基于模极大值小波域的去噪算法研究_张小飞

文章编号:1004-9037(2003)03-0315-04

基于模极大值小波域的去噪算法研究

张小飞1,徐大专1,齐泽锋2

(1.南京航空航天大学信息科学与技术学院,南京,210016;

2.武汉大学电气工程学院,武汉,430072)

摘要:根据信号与噪声在小波变换下的不同特性,提出了基于模极大值小波域的去噪算法。该算法先用Adho c 算法求出信号的模极大值,再根据模极大值小波域的定义求出信号的模极大值小波域,从而得到信号的小波系数,然后逆变换得到信号。实例分析表明:该算法能有效消除噪声,与交替投影模极大值算法相比,该算法在原理上更简单,程序实现更容易,去噪速度更快,能满足在线监测的要求。关键词:小波;去噪;小波变换模极大值;模极大值小波域中图分类号:T N 911.7 文献标识码:A

　收稿日期:2002-08-30;修订日期:2003-02-17

Denoising Algorithm Based on Modulus Maximum Wavelet Field

Z H AN G X iao -fei 1,X U Da -zhuan 1,QI Ze -f eng

2

(1.Colleg e of Info rma tio n Science and T echno log y ,

Na nj ing U niv er sity of Aero nautics &Astro na utics ,N anjing ,210016,China ;2.Co llege o f Elect rical Engineering ,W uhan U niv e rsity ,W uha n,430072,China )

Abstract

:Befo re the sig nal is detected ,the noise included in signal sho uld be wiped off .A novel denoising algo rithm based on modulus m aximum w av elet field is presented.The cha racters of noise and sig nal o n w av elet transform a re discussed.The processes of the alg orith m are as fo llow s :firstly the modulus max imum is o btained acco rding to Adhoc alg orith m;seco ndly the mo dulus maximum w av elet field is com puted acco rding to its definitio n to a ttain wav elet coefficient;thirdly the singularity is reco nstructed th ro ug h inv erse w av elet transform .Com pared w ith others ,the a lg o rithm has som e adv antag es ,such as constructing efficiently ,w iping off the noise effectiv ely ,prog ramming easily .Ex amples prove that the alg orith m has better denosing perfo rmance,and ca n meet the demands o f o nline detection.The sing ula rity of sig nal is represented by Lipschitz index.

Key words :w av elet ;denoising ;w av elet transform modulus maxim um ;modulus maximum

w av elet field

引 言

在实际信号处理过程中采集到的信号包含大量噪声。传统的去噪方法是将被噪声污染的信号通过一个滤波器,滤掉噪声频率成分。但对于非平稳过程信号、含宽带噪声信号,采用传统方法处理有着明显的局限性。因小波同时具有时、频局域性,小波分析具有检测信号奇异性和突变结构的优势,它能更准确地得到信号上特定点的奇异性信息[1～5]。

信号和噪声在小波变换下表现出截然不同的性质,

所以小波分析能用于信号的去噪。文[5～8]中给出

了小波信号去噪算法,但这些算法实时性不高。小波去噪大都采用的是Mallat 提出的交替投影的模

极大值去噪算法[9]

。这种方法有如下缺点:(1)交替投影,计算量较大,程序复杂;(2)收敛速度取决于所用小波的性质,计算过程可能不稳定,收敛速度较慢;(3)当原始小波变换有跃变时,会出现相似于Gibbs 现象的伪振荡。因而很难满足信号在线监测的需要。而且,一般常用信号的具有正Lipschitz 指

第18卷第3期2003年9月数据采集与处理J o urnal of Da ta Acquisition &Pro cessing V o l.18No.3Sep.2003

数[7],且大多含有少数孤立突变信号,模极大值点很少。因此,寻求一种新的更加快速、更加简洁、程序实现更方便的去噪算法以满足信号在线监测的需要具有实际意义。

1　信号与噪声在小波变换下的特性1.1　信号的奇异性与小波变换

通常,用李氏指数(Lipschitz)来描述函数的局部奇异性有下面的定义。

定义1[4]　设n是一非负整数,n0及n次多项式P n (h),使得对任意的h≤h0,均有

|f(x0+h)-P n(h)|≤A|h|a(1)则称f(x)在点x0为李氏指数T。

李氏指数越大,函数越光滑。函数在一点连续、可微,则在该点的李氏指数为1;在一点可导,而导数有界但不连续时,李氏指数仍为1。如果f(x)在x0李氏指数<1,则称函数在x0点是奇异的。一个在x0不连续但有界的函数,该点的李氏指数为零[4]。分析函数f(x)的奇异性的传统方法是考察f(x)的傅里叶变换f(k)的渐近衰减性。一个有界函数f(x)在实轴上是一致李氏指数T的,如果满足

∫∞-∞|f(k)|(1+|k|T)d k<+∞(2) 但式(2)是一个充分条件,它只给出f(x)在全域的奇异性度量。如果需要研究某一特定点x0的局部奇异性,式(2)就无能为力了。而利用小波可分析这种局部奇异性,小波系数的值取决于f(x)在x0的邻域内的特性及小波变换所选取的尺度。在比较小的尺度上,它提供了f(x)的局部化性质。文[4]中的定理给出了较小尺度上小波变换系数的渐近衰减性和局部李氏奇异性的关系,得到结论:小波变换确实能用来估计函数的局部奇异性。对于奇异性大于零的奇异点,随着尺度的增加,其小波变换后的幅值将呈幂增加趋势;而对于奇异性小于零的奇异点,则小波变换的幅值随着尺度的增加而减小。在文中,函数f(x)的小波变换用Wf(s,x)表示。

1.2　随机噪声在小波变换下的特性

定义2[4]　在尺度s0下,称点(s0,x0)是局部极值点,若

W f(s0,x)

x在x=x0有一过零点则称(s0,x0)为小波变换的模极大值点,若对属于x0的某一邻域内的任意点x,有|Wf(s0,x)|≤|Wf(s0,x0)|。则尺度空间(s,x)中所有模极大值点的连线称为模极大值线。

由文[4]高斯白噪声的平均稠密度是反比于尺度2j的,即尺度越大,其平均稠密度越稀疏。另外,白噪声是一个几乎处处奇异的随机分布,它具有负的李氏指数

T=-1

2

-X, X>0(3) 综上所述,由于信号与噪声的奇异性有着明显的差异,使它们在不同尺度上的小波变换模极大值表现完全不同,信号的模极大值随尺度的增大而增加,具有正的Lipschitz指数。噪声的模极大值随尺度的增大而减少,具有负的Lipschitz指数,它们的模极大值在小波变换下具有不同的变化趋势,从而可设计出一种算法,从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而去除噪声的小波变换模极大值,然后用剩余的小波变换模极大值去重构信号。因此,小波分析能用于信号的消噪。

2　信号的消噪预处理算法

在信号消噪中,为了估计李氏(Lipschitz)指数,寻找模极大值线是必不可少的。从理论上来讲,必须对信号进行连续小波变换,在一个稠密的尺度序列上计算才能做到这一点。但在实际的二进制小波变换中,可以利用简单的非正式的即兴(adhoc)算法来搜索模极大值线。我们说尺度2j上的一个极大值传播到2j+1的另一个极大值点,如果两个极大值点属于同一条极大值线。对于尺度2j上的一个模极大值a,若它与尺度2j+1上的一个模极大值点b有相同的符号,位置也比较靠近且有较大的幅值,那么就说b为a的传播点,这种即兴算法优点是速度快,但不够精确。由于白噪声具有负的奇异性,且其幅度和稠密度随尺度增加而减少,因此如果某个信号的小波变换局部模极大值的幅度及稠密度随尺度的减小而快速增大,则表明该处的奇异性主要由噪声控制,在消噪时应予去除。具体地说,先从j最大的一级开始,找到在这一尺度上属于信号的小波变换极大值点,然后逐步减少j值,每次以高一级已找到的极值点位置为先验知识,寻找其在本级的对应极值点,并将其余各点去除。这样逐级搜索直到j=1为止。

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