三角恒等变换(试题部分)

4.3三角恒等变换探考情悟真题

【考情探究】

考点内容解读

5年考情

预测热度考题例如考向关联考点

两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角

差的余弦公式.

2.能利用两角差的余弦公式导出

两角差的正弦、正切公式.

3.能利用两角差的余弦公式导出

两角和的正弦、余弦、正切公

式,会用二倍角的正弦、余弦、

正切公式,了解它们的内在联系.

2021浙江,18,14分

两角差的

余弦公式

任意角的三角函数

的定义、诱导公式

★★☆

2021浙江,16,14分二倍角公式解三角形

2021浙江,16,14分二倍角公式正弦定理

简单的三角恒等变换能利用两角和与差的三角函数

公式以及二倍角公式进行简单

的三角恒等变换.

2021浙江,18,14分二倍角公式三角函数的性质

★★★

2021浙江,10,6分三角恒等变换

分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.

2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2021浙江,10).

3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.

4.预计2021年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.

破考点练考向

【考点集训】

考点一两角和与差的三角函数

1.(2021浙江台州中学一模,2)计算:sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是()

A.-1

2B.1

2

C.-√3

2

D.√3

2

答案D

2.(2021浙江杭州二中期中,15)假设α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),那么tanα=.

答案 √3

考点二 简单的三角恒等变换

1.(2021课标全国Ⅱ理,10,5分)α∈(0,π2

),2sin 2α=cos 2α+1,那么sin α=( )

A.15

B.√55

C.√3

3

D.

2√5

5

答案 B

2.(2021浙江镇海中学期中,7)sin (π6

-α)=-√2

3

,那么cos 2α+√3sin 2α=( )

A.109

B.-109

C.-59

D.59

答案 A

3.(2021届山东夏季高考模拟,14)cos (α+π6

)-sin α=4√3

5

,那么sin (α+11π

6

)= .

答案 -45

4.(2021届浙江镇海中学期中,18)f(x)=sin x 2·(cos x 2+sin x 2

)+a 的最大值为√2

2

.

(1)求实数a 的值;

(2)假设f (α

+π4)+f (α-π4)=√2

3,求√2sin (2α-π

4)+11+tanα

的值. 解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的求值;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.

(1)f(x)=sin x 2

cos x 2

+sin 2x 2

+a=12

(2sin x 2

cos x 2

)+12

(1-cos x)+a=12

sin x-12

cos x+a+12=√22

sin (x -π4

)+a+12

,当x=2kπ+3π4

(k ∈Z)时,sin (x -π4

)=1, f(x)取得最大值为√2

2

+a+1

2,结合条件,可知a=-12

.

(2)√2sin (2α-π

4)+11+tanα=sin2α-cos2α+11+sinαcosα

=

2sinαcosα+sin 2α-cos 2α+sin 2α+cos 2α

cosα+sinαcosα

=2sin αcos α①,

由(1)知f(x)=√2

2

sin (x -π4

),

那么f (α+π4

)=√2

2

sin α, f (α-π4

)=-√2

2

cos α,

结合条件,可知sin α-cos α=2

3

, 又因为sin 2α+cos 2α=1,

所以

2sin αcos α=5

9②,由①②得√2sin (2α-π

4)+11+tanα=59

.

炼技法 提能力 【方法集训】

方法1 三角函数式的化简方法

1.tan α=2 018tan π

2 018,那么sin (α+2 017π

2 018)sin (α+π2 018)

=( )

A.-1

B.1

C.-2 017

2 019

D.

2 017

2 019

答案 C

2.化简(sin θ

2-cos θ

2)

√2+2cosθ

(0<θ<π)= .

答案 -cos θ

3.(2021届浙江绍兴一中期中,18)函数f(x)=cos x(msin x+cos x),且满足f (π4

)=1.

(1)求m 的值;

(2)假设x ∈[0,π4

],求f(x)的最大值和最小值,并求出相应的x 的值.

解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的化简、三角函数最值的求法;考查数学运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.

(1)f (π4

)=cos π4

(msin π4

+cos π4

)=

√22

(

√2

2

m +

√2

2

)=1⇒m=1.

(2)f(x)=cos x(sin x+cos x)=12sin 2x+12cos 2x+12=√22sin (2x +π4)+12,因为x ∈[0,π4

],

所以2x+π4∈[π4,

3π

4

],