高中数学2.1随机变量及概率分布导学案苏教版选修2-3

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高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.1 随机变量及其概率分布》0

随机变量及其概率分布泰兴市第一高级中学印桃红教学目标：1通过对具体问题的分析，了解随机变量及离散型随机变量的意义, 理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念．2会求某些简单的离散型椭机变量的概率分布, 认识概率分布对于刻画随机现象的重要性教学重点：随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量；教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究教学过程：1、导入新课问题：〔1〕抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？〔2〕姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？〔3〕在一块地里种下10棵树苗，成活的棵树有哪些情况？〔4〕抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的在不同的随机试验中，结果是否不变2、讲授新课：引入：我们生活在一个数字化的时代，有数字电视，有数字校园，事实上，在数学领域里，将研究的问题数字化比比皆是，比方说在我们50个同学中选一位同学答复下列问题，王丽被选中的可能性是多少？〔学生答复〕这是一个概率问题，在必修3里我们也学习过随机试验，根本领件，古典概型这几个概念〔复习相关概念〕，教师提问：同学们有没有发现除了结果是一个数字外，很多随机试验的结果也是数字呢？比方引例〔1〕抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？〔2〕姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？〔3〕在一块地里种下10棵树苗，成活的棵树有哪些情况？〔4〕抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量X来表示，、Y、Z〔或小写希腊字母ξ，η，ζ〕等表示，而用小写拉丁字母，，〔加上适当下标〕等表示随机变量取的可能值引入随机变量后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来如姚明的投篮得分X是一个随机变量X=0，表示______________________；X=1，表示______________________；提问：随机变量与函数有哪些区别和联系？提示：随机变量和函数都是一种映射，而随机变量是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果和实数之间的一个对应关系，即随机变量把随机试验的结果映射为实数．函数是把实数映射为实数，它们的本质是相同的，在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的范围相当于函数值域．你能举出一些随机变量的例子吗？例1〔1〕掷一枚质地均匀的硬币1次，假设用X表示掷得正面的次数，那么随机变量X的可能取值有哪些？〔2〕一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，假设从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，那么随机变量Y的可能取值有哪些？练一练〔1〕从10张已编号的卡片〔从1号到10号〕中任取1张，被取出的卡片的号数；〔2〕抛掷两个骰子，所得点数之和Y；〔3〕某城市1天之中发生的火警次数X；〔4〕某品牌的电灯泡的寿命X；〔5〕某林场树木最高达30米，最低是0.5米，那么此林场任意一棵树木的高度小结：①随机试验的结果可用变量ξ来表示；②试验前可以判断其可能出现的所有值；③试验前不能确定取何值．这是随机变量的特征，随机变量的取值一般源于实际问题，且有特定的含义，写随机变量时，一般将值按从小到大排列，做到不重不漏．提问：练一练中前三个变量与最后两个变量之间有区别吗？生：前三个取值是离散的，最后两个取值是连续的数师：前三个变量我们称为离散型随机变量，后两个我们成为连续型随机变量，在高中阶段我们研究的都是离散型随机变量。

苏教版高中数学选修2-3《随机变量及其概率分布》参考学案

2.1 随机变量及其概率分布学习目标(1)理解随机变量的含义(2)理解掌握概率分布列和分布表的含义，并能解决简单的问题(3)理解两点分布的概率模型学习过程一、课前准备预习教材,找出疑惑之处,并试试解决以下问题:问题1. 掷一粒骰子，出现得点数可能是_____,出现偶数的概率是_____.问题2.掷硬币这一最简单的随机试验，其可能的结果是_______,_________两个事件.二、新课导学【学习探究】一、在掷硬币的试验中，其结果可以用数来表示吗？再举一个例子试试？我们确定一种对应关系，使得每一个试验结果都用一个_______表示，在这种对应下，数字随着试验结果的变化而变化。

新知1：随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.通常用大写拉丁字母______________来表示，而用小写拉丁字母____________等表示随机变量取的可能值.试试：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有次品的件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，则X的取值集合为X=表示_________________,__________；{}0{}3X=)表示___________.X<表示_____________.P({}0【学习探究】二、抛掷一粒骰子，向上一面的数字是随机变量记为X，其可能取的值是________,它取各个值的概率P为多少？请填写下表：新知2 概率分布列概率分布表一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是12,,,n x x x ⋅⋅⋅，且(),1,2,,,i i P X x p i n ===⋅⋅⋅ ① 则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列. 我们将下表称为随机变量X 的概率分布表，它和①都叫做随机变量X 的概率分布. 新知3 概率分布列的性质概率分布列中的(1,2,,)i p i n =⋅⋅⋅满足下面两个条件（1）_____________________________.(2)_____________________________。

高二数学教案 2.1 随机变量及其概率分布学案苏教版_选修2-3

§2.1 随机变量及其概率分布编写：曹兆芳审核：赵太田一、知识要点 1.随机变量2.随机变量X 的概率分布：⑴分布列：(),1,2,,i i P X x p in ；⑵分布表：这里的(1,2,,)i p in 满足条件120,1i np p p p ≥.3.两点分布二、典型例题例1.⑴掷一枚质地均匀的硬币1次，若用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？⑵一实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的可能取值有哪些？例 2.从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球，用X 表示“取到的白球个数”即10当取到白球时当取到红球时X，求随机变量X 的概率分布.例3.同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的较大点数X的概率分布，并求X 大于2小于5的概率(25)P X .例4.将3个小球随机地放入4个盒子中，盒子中球的最大个数记为X ，求⑴X 的分布列；⑵盒子中球的最大个数不是1的概率.三、巩固练习1.设随机变量X 的概率分布列为(),(1,2,3)P X k ak k ，则常数a 等于 .2.掷一枚骰子，出现点数X 是一随机变量，则(4)P X 的值为 .3.若离散型随机变量0 4.设随机变量X 的分布列为(),(1,2,3,4,5)15k P Xk k . 求：⑴(12)P X X 或；⑵17()22P X ；⑶(3)P X ≥.四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.设随机变量X 的分布列为1(),(1,2,3)3iP Xi a i ，则a = .2.把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子的个数为X ，则(2)P X= .3.设X 是一个随机变量，其分布列为q = . 4.设随机变量X 的分布列为(),1,2,3,(1)c P X k kc k k 为常数，则(0.5 2.5)P X= . 5.在0—1分布中，设(0),01P Xp p，则(1)P X = .6.已知随机变量X 求：⑴a ；⑵(0)P X；⑶(0.53)P X ≤；⑷(2)P X ；⑸(1)P X ；⑹(5)P X .7.袋中有5只乒乓球，编号为1至5，从袋中任取3只，若以X 表示取到的球中的最大号码，试写出X 的分布列.8.设随机变量X 只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的机会是均等的.试求: ⑴(8)P X ；⑵(614)P X ≤；⑶(10)P X ≥.订正栏：。

高中数学 2.1 随机变量及其概率分布教案苏教版选修2-3-苏教版高中选修2-3数学教案

2.1随机变量及其概率分布教案教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观．教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．教学过程一．问题情境在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是 0，1，…，10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数；……上述现象有哪些共同特点？二．学生活动上述现象中的X ，Y ，Z ，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数X ：0X =，表示成活0棵；1X =，表示成活1棵；…… 三．建构数学 1．随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．如：上面新生婴儿的性别Z 是一个随机变量，0Z =，表示新生婴儿是男婴；1Z =，表示新生婴儿是女婴．例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的可能取值有哪些？解（1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X 的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量X 的取值构成集合{0，1}．（2）根据条件可知，随机变量Y 的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}．说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．(2) 在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为{1}X =，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为{0}X =．(3) 在例1（2）中，也可用{1}Y =，{2}Y =，{3}Y =，{4}Y =分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1（2）中，可以用{3}Y ≤这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1（1）中{1}X =的概率可以表示为{1}P X ==（） {P 抛一枚硬币， 1}2=正面向上，其中{1}P X =（）常简记为1P X =（）．同理，0P X =1（）=2．这一结果可用表2-1-1来描述．例1（2）中随机变量Y 所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．上面的两个表格分别给出了随机变量X ，Y 表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．2．随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是1x ，2x ，…，n x ，且()i i P X x p ==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，① 则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．我们将表2-1-3称为随机变量X 的概率分布表．它和①都叫做随机变量X 的概率分布．3．随机变量分布列的性质：（1）0i p ≥；（2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=．四．数学运用 1．例题：例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．解由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)P X ==，3(1)P X ==，概率分布表如下．说明：1．本题中，随机变量X 只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X ~0-1分布或X ~两点分布．此处“~”表示“服从”．2．求随机变量X 的分布列的步骤：（1）确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…；（2）求出相应的概率()i i P X x p ==；（3）列成表格的形式。

最新高中数学苏教版选修2-3教学案：2.1 随机变量及其概率分布 Word版含解析

最新教学资料·苏教版数学1．在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数为X. 问题1：X 取什么数字？提示：X ＝0，1，2， (10)2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上． 3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球．问题3：若用X 表示所含红球个数，则X 的取值是什么？提示：X ＝0，1，2，3，4.1．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量． 2．随机变量的表示方法(1)随机变量通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示． (2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示.1．抛掷一颗骰子，用X 表示骰子向上一面的点数．问题1：X 的可能取值是什么？提示：X ＝1，2，3，4，5，6.问题2：X 取不同值时，其概率分别是多少？提示：都等于16.2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示取出的3 只球中的最大号码．问题3：随机变量的可能取值是什么？提示：X ＝3，4，5.问题4：试求X 取不同值的概率．提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110；P (X ＝4)＝C 23C 35＝310；P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35.问题5：试用表格表示X 和P 的对应关系．提示：问题6：试求概率和．提示：其和等于1.1．随机变量X 的分布列一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1，x 2，…，x n ，且P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，3，…，n ，①则称①为随机变量X通常将上表称为随机变量X 的概率分布表，它和①都叫做随机变量X 的概率分布．显然，这里的p i (i ＝1，2，…，n )满足条件p i ≥0，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．2．0－1分布(或两点分布)随机变量X 只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1分布或X ～两点分布，此处“～”表示“服从”．1．随机变量是将随机试验的结果数量化；2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；4．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[例1]判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数；(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．[思路点拨]要根据随机变量的定义考虑所有情况．[精解详析](1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0，48]内，是随机的，故是随机变量．(3)获得的奖次可能是1，2，3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量．[一点通](1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．1．判断下列变量中是否是随机变量．(1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2 000 g)中间某个时刻的体重；(2)解答高考数学Ⅰ卷所用的时间；(3)某手机一天内收到短信的次数；(4)1 000 mL水的质量．解：(1)体重在[400，2 000]范围内，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(2)做Ⅰ卷的时间在(0，120)的范围之内，是随机变量．(3)短信的次数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(4)此时水的质量为定值，不是随机变量．2．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；(3)某个人的属相．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、…、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量．(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量.\[例2]写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．[思路点拨]分析随机变量的实际背景―→写出随机变量的可能取值→得出具体随机试验的结果[精解详析](1)Y的可能取值为2，3，4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y＝12}表示(6，6)．(2)Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下．{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下．{Y＝2}表示在遇到第3盏信号灯时首次停下．{Y＝3}表示在遇到第4盏信号灯时首次停下．{Y＝4}表示在遇到第5盏信号灯时首次停下．{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．[一点通]此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是__________________________．解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品4．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X；(2)从4张已编号(1－4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和为X.解：(1)X的所有可能的取值为0，1，2，其中，X＝0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔；X＝1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔；X＝2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔；X＝3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔；(2)X可取3，4，5，6，7.其中，X＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；X＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；X＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；X＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片.[例3]袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列．[思路点拨] 解答本题先确定X 的所有可能的取值，然后分别求概率，最后列表即可． [精解详析] 随机变量X 可取的值为2，3，4，P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310； P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12 ＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：[一点通] 随机变量的分布列的作用对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．5则k 的值为________．解析：由k n ＋k n ＋…＋k n n 个kn ＝1，得k ＝1.答案：16．设随机变量X 概率分布P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710. 解：(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝55 ＝315＋415＋515＝45，或P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎫X ≤25＝1－⎝⎛⎭⎫115＋215＝45.(3)因为110＜X ＜710，所以X ＝15，25，35.故P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25. 7．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0（两球全红），1（两球非全红）.求X 的概率分布．解：因为X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，P (X ＝1)＝1－311＝811.所以X 的概率分布为8. 如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，求X 的概率分布．解：由已知X 的取值为7，8，9，10，∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110， ∴X 的概率分布为1．随机变量的三个特征 (1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取值．2．求随机变量的分布列应注意的几个问题．(1)随机变量X 的分布列实质上就是随机变量X 与这一变量所对应的概率P 的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．课下能力提升(十)一、填空题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中是真命题的有________．(填写序号)解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确．答案：①②③④2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝5表示的随机试验结果是________．解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点．答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点 3则p 的值为________．解析：∵12p ＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.答案：134．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________．解析：∵随机变量X 等可能取1，2，3，…，n ，∴取到每个数的概率均为1n .∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10.答案：105．随机变量X 的概率分布规律P (X ＝k )＝ck （k ＋1）(k ＝1，2，3，4，其中c 是常数)，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为______．解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝1，得c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c 4×5＝1. ∴c ⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1， ∴c ＝54.P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝541×2＋542×3＝58＋524＝2024＝56. 答案：56二、解答题6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球，求X 的概率分布；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的概率分布．解：(1)由题意知P (X ＝0)＝34＋3＝37，P (X ＝1)＝44＋3＝47，故X 的概率分布如下表：(2)由题意知P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝67，故X的概率分布如下表：7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的12，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的概率分布及P (X >1)的值．解：依题意得P (X ＝1)＝2P (X ＝2)，P (X ＝3)＝12P (X ＝2)．由于概率分布的总和等于1，故P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝72P (X ＝2)＝1.所以P (X ＝2)＝27.随机变量X 的概率分布如下：所以P (X >1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝37.8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数X 的概率分布列．解：得分X 的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3. X ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P (X ＝－3)＝C 33C 311＝1165；X ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (X ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111；X ＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，∴P (X ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355； X ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (X ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13； X ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (X ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355； X ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (X ＝2)＝C 23C 15C 311＝111；X ＝3时表示取得3个白球， ∴P (X ＝3)＝C 33C 311＝1165；。

高中数学第2章概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学

2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.1 随机变量及其概率分布》2

课题：随机变量及其概率分布授课教师：黄云教材：苏教版·选修２－３教学目标１．知识目标：理解随机变量的概念，初步学会利用随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法；在对具体问题的分析中，会求随机变量的概率分布．２．过程与方法目标：经历概念的提炼过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思．３．情感、态度与价值观目标：获得发现的成就感，初步形成用随机观念观察|、分析问题的意识．教学重点１．随机变量的概念；随机变量的概率分布．２．求随机变量的概率分布．教学难点根本概念的发现与运用．教学方法与手段从特殊到一般，去探索、发现、归纳、运用．运用多媒体教学．教学过程问题情境问题1抛一枚质地均匀的骰子，可能出现的点数X有哪些结果？点数X可能出现的结果有1点，2点，3点，4点，5点，6点．即可能出现的点数Ｘ可以由1， 2，3，4，5，6这6个数来表示．问题2某人射击一次，可能出现的环数Y有哪些结果？可能出现的结果有命中0环，命中1环，2环， (10)即可能出现的环数Ｙ可以由0，1，……10这11个数表示问题3：掷一枚质地均匀的硬币，可能出现的结果Ｚ有哪些？是否也可以用数字来表示？讨论１：上述实验结果的表示有哪些共同特点？归纳1：用数值来表示试验的结果．例如Ｚ＝１，表示正面向上．上述现象中的Ｘ，Ｙ，Ｚ实际上是把每个随机试验的根本领件都对应一个确定的实数．即在试验结果〔样本点〕与实数之间建立了一个映射．．．数学建构1〔板书课题〕随机变量的概念：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．数学运用例１．写出以下随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果〔1〕掷一枚质地均匀的硬币一次，用Ｘ表示掷得正面的次数，那么随机变量Ｘ的可能取值有哪些？〔2〕随机变量Y为抛掷两枚硬币时徽花向上的硬币数，求Y的可能取值．解：〔1〕随机变量Ｘ的取值构成集合｛0，1｝{X＝0}表示随机事件的结果是“掷一枚硬币，反面向上〞{X＝1}表示随机事件的结果是“掷一枚硬币，正面向上〞〔2〕随机变量Y的取值构成集合{0，1，2}．{Y＝1}表示随机事件的结果是正，反、正，反；{Y＝2}表示随机事件的结果是正，正小结1：对于随机变量我们常常关心的是它的取值．既然随机事件可以用随机变量的取值来表示，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了如例１〔1〕中，{X＝0}的概率可表示为Ｐ{X＝0}，可简写为ＰX＝0=P{掷一枚硬币,反面向上}= ，ＰX＝1,这一结果可以用表2-1-1来描述X 0 1Ｐ如例１〔2〕中，ＰY＝0= , ＰY＝1= , ＰY＝2=这一结果也可以用表2-1-2来描述Ｙ0 1 2Ｐ表格2-1-1,2-1-2分别给出了随机变量X,Y表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．我们设立随机变量，是要用随机变量的取值来描述随机事件．也就是说,复杂的事件可以用随机变量的取值来表示这样,我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了数学建构２定义一般地，假定随机变量Ｘ有n个不同的取值，它们分别为1,2, … ,n,且Ｘ取各个值的概率，即事件{Ｘ =i}的概率为P { Ｘ= i } = i〔i = 1, 2, …，n〕①那么称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．也可以将①用下面的概率分布表来表示随机变量Ｘ的概率分布列．．．都叫做随机变量Ｘ的概率分布．．．．和概率分布表思考：〔i = 1, 2, …，n〕应满足什么样的条件？小结2：；＋＋…＋＝１．数学运用例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一球, 用Ｘ表示“取到白球个数〞，即，求随机变量Ｘ的概率分布．解：由题意知，故随机变量Ｘ的概率分布列为概率分布表为问题：在例３中，随机变量Ｘ只取两个可能值0和1像这样的例子还有哪些数学建构３归纳定义:0-1分布两点分布我们把随机变量只能取两个可能值的这一类的概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为Ｘ～ 0-1分布或Ｘ～两点分布．此处“～〞表示“服从〞．数学运用例3．写出以下随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果一袋中装有5只质量相等、同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋中随机取出3只白球，被取到的球的最大号码Ｙ．解:随机变量Ｙ的取值构成集合｛3,4,5｝．{Ｙ＝３}表示取出的三个球为 {1,2,3} ;{Ｙ＝４}表示取出的三个球为{1,2,4},{ 1,3,4},{2,3,4}{Ｙ＝５}表示取出的球为{1,2,5},{1,3,5},{1，4，5},{2，3，5},{2,4,5},{3,4,5}．那么随机变量Ｙ的概率分布列为ＰＹ＝３=，ＰＹ＝4=，ＰＹ＝３=随机变量Ｙ的概率分布表为变式训练一袋中装有5只质量相等、同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋中随机取出3只白球，求被取到的球的最小号码Ｘ的概率分布，并求Ｘ大于１小于４的概率Ｐ〔１＜Ｘ＜４〕．小结3：一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．回忆反思回忆反思：本节课你学到了什么？用所学的知识你能解决什么样的问题？•概念：随机变量的定义及其表示；随机变量Ｘ的概率分布包含机变量Ｘ的概率分布列和概率分布表；Ｘ～两点分布．•用随机变量表示随机试验的结果〔包括复杂的随机试验的结果〕，能求随机变量的取值；能用随机变量的概率分布表示随机变量所取值的概率．•数学语言的符号化、数值化，表达了数学语言的精炼，数学语言的简洁美作业布置1你每次听的时间长度是一个随机变量吗？2引入随机变量后，〔〕A随机事件个数与随机变量一一对应B随机变量与区间一一对应C随机变量的取值是实数D随机变量与自然数一一对应的概率分布如下：求：〔1〕a; 〔2〕PX＜0;〔3〕P≤X＜3; 〔4〕PX＜-2;〔5〕PX＞1; 〔6〕PX＜5教学设计说明随机变量是在随机事件的根底上的延续和开展，是后期学习的根底，在教材的编写上有承上启下的作用，因此，在本节课的教学中始终以随机事件和随机事件的概率为根底的．由于学生在必修内容中对随机事件和随机事件的概率的知识和思想方法有了一定的了解，所以在教学过程中可以引导学生在已有的认知的根底上，对试验结果进行探索、分析、归纳，从而可以得到随机试验的结果与实数的关系，即样本点与随机变量的对应关系．教学中，屡次采用提问教学，引导学生主动思考，积极探究，培养学生的自主学习的能力．在教学手段上，尝试用多媒体辅助教学，激发学生的学习积极性．本节课是一节根底概念课，本人是设计的教学过程如下：首先是情境的设置，用一系列的问题串，在老师的引导下，学生通过观察、比照，合作讨论，不断的提炼出数学的本质，体会生活中的问题被抽象成数学问题的思维过程．学以至用，其次是数学概念的运用，在运用的过程中，学生体会成功的喜悦，培养了学生学习数学的兴趣，并在运用中自然的过渡到下一个知识点，＂用随机事件的概率表示随机变量的取值概率＂．同样在运用中归纳小结得出本节课的重点＂随机变量的概率分布＂的概念及Ｘ～两点分布的概念，从特殊到一般的思维方式贯穿始终．再次在稳固复习时，本人以学生为主，有意识的把例3变题作为练习，培养学生灵活运用知识的能力．在教学过程中，用一系列的问题串，循序渐进地，加深思维的层次，促进学生主体的参与，从而激发学生学习数学，探究数学的兴趣．。

高中数学 2.1随机变量及概率分布导学案苏教版选修2-3

高中数学 2.1随机变量及概率分布导学案苏教版选修2-31．随机变量一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值．预习交流1随机变量与函数有哪些区别和联系？提示：随机变量和函数都是一种映射，而随机变量是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果和实数之间的一个对应关系，即随机变量把随机试验的结果映射为实数．函数是把实数映射为实数，它们的本质是相同的，在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的范围相当于函数值域．2．概率分布一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1，x 2，…，x n 且P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n ，①，称①为随机变量X 的概率分布列．简称为X 的分布列，也可以将①用表的形式来表示.我们将表称为随机变量的概率分布表．它和①都叫做随机变量的概率分布．显然这里的p i (i ＝1,2，…，n )满足条件p i ≥0，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.预习交流2 盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为ξ，那么ξ的可能取值是多少？当ξ＝2时表示怎样的试验结果．此时P (ξ＝2)是多少？提示：ξ的取值为0,1,2,3，“ξ＝2”表示取出2支白粉笔和1支红粉笔．P (ξ＝2)＝C 26·C 18C 314＝3091. 3．两点分布随机变量X 只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1分布或X ～两点分布．此处“～”表示“服从”．预习交流3试验结果有两种情况的是不是两点分布？提示：不一定．因为两点分布要求试验结果只有两种，且随机变量必须只能为0和1.一、随机变量指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；(3)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．思路分析：判断一个变量是否为随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定，结果不能确定的是随机变量．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，所以是随机变量．(3)掷一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，因此不是随机变量．从4张已编号(1～4号)的卡片中任取2张，被取出的卡片号之和为X，写出X可能取的值，并说明随机变量所取值表示的随机试验的结果．解：X可取3,4,5,6,7.其中，X＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．①随机试验的结果可用变量ξ来表示；②试验前可以判断其可能出现的所有值；③试验前不能确定取何值．这是随机变量的特征，随机变量的取值一般源于实际问题，且有特定的含义，写随机变量时，一般将值按从小到大排列，做到不重不漏．二、随机变量的概率分布列从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X的分布列．思路分析：要求赢得的钱数X的概率分布列，需先写出X的可能取值，然后求出X中每一个可能值的概率，从而列出分布列．解：从箱中取两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2，此时P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522；当取到1白1黄时，结果输1元，随机变量X ＝－1，此时P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211；当取到1白1黑时，结果赢1元，随机变量X ＝1，此时P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411；当取到2黄时，结果无输赢，随机变量X ＝0，此时P (X ＝0)＝C 22C 212＝166；当取到1黑1黄时，结果赢2元，随机变量X ＝2，此时P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433；当取到2黑时，结果赢4元，随机变量X ＝4，此时P (X ＝4)＝C 24C 212＝111；设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)， (1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35的值．解：由题意得X(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝1215＝45. 解答此类问题的关键有两点：一是依据试验的所有可能结果写出随机变量的可能取值；二是依据随机变量取值所对应的结果求出随机变量取每一个值的概率．1．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X ，则“X ＞4”表示的试验结果为__________．答案：第一枚骰子掷出的为6点，第二枚掷出的是1点解析：因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一．由已知得－5≤X ≤5，也就是说“X ＞4”就是“X ＝5”．所以，“X ＞4”表示第一枚掷出的为6点，第二枚掷出的是1点．2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ的可能值有__________个．答案：9解析：两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个．3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，射击次数为ξ.则前4次均未击中目标用“ξ＝k”表示，则k＝__________.答案：5解析：ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次．4．篮球运动员在比赛中，每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.8，求他罚球一次的得分X的分布列，此分布列是两点分布列吗？解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，根据题意，X可能取值为0,1，且取这两个值的概率分别为0.2，0.8.5．某车间三天内每天生产101件，2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若工厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天，两天分别得1分，2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．解：ξ的可能取值为0,1,2.ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品，ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品，ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．。

(教师用书)高中数学 2.1 随机变量及其概率分布配套课件苏教版选修2-3

两点分布
．
求随机变量的概率分布
一个口袋有 5 只同样大小的球，编号分别为 1， 2，3，4，5，从中同时取出 3 只，以 X 表示取出球最小的号码，求 X 的概率分布．
【自主解答】因为同时取出 3 只球，而 X 表示取出球最小的号码，所以 X 的取值只能是 1，2，3.当 X 是 1 时，其他两球可在剩余的 4 只球中任意选取， C2 3 4 因此概率为 3＝； C5 5 当 X 是 2 时，其他两球的编号在 3，4，5 中选取， C2 3 3 因此其概率为 3＝； C5 10
ξ 1
2
3
4
5
P 0.8 0.16 0.032 0.006 4 0.001 6
两点分布
掷一枚均匀的骰子，记
0，点数大于4， X＝求 1，点数不大于4，
X 的概率分布．
【思路探究】分别计算 P(X＝0)，P(X＝1)，再列出分布表即可．
1 当 X 是 3 时，只可能为 3，4，5 这一情况，概率为 . 10 所以随机变量 X 的分布表为：
X P
1 3 5
2 3 10
3 1 10
1．求随机变量主要有两步： ①写出随机变量的所有取值，不能遗漏；②求 P(X＝Xi)，该环节要充分利用排列、组合有关知识． 2．求概率分布可以是分布列，也可以是分布表，但不能名称倒置，相互更换．
尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．本节课采用师生互动的方式，通过让学生动脑思考、动口议论、小组合作，充分发挥学生的积极性和主动性，教师合理引导学生归纳总结．教学环节：创设情境— 概念形成—概念深化—知识应用—总结反思－达标检测．
●教学流程
演示结束

江苏省高二数学苏教版选修2-3教案： 2.1 随机变量及其概率分布

2.1随机变量及其概率分布教案教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观．教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．教学过程一．问题情境在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是 0，1，…，10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数；……上述现象有哪些共同特点？二．学生活动上述现象中的X ，Y ，Z ，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数X ：0X =，表示成活0棵；1X =，表示成活1棵；…… 三．建构数学 1．随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母，，ζ）等表示，而用小写拉丁字母，y ，（加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．如：上面新生婴儿的性别Z 是一个随机变量，0Z =，表示新生婴儿是男婴；1Z =，表示新生婴儿是女婴．例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的可能取值有哪些？解（1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X 的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量X 的取值构成集合{0，1}．（2）根据条件可知，随机变量Y 的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}．说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．(2) 在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为{1}X =，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为{0}X =．(3) 在例1（2）中，也可用{1}Y =，{2}Y =，{3}Y =，{4}Y =分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1（2）中，可以用{3}Y ≤这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1（1）中{1}X =的概率可以表示为{1}P X ==（） {P 抛一枚硬币， 1}2=正面向上，其中{1}P X =（）常简记为1P X =（）．同理，0P X =1（）=．这一结果可用表2-1-1来描述．例1（2）中随机变量Y 所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．上面的两个表格分别给出了随机变量X ，Y 表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．2．随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量X 有个不同的取值，它们分别是1x ，2x ，…，n x ，且()i i P X x p ==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，① 则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．我们将表2-1-3称为随机变量X 的概率分布表．它和①都叫做随机变量X 的概率分布．3．随机变量分布列的性质：（1）0i p ≥；（2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=．四．数学运用 1．例题：例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．解由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)P X ==，3(1)P X ==，概率分布表如下．说明：1．本题中，随机变量X 只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X ~0-1分布或X ~两点分布．此处“~”表示“服从”．2．求随机变量X 的分布列的步骤：（1）确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…；（2）求出相应的概率()i i P X x p ==；（3）列成表格的形式。

高中数学第2章概率 2.1 随机变量及其概率分布学案苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学

2．1 随机变量及其概率分布1.了解随机变量的定义．2.理解随机变量的概率分布列．3.掌握随机变量分布列的求法．1．随机变量(1)定义：一般地，如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．(2)表示方法①随机变量通常用大写拉丁字母X、Y、Z(或小写希腊字母ξ、η、ζ)等表示．②随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x、y、z(加上适当下标)等表示．2．随机变量X的概率分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，3，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．也可以用下表表示：X x1x2…x nP p1p2…p n我们将此表称为随机变量X的概率分布表．3．随机变量X的概率分布的性质(1)非负性：即p i≥0，i＝1，2，…，n．(2)全部试验结果之和为必然事件：即p1＋p2＋…＋p n＝1．4．01分布(或两点分布)随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布，此处“～”表示服从．1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( ) A．不一定是随机变量B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C．可能是定值D．一定是离散型随机变量答案：D2．某射手射击所得环数X的分布列如下：X 4 5 6 7 8 9 10P0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________．答案：0.793．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．答案：共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品随机变量的概念判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日到6月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1000cm3的球半径长．【解】(1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1000cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．判断一个试验是否为随机试验的方法判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即(1)试验在相同条件下是否可重复进行；(2)试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(3)某个人的属相随年龄的变化；(4)在标准状况下，水在0℃时结冰．解：(1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(3)属相是出生时定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．(4)标准状况下，在0℃时水结冰是必然事件，不是随机变量．随机变量的可能取值写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1到10的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球、5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.【解】(1)X的可能取值为1，2，3，…，10.X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出编号为k的球．(2)X的可能取值为0，1，2，3，4.X＝k(k＝0，1，2，3，4)表示取出k个红球．(3)X的可能取值为2，3，4，…，12.用(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i 点且骰子乙得j点，则X＝2表示(1，1)；X＝3表示(1，2)，(2，1)；X＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；X＝12表示(6，6)．Y的可能取值为2，4，6，8，10，12.Y＝2表示(1，1)；Y＝4表示(2，2)，(1，3)，(3，1)；Y＝6表示(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)；Y＝8表示(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)；Y＝10表示(5，5)，(4，6)，(6，4)；Y＝12表示(6，6)．解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．2.某射击手有5发子弹，射击命中就停止，否则一直到子弹用尽，写出耗用子弹数ξ的所有可能取值，并说明每个取值表示的具体实际意义．解：ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5.ξ＝1表示第一发击中，停止；ξ＝2表示第一发不中，第二发击中，停止； ξ＝3表示前两发不中，第三发击中，停止； ξ＝4表示前三发不中，第四发击中，停止； ξ＝5表示前四发不中，第五发击中或五发全不中．随机变量的分布列某班有学生45人，其中O 型血的有15人，A 型血的有10人，B 型血的有12人，AB 型血的有8人．将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X ，求X 的概率分布．【解】 X 的可能取值为1，2，3，4. P (X ＝1)＝C 115C 145＝13，P (X ＝2)＝C 110C 145＝29，P (X ＝3)＝C 112C 145＝415，P (X ＝4)＝C 18C 145＝845.故X 的概率分布为X 1 2 3 4 P1329415845求随机变量的概率分布的步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取的值x i (i ＝0，1，…，n )； (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i ； (3)列出P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n .3.一个口袋里装有5个同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个，设随机变量X 表示取出的球的最小号码，求X 的概率分布．解：因为同时取3个球，X 表示取出的球的最小号码，故随机变量X 可能的取值为1，2，3.当X ＝1时，其他两球可在剩余的4个球中任意选取，因此P (X ＝1)＝C 24C 35＝35＝0.6；当X ＝2时，其他两球可在编号为3，4，5的球中选取，因此P (X ＝2)＝C 23C 35＝310＝0.3；当X ＝3时，其他两球只可能是4，5号球，因此P (X ＝3)＝C 22C 35＝110＝0.1.所以X 的概率分布为X 1 2 3 P0.60.30.11．对随机变量的再认识(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．2．离散型随机变量的特征 (1)可用数值表示．(2)试验之前可以判断其出现的所有值． (3)在试验之前不能确定取何值． (4)试验结果能一一列出．一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ的试验结果有________种．【解析】从6个球中选出3个球，当ξ＝3时，另两个球从1，2中选取，有1种取法；当ξ＝4时，另两个球从1，2，3中任取两个球，有C 23＝3种；当ξ＝5时，另两个球从1，2，3，4中任取两个球，有C 24＝6种；当ξ＝6时，另两个球从1，2，3，4，5中任取两个球，有C 25＝10种．所以，ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20种．【答案】 20本题易遗漏ξ＝3，4，5的情况；对题目中给出的条件作出正确判断是解决数学问题的关键，如本例中“以ξ表示取出的篮球的最大号码”指的是“随机抽取3个篮球”中的最大号码，而不是ξ＝6.1．掷两颗骰子，所得点数之和为γ，那么γ＝4表示的随机试验结果是( ) A ．一颗是3点，一颗是1点 B ．两颗都是2点 C ．两颗都是4点D ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：选D.因为γ＝4表示两个骰子之和为4，有(3，1)，(1，3)，(2，2)，即γ＝4表示的随机试验结果是一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点，故选D.2．已知随机变量X 的概率分布表如下：X 01 2 3 Pm0.332m 0.45则m 的值为________．解析：由分布列的性质，可得m ＋0.3＋32m ＋0.45＝1，解得m ＝0.1. 答案：0.13．邮局工作人员分拣邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X >30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.3[A 基础达标]1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( ) A ．取到产品的件数 B ．取到正品的概率 C ．取到次品的件数D ．取到次品的概率解析：选C.A 中取到产品的件数是一个常量，不是变量，B ，D 也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为( )A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5解析：选B.由于取到白球取球停止，所以取球次数可以是1，2，3，…，7. 3．若随机变量X 的概率分布为：则常数c ＝( )A.12B.13C.14D.15 解析：选B.由随机变量分布列的性质可知： ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝10≤9c 2－c ≤10≤3－8c ≤1，解得c ＝13. 4．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1≤x <2解析：选C.由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，所以P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.5．已知ξ的分布列为P (ξ＝k )＝c2k (k ＝1，2，…，6)，其中c 为常数，则P (ξ≤2)＝________．解析：由题意得，c 2＋c 4＋c 8＋c 16＋c 32＋c64＝1.解得c ＝6463，P (ξ≤2)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝6463×⎝⎛⎭⎪⎫12＋14＝1621. 答案：16216．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X ，则X 所有可能值的个数是________．解析：X 的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．答案：107．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一个球．若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，则从该盒中随机取出一球所得分数X 的概率分布为________．解析：设黄球的个数为n ，则绿球个数为2n ，红球个数为4n ，球的总数为7n .X ＝1，0，－1.所以P (X ＝1)＝4n 7n ＝47，P (X ＝0)＝n 7n ＝17，P (X ＝－1)＝2n 7n ＝27.答案：8.数字1求巧合数ξ的概率分布．解：ξ的可能取值为0，1，2，4；ξ＝0，即没有巧合，若1—2—3—4为四个数巧合，则没有一个巧合的情况有以下几种：2143341413 3142412421 4123312321 所以P (ξ＝0)＝9A 44＝924＝38.同理P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13；P (ξ＝2)＝C 24×1A 44＝14；P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以ξ的概率分布为ξ 0 1 2 4 P3813141249.如图，从A 1(1，0，0)，A 2(2，0，0)，B 1(0，1，0)，B 2(0，2，0)，C 1(0，0，1)，C 2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．(1)求V ＝0的概率； (2)求V 的概率分布．解：(1)从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C 13C 34＝12(种)，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35.(2)V 的所有可能取值为0，16，13，23，43，因此V 的概率分布为V 0 16 13 23 43 P35120320320120[B 能力提升]1．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3，3]D ．[0，1]解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.2．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：分别求出随机变量η1＝2ξ，η2＝ξ2的概率分布．解：由于η1＝12ξ，对于ξ的不同取值－2，－1，0，1，2，3，可得到不同的η1，即η1的可能取值为－1，－12，0，12，1，32.显然，尽管分布列中的随机变量的数值已经发生了变化，但其相应的概率并不发生变化，故η1＝12ξ的概率分布如下表所示：229.η2取4时，其概率应是ξ取－2与2时的概率之和；η2取1时的概率应是ξ取－1与1时的概率之和，故η2的概率分布如下表所示：3.(交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的概率分布．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，所以P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，所以P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的概率分布是：。

【小初高学习】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.1 随机变量及其概率分布-缺

_2.1随机变量及其概率分布[对应学生用书P25]1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X . 问题1：X 取什么数字？提示：X ＝0,1,2， (10)2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上． 3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球．问题3：若用X 表示所含红球个数，则X 的取值是什么？提示：X ＝0,1,2,3,4.1．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．2．随机变量的表示方法(1)随机变量通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示． (2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示.1．抛掷一个骰子，用X 表示骰子向上一面的点数．问题1：X 的可能取值是什么？提示：X ＝1,2,3,4,5,6.问题2：X 取不同值时，其概率分别是多少？提示：都等于16.2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以X 表示取出的3 只球中的最大号码．问题3：随机变量的可能取值是什么？提示：X ＝3,4,5.问题4：试求X 取不同值的概率．提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110；P (X ＝4)＝C 23C 35＝310；P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35.问题5：试用表格表示X 和P 的对应关系．提示：问题6：试求概率和．提示：其和等于1.1．随机变量X 的分布列一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1，x 2，…，x n ，且P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2,3，…，n ，①则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，也可以用下表表示：通常将上表称为随机变量X 的概率分布表，它和①都叫做随机变量X 的概率分布．显然，这里的p i (i ＝1,2，…，n )满足条件p i ≥0，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.2．0－1分布(或两点分布)随机变量X 只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1分布或X ～两点分布，此处“～”表示“服从”．1．随机变量是将随机试验的结果数量化；2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；4．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[对应学生用书P26][例1](1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数；(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．[思路点拨]要根据随机变量的定义考虑所有情况．[精解详析](1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机的，故是随机变量．(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量．[一点通](1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．1．判断下列变量中是否是随机变量．(1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2000 g)中间某个时刻的体重；(2)解答高考数学Ⅰ卷所用的时间；(3)某手机一天内收到短信的次数；(4)1 000 mL水的质量．解：(1)体重在[400,2 000]范围内，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(2)做Ⅰ卷的时间在(0,120]的范围之内，是随机变量．(3)短信的次数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(4)此时水的质量为定值，不是随机变量．2．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；(3)某个人的属相．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、…、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1,2,3,4,5,6，因此是随机变量．(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量.[例2]结果．(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．[思路点拨]分析随机变量的实际背景―→写出随机变量的可能取值→得出具体随机试验的结果[精解详析](1)Y的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1,1)；{Y＝3}表示(1,2)，(2,1)；{Y＝4}表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；{Y＝12}表示(6,6)．(2)Y的可能取值为0,1,2,3,4,5.{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下．{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下．{Y＝2}表示在遇到第3盏信号灯时首次停下．{Y＝3}表示在遇到第4盏信号灯时首次停下．{Y＝4}表示在遇到第5盏信号灯时首次停下．{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．[一点通]此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是________．解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品4．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X；(2)从4张已编号(1－4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡号数之和为X.解：(1)X的所有可能的取值为0,1,2，其中，X＝0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔；X＝1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔；X＝2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔；X＝3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔；(2)X可取3,4,5,6,7.其中，X＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片.[例3]每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列．[思路点拨]解答本题先确定X的所有可能的取值，然后分别求概率，最后列表即可．[精解详析]随机变量X可取的值为2,3,4，P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310； P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12 ＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：[一点通] 随机变量的分布列的作用对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．5．已知随机变量X 的分布列为则k 的值为________．解析：由k n ＋k n ＋…＋kn ＝1，得k ＝1. 答案：16．设随机变量X 概率分布P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4, 5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710. 解：由题意知随机变量X 的概率分布如下表：(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝55＝315＋415＋515＝45，或P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎫X ≤25＝1－⎝⎛⎭⎫115＋215＝45. (3)因为110＜X ＜710，所以X ＝15，25，35.故P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25. 7．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(两球全红)，1(两球非全红).求X 的分布列．解：因为X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，P (X ＝1)＝1－311＝811.所以X 的概率分布为8.如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，求X 的分布列．解：由已知X 的取值为7,8,9,10，∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25， P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴X 的概率分布列为1．随机变量的三个特征 (1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取值．2．求随机变量的分布列应注意的几个问题．(1)随机变量X 的分布列实质上就是随机变量X 与这一变量所对应的概率P 的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．[对应课时跟踪训练(十)]一、填空题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中是真命题的有________．(填写序号)解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确．答案：①②③④2．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝5表示的随机实验结果是________．解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点．答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点 3．设离散型随机变量X 的概率分布如下：则p 的值为________．解析：∵12p ＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.答案：134．设随机变量X 等可能取值1,2,3…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________. 解析：∵随机变量X 等可能取1,2,3…，n ， ∴取到每个数的概率均为1n .∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝3n ＝0.3，∴n ＝10. 答案：105．随机变量X 的概率分布规律P (X ＝k )＝ck (k ＋1)(k ＝1,2,3,4，其中c 是常数)，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为______．解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝1，得c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1. ∴c ⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1， ∴c ＝54.P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝541×2＋542×3＝ 58＋524＝2024＝56. 答案：56二、解答题6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球，求X 的概率分布；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的概率分布．解：(1)由题意知P (X ＝0)＝34＋3＝37，P (X ＝1)＝44＋3＝47，故X 的概率分布如下表：(2)由题意知P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝67，故X 的概率分布如下表：7．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的12，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的概率分布及P (X >1)的值．解：依题意得P (X ＝1)＝2P (X ＝2)， P (X ＝3)＝12P (X ＝2)．由于概率分布的总和等于1，故P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝72P (X ＝2)＝1.所以P (X ＝2)＝27.随机变量X 的概率分布如下：所以P (X >1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝37.8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数X 的概率分布列．解：得分X 的取值为－3，－2，－1,0,1,2,3. X ＝－3时表示取得3个球均为红球， ∴P (X ＝－3)＝C 33C 311＝1165；X ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (X ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111；小初高教育K12资源 X ＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，∴P (X ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355； X ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (X ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13； X ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (X ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355； X ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (X ＝2)＝C 23C 15C 311＝111； X ＝3时表示取得3个白球，∴P (X ＝3)＝C 33C 311＝1165； ∴所求概率分布列为。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.1 随机变量及其概率分布》9

“随机变量及其概率分布〞教学设计1、学情分析本节课的教学对象是物地班的学生，学生根底较好，反响较快，对于随机变量概念和概率分布是表达方式较快掌握。

故，在理解概念的根底上，应该适当加强求解概率方法的练习，来提高学习效率。

2、教材分析“随机变量及其概率分布〞是苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-3第节，主要内容随机变量的概念，概率分布及其分布列的性质和应用。

在必修3已经学习概率和统计的根底上，作为本章第一节课，?随机变量及其概率分布?主要是帮助学生将试验结果〔样本点〕与实数之间建立一个对应关系，把随机试验的结果数量化，借助数学工具来研究随机现象，圩进一步学习随机变量的概率分布作准备。

3、教学目标（1）理解离散型随机变量的概念，在对具体问题的分析中，能用随机变量描述随机事件；（2）理解概率分布的概念，掌握随机变量分布列的表示方法和性质，会求概率分布，了解两点分布。

（3）感受生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养独立思考能力．4、教学重点随机变量及其概率分布的概念及表示方法，会求一些简单的随机变量的概率分布；教学难点求解随机变量的概率分布．5、教学过程设计一．问题情境：〔1〕在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数可能有哪些结果？如果用表示树苗存活棵数，那可以取哪些值〔2〕抛掷一颗骰子，向上的点数可能有哪些结果？如果用表示向上的点数，那可以取哪些值？问题1：上述两个问题有什么共同特点？每个随机试验的结果都对应着一个数字，这样，我们就在试验结果与实数之间建立了一一对应关系。

〔3〕掷一枚质地均匀的硬币1次，向上的面可能有哪些结果？〔4〕正常新生婴儿性别，抽查的结果有哪些？问题2：上述问题又有什么共同的特点？和问题1一样吗问题3：那能否将两个问题转化成统一的一类问题呢？二．数学建构：1．随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母，，〔或小写希腊字母，，〕等表示，而用小写拉丁字母，，〔加上适当下标〕等表示随机变量取的可能值．例如，〔1〕中成活的树苗棵数：，表示成活3棵；，表示成活10棵；……〔2〕中向上的点数：，表示向上点数为2；……问题4：〔1〕中表示什么事件？例1口袋中装有6只白球和4只红球，用“1〞标号白球，用“0〞标号红球〔1〕从口袋中任取1只球，用X表示取出的球上的数字，那么X的取值有哪些？概率分别是多少？解：可能取值为0和1，我们也可以通过列表来反映X 0 1P在这个过程中，把所有取值的概率一一列出的，叫做随机变量的概率分布列2．概率分布：一般地，如果随机变量有个不同的取值，它们分别是，，…，，那么称，，为随机变量的概率分布列，简称为的分布列．也可以用表格的形式来表示：该表格称为随机变量的概率分布表．概率分布列和概率分布表都叫做随机变量的概率分布．3．随机变量分布列的性质：〔1〕；〔2〕．例1〔1〕中两个可能值只有0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中〞与“不命中〞；对产品进行检验时，只关心“合格〞与“不合格〞等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布4．两点分布随机试验只考虑两个对立的结果，随机变量只能取0、1两个取值，我们称随机变量服从两点分布或者0-1分布，记作两点分布或分布三．数学应用：例1〔2〕从口袋中随机抽取2个球，用Y表示取出的球上的数字之和，求Y的概率分布小结：的分布列的步骤：〔1〕确定的可能取值；〔2〕求出相应的概率；〔3〕列出概率分布表例2同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数求两颗骰子中出现的较大点数的概率分布，并求大于2小于5的概率解：依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔1，5〕，〔1，6〕，〔2，1〕，…，〔6，5〕，〔6，6〕．因而的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表．由古典概型可知的概率分布如表2-1-6所示．从而．小结求概率方法：〔1〕在根本领件数目较少的时候用列举法；〔2〕在便于运用排列、组合数求概率的时候采用计算式变式训练：求两颗骰子中出现的较小点数的概率分布并求大于等于2小于等于5的概率四．回忆小结：让学生自己回忆本节课所学知识，到达稳固知识，加深记忆的效果五．课外作业：〔略〕六．板书设计：七教学反思：本节课按照“问题情境〞、“数学建构〞、“数学应用〞、“变式训练〞“回忆总结〞的顺序结构来展开，逐步引入随机变量及其概率分布的概念和求解方式以及分布列的性质和二项分布概念。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.1 随机变量及其概率分布》09

离散型随机变量及其分布列第一课时2.1.1离散型随机变量教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量．2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识．3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识数学的科学价值和应用价值．教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究．教学方法：启发讲授式与问题探究式．教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境，引出随机变量提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系．在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果．再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分投进一个球——— 1分投进两个球——— 2分投进三个球——— 3分得分结果可以用数字0、1、2、3表示．二、探究发现1、随机变量问题：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量．问题：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X 、Y 、ξ、η来表示．问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？引导学生回顾函数的理解：实数实数在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：随机试验的结果实数师生讨论交流归纳出结论：随机变量和函数都是一种映射，函数把实数映为实数，随机变量把随机试验的结果映为实数，在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．因此掷一枚硬币的试验中，随机变量的值域可以为{0，1}或{1，2}2、离散型随机变量问题：用随机变量表示下列试验，写出它们的值域：（1）据统计资料显示，某城市的最大日降雨量是150毫升/平方米，该城市的日降雨量ξ是随机变量．（2）在100张体育彩票中，有5张三等奖，现从中任取10张，抽得三等奖的张数η是随机变量．解答：（1）{}1500≤≤ξξ；（2）{}5,4,3,2,1,0问题：从连续性的角度看上述两个问题中的值域有什么不同？让学生思考得出结论：有的随机变量的取值可以一一列出，但有的却不能．教师引导学生归纳出离散型随机变量的概念：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．问题：区分下列随机试验中的随机变量哪些是离散型随机变量？哪些不是？函数随机变量（1）电话用户在某一段时间内对电话站的呼唤次数；（2）射击时击中点与目标中心的偏差；（3）某网页在24小时内被浏览的次数；（4）电灯泡的寿命．再让学生自己举出一些离散型随机变量的例子，加深对概念的理解．三、随机变量在实际问题中的应用1、用随机变量表示随机事件问题：写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（1）在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量．（2）一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．解答：（1）随机变量X可能的取值为：0，1，2，3，4．{}0=X，表示抽出0件次品；{}1=X，表示抽出1件次品；{}2=X，表示抽出2件次品；{}3=X，表示抽出3件次品；（2）随机变量可能的取值为：0，1，2，3．{}0=ξ，表示取出0个白球3个黑球；{}1=ξ，表示取出1个白球2个黑球；{}2=ξ，表示取出2个白球1个黑球；{}3=ξ，表示取出3个白球0个黑球；ξ表问题：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：{}4>示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”ξ”表示第一枚为6点，第二枚为1点．所以，“{}4>让学生进一步了解随机变量的作用，以及用随机变量表示随机试验的方法．2、定义随机变量的原则问题：如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品；寿命在1000小时到1500小时之间的为二等品；寿命为1000小时以下的为不合格．（1）如果我们关心灯泡是否为合格品，应该如何定义随机变量？（2）如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，应该如何定义随机量？（3）如果我们关心灯泡的使用寿命，应该如何定义随机变量？让学生思考，教师引导得出答案：（1）随机变量⎩⎨⎧=否则灯泡为不合格品.1.0X ；（2）随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=否则灯泡为二等品灯泡为一等品.3.2.1Y ；（3）定义随机变量Z 为灯泡的使用寿命．问题：定义随机变量的规律是什么引导学生体会根据实际问题定义随机变量的一般原则，让学生讨论并归纳出：所定义的随机变量值应该有实际意义，所定义的随机变量取值应该和所感兴趣的结果个数形成一对一的关系．四、课堂小结（1）随机变过量的定义，离散型随机变过量的定义；（2）定义随机变量的原则：所定义的随机变量值应该有实际意义，所定义的随机变量取值应该和所感兴趣的结果个数形成一对一的关系．五、布置作业课本:习题2．1 A 组1、2、3思考题：某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4km ，则按每超出m 加收2元计费超出不足1km 的部分按m 计．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程这个城市规定，每停车5分钟按m 路程计费，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量．1求租车费η关于行车路程ξ的关系式；2已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟参考答案：1依题意得η=2ξ-410，即η=2ξ22由38=2ξ2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．教学设计：随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，它通过实数空间来刻画随机现象，从而使更多的数学工具有了用武之地．随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使我们得以在实数空间上研究随机现象．离散型随机变量是最简单的随机变量，本节课通过离散型随机变量展示了用实数空间刻画随机现象的方法．本节课首先从学生熟悉的掷骰子、掷硬币、篮球运动员罚球为例，引入随机变量的概念，引导学生分析问题的特点，通过几个问题的讨论，了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广，从而进一步归纳出随机变量的概念，使学生体会概念形成的过程．随机变量的概念得出后，通过三组问题让学生理解、辨析离散型随机变量．最后通过简单的练习，让学生体会随机变量在实际问题中的应用，培养应用的意识．在教学方法方面，为了充分调动学生学习的积极性，在教学中主要采用启发式教学法；采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”进行教学，把启发、诱导贯穿教学始终，通过真实、熟悉的情景，激发学生的学习兴趣，尽力唤起学生的求知欲望，促使他们积极参与学习活动全过程，在老师的指导下主动地开展学习活动．。