三角恒等变换(试题部分)
4.2 三角恒等变换(试题部分)
4.2三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角恒等变换①两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角和、二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系②简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)2019北京,9二倍角公式三角函数的最小正周期★★★分析解读两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考的热点内容,主要考查两角和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论三角函数的性质.破考点练考向【考点集训】考点三角恒等变换1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°·sin10°=()A.-√32B.√32C.-12D.12答案D2.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tanπ5,则cos(α-3π10)sin(α-π5)=()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2020届北师大附中期中,9)已知sin(π+α)=-13,且α是第二象限角,则sin2α=.答案-4√294.(2020届北京理工大附中月考,10)若tanα=3,则cos2α+3sin2α=.答案19105.(2018北京一六一中学期中,15)已知α为锐角,且tan(π4+α)=2.(1)求tanα的值;(2)求sin2αcosα-sinαcos2α的值.解析(1)∵tan(π4+α)=1+tanα1-tanα=2,∴1+tanα=2-2tanα,∴tanα=13.(2)sin2αcosα-sinαcos2α=2sinαcos2α-sinαcos2α=sinα(2cos 2α-1)2cos 2α-1=sin α.由(1)知tan α=13,∴cos α=3sin α.又∵sin 2α+cos 2α=1,∴sin 2α=110,∵α为锐角,∴sin α=√1010,∴sin2αcosα-sinαcos2α=√1010.思路分析 (1)通过两角和的正切公式可以求tan α的值.(2)先把原式化简,再利用tan α的值求出sin α的值.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 三角函数式的化简与求值问题1.(2019江苏,13,5分)已知tanαtan (α+π4)=-23,则sin (2α+π4)的值是 .答案√2102.(2020届北京二中开学考试,12)已知sin α+cos α=13,则sin 2(π4-α)= .答案17183.(2020届山东夏季高考模拟,14)已知cos (α+π6)-sin α=4√35,则sin (α+11π6)= .答案 -454.(2015广东,16,12分)已知tan α=2.(1)求tan (α+π4)的值; (2)求sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解析 (1)因为tan α=2,所以tan (α+π4)=tanα+tanπ41-tanα·tan π4=2+11-2×1=-3.(2)因为tan α=2,所以sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1 =2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-(cos 2α-sin 2α)-(sin 2α+cos 2α) =2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-2cos 2α=2tanαtan 2α+tanα-2=2×222+2-2=1.方法2 利用辅助角公式解决问题的方法5.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是 .答案√626.(2016浙江,11,6分)已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .答案 √2;17.(2019北京朝阳期末,14)如图,以正方形的各边为底边向外作四个腰长为1的等腰三角形,则阴影部分面积的最大值是 .答案 2+2√2【五年高考】A 组 自主命题·北京卷题组1.(2019北京,9,5分)函数f(x)=sin 22x 的最小正周期是 .答案 π22.(2013北京文,15,13分)已知函数f(x)=(2cos 2x-1)sin 2x+12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)若α★(π2,π),且f(α)=√22,求α的值.解析 (1)因为f(x)=(2cos 2x-1)sin 2x+12cos 4x =cos 2xsin 2x+12cos 4x=12(sin 4x+cos 4x) =√22sin (4x +π4), 所以f(x)的最小正周期为π2,最大值为√22. (2)因为f(α)=√22,所以sin (4α+π4)=1.因为α★(π2,π), 所以4α+π4★(9π4,17π4).所以4α+π4=5π2.故α=9π16.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组1.(2019课标全国Ⅱ,10,5分)已知α★(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) A.15 B.√55 C.√33 D.2√55答案B2.(2018课标全国Ⅲ,4,5分)若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B3.(2017山东,4,5分)已知cos x=34,则cos2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D4.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos(π4-α)=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D5.(2018课标全国Ⅱ,15,5分)已知tan(α-5π4)=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan(α-5π4)=tanα-tan5π41+tanαtan5π4=tanα-11+tanα=15,解得tanα=32.6.(2017江苏,5,5分)若tan(α-π4)=16,则tanα=.答案757.(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α★(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)= .答案3√10108.(2016课标Ⅰ,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ-π4)= .答案 -439.(2016四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8= .答案√2210.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 . 答案 3C 组 教师专用题组1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)=( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 A2.(2014课标全国Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .答案 13.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x 与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是 . 答案 π64.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin (x +π4),x ★R,且f (5π12)=32.(1)求A 的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ★(0,π2),求f (3π4-θ).解析 (1)f (5π12)=Asin (5π12+π4)=32,∴A ·√32=32,A=√3. (2)f(θ)+f(-θ)=√3sin (θ+π4)+√3sin (-θ+π4)=32, ∴√3[√22(sinθ+cosθ)+√22(-sinθ+cosθ)]=32,∴√6cos θ=32,cos θ=√64,又 θ★(0,π2),∴sin θ=√1-cos 2θ=√104,∴f (3π4-θ)=√3sin(π-θ)=√3sin θ=√304.5.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a ★R,θ★(-π2,π2).(1)当a=√2,θ=π4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f (π2)=0, f(π)=1,求a,θ的值.解析 (1)当a=√2,θ=π4时, f(x)=sin (x +π4)+√2cos ·(x +π2)=√22(sin x+cos x)-√2sin x=√22cos x-√22sin x=sin (π4-x),由x ★[0,π],知π4-x ★[-3π4,π4].故f(x)在[0,π]上的最大值为√22,最小值为-1. (2)由{f (π2)=0,f(π)=1,得{cosθ(1-2asinθ)=0,2asin 2θ-sinθ-a =1,由θ★(-π2,π2)知cos θ≠0,解得{a =-1,θ=-π6.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2019北京高考考前原创冲刺卷一,1)已知α★(0,π2),√3sinα+2cosα=√142,则tan2α=()A.-√312B.±√312C.√312D.√36答案A2.(2020届北京清华大学中学生标准能力测试文,6)已知tan(α-π4)=-13,则sin(2α+π2)-2sin(π-α)cos(π+α)=()A.75B.15C.-15D.3125答案A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2019北京东城期末,13)函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)在区间[-π6,2π3]上的最大值为.答案√34.(2019北京朝阳二模文,9)函数f(x)=2sin xcos x+cos2x的最小正周期为. 答案π三、解答题(共40分)5.(2019北京朝阳期末文,16)已知函数f(x)=(2cos2x2-1)·tan x+cos x.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)若f(α)=1,且α★(-π,π),求α的值.解析(1)由题意可知,f(x)的定义域为{x|x≠π2+kπ,k★Z}.f(x)=(2cos2x2-1)tan x+cos x=cos xtan x+cos x=sin x+cos x=√2sin(x+π4),所以f(x)的最小正周期为2π.(2)解法一:由f(α)=1知,√2sin(α+π4)=1,则sin(α+π4)=√22,解得α=2kπ,k★Z或α=π2+2kπ,k★Z.因为α★(-π,π),且α≠π2+kπ,k★Z,所以α=0.解法二:由f(α)=1知,sinα+cosα=1,则sin2α=0,解得α=kπ2,k★Z.因为α★(-π,π),且α≠π2+kπ,k★Z,所以α=0.6.(2019北京海淀期中文,15)已知函数f(x)=cos2xcosx-sinx.(1)求f(0)的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解析(1)f(0)=cos0cos0-sin0=1.(2)因为cos x-sin x≠0,所以x≠kπ+π4,k★Z,即定义域为{x|x≠kπ+π4,k★Z},f(x)=cos2xcosx-sinx =cos2x-sin2xcosx-sinx=cos x+sin x=√2sin (x +π4), 令2kπ-π2≤x+π4≤2k π+π2,k ★Z,得2k π-3π4≤x ≤2k π+π4,k ★Z, 因为x ≠k π+π4,k ★Z,所以函数的单调递增区间为(2kπ-3π4,2kπ+π4),k ★Z.7.(2020届北京理工大附中月考,15)已知函数f(x)=2sin 2x-cos (2x +π3).(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值.解析 (1)因为f(x)=2sin 2x-cos (2x +π3) =1-cos 2x-(cos2xcos π3-sin2xsin π3)=√32sin 2x-32cos 2x+1=√3sin (2x -π3)+1, 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)因为0≤x ≤π2,所以-π3≤2x-π3≤2π3.当2x-π3=π2,即x=5π12时,f(x)取得最大值,最大值为√3+1.思路分析 (1)利用二倍角公式、辅助角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求f(x)的最小正周期;(2)求出相位的范围,利用正弦函数的有界性求解函数的最大值即可.8.(2020届北京八一学校开学考试,15)设函数f(x)=sin (x +π3)+sin (x -π3)+12cos 2x,x ★R.(1)求f (π3)的值; (2)求函数f(x)的最大值和最小值.解析 (1)f (π3)=sin (π3+π3)+sin (π3-π3)+12cos 23π=sin 23π+12cos 23π=√32-14=2√3-14. (2)f(x)=(12sinx +√32cosx)+(12sinx -√32cosx)+12cos 2x=sin x+12cos 2x=sin x+12(1-2sin 2x) =-sin 2x+sin x+12=-(sinx -12)2+34,故当sin x=12,即x=2kπ+π6(k ★Z)或x=2k π+5π6(k ★Z)时, f(x)取得最大值34; 当sin x=-1,即x=2kπ-π2(k ★Z)时, f(x)取得最小值-32.综上所述,函数f(x)的最大值为34,最小值为-32.。
《三角恒等变换》测试题(有答案解析)
《三角恒等变换》试 题一、选择题1、若α为第四象限角，则（ ）A. 02cos >αB.02cos <αC.02sin >αD. 02sin <α2、已知41tan =α，31)tan(=-βα，则=βtan （ ）A ．117B ．711-C ．131-D ．1313、已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则=α2cos （ ）A ．35-B ．95-C ．95D ．354、︒︒-︒︒15sin 45cos 15cos 45sin 的值为（ ）A ．23-B ．21C ．21-D ．235、设向量)sin ,2(),1,(cos αα=-=，若⊥，则=-)4tan(πα（ ）A ．3-B ．3C ．31D ．31-6、已知点)32cos ,32(sin ππP 落在角θ的终边上，则=θtan （ ） A. 3- B.33 C ．33-D.37、已知函数x x f 2sin )6(=-π，则)2(πf 等于（ ） A ．21 B ．21- C ．23D ．23-8、已知角α为三角形的一个内角，且满足0tan sin <αα，则角α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9、已知21tan =α，52)tan(-=-βα，那么)2tan(βα-的值为（ ）A.121 B.43 C. 89-D.8910、已知锐角βα、满足51cos sin =-ββ，3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα、的大小关系是（ ）A ．βα<B ．βα>C ．βαπ<<4D ．αβπ<<411、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生 成”函数。
给出下列函数：①x x x f cos sin )(+=；②)cos (sin 2)(x x x f +=；③x x f sin )(=；④)1(sin 2)(+=x x f ，其中“互为生成”函数的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④12、已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则2tan θ等于（ ）A ．m m --93B ．mm --93C ．31D ．5二、填空题13、若33sin =α，则=α2cos ___________． 14、计算=︒⋅︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan ___________．15、若)20(51cos sin π<≤-=+x x x ，则=x 2cos ___________．16、当函数)20(cos 3sin π<≤-=x x x y 取得最大值时，=x ___________．三、解答题17、已知43tan -=α，计算下列各题：（1）ααααcos 4sin cos 2sin 3-+； （2）αααα22cos cos sin 3sin 2-+．18、已知20,53cos παα<<=.（1）求αtan 的值；（2）求)cos(2cos απα--的值.19、已知点A 、B 、C 的坐标分别为)sin ,(cos )3,0()0,3(ααC B A 、、，)23,2(),sin ,(cos ππαααα∈∈.（1=，求角α的值；（2）若1-=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++的值.20、已知函数42cos )62sin()62sin()(++-++=x x x x f ππ.（1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值. （2）已知5)(=αf ，求αtan 的值.21、已知βα、为锐角，34tan =α，55)cos(-=+βα.（1）求α2cos 的值；（2）求)tan(βα-的值．22、设函数2cos 2)32cos()(2xx x f ++=π，[]π,0∈x . （1）求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值； （2）求)(x f 的最小值及)(x f 取最小值时x 的集合；（3）求)(x f 的单调递增区间。
高中试卷-专题5.5 三角恒等变换(含答案)
专题5.5 三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.)4sin(2cos sin πααα±=±（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝(sin α2±cos α2)2,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50°°-°°等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-°【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900°°-°°=-°°-°°=-+=-=o o o 故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，且()1tan 3αb +=，则tan b 的值为（ ）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αb +=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αb αb αb ααb α-+-=+-===-éùëû+++´.故选：D3．已知,αb 均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，则()sin αb -=（ ）A ．35B ．45CD ．23【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααb b +=+=，则2153sin 44b =，又,αb均为锐角，所以sin b =cos b =所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αb αb αb -=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αb +=，()3sin 5αb -=，则tan tan αb 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αb αb αb αb αb αb ì+=+=ïïíï-=-=ïî，解得2sin cos 51cos sin 5αb αb ì=ïïíï=-ïî，所以tan sin cos 2tan cos sin ααbb αb==-.故选：B5．已知sin sin 13πq q æö++=ç÷èø，则tan 6πq æö+=ç÷èø（ ）ABC ．D ．【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B 卷）【答案】D【解析】sin sin(13πq q ++=，则1sin sin 12q q q +=，即312q =，1cos 2q q +=sin 6πq æö+ç÷èøcos 6πq æö+==ç÷èø所以tan 6πq æö+==ç÷èø故选：D6．下面公式正确的是（ ）A ．3sin cos 2πq q æö+=ç÷èøB ．2cos212cos q q =-C ．3cos sin 2πq q æö+=-ç÷èøD ．cos(sin 2πq q-=【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πq q æö+=-ç÷èø，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1q q =-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πq q æö+=ç÷èø，故C 错误；对D ，cos()sin 2πq q -=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αb +=，1tan(44πb -=，则tan()4πα+的值为（ ）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为2tan()5αb +=，1tan()44πb -=，所以()tan()tan 44ππααb b éùæö+=+--ç÷êúèøëû()()tan tan 41tan tan 4παb b παb b æö+--ç÷èø=æö++-ç÷èø213542122154-==+´.故选：B 8．设1cos102a =o o，22tan131tan 13b =+oo，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b c a<<【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =°=°+°=°=°o ，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b °°°===°°=°°+°+°，sin 25c ===o ，因为函数sin y x =在0,2πæöç÷èø上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<o o o ，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()6πα+=2cos(2)3πα-=（ ）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A ）【答案】B【解析】：因为sin()6πα+=，所以2cos 2cos 263παππαéùæöæö-=-ç÷ç÷êúèøë+øèû6cos 2πα÷+æö=-çèø212n 6si παéùæö=--ç÷êúøë+èû21123éùæêú=--=-ççêúèëû故选：B10．若11tan ,tan()72b αb =+=，则tan =α（ ）A ．115B ．112C ．16D ．13【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72b αb =+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αb b ααb b αb b -+-+-===éùëû+++´.故选：D.11．已知3cos 16πααæö--=ç÷èø，则sin 26παæö+=ç÷è（ ）A ．13-B ．13C ．D【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】B【解析】：因为3cos 16πααæö--=ç÷èø，即3cos cos sin sin 166ππαααæö-+=ç÷èø，即13sin 12αααö-+=÷÷ø3sin 12αα-=1cos 123παααöæö=+=÷ç÷÷èøø，所以cos 3παæö+=ç÷èø所以sin 2cos 2662πππααæöæö+=-++ç÷ç÷èøèø2cos 22cos 133ππααéùæöæö=-+=-+-ç÷ç÷êúèøèøëû21213éùêú=--=êúëû.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αb b æöÎ=-ç÷èø是第三象限角，则()cos αb -=（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2αæöÎç÷èø，可得3cos 5α===-由5cos ,13b b =-是第三象限角，可得12sin 13b ===-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αb αb αb æöæöæö-=+=-´-+´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø故选：A13．若sin 2α=()sin b α-=,4απéùÎπêúëû，3,2b ππéùÎêúëû，则αb +的值是（ ）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπéùéùÎ\ÎêúêúëûëûQ ，又∵sin 22,,,242πππααπαéùéù=\ÎÎêúêúëûëû，∴cos2α==又∵35,,,224πππb πb αéùéùÎ\-Îêúêúëûëû，∴()cos b α-==于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αb αb ααb ααb α+=+-=---éùëûææ==ççççèè5,24αb πéù+Îπêúëû，则74αb π+=.故选：B.14．)sin20tan50=oo （ ）A ．12B ．2C D ．1【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D 【解析】原式()()()2sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos 9050++===-oooooooo o 2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===o o o o o.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααb αb =+=<<<<，则角b 的值为（ ）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A 【解析】∵0,022ππαb <<<<，0αb π\<+<，由1cos 7α=，()sin αb +=sin α=，11cos()14αb +=±，若11cos()14αb +=，则sin sin[()]b αb α=+-sin()cos cos()sin αb ααb α=+-+1110714=-<，与sin 0b >矛盾，故舍去，若11cos()14αb +=-，则cos cos[()]b αb α=+-cos()cos sin()sin αb ααb α=+++111147=-´+12=，又(0,)2πb ÎQ ，3πb \=.故选：A.161712πα<<，且7cos 268παæö+=-ç÷ø，则αö=÷ø（ ）A ．B ．CD ．14-【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππααæöæö+=-+=-ç÷ç÷èøèø，得215sin 1216παæö+=ç÷èø．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 12παææö+Î-çç÷çèøè，所以sin 12παæö+=ç÷èø所以5cos cos sin 1221212ππππαααæöæöæöæö-=-+=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø故选：A17．已知sin cos αα-=π£，则sin 2æçè ）A C ．D 【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 4παααæö--=ç÷èø即sin 4παæö-=ç÷èø因为0απ££，所以3444πππα-£-£，所以044ππα<-£，即42ππα<£，所以22παπ<£，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππαααæö-=-ç÷èø314525æö=´--=ç÷èø；故选：D18．若10,0,cos ,cos 224342ππππb αb αæöæö<<-<<+=-=ç÷ç÷èøèøcos 2b αæö+=ç÷èø（ ）A B ．C D ．【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442b ππb ππb ππb ααααéùæöæöæöæöæöæöæö+=+--=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøèøëû，因为0,022ππαb <<-<<所以3,444πππαæö+Îç÷èø，,4242πb ππæö-Îç÷èø，因为1cos 43παæö+=ç÷èø，cos 42πb æö-=ç÷èø所以sin 4παæö+=ç÷èø，sin 42πb æö-=ç÷èø则1cos 23b αæö+==ç÷èøC19．已知πcos sin 6ααæö-+ç÷èø，则2πcos 3αæö+ç÷èø的值是（ ）A ．45-B ．45C ．D 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】由πcos sin 6ααæö-+=ç÷èøππ3πcos cossin sin sin sin 6623ααααααæö++=+=-=ç÷èø所以，π4cos 35αæö-=ç÷èø，所以，2πππ4cos cos πcos 3335αααæöæöæöæö+=--=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.故选：A.20．已知,2παπæöÎç÷ø，且25，则cos()α-=（ ）A B C D 【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为,2παπæöÎç÷èø，所以35,444πππαæö+Îç÷èø．又2sin 45παæö+=ç÷èø，所以cos 4παæö+==ç÷èøcos()cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααααéùæöæöæö-==+-=+++=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππæö--ç÷èø上单调递增【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 22)2sin(223f x x x x x x π==+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；()2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,)26x ππÎ--时，22(,0)33x ππ+Î-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22 ）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+°-°C ．cos 75°°D ．cos15°°【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°=-°-°°C ：cos 75sin1530°°=°°=°=，符合；D ：cos152sin(3015)2sin15°°=°-°=°¹.故选：ABC23．已知函数2()cos sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2πæöç÷èø上单调递增D ．若()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，则3m π³【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x x f x x x π-æö=-=-=+-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππæöç÷èø上不单调，故C 不正确；当2x m π-££时，++366x m πππ-££，因为()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，即11sin 622x πæö+-£ç÷èø，所以sin 16x πæö+£ç÷èø，所以+62m ππ³，解得3m π³，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x Î，时，()f x 的（ ）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06éùêúëû，【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πωæö=+ç÷èø，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x πæö=+ç÷èø，当π[02x Î，时，72,666x πππéù+Îêúëû，所以1sin 2126x πæö-£+£ç÷èø，所以12sin 226x πæö-£+£ç÷èø，所以 ()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x πæö=+=ç÷èø，72,666x πππéù+Îêúëû，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ£+£，得06x π££，所以()f x 的增区间为π06éùêëû，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（ ）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】ACD【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x æö=-==ç÷ç÷èøπ2cos 23x æö=+ç÷èø，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x éùæö=++=+=ç÷êúëûèø成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +£+£+Î，得：π5πππ,36k x k k +££+ÎZ ，即()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x éùæöæöæö=+=++=+=ç÷ç÷ç÷êèøèøèøëû，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36×-×o o o o (2)sin7cos37cos(7)sin(37)×+-×-o o o o (3)ππcos sin 1212×(4)22ππsincos 88-【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900×-×=+==o o o o o o o .(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37×+-×-=×-×o o o o o o o o1sin(737)sin(30)2=-=-=-o o o .(3)ππ1π1cossin sin 1212264×==.(4)22πππsin cos cos 884-=-=27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πb b <<=()sin αb +的值.【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A 组）【答案】(1)34-(2)【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α==±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sintan cos ααα==(2)π0,cos 2b b <<，故sinb =；()34sin =sin cos cos sin 55αb αb αb ++=28．已知角α为锐角，2πb απ<-<，且满足1tan23=α，()sin b α-(1)证明：04πα<<；(2)求b .【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题【答案】(1)证明见解析(2)3.4πb =【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα´===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2πæöç÷èø上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1αααααì==ïíï+=î，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πb απ<-<)=所以()cos b α-==()()()sin sinsin cos cos sin b αbααb ααbαéù=+-=-+-ëû3455æ=´+=çè又5224πππαb πα<+<<+<，所以3.4πb =29．已知α，b 为锐角，πsin 3αæö-=ç÷èø()11cos 14αb +=-．(1)求cos α的值；(2)求角b ．【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2αæöÎç÷èø，所以ππ336παæö-Îç÷ø-，，又πsin 3αæö-=ç÷èø所以π13cos 314αæö-===ç÷èø所以ππcos =cos +33ααéùæö-ç÷êúèøëûππππ1cos cos sin sin =33337ααæöæö=---ç÷ç÷èøèø(2)因为α，b 为锐角，所以0αb <+<π，则()sin 0αb +>，因为()11cos 14αb +=-，所以()sin αb +==又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin b αb ααb ααb α=+-=+-+éùû111714=+=因为b 为锐角，所以π3b =．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αb ，都是锐角，()3cos 5αb +=，求sin b 的值.【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a ααααααæö-=-+=-=ç÷èø，1sin 2a =.(2)因为αb ，都是锐角,所以0αb <+<π，()4sin 5αb +==，1sin cos 2a a =Þ=，()()()43sin cos c s 1si o 55n sin sin 2αb ααb ααb b α=+=+-=+-=´éùëû31．已知tan ,tan αb 是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αb +(2)()()sin cos αb αb +-；(3)()cos 22αb +.【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αb αb +=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αb αb αb -++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αb αb αb αb αb αb αb αb -+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αb αb αb αb αb αb αb -+-+-++====++++++。
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
三角恒等变换高考真题
【必修四】第三章 三角恒等变换一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））sin 47sin17cos30cos17-（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．22 ．（2012年高考（重庆理））设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．33 ．（2012年高考（陕西文））设向量a =(1.cos θ)与b =(-1, 2cos θ)垂直,则cos2θ等于A2 B 12C ．0D ．-14 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=α∈(0,π),则sin 2α= （ ）A ．-1B ．C ．2D ．15 ．（2012年高考（辽宁理））已知sin cos αα-=α∈(0,π),则tan α= （ ）A ．-1B ．-C D ．16．（2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ）A ．-34B ．34C ．-43D ．437．（2012年高考（江西理））若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ=（ ）A ．15B ．14C ．13D ．128．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24259 ．（2012年高考（山东理））若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2=8θ,则sin θ=（ ）A ．35B ．45 C ．4D ．3410．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为 （ ）A ．[ -2 ,2]B ．[-3,3]C ．[-1,1 ]D ．[-32 , 32] 11．（2012年高考（大纲理））已知α为第二象限角,3sin cos 3αα+=,则cos2α= （ ） A ．53-B ．59-C ．59D ．53二、填空题1．（2012年高考（大纲文））当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取最大值时,x =____.2．（ 2012年高考（江苏））设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 3．（2012年高考（大纲理））当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =_______________.三、解答题1．（2012年高考（四川文））已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若32()10f α=,求sin 2α的值.2．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.3．（2012年高考（湖北文））设函数22()sin23sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈(1) 求函数()f x 的最小正周期;(2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.4．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.5．（2012年高考（北京文））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.6．（2012年高考（天津理））已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.7．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.8．（2012年高考（四川理））函数2()6cos 33(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域; (Ⅱ)若083()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.9．（2012年高考（山东理））已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3Am x n A x x A ==>,函数()f x m n =⋅的最大值为6. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.10．（2012年高考（湖北理））已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,3)x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.11．（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.12．（2012年高考（福建理））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.13．（2012年高考（北京理））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.14．（2012年高考（安徽理））设函数2())sin 4f x x x π=++(I)求函数()f x 的最小正周期;(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+2. 【答案】A【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==⇒+===-+-【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.3. 解析:0a b ⋅=,212cos 0θ-+=,2cos22cos 10θθ=-=,故选C.4. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 5. 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=-，,故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=-,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中. 6. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果. 7. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===,所以.1sin 22θ=. 8.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用. 【解析】因为α为第二象限角,故cos 0α<,而3sin 5α=,故4cos 5α==-,所以24sin 22sin cos 25ααα==-,故选答案A.9. 【解析】因为]2,4[ππθ∈,所以],2[2ππθ∈,02cos <θ,所以812sin 12cos 2-=--=θθ,又81sin 212cos 2-=-=θθ,所以169sin 2=θ,43sin =θ,选D.10. 【答案】B【解析】f(x)=sinx-cos(x+6π)1sin sin )26x x x x π=-+=-,[]sin()1,16x π-∈-,()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式,利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-,求得()f x 的值域.11. 答案A【解析】sin cos 3αα+=,两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=-α是第二象限角,因此sin 0,cos0αα><,所以cos sin 3αα-===- 22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos 2αα+所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .二、填空题 1.答案:56π 【解析】由sin 2sin()3y x x x π==-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.2. 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数.【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2427217==225225250-3.答案:56π 【解析】由sin 2sin()3y x x x π==-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.三、解答题1. [解析](1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos2-- 21sinx 21cosx 121--+=）（ ）（4x cos 22π+=所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα). 所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-= 257251814cos 212=-=+-=）（πα,2. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ. 又点0,1（）在函数图像上,所以sin 1,26A A π==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-sin 22x x =2sin(2),3x π=- 由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦3. 【解析】(1)因为22()sin cos cos cos 222sin(2)6f x x x x x x x πωωωωλωωλωλ=-++=-+=-+由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 6264πππλ=-⨯-=-=即λ=故5()2sin()36f x x π=-函数()f x 的值域为[22+.4.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++- 22333sin cos 444αα=+= 5. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈. 因为(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos21x x --)14x π--, 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈. 由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 6. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识.()=sin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+ 所以,()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84ππ上是减函数,又()14f π-=-,()()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-,最小值为1-. 【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.7. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值.解:(1)()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为1⎡⎣ (2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 8. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos 3(0)2xf x x ωωω=->=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f (Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（ 所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin )34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567= [点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.9.解析:(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A n m x f , 则6=A ;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)34sin(6)(π+=x x g . 当]245,0[π∈x 时,]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 另解:由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ,令0)(='x g , 则)(234Z k k x ∈+=+πππ,而]245,0[π∈x ,则24π=x , 于是367sin 6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g , 故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 10.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+. 由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16ω-=±, 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ,即1()23k k ω=+∈Z . 又1(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=. 所以()f x 的最小正周期是6π5. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04f =,即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=,即λ=故5π()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤,有π5π5π6366x -≤-≤,所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π12sin()236x --故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-. 11.解析:(Ⅰ)210T ππω==,所以15ω=. (Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以3sin 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α,15sin 17β=, 所以()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 12. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. 解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒- 22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 42422αααααααα=+++-- 22333sin cos 444αα=+=13. 【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-==(sin cos )2sin cos sin x x x x x -=2(sin cos )cos x x x -=sin 21cos2x x --)14x π--,{|,}x x k k Z π≠∈(1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π;(2)原函数的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-+∈,3(,]8k k k Z πππ+∈. 14. 【解析】2111()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =- (I)函数()f x 的最小正周期22T ππ== (2)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-= 当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+= 得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩。
三角恒等变换含答案
三角恒等变换一、单选题1．已知α是第二象限角，tan()74πα-=-，则sin()3πα+=（ ）A B C D 2．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A ．19-B C ．19D ． 3．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。
如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于（ ）A ．45B ．725C ．725-D ．354．已知锐角α满足3cos()65πα+=，则sin(2)3πα+=（ ） A ．1225B ．1225±C ．2425D ．2425±5．sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D6．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3s i n πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3C ．3±D ．3±7．若,αβ都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （ ）A B C D 8．已知方程x 2+3ax +3a +1=0（a ＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，则α+β=（ ）. A ．34π或34π-B ．4π-或4πC ．4π D ．34π-9．已知角,αβ均为锐角，且cos αβ==αβ-的值为（ ） A ．3πB ．4π C ．4π-D ．4π或4π-10．已知 πsin()4α+=，则 3πsin()4α-的值为 ( )．A ．B ．2C ．－12D ．1211．已知函数()212cos 2f x x x =+-，若其图象是由sin 2y x =图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位得到，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．56π C ．12πD ．512π 12．已知函数()sin sin 3f x x x =-，[0,2]x πÎ，则()f x 的所有零点之和等于（ ） A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π13．若函数()sin cos f x a x b x =+在3x π=处取得最大值4，则ab=（ ）A ．1B C ．2D ．314．已知函数()sin f x a x x =-图象的一条对称轴为6x π=-，若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．πC ．23π D ．43π二、填空题15．计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++=_______________.16．cos102cos20cos10-⋅=____________． 17．已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________；18．已知αβ，均为锐角，1sin())663ππαβ-=+=，cos()αβ+=________. 19．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 20．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是_____．21．已知等腰三角形顶角的余弦值为725-，则这个三角形底角的正切值．．．为______ 22．o o oosin58+cos60sin2cos2=____________.23．已知π1sin cos 63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．24．设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则sin 2θ=______．25．若函数2()4sin sin cos 2(0)42x f x x x πωωωω⎛⎫=⋅++>⎪⎝⎭在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是____________.26．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定，θ变化时，则12S S 的最小值是__________．27．已知函数()()()cos sin sin cos f x a x b x =-没有零点，则22a b +的取值范围是_______三、解答题 28．（1cos103sin10-；（2）求值tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 29．已知()222x x x f x sincos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ （1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 30．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()c o s αβ-的值.31．（1）求值: sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）已知10sin cos ,25x x x π-<<+=，，求sin cos x x -的值. 32．已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值 33．已知32ππα<<，32ππβ<<，sin α=，cos β=αβ-的值. 34．已知α，β为锐角，且17cos α=，()1114cos αβ+=-．求sinβ的值． 35．计算（1）已知2sin cos 0αα-=，求sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-的值； （2）求()214cos 102sin10︒+︒-︒的值. 36．已知2sin cos 3αα+=，且2παπ<<，求下列各式的值（1）sin cos αα-（2）cos()24sin()4πααπα+++37．已知sin(2)7αβ-=11cos(2)14αβ-=-， 042ππβα<<<<，(1)求tan(2)αβ-的值； (2)求cos()αβ+以及αβ+的值38．计算（1）23sin12(4cos 122)--； （240sin 50(13tan10).701cos 40+++39．已知函数2()2cos cos cos .22x xf x x x =+ (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.40．已知函数2()sinsin 1(02f x x x x πωωωω⎫⎛⎫=+⋅+-> ⎪⎪⎝⎭⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求ω的值；（2）当,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 41．如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．42．已知函数2()sin cos (0)f x x x x =>ωωωω的最小正周期为2π， （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()g x =f x +m 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上有两个零点，求实数m 的取值范围. 43．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若23EF =米，2AOB θ∠=，5412ππθ≤≤.（1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.参考答案1．C 【解析】 由tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得171tan tan αα-=-+，解得34tan α=-. 又α是第二象限角，可得34sin ,cos 55αα==-.则314sin 333525sin cos cos sin πππααα⎛⎫+=+=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选C. 2．D 【解析】分析：由二倍角公式得cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再由5cos ?cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合同角三角函数关系可得解.详解：由2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得28112sin 12699θπ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，即1cos 39πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由θ为锐角，且1cos 039πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以3πθ+因为锐角，所以sin 03πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭.5cos cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D.点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用． 3．B 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长,进而用三角函数表示边长求出三角函数值,再利用二倍角公式求解即可. 【详解】由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1.由图有15cos 5sin 1cos sin 5θθθθ-=⇒-=,故221cos sin 5cos sin 1θθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ ,因为较小的锐角为θ,故4cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了由图像求解三角函数值的问题,需要根据图像到三角函数的关系式再求解,属于中等题型. 4．C 【解析】 【分析】利用诱导公式，求得sin()6πα+的值，再利用倍角公式，即可求解.【详解】因为锐角α满足3cos()65πα+=，所以6πα+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得4sin()65πα+==， 则24sin(2)2sin()cos()36625πππααα+=++=，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】根据sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，将所求的cos α转化为cos 33ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式，得到答案.【详解】因为sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， 所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12⎛=- ⎝⎭36+=. 故选：B. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的余弦公式，属于简单题. 6．B 【解析】 【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩， 两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题. 7．A 【解析】 【分析】先计算出()cos αβ+，再利用余弦的和与差公式，即可. 【详解】因为,αβ都是锐角，且1cos 2α=<，所以,32ππα<<又()31sin 52αβ+=>，所以2παβπ<+<，所以()4cos 5αβ+==-sin α==，cos β=()()()cos cos cos sin sin αβααβααβα+-=+++ 25=，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。
三角恒等变换常考题(含答案)
三角恒等变换基础题型一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟4．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣ D．5．若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．6．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．若，则=（）A． B．C．D．8．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．9．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．10．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．12．已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣13．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．715．已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．16．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣17．若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5 D．﹣519．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A． B．C．D．21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣ C．D．23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．325．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣226．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1三角恒等变换基础题型组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）4．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D．5．（2017•焦作二模）若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：sinα=．∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．故选D6．（2017•衡水一模）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．7．（2017•商丘三模）若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．8．（2017•德州二模）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．【解答】解：由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β）=cos（β﹣α）=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin（α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos[（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×﹣（﹣）×=，所以β=．故选：C．9．（2017•青海模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴co sα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．10．（2017•大武口区校级四模）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．12．（2017•腾冲县校级二模）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故选：C．13．（2017•榆林一模）已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣ B．﹣7 C．D．7【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．15．（2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．16．（2017•山西一模）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．17．（2017春•陆川县校级月考）若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣ B．C．5 D．﹣5【解答】解：原式=．故选B．19．（2017春•福州期末）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°+sin43°cos（90°+77°）=cos43°cos77°﹣sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选D．21．（2017春•荔城区校级期中）已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina+cosa=，∴（sina+cosa）2=，∴1+2sinacosa=，∴sin2a=﹣．故选：A．23．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．24．（2016•肃南裕县校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．25．（2016•河南模拟）已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣2【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．26．（2016•全国二模）已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=sinα，∴tanα===﹣1．故选：A．29．（2017•玉林一模）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．30．（2017•成都模拟）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选：D．。
三角恒等变换综合测试题
三角恒等变换综合测试题（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12=（ ） A ．－32 B ．－12 C ．12D ．32 2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为（ ）A ．－32B ．－12C ．12D ．323．tan15°＋1tan 15°=（ ）A ．2B ．2＋ 3C ．4D ．4334．在△ABC 中，tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C =（ ） A ．45° B ．135° C ．150° D ．30°5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是（ ）A ．43B ．34C ．53D ．126．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝π D ．x ＝3π27．函数y ＝2sin x （sin x ＋cos x ）的最大值为（ ） A ．2＋1 B ．2－1 C ． 2 D ．2 8．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为（ ）A ． 2B ．－22C ．2D ．2或－229．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是（ ） A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．7910．已知sin （45°＋α）＝55，则sin2α=（ ）A ．－45B ．－35C ．35D ．4511．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位12．已知cos （α－β）＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α=（ ） A ．3365 B ．6365 C ．－3365 D ．－6365二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．方程sin x ＋3cos x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 14．3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．15．已知α是第三象限角且sin α＝－2425，则tan α2＝________．16．设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则α2tan ＝________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2．求：tan （α＋β）及α＋β的值．18．（12分）求值：1sin 10°－3sin 80°．19．（12分）在△ABC 中，sin （A －B ）＝15，sin C ＝35，求证：tan A ＝2tan B ．20．（12分）求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值与最小值． 21．（12分）已知函数f （x ）＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g （x ）＝12sin2x －14． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的最大值，并求使h （x ）取得最大值的x 的集合． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x ． （1）求f （x ）的周期和单调递增区间；（2）若关于x 的方程f （x ）－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．第三章 三角恒等变换综合测试题答案一、选择题1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．C 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．A 提示：1．⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32． 2．原式＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin30°＝12．3．原式＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝1sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝4．4．由题意得tan A ＋tan B ＝－1＋tan A tan B ，所以tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，所以A ＋B ＝135°，C ＝45°．5．因为0<θ<π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，34π，所以22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，1<sin θ＋cos θ≤2． 6．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π6－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ． 7．y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，所以y max ＝2＋1． 8．因为π<2θ<2π，所以π2<θ<π，则tan θ<0，tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2（舍去），所以tan θ＝－22．9．cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝79． 10．sin （α＋45°）＝22（sin α＋cos α）·＝55，所以sin α＋cos α＝105，两端平方得1＋sin2α＝25，所以sin2α＝－35． 11．由于y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4，那么函数y ＝sin x －cos x的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象向右平移π2个单位得到的．12．由于α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，因此α－β∈（0，π），又由于cos （α－β）＝35>0，因此α－β∈（0，π2），sin （α－β）＝45且cos β＝1213，sin α＝sin （α－β＋β）＝sin （α－β）cos β＋cos （α－β）sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365． 二、填空题13．[－2，2] 14．1 15．－43 16．－43提示：13．因为a ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以－2≤a ≤2． 14．因为3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan45°＝1，所以3tan 15°＋13－tan 15°＝1．15．因为α是第三象限角，sin α＝－2425，所以cos α＝－725，所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43．16．()513sin sin 2cos cos 2sin sin 2sin sin 3sin =+=+=αααααααααα， 所以2α2cos ＋α2cos ＝513，即2α2cos －1＋α2cos ＝58， 所以α2cos ＝54.因为2πk －2π<α<2πk ，k ∈Z ，所以4πk －π<2α<4πk ，又因为α2cos ＝54>0，所以2α为第四象限的角．所以αα2cos 12sin 2--=＝－53，所以α2tan ＝－43.三、解答题17．解：因为tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，所以tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，所以tan （α＋β）＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1，因为0<α<π2，π<β<3π2，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝5π4．18．解：原式＝1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°12sin 20°＝20sin )10sin 30cos 10cos 30(sin 4-＝4sin 30°－10°sin 20°＝4sin 20°sin 20°＝4．19．解：因为A ＋B ＋C ＝π，所以C ＝π－（A ＋B ），所以sin C ＝sin （A ＋B ）＝35，所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，①又sin （A －B ）＝sin A cos B －cos A sin B ＝15，②由①②联立得⎩⎨⎧sin A cos B ＝25③cos A sin B ＝15④③÷④得sin A cos Bcos A sin B＝2，所以tan A ＝2tan B ．20．解：y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin2x ＋4cos 2x （1－cos 2x ） ＝7－2sin2x ＋4cos 2x sin 2x ＝7－2sin2x ＋sin 22x ＝（1－sin2x ）2＋6， 当sin2x ＝1时，y min ＝6；当sin2x ＝－1时，y max ＝10．21．解：（1）因为f （x ）＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos2x －14， 所以f （x ）的最小正周期为2π2＝π；（2）h （x ）＝f （x ）－g （x ）＝12cos2x －12sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π（k ∈Z ）时，h （x ）取得最大值22，此时，对应的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝kx －π8，k ∈Z ． 22．解：（1）f （x ）＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x ＝1＋sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）； （2）x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f （x ）的值域为[2，3]，而f （x ）＝m ＋2，所以m ＋2∈[2，3]，即m ∈[0，1]．。
三角恒等变换测试题
三角恒等变换测试题一、选择题1. 下列哪个表达式是正确的三角恒等式？A. sin²x + cos²x = 1B. tan²x + sin²x = sec²xC. 1 + tan²x = sec²xD. sinx/cosx = tanx2. 已知 sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB，那么 sin(A -B) 等于什么？A. sinA * cosB - cosA * sinBB. sinA * sinB + cosA * cosBC. cosA * sinB - sinA * cosBD. cosA * cosB - sinA * sinB3. 根据三角恒等式，下列哪个表达式是错误的？A. cot²x - 1 = csc²x - 1B. 1 + cot²x = csc²xC. 1 + tan²x = sec²xD. 1 - cos²x = sin²x二、填空题4. 利用三角恒等式，将下列表达式化简：\[ \frac{1 - cos(2x)}{1 + cos(2x)} \] 化简后的结果为 ________。
5. 已知 \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \)，且 \( \theta \) 在第一象限，求 \( \cos(\theta) \) 的值。
根据恒等式\( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \)，\( \cos(\theta) \)的值为 ________。
三、计算题6. 计算下列表达式的值：\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \] 已知 \( \sin(\alpha) = 0.6 \) 和 \( \cos(\alpha) = 0.8 \)，求 \( \tan(\alpha) \) 的值。
三角恒等变换测试题
三角恒等变换测试题1、下列哪个选项是正确的？A. sin(2π - α) = sinαB. cos(π - α) = - cosαC. tan(3π - α) = - tanαD. tan(4π - α) = - tanα答案：C. tan(3π - α) = - tanα2、下列哪个选项是正确的？A. sin(-π - α) = - sinαB. cos(-π - α) = - cosαC. tan(-π - α) = - tanαD. tan(-π - α) = tanα答案：A. sin(-π - α) = - sinα3、下列哪个选项是正确的？A. sin(π/2 + α) = cosαB. cos(π/2 + α) = sinαC. tan(π/2 + α) = secαD. tan(π/2 + α) = cscα答案：A. sin(π/2 + α) = cosα4、下列哪个选项是正确的？A. sin(3π/2 - α) = cosαB. cos(3π/2 - α) = sinαC. tan(3π/2 - α) = secαD. tan(3π/2 - α) = cscα答案：A. sin(3π/2 - α) = cosα二、填空题1、请填写下列空白：sin(π - α) = ______；cos(π - α) = ______；tan(π - α) =______。
答案：sinα；-cosα；-tanα2、请填写下列空白：sin(2π - α) = ______；cos(2π - α) = ______；tan(2π - α) = ______。
答案：sinα；cosα；-tanα一、选择题1、下列哪个选项正确描述了正弦函数的角度和其相对应的数值？A.当角度增加时，正弦函数的值也增加B.当角度增加时，正弦函数的值减少C.当角度减少时，正弦函数的值增加D.当角度减少时，正弦函数的值减少答案：D.当角度减少时，正弦函数的值减少。
三角恒等变换(含答案)
三角恒等变换
一、单选题(共10道，每道10分)
1.的值为( )
A. B.1
C.-1
D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：两角和与差的正切公式
2.的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦
3.已知，是第三象限角，则的值是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：两角和与差的余弦公式
4.已知，，则的值是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：两角和与差的正弦公式
5.已知，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：两角和与差的正切公式
6.已知，，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正弦
7.已知，，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正切
8.若，则=( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦
9.已知，则的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正弦
10.设，则函数的最值是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。
高三数学三角恒等变换试题
高三数学三角恒等变换试题1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知，则的值为( )A．18B．C．16D．【答案】D【解析】，选D【考点】三角函数恒等变形3.在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是()A．－B．C．D．－【答案】B【解析】由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，则C＝，cosC＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.已知函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝，且x∈(－，)，求f(x＋1)的值．【答案】（1）函数f(x)的值域为[－2，2]．（2）【解析】解：(1)由已知可得f(x)＝6cos2＋sinωx－3＝3cosωx＋sinωx＝2sin(ωx＋)，又正三角形ABC的高为2，则|BC|＝4，所以函数f(x)的最小正周期T＝4×2＝8，即＝8，得ω＝，函数f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x)＝，由(1)得f(x)＝2sin(＋)＝，即sin(＋)＝，由x∈(－，)，得＋∈(－，)，即cos(＋)＝＝，故f(x＋1)＝2sin(＋＋)＝2sin[(＋)＋]＝2 [sin(＋)cos＋cos(＋)sin]＝2×(×＋×)＝．6.（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．【答案】﹣【解析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．7.（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【答案】C【解析】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C8. cos-sin的值为()A．B．-C．0D．【答案】A【解析】原式=cos+sin=cos+sin=+=.9.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.10.若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于（）A．﹣3B．C．3D．【答案】D【解析】∵tanα=3，∴故选D11.已知，α∈（0，π），则sin2α=（）A．﹣1B．C．D．1【答案】A【解析】∵，两边同时平方可得，（sinα﹣cosα）2=2∴1﹣2sinαcosα=2∴sin2α=﹣1故选A12.已知，,则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，即.又，所以，即.又，故应选A.13.函数的最小值和最大值分别为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】,因为，所以当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，选C. 14.已知函数，则是( )A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】D【解析】,所以函数为偶函数，周期，选D.15.已知为的内角的对边，满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，证明为等边三角形．【答案】（1）根据正弦定理和两角和差关系的运用来得到证明。
三角恒等变换
三角恒等变换检测试题第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．322．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4 B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π23．已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于( )A ．－45B ．－35C ．35D ．454．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C ．⎣⎡⎦⎤5π12，13π12 D ．⎣⎡⎦⎤π3，5π6 5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )A ．43B ．34C ．53D ．12 6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )A ．－12B ．12C ．－32D ．327．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A ． 2B ．－22C ．2D ．2或－228．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位9．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c10．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A ．1tan 2αB ．tan 2αC ．1tan αD ．tan α11．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴，终边经过点P (－3，－4)．角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan β＝－2，则cos ∠POQ 的值为( )A ．－55B ．－11525C ．11525D ．5512．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动．且满足OQ→＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( )A ．2，πB ．2，4πC ．12，4πD ．12，π第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．14．已知sin α＝cos 2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________. 15．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题满分10分)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2. 求：tan(α＋β)及α＋β的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．22．(本小题满分12分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值；(2)求β的值．三角恒等变换答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．D [(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.]2．C [y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ 2x＋π3 － x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1.] 3．B [sin (α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55，∴sin α＋cos α＝105.两边平方，∴1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－35.]4．B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x ＝－12sin 2x －32cos 2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3当x ＝π12时，y min ＝－1；当x ＝712π时，y max ＝1， 且T ＝π.故B 项合适．]5．A [∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以22<sin⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，1<sin θ＋cos θ≤ 2.]6．B [sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin (90°＋73°)sin (270°－47°)＋sin (180°＋73°)sin (360°－47°)＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)＝－cos (73°＋47°)＝－cos 120°＝12.]7．B [∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，则tan θ<0，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2(舍去)，∴tan θ＝－22.]8．C [y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ∴y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4.]9．A [a ＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°.∵y ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2为递增函数，∴c<a<b.] 10．B [原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α sin 2α＋cos 2α2cos 2α cos 2α＋sin 2α＝tan 2α.]11．A[tan β＝tan (π－θ1)＝－tan θ1＝－2，∴tan θ1＝2，tan θ2＝43.∴tan ∠POQ ＝tan θ1＋tan θ21－tan θ1tan θ2＝－2，∴π2<∠POQ<π.∴cos ∠POQ ＝－55.]12．C [OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2，12)⊗(x ，y )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12y )，则x Q ＝2x ＋π3，y Q ＝12y ，所以x ＝12x Q －π6，y ＝2y Q ，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)．所以最大值A ＝12，最小正周期T ＝4π.] 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．1解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1，∴3tan 15°＋13－tan 15°＝1.14．－33解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin 2α∴2sin 2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝12或－1. ∵π2<α<π，∴sin α＝12，∴α＝56π，∴tan α＝－33.15.解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x －π4)＋1，∴y max ＝2＋1. 16．1解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β)∵α、β均为锐角， ∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．解 ∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. ∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4.18．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x )＝2(sin 2x cos π3＋cos2x sin π3)＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2.当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2.(3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．19．解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0.由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.解之，得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)．∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π.由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2， 解得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]． 21．解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)．因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 2 2x 0＋π6 ＝－45.所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.22．解 (1)tan α＝2tan α21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45. (2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210. 所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以β＝3π4.。
高三数学三角恒等变换试题答案及解析
高三数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．3.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C 的大小．【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴A＝．又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinB＝＝×＝．∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。
高三数学三角恒等变换试题
高三数学三角恒等变换试题1.若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝() A．B．－C．D．－【答案】C【解析】cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)，而＋α∈(，)，－∈(，)，因此sin(＋α)＝，sin(－)＝，则cos(α＋)＝×＋×＝．2.已知点P(sinπ，cosπ)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan(θ＋)的值为________．【答案】2－【解析】由题意知点P(sinπ，cosπ)在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tanθ＝－1，所以tan(θ＋)＝＝＝2－．3.设α∈(0，)，β∈(，)，且5sinα＋5cosα＝8，sinβ＋cosβ＝2，则cos(α＋β)的值为________．【答案】－【解析】由5sinα＋5cosα＝8得，sin(α＋)＝，∵α∈(0，)，∴cos(α＋)＝．又β∈(，)，由已知得sin(β＋)＝，∴cos(β＋)＝－．∴cos(α＋β)＝sin[＋(α＋β)]＝sin[(α＋)＋(β＋)]＝sin(α＋)cos(β＋)＋cos(α＋)sin(β＋)＝－．4.若cosθ＋sinθ＝－，则cos(－2θ)的值为()A．B．－C．D．－【答案】D【解析】依题意得(cosθ＋sinθ)2＝，1＋sin2θ＝，sin2θ＝－，cos(－2θ)＝sin2θ＝－，选D．5.已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R，则函数f(x)在区间[，]上的最大值和最小值分别为________．【答案】－1【解析】f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，由≤x≤，得0≤2x－≤，即－≤sin(2x－)≤1，－1≤f(x)≤，故f(x)的最大值为，最小值为－1．6.已知函数f(x)＝2sin2(＋x)－cos2x－1，x∈[，]，则f(x)的最小值为________．【答案】1【解析】f(x)＝2sin2(＋x)－cos2x－1＝1－cos2(＋x)－cos2x－1＝－cos(＋2x)－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，因为≤x≤，所以≤2x－≤，所以sin≤sin(2x －)≤sin，即≤sin(2x－)≤1，所以1≤2sin(2x－)≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值为1．7.已知，那么．【答案】【解析】.【考点】齐次式、倍角公式.8. (2014·随州模拟)若z=sinθ-+i是纯虚数,则tan=()A．-B．-7C．-D．-1【答案】B【解析】依题意sinθ=,cosθ=-,所以tanθ==-,所以tan===-7.9.若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于（）A．﹣3B．C．3D．【答案】D【解析】∵tanα=3，∴故选D10.已知，则= ()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，选C.11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，bsin＝a+csin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。
三角恒等变形测试题及答案解析
第三章 恒等变换一、选择题(此题共12小题,每题5分,总分值60分) 1.277sin 16812π-的值为〔 〕 2.假设sin()cos cos()sin m αβααβα---=，且β为第三象限角，则cos β的值为〔 〕 3．在△ABC 中，2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形4．2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A ．12B ．32 C ．3 D ． 25．*∈(－π2,0)，cos*＝45，则tan2*等于 ( )A ．724B ．－724C ．247D ．－2476.假设ABC ∆的角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ( )B． C ．53 D ．53-7．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的取值围是 ()A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]8．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sinC ，则以下四个命题中正确的选项是 ()(1)tanA ·cotB ＝1．(2)1＜sinA ＋sinB ≤2．(3)sin 2A ＋cos 2B ＝1．(4)cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 9．α∈(0,π)，且sin α＋cos α＝15，则tan α的值为 ()A ．－43B ．－43 或－34C ．－34D ．43 或－3410．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为( )A.21+B.12-C.2D.211.将函数212sin 22y x x =+-的图象进展以下哪一种变换就变为一个奇函数的图象 ( 〔 〕 A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6π个单位cos 23x x a +=-中，a 的取值围是〔 〕二．填空题(此题共5小题,每题6分,总分值30分)把答案填在第二卷的横线上13.sin cos ,x x m -=求sin cos x x ────── 14．函数x x x f 32sin)232sin()(++=π的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 15.假设*＝π3是方程2cos(*＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝．16.给出下面的3个命题：〔1〕函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；〔2〕函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；〔3〕45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是．17．在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝22，AC ＝2，AB ＝3，则tanA=，△ABC 的面积为第二卷二、填空题(本大题共6小题,每题5分,共30分.把答案填在题中横线上)11.________________________ 12._______________________ 13._________________________ 14.______________________ 15._________________________ 16._______________________三．解答题此题共小题〔,每题12分,总分值60分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.12cos ,13α=求sin α和tan α 19．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos 〔α＋β〕．20．6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈[π2,π]，求sin(2α＋π3)的值．21．在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使得AB ＋BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值．22.函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+- (1)求()3f π值的；(2)求()f x 的最大值和最小值。
第三章三角恒等变换(含解析)
第三章 三角恒等变换试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1=（）A ．1B ．2 CD． 2.cos 27°cos 57°-sin 27°cos 147°等于( ) A 、 B 、- C、 D 、-3.已知函数f(x)=(sin x-cos x)sin x,x ∈R,则f(x)的最小正周期是( ) A 、π B 、2π C 、 D 、2 4．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．3-B ．2-C ．1- D．5．函数2sin cos y x x x =+-的图象的一个对称中心是（ ）A.2(,3πB.5(,6πC.2(3π-D.(,3π 6. △ABC 中，090C ∠=，则函数2sin 2sin y A B =+的值的情况（ ）A ．有最大值，无最小值B ．无最大值，有最小值C ．有最大值且有最小值D ．无最大值且无最小值 7.设sin θ=,cos θ=-,则2θ的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8.若(4tan α+1)(1-4tan β)=17,则tan(α-β)的值为( ) A.B. C.4 D.12 9.在△ABC 中,已知tan=sin C,则△ABC 的形状为( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 10.若点P(cos α,sin α)在直线y=-2x 上,则sin 2α+cos (2α+)等于( ) A.0B.C.D.11. 已知sin α=,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为( )A.B. C. D.12.已知不等式3sincos +cos 2--m≤0对于任意的x ∈恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.[,+∞) B.(-∞,) C.(-∞,-] D.[-,]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知tan(x+)=-2,则sin 2x+2cos 2x= . 14. 函数xx y sin 12tan -=的最小正周期是___________________。
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4.3三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题例如考向关联考点两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,会用二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2021浙江,18,14分两角差的余弦公式任意角的三角函数的定义、诱导公式★★☆2021浙江,16,14分二倍角公式解三角形2021浙江,16,14分二倍角公式正弦定理简单的三角恒等变换能利用两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角恒等变换.2021浙江,18,14分二倍角公式三角函数的性质★★★2021浙江,10,6分三角恒等变换分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2021浙江,10).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2021年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点一两角和与差的三角函数1.(2021浙江台州中学一模,2)计算:sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是()A.-12B.12C.-√32D.√32答案D2.(2021浙江杭州二中期中,15)假设α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),那么tanα=.答案 √3考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅱ理,10,5分)α∈(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,那么sin α=( )A.15B.√55C.√33D.2√55答案 B2.(2021浙江镇海中学期中,7)sin (π6-α)=-√23,那么cos 2α+√3sin 2α=( )A.109B.-109C.-59D.59答案 A3.(2021届山东夏季高考模拟,14)cos (α+π6)-sin α=4√35,那么sin (α+11π6)= .答案 -454.(2021届浙江镇海中学期中,18)f(x)=sin x 2·(cos x 2+sin x 2)+a 的最大值为√22.(1)求实数a 的值;(2)假设f (α+π4)+f (α-π4)=√23,求√2sin (2α-π4)+11+tanα的值. 解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的求值;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f(x)=sin x 2cos x 2+sin 2x 2+a=12(2sin x 2cos x 2)+12(1-cos x)+a=12sin x-12cos x+a+12=√22sin (x -π4)+a+12,当x=2kπ+3π4(k ∈Z)时,sin (x -π4)=1, f(x)取得最大值为√22+a+12,结合条件,可知a=-12.(2)√2sin (2α-π4)+11+tanα=sin2α-cos2α+11+sinαcosα=2sinαcosα+sin 2α-cos 2α+sin 2α+cos 2αcosα+sinαcosα=2sin αcos α①,由(1)知f(x)=√22sin (x -π4),那么f (α+π4)=√22sin α, f (α-π4)=-√22cos α,结合条件,可知sin α-cos α=23, 又因为sin 2α+cos 2α=1,所以2sin αcos α=59②,由①②得√2sin (2α-π4)+11+tanα=59.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 三角函数式的化简方法1.tan α=2 018tan π2 018,那么sin (α+2 017π2 018)sin (α+π2 018)=( )A.-1B.1C.-2 0172 019D.2 0172 019答案 C2.化简(sin θ2-cos θ2)√2+2cosθ(0<θ<π)= .答案 -cos θ3.(2021届浙江绍兴一中期中,18)函数f(x)=cos x(msin x+cos x),且满足f (π4)=1.(1)求m 的值;(2)假设x ∈[0,π4],求f(x)的最大值和最小值,并求出相应的x 的值.解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的化简、三角函数最值的求法;考查数学运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f (π4)=cos π4(msin π4+cos π4)=√22(√22m +√22)=1⇒m=1.(2)f(x)=cos x(sin x+cos x)=12sin 2x+12cos 2x+12=√22sin (2x +π4)+12,因为x ∈[0,π4],所以2x+π4∈[π4,3π4],因此当2x+π4=π4或2x+π4=3π4时, f(x)min =1,此时x=0或x=π4.当2x+π4=π2时, f(x)max =√2+12,此时x=π8.方法2 三角函数式的求值方法1.(2021浙江台州中学一模,15)α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55,那么cos 2α= ,tan(α-β)= .答案 -725;-2112.(2021安徽江南十校联考改编,14)sinα·cosα1+3cos 2α=14,且tan(α+β)=13,其中β∈(0,π),那么β的值为 .答案3π43.(2021届浙江慈溪期中,16)α∈(0,π2)且tan 2α=43,那么tan (α+π4)tan (α-π4)的值等于 .答案 -9方法3 利用辅助角公式解决问题的方法1.(2021浙江诸暨期末,18)函数f(x)=-2√3sin 2x+2sin xcos x. (1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域;(2)设α∈(0,π),f (α2)=12-√3,求cos α的值.解析 (1)f(x)=-2√3·1−cos2x2+sin 2x =sin 2x+√3cos 2x-√3 =2sin (2x +π3)-√3,∵x ∈[0,π2],∴2x+π3∈[π3,4π3], ∴sin (2x +π3)∈[-√32,1],∴f(x)∈[-2√3,2-√3].(2)∵f(α2)=2sin(α+π3)-√3=12-√3,∴sin(α+π3)=14.又∵α∈(0,π),∴α+π3∈(π3,4π3),∴α+π3必在第二象限,∴cos(α+π3)=-√154,∴cosα=cos[(α+π3)-π3]=cos(α+π3)cosπ3+sin(α+π3)sinπ3=-√154×12+14×√32=√3-√158.2.(2021浙江“七彩阳光〞联盟期初联考,18)f(x)=2√3cos2x+sin2x-√3+1(x∈R).(1)求f(x)的单调增区间;(2)当x∈[-π4,π4]时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin2x+√3(2cos2x-1)+1=sin2x+√3cos2x+1=2sin(2x+π3)+1.(1)令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,即2kπ-5π6≤2x≤2kπ+π6,k∈Z,∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-5π12,kπ+π12](k∈Z).(2)∵x∈[-π4,π4],∴2x+π3∈[-π6,5π6],∴sin(2x+π3)∈[-12,1],∴f(x)∈[0,3].3.(2021届浙江湖州、衢州、丽水三地联考,18)平面向量a=(√32sinx,cosx),b=(cos x,0),函数f(x)=|2a+b|(x∈R).(1)求函数f(x)图象的对称轴;(2)当x∈(0,π2)时,求f(x)的值域.解析此题考查平面向量的模的求法、三角恒等变换、辅助角公式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)2a+b=(√3sin x+cos x,2cos x),f(x)=|2a+b|=√(√3sinx+cosx)2+(2cosx)2=√2sin(2x+π6)+4(x∈R).由2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+π6,k∈Z.(2)因为x∈(0,π2),所以2x+π6∈(π6,7π6),所以sin(2x+π6)∈(-12,1],可得f(x)∈(√3,√6],即f(x)的值域为(√3,√6].【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组(2021浙江,10,6分)2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),那么A=,b=.答案√2;1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一两角和与差的三角函数1.(2021课标全国Ⅲ理,4,5分)假设sinα=13,那么cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B2.(2021课标全国Ⅱ,9,5分)假设cos(π4-α)=35,那么sin2α=()A.725 B.15 C.-15 D.-725答案 D 3.(2021江苏,13,5分)tanαtan (α+π4)=-23,那么sin (2α+π4)的值是 .答案√2104.(2021课标全国Ⅰ文,15,5分)α∈(0,π2),tan α=2,那么cos (α-π4)= .答案3√1010考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅲ文,4,5分)sin α-cos α=43,那么sin 2α=( )A.-79B.-29C.29D.79答案 A2.(2021四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8= .答案√22C 组 教师专用题组考点一 两角和与差的三角函数1.(2021课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-√32B.√32C.-12 D.12答案 D2.(2021重庆,9,5分)假设tanα=2tanπ5,那么cos(α-3π10)sin(α-π5)=()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2021江苏,5,5分)假设tan(α-π4)=16,那么tanα=.答案754.(2021江苏,8,5分)tanα=-2,tan(α+β)=17,那么tanβ的值为. 答案3考点二简单的三角恒等变换1.(2021山东文,4,5分)cos x=34,那么cos2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D2.(2021四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案√623.(2021江苏,16,14分)向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)假设a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,所以-√3cos x=3sin x.假设cos x=0,那么sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π6).因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cos(x+π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-2√3.【三年模拟】一、选择题(每题4分,共12分)1.(2021届浙江杭州二中开学考,3)cos(π6-α)=23,那么cos(5π3+2α)的值为()A.59B.19C.-19D.-59答案C2.(2021浙江绍兴一中新高考调研卷五,5)△ABC,有关系式tan C(sin2B-sin A)=cos2B+cos A成立,那么△ABC为()A.等腰三角形B.∠A=60°的三角形C.等腰三角形或∠A=60°的三角形D.等腰直角三角形答案C3.(2021届浙江五校十月联考,9)在△ABC中,sinAsinB +cos C=0,tan A=√24,那么tan B=()A.√2B.2√2C.√23D.√22答案D二、填空题(每空3分,共12分)4.(2021届浙江名校协作体开学联考,12)设函数f(x)=cos2x-sin x,那么f(5π6)=,假设f(x)≥0,那么实数x的取值范围是.答案0;[2kπ-7π6,2kπ+π6](k∈Z)5.(2021届浙江之江教育联盟联考,14)函数f(x)=sin2x-sin2(x-π6),x∈R,那么f(x)的最小正周期为,单调递增区间为.答案π;[-π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)三、解答题(共90分)6.(2021届浙江金丽衢十二校联考,18)设函数f(x)=sin x+cos x,x∈R.(1)求f(x)·f(π-x)的最小正周期;(2)求函数g(x)=sin3x+cos3x的最大值.解析此题考查三角恒等变换以及三角函数的性质;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)f(x)·f(π-x)=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=-cos2x.所以最小正周期T=2π2=π.(2)g(x)=sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(1-sin xcos x),令sin x+cos x=t,那么t∈[-√2,√2],所以sin x·cos x=t2-12,所以g(t)=t(1−t2-12)=t·3−t22=3t-t32,g'(t)=3−3t22,即g(t)在[-√2,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,√2]上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1.7.(2021浙江三校联考,18)函数f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx-3(ω>0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.(1)求ω的值及f(x)的单调增区间;(2)假设f(x0)=6√35,且x0∈(23,143),求f(x0+1)的值.解析(1)f(x)=3cosωx+√3sinωx=2√3sin(ωx+π3).由题意得T=8,所以ω=2π8=π4 ,所以f(x)=2√3sin(πx4+π3).令-π2+2kπ≤πx4+π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得-103+8k≤x≤23+8k,k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[-103+8k,23+8k],k∈Z.(2)由(1)知f(x0)=2√3sin(πx04+π3)=6√35,即sin(πx04+π3)=35,因为x0∈(23,14 3),所以πx04+π3∈(π2,3π2),所以cos(πx04+π3)=-45.所以f(x0+1)=2√3sin(πx04+π4+π3)=2√3[sin(πx04+π3)cosπ4+cos(πx04+π3)sinπ4]=2√3×(35×√22-45×√22)=-√65.8.(2021浙江杭州高级中学期中,18)函数f(x)=cos2x+√3cos xcos(x+π2).(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;(2)假设f(x0)=-110,x0∈(π12,π3),求cos2x0的值.解析(1)f(x)=-sin(2x-π6)+12.易知当sin(2x-π6)=-1时,f(x)取得最大值,此时2x-π6=-π2+2kπ,k∈Z,故x=-π6+kπ,k∈Z,所以当x=-π6+kπ,k∈Z时,f(x)max=32.(2)因为f(x0)=-sin(2x0-π6)+12=-110,所以sin(2x0-π6)=35.因为x0∈(π12,π3 ),所以2x0-π6∈(0,π2),故cos(2x0-π6)=45.所以cos2x0=cos[(2x0-π6)+π6]=cos(2x0-π6)cosπ6-sin(2x0-π6)sinπ6=4√3-310.9.(2021浙江高考数学仿真卷(二),18)函数f(x)=-√3sin2x-2cos2x+1.(1)求函数f(x)的振幅和单调递增区间;(2)在△ABC中,C为锐角,满足sin2C+2sin2A=1,假设f(C)=12,求cos2A的值.解析(1)f(x)=-√3sin2x-cos2x=-2sin(2x+π6),∴f(x)的振幅为2.令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),那么π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).(2)∵sin 2C+2sin 2A=1,∴sin 2C=1-2sin 2A=cos 2A=sin (π2+2A),∴2C=π2+2A 或2C+2A+π2=π,所以C-A=π4或C+A=π4.∵C 为锐角,∴2C+π6∈(π6,7π6),∵f(C)=12, ∴-2sin (2C +π6)=12,∴sin (2C +π6)=-14,∴2C+π6∈(π,7π6), ∴C ∈(5π12,π2), ∴C-A=π4,此时cos (2C +π6)=-√154,∴cos 2A=cos [2(C -π4)]=cos (2C -π2)=sin 2C=sin [(2C +π6)-π6]=sin (2C +π6)cos π6-cos (2C +π6)sin π6=-14×√32-(-√154)×12=√15-√38.10.(2021浙江高考信息优化卷(一),18)函数f(x)=2√3sin ωxsin (ωx +π2)-2sin 2ωx+1(ω>0),且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值以及f(x)在区间[0,π3]上的值域;(2)假设f(α)=2√55,且α∈[π6,π2],求cos 2α的值.解析 (1)f(x)=2√3sin ωxcos ωx+cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx=2sin (2ωx +π6),∵T=2π2ω=π,∴ω=1, ∴f(x)=2sin (2x +π6),∵x ∈[0,π3],∴2x+π6∈[π6,5π6],∴sin(2x+π6)∈[12,1],∴f(x)∈[1,2].(2)易知f(α)=2sin(2α+π6)=2√55⇒sin(2α+π6)=√55,∵α∈[π6,π2],∴2α+π6∈[π2,7π6],∴cos(2α+π6)=-2√55,∴cos2α=cos[(2α+π6)-π6]=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6=√5-2√1510.11.(2021届浙江Z20联盟开学联考,18)函数f(x)=cos2x+√3sin xcos x.(1)求f(π3)的值;(2)假设f(α2)=1310,α∈(0,π3),求cosα的值.解析此题考查简单的三角恒等变换;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)因为f(x)=cos2x+√3sin xcos x=1+cos2x2+√32sin2x=12+sin(2x+π6),所以f(π3)=12+sin(2π3+π6)=12+sin5π6=12+12=1.(2)由f(α2)=1310,α∈(0,π3),得sin(α+π6)=45,cos(α+π6)=35,所以cosα=cos(α+π6-π6)=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)·sinπ6=3√3+410.。