2.3.3_变量之间的相关关系(2)

b
(x
i 1 n
i
x )( yi y )
( xi x ) 2
i 1

x y
i 1 n i i 1
n
i
nx y ,
xi 2 nx 2
a y bx
n
ˆ i ) 2为最小，这样就得到了回归方 总体偏差 Q ( yi y
i 1 程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法.回归方程
14
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
直线附近，因此x、y具有线性相关关系
x 48.07 y 27.26 xi yi 19403.2 xi 34181
2 i 114
14
故可得：
b
x y 14 x y
b
( x x)( y
i 1 i n i 1 i
n
i
y)
2
x y
i 1 n i
n
i
nx y ， a y b x; nx
2
( x x)
x
i 1
2 i
2．对于回归方程 4.75 x 257 当x=28时,y的估计值是 y
390
3．线性回归方程表示的直线 Ａ． ， (0 0)
a bx 必定过（ D ） y
( 0) Ｂ． x，
Ｃ.
(0，) Ｄ．( x，) y y
2 2.5 x 变量x 增加1个单位 4．设有一个回归方程，y
长度时，变量y（ C ）
Ａ．平均增加2.5个单位长度 Ｂ．平均增加0.5个单位长度 Ｃ．平均减少2.5个单位长度 Ｄ．平均减少0.5个单位长度
思考: 根据最小二乘法的知识,我们对于任何数 据都可以利用最小二乘计算出其回归方 程,问:是否所有的问题,我们都可以利
用最小二乘来估计?
下面的数据给定了两个变量之间的关系
X Y
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
请利用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程
解
其他数据如表 x 4.5, y 25.5 根据数据显示：
x
i 1
5
2
i
145
广告费（百万元）
故可得：
b
x y
i 1 5 i i 1
5
1
3
i
5x y 6.5a y bx 17.5
5
7
9
xi 2 5 x 2
所求回归直线方程为
y 6.5 x 17.5
^
b表示广告每增加100万元，销售量平均增加650元
课堂总结
xi yi
i 1
n
n
b
( x x )( y y ) x y nx y
i
( xi x ) 2
i 1

i 1 n
xi 2 nx 2
i 1
, a y bx
第四步，写出回归方程
y bx a
^
例1： 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研 究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个 卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：
温 度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
杯 156 150 132 128 130 116 104 89 数
93
76
54
（1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮杯数之 间关系 的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热 饮杯数.
2.3 2.3.1 2.3.2
变量间的相关关系 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
第二课时
复习回顾
1、相关关系
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系.
2、正相关和负相关的两个相关变量的 散点图的特点
正相关的散点图中的点散布在从左下角到右 上角的区域，负相关的散点图中的点散布在 从左上角到右下角的区域
(2) 回归直线方程是
ˆ y 1.23 x 0.08.
当x 10时， ˆ y 1.23 10 0.08 12.38 12 .4(万元)
答：估计使用10年时，维修费用估计是12.4 万元。
练习
某种产品是的广告费支出x（单位：百万元） 与销售额y（单位：百万元）之间有如下对 应数据
i 1 n i i
x
i 1
,
2
i
nx
2
ˆ ˆ ˆ y bx a
巩固练习:
1.由一组 5 个数据(xi，yi)算得
x 4, y 5,
1.23,a= 0.08 ,
xi yi 112.3, xi 2 90, 则 b=
i 1 i 1
n
n
ˆ 回归方程为 y 1.23 x 0.08 .
由资料知 y对 x呈线性关系，试求：
ˆ (1)回归直线方程y bx a中的b, a的值;
(2)估计使用年限是10年时，维修费用估计是 多少？
解：(1) 制表：
i xi yi xi2 xi yi
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
合计
20
2.2
4
3.8
9
5.5
16
6.5
25
7.0
36
25
90
4.4
11.4 22.0 32.5 42.0 112.3
15 脂肪含量
思考2:
如图 ：
10 5 0 20 25 30 35 40
年龄
45 50 55 60 65
. 方案2、在图中选两点作直线，使直线
两侧的点的个数基本相同。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的 斜率和截距。而得回归方程。 如图:
xi
1 2 3 1 4 9
yi
1 4 9
x i2
xi yi
1 8 27
4
5 6 7 8 合计 36
16
25 36 49 64 204
16
25 36 49 64 204
64
125 216 343 512 1296
进而可以求得 b=9
a=-15
于是，线性回归方程为： Y=-15+9x
5 5
于是有 : x 4, y 5, xi2 90, xi yi 112 .3.
i 1 i 1
112 .3 5 4 5 12.3 b 1.23 2 90 5 4 10
a y b x 5 1.23 4 0.08
(2)估计使用年限是10年时，维修费用估计是多少？
2.对于任意一组样本数据，利用上述公式都 可以求得“回归方程”，如果这组数据不具 有线性相关关系，即不存在回归直线，那么 所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此， 对一组样本数据，应先作散点图，在具有线 性相关关系的前提下再求回归方程.
脂肪含量
解：散点图如图所示
由散点图可知：在平面直角坐标
系中，各点散布在左下角到右上角 的区域，这些点大致分布在一条
对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程， .
那么，我们该怎样来求出这个回归方程？ 那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，
我们有这样几种方案？ 并根据回归方程对总体进行估计.
.方案1、先画出一条直线， 测量出各点与它的距离， 40 再移动直线，到达一个使 35 距离的和最小位置时， 30 25 测出它的斜率和截距， 20 得回归方程。
(xi，yi) (x1， y1) (xn，yn)
(x2，y2)
思考：回归直线与散点图中各点的位置 应具有怎样的关系？ 整体上最接近
假设两个具有线性相关关系的变量的一组样本 数据：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，设 其回归方程为 y bx a
(xi，yi) (x1， y1) (x2，y2) (xn，yn)
知识探究（一）：回归直线
思考1：在各种各样的散点图中，有些散点图中的
点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一 定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的 散点图中的点的分布有什么特点？
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
i 1 14 i i
i 1
xi 2 14 x 2
i 1
0.578
所求回归直线方程为
a y bx ^ 0.524
y 0.577 x 0.448
在上例中：若某人37岁，则其体内脂肪含 量的百分比约为多少？ ^
y 0.577 x 0.448
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45
这些点大致分布在一条直线附近.
如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一 条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关 关系，这条直线叫做回归直线.该直线叫回归方程。
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈 现发散状,则这两个变量之间不具有相关关系.