有关抽象函数的题型

抽象函数的单调性

线性函数型抽象函数是由线性函数（即一次函数）抽象而得的函数

例：已知函数f(x)对任意的实数x、y均有f(x+y)= f(x)+f(y),且当x> 0时，有f(x)> 0,

f(- 1)= –2 , 求函数f(x)在区间[-2 , 1] 上的值域.

训练：已知函数f(x)对任意的实数x、y，满足条件f(x)+f(y)= 2 + f(x+y)，且当x> 0时，有f(x)> 2, f(3)= 5 , 求使f(a2–2a –2) < 3 成立的实数a的取值范围.

3.已知函数f(x)对任意的实数x、y均有f(x+y)= f(x)+f(y) ,且当x> 0时，有f(x)< 0 ,

f(3)= –3,

①证明函数f(x)的单调性

②求函数f(x)的奇偶性

③试求f(x)在区间[ m , n ] 上的值域。

4. 已知函数f(x)对任意的实数x、y均有f(x+y)= f(x)+f(y) ,且当x> 0时，有f(x)< 0 ,

f(1)=–2

①求证f(x)的奇偶性

②求函数f(x)的单调性

③求f(x)在区间[ -3 ，3 ]的最值。

对数函数型抽象函数

对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数

例1.设f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1

（1）求f(1)的值

（2）f(x)+f(x –8)≤2,求X 的取值范围

训练：

2. . f （x ）是定义在（0，+∞）上的减函数，对于任意的 x , y > 0 ,恒有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(3

1) = 1,

①求f(1)的值

②若存在m,使得f(m)=2,求m 的值

③解不等式f(x)+f(2 – x ) < 2

.幂函数型抽象函数

幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得的函数

例1已知函数f(x)对任意实数x ，y 都有f(xy)=f(x)*f(y)，且f(–1)=1，f(27)=9，当0≤x<1时， f(x)∈[0, 1 )

① 判断f(x)的奇偶性

②判断f(x)在（0 ，+∞）在上的单调性，并给出证明

③ 若a ≥0，且f(a+1)≤39 , 求a 的取值范围