第5章控制系统稳定性理论
控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
时，系统闭环后稳定。
2
Nyquist 稳定性判据2
1、若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化
时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1, j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1, j0)，则系统不稳定。
❖ 系统稳定性定义：
❖
控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了 原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡 状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则， 该系统就是不稳定的。
❖
稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的 结构和参数，而与初始状态和外作用无关。
m
F
F
单摆系统稳定
p(s)
p(s) DK (s)
系统稳定的充要条件:特征方程的根全部具有负实部
（闭环极点均在s平面的左半平面）。
即系统稳定的充要条件为：F(s)的零点都位于s平面 的左半平面。
GB(s)
F(s)
Gk(s)
零点
极点
零点
极点
极点
零点
1、若开环极点均在s平面左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[
DK
两种特殊情况
1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不 等于零或不全为零 处理方法：
用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出
阵列中的其余各项。然后令 0 ，按第一列系数进行
判别。
如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临 界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符 号变化，系统不稳定。
0
1
c1
1
b1
a1 b1
a3 110 (7)5 6.43
第5章 “控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题
第5章 “控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题及答案5.1 判断下列函数的正定性1) 2221231213()2322V x x x x x x x =++-+x 2) 222123121323()82822V x x x x x x x x x =++-+-x 3) 22131223()2V x x x x x x =+-+x解1) T T 211()130101V A -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x x x x , 因为顺序主子式2120,50,13->=>- 2111302011--=> 所以0>A ，()V x 为正定函数。
2) T T 841()421111V -⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦x x Ax x x , 因为主子式8481218,2,10,0,70,10,421111-->==>=>--841421164421680111---=++---<- 所以A 不定，()V x 为不定函数。
3) T T 1212110()1001V -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x Ax x x , 因为顺序主子式1110,10,1->=-<- 121211011001041--=--<所以A 为不定矩阵，()V x 为不定函数。
5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。
2211211222212212()()x x x x x x x x x x x x =-+++=--++解解方程组 22121122212212()0()0x x x x x x x x x x ⎧-+++=⎨--++=⎩只有一个实孤立平衡点（0，0）。
在（0，0）处将系统近似线性化，得**1111x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，由于原系统为定常系统，且矩阵1111-⎡⎤⎢⎥--⎣⎦的特征根1s i =-±均具有负实部，于是根定理5.3可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。
第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案
Chp.5系统稳定性基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist 判据；4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5．掌握Bode 判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。
重点与难点本章重点1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2．系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。
本章难点Nyquist 判据及其应用。
§1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。
（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。
与输入量种类、性质无关。
②系统不稳定必伴有反馈作用。
（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。
将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定若反馈加强E(s) →不稳定③稳定性是自由振荡下的定义。
即x i(t)=0时，仅存在x i(0-)或x i(0+)在x i(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。
2、系统稳定的条件：对[a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0]x0(t)=[b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0]x i(t)令B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0 A(s)= b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)X i(s)- B0(s)X i(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即z i为负值。
第五章 控制系统的稳定性分析
arctan
b a
2
arctan
j
b a
jw
1
s1 tan1 b
b
a
a Re
22
若上式b为负值，则角增量为
2
2
arctan
b a
如图：
j
jw
a
2
Re
tan1 b
s2
a b
23
若根在右半平面，其角增量如图所示，
j jw
tan1 b
3
b
a
a
Re
为
2
2
arctan
b a
24
现考虑n次多项式 Ds，且在原点有q个零点，可表示为
代入D(s)并命w从0增大到 时,复数D(s)的角连续增
大 ng
2
二 乃奎斯特稳定判据
1 反馈系统开环和闭环的特征方程式
Xi s
X0 s
27
该单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
MK s DK S
闭环传递函数为
s
Gs 1Gs
DK
MK s s Mk
s
MK s Db s
令：F
s
1
G
s
1
MK DK
s s
arg1 G( j。w) 90o
列 系统的开环传递函数为
Go
(s)
(T1s
K 1)(T2s 1)(T3s
1)
讨论开环增益K的大小对系 统稳定性的影响
解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部 位于左半s平面，因此是最小相位系统。 作极坐标草图，先计算极限值：
32
=0时，有
A(0) K
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)
（5.2.3）
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比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
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从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
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第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
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5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第五章 控制系统的稳定性
例 5 - 2. 设有下列特征方程 s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 5 = 0
试用Routh判据判别该特征方程正实部根的个数。 判据判别该特征方程正实部根的个数。 试用 判据判别该特征方程正实部根的个数
解 : 列写 劳斯 阵列 : s4 s3 s2 s s
1 0
1 2
2× 3 - 4 2
s3 s2 s s0
1 0≈ε
- 3ε - 2
-3 2 0
改变一次
ε
2
改变一次
∴ 有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的 根。 可用全零行的前一行数值组成辅助方程 A' ( s )，并用 dA' ( s ) / ds 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表 ，利用 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表， 可解得那些对称根。 辅助方程 A' ( s )可解得那些对称根。
一幅 原 . 角 理 设 (S)是 变 的 项 之 ,除 S平 的 限 奇 复 量 多 式 比 在 面 有 个 F 点 ,为 值 续 则 数又 P为 (S)极 数 , Z为 (S) 外 单 连 正 函 . 设 F 点 目 F 的 点 目 其 包 重 点 重 点 目 以 F(S)的 零 数 , 中 括 极 与 零 数 , 及 全 部 点 零 均 布 S平 的 闭 线 S内 而 S不 过 极 与 点 分 在 面 封 轨 Γ , Γ 通 F(S)的 何 点 零 . 在 种 况 , 当 S以 时 方 任 极 与 点 这 情 下 点 顺 针 向 沿 S 运 , ΓS在 F(S)]平 上 映 ΓF按 时 方 包 原 Γ 动 [ 面 的 射 顺 针 向 围 点 次 的 数 N = Z- P N>0 N<0 N =0 表 ΓF顺 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF逆 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF不 围 点 示 包 原
[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性
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基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
第五章稳定性分析
第五章稳定性分析第五章：控制系统的稳定性分析3.3.5 控制系统的稳定性分析稳定性的概念线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的必要条件代数判据（⼀般情况，特殊情况，劳斯，赫尔维茨）劳斯判据的应⽤（确定稳定域判断稳定性，求系统的极点，设计系统中的参数3.3.5.1 稳定性的概念分析⼩球平衡点的稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。
反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移⽽发散，则称该系统不稳定。
3.3.5.2线性系统稳定性的充要条件设系统的微分⽅程模型为：分析系统的稳定性是分析在扰动的作⽤下，当扰动消失后系统是否能回到原来的平衡状态的性能，亦系统在作⽤下的性能，亦与系统的输⼊信号⽆关，只与系统的内部结构有关。
对上述微分⽅程描述的系统亦只与等式的左端有关，⽽与右端⽆关，亦：系统的稳定性是由下列齐次⽅程所决定：其稳定性可转化为上述齐次⽅程的解c(t)若则系统稳定，则系统不稳定。
分析齐次⽅程的解的特征。
由微分⽅程解的知识，上述⽅程对应的特征多项式为：设该⽅程有k个实根（i＝1，2，…k）r对复根（i＝1，2，…r）k＋2r＝n 且各根互异（具有相同的根时分析⽅法相同，推导稍繁琐）则上述齐次⽅程的⼀般解为：其中为常数，由式中的决定，分析可见：只有当时，否则。
注：只能是⼩于零，等于或⼤于均不⾏。
等于零的情况为临界稳定，属不稳定。
综:线性系统稳定的充要条件（iff）是：其特征⽅程式的所有根均为负实数或具有负的实部。
亦：特征⽅程的根均在根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
亦：系统的极点位于根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
从上⾯的充要条件可以看出：系统稳定性的判断只需计算上系统的极点，看其在s平⾯上的位置，勿需去计算齐次⽅程的解（当系统复杂时的计算可能很繁），勿需去计算系统的脉冲响应。
3.3.5.3 线性系统稳定的必要条件设系统特征⽅程式中所有系数均为实数，并设（若，对特征⽅程两端乘（－1）），可以证明上述特征⽅程中所有系数均⼤于零（即）是该特征⽅程所有根在s平⾯的左半平⾯的必要条件。
第5章控制系统的稳定性分析
设系统闭环传递函数为
Y (s) X (s)
bm sm an s n
bm1sm1 an1sn1
则系统的特征方程为
b1s b0 a1s a0
ansn an-1sn-1 a1s a0 0
（5-5）
例 某单位反馈系统的开环传递函数 G(s) k
则系统的闭环传递函数
s(Ts 1)
（5-7）
a0
an
s1s2 s3 s4
sn2 sn1sn
从式（5-7）可知，要使全部特征根s1， s2，···， sn-1，sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件：
（1）特征方程的各项系数ai(i=0，1，2， ···，n) 都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出 现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根， 才能满足式（5-7） 。此时系统为临界稳定（根 在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。
均不为零。
2. 特征方程的各项系数ai符号一致。
以上只是判定系统稳定的必要条件，而非充要条件， 因为此时还不能排除有不稳定根的存在。
罗斯稳定判据可以用来校验特征方程是否满足系 统稳定的充分条件。罗斯判据的证明比较麻烦， 这里只介绍它的应用。
特征方程系数的罗斯阵列如下：
sn an an-2 an-4 an-6
图示小球处在a点时，是稳定平衡点，因为作用 于小球上的有限干扰力消失后，小球总能回到a 点，而小球处于b、c点时为不稳定平衡点， 因 为只要有干扰力作用于小球，小球便不再回到 点b或c点。
c
b
a 小球的稳定性
上述两个实例说明系统的稳定性反映在干扰消 失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失 的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系 统的初始偏差。
第5章系统的稳定性
经典控制论中，系统稳定性判据
代数判据
Routh（劳斯）判据 Hurwitz（古尔维茨）判据 Nyquist判据 Bode判据
几何判据
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
Routh稳定判据
不求解特征方程的根,直接根据特征方程的系 数，判断系统的稳定性，回避了求解高次方程根 的困难。
【例】D(s) s 4 3s3 4s 2 12s 16
【解】：Routh表为： s4 s3 s2 s1 s0 1 3 4 16 12
12 48 48
0( ) 16 12 48 0
很小时，
12
0
16
【结论】：系统不稳定，并有两个正实部根。
【情况2】:
n n n an1 an2 an3 si， si s j， an an an i 1 i j i j k i 1, j 2
(1)
n
s
i 1
n
i
si s j sk，
i 1, j 2, k 3
n a0 n ， (1) si an i 1
系统稳定的必要条件：特征方程中所有项的系数均大 于0，只要有一项等于或小于0，则为不稳定系统。 充分必要条件：Routh表第一列元素均大于0。
必要条件证明
D(s) an s n an1s n1 an1 n1 得：s s an 再展开，得
n
a1s a0 0，两端同除以an，并分解因式， (s sn )
其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。
第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)
f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
自动控制理论 自考 习题解答第5章稳定性分析
第五章 稳定性分析5—1 解：（1） 系统的特征方程为020)1(212=++⇒=++s s s s 。
因为二阶特征方程的所有项系数大于零，满足二阶系统的稳定的充分必要条件，即两个特征根均在S 平面的左半面，所以此系统稳定。
（2） 系统的特征方程为030)1(312=+-⇒=-+s s s s 。
因为二阶特征方程的项系数出现异号，不满足二阶系统的稳定的充分必要条件，所以此系统不稳定。
（注：BIBO 稳定意旨控制系统的输入输出（外部）稳定，系统稳定的充分必要条件是输出与输入之间传递函数的极点均在S 平面的左半平面。
若传递函数无零极点对消现象时，内部稳定与外部稳定等价。
此系统只含极点不含零点，所以传递函数的极点和特征方程的特征根等价，故直接可以用特征根的位置判系统的稳定性。
） 5—2 解： （1）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；又Θ三阶系统的系数内项乘积大于外项乘积（5011020⨯>⨯），满足稳定的充分条件。
∴ 该控制系统稳定。
（2）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh故系统有两个特征根在S平面的右半部。
（3）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；又Θ三阶系统的系数内项乘积小于外项乘积（30020⨯⨯），不满足<81稳定的充分条件。
∴该控制系统不稳定。
（4）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；稳定。
由于第一列元素符号变化两次，系统特征根有两个在右半平面，其它4个根在左半平面。
（5）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；不稳定。
由于表中出现全为0的行，为确定特征根的分布可构造辅助方程012048402324,43324=+⇒=+⇒=++=s s s s s s k利用辅助方程的导数方程的对应项系数代替全零行元素，继续完成表的列写。
结果：第一列元素无负数，右半平面无根，有4个根在虚轴上。
第5章系统的稳定性
稳定性是控制系统正常工作的首要条件。 稳定性是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实 际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动， 际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，如负载或 能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。 能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。 如果系统不稳定，当它受到扰动时， 如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就 会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也 会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了， 不可能恢复原来的平衡状态。 不可能恢复原来的平衡状态。
例
系统特征方程 D( s ) = s 6 + 2s 5 + 8s 4 + 12s 3 + 20s 2 + 16s + 16 = 0， 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解： （1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定 ）特征方程的所有系数均为正实数， 的必要条件。 的必要条件。 （2）列劳斯数列表 ）
得系统的脉冲响应函数
A C(s) = φ(s) = ∑ i i=1 s − si
n sit i=1
n
g(t) = c(t) = ∑Ae i
若系统稳定
n sit t →∞ t →∞ i=1
lim g(t) = lim∑Ae = 0 i
si (2)若 (2)若 s 为复数 i
(1)若 (1)若 为实数
t →∞
例
已知系统特征方程 D( s ) = s 5 + 3s 4 + 3s 3 + 9s 2 − 4s − 12 = 0 ， 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
第5章 系统的稳定性2(机械控制原理与技术教案)
a1 xo(t )
a0 xo(t )
xi(t )
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。
(2)
34.6 7500 7500K 0 34.6
，亦即K<34.6。
故能使系统稳定的参数K的取值范围为0<K<34.6。
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
0 常量
当n m 当n m
② LF包围原点的圈数 = LGH包围(－1，j0)点的圈数 N=Z-P
三、NYQUIST 稳定判据
5. 判据
当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率 特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈， 则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平 面的极点数）
机械控制基础5-系统的稳定性
牢斯 判据
s4
1
3K
s3
3
20
s2 7/3 K 0
s1 2-(9/7)K 0 0
s0
K
00
2K790K 00 K 194
19
5.2.2 Routh判据
例3 牢斯判据判定系统相对稳定性
已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0 试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。
s n a a 1 0s n 1 a a n 0 1 s a a 0 n (s s 1 )s (s 2 ) (s s n )
(ss1)s(s2) (ssn)
snn sisn1(n sisj)sn2 (1)n n si
i1
22
5.2.3 Routh 判据的特殊情况
劳斯阵列出现全零行表明——系统在s平面有对称分布的根
共轭虚根
对称于虚轴的 两对共轭复根
对称于虚轴 的一对实根
23
例 图示系统，确定K、a取何值时，系统 维持以=2 s-1的持续振荡。
Xi(s) ＋ －
K(s1)
Xo(s)
s3 as2 2s1
第五章 系统的稳定性
本章主要教学内容 5.1 系统稳定性的初步概念 5.2 Routh(劳斯)稳定判据 5.3 Nyquist稳定判据 5.4 Bode稳定判据 5.5 系统的相对稳定性
5.3节为本章难点，5.2、5.4、5.5节为本章重点
1
5.1 稳定性的基本概念
本节教学内容 5.1.1 稳定性的定义 5.1.2 稳定的充要条件 5.1.3 稳定的必要条件
注：通常a0 > 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为——劳斯阵列 表中第一列的各数均大于零。
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有唯一 有无穷多个
可能有多个
例： 令
平衡点
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的 充分小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适 当的坐标变换，把它变换到状态空间的 原点。 以后取坐标原点作为平衡点研究。
5. 范数的概念
范数的定义 n为状态空间中，向量x的长度 称为向量x的范数（或欧几里德范数），用 表示
（4）经典控制中的系统稳定指渐近稳定，而李 氏意义下的稳定包括临界稳定。
（5）线性系统的平衡状态不稳定 表征 系统不稳定。
（6）非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局域发散的轨迹。
至于是否趋于无穷远
域外是否
存在其它平衡状态。若存在极限环，则
系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。
例：分析系统李亚普诺夫意义下的稳定性。 解：系统的平衡状态为
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程
的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技
巧来构造李氏函数
5.1 李氏稳定性基本概念
1.自治系统：输入为零的系统
2.初始状态
平衡状态xe在状态空间所确定的点，称平衡点。
a.线性定常系统 A非奇异： A奇异： b.非线性系统
则称系统的平衡状态 是李雅普诺夫意义 下稳定的。
即：系统的运动曲线不超出
，则系统稳定。
时变： 与 有关 定常系统： 与 无关， 是一致稳定的。
几何意义 范数
划出了一个
球域 它能将系统解的所有各点都包围在内
。即从 出发的轨迹，在t>t0的任何时刻
总不会超出
。
等幅振荡在李氏意义下是稳定的。
2. Lyapunov意义下渐近稳定性 1）是李氏意义下稳定的 2） 平衡状态是渐近稳定的。
系统状态解为
系统状态与平衡状态之间的范数：
系统的状态不收敛到平衡状态，系统是稳定，但是不是渐近 稳定。虽然系统有无穷个平衡状态，但系统为线性定常系统 ，只分析原点的稳定性即可。
5.3 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
（1）李氏稳定的充要条件：
系统的平衡状态
勇于开始，才能找到成 功的路
非线性系统各个平衡点的稳定性不相同。
3. BIBS稳定与 BIBO稳定
（1）以上的稳定性指系统的状态稳定性，称 为系统的内部稳定性，即有界输入、有界状 态（BIBS）稳定。
（2）任意有界输入
作用下，均有输出
有界，称为系统外部稳定性，即有界输入、
对于一个给定的控制系统，稳定性分析通 常是最重要的。如果系统是线性定常的， 那么有许多稳定性判据，如RouthHurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据 等可利用。然而，如果系统是非线性的， 或是线性时变的，则上述稳定性判据就将 不再适用。
❖ 经典控制理论稳定性判别方法：代数判 据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹 判据
向量x与xe的距离为
当x-xe的范数限定在某一范围之内时，记为
它的几何意义，在三维状态空间中以xe为球心， 以 为半径的一个球域，可记为
5.2 Lyapunov意义下的稳定性
1.Lyapunov意义下的稳定性（稳定和一致稳定）
定义： 对于系统
如果对任意实数
都对应存在另一个实数
使得一切
满足
的任意初始状态 出发的运动轨迹（状态方程的解） 在所有时间内都满足：
❖ 非线性系统：相平面法(适用于一，二 阶非线性系统)，描述函数法。
Lyapunov意义下的稳定性问题 本节所要介绍的Lyapunov第二法（也 称Lyapunov直接法）是确定非线性系统 和线性时变系统的最一般的方法。当然， 这种方法也可适用于线性定常系统的稳定 性分析。此外，它还可应用于线性二次型 最优控制问题。
雅可比矩阵
勇于开始，才能找到成 功的路
令
则线性化系统方程为：
结论：
(1)若
，则非线性系统在
处是渐近稳定的，与 无关；
(2)若
则非线性系统在 是不稳定；
(3)若
，稳定性与 有关，即非线性
系统平衡状态 的稳定性与函数展开的高阶
项 有关。
例：系统的状态方程为： 系统的平衡状态
例：单摆系统的状态方程为：
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。 （2）李氏渐近稳定的充要条件：
2.非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成
泰劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断 非线性系统的平衡状态处的稳定性。
设非线性系统状态方程：
--非线性函数
在平衡状态 于是：
附近存在各阶偏导数，
其中： --级数展开式中二阶以上各项之和
几何意义：稳定下任意状态轨迹最终收敛于xe. 即轨迹不会超出 ，且最终趋于平衡点。
平衡状态一致渐近稳定
3.Lyapunov意义下大范围内渐近稳定性 对 都有
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定。
❖大范围渐近稳定的必要条件：系统只能有一 个平衡状态。 ❖线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必 ❖ 是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与 初
1.系统自由响应 稳定；
有界，则平衡状态
2.如果
不仅有界，而且收敛于平衡
状态则平衡状态渐近稳定；
3.如果
无界，则平衡状态不稳定；
结论：
（1）线性系统：任一孤立平衡状态，均可坐标 变换转移到原点，分析原点的稳定性具有代表性 ；
（2）非线性系统：各个平衡点的稳定性不同， 分析各个平衡状态的稳定性；
（3）对于线性系统：平衡状态是渐近稳定，则 一定是大范围渐近稳定；
❖ 始条件的大小无关)。 ❖非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状
当 与 无关 大范围一致渐近稳定。
4. Lyapunov意义下的不稳定性 不管 ， 有多小， 只要由 内，由 出 发的轨迹超出 以外， 则称此平衡状态 是 不稳定的。
从定义看，球域
限制初始状态
值，球域
规定了系统自由响应
的边界。
的取
第5章控制系统稳定性理 论
2020年4月22日星期三
❖ 研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常 工作的必要条件，是一个重要特征。
❖ 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态 被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来 的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作 。
❖ 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状 态方程解的收敛性，而与输入作用无关。