现代控制理论-稳定性

用矩阵表示二次型较为方便，即
a11 a12 a1n 1 a21 a22 a2n 2 X TPX V (X ) 1 , 2 ,, n an1 an 2 ann n
上述稳定判剧难以胜任; 通用的方法是李亚普诺夫第二法.
李亚普诺夫稳定性判据
1982年，李亚普诺夫归纳出两种方法
李亚普诺夫第一法:
解系统的微分方程，然后根据解的性质来 判断系统的稳定性。如果特征方程的根全部 具有负实部，则系统在工作点附近是稳定的.
李亚普诺夫第二法（也称直接法）:
不必求解系统的微分方程式，就可以对 系统的稳定性进行分析判断，而且给出的稳 定信息不是近似的。它提供了判别所有系统 稳定性的方法。
一个稳定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然
它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有
能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性
能，通常叫做稳定性，它是系统的一个动态属性。
举例说明：
1.电压自动调节系统--保持电机电压恒定
2.电机自动调速系统--保持电机转速一定
3.火箭飞行系统--保持航向为一定 具有稳定性的系统称为稳定系统。
1．稳定与一致稳定 设 X e为动力学系统 X f (X, t ) 的一个 孤立平衡状态。如果对球域S( ) 或任 意正实数 ＞0，都可找到另一个正实 数 ( , t0 ) 或球域 S( )，当初始状态 X 0 满足 X 0 X e ( , t0 ) 时，对由此出发的X 的运动轨迹有 lim X X e ，则此系统 t 为李亚普诺夫意义下的稳定。如果 与初始时刻 t 0 无关，则称平衡状态 X e
不具有稳定性的系统称为不稳定系统。
稳定性概念
系统的稳定性--系统在受到外界干扰后，系 统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过 渡过程的收敛性，
用数学方法表示就是：
lim x t
t
现代控制理论的优点
线性定常系统稳定性判断—
1.劳斯-赫尔维茨判剧 2.奈奎斯特稳定判剧
现代控制系统—结构复杂，非线性或时变,
e
X 0 X e [(X 10 X 1e ) (X 20 X 2e ) (X n0 X ne ) ]
2 2
1 2 2
称为范数， i 0、 ie (i 1,2,, n) 分别为 X 0 与 X e 的分量。
同样
X X e (t t0 )
就可给出系统平衡状态稳定性的信息。 应用李亚普诺夫稳定理论的关键: 能否找到一个合适的李亚普诺夫函数! --尚未有一个简便的、一般性的方法！
* 由于系统的结构日益复杂，对李亚普诺夫稳定 理论的研究和应用受到人们的重视； * 特别是在从典型的数学函数及非线性特性出发 寻求李亚普诺夫函数方面颁有进展。 * 李亚普诺夫函数 V(X,t) 是对前述的不具有直观性 的物理事实的表现，这个“广义能量”概念与 能量概念又不完全相同。 李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！
例3.1
设系统方程为
x1 x2 x1 ( x x ) 2 2 x2 x1 x2 ( x1 x2 )
2 1 2 2
试确定其平衡状态的稳定性。
Hale Waihona Puke Baidu
解: 很明显，原点 (1 0, 2 0) 是给定系统的唯一平 衡状态，选取一个正定的标量函数 V(X ) 为
必须指出，二次型是一个标量，最 基本的特性就是它的定号性，也就 是V(X)在坐标原点附近的特性。
定号性
(1)正定性 当且仅当 X=0 时，才有V(X)=0； 对任意非零X，恒有V(X)＞0，则V(X)为正定。 (2)负定性 当且仅当X＝0时．才有V(X)＝0； 对任意非零X，恒有V(X)＜0，则V(X)为负定。 (3)正半定性与负半定性 如果对任意X≠0，恒有V(X)≥0，则V(X)为正半定。 如果对任意X≠0，恒有V(X)≤0，则V(X)为负半定。 (4)不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可为正值也可 为负值．则V(X)为不定。
X e 为渐近稳定。如果
与初始时刻 t 0 无关，
则称平衡状态
为X e 一致渐近稳定。渐近稳定性等价
于工程意义上的稳定性。
如果对状态空间中的任意点，不管初
始偏差有多大，都有渐近稳定特性。 即 lim ( i ie ) 0(i 1,2,, n) 对所有点都 t 成立，称平衡状态 X e 为大范围渐近稳 定。可见，这样的系统只能有一个平 衡状态。由于线性定常系统有唯一解， 所以如果线性定常系统是渐近稳定的， 则它一定也是大范围内渐近稳定的。
现代控制理论
Modern Control Theory
第三章 控制系统的李亚普诺夫 稳定性
§3.1 李亚普诺夫第二法概述
§3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性
§3.3 李亚普诺夫稳定性定理 §3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析
§3.1 李亚普诺夫第二法的概述
一、物理基础
一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是
研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状 态的情况。一般说来，系统可描述为 X f (X, t ) 式中 X为 n 维状态向量。当在任意时间都能满足 f (Xe , t ) 0 (3.1) 时，称 X e 为系统的平衡状态。凡满足式(3.1)的一 切X值均是系统的平衡点，对于线性定常系 统 X f (X, t ) AX ，A为非奇异时,X=0是其唯一的平 衡状态，如果A是奇异的．则式(3.1)有无穷多解， 系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一 个或多个平衡状态。
很多情况下李亚普诺夫函数可取为二次型
二次型及其定号性，是该理论的数学基础。
二、数学基础 (二次型及其定号性) 1．二次型 n个变量 1 , 2 ,, n 的二次齐次多项式:
V( 1 , 2 , n ) a111 a12 1 2 a1n 1 n
V(X) V( 1, 2 ,, n )
对任意 X X e （平衡点）时，V(X) 0 、V(X) 0
成立，且对 X X e 时，才有 V(X) V(X) 0 。

李亚普诺夫第二法可归结为:
1.在不直接求解的前提下，
2.通过李亚普诺夫函数 V(X,t) 的符号 3.及其对时间的一次导数 V(X, ) 的符号 t
由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的 变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇 点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系 统在运动过程中的平衡点。 任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变 换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点 作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系 统的平衡状态表达式为 f (0, t ) 0 对同一问题用不同理论去研究．会得到不同含义 的结果与解释。如非线性系统中的自由振荡，古 典的稳定性理论认为是不稳定的，而李亚普诺夫 稳定性理论则认为是稳定的。
也不是稳定的，当
并无限增大时， t t0
X e 为不稳定的。
返回
出发的运动轨迹最终超越 X0
S 域，则称平衡状态

§3.3 李亚普诺夫稳定性定理
定理3.1 设系统的状态方程为 X f (X , t )
式中， f (0, t ) 0(t t 0 ) 如果有连续一阶偏导数的标 量函数 V(X,t) 存在，并且满足以下条件： V(X,t) 是正定的； V(X,t) 是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 X , 有 V(X, ) ， 则在原点处的平衡状态 t 是在大范围内渐近稳定的。
李亚普诺夫第二法建立的物理事实：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即:
lim X
t
xe
那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间 的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极 小值。

对系统而言，并没有这样的直观性，因此， 李亚普诺夫引入了“广义能量函数”，称之 为李亚普诺夫函数，表示为 V(X,t),它是状 态 1, 2 ,, n 和时间t的函数。 如果动态系统是稳定的，则仅当存在依赖于 状态变量的李亚普诺夫函数
为一致稳定。
2．渐近稳定和一致渐近稳定
设 X e 为动力学系统 X f (X, t ) 的一个孤立平衡状
态，如果 X e是稳定的，且从充分靠近 X e 的任一初始
状态 X 0 出发的运动轨迹 有 平衡状态
lim X X e 0
t
或
lim ( i ie ) 0(i 1,2,, n), 即收敛于平衡状态 X ，则称 t e
因此，明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。 系统的状态方程为
X f [X(t ), u(t )]
设 u (t ) 0 且系统的平衡状态为 X e , f [X e (t )] 0 。有扰 动使系统在t t 0 时的状态为 X ，产生初始偏 差 X 0 - X e ，则 t t 0后系统的运动状态从 X 0 开始随时 间发生变化。 由数学中数的概念知道，X 0 X e 表示初始偏差 都在以 为半径，以平衡状态 X e 为中心的闭球 域S( )里，其中
则
V(X) 2
2 1
2
V(X) 21 1 2 2 2
(X) 2( 2 2 ) 2 V 1 2
将系统方程代人上式得
（V(X)为正定）
又由于 X 时，V(X) ，因此系统在平 衡点(0，0)是大范围渐近稳定的。
定理3.2 设系统的状态方程为
a11 a12 a21 a22
0,, n P 0,
则P为正定，即V(X)
V(X) XT PX 或对称阵P为负定的充要条件是： ②二次型 P的主子行列式满足 i 0 ( i 为奇数)；i 0 ( i 为 偶数) i =1,2,„, 。
返回
§3.2李亚普诺夫意义下的稳定性
赛尔维斯特准则
①二次型 V(X) X T PX 或对称矩阵P为正定的充要条件是 P的主子行列式均为正，即
a11 a P 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn
如果 正定。
1 a11 0, 2
2
a211 2 a22 2 a2 n 2 n
2
an1 1 n an 2 2 n ann n
2
称为二次型。 式中， aik (i, k 1,2,, n) 是二次型的系数。 设 aik aki ，既对称且均为实数。
X f (X , t )
式中， f (0, t ) 0(t t 0 ) 。如果存在一标量函数 V(X,t) ， 它有连续的一阶偏导数，且满足以下条件： V(X,t) 是正定的； t V(X, ) 是负半定的； V[Φ (t , X 0 , t 0 ), t ] 对任意 t 0 和任意 0, 在 t t 0 时不 恒等于零。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有 X 时， X, ) V( t ，则为大范围渐近稳定。式 中 Φ (t , X 0 , t 0 ) 表示 t t 0 时从 0 出发的解轨迹。
在控制工程中．确定大范围内渐近稳定的 范围是很重要的，因为渐近稳定性是个局
部概念，知道渐近稳定的范围，才能明确
这一系统的抗干扰程度、从而可设法抑制
干扰，使它满足系统稳定性的要求。古典
控制理论的稳定性概念，只牵涉到小的扰
动，没有涉及大范围扰动的问题，因此它
是有局限性的。
3．不稳定
如果平衡状态
从
X e 既不是渐近稳定的，
表示平衡状态偏差都在以 为半径， Xe 以平衡状态 为中心的闭球域: S( ) 里。式中范数
X X e ( 1 1e ) 2 ( 2 2e ) 2 ( n ne )

1 2 2

为X的分量。
i (i 1,2,.n)
下面用二维空间图3.1来说明李亚普诺夫定 义下的稳定性。