三角恒等变换高考及模拟题(附答案)
高中试卷-专题5.5 三角恒等变换(含答案)
专题5.5 三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.)4sin(2cos sin πααα±=±（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝(sin α2±cos α2)2,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50°°-°°等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-°【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900°°-°°=-°°-°°=-+=-=o o o 故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，且()1tan 3αb +=，则tan b 的值为（ ）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αb +=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αb αb αb ααb α-+-=+-===-éùëû+++´.故选：D3．已知,αb 均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，则()sin αb -=（ ）A ．35B ．45CD ．23【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααb b +=+=，则2153sin 44b =，又,αb均为锐角，所以sin b =cos b =所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αb αb αb -=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αb +=，()3sin 5αb -=，则tan tan αb 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αb αb αb αb αb αb ì+=+=ïïíï-=-=ïî，解得2sin cos 51cos sin 5αb αb ì=ïïíï=-ïî，所以tan sin cos 2tan cos sin ααbb αb==-.故选：B5．已知sin sin 13πq q æö++=ç÷èø，则tan 6πq æö+=ç÷èø（ ）ABC ．D ．【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B 卷）【答案】D【解析】sin sin(13πq q ++=，则1sin sin 12q q q +=，即312q =，1cos 2q q +=sin 6πq æö+ç÷èøcos 6πq æö+==ç÷èø所以tan 6πq æö+==ç÷èø故选：D6．下面公式正确的是（ ）A ．3sin cos 2πq q æö+=ç÷èøB ．2cos212cos q q =-C ．3cos sin 2πq q æö+=-ç÷èøD ．cos(sin 2πq q-=【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πq q æö+=-ç÷èø，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1q q =-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πq q æö+=ç÷èø，故C 错误；对D ，cos()sin 2πq q -=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αb +=，1tan(44πb -=，则tan()4πα+的值为（ ）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为2tan()5αb +=，1tan()44πb -=，所以()tan()tan 44ππααb b éùæö+=+--ç÷êúèøëû()()tan tan 41tan tan 4παb b παb b æö+--ç÷èø=æö++-ç÷èø213542122154-==+´.故选：B 8．设1cos102a =o o，22tan131tan 13b =+oo，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b c a<<【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =°=°+°=°=°o ，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b °°°===°°=°°+°+°，sin 25c ===o ，因为函数sin y x =在0,2πæöç÷èø上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<o o o ，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()6πα+=2cos(2)3πα-=（ ）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A ）【答案】B【解析】：因为sin()6πα+=，所以2cos 2cos 263παππαéùæöæö-=-ç÷ç÷êúèøë+øèû6cos 2πα÷+æö=-çèø212n 6si παéùæö=--ç÷êúøë+èû21123éùæêú=--=-ççêúèëû故选：B10．若11tan ,tan()72b αb =+=，则tan =α（ ）A ．115B ．112C ．16D ．13【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72b αb =+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αb b ααb b αb b -+-+-===éùëû+++´.故选：D.11．已知3cos 16πααæö--=ç÷èø，则sin 26παæö+=ç÷è（ ）A ．13-B ．13C ．D【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】B【解析】：因为3cos 16πααæö--=ç÷èø，即3cos cos sin sin 166ππαααæö-+=ç÷èø，即13sin 12αααö-+=÷÷ø3sin 12αα-=1cos 123παααöæö=+=÷ç÷÷èøø，所以cos 3παæö+=ç÷èø所以sin 2cos 2662πππααæöæö+=-++ç÷ç÷èøèø2cos 22cos 133ππααéùæöæö=-+=-+-ç÷ç÷êúèøèøëû21213éùêú=--=êúëû.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αb b æöÎ=-ç÷èø是第三象限角，则()cos αb -=（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2αæöÎç÷èø，可得3cos 5α===-由5cos ,13b b =-是第三象限角，可得12sin 13b ===-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αb αb αb æöæöæö-=+=-´-+´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø故选：A13．若sin 2α=()sin b α-=,4απéùÎπêúëû，3,2b ππéùÎêúëû，则αb +的值是（ ）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπéùéùÎ\ÎêúêúëûëûQ ，又∵sin 22,,,242πππααπαéùéù=\ÎÎêúêúëûëû，∴cos2α==又∵35,,,224πππb πb αéùéùÎ\-Îêúêúëûëû，∴()cos b α-==于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αb αb ααb ααb α+=+-=---éùëûææ==ççççèè5,24αb πéù+Îπêúëû，则74αb π+=.故选：B.14．)sin20tan50=oo （ ）A ．12B ．2C D ．1【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D 【解析】原式()()()2sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos 9050++===-oooooooo o 2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===o o o o o.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααb αb =+=<<<<，则角b 的值为（ ）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A 【解析】∵0,022ππαb <<<<，0αb π\<+<，由1cos 7α=，()sin αb +=sin α=，11cos()14αb +=±，若11cos()14αb +=，则sin sin[()]b αb α=+-sin()cos cos()sin αb ααb α=+-+1110714=-<，与sin 0b >矛盾，故舍去，若11cos()14αb +=-，则cos cos[()]b αb α=+-cos()cos sin()sin αb ααb α=+++111147=-´+12=，又(0,)2πb ÎQ ，3πb \=.故选：A.161712πα<<，且7cos 268παæö+=-ç÷ø，则αö=÷ø（ ）A ．B ．CD ．14-【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππααæöæö+=-+=-ç÷ç÷èøèø，得215sin 1216παæö+=ç÷èø．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 12παææö+Î-çç÷çèøè，所以sin 12παæö+=ç÷èø所以5cos cos sin 1221212ππππαααæöæöæöæö-=-+=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø故选：A17．已知sin cos αα-=π£，则sin 2æçè ）A C ．D 【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 4παααæö--=ç÷èø即sin 4παæö-=ç÷èø因为0απ££，所以3444πππα-£-£，所以044ππα<-£，即42ππα<£，所以22παπ<£，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππαααæö-=-ç÷èø314525æö=´--=ç÷èø；故选：D18．若10,0,cos ,cos 224342ππππb αb αæöæö<<-<<+=-=ç÷ç÷èøèøcos 2b αæö+=ç÷èø（ ）A B ．C D ．【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442b ππb ππb ππb ααααéùæöæöæöæöæöæöæö+=+--=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøèøëû，因为0,022ππαb <<-<<所以3,444πππαæö+Îç÷èø，,4242πb ππæö-Îç÷èø，因为1cos 43παæö+=ç÷èø，cos 42πb æö-=ç÷èø所以sin 4παæö+=ç÷èø，sin 42πb æö-=ç÷èø则1cos 23b αæö+==ç÷èøC19．已知πcos sin 6ααæö-+ç÷èø，则2πcos 3αæö+ç÷èø的值是（ ）A ．45-B ．45C ．D 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】由πcos sin 6ααæö-+=ç÷èøππ3πcos cossin sin sin sin 6623ααααααæö++=+=-=ç÷èø所以，π4cos 35αæö-=ç÷èø，所以，2πππ4cos cos πcos 3335αααæöæöæöæö+=--=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.故选：A.20．已知,2παπæöÎç÷ø，且25，则cos()α-=（ ）A B C D 【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为,2παπæöÎç÷èø，所以35,444πππαæö+Îç÷èø．又2sin 45παæö+=ç÷èø，所以cos 4παæö+==ç÷èøcos()cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααααéùæöæöæö-==+-=+++=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππæö--ç÷èø上单调递增【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 22)2sin(223f x x x x x x π==+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；()2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,)26x ππÎ--时，22(,0)33x ππ+Î-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22 ）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+°-°C ．cos 75°°D ．cos15°°【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°=-°-°°C ：cos 75sin1530°°=°°=°=，符合；D ：cos152sin(3015)2sin15°°=°-°=°¹.故选：ABC23．已知函数2()cos sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2πæöç÷èø上单调递增D ．若()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，则3m π³【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x x f x x x π-æö=-=-=+-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππæöç÷èø上不单调，故C 不正确；当2x m π-££时，++366x m πππ-££，因为()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，即11sin 622x πæö+-£ç÷èø，所以sin 16x πæö+£ç÷èø，所以+62m ππ³，解得3m π³，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x Î，时，()f x 的（ ）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06éùêúëû，【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πωæö=+ç÷èø，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x πæö=+ç÷èø，当π[02x Î，时，72,666x πππéù+Îêúëû，所以1sin 2126x πæö-£+£ç÷èø，所以12sin 226x πæö-£+£ç÷èø，所以 ()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x πæö=+=ç÷èø，72,666x πππéù+Îêúëû，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ£+£，得06x π££，所以()f x 的增区间为π06éùêëû，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（ ）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】ACD【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x æö=-==ç÷ç÷èøπ2cos 23x æö=+ç÷èø，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x éùæö=++=+=ç÷êúëûèø成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +£+£+Î，得：π5πππ,36k x k k +££+ÎZ ，即()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x éùæöæöæö=+=++=+=ç÷ç÷ç÷êèøèøèøëû，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36×-×o o o o (2)sin7cos37cos(7)sin(37)×+-×-o o o o (3)ππcos sin 1212×(4)22ππsincos 88-【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900×-×=+==o o o o o o o .(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37×+-×-=×-×o o o o o o o o1sin(737)sin(30)2=-=-=-o o o .(3)ππ1π1cossin sin 1212264×==.(4)22πππsin cos cos 884-=-=27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πb b <<=()sin αb +的值.【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A 组）【答案】(1)34-(2)【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α==±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sintan cos ααα==(2)π0,cos 2b b <<，故sinb =；()34sin =sin cos cos sin 55αb αb αb ++=28．已知角α为锐角，2πb απ<-<，且满足1tan23=α，()sin b α-(1)证明：04πα<<；(2)求b .【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题【答案】(1)证明见解析(2)3.4πb =【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα´===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2πæöç÷èø上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1αααααì==ïíï+=î，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πb απ<-<)=所以()cos b α-==()()()sin sinsin cos cos sin b αbααb ααbαéù=+-=-+-ëû3455æ=´+=çè又5224πππαb πα<+<<+<，所以3.4πb =29．已知α，b 为锐角，πsin 3αæö-=ç÷èø()11cos 14αb +=-．(1)求cos α的值；(2)求角b ．【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2αæöÎç÷èø，所以ππ336παæö-Îç÷ø-，，又πsin 3αæö-=ç÷èø所以π13cos 314αæö-===ç÷èø所以ππcos =cos +33ααéùæö-ç÷êúèøëûππππ1cos cos sin sin =33337ααæöæö=---ç÷ç÷èøèø(2)因为α，b 为锐角，所以0αb <+<π，则()sin 0αb +>，因为()11cos 14αb +=-，所以()sin αb +==又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin b αb ααb ααb α=+-=+-+éùû111714=+=因为b 为锐角，所以π3b =．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αb ，都是锐角，()3cos 5αb +=，求sin b 的值.【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a ααααααæö-=-+=-=ç÷èø，1sin 2a =.(2)因为αb ，都是锐角,所以0αb <+<π，()4sin 5αb +==，1sin cos 2a a =Þ=，()()()43sin cos c s 1si o 55n sin sin 2αb ααb ααb b α=+=+-=+-=´éùëû31．已知tan ,tan αb 是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αb +(2)()()sin cos αb αb +-；(3)()cos 22αb +.【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αb αb +=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αb αb αb -++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αb αb αb αb αb αb αb αb -+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αb αb αb αb αb αb αb -+-+-++====++++++。
高考数学专题复习四-4.2三角恒等变换-高考真题练习(附答案)
4.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79 B.-29C.29D.79答案A ∵(sinα-cosα)2=169,∴sin2α=-79.解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行转换.2.(2017山东文,4,5分)已知cosx=34,则cos2x=()A.-14 B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cosx=34,所以cos2x=2cos 2-1=18.3.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45 B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得因而cos2θ=1-2sin 2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.4.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()C.-12D.12答案D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.5.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tan π5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvos π5+cosLin π5sinvos π5-cosLin π5=tanrtan π5tanttan π5,∵tanα=2tanπ5,∴=3tanπ5tanπ5=3.故选C.6.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rp·tan=12-131+12×13=17,故选A.7.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.8.(2016课标Ⅱ,9,5分)若-α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D解法一:因为-α=35,所以-2α=cos2-α=2cos-α-1=-725.故选D.解法二-α(cosα+sinα)=35⇒1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D. 9.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=()A.12答案D解析解法一:cos2π5π12=π=cos2π12−sin2π12=cosπ6=解法二:cos2π12−cos25π12cos2−cos2=cosπ4π6π4π4π6sinπ4×10.(2021全国甲理,9,5分)若α∈tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A 解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan 2α=cos 2−sin ,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin ,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos (2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cos αtan αA .疑难突破将tan 2α转化为sin2cos2是本题的突破口.11.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sino1+sin2psinrcos=()A.-65B.−25C.25D.65答案Csino1+sin2psinrcos=sinosin 2rcos 2r2sinbcospsinrcos=sinosinrcosp 2sinrcos=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θ·cosθ=sin 2rsinbcos sin 2rcos 2=tan 2rtan tan 2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C .12.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin (α+β)+cos (α+β)=22cos β,则()A.tan (α-β)=1B.tan (α+β)=1C.tan (α-β)=-1D.tan (α+β)=-1答案C 因为sin (α+β)+cos (α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,22cos β=(2cosα-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin (α-β)+cos (α-β)=0,又知cos (α-β)≠0,所以tan (α-β)=-1,故选C .13.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=,cos 2β=.答案45解析设a =sin α,b =sin β=cos α,则3−=10,21,解得a b∴sin α=a cos 2β=1-2sin 2β=1-2b 2=45.14.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sinx=-23,则cos2x=.答案19解析∵sinx=-23,∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=19.15.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan t=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan t=tanttan5π41+tanMan5π4=tant11+tan=15,解得tanα=32.16.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈则cos t=.答案解析因为α∈且tanα=sin cos=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以则cos t=cosαcosπ4+sinαsinπ4=易错警示在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=sin cos,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.17.(2017江苏,5,5分)若tan t=16,则tanα=.答案75解析本题考查两角和的正切公式.因为tan=16,所以tanα=tan=16+11−16×1=75.18.(2016浙江,理10,文10,5分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2+1,∴A=2,b=1.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键. 19.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=35,则tan t=.答案-43解析解法一:∵sin×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-由①②得,∴tanθ=-17,∴tan=tant11+tan=-43.解法二:∵-θ=π2,∴sin=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos=45,∴sin-θ=45,-θ=43,∴tan=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.20.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=21.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rptan=17-(-2)1+17×(−2)=3.22.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°=23.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案1解析f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.24.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.答案1解析f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ)≤1,所以f(x)max=1.25.(2015广东文,16,12分)已知tanα=2.(1)求tan;(2)求sin2sin2α+sinvostcos2t1的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan=tanrtanπ41−tan·tanπ4=2+11−2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2sin2α+sinvostcos2t1=2sinvossin2α+sinvost(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinvostan2α+tant2=2×222+2−2=1.sin2α+sinvost2cos2α=2tan26.(2014江苏,15,14分)已知,π(1)求α的值;(2)求-2α.解析(1)因为2,π所以cosα=-1−sin2α=-故α=sinπ4cosα+cosπ4sinα×(2)由(1)知-=-45,cos2α=1-2sin2=35,所以-2α=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=×35+12×评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
三角恒等变换含答案
三角恒等变换一、单选题1．已知α是第二象限角，tan()74πα-=-，则sin()3πα+=（ ）A B C D 2．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A ．19-B C ．19D ． 3．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。
如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于（ ）A ．45B ．725C ．725-D ．354．已知锐角α满足3cos()65πα+=，则sin(2)3πα+=（ ） A ．1225B ．1225±C ．2425D ．2425±5．sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D6．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3s i n πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3C ．3±D ．3±7．若,αβ都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （ ）A B C D 8．已知方程x 2+3ax +3a +1=0（a ＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，则α+β=（ ）. A ．34π或34π-B ．4π-或4πC ．4π D ．34π-9．已知角,αβ均为锐角，且cos αβ==αβ-的值为（ ） A ．3πB ．4π C ．4π-D ．4π或4π-10．已知 πsin()4α+=，则 3πsin()4α-的值为 ( )．A ．B ．2C ．－12D ．1211．已知函数()212cos 2f x x x =+-，若其图象是由sin 2y x =图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位得到，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．56π C ．12πD ．512π 12．已知函数()sin sin 3f x x x =-，[0,2]x πÎ，则()f x 的所有零点之和等于（ ） A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π13．若函数()sin cos f x a x b x =+在3x π=处取得最大值4，则ab=（ ）A ．1B C ．2D ．314．已知函数()sin f x a x x =-图象的一条对称轴为6x π=-，若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．πC ．23π D ．43π二、填空题15．计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++=_______________.16．cos102cos20cos10-⋅=____________． 17．已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________；18．已知αβ，均为锐角，1sin())663ππαβ-=+=，cos()αβ+=________. 19．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 20．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是_____．21．已知等腰三角形顶角的余弦值为725-，则这个三角形底角的正切值．．．为______ 22．o o oosin58+cos60sin2cos2=____________.23．已知π1sin cos 63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．24．设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则sin 2θ=______．25．若函数2()4sin sin cos 2(0)42x f x x x πωωωω⎛⎫=⋅++>⎪⎝⎭在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是____________.26．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定，θ变化时，则12S S 的最小值是__________．27．已知函数()()()cos sin sin cos f x a x b x =-没有零点，则22a b +的取值范围是_______三、解答题 28．（1cos103sin10-；（2）求值tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 29．已知()222x x x f x sincos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ （1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 30．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()c o s αβ-的值.31．（1）求值: sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）已知10sin cos ,25x x x π-<<+=，，求sin cos x x -的值. 32．已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值 33．已知32ππα<<，32ππβ<<，sin α=，cos β=αβ-的值. 34．已知α，β为锐角，且17cos α=，()1114cos αβ+=-．求sinβ的值． 35．计算（1）已知2sin cos 0αα-=，求sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-的值； （2）求()214cos 102sin10︒+︒-︒的值. 36．已知2sin cos 3αα+=，且2παπ<<，求下列各式的值（1）sin cos αα-（2）cos()24sin()4πααπα+++37．已知sin(2)7αβ-=11cos(2)14αβ-=-， 042ππβα<<<<，(1)求tan(2)αβ-的值； (2)求cos()αβ+以及αβ+的值38．计算（1）23sin12(4cos 122)--； （240sin 50(13tan10).701cos 40+++39．已知函数2()2cos cos cos .22x xf x x x =+ (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.40．已知函数2()sinsin 1(02f x x x x πωωωω⎫⎛⎫=+⋅+-> ⎪⎪⎝⎭⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求ω的值；（2）当,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 41．如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．42．已知函数2()sin cos (0)f x x x x =>ωωωω的最小正周期为2π， （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()g x =f x +m 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上有两个零点，求实数m 的取值范围. 43．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若23EF =米，2AOB θ∠=，5412ππθ≤≤.（1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.参考答案1．C 【解析】 由tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得171tan tan αα-=-+，解得34tan α=-. 又α是第二象限角，可得34sin ,cos 55αα==-.则314sin 333525sin cos cos sin πππααα⎛⎫+=+=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选C. 2．D 【解析】分析：由二倍角公式得cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再由5cos ?cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合同角三角函数关系可得解.详解：由2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得28112sin 12699θπ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，即1cos 39πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由θ为锐角，且1cos 039πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以3πθ+因为锐角，所以sin 03πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭.5cos cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D.点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用． 3．B 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长,进而用三角函数表示边长求出三角函数值,再利用二倍角公式求解即可. 【详解】由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1.由图有15cos 5sin 1cos sin 5θθθθ-=⇒-=,故221cos sin 5cos sin 1θθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ ,因为较小的锐角为θ,故4cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了由图像求解三角函数值的问题,需要根据图像到三角函数的关系式再求解,属于中等题型. 4．C 【解析】 【分析】利用诱导公式，求得sin()6πα+的值，再利用倍角公式，即可求解.【详解】因为锐角α满足3cos()65πα+=，所以6πα+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得4sin()65πα+==， 则24sin(2)2sin()cos()36625πππααα+=++=，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】根据sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，将所求的cos α转化为cos 33ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式，得到答案.【详解】因为sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， 所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12⎛=- ⎝⎭36+=. 故选：B. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的余弦公式，属于简单题. 6．B 【解析】 【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩， 两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题. 7．A 【解析】 【分析】先计算出()cos αβ+，再利用余弦的和与差公式，即可. 【详解】因为,αβ都是锐角，且1cos 2α=<，所以,32ππα<<又()31sin 52αβ+=>，所以2παβπ<+<，所以()4cos 5αβ+==-sin α==，cos β=()()()cos cos cos sin sin αβααβααβα+-=+++ 25=，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。
三角函数恒等变换含答案及高考题
三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(三角恒等变换)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（三角恒等变换）练习一、单选题1．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-3．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为985．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12B C D 6．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A ．15B C D 8．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．4739．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和210．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．6511．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C sin cos 2c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3B ．13-C ．3或13- D ．-3或1312．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79 C ．79-D ．89-13．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π14．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为415．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A ．15B．5C．5D ．116．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD二、多选题17．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ） AB ．32C．2 D．218．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（ ）A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅三、填空题19．（2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．20．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．21．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________． 22．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．23．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.四、解答题24．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.25．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．26．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+27．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =． （I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．28．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.29．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．30．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）在ABC 中，17,8,cos 7a b B ===-．（1）求A ∠； （2）求AC 边上的高．31．（2018ꞏ浙江ꞏ高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．32．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.33．（2018ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．34．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b=，求sin(2B π+的值．35．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；（22b c +=，求sin C ．36．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 37．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B –C ）的值．38．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题） 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.五、双空题39．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）若函数()sin f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．参考答案1．C【要点分析】化简得出()cos 2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【过程详解】因为()22cos sin cos 2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.2．D【要点分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【过程详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D3．C【要点分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【过程详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=， 即：()()sin cos 0αβαβ-+-= 所以()tan 1αβ-=- 故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2πα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（）（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（） sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin =04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1, 故选：C. 4．D【要点分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【过程详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98. 故选：D. 5．D【要点分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【过程详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==. 故选：D. 6．C【要点分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【过程详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.【名师点睛】思路要点分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 7．A【要点分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【过程详解】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==故选：A.【名师点睛】关键名师点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.8．B【要点分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【过程详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB 为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以1004''1)273A B ⨯==+≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【名师点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9．C【要点分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【过程详解】由题，()sincos 3s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==故选：C ． 10．C【要点分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果． 【过程详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【名师点睛】易错名师点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 11．A【要点分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【过程详解】 222sin cos tan 222a b c C C C ab +-==⇒=，4C π∴>， 2sin sin sin a b cR A B C===，sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=，sin()sin 22A CB ∴+=⇒=，4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.12．B【过程详解】要点分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.过程详解：227 cos2α12199sin α=-=-= 故选B.名师点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 13．C【过程详解】要点分析:将函数()2f 1tanxtan xx =+进行化简即可过程详解：由已知得()221f sin2,1221(sinxtanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osxππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭+ ()f x 的最小正周期2T π2π== 故选C.名师点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 14．B【要点分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【过程详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 15．B【要点分析】首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2cos23α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得215a =，从而得到5a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-=. 【过程详解】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即5a =，所以2a b a a -=-=B. 【名师点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 16．B【要点分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【过程详解】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ． 【名师点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 17．AC【要点分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23b a =或2a b =，即可得解，注意就,M N 在双支上还是在单支上分类讨论.【过程详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a -=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=， 选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=， 由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a -= 352222a b a a +-=， 所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ===选C[方法二]：答案回代法A e 2=选项 特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===， 则123cos 5F NF ∠=，C e 2=选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=+，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===， 则123cos 5F NF ∠=， [方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ， 若,M N 分别在左右支， 因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 又OG a =，1OF c =，1GF b =， 设12F NF α∠=，21F F N β∠=， 在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin ac β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ===若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bc β=-， 故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e == 故选：AC. 18．AC【要点分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【过程详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP = ，故12||||OP OP = ，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α=====，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确； D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC19．45【要点分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β． 【过程详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=cos 1010αα⎫-=⎪⎪⎭，令sin θ=cos θ=，()αθ-=∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 210k παθπθ⎛⎫=++==⎪⎝⎭， 则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=， 则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45. 20．2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【要点分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+2=，即可解出.【过程详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【名师点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.21．32【要点分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得3tan 2α=. 【过程详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开因为5tantan tan 1444ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，解之得3tan 2α=． 故答案为：32． ［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式551tan tan 1553445tan tan 15544211tan tan 544ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭． 故答案为：32． ［方法三］：换元法＋两角和的正切公式令54πθα=-，则1tan 5θ=，且54παθ=+．151tan tan5354tan tan 51421tan tan 145πθπαθπθ++⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭--． 故答案为：32． 【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接； 方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式． 22．12-【要点分析】方法一：将两式平方相加即可解出． 【过程详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-． ［方法二］： 利用方程思想直接解出sin 1cos ,cos sin αβαβ=-=-，两式两边平方相加得1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos 2sin αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos 2sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2πβαα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则322k πβπα=++或32()2k k πβππα⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭Z ．若32()2k k πβπα=++∈Z ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k πααβπααα⎛⎫=+=++=-=-=- ⎪⎝⎭．若2()2k k πβπα=--∈Z ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-． ［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=． 又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭，()2k k βαπ=-∈Z ，即22k απβ=-，则2()k k αβπα+=-∈Z ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβπαα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k παβπ-=+∈Z ，即()2k k παβπ=++∈Z ．当k 为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾． 若sin()1αβ+=-，则2()2k k παβπ+=-∈Z ．则sin sin 2cos 2k παπββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解； 方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出； 方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出； 方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．23．10. 【要点分析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【过程详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212=22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.24．(1)1c =(2)sin 4B =(3)sin(2)A B -=【要点分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出； （2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．【过程详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A ==sin sin a b A B =，所以2sin sinb AB a===（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A == 所以1sin 22sin cos 2448A A A ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 25．(1)6π(2)6+【要点分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【过程详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=. 26．(1)5π8； (2)证明见解析．【要点分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【过程详解】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． （2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得， cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．27．（I ）；（II ）34；（III ）116【要点分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c = （II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【过程详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =b = 2ac ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos24a b c C ab +-===；（III ）3cos 4C = ，sin C ∴==，3sin 22sin cos 2448C C C ∴==⨯=，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭111828216=⨯-⨯=.28．（1）π；（2）12+. 【要点分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 242y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由三角函数的图象与性质即可得解.【过程详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝， 所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2sin 22cos 2sin 22222242x x x x x π-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值12+.29．（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦ 【要点分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【过程详解】（I ） [方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 24a A b b ⎫==⎪⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=， 即444222222220a b c a c a b b c +++--=， 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=， 即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.30．（1）∠A =π3；（2）AC边上的高为2． 【要点分析】（1）方法一：先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠； （2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，即可解得AC 边上的高． 【过程详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理在ABC 中∵,1πcos ,,π,sin 727B B B ⎛⎫=-∴∈∴==⎪⎝⎭.由正弦定理得7ππsin ,π,0,,.sin sin sin 2223a b A B A A A B A π⎛⎫⎛⎫=⇒=∴=∈∴∈∴∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭［方法二］：余弦定理的应用由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-．因为17,8,cos 7a b B ===-，代入上式可得3c =或5c =-（舍）．所以2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义 在△ABC 中，∵sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+=1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=， ∴AC边上的高为2．［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义 如图1，由（1）得1cos 842AD AC A =∠=⨯=，则14737AB =-⨯=．作BE AC ⊥，垂足为E，则sin 3BE AB A =∠==AC［方法三］:等面积法由（1）得60A ∠=︒，易求CD =1，作CD AB ⊥，易得4=AD ，即3AB =．所以根据等积法有11sin 22AC BE AB AC A ⋅⋅=⋅⋅⋅，即3BE =所以AC 边上的高为2． 【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角； （2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出； 方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出； 方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 31．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【要点分析】要点分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.【过程详解】过程详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±.由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 名师点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.32．（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3. 【要点分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围.【过程详解】（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 名师点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 33．（1）725-；（2）211-【过程详解】要点分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果. 过程详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==，因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 名师点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.34．（1）c =（2）5. 【要点分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【过程详解】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a bA B =，得cos sin 2B B bb =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+==⎪⎝⎭【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.35．（1）3A π=；（2）sin C 【要点分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得1sin cos 222C C -=，然后结合辅助角公式可得64ππC =+，据此由两角和差正余弦公式可得sin C =【过程详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-， 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理可得：222b c a bc +-=， 2221cos 22b c a A bc +-∴==，()0,A π∈ ，3A π∴=.（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦由（1）知，23B C π+=2b c +=，2sin 2sin 3πA C C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，1cos 22C C -=，即sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又20,,,3662C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以64C ππ-=，即64ππC =+，则sin sin 644ππC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．[方法二]正弦定理+方程思想2b c +=，得sin 2sin B C A ==2sin 2C -， 代入22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，得23sin 2sin sin 242C C C ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得24sin 10C C -+=，则sin 4C =．由sin 2sin 0B C =>，得sin 4C >，所以sin 4C =． [方法三]余弦定理令c t a =．由2,b c b c a =+>，得t >将2b c =代入222b c a bc +-=中，可得2230c a -+=，即2310t -+=，解得6t =或6t =（舍去）．所以sin sin c C t a A ===从而sin 4C =． [方法四]摄影定理因为2c b =+，所以1cos 45cos 6022c a b a b ︒=+=+︒， 由射影定理得()180456075C ∠=︒-︒+︒=︒，所以sin sin 75C ︒==【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值； 方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得sin C 的值； 方法三：利用余弦定理求得ct a=的值，然后结合正弦定理可得sin C 的值； 方法四：利用摄影定理求得C ∠的值，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值； 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.36．(1) 3B π=;(2)()82. 【要点分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【过程详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-，。
课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题四三角函数2三角恒等变换试题理
三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点三角函数的化简和求值(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(2)简洁的三角恒等变换能运用上述公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)2024课标Ⅱ,10,5分三角函数求值同角三角函数的基本关系★★★2024课标Ⅲ,4,5分三角函数的求值2024课标Ⅰ,2,5分三角函数的求值和化简诱导公式2024课标Ⅱ,9,5分三角函数求值诱导公式分析解读 1.驾驭两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到敏捷驾驭各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的学问综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.破考点练考向【考点集训】考点三角函数式的化简和求值1.(2025届黑龙江齐齐哈尔第八中学高三月考,7)若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值为( )A.-sin2B.-1C.12D.1答案 B2.(2024广东揭阳一模,4)若sin(π2-2α)=35,则sin4α-cos4α的值为( )A.45B.35C.-45D.-35答案 D3.(2024安徽黄山二模,2)已知x∈(0,π2),cos (x +π4)=35,则sinx 的值为( )A.-√210 B.√210 C.7√210 D.-7√210答案 B4.(2024天津河西质量调查(三),6)函数f(x)=sinx-cos (x +π6)的值域为( )A.[-2,2]B.[-√3,√3]C.[-1,1]D.[-√32,√32] 答案 B5.(2025届山西大同学情调研测试,13)已知sin (x -π6)=12,且θ∈(0,π2),则cos (x -π3)= . 答案 1炼技法 提实力 【方法集训】方法 三角函数式化简、求值的解题方法1.(2024河南顶级名校3月联考,11)若1+tan x1-tan x =2024,则1cos2x +tan2α=( ) A.2024 B.2024 C.2024 D.1004答案 B2.(2024山西3月质检,15)已知sin10°+mcos10°=2cos140°,则m= . 答案 -√33.(2024湖南炎德英才大联考(三),13)设α是锐角,且cos (x +π6)=35,则sin (2x +π12)的值为 . 答案31√250【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组1.(2024课标Ⅱ,10,5分)已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( ) A.15B.√55C.√33D.2√55答案 B2.(2024课标Ⅲ,4,5分)若sinα=13,则cos2α=( ) A.89B.79C.-79D.-89答案 B3.(2024课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin2α=( )A.725B.15C.-15D.-725答案 DB 组 自主命题·省(区、市)卷题组1.(2024重庆,9,5分)若tanα=2tan π5,则cos (x -3π10)sin (x -π5)=( )A.1B.2C.3D.4答案 C2.(2024江苏,13,5分)已知tan xtan (x +π4)=-23,则sin (2x +π4)的值是 .答案√2103.(2024江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=43,cos(α+β)=-√55. (1)求cos2α的值; (2)求tan(α-β)的值.解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解实力. (1)因为tanα=43,tanα=sin x cos x,所以sinα=43cosα.因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,所以cos2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-√55,所以sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√55,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=43,所以tan2α=2tan x1-tan 2α=-247.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2x -tan(x +x )1+tan2x tan(x +x )=-211.C 组 老师专用题组1.(2024课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°·sin10°=( ) A.-√32 B.√32 C.-12D.12答案 D2.(2024江苏,5,5分)若tan (x -π4)=16,则tanα= .答案 753.(2024四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8= . 答案√224.(2024浙江,10,6分)已知2cos 2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= . 答案 √2;15.(2024四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是 . 答案√626.(2024江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为 . 答案 37.(2024课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφ·cos(x+φ)的最大值为 . 答案 18.(2024江苏,15,14分)在△ABC 中,AC=6,cosB=45,C=π4. (1)求AB 的长; (2)求cos (x -π6)的值.解析 (1)因为cosB=45,0<B<π, 所以sinB=√1-cos 2B =√1-(45)2=35.由正弦定理知xx sin x =xxsin x ,所以AB=xx ·sin x sin x =6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos (x +π4)=-cosBcos π4+sinB·sin π4, 又cosB=45,sinB=35,故cosA=-45×√22+35×√22=-√210. 因为0<A<π,所以sinA=√1-cos 2A =7√210.因此,cos (x -π6)=cosAcos π6+sinAsin π6=-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考查运算求解实力.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2025届河北邢台第一次摸底考试,6)17世纪德国闻名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.假如把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金△ABC 中,xx xx =√5-12.依据这些信息,可得sin234°=( )A.1-2√54B.-3+√58C.-√5+14D.-4+√58答案 C2.(2024安徽安庆二模,9)若函数f(x)=4sinx-2cos2x+m 在R 上的最大值是3,则实数m=( ) A.-6 B.-5 C.-3 D.-2 答案 C3.(2024福建福州3月模拟,4)√3cos15°-4sin 215°cos15°=( ) A.12B.√22C.1D.√2答案 D4.(2025届山西吕梁阶段性测试,11)已知x∈(0,π2),y∈(0,π2),cos x -sin x cos x +sin x =sin x1+cos x ,则( ) A.x+y=π2 B.x+y=π4 C.x+2y=π2 D.2x+y=π2答案 D5.(2025届宁夏顶级名校第一次月考,10)若cosα=-35,α是其次象限的角,则2+3tanx24-tan x 2的值为( )A.-34B.2C.4D.-4答案 C6.(2024河南九师联盟2月质量检测,10)若α∈(0,π2),且cos2α=√25sin (x +π4),则tanα=( ) A.34B.35C.43D.53答案 A7.(2024河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知atanα+b=(a -btan α)tanβ,且α+π6与β的终边相同,则xx的值为( )A.√23B.√33C.2√23D.√34答案 B8.(2024福建龙岩教学质量检查,9)若α∈(0,π),且3sinα+2cosα=2,则tan x2等于( )A.23B.12C.√32D.32答案 D9.(2024江西九江二模,10)若sin (x -π9)=2cosαsin π9,则sin (x -π9)cos (x -7π18)=( )A.14B.12C.2D.4答案 B二、填空题(每小题5分,共30分)10.(2025届山东夏季高考模拟,14)已知cos (x +π6)-sinα=4√35,则sin (x +11π6)= .答案 -4511.(2025届河南洛阳期中,14)已知函数f(x)=sinx+2cosx 在x 0处取得最小值,则f(x)的最小值为 ,此时cosx 0= . 答案 -√5;-2√5512.(2025届广东四校联考,14)若α∈(π2,5π4),sin (x -π4)=35,则cos2α= .答案242513.(2025届黑龙江哈尔滨第六中学上学期一模,13)√6sin70°+3√2cos250°的值等于 . 答案 -4√614.(2025届安徽合肥八校高三第一次联考,16)已知角α∈(π,3π2),β∈(0,π2),且满意tanα=1+sin x cos x,则β=(用α表示). 答案 2α-52π15.(2024河南郑州二模,14)已知cos (x -π3)+cosα=4√35,则cos (π6-α)= .答案 45三、解答题(共10分)16.(2024安徽合肥第一次教学质量检测,17)已知函数f(x)=cos2x+sin (2x -π6). (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若α∈(0,π2),f(α)=13,求cos2α.解析 (1)∵f(x)=cos2x+√32sin2x-12cos2x=√32sin2x+12cos2x=sin (2x +π6),∴函数f(x)的最小正周期T=π. (2)由f(α)=13可得,sin (2x +π6)=13.∵α∈(0,π2),∴2α+π6∈(π6,7π6).又∵0<sin (2x +π6)=13<12,∴2α+π6∈(π2,π), ∴cos (2x +π6)=-2√23,∴cos2α=cos [(2x +π6)-π6]=cos (2x +π6)cos π6+sin (2x +π6)sin π6=1-2√66.。
高三数学三角恒等变换试题答案及解析
高三数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．3.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C 的大小．【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴A＝．又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinB＝＝×＝．∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。
2025新高考数学计算题型精练专题09 三角恒等变换(解析版)
2025新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。
高考真题与模拟训练 专题07 三角恒等变换(解析版)
专题7 三角恒等变换第一部分 近3年高考真题一、选择题1．（2021·浙江高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B【解析】过C作'CH BB ⊥，过B作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以1004''1)273A B ⨯⨯==≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．3．（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．3C ．23D ．2【答案】B【解析】由题意可得：1sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin cos 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.5.已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15B ．5C ．3D ．5【解析】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．6.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=（ ）A ．15B ．5C ．5D ．1【答案】B 【解析】由,,O A B三点共线，从而得到2b a=，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即5a =，所以25a b a a -=-=，故选B.二、填空题8．（2020·全国高考真题（文））若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12(1399x x =-=-⨯-=-=.故答案为：19.9．（2020·江苏高考真题）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1310．（2020·北京高考真题）若函数()sin()cos f x x xϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Zππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Zππ+∈均可）.11.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10.【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2.410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭12.函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．【答案】4-.【解析】23()sin(23cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤ ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．三、解答题13．（2020·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a c ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A sin C =2，求C .【答案】（1；（2）15︒.【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.14.设常数R a ∈，函数()2sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解．【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-.【解析】（1）∵()2sin22cos f x a x x=+，∴()2sin22cos f x a x x-=-+，∵()f x为偶函数，∴()() f x f x-=，∴22 sin22cos sin22cosa x x a x x -+=+，∴2sin20 a x=，∴0 a=；（2）∵π14f⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2ππsin2cos11 24a a⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，∴a=，∴()2π2cos cos212sin216f x x x x x x⎛⎫=+=++=++⎪⎝⎭，∵()1 f x=∴π2sin2116x⎛⎫++=⎪⎝⎭，∴πsin262x⎛⎫+=-⎪⎝⎭，∴ππ22π64x k+=-+，或π52π2πZ64x k k+=+∈，，∴5ππ24x k=-+，或13ππZ24x k k=+∈，，∵[]ππx∈-，，∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-15.已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【答案】（1）725-；（2）211-【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==，因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．16.已知函数()2sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3.【解析】（Ⅰ）()1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4C π=；（Ⅱ）sin 13A =；（Ⅲ）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===及余弦定理得222cos 22a b c C ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以4C π=；（Ⅱ）在ABC中，由4C π=，a c ==及正弦定理，可得sin sin a C A c ⨯===13；（Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A ==13，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2cos cos2sin 444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26.第二部分 模拟训练1．已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3sin sin 5B αα+=+，则()sin 300α+︒=（ ）A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D【解析】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B A C=+，又180A B C ++=︒，∴60B =︒，由()3sin 60sin 5αα︒+=+得，13cos sin 225αα-=，∴()3cos 305α︒+=，则()()()3sin 300sin 27030cos 305ααα+︒=︒+︒+=-︒+=-，故选：D ．2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．1316,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1417,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1417,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】()2sin(),0cos 62f x x x x x ππωωω=-≤≤-=，6626x ππωππω∴-≤-≤-，1322635162623ωπππωωπππω⎧⎧-≥≥⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-<<⎪⎪⎩⎩，则ω的取值范围是1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.3．将函数()sin 22f x x x=+的图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()g x ，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．4πD ．512π【答案】A【解析】函数sin 222sin(23y x x x π=+=+，将函数sin 22y x x =+的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到函数2sin(22)3y x πϕ=++，因为函数是偶函数，∴2()()32212k k k Z k Z ππππϕπϕ+=+∈∴=+∈．当0k =时，12πϕ=．故选：A 4．设ABC的内角A ，B ，C 满足2A C B+=，则函数()2sin()cos sin2f x x B x x=+-图象的对称轴方程是（ ）A ．ππ,32k x k =+∈Z B ．ππ,122k x k =+∈Z C ．5ππ,122k x k =+∈Z D ．ππ,62k x k =+∈Z 【答案】C【解析】因为()A C B π-+=，2A+C =B ，所以3B π=，()2sin cos sin 23f x x x xπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(sin )cos sin 2x x x x=+-1sin 2cos 2222x x =-++sin 232x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭.由232x kx ππ-=+，k ∈Z ，得5122k x ππ=+，k ∈Z .故选：C.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=.（1）求角A ；（2）若a =，5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】（1）A 3π=；（2）.【解析】（1）在三角形ABC 中，()2cos acos b c A C-= ，由正弦定理得：()2sin cos sin cos B sinC A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B=+=+= ，三角形中sin 0B ≠，解得cos A12=，()0,A π∈，∴A 3π=.（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A=+-，a =5bc +=，()2213353b c cb bc ∴=+-=-，化为4bc =，所以三角形ABC 的面积S 12=sin bc A 12=⨯42=6．在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a ，b ，c ，且直线x A=为函数()222sin f x x x=+图象的一条对称轴.（1）求A ；（2）若4a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）.【解析】（1）()222sin 2cos 212sin 216πx x x x x f x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴直线x A =为函数()f x 图像的一条对称轴，∴262ππA kπ-=+(k ∈Z )，即132πA kπ=+(k ∈Z )，又02A π<<，∴当0k =时，3A π=.（2）∵3A π=，4a =，∴由余弦定理得，2222162cos23πb c bc b c bc bc bc bc=+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当b=c=4时等号成立∴111sin sin 1622322ABC πbc A bc S ==≤⨯⨯=△，故ABC 面积的最大值为7．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45b c B ==∠=.（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2）25.【解析】在ABC 中，因为b =，c =，45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B=+-，得25222a a =+-⨯所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 45sin C =.所以sin C =在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ，所以ADC∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠=，所以C ∠为锐角故cos 5C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以35sin ADC ∠===，()sin sin 180sin()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠34555525=⨯-⨯=8．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++.（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥.【解析】解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133sin 21sin 2cos2sin 22222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴()f x 的为最小正周期22T ππ==，值域为15(),22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）记()f x t =，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立，∵0t >∴222t t t k t -=-≥.∵2()g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增max 55417()22510g t g ⎛⎫==-=⎪⎝⎭∴k 的取值范围是1710k ≥9．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()6f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值；（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【答案】（Ⅰ）9-；（Ⅱ）[]1,2-.【解析】解：（Ⅰ）2()2cos 12x f x x =-+cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()6f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 6παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin cos 22ααα-=，所以cos αα-=，所以tan 9α=-；（Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象，所以()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1()2g x -≤≤故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.10．已知函数()2cos 2cos 1222x x x f x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间.【答案】（1）最小正周期2π；（2）单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）()2cos 2cos 1cos 2sin 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2π；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()2sin 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左移动6π个单位得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z .函数()g x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。
高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解
高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解一、选择题1．(文)(2021·山师大附中模考)设函数f(x)＝2(x＋)－2(x＋)，x ∈R，那么函数f(x)是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数[答案] A[解析] f(x)＝(2x＋)＝－2x为奇函数，周期T＝＝π.(理)(2021·辽宁锦州)函数y＝2x＋的最小正周期T＝( )A．2π B．π[答案] B[解析] y＝2x＋＝＋2x＝＋，∴最小正周期T＝π.2．(2021·重庆一中)设向量a＝(α，)的模为，那么2α＝( ) A．－B．－[答案] B[解析] ∵2＝2α＋2＝2α＋＝，∴2α＝，∴2α＝22α－1＝－.3．＝3，那么α＝( )B．－D．－[答案] B[解析] α＝2－2＝＝＝＝－，应选B.4．在△中，假设＝2，那么△是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形[答案] B[解析] ∵＝2，∴[(A－B)－(A＋B)]＝(1＋)，∴(A－B)－(π－C)＝1＋，∴(A－B)＝1，∵－π<A－B<π，∴A－B＝0，∴△为等腰三角形．5．(2021·绵阳市诊断)函数f(x)＝2(x－)＋的最小正周期为( )B．π C．2π D．4π[答案] C[解析] f(x)＝－2＋＝错误!，画出图象可知周期为2π.6．(2021·揭阳市模考)假设＋＝，x∈(0，π)，那么－的值为( )A．±B．－[答案] D[解析] 由＋＝两边平方得，1＋2＝，∴2x＝－<0，∴x∈，∴(－)2＝1－2x＝且>，∴－＝，应选D.7．(文)在锐角△中，设x＝·，y＝·，那么x，y的大小关系是( )A．x≤y B．x＜yC．x≥y D．x＞y[答案] D[解析] ∵π>A＋B＞，∴(A＋B)＜0，即－＜0，∴x＞y，故应选D.(理)(2021·皖南八校)在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果(2B＋C)＋2<0，那么a、b、c满足的关系是( ) A．2>c2B．a2＋b2<c2C．2>a2D．b2＋c2<a2[答案] B[解析] ∵(2B＋C)＋2<0，且A＋B＋C＝π，∴(π－A＋B)＋2·<0，∴(π－A)－(π－A)＋2<0，∴－＋<0，即(A＋B)>0，∴0<A＋B<，∴C>，由余弦定理得，＝<0，∴a2＋b2－c2<0，故应选B.8．(2021·吉林省调研)a＝(，)，b＝(，)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝4x－4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( ) A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度[答案] D[解析] y＝4x－4x＝(2x＋2x)(2x－2x)＝－2x，将f(x)＝a·b＝2＝2x，向右平移个单位得，2＝＝－＝－2x，应选D.9．(2021·浙江金华十校模考)向量a＝(2α，α)，b＝(1,2α－1)，α∈，假设a·b＝，那么的值为( )[答案] C[解析] a·b＝2α＋22α－α＝1－22α＋22α－α＝1－α＝，∴α＝，∵<α<π，∴α＝－，∴α＝－，∴＝＝.10．(2021·湖北黄冈模拟)假设≤α≤，那么＋等于( )A．－2 B．2C．－2 D．2[答案] C[解析] ∵≤α≤，∴≤≤.∴＋＝＋＝＋＝－(＋)－(－)＝－2.二、填空题11．(2021·广东罗湖区调研)假设＝，那么2θ＝.[答案] －[解析] ∵＝，∴θ＝，∴2θ＝22θ－1＝－.12．(2021·江苏无锡市调研)函数y＝的最大值及最小值的积是．[答案] －[解析] y＝＝＝·＝＋＝2x·2x＝4x，所以最大及最小值的积为－.13．(2021·浙江杭州质检)函数y＝(x＋10°)＋(x＋40°)，(x∈R)的最大值是．[答案] 1[解析]y＝10°＋10°＋40°－40°＝(10°－40°)＋(10°＋40°)，其最大值为＝＝＝1.14．(文)如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，⊥于点D，且＝3，设∠＝θ，那么2＝.[答案][解析] 设＝r，∵＝3，且＋＝2r，∴＝，∴＝，∴＝r，∴θ＝＝，∵θ＝，∴＝(负值舍去)，∴2＝.(理)＝.[答案] －4[解析] ＝＝＝－4.三、解答题15．(文)(2021·北京理)函数f(x)＝22x＋2x－4.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值与最小值．[解析] (1)f()＝2＋2－4＝－1＋－2＝－.(2)f(x)＝2(22x－1)＋(1－2x)－4＝32x－4－1＝3(－)2－，x∈R因为∈[－1,1]，所以当＝－1时，f(x)取最大值6；当＝时，f(x)取最小值－.(理)(2021·广东罗湖区调研)a＝(＋，)，b＝(－,2)，设f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及最小值．[解析] (1)f(x)＝a·b＝(＋)·(－)＋·2＝2x－2x＋2＝2x＋2x＝＝.∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值；当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值－1.16．(文)设函数f(x)＝＋2x.(1)求函数f(x)的最大值与最小正周期；(2)设A、B、C为△的三个内角，假设＝，f()＝－，且C为锐角，求的值．[解析] (1)f(x)＝＋2x＝2－2＋＝－2x，所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.(2)f()＝－＝－，所以＝，因为C为锐角，所以C＝，在△中，＝，所以＝，所以＝(B＋C)＝＋＝×＋×＝.(理)角A、B、C为△的三个内角，＝(＋，)，＝(，－)，·＝－.(1)求2A的值；(2)求的值．[解析] (1)∵·＝(＋)＋(－)＝(B＋C)－(B＋C)＝－，∴＋＝－①两边平方并整理得：2＝－，∵－<0，∴A∈，∴－＝＝②联立①②得：＝，＝－，∴＝－，∴2A＝＝＝－.(2)∵＝－，∴＝＝＝＝13.17．(文)(2021·厦门三中阶段训练)假设函数f(x)＝2－(a>0)的图象及直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m与a的值；(2)假设点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A 的坐标．[解析] (1)f(x)＝2－＝－2＝－＋，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝，由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝－＋，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，由0≤－≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.(理)(2021·广东佛山顺德区检测)设向量a＝(,1)，b＝(1，)，记f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值与最小正周期；(2)假设f(x)＝2f′(x)，求的值．[解析] (1)f(x)＝＋，∴f′(x)＝－，∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)＝2x－2x＋1＋2＝2x＋2x＋1＝1＋，∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，F(x)＝1＋.最小正周期为T＝＝π.(2)∵f(x)＝2f′(x)，∴＋＝2－2，∴＝3，∴＝，∴＝＝＝2.。
三角恒等变换大题(含详细解答)
三角恒等变换1．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 2．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 3．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sinα 4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，求cos2α－sin2β 5．函数y ＝12sin2x ＋sin2x ，x ∈R ，求y 的值域 6．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值． 7．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 8．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数． 9 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值 10 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围 11 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 12 已知函数.,2cos 32sinR x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象参考答案1. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．2. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛ sin 2α＋β2－⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．3． 解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sin β求cos β，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等． 4. 解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴12(cos2α＋cos2β)＝13， ∴12(2cos 2α－1＋1－2sin 2β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 5． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的模式．一般地，a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ＝a 2＋b 2(sin φcos x ＋cos φsin x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a b，也可以变换如下：a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2(cos φcos x ＋sin φsin x )＝a 2＋b 2cos(x －φ)，其中tan φ＝b a. 6. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2 得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2， ∴α＋β＝π4. 评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．7. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛sin 2α＋β2－ ⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－ ⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．8. 解：（1）当0θ=时，()sin cos )4f x x x x π=+=+ 322,22,24244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为 3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈。
2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题08 三角恒等变换问题(解析版)
专题08 三角恒等变换问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos(α＋π4)sin β，则( )A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－11．答案 C 解析 由已知得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β ＋cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0．所以tan(α－β)＝－1．故选C ． 2．(2022·浙江)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝__________，cos2β＝__________．2．答案31010 45 解析 α＋β＝π2，∴sin β＝cos α，即3sin α－cos α＝10，即10(31010sin α－1010cos α) ＝10，令sin θ＝1010，cos θ＝31010，则10sin(α－θ)＝10，∴α－θ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即α＝θ＋π2＋2k π，∴sin α＝sin(θ＋π2＋2k π)＝cos θ＝31010，则cos2β＝2cos 2β－1＝2sin 2α－1＝45．故答案为31010与45．【知识总结】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1⇒sin α＝±1－cos 2α. (2)商的关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2(k ∈Z ). 2．三角函数的诱导公式3．三角恒等变换 (1) 和角差角公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.(2)二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .【同类问题】 题型一 给角求值 1．tan 105°等于( )A ．2－3B ．－2－3C ．3－2D ．－31．答案 B 解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝4＋23－2＝－2－3．2．sin 10°1－3tan 10°等于( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．322．答案 B 解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14．3．化简tan 27.5°＋1tan 27.5°－7sin 27.5°＋cos 27.5°等于( )A ．33 B ．233C ． 3D ．2 3．答案 B 解析 原式＝tan 27.5°＋1tan 27.5°－8sin 27.5°＋1＝sin 27.5°＋cos 27.5°sin 27.5°－8sin 27.5°cos 27.5°＋cos 27.5°＝11－2sin 215°＝ 1cos 30°＝233． 4．sin 40°(tan 10°－3)等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．答案 D 解析 sin 40°·(tan 10°－3)＝sin 40°·⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝sin 40°·2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°cos 10°＝sin 40°·2(cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°)cos 10°＝sin 40°·2sin (10°－60°)cos 10°＝sin40°·－2sin 50°cos 10°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1．5．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ ．5．答案 －18解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18．6．cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( ) A ．1 B ．3 C ． 2 D ．2 6．答案 C 解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2．7．tan 67.5°－1tan 67.5°的值为( )A ．1B ．2C ．2D ．47．答案 C 解析 tan 67.5°－1tan 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－1sin 67.5°cos 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－cos 67.5°sin 67.5°＝sin 267.5°－cos 267.5°sin 67.5°cos 67.5°＝－cos 135°12sin 135°＝2．8．求值：3－tan 12°(2cos 212°－1)sin 12°＝ ． 8．答案 8 解析 原式＝3－sin 12°cos 12°cos 24°sin 12°＝3cos 12°－sin 12°cos 24°sin 12°cos 12°＝2sin (60°－12°)14sin 48°＝2sin 48°14sin 48°＝8．9．已知m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则1－2cos 2153°m n等于( )A ．－14B ．－12C ．14D ．129．答案 B 解析 因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，因此 1－2cos 2153°m n ＝－cos 306°2sin 18°·2cos 18°＝－cos 54°2sin 36°＝－sin 36°2sin 36°＝－12． 10．(多选)下列各式中，值为12的是( )A ．cos 2π12－sin 2π12B ．tan 22.5°1－tan 222.5°C ．2sin 195°cos 195°D ．1＋cosπ6210．答案 BC 解析 cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝32，故A 错误；tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5＝ 12tan 45°＝12，故B 正确；2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，故C 正确；1＋cosπ62＝2＋34＝2＋32≠12，故D 错误． 题型二 给值求值11．(2021·全国乙)cos 2π12－cos 25π12等于( )A ．12B ．33C ．22D ．3211．答案 D 解析 因为cos 5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－5π12＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12 ＝cos π6＝32．12．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A ．53 B ．23 C ．13 D ．5912．答案 A 解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53． 13．(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A ．15 B ．55 C ．33 D ．25513．答案 B 解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55． 14．(2021·全国甲)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A ．1515 B ．55 C ．53 D ．15314．答案 A 解析 方法一 因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝ cos α2－sin α，解得sin α＝14．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515．方法二 因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515． 15．若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．29B ．－29C ．79D ．－7915．答案 C 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13．∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1 －2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1－29＝79． 16．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6等于( ) A ．23 B ．29 C ．－19 D ．－7916．答案 D 解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13，∴12sin α－32cos α ＋3cos α＝13，∴12sin α＋32cos α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79． 17．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．－3 B ．13 C ．－13D ．317．答案 C 解析 由cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－21－1×(－2)＝－13． 18．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ ． 18．答案 －5665 解析 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，因为sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝1213，所以cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665． 19．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ ． 19．答案 4－3310 解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即 sin 2θ＝45．因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310．20．设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．20．答案 －1665 解析 因为tan α2＝12，所以sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tanα21＋tan 2α2＝45，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2＝35∈⎝⎛⎭⎫12，22．又α∈(0，π)，所以a ∈⎝⎛⎭⎫π4，π3，又β∈(0，π)，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，4π3．又sin(α＋β)＝513∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫56π，π，所以cos(α＋β)＝－1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665．题型三 给值求角与多选题21．已知A ，B 均为钝角，且sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，sin B ＝1010，则A ＋B 等于( ) A ．3π4 B ．5π4 C ．7π4 D ．7π621．答案 C 解析 因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－ 32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55，因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255．由sin B ＝1010，且B 为钝角，得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010．所以cos(A＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22．又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，所以A ＋B ＝7π4．22．已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝ ，2α－β＝ ．22．答案 17 π3 解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17．又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，所以sin α＝217，cos β＝1314，因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32．因为α为锐角，所以0<2α<π．又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3．23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ．23．答案 －3π4 解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，且α∈(0，π)，∴0<α<π2．又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2．∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0．∵tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1，∴2α－β＝－3π4．24．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A ．3π4 B ．π4或3π4 C ．π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )24．答案 C 解析 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α ＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4．25．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ ．25．答案 －3π4 解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a 1－3a ＋1＝1．又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β<0，tan α·tan β>0，所以tan α<0且tan β<0，所以－π2<α<0且－π2<β<0，即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4．26．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ． 26．答案 [－1，1] 解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4．∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．27．已知x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π827．答案 B 解析 由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y ＝2tan y 1＋3tan 2y＝21tan y＋3tan y ≤33，当且仅当tan y ＝33时等号成立，由于f (x )＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则x －y 的最大值为π6． 28．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( ) A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝1228．答案 BCD 解析 对于A ，方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24． 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，A 错误．对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，C 正确．对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12，D 正确．29．(多选)已知cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( ) A ．sin 2α＝1213 B ．cos(α－β)＝19565 C ．cos αcos β＝8565 D ．tan αtan β＝11829．答案 AC 解析 因为cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，所以sin 2α＝1－cos 22α ＝1213，故A 正确；因为sin(α＋β)＝255，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－55＋1213×255＝29565，故B 错误；cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝12⎝⎛⎭⎫－55＋29565＝8565，故C 正确；sin αsin β＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝12⎣⎡⎦⎤29565－⎝⎛⎭⎫－55＝21565，所以tan αtan β＝218，故D 错误．30．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6C ．f (x )＝sin x 2＋cos x2的最大值为2D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝130．答案 AD 解析 对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)] ＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ，315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故B 错误；对于C ，f (x )＝sin x 2＋cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，所以f (x )的最大值为2，故C 错误；对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．。
三角恒等变形测试题及答案解析
第三章 恒等变换一、选择题(此题共12小题,每题5分,总分值60分) 1.277sin 16812π-的值为〔 〕 2.假设sin()cos cos()sin m αβααβα---=，且β为第三象限角，则cos β的值为〔 〕 3．在△ABC 中，2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形4．2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A ．12B ．32 C ．3 D ． 25．*∈(－π2,0)，cos*＝45，则tan2*等于 ( )A ．724B ．－724C ．247D ．－2476.假设ABC ∆的角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ( )B． C ．53 D ．53-7．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的取值围是 ()A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]8．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sinC ，则以下四个命题中正确的选项是 ()(1)tanA ·cotB ＝1．(2)1＜sinA ＋sinB ≤2．(3)sin 2A ＋cos 2B ＝1．(4)cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 9．α∈(0,π)，且sin α＋cos α＝15，则tan α的值为 ()A ．－43B ．－43 或－34C ．－34D ．43 或－3410．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为( )A.21+B.12-C.2D.211.将函数212sin 22y x x =+-的图象进展以下哪一种变换就变为一个奇函数的图象 ( 〔 〕 A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6π个单位cos 23x x a +=-中，a 的取值围是〔 〕二．填空题(此题共5小题,每题6分,总分值30分)把答案填在第二卷的横线上13.sin cos ,x x m -=求sin cos x x ────── 14．函数x x x f 32sin)232sin()(++=π的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 15.假设*＝π3是方程2cos(*＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝．16.给出下面的3个命题：〔1〕函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；〔2〕函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；〔3〕45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是．17．在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝22，AC ＝2，AB ＝3，则tanA=，△ABC 的面积为第二卷二、填空题(本大题共6小题,每题5分,共30分.把答案填在题中横线上)11.________________________ 12._______________________ 13._________________________ 14.______________________ 15._________________________ 16._______________________三．解答题此题共小题〔,每题12分,总分值60分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.12cos ,13α=求sin α和tan α 19．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos 〔α＋β〕．20．6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈[π2,π]，求sin(2α＋π3)的值．21．在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使得AB ＋BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值．22.函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+- (1)求()3f π值的；(2)求()f x 的最大值和最小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角恒等变换高考及模拟题教师版1．（2010年高考福建卷理科1）cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.12D.【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A 。
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。
2. (2010年全国高考宁夏卷9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12-(B)12(C) 2 (D) -2【答案】A 解析：由已知得3sin 5α=-，所以3tan 4α=，又2α属于第二或第四象限，故由22tan2tan 1tan 2ααα=-解得：tan 32α=-，从而1tan1221tan 2αα+=--．另解：由已知得3sin 5α=-，所以222sin211tancoscossin(cossin )1sin 1222222cos 21tan sin cos sin cos sin 2222221cos2αααααααααααααααα+++++=====----+． 3．（ 2010年高考全国卷I 理科14）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .【答案】17-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))()k k k Z απππ∈+++∈，又3cos 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tantan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 4．(2010年高考全国2卷理数13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ．【答案】12-【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.【解析】由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22tan 4tan 21tan 3a αα==--，解得1tan tan 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-.5.（2009全国I 文，4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= （ ）A.711B.711-C. 713D. 713- 答案 B6.（2008海南、宁夏）23sin 702cos 10-=-（ ） A ．12B ．2 C ．2D 答案 C 解析 22223sin 703cos 203(2cos 201)22cos 102cos 102cos 10----===---，选C 7.（2007的是（ B ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+8.(2007江西)若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ D ） Ａ．3- Ｂ．13- Ｃ．3 Ｄ．139.（2006福建）已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4πα+等于 （ A ）A.17B.7C.17- D.7-10.（2006年湖北）若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则sin cos A A +=（ A ）A.315 B. 315- C. 35D. 35-11.（2005全国I ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是( B ) A.①③B.②④C.①④D.②③12.(2007北京)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于72513.（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为225,105（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
解 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。
由条件得225cos ,cos 105αβ==， α为锐角， 故72sin 0sin 10αα>=且。
同理可得5sin 5β=， 因此1tan 7,tan 2αβ==。
（1）17tan tan 2tan()11tan tan 172αβαβαβ+++==--⨯=-3。
（2）132tan(2)tan[()]11(3)2αβαββ-++=++=--⨯=-1， 0,0,22ππαβ<<<<3022παβ∴<+<，从而324παβ+=。
14.已知31cos sin =-θθ ，则θ2sin 的值为 ( D ) A ． 32-B ．32C ．98-D ．9815.已知1cos sin ,54sin >-=θθθ，则θ2sin = （ A ） A. 2524- B. 2512- C. 54- D. 252416.已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为72517.已知tan 2α=2，求 （1）tan()4πα+的值；（2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：（I ）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； （II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.18.已知),2(ππα∈，且sincos22αα+=. （Ⅰ）求αcos 的值；（Ⅱ）若53)sin(-=+βα，)2,0(πβ∈，求βsin 的值.解：（Ⅰ）因为sin cos223αα+=， 所以412sincos223αα+=，1sin 3α=. …………………………（2分）因为(,)2παπ∈，所以cos α===. ……………………（6分） （Ⅱ）因为(,),(0,)22ππαπβ∈∈，所以3(,)22ππαβ+∈ 又3sin()5αβ+=-，得4cos()5αβ+=-. …………………………（9分） []sin sin ()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+⋅-+⋅341()(()5353=-⋅---⋅=. ………………………………………………（12分）19.（2009泰安一模）若 （A ） A.20.（2009枣庄一模）已知)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值是（A ） （ ）A ．97-B ．31-C ．31 D ．97 21.（2009潍坊一模）0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为(C)（A ） 1（B ） -21（C ）2（D 22.若3cos25θ=，4sin 25θ=-，则角θ的终边一定落在直线（ D ）上。
A ．7240x y += B ．7240x y -= C ．2470x y += D ．2470x y -=23.==⎪⎭⎫⎝⎛-απααcos ,316sin 则为锐角，且61-62 110tan ,(,),tan 342a a a πππ+=∈则sin(2a+)的值为424.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为21 25..（2008广东高三地区模拟）如图A 、B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限. C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，△AOB 为正三角形.（Ⅰ）求sin COA ∠； （Ⅱ）求cos COB ∠.解：（1）因为A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知4sin 5COA ∠=---4分 （2）因为三角形AOB 为正三角形，所以060AOB ∠=，4sin 5COA ∠=，3cos 5COA ∠=， -----------------------------6分 所以cos COB ∠=0cos(60)COA ∠+00cos cos60sin sin 60COA COA =∠-∠ -------------------------10分=314525⋅-=分 理（Ⅱ）求2||BC 的值．解：(Ⅱ)因为三角形AOB 为正三角形，所以60AOB ∠=，54sin =∠COA ，53cos =∠COA ， ……5分 所以cos cos(60)cos cos60sin sin 60COB COB COB COB ∠=∠+=∠-∠ 1034323542153-=⋅-⋅=……8分 所以222||||||2||||cos BC OC OB OC OB BOC =+-∠37112105-+=+-⨯=……12分。