0，且a≠1，f(2)·g(2)＜0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是( )解析：选A.由题意知f(x)＝a x－2是指数型函数，g(x)＝log a|x|是对数型函数，且是一个偶函数，由f(2)g(2)＜0，可得g(2)＜0，故log a2＜0，故0＜a＜1，由此可以确定C、D 两选项不正确，且f(x)＝a x－2是一个减函数，由此可知B选项不正确，A选项正确，故选A.2．(2019·河南新乡一模)若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．b>c>a解析：选D.由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，lg a＝2lg 3，故a＝32＝9；由log3(log4b)＝1，可得log4b＝3，lg b＝3lg 4，故b＝43＝64；由log4(log2c)＝1，可得log2c＝4，lg c＝4lg 2，故c＝24＝16.所以b>c>a.故选D.3．设函数f(x)＝log a|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定解析：选A.由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．4．(2019·高考天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：选A.a ＝log 52<log 55＝12，而c ＝0.50.2>0.51＝12，故a <c ；b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2，而c ＝0.50.2<0.50＝1，故c <b .所以a <c <b .5．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1，2) B ．[1，2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A.令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．故选A. 6．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.7．(2019·广州市综合检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178. 答案：1788．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98. 又A >0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 29．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________．解析：因为0<a <1，所以函数f (x )是定义域上的减函数，所以f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min＝log a 2a ，所以1＝3log a 2a ⇒a ＝(2a )3⇒8a 2＝1⇒a ＝24.答案：2410．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.答案：911．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)， 由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1， 可得g (x )的定义域为(－1，1)． (3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减， 且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上单调递增， 可得函数g (x )的单调减区间为(0，1)．12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解：(1)当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以x <0时，f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x)的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1， 而x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2， 所以－5<x < 5.[综合题组练]1．(2019·济南模拟)若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y解析：选B.设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1, x ＝2t,y ＝3t,z ＝5t,因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1. 又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝xt ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x .2．(应用型)(2019·黄石模拟)已知x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2解析：选A.由题意可知x 3是函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3 x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 132<0，0<x 2＝2－12<1，所以x 3>x 2>x 1.故选A.3．(应用型)设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1. 得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：234．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中x >0，a >0.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， 即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)，则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.。