典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法
平行四边形中位线定理
平行四边形中位线定理平行四边形中位线定理平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形。
在平行四边形中，连接相邻顶点的线段称为对角线，且对角线互相平分。
定义平行四边形中位线是指连接相邻顶点的中点所构成的线段。
定理在平行四边形中，两条对角线互相平分，且它们的交点是它们的共同中心。
证明设ABCD为平行四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的中点。
连接EG和FH，并延长至交于点O。
因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ADC；同理可得∠CBD=∠CDA。
又因为AE=EB，AD=DG，所以△AED≌△GBD（SAS）；同理可得△FHC≌△CHD（SAS）。
因此AE=BG，CF=DH。
又因为AF∥DC，所以∠FAH=∠DCH；同理可得∠EBG=∠FCD。
但是由于ABCD是一个平行四边形，所以AD=BC。
因此，在△AED和△FHC中：AE+ED+CF+CH=AD+FC+DG+GBBG+ED+AH+CH=AD+AF+DG+FC将AE=BG，CF=DH代入上式，得：ED+CH=DG+AFBG+ED=AF+DG因此，△AEG≌△DFH（SAS），所以EG=FH。
因此，EG和FH互相平分。
又因为E、F、G、H是ABCD的中点，所以OE=OF=OG=OH。
因此，O在EG和FH的交点处，且它们的交点是它们的共同中心。
应用平行四边形中位线定理可以用来证明两条对角线互相平分的性质，并且可以用来求解平行四边形各个部分的长度。
例如，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，DC=8cm，AC=10cm。
连接AC并延长至交于点E。
由于AE=EC（垂直平分线段），所以AE=5cm。
又因为AB∥DC（对角线互相平分），所以BE/ED=BA/AD；同理可得CE/EB=CD/BA。
将已知数据代入上式可得BE/ED=4/3，CE/EB=5/2。
因此BE=(4/7)AC=(4/7)×10cm≈5.71cm，ED=(3/7)AC=(3/7)×10cm≈4.29cm。
平行四边形的判定(4)中位线的运用
A H E F B C O G
D
例4：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边 形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、 BC、CD、DA的中点。 A H 求证：EFGH是平行四边形。
E G F C
D
B
任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是 平行四边形。
3、 如图所示， △ABC中，中线BD、CE相 交于O，F、G分别为OB、OC的中点。 求证：四边形DEFG为平行四边形。
练一练
1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=______.
2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
A D E (1) C
B D A
E C
B
(2)
3. 如图所示，EF是△ABC的中位线， BD平分∠ABC交EF于D，若ED=2，则 EB=________________。
(2011孝感中考试题)如图，在△ABC中， BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交 于点O，点F、G分别是BO、CO的中点， 连结AO.AO=6cm，BC=8cm，则四边形 DEFG的周长是（ ） A.14cm B.18cm C.24cm D.28cm
(11年泉州中考)如图，在四边形ABCD 中，P是对角线B的中点，EF分别是AB、 CD的中点，AD=BC, ∠PEF=18°, 则 ∠PFE的度数是 ．
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是________？
矩形
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边 形 是 ___________ ？ （5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ______________？ （6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是__________？
《平行四边形性质与判定的应用：中位线定理》
三角形中位线定理的探索及其判定一、说教材三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
(地位与关系)三角形中位线定理的探索及其判定，属于平行四边形性质定理与判定定理的应用，因而，在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后。
但从研究方法的角度而言，三角形中位线定理的研究较平行四边形的性质与判定有很大的不同。
后者，我们主要是利用三角形及其全等来研究平行四边形，而前者，则主要是利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题。
(作用)三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系，也涉及到了数量关系，特别是倍长关系，由于这些特殊性，使得其应用极其广泛。
同时，中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法对于相关类型的题目的解答具有启发意义。
二、教材的设计思想教材中关于三角形中位线定理的叙述大致思路如下：首先，给出三角形中位线的定义，辨别出中位线与中线之间的区别；其次，引导学生，提出猜想，讨论中位线与底边的位置关系与数量关系；最后，引导学生，证明猜想，得出中位线定理。
三、教学目的以及重难点教学目的：掌握三角形中位线定理及其应用。
难点：理解中位线定理的证明过程四、教学过程①回顾知识，引出问题师：前几节课，我们学习了平行四边形的性质定理与判定定理，大家还记得当时我们的结论是如何得出来的，比如说平行四边形的性质：对角线相互平分，这是如何得到的？生：通过证三角形全等得到的。
师：还比如说：我们知道两组对边相互平行的四边形是平行四边形，这是根据平行四边形的定义得到的判定定理。
而还有一些判定定理：如对角线相互平分的四边形是平行四边形，这个判定定理是如何得出的，大家还记得吗？生：记得，通过证三角形全等，得到内错角相等，然后得到对应边相互平行，得出是平行四边形。
师：那么，我们就会发现，关于平行四边形的性质定理、判定定理的得出，都是利用三角形的性质，特别是三角形全等。
也就是说，我们是利用三角形及其性质来研究平行四边形的性质。
五种辅助线解题方法
五种辅助线解题方法
在解题过程中，辅助线是一种非常有用的工具，能够帮助我们更好地理解问题和解决问题。
以下是五种常见的辅助线解题方法：
1. 垂线法
垂线法是一种常见的几何证明方法，也可以用来解决许多几何问题。
在使用垂线法时，我们通常要绘制一条垂线，将原来的形状分成几个小部分，从而更容易解决问题。
2. 中垂线法
中垂线法是一种特殊的垂线法，它可以帮助我们找到一个三角形的中心点，从而更容易解决问题。
在使用中垂线法时，我们需要绘制三角形的中垂线，并找到它们的交点，这个点就是三角形的中心点。
3. 对角线法
对角线法是一种常见的几何证明方法，可以用来证明平行四边形、菱形和正方形等形状的性质。
在使用对角线法时，我们需要绘制一条对角线，并利用对角线的特性来解决问题。
4. 相似三角形法
相似三角形法是一种常见的几何证明方法，可以用来解决许多与三角形相关的问题。
在使用相似三角形法时，我们需要找到两个相似的三角形，并利用它们的比例关系来解决问题。
5. 平移法
平移法是一种常见的代数证明方法，可以用来证明等式和不等式等代数关系。
在使用平移法时，我们需要通过平移变量的值，将等式
或不等式转化成更容易解决的形式。
初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法)
７.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,点Ｄ为BＣ得中点,点E、Ｆ分别为AB、AＣ上得点,且ＥD⊥FD。以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形?若能,该三角形就是锐角三角形、直角三角形,或者就是钝角三角形？
3、已知直角三角形斜边中点,可以考虑:构造斜边中线;
4.已知等腰三角形底边中点,可以考虑:连接顶点与底边中点利用“三线合一”性质.
新
课
内
容
做辅助线思路一:倍长中线法
经典例题1:如图所示,在△ABＣ中,AB＝２0,AC＝１2,求BC边上得中线AＤ得取值范围。
【课堂训练】
１。如图,已知CB、CＤ分别就是钝角△AEＣ与锐角△AＢC得中线,且ＡC＝AB,给出下列结论:①ＡＥ＝2ＡC;②CE＝２CD;③∠ＡCＤ＝∠BＣＥ;④CB平分∠ＤCE,则以上结论正确得就是()
2.如图,在△ABC中,BＤ⊥AC于D,CE⊥ＡB于E,点Ｍ、N分别就是BC、ＤE得中点,
(1)求证:ＭN⊥DＥ;
(2)连结ME、MD,若∠A=６0°,求得值.
3、如图,△ABC中,AB＝BC,∠ABC=90°,点E、F分别在AB、AＣ上,且AE＝EF,点O、M分别为AF、ＣE得中点.求证:(１)OM=CE;(２)OB=OM。
4、如图,∠ＤBＣ＝∠BＣE＝90°,M为DE得中点,求证:MB=ＭC、
教
学
后
记
学生签名:家长签名:
A.①②④ B.①③④ C、①②③ D.①②③④
第1题图 第2题图
２、如图,在正方形AＢCＤ中,E为ＡB边得中点,G、F分别为ＡD,BC边上得点,若AＧ＝1,BＦ＝2,∠GＥＦ＝9０°,则GF得长为()
典中点相交线与平行线专训4 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
典中点相交线与平行线专训4 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法◐名师点金◑在解决平行线的问题时,当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时,通常借助輔助线来帮助解答,如何作辅助线需根据已知条件确定。
辅助线的添加既可以产生新的条件,又能与题目中原有的条件联系在一起。
类型1：加截线(连接两点或延长线段相交)1.如图,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,则∠ACD=( )A.120°B.130°C.140°D.150°类型2：过“拐点”作平行线a.“”形图2.如图,AB∥CD,点P为AB,CD之间的一点,已知∠2=28°,∠BPC=58°,求∠1的度数。
b.“”形图3.(1)如图①,若AB∥DE,∠B=135°,∠D=145°，求∠BCD的度数;(2)如图①,在AB∥DE的条件下,你能得出∠B,∠BCD,∠D之间的数量关系吗?请说明理由;(3)如图②,AB∥EF,根据(2)中的猜想,直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
c. 形图4.如图,AB∥DE,则∠BCD,∠B,∠D有何关系?为什么?d. ”形图5.如图,已知AB∥DE,∠BCD=30°,∠CDE=138°,求∠ABC的度数。
e.“”形图6.(1)如图,AB∥CD,若∠B=130°,∠C=30°,求∠BEC的度数;(2)如图,AB∥CD,探究∠B,∠C,∠BEC三者之间有怎样的数量关系?试说明理由。
类型3：平行线间多折点角度问题探究7.(1)如图,在图①中,AB∥CD,则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系?(2)如图,在图②中,若AB∥CD,又能得到什么结论?。
构造中位线的方法
1
连接两点构造三角形的中位线
1、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在 AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点 P,M,N分别为AC，AD，CE的中点。 （1）求证：PM=PN； （2）求∠MPN的度数。
大家好
2
已知角平分线和垂直构造中位线
2、如图，在⊿ABC中，点M为BC的中点，AD为 ⊿ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB=12， AC=18，求DM的长。
大家好
7
结束
大家好
8
大家好
3
已知角平分线和垂直构造中位线【练习】
3、如图，在⊿ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平 分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE 的长。
大家好
4
倍长法构造中位线
4、如图，在⊿ABC中，∠ABC=90o，BA=BC， ⊿BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90o，M为AF的中 点，求证：CF=2ME。
Байду номын сангаас大家好
5
已知一边中点，取另一边中点构造中位线
5、如图，在⊿ABC中，∠C=90o，CA=BC， E、F分 别为CA，CB上一点，CE=CF，M、N分别为AF、 BE中点，求证：AE= 2 MN。
大家好
6
已知两边中点，取第三边中点构造中位线
6、如图，在⊿ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D， 点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证： AC=3AN。
专训常用构造中位线的五种方法
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.
易得ME＝
1 2
AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，
∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
数学解题宝典
三、折叠问题的解题技巧
1、找出折叠前后图形中的对应线段和对应角。 2、连接对称点，对称轴是对应点连线的垂直平分线。 3、找包含已知线段的直角三角形或相似三角形。 4、注意观察有没有特殊角。
四、函数点法。 3、对称法。 4、交点法。
五、图形面积比的计算方法：
一、线段比值的求法：
1、利用平行线分线段成比例。 2、利用相似三角形。 3、利用第三条线段。 4、利用方程来求。
二、线段中点的使用方法：
1、等腰三角形的三线合一。 2、直角三角形斜边的中线。 3、倍长中线构造全等三角形。 4、取中点或作平行线构造三角形的中位线。 5、利用垂径定理。 6、线段的垂直平分线。
1、利用相似三角形面积比等于相似比的平方。 2、利用等底或等高。 3、底之比乘以高之比。 4、利用第三个三角形。 5、利用图形分割和组合。
六、几种见添加辅助线的方法：
1、截长补短。 2、倍长中线或取线段的中点。 3、作垂线或平行线。 4、连圆的半径、直径或弦。 5、连结特殊平行四边形的对角线。
中考专题讲座：
中考数学葵花宝典
——数学题的常用的解题技巧
前言
世上万物虽千变万化，但万变不离其宗， 数学题也是如此，题目虽然多变但条件的使 用方法不会变，解数学题就是将所给的条件 串连起来，和套用公式一样简单，我们只要 掌握了条件的运用方法，就容易找到解题的 突破口，掌握了这些方法可以让你的解题变 得很容易，下面就给大家介绍几种常用技巧， 你不仿可以尝试一下。
谢 谢 欣 赏！
再见
九年级数学上册 23.4 中位线 构造中位线素材 (新版)华东师大版
构造中位线“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.一、连中点，构造三角形的中位线例1 如图1，D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，P 为BC 上任意一点，△DPM 是等边三角形.连接FM.那么EP 与FM 相等吗？为什么？分析：由D 、E 、F 是中点，想到连接中点，得到中位线DE 、DF.这样就可以把EP 、FM 放到△DPE 、△DMF 中，进而推出它们全等使问题得以解决.解：连接DF 、DE.因为D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，所以DF ∥BC ，DF=12BC ；DE ∥AC,DE=12AC.所以四边形DECF 是平行四边形. 所以∠C=∠EDF=60°.因为△ABC 、△DPM 是等边三角形，所以BC ＝AC ，DP ＝DM ，∠PDM ＝60°.所以DF ＝DE.因为∠EDP ＝60°－∠PDF ，∠FDM ＝60°－∠PDF ，所以∠EDP ＝∠FDM.所以△DEP ≌△DFM.所以EP ＝FM.跟踪训练1 如图2，四边形ABCD 中，AC=BD ，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，MN 交BD 于点E 、交AC 于点F.OE 与EF 相等吗？为什么？二、找中点，构造三角形的中位线例2 如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 分别是BC 、AD 边的中点，延长BA 、MN交于点F ，延长CD 交MF 于点E.请说明∠1与∠2相等.分析：因为M 、Ｎ分别是BC 、AD 的中点，若连接BD ，取其中点G ，再连接NG 、MG,则NG ∥AB ，NG ＝12 AB ，MG ∥CD ，MG ＝12CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧM Ｎ中，从而使问题得以解决.解：连接BD ，取BD 的中点G ，连接NG 、MG ，则NG ∥AB ，NG ＝12 AB ，MG ∥CD ，MG ＝12CD. 所以∠1＝∠GNM ，∠2＝∠GMN.因为AB ＝CD ，所以NG ＝MG.所以∠GNM ＝∠GMN.所以∠1=∠2.跟踪训练2 如图4，△ABC 的一个外角平分线AE 与过点C 的直线互相垂直，垂足为点E ，D 为BC 的中点，试说明：DE ∥AB ，且DE=12（AB+AC ）答案1.解：取AD 的中点Ｇ，连接GM 、GN ，得GM ∥BD ，GN ∥AC ，且GM ＝12 BD ，GN ＝12AC ，因为AC ＝BD ，故GM ＝GN ，所以∠GMN ＝∠GNM ，又∠OEF ＝∠GMN ，∠OFE ＝∠GNM ，所以∠OEF ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ．2.解：延长BA 、CE 相交于点F ，由AE ⊥CF ，AE 平分∠CAF ，得EF ＝EC ，AF ＝AC ，又D是BC 的中点，所以DE 是△BCF 的中位线，故有DE ∥AB ，且DE=12 BF=12（AB+AC ）．。
中考几何常见辅助线法：寻找中位线
中考几何常见辅助线法：寻找中位线法一、中位线知识与方法1、定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
（中位线定义强调中点的位置）2、定理（1）三角形的中位线：平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（2）梯形的中位线：平行于两底，并且等于两底和的一半。
（中位线定理阐述中位线与第三边（上下底边）的位置（平行）和数量关系（一半）。
）3、适用范围：①判别线段的位置（平行）关系②确定线段的大小、倍数、和差等关系；③计算图形中某线段的长度：利用中位线起到“桥梁枢纽”关系；4、中位线应用“提示”：数形结合类题目中，尤其在三角形求证类题目，已知条件出现“某线段中点”，或者在证明过程中出现“某线段的中点”内容，就要联想到“中位线理论”。
5、运用方法：在解题过程中，尽可能添找中点，确认、或者利用辅导线构建包含带有中点的三角形，或者梯形（四边形，或者是平行四边形），使用含有中点的线段，重新构建三角形。
梯形题型的解法类似于三角形和四边形，“举一反三”即可。
6、中位线定理的可逆：①经过三角形一边中点，平行于另一边的直线，必定平分第三边；②经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必定平分另一腰；由“中位线定理”的可逆性，联想到“平行线截比例线段定理”，这个定理在相似三角形有关内容的求证时应用比较广泛：一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也必定相等。
7、分清“中位线和中线”的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
二、典例精讲典例：如图，在四边形ABCD中，AD BC=，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：AHF BGF∠=∠．思路点拨：连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，根据三角形中位线定理即可得到PF=1 2AD，PF∥AD，EP=12BC，EP∥BC，进而得出∠AHF=∠BGF．满分解答：如图所示，连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，∵E、F分别是DC、AB边的中点，∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，∴PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，EP∥BC，∴∠H=∠PFE，∠BGF=∠FEP，又∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE，∴∠AHF=∠BGF．名师点评：本题主要考查了三角形中位线定理的运用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．变式题．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于_____．三、中考押题1．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为________．2．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BPBC的长为_______．。
【辅助线方法总结5】中位线
【辅助线方法总结5】中位线今天继续和大家聊辅助线方法。
本期主角：中位线基本特点特点：不易被发现，操作很灵活。
基本特征：题目中出现两个及以上中点，就要考虑中位线。
这里说的“出现”并不一定是直接的已知条件，也有可能是一些“自带中点”。
比如：圆、平行四边形中心、三线合一等。
难点：一般连接两个中点，就可以构造中位线直接解题。
而一些复杂题目，需要自行构造中位线，哪怕是给了中点。
咱们用实例说明基本操作思路点播：三角形的周长就是三条线段的和，这里OD、DE都好求，OE就要用到中位线了。
因为O和E都是中点，所以不难想到利用中位线来解决问题。
进阶操作思路点播：图中有两个连接起来的中点，好像考虑中位线即可。
实际操作发现这种操作无法解题。
这也是这种题的迷惑之处。
发现利用中位线无法直接解题，就要换个思路了。
要求AC，且有N是中点，可以考虑用中位线解决问题。
取AD中点P，连接PN、PM。
由中位线可知AC=2PN，BD=2PM。
通过倒角可知△PMN是等腰三角形，所以AC=BD，问题得解。
高端操作这里只说最后一问。
要求D’F最大，考虑到F是动点，且F是中点，一般找中点的运动轨迹，就要搭配另外一个中点，利用中位线来解决问题。
这里注意另外一个中点不能是动点，否则双动点就无法解题。
根据F的位置，我们可以找AD的中点P，连接PF构造中位线，从而得到F的运动轨迹。
一定有同学会问：老师您是如何想到的？为什么看到动点+中点就要考虑用中位线来解决问题？这个问题无法回答，这就是常规思路，下次遇到中点+动点的时候，试试这样考虑问题，就能想到正确解题思路。
总结以上就是对中位线方法的总结。
中位线可简单可难。
如果提示明显，那么解题并不困难；如果只给了一个中点还要考虑中位线，那么难度就相当大。
平时做题时，尤其是遇到像最后这个例子中的题目，要多总结，多归纳。
2020春冀教版八年级数学下册 第22章 专训2 常用构造中位线的五种方法 点拨习题
专训2常用构造中位线的五种方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．连接两点构造三角形的中位线1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．(第1题)已知角平分线和垂直构造中位线2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．(第2题)3．如图，在△ABC 中，已知AB ＝6，AC ＝10，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，点E 为BC 的中点，求DE 的长．(第3题)倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°，M 为AF 的中点，求证：ME ＝12CF.【导学号：54274020】(第4题)已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上一点，CE ＝CF ，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE ＝2MN.(第5题)已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 的中点，延长BP 交AC 于点N ，求证：AN ＝13AC.(第6题)答案1．(1)证明：如图，连接CD ，AE. 由三角形中位线定理可得 PM =P 12CD ，PN =P 12AE.∵△ABD 和△BCE 是等边三角形， ∴AB ＝DB ，BE ＝BC ， ∠ABD ＝∠CBE ＝60°， ∴∠ABE ＝∠DBC. ∴△ABE ≌△DBC ， ∴AE ＝DC.∴PM ＝PN.(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H ，AE 交BD 于Q.由(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC. 又∵∠DQH ＝∠BQA ， ∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°， ∴∠FHG ＝120°.易证四边形PFHG 为平行四边形， ∴∠MPN ＝120°.(第1题)2．解：如图，延长BD ，CA 交于N.(第2题)由题易知∠NAD ＝∠BAD ，∠ADN ＝∠ADB ＝90°. 又∵AD ＝AD ， ∴△AND ≌△ABD. ∴DN ＝DB ，AN ＝AB. 又∵M 为BC 的中点， ∴DM 为△BNC 的中位线，∴DM ＝12NC ＝12(AN ＋AC)＝12(AB ＋AC)＝15.3．解：如图，延长BD 交AC 于点F ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADF ， 又∵AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADF(ASA )． ∴AF ＝AB ＝6，BD ＝FD. ∵AC ＝10，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4. ∵E 为BC 的中点， ∴DE 是△BCF 的中位线． ∴DE ＝12CF ＝12×4＝2.(第3题)4．证明：如图，延长FE 至N ，使EN ＝EF ，连接BN ，AN.易得ME ＝12AN.(第4题)∵EF ＝EN ，∠BEF ＝90°， ∴BE 垂直平分FN.∴BF ＝BN.∴∠BNF ＝∠BFN.∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°， ∴∠BFN ＝45°.∴∠BNF ＝45°，∴∠FBN ＝90°，即∠FBA ＋∠ABN ＝90°. 又∵∠FBA ＋∠CBF ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABN. 在△BCF 和△BAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BN ，∠CBF ＝∠ABN ，BC ＝BA ， ∴△BCF ≌△BAN.∴CF ＝AN.∴ME ＝12AN ＝12CF.5．证明：如图，取AB 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH ＝12BF ，NH ＝12AE.∵CE ＝CF ，CA ＝CB ，∴AE ＝BF. ∴MH ＝NH.∵点M ，H ，N 分别为AF ，AB ，BE 的中点， ∴MH ∥BF ，NH ∥AE.∴∠AHM ＝∠ABC ，∠BHN ＝∠BAC.∴∠MHN ＝180°－(∠AHM ＋∠BHN)＝180°－(∠ABC ＋∠BAC)＝90°. ∴NH ＝22MN. ∴AE ＝2NH ＝2×22MN ＝2MN. (第5题)(第6题)6．证明：如图，取NC 的中点H ，连接DH ，过点H 作HE ∥AD ，交BN 的延长线于E.∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴D 为BC 的中点． 又∵H 为NC 的中点， ∴DH ∥BN. 又∵PD ∥EH ，∴四边形PDHE 是平行四边形． ∴HE ＝PD.∵P 为AD 的中点，∴AP ＝PD.∴AP＝EH，易证△APN≌△HEN，∴AN＝HN.∴AN＝HN＝HC，∴AN＝13AC.。
平行四边形的中位线性质
平行四边形的中位线性质平行四边形是几何学中常见的图形之一，具有多种性质和特点。
其中，平行四边形的中位线性质是其重要的性质之一。
本文将详细介绍平行四边形的中位线性质，以帮助读者更好地理解和运用这一性质。
1.中位线的定义首先，我们先来了解一下什么是中位线。
对于平行四边形ABCD，如果AD和BC的中点分别为E和F，那么直线EF就是平行四边形ABCD的中位线。
中位线是连接平行四边形两对相对顶点中点的直线。
2.中位线的性质接下来，我们来讨论平行四边形中位线的性质。
根据中位线的定义，我们可以得出以下结论：（1）平行四边形的中位线是平行四边形的对角线的中线。
换句话说，中位线将平行四边形分成了两个面积相等的三角形。
（2）平行四边形的中位线互相平行且等长。
这是由于中位线连接了平行四边形的两对相对顶点的中点，因此中位线本身也是平行四边形的一对相对边的中线，从而保证了互相平行且等长的性质。
（3）中位线长度的计算：根据平行四边形的性质，我们可以利用中位线长度相等的性质来计算中位线的长度。
设平行四边形ABCD的中位线为EF，已知AD的长度为a，BC的长度为b，则EF的长度为(a + b) / 2。
3.中位线的应用平行四边形的中位线性质在解题中具有重要的应用价值。
有了中位线的性质，我们可以更快速地求解平行四边形相关问题，例如计算面积、寻找性质等。
同时，中位线还常用于证明平行四边形的各种定理，应用广泛且灵活。
4.总结平行四边形的中位线性质是平行四边形的重要性质之一，具有诸多特点和应用。
通过本文的介绍，相信读者对平行四边形的中位线性质有了更深入的了解。
在学习和应用几何知识时，务必熟练掌握平行四边形的中位线性质，提高解题效率和准确性。
祝愿读者在几何学习中取得更好的成绩！。
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴： 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF ⑵DE BF =⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1ECAAB第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形ABCD 为平行四边形求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+证明：过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++-=+=2)()(22222222则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+22222222∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD =∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB ∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE = ∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+图4图3KCFBB第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
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典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法
◐名师点金◑
三角形的中位线具有两方面的性质：
一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系.因此,当题目中给出三角形两边的中点时,可以直接 连出中位线;当题目中给出一边的中点时,往往需要找另一边的中点,作出三角形的中位线。
典例剖析：如图,在△ABC 中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,AM ⊥CE 于点M,AN ⊥BD 于点N.
求证:MN=21(AB+AC-BC)
解题秘方:图中不存在中点,但结论与三角形中位线定理很类似,因此应设法寻找中点,再构造三角形的中位线.要证明MN=2
1(AB+AC-BC),可找以MN 为中位线的三角形,故延长AM 交BC 于点F,延长AN 交BC 于点G,易证明2MN=FG,而FG=BC+FC-BC.又易证明BG=AB,FC=AC,故问题得解。
方法1：连接两点构造三角形的中位线
1.如图,点B 为AC 上一点,分别以AB,BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE,点P,M,N 分别为AC,AD,CE 的中点。
(1)求证PM=PN ；
(2)求∠MPN 的度数。
方法2：已知角平分线及垂直构造中位线
2.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD ⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM 的长。
3.如图,在△ABC 中,已知AB=6,AC=10,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD 于点D,点E 为BC 的中点，求DE 的长。
方法3：倍长法构造三角形的中位线
4.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC ，△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M 为AF 的中点， 求证ME=21CF
方法4：已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线
5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,E,F 分别为CA,CB 上一点,CE=CF,M,N 分别为AF 、BE 的中点， 求证AE=2MN
方法5：已知一边中点推理得出另一边中点再取第三边中点构造三角形的中位线
6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 的中点,连接BP 并延长交AC 于点N ，求证AN=3
1AC。