基于模极大值小波域的去噪算法研究_张小飞
基于小波模极大值的地震信号去噪研究
山 西
地
震
Ｎｏ ．２
ＥＡＲＴＨＱＵＡＫＥ ＲＥＳ ＥＡＲＣＨ Ｉ Ｎ ＳＨＡＮＸＩ
（ ３ ）
的应 用 ＿ ６ ｊ 。文 章利 用 基 于小 波 分 析 的模 极 大 值 去 噪 方法 ， 对红 山基 准地 震 台 （ 以下 简 称 红 山 台 ） 记 录 的地 震数 据进 行去 噪研 究 ， 对 原 始 记 录信 号 进 行 小 波 分 解 后， 利用 有用 信 号和 噪 声 的 小 波 系 数 在 各个 尺度 上 具
傅 里 叶 变换 满足 条件 ：
Ｃ —Ｉ
ｒ ＋。 。
（ 叫）Ｉ 『 训 Ｉ ｄ ｗ ＜ ∞ ，
（ １ ）
式中 ： （ 硼） 为 （ ￡ ） 的傅 立 叶变换 ， 称 （ ￡ ） 为一 个 基 本
小 波或 小波 母 函 数 ， 称式 （ １ ） 为 小 波 函 数 的 可 容 许 条 件， 且母 小 波是 不唯 一 的 ， 是 可选 择 的 。 假 设 信 号 ｆ（ ） ∈Ｌ 。 （ Ｒ） ， 则 其 连 续 小 波 变 换 定
数据去噪的可视化应用 。 关键词 ： 地震信 号 ； 小波变换 ； 模极大值
中图分类号 ： Ｐ ３ １ ５ ． ３ 文 献标 志 码 ： Ａ
０ 引 言
地震 数字 化记 录信 号 在采 集 、 处理 等 过程 中， 不 可 避 免 地叠 加 了各种 干 扰信 息 ， 从 而影 响观 测质 量 ， 增 加 震 相 分析 的 难度 ， 为 地 震 信 号 的精 确 识 别 造 成 一 定 的 困难 。因此 ， 在地 震信 号 的处 理 过程 中 ， 提 取 地震 信 号 中 的有 用 信 息 ， 提 高 地震 资料 的信 噪 比， 对 后续 的信 号 分 析 研究 是 十分 重要 的 ＿ ｌ 』 。 地震 信 号属 于非 平 稳 信 号 ， 传 统 的 高 通 滤 波 和低 通 滤波 等方 法处 理 非平 稳 信 号具 有 一 定 的局 限性 ， 信 号 各频 段 的噪声 不 能有 效 去 除 ， 且 信 号 细 节 信 息得 不
小波变换模极大值点在信号去噪中的应用
有I 暇 ( ( J 。 J ) l ≤ l暇 (％
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且 重 构 后 的 信 号 非 常逼 近 原 始 信 号
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小 波模 极 大 值 点 法 去噪 效 果 更好
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小 波 变换 ；模 极 大 值 点 ；l 融 蛾
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它 的 小波 分 析
定 义 为 以 函 数 系 眈 。( ， ! 分 变换 ： ) 为秋 分 核 的 移
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引言
小波 变换是 近 年 来继 傅里 叶 变换 后 的
。
叶 变换是 分 析平 稳信号的理 想 工 具
傅里 博 里 叶 变换 能提 取 出 函 数 在
基于MATLAB的小波去噪方法研究
基于MATLAB 的小波去噪方法研究谢建林,杜 娟,袁小平(中国矿业大学信电学院,江苏徐州221008)[摘 要] 通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB 中的小波工具箱,对一个含噪信号进行阈值去噪,通过实例验证理论的实际效果,证实了理论的可靠性。
[关键词] MATLAB;小波变换;阈值去噪[中图分类号] TP802+.6 [文献标识码] B [文章编号] 167229943(2004)022*******1 小波阈值化去噪原理普通信号去噪工作原理是利用噪声和信号在频域上分布的不同进行的。
在传统的基于付氏变换的信号去噪方法中,总是使得信号和噪声的频带重叠部分尽可能较小,这样在频域通过时不变滤波,就将信号和噪声区分开。
但如果两者重叠区域很大时,就无法实现去噪的效果了[1,2]。
将含白色高斯噪声的信号进行小波变换,由小波变换的特性可知,高斯噪声的小波变换仍然是高斯分布的,它均匀分布在频率尺度空间的各部分,而信号由于其带限性,它的小波系数仅仅集中在频率尺度空间上的有限部分。
1.1 阈值化在小波域上,噪声的能量分布在所有的小波系数上,而信号的能量分布在一小部分的小波系数上,所以把小波系数分成两类:第一类是重要的、规则的小波系数;第二类是非重要的或者受噪声干扰较大的小波系数。
给定一个阈值δ,所有绝对值小于某个阈值δ的小波系数被看成“噪声”,它们的值用零代替;而超过阈值的小波系数的数值用阈值δ缩减后再重新取值。
根据信号小波分界的这个特点,对信号的小波系数设置一个阈值,大于它的认为属于第二类系数,可以简单保留或进行后续操作;而小于阈值的则去掉。
这样达到了降低噪声的目的,同时保留了大部分信号的小波系数,因此可以较好的保持信号细节。
“软阈值化”和“硬阈值化”是对超过阈值δ的小波系数进行缩减的两种主要方法,如图1、2所示。
横坐标代表信号原始小波系数,纵坐标代表阈值化后小波系数[1]。
图1表示的是“软阈值化”,用数学式表示为:W δ=sgn (W )(|W |2δ),|W |≥δ0, |W |<δ图2表示的是“硬阈值化”,用数学式表示为:W δ=W , |W |≥δ0, |W |<δ112 阈值δ的选取阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值δ。
基于最优小波包基的模极大值法信号消噪研究
基于最优小波包基 的模极 大值法信号消 噪研究 ＊
孟庆 华 ， 文 礼 赵
（ 杭州电子科技 大学机 电工程学 院， 州 ３０ １） 杭 １ ０ ８
摘 要 ： 给出了对信号进行基于熵准则的最优小波包基分解的基本原理， 在此基础上提出了使用模极大值法进行信号消噪
中图分类 号 ：Ｐ ７ Ｔ ２４
文献标 识码 ：６２８ －３
信号处理中， 所采集到的信号总是含有不同成 分的噪声． 例如， 由于动力 电所引起的 ５Ｈｚ ０ 工频干 扰是 噪声 的一 个最 大来 源． 电磁 辐射 、 电子装 置 中电 子器件 的热噪声 ， 对模拟信号抽样时所产生 的量化 噪声 ， 有限位运算（ 加减乘除） 产生的舍人误差噪声 等都是 噪声 的来 源． 目前 小 波 消噪 得 到 了广 泛 的应 用， 它充分利用 了信号与噪声 （ 或干扰） 在频谱上 的 差异 ， 克服 了以往消 噪方法 的缺点 ： 噪不彻底 和 当 消 含噪声 不规则 时 的过 于平 滑 ， 具有 较好 的消 噪效果 ． 小波消噪的原理是将含有噪声的信号在某一尺度下
分解到 不 同的频带 内 ， 后再 将 噪声 所处 的频带 置 然
中” 的能力 ， 它能将信号的能量集 中到少数小波系数 上 ， 白噪声在任何正交基上的变换仍然是 白噪声． 而 相对来说， 信号的小波系数值必然大于那些能量分 散且幅值较小的噪声 的小波系数值． 选择一个合适 的阈值 ， 对小波系数进行阈值处理 ， 就可以达到消除 噪声而保留有用信号 的 目的． 该方法能得到原始信 号 的近似最优估计 ， 目前应用非常广泛． 但是这种处 理 方法需 要 预先知 道 噪声 的先 验 知识 ． 如果 不 清楚 的话往往得不到理想的消噪效果．
基于小波变换模极大值的去噪方法研究
ｗｈ ｔ ｏ ｓ ，ｗｈ ｎ Ｓ ｉ ｎ ｉｅ ｅ ｅ ＮＲ ｏ ，ｍｏ ｕ ｕ ｘ ｍａｄ ｎ ｉｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ ｉ ｓ ｐ ｒ ｒｔ ｈ ｅ ｈ ｌ ｅ ｎ ｉｉ ｇ ｏ ｉ ｌｗ ｓ ｄ ｌ ｓｍａ ｉ ｅ ｏ ｓｎ ｔ ｏ ｕ ｅ ｉ ｏ ｔ ｒ ｓ ｏ ｄ ｄ － ｏ ｓｎ ；ｆ ｒｉ ｕ ｓ ｏｓ ，ｗｈ ｎ ｓ ｏ ｍｐ ｌｅｎ ｉｅ ｅ
要： 小波去噪 在信 号处理 中得到 广 泛 应 用。 目前 常 用 的方 法主 要 有 Ｄ ｎ ｈ ｏ ｏ ｏ提 出 的 阈值 法和
Ｍａｌｔ 出的模极 大值 法 。模 极 大值 法是 一种 经典 的 小波 去噪方 法 ，噪声 的模 极 大值 的 幅度 随尺 ｌ 提 ａ
度 的增 大而迅 速减 小 ，而 正常信 号随尺 度的增 大而增 大 ， 因此利 用合适 尺度 的 小波 变换 ， 易把 噪 容
ｆｏ ｔ ｅ ｎ ｒ ｌｓｇ ａ ．Ｔｅ ｔｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｏ ａ ｅ ｙ ｇ ｏ ｅ ｏ ｓｎ ｆｅ ｔｏ ｉ ｏ ｓ ｎ ｍｐ ｌｅ ｎ ｉｅ ｏ ｕ ｓａ ｒ ｍ ｈ ｏ ｍａ ｉ ｎ １ ｓ ｒ ｖ ｓ ｔ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｈ ｓ ｖ ｒ ｏ ｄ ｄ ｎ ｉｉ ｇ ｅｆ ｃ ｎ ｗｈ ｔ ｎ ｉｅａ ｄ ｉ ｕ ｓ ｏ ｓ ．Ｆ ｒＧａ ｓ ｉｎ ｅ
ｏ ｄ ｍｅ ｈ ｄ ｐ ｏ ｏ ｅ ｙ Ｄ ｎ ｈ ｎ ｈ ｄ ｌ ｓｍａ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｂ ｌ ｔ ｌ ｔ ｏ ｒ ｐ ｓ ｄ ｂ ｏ ｏ ｏ ａ ｄ ｔ ｅｍｏ ｕ ｕ ｘ ｍａ ｐ ｏ ｏ ｅ ｙ Ｍａ ｌ ．Ｔｈ ｄ ｌ ｓｍａ ｉ ｔ ｏ ｌｓ ｉａ ｗａ ｅ ａ ｅ ｍｏ ｕ ｕ ｘ ｍａ ｍｅ ｈ ｄ ｉ ａ ｃａ ｓｃ ｌ ｖ — ｓ ｌｔｄ － ｏｓ ｎ ｔ ｏ ．Ｔｈ ｄ ｌ ｓｍａ ｉ ｍｐ ｉｕ ｅ ｏ ｈ ｏ ｓ ｅ ｒ ａ ｅ ａ ｉ ｌ ｔ ｈ ｎ ｒ ａ ｅ ｏ ｃ ｌ ，ｗｈ ｌ ｈ ｏ — ｅ ｅ ｎ ｉｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ ｅ ｍｏ ｕ ｕ ｘ ｍａ ａ ｌ ｄ ｆｔ ｅ ｎ ｉｅ ｄ ｃ ｅ ｓ ｓ ｒ ｐ ｄ ｙ ｗｉｈ ｔ ｅｉ ｃ ｅ ｓ ｆｓ ａｅ ｔ ｉ ｔ ｅ ｎ ｒ ｅ
基于小波变换模极大值的信号去噪方法研究.
第32卷第1期2009年1月河北农业大学学报JOURNAL OF AGRICUL TURAL UNIVERSITY OF HEBEIVol. 32No. 1Jan . 2009文章编号:1000-1573(2009 01-0114-03基于小波变换模极大值的信号去噪方法研究张玉新, 滕桂法, 赵洋, 李阅历, 马建斌(河北农业大学信息科学与技术学院, 河北保定071001①摘要:信号在采集、转换和传输过程中, 由于受到设备、环境及人为因素的影响, 使信号不可避免地受到噪声干扰。
因此, 如何去除信号中的噪声, 得到感兴趣的信息是信号处理过程中的一项关键技术。
对基于小波变换模极大值的信号去噪问题进行了研究, 根据信号和噪声的小波变换模极大值在不同尺度上表现出的不同的传播特性, 给出了基于小波变换模极大值的去噪算法。
数值实验结果表明了该算法的有效性和可行性。
关键词:小波变换; 信号重构; 模极大值; 阈值; 去噪中图分类号:TP 335文献标识码:AR esearch on w avelet modulus m axim a in the de -methodZH ANG Y u 2xin , TE NG G ui 2fa , ZH ang LI ue li , (College of Information Science and , Baoding 071001, ChinaAbstract :In and transmission , signals are often corrupted by noise of ineffective equipments , environments and even human errors. De 2noising of extracting desired information has been a crucial technique in signal pro 2cessing. This paper discusses the signal de 2noising problem based on wavelet transform modulus maxima. According to the different characters of wavelet transform modulus maxima of signal and noise , a de 2noising algorithm based on wavelet transform modulus maxima is proposed. The experi 2mental results show that this method is efficient and practical.K ey w ords :wavelets transform ; signal reconstruction ; modulus maxima ; threshold ; de 2noising传统的去噪方法是将染噪信号进行傅立叶变换, 经滤波操作后再行傅立叶逆变换而获得“干净”的信号, 但由于低通平滑的作用, 使得在消除高频噪声的同时也会模糊边缘位置信息, 造成信号发生某种程度的畸变。
毕业设计(论文)-基于小波图像去噪的方法研究[管理资料]
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毕业论文基于小波变换的图像去噪方法的研究学生姓名： 学号：学系 专 指导教师：2011年 5 月基于小波变换的图像去噪方法的研究摘要图像是人类传递信息的主要媒介。
然而,图像在生成和传输的过程中会受到各种噪声的干扰,对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。
寻求一种既能有效地减小噪声,又能很好地保留图像边缘信息的方法,是人们一直追求的目标。
小波分析是局部化时频分析,它用时域和频域联合表示信号的特征,是分析非平稳信号的有力工具。
它通过伸缩、平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析,能有效地从信号中提取信息。
随着小波变换理论的完善,小波在图像去噪中得到了广泛的应用,与传统的去噪方法相比小波分析有着很大的优势,它能在去噪的同时保留图像细节,得到原图像的最佳恢复。
本文对基于小波变换的图像去噪方法进行了深入的研究分析,首先详细介绍了几种经典的小波变换去噪方法。
对于小波变换模极大值去噪法,详细介绍了其去噪原理和算法,分析了去噪过程中参数的选取问题,并给出了一些选取依据;详细介绍了小波系数相关性去噪方法的原理和算法;对小波变换阈值去噪方法的原理和几个关键问题进行了详细讨论。
最后对这些方法进行了分析比较,讨论了它们各自的优缺点和适用条件,并给出了仿真实验结果。
在众多基于小波变换的图像去噪方法中,运用最多的是小波阈值萎缩去噪法。
传统的硬阈值函数和软阈值函数去噪方法在实际中得到了广泛的应用,而且取得了较好的效果。
但是硬阈值函数的不连续性导致重构信号容易出现伪吉布斯现象;而软阈值函数虽然整体连续性好,但估计值与实际值之间总存在恒定的偏差,具有一定的局限性。
鉴于此,本文提出了一种基于小波多分辨率分析和最小均方误差准则的自适应阈值去噪算法。
该方法利用小波阈值去噪基本原理,在基于最小均方误差算法LMS和Stein无偏估计的前提下,引出了一个具有多阶连续导数的阈值函数,利用其对阈值进行迭代运算,得到最优阈值,从而得到更好的图像去噪效果。
一种基于小波模极大值去噪的改进算法
（ ｅａｔｅｔ ｆＣｖ ｎ ｉ ｅｉ Ｇ ｉｎ Ｕ ｉ ｒｔ ｏ ｅ ｎｌ ｙ Ｇ ｉｎ ５ １０ ） Ｄ ｐ ｒ ｎ ｉ ｌ ｇｎ ｒ ｇ， ｕｌ ｎ ｅｓｙｆ Ｔｃ ｏｏ ， ｕｌ ４ ０ ４ ｍ ｏ ｉＥ ｅ ｎ ｉ ｖ ｉ ｈ ｇ ｉ
可有效恢 复信号 。与传统的阈值 去噪法和基于平移不变量的去噪算法相 比， 该算法提高 了信噪 比。
关键 词 小波 模极大值 阈值去噪 平移不变量 形变监测
中图分类 号 ： １４ ０ ７
文献标 识码 ： Ａ
ＡＮ Ｍ ＰＲＯＶＥＤ Ｉ ＤＥ． ＮＯ Ｉ Ｉ Ｓ ＮＧ ＡＬＧ ＯＩ ＵＴＨＭ ＢＡＳ ＥＤ Ｎ Ｏ １ ＶＥＬＥＴ ｏＤＵＬＡＲ ＡＸＩ ＵＭ ｌ Ｍ Ｍ Ｍ
作者简介 ： 何永红 ， ， ７ 年生 ， 女 １ ８ ９ 硕士， 研究方向为 ： 变形观测技术与工程信息系统 ． ｍ ｉ ｈｙｎｈ ｎ２０ ＠１３ ｃｎ Ｅ— ａ ： ｏｇＯ ｇ０４ ６ ．ｏ ｌｅ
维普资讯
第 ２ 卷第２ ７ 期
２００ ４月 ７年
大 地 测 量 与 地 球 动 力 学
Ｊ ＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｇ ＯＤＥ Ｙ ＡＮＤ ＧＥ ＹＮＡＭＩ Ｓ Ｏ Ｅ Ｓ ＯＤ Ｃ
Ｖ Ｉ２ ． ０ ． ７ Ｎｏ ２
Ａｐ ．， ０ ｒ ２ ０７
了成 效 ， 目前 国 际 上 极 为 活 跃 的 研 究 方 向 Ｊ 是 。 目前 ， 常用 的小 波去 噪 方法 主要 有 基 于模 极 大值 原
理的传统的阈值法， 基于平移不变量的去噪算法 ， 本 文依 据 Ｍａａ提 出 的信号 和 噪声 不 同 的奇 异指 数影 ｌｔ ｌ 响小波变换系数模极大值随尺度传播特性的理论 ， 判断噪声引起的模极大 ， 并对其相邻 的模极小构成 的选通 域 进 行 直 线 平 滑 处 理 Ｊ 。考 虑 到 小 波 函数
基于小波变换模极大值的信号去噪方法
基于小波变换模极大值的信号去噪方法
远飞
【期刊名称】《变频技术应用》
【年(卷),期】2014(009)006
【摘要】提出一种简单的小波变换模极大值去噪算法，并通过仿真实验进行验证，与小波变换软阈值去噪、小波变换硬阈值去噪和小波变换强制去噪进行比较，比较过程采用信噪比为2dB的加噪bump信号，均使用db3小波基进行4层分解，
结果证明该方法比各种阈值去噪和强制去噪的效果都要好。
【总页数】4页(P118-121)
【作者】远飞
【作者单位】无锡商业职业技术学院,江苏无锡214153
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
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1.基于小波变换模极大值的去噪方法研究
2.基于小波变换模极大值去噪方法的改进
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4.基于小波变换模极大值的信号奇异性检测
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文章编号:1004-9037(2003)03-0315-04基于模极大值小波域的去噪算法研究张小飞1,徐大专1,齐泽锋2(1.南京航空航天大学信息科学与技术学院,南京,210016;2.武汉大学电气工程学院,武汉,430072)摘要:根据信号与噪声在小波变换下的不同特性,提出了基于模极大值小波域的去噪算法。
该算法先用Adho c 算法求出信号的模极大值,再根据模极大值小波域的定义求出信号的模极大值小波域,从而得到信号的小波系数,然后逆变换得到信号。
实例分析表明:该算法能有效消除噪声,与交替投影模极大值算法相比,该算法在原理上更简单,程序实现更容易,去噪速度更快,能满足在线监测的要求。
关键词:小波;去噪;小波变换模极大值;模极大值小波域中图分类号:T N 911.7 文献标识码:A 收稿日期:2002-08-30;修订日期:2003-02-17Denoising Algorithm Based on Modulus Maximum Wavelet FieldZ H AN G X iao -fei 1,X U Da -zhuan 1,QI Ze -f eng2(1.Colleg e of Info rma tio n Science and T echno log y ,Na nj ing U niv er sity of Aero nautics &Astro na utics ,N anjing ,210016,China ;2.Co llege o f Elect rical Engineering ,W uhan U niv e rsity ,W uha n,430072,China )Abstract:Befo re the sig nal is detected ,the noise included in signal sho uld be wiped off .A novel denoising algo rithm based on modulus m aximum w av elet field is presented.The cha racters of noise and sig nal o n w av elet transform a re discussed.The processes of the alg orith m are as fo llow s :firstly the modulus max imum is o btained acco rding to Adhoc alg orith m;seco ndly the mo dulus maximum w av elet field is com puted acco rding to its definitio n to a ttain wav elet coefficient;thirdly the singularity is reco nstructed th ro ug h inv erse w av elet transform .Com pared w ith others ,the a lg o rithm has som e adv antag es ,such as constructing efficiently ,w iping off the noise effectiv ely ,prog ramming easily .Ex amples prove that the alg orith m has better denosing perfo rmance,and ca n meet the demands o f o nline detection.The sing ula rity of sig nal is represented by Lipschitz index.Key words :w av elet ;denoising ;w av elet transform modulus maxim um ;modulus maximumw av elet field引 言在实际信号处理过程中采集到的信号包含大量噪声。
传统的去噪方法是将被噪声污染的信号通过一个滤波器,滤掉噪声频率成分。
但对于非平稳过程信号、含宽带噪声信号,采用传统方法处理有着明显的局限性。
因小波同时具有时、频局域性,小波分析具有检测信号奇异性和突变结构的优势,它能更准确地得到信号上特定点的奇异性信息[1～5]。
信号和噪声在小波变换下表现出截然不同的性质,所以小波分析能用于信号的去噪。
文[5～8]中给出了小波信号去噪算法,但这些算法实时性不高。
小波去噪大都采用的是Mallat 提出的交替投影的模极大值去噪算法[9]。
这种方法有如下缺点:(1)交替投影,计算量较大,程序复杂;(2)收敛速度取决于所用小波的性质,计算过程可能不稳定,收敛速度较慢;(3)当原始小波变换有跃变时,会出现相似于Gibbs 现象的伪振荡。
因而很难满足信号在线监测的需要。
而且,一般常用信号的具有正Lipschitz 指第18卷第3期2003年9月数据采集与处理J o urnal of Da ta Acquisition &Pro cessing V o l.18No.3Sep.2003数[7],且大多含有少数孤立突变信号,模极大值点很少。
因此,寻求一种新的更加快速、更加简洁、程序实现更方便的去噪算法以满足信号在线监测的需要具有实际意义。
1 信号与噪声在小波变换下的特性1.1 信号的奇异性与小波变换通常,用李氏指数(Lipschitz)来描述函数的局部奇异性有下面的定义。
定义1[4] 设n是一非负整数,n<T≤n+1,如果存在两个常数A和h0>0及n次多项式P n (h),使得对任意的h≤h0,均有|f(x0+h)-P n(h)|≤A|h|a(1)则称f(x)在点x0为李氏指数T。
李氏指数越大,函数越光滑。
函数在一点连续、可微,则在该点的李氏指数为1;在一点可导,而导数有界但不连续时,李氏指数仍为1。
如果f(x)在x0李氏指数<1,则称函数在x0点是奇异的。
一个在x0不连续但有界的函数,该点的李氏指数为零[4]。
分析函数f(x)的奇异性的传统方法是考察f(x)的傅里叶变换f(k)的渐近衰减性。
一个有界函数f(x)在实轴上是一致李氏指数T的,如果满足∫∞-∞|f(k)|(1+|k|T)d k<+∞(2) 但式(2)是一个充分条件,它只给出f(x)在全域的奇异性度量。
如果需要研究某一特定点x0的局部奇异性,式(2)就无能为力了。
而利用小波可分析这种局部奇异性,小波系数的值取决于f(x)在x0的邻域内的特性及小波变换所选取的尺度。
在比较小的尺度上,它提供了f(x)的局部化性质。
文[4]中的定理给出了较小尺度上小波变换系数的渐近衰减性和局部李氏奇异性的关系,得到结论:小波变换确实能用来估计函数的局部奇异性。
对于奇异性大于零的奇异点,随着尺度的增加,其小波变换后的幅值将呈幂增加趋势;而对于奇异性小于零的奇异点,则小波变换的幅值随着尺度的增加而减小。
在文中,函数f(x)的小波变换用Wf(s,x)表示。
1.2 随机噪声在小波变换下的特性定义2[4] 在尺度s0下,称点(s0,x0)是局部极值点,若W f(s0,x)x在x=x0有一过零点则称(s0,x0)为小波变换的模极大值点,若对属于x0的某一邻域内的任意点x,有|Wf(s0,x)|≤|Wf(s0,x0)|。
则尺度空间(s,x)中所有模极大值点的连线称为模极大值线。
由文[4]高斯白噪声的平均稠密度是反比于尺度2j的,即尺度越大,其平均稠密度越稀疏。
另外,白噪声是一个几乎处处奇异的随机分布,它具有负的李氏指数T=-12-X, X>0(3) 综上所述,由于信号与噪声的奇异性有着明显的差异,使它们在不同尺度上的小波变换模极大值表现完全不同,信号的模极大值随尺度的增大而增加,具有正的Lipschitz指数。
噪声的模极大值随尺度的增大而减少,具有负的Lipschitz指数,它们的模极大值在小波变换下具有不同的变化趋势,从而可设计出一种算法,从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而去除噪声的小波变换模极大值,然后用剩余的小波变换模极大值去重构信号。
因此,小波分析能用于信号的消噪。
2 信号的消噪预处理算法在信号消噪中,为了估计李氏(Lipschitz)指数,寻找模极大值线是必不可少的。
从理论上来讲,必须对信号进行连续小波变换,在一个稠密的尺度序列上计算才能做到这一点。
但在实际的二进制小波变换中,可以利用简单的非正式的即兴(adhoc)算法来搜索模极大值线。
我们说尺度2j上的一个极大值传播到2j+1的另一个极大值点,如果两个极大值点属于同一条极大值线。
对于尺度2j上的一个模极大值a,若它与尺度2j+1上的一个模极大值点b有相同的符号,位置也比较靠近且有较大的幅值,那么就说b为a的传播点,这种即兴算法优点是速度快,但不够精确。
由于白噪声具有负的奇异性,且其幅度和稠密度随尺度增加而减少,因此如果某个信号的小波变换局部模极大值的幅度及稠密度随尺度的减小而快速增大,则表明该处的奇异性主要由噪声控制,在消噪时应予去除。
具体地说,先从j最大的一级开始,找到在这一尺度上属于信号的小波变换极大值点,然后逐步减少j值,每次以高一级已找到的极值点位置为先验知识,寻找其在本级的对应极值点,并将其余各点去除。
这样逐级搜索直到j=1为止。
316数据采集与处理第18卷3 基于模极大值小波域的去噪算法设S d20f[x]为原始信号,W d2j f[x]为S d20f[x]在每尺度2j上的小波系数,即信号经过小波分解后在不同尺度上的高通分量。
定义3[9] 模极大值小波域为:以模极大值点为中心,左右两边的小波系数绝对值连续减少的邻域。
设第k个模极大值点为x j k(k≤n),如果满足|W d2j f(x j k)|>|W d2j f(x j k-x1)|>…> |W d2j f(x j k-x n1)||W d2j f(x j k)|>|W d2j f(x j k+x1)|>…> |W d2j f(x j k+x n2)|(4)则第k个模极大值点的小波域为[x j k-x n1,x j k+x n2] 具体的基于模极大值小波域的去噪算法如下:(1)把数组Wf(j,x)中的各尺度上的小波系数赋给模极大值数组MWf(j,x),j=1,…,J。
J为最大尺度。
(2)应用简单的Adhoc算法求各层的模极大值:①对所测信号进行离散小波变换,其中特征尺度的选取要求在最大尺度上信号的极值点个数占优。