到期收益率债券价格久期凸性计算公式
债券久期、免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。
例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。
但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量〔例如利息归还〕。
通过计算持续期〔久期〕就可以解决这个问题。
它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。
有效持续期用公式表示则为：P y tC D nt t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。
价格为95.2，当前利率为12%。
求其持续期。
持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数〔1年、2年、3年〕。
简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。
在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。
持续期与归还期不是同一概念：归还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比方利息的支付、部分本金的提前归还等因素的时间价值。
对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于归还期。
持续期与归还期呈正相关关系，即归还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，归还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。
二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值〔理论价格〕对利率变动的敏感程度： ∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)1(11 两边同时乘以pdy 得∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy nt t t ∑=+⨯+-1)1(1 =ydy D +•-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。
久期和凸性分析
第三节 久期和利率灵敏度
问题的引出 作为一种度量投资者投资回收期的方法，久 期同期限相比，其最明显的优势是度量债券价格 相对于到期收益率变化的灵敏度上：久期使债券 定价定理2得以精确。通常认为，两支不同期限的 债券，其到期收益率变化1％，所带来的债券价格 变化，期限较长的变化大于期限较短的变化。然 而，如果债券的息票不同，上述结论则不正确。 在一般情况下，期限与价格灵敏度之间不存在一 种简单的关系，而久期却给出了一个更为接近的 方程。
债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条 凸函数而不是一条直线函数。 下图对一个10年期零息票到期收益率为10％的债 券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变 化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的 影响。
债券价值 （美元）
凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）
650 600 55Байду номын сангаас 500 450 400 350 300
t (t 1)Ct (1 k )t 1 t 1 cv ( ) 2 P 0
T
同久期的计算相似，导出凸性价值其实是用时间 因素t(t+1)给现金流（息票和面值）加权，即上面 公式中的分子，这个值再除以债券当前价格或现 值。整个表达式再乘以1/2加以标准化。
举例：一支利率为10％的零息票债券。假设利率 由10％现在下降到9％，即100个基点。随着利率 下降，债券价格由到期收益率10％时的386美元上 升到了到期收益率为9％时的422美元，价格上升 了9.33%。
（3）债券B（抵押债券）：
400 400 400 d 1 2 3 / 1000 (1.21) (1.331 ) (1.10) ＝［ 364 （ ）＋（331 1 2 ）＋3 301 （ ）］／ 1000 ＝(1929/1000 1.9年 )
久期与凸性的理解
久期与凸性的理解(2010-12-22 10:43:20)最近在研究企业债券的投资，对于某些术语了解了一下，在此与大家共同学习一下,我的心得是，久期和凸性都是衡量利率风险的指标，衡量债券价格对利率的敏感程度；但久期具有双面性，就是在利率上升周期，要选择久期小的债券，而在利率下降周期，要选择久期大的债券；而凸性是具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，因此需要选择凸性较大的债券。
久期描述了价格-收益率（利率）曲线的斜率，斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量，引入凸性参数。
凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。
简单计算方法为：例如债券久期为3，那么当市场利率提高1%，那么债券价格就近似下跌3*1%=3%；凸性用于衡量债券久期对市场利率变化的敏感性，比如债券凸性为3，那么当市场利率提高1%，那么债券久期就近似上升3*1%=3%。
在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比例为权重计算的加权平均到期日）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修正久期。
什么是久期？久期（Ｄｕｒａｔｉｏｎ）——久期是衡量债券利率风险最常用的指标，反映的是市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
公式如下：久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化久期的分析方法债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。
久期和凸性——精选推荐
久期和凸性第四节债券投资收益四、利率的久期与凸性（⼀）久期久期有许多不同的形式和解释。
⼏种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。
1．麦考莱久期“久期”⼜叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。
当被运⽤于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表⽰的可⽤于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。
久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接⽅法，久期越长，利率风险越⼤。
麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；⽤于所有未来现⾦流的贴现率是固定的。
其中：D——久期Ct——t时的现⾦流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现⾦流的时期。
上述公式给出了理解麦考莱久期的⽅法。
它表明时间的权重是每期收到的现⾦流的现值。
每⼀贴现的现⾦流都代表了债券现⾦流现值的⼀部分。
如果加总债券所有的贴现现⾦流，就得到了债券的价格。
麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现⾦流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表⽰了当债券收益率发⽣很⼩变动时以美元表⽰的债券价值发⽣的变动。
将公式两边同时除以债券价格便得到了每⼀单位利率百分⽐变动时债券价格的百分⽐变动：上述公式是修正久期的表达式。
括号中的项是麦考莱久期公式的分⼦。
因⽽修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显⽰了与债券到期收益率的⼩变动相关的价格百分⽐变化。
注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率⽔平的运动⽅向相反是⼀致的。
实际上，久期的负号常常被忽略。
3．封闭式久期这⼀⽅法的优点在于计算简便，这也是为什么⼤多数计算久期的软件程序都使⽤封闭形式的公式。
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期和凸性分析是在金融市场中用于评估债券投资风险和收益的重要工具。
久期是衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标，而凸性则是衡量债券价格对利率波动的非线性变化。
下面我们将详细介绍久期和凸性的概念、计算方法以及其在投资决策中的应用。
首先，久期是衡量债券投资风险的关键指标。
它是一个衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标。
具体来说，久期表示的是债券的平均回本期限，也就是该债券的现金流入与出的时间加权平均。
久期越长，表示债券的回本期限越长，价格受利率变动的影响越大。
反之，久期越短，表示债券的回本期限越短，价格受利率变动的影响越小。
计算久期的方法有几种，其中一种是Macaulay久期。
Macaulay久期的计算公式为：Macaulay久期=（C1*T1+ C2*T2+...+Cn*Tn）/B，其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格。
除了久期，凸性也是衡量债券投资风险的重要指标。
凸性描述了债券价格对利率波动的非线性响应。
凸性可以帮助投资者更好地了解债券价格的波动性以及在不同市场环境下债券的价格变化趋势。
凸性大的债券价格波动幅度相对较大，而凸性小的债券价格波动幅度相对较小。
计算凸性的方法有几种，其中一种是麦堪昆凸性。
麦堪昆凸性的计算公式为：麦堪昆凸性=（C1*T1^2+C2*T2^2+...+Cn*Tn^2）/（B*(1+r)^2），其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格，r为债券的到期收益率。
久期和凸性分析在投资决策中有着重要的应用。
首先，久期和凸性可以帮助投资者衡量债券投资的风险。
通过计算久期和凸性，投资者可以了解债券价格对利率变动的响应程度，从而判断债券投资的风险水平。
其次，久期和凸性可以帮助投资者优化投资组合。
久期和凸性可以作为评估不同债券的工具，投资者可以在不同债券之间做出选择，以实现投资组合的风险和收益平衡。
债券凸性的计算公式
债券凸性的计算公式：
对于总期限为Ｔ的付息债券而言，其价格的变化主要取决于收益率y ,如果第t 年所得的现金流为C ，它的现值为，那么债
券的理论价格就是各期现金流的现值和
下面我们来求
的泰勒级数前三项展开式．
的一阶导数为
1
11(1)T t
t
t t CF y y =⨯=-++∑ 的二阶导数为
2
1
(1)1(1)(1)T
t
t
t t t CF y y =+=
++∑
根据泰勒级数公式，债券价格的近似计算公式为
将一阶导数和二阶导数代入上式，有：
或者
令
令1111
(1)(1)(1)
T T
t t t t
t t t CF CF dP D P dy y y y ==⨯=-=÷+++∑∑ 是债券现金流的加权平均期限，被称为久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间所支付的现金流的
现值占整个现金流的百分比，修正值D*=D*
，经济含义
是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标．
令222
11
(1)11
(1)(1)(1)T
T t t
t t
t t t t CF CF d P C P dy y y y ==+=
=÷+++∑∑ 被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积的加权修正
值，权数是现金流的现值占整个现金流的百分比，不同于久期的
是，其修正值为
．
因此，债券价格的近似公式简化为：
=。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限，其实是对久期的一种片面的理解，而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范，利率风险逐渐显现的今天，如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期（也称持续期）是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息，y=到期收益率，n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念，是到期收益率的减函数，到期收益率越高，久期越小，债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间，但无法说明当利率发生变动时，债券价格的变动程度，因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形，得到：我们将的绝对值称作修正久期，它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到：在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到：由于P0是理论现值，为常数，因此，债券价格曲线 P与P /P 0有相同的形状。
由公式7, 在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期，而债券价格曲线 P的斜率为P0 X（修正久期）。
稳定性。
修正久期越大，斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大，y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见，同等要素条件下，修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系，这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图，对于债券B '，当收益率分别从y上升到y1或下降到y2, 由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1 'P1"和P2 'P2"的误差。
债券到期收益率久期凸性公式
债券到期收益率久期凸性公式债券相关指标计算一、名词解释在本文中，下列名词具有以下含义：（一）零息债券：债券发行人在债券期限内不支付任何利息，至到期兑付日按债券面值进行偿付的债券。
（二）固定利率债券：债券发行人按固定票面利率定期支付利息的债券。
（三）浮动利率债券:债券发行人根据一定规则调整票面利率,并依此利率定期支付利息的债券。
（四）到期一次还本付息债券：发行时规定票面利率、但是在到期兑付日前不支付利息，全部利息至到期兑付日和本金一同偿付的债券。
（五）日计数基准：债券市场中计算应计利息天数和付息区间天数时采用的基准，如“实际天数/实际天数”、“实际天数/365”、“30/360”等。
（六）理论付息日：对零息债券和到期一次还本付息债券，债券期限内每年与到期兑付日相同的日期。
如零息债券A到期兑付日为2022年8月10日，则债券期限内每年的8月10日为债券A的理论付息日。
二、日计数基准银行间债券市场（包括债券回购交易）日计数基准为“实际天数/实际天数”，即应计利息天数按实际天数计算（算头不算尾），一年按实际天计算。
注：1，银行间债券闰年的2.29日是计算利息的，之前的版本不算利息；对于交易所债券来说2.29还是不计算利息的2，付息周期的实际天数是指下一个付息日与上一个付息日之间的实际天数，算头不算尾，含闰年的2月29日；计息年度是指发行公告中标明的第一个起息日至次一年度对应的同月同日的时间间隔为第一个计息年度，依此类推。
三、债券全价中内含应计利息的计算应计利息的计算需注意债券基础数据的准确。
涉及到债券基本信息、债券利率、债券所处时点的前后付息日期几个关键的数据。
应计利息计算公式如下：1．对固定利率债券和浮动利率债券，每百元面值的应计利息额为：AICftTS（1）其中：AI:每百元面值债券的应计利息额；C：每百元面值年利息，对浮动利率债券，C根据当前付息期的票面利率确定；：起息日或上一付息日至结算日的实际天数。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
久期凸度的定义、表达式以及背后的数学原理
久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。
（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。
比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。
（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。
1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。
1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。
到期收益率,久期,凸性
以下算法来自央行 《中国人民银行关于全国银行间债券市场债券到期收益率计算有关事项的 通知》。 到期收益率按照央行规则，分为以下 4 种情况进行计算： 1. 对于处于最后付息周期的固定利率债券和浮息债、 待偿期在一年及以内的到期一次还本 付息债券和零息债券、贴现债。到期收益率按单利计算。 y= ������������ − ������������ D ÷ PV TY
其中， Ci 为债券的当期票面年利率；
f 为债券每年的付息次数；如果债券一年付息一次，则 f 1
w
d ； TS
其中 d为债券结算日到下一次付息日的实际天数，含2月29日。 （新老版本差异： 老：交易所债券：结算日至下一付息日的实际天数，不含 2 月 29； 新：交易所债券：结算日至下一付息日的实际天数，含 2 月 29； ）
∆r为发行时指定利差 TS1 ：银行间市场：本付息期的实际天数，含 2 月 29。 交易所市场：365/f n：结算日至到期兑付日的付息次数； 方式二： 处理为下一次付息就为到期的债券 y= M+
R+∆r f
∗ M − ������������
PV
÷
D TS
y：到期收益率； R: 本付息周期利率 f:付息频率 PV：债券全价；
修正久期：D������ = ������/(1 + ������ ∗ ������) 其中 r 为债券的年化到期收益率， 2. 对于不处于最后一次付息周期的付息债券（浮息债除外）或者待偿期在一年以上的到期 一次还本付息的债券（零息券）以及贴现券： 麦克劳林久期： 公式如下：
D
1 n1 (Ci / f ) ( w i) F (w n 1) ( ) f P i 0 (1 y / f ) wi (1 y / f ) wn 1
债券到期收益率久期凸性公式
债券到期收益率久期凸性公式债券到期收益率（YTM）是指债券投资者持有一定期限的债券并将其持有至到期时所能获得的年化收益率。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感程度的度量。
凸性（Convexity）是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。
本文将介绍债券到期收益率、久期和凸性之间的关系以及久期凸性公式的推导。
债券到期收益率是影响债券价格的重要因素之一，通常情况下，债券价格与到期收益率呈反向关系，即债券价格上升时到期收益率下降，反之亦然。
这是因为当到期收益率上升时，新发债券的利率更高，对于已发行的低息债券而言，其收益率相对较低，导致其价格下降，以提高其收益率与新债券相匹配。
久期是评估债券价格对利率变动敏感性的重要衡量指标。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。
久期的计算公式如下：久期=Σ（PVt×t）/（P×ΔY）其中，PVt为债券每期现金流的现值，t为期数，P为债券的价格，ΔY为利率变动的大小。
然而，久期只能提供一阶段的价格变化信息，忽视了价格曲线的曲率问题。
凸性的引入填补了这一缺陷。
凸性是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。
凸性的计算公式如下：凸性=Σ（PVt×t×t）/（P×ΔY^2）债券价格的二阶泰勒展开式可以表示为：P(Y)≈P(0)+ΔY×P'(0)+0.5×ΔY^2×P''(0)其中，P(Y)是在到期收益率Y下的债券价格，P(0)是在当前到期收益率下的债券价格，P'(0)和P''(0)分别是在当前到期收益率下的债券价格对收益率的一阶导数和二阶导数。
通过以上公式，我们可以推导出久期和凸性之间的关系。
将债券价格的二阶泰勒展开式中的一阶导数代入久期的计算公式中，可以得到以下公式：久期≈-（1/P）×P'(0)≈-（1/P）×ΔP其中，ΔP是债券价格的变化。
债券持有期收益率,久期及在险价值计算和分析
债券持有期收益率，久期及在险价值计算和分析债券持有期收益率、久期及在险价值是债券市场常用的指标，用于衡量债券收益、风险和价格变动等方面。
下面将详细介绍这三个指标的概念、计算方法以及应用。
一、债券持有期收益率债券持有期收益率（yield to maturity，YTM）是指投资者在持有债券到期并全额兑付时所能获得的年化收益率。
它包括债券的票面利率、债券价格所反映的市场利率以及债券到期时的回报。
YTM是债券定价的重要因素，计算方法如下：YTM = [(C + (F - P) / n) / ((F + P) / 2)] ^ (1 / n) - 1其中，C为债券的年息票利率；F为债券的面值；P为债券的当前市场价格；n为债券的剩余期限（以年为单位）。
债券持有期收益率可以帮助投资者衡量债券投资的收益程度，并且可以和其他资产类别进行比较，以寻求合适的投资组合。
二、久期久期（duration）是债券价格与市场利率变动之间关系的一个指标，它是衡量债券价格变动对应的敏感度。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感度越高，反之亦然。
久期的计算方法如下：其中，C为债券每年的现金流量；t为现金流量的到期时间与当前时间的差；y为债券当前市场利率；P为债券当前市场价格。
久期是指标，可以帮助投资者了解债券价格在利率变动时的波动情况，从而更好地管理投资组合。
三、在险价值在险价值（VaR）是用于衡量投资组合波动性的风险管理指标，在债券市场中也有广泛应用。
在险价值指的是对未来某一时期内，投资组合价值下跌到一定程度的概率，通常以95%或99%的置信度来衡量。
在险价值的计算方法需要借助久期和凸性。
在险价值的一般计算方法如下：VaR = - P × D × z × σ + P × C其中，P为投资组合的市值；D为投资组合的久期；z为标准正态分布的分位数（一般取1.64或2.33）；σ为利率的波动率；C为投资组合的现金持有量。
固定收益证券计算题
计算题题型一：计算普通债券的久期和凸性 久期的概念公式：t Nt W t D ∑=⨯=1其中，W t 是现金流时间的权重，是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。
且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。
久期的简化公式：yy c y c T y y y D T +-+-++-+=]1)1[()()1(1 其中，c 表示每期票面利率，y 表示每期到期收益率，T 表示距到期日的期数。
凸性的计算公式：t Nt W t ty C ⨯++=∑=122)()1(1其中，y 表示每期到期收益率；W t 是现金流时间的权重，是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。
且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，转换成以年为单位的凸性。
例一：面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。
每期现金流：42%8100=⨯=C 实际折现率：%52%10= 息票债券久期、凸性的计算即，D=5.4351/2=2.7176利用简化公式：4349.5%5]1%)51[(%4%)5%4(6%)51(%5%516=+-+⨯-⨯++-+=D （半年） 即，2.7175（年）36.7694/（1.05）2=33.3509；以年为单位的凸性：C=33.3509/（2）2=8.3377利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动1个基点（0.01%）时，该债券价格的波动 利用修正久期的意义：y D P P ∆⨯-=∆*/5881.2%517175.2*=+=D （年）当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，%0259.0%01.05881.2/-=⨯-≈∆P P ；当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，%0259.0%)01.0(5881.2/=-⨯-≈∆P P 。
凸性与价格波动的关系：()2*21/y C y D P P ∆∙∙+∆∙-=∆当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，%0259.0%)01.0(3377.821%01.05881.2/2-=⨯⨯+⨯-≈∆P P ；当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标关于久期，一篇科普性质的文章可见：本文将稍显晦涩。
关于债券价格，首先明确，债券的价格是其产生的未来现金流按到期收益率贴现的现值。
我们认为市场中有利率期限结构（Term Structure of Interest Rates），它实际上是即期利率（Spot Rate）曲线，精确地说，是各种期限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。
用C表示现金额，y表示利率期限结构中的到期收益率，则：到期收益率曲线非水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}}特殊地，到期收益率曲线水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{(1+y)^{t}}久期在讨论久期和凸性时，我们始终关心的是利率变动和价格之间的关系。
如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：\operatorname d P=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname d y_{t}旨在建立实用的久期概念，我们不做严格的数学推导，而因此做一系列近似。
我们假设到期收益率曲线在变化时平行移动，并且提出一个近似的共同因子，便有：\begin{aligned} \operatorname d P&=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname dy_{t}\\&\appro-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} \; \operatorname d y\end{aligned}有时我们用V(C_t)表示一笔现金的现值，用d_t表示折现因子，上式也可以写成：\begin{aligned} \operatorname d P&=-\frac{1}{1+y}\sum_{t=1}^{n} t \cdot V(C_t) \; \operatorname d y\\ &=-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot d_tC_t \; \operatorname d y \end{aligned}出于我们的目的，自然是要考察 {\operatorname dP/P\over\operatorname dy} ，这刻画了市场利率变化时债券价格的变化程度。
债券到期收益率,久期收益率
由于久期可以线性相加，所以，原来的久期等于：
D = D1 + D2
∑ D1
=
1 B
N i =1
ti × R (1 + y)i
D2
=
1 B
×
N×P (1 + y) N
这里对时间进行了简化，因为时间并不一定是整数开始，存小于一年的小数部分，
其中： y 就是到期收益率， B 为该债券的净价， r 是债券的票息， P 为债券面值，一般是 100， N 为付息周期。
（1）
从这个公式也可以理解到期收益率是债券投资的内部收益率。估计到期收益 率就是利用已知的债券基本信息，N，P，r,来估算 y。
首先需要对债券依据剩余期限进行简单分类，分为短期债券和长期债券分别 处理。
这里的方法均为针对固定利率年付息一次的附息不含权债券，当然一年多次 付息的情况也是类似的。
一、到期收益率 债券常用的有即期收益率，到期收益率和远期收益率。但平时最常用的还是 到期收益率，因为它简化为一个期限的收益率只与该期限相关。 其定义表述如下：
∑N
B=
r+P
i=1 (1 + y)i (1 + y) N
这是一种更为粗略但极为简单的方法，在日常工作中也不失使用价值。
其中：
D
=
1 B × (1 +
y) N
⎡ ⎢ ⎣
R y
×
⎡ ⎢ ⎣
(1
+
y) N +1 y
−1 − (N
+
⎤ 1)⎥
+
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到期收益率债券价格久期凸性计算公式到期收益率（Yield to Maturity），又称为持有到期收益率或到期收益率，是指债券在到期日时，以当前市场价格购买并持有到期所能获得的平均年收益率。
它是衡量债券投资回报率的重要指标，对于投资者评估债券的收益和风险具有重要意义。
债券价格是指投资者购买债券所需支付的现金金额。
债券价格与债券的到期收益率密切相关，当到期收益率上升时，债券价格下降；当到期收益率下降时，债券价格上升。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感性的一个指标。
久期越长，债券价格对利率的变动越敏感；久期越短，债券价格对利率的变动越不敏感。
凸性（Convexity）是衡量债券价格对利率变动的曲率的一个指标。
凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
下面，我们将依次介绍到期收益率、债券价格、久期和凸性的计算公式和计算方法。
一、到期收益率的计算公式：
二、债券价格的计算公式：
债券价格的计算可以使用现金流量贴现法，即将债券的每期现金流量按到期收益率贴现计算得到，然后将每期现金流量的现值相加得到债券的价格。
三、久期的计算公式：
久期的计算有多种方法，常用的方法有修正久期法和Macaulay久期法。
修正久期法是通过对债券价格对市场利率变动的敏感性进行评估来计
算债券的久期。
修正久期越长，债券价格对利率的变动越敏感。
Macaulay久期法是将每期现金流量的现值与债券价格的加权平均期
限相比较得到债券的久期。
Macaulay久期越长，债券价格对利率的变动
越不敏感。
四、凸性的计算公式：
凸性的计算可以使用修正凸性法。
修正凸性是指在一些到期收益率下，债券价格对利率变动的非线性程度。
修正凸性越高，债券价格对利率的变
动越具有非线性的变化。
总结：到期收益率、债券价格、久期和凸性是衡量债券投资回报率和
风险的重要指标，在债券投资决策中起着重要的作用。
了解这些指标的计
算公式和计算方法可以帮助投资者更好地评估债券投资的收益和风险。