第9讲 镜像法

导体球面上的总感应电荷与所设置的镜像电荷不相等。
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
导体球不接地时的特点： • 导体球面是电位不为零的等位面
• 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电 荷分布，但总的感应电荷为零。
a
r R′ -q′ q′ d2 d1
P R q
问题：如何确定镜像电荷？
满足原问题的边界条件，所得的解正确。
h
l
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
3、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 d1 要满足在导体平面上电位为零， q1 R1 则必须引入3个镜像电荷。 d2
1
d1
R
q d2
q q1 q2 q3
q 1 1 1 1 ( ) 电位： 4π R R1 R2 R3
2 2 2 2 2 2 ( a d ) q ' ( a d ' ) q 0 2 2 2 a ( dq ' d ' q )0 a q ' q q' q d 或 (舍去） 2 d ' a d ' d d
r a
q(a 2 d 2 ) 4πa(a 2 d 2 2ad cos )3 2
球壳内表面的总感应电荷为
q(a 2 d 2 ) 2 π π a 2 sin d d qin S dS q 2 2 32 S 0 0 4πa (a d 2ad cos )
a q，d 0 a
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
不接地导体球外点电荷的镜像电荷
a a2 q q, d d d a q q q，d 0 a
球外任意点的电位为
P r a q" q' d' d R' R
q
q q q ( ) 4 0 R R r 1
导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷电量相等。
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
2、点电荷位于接地导体球壳内
镜像电荷的确定 如图所示接地空心导体球壳的内半径 为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内，
a b
O
P r R q d’
R′ q′
d
与球心相距为d ( d < a )。
• 感应电荷是如何分布的？ 分布在球壳的内表面上。 • 镜像电荷q′应位于何处？
P r a d R q
方程），且在点电荷q与球心的连线上，
距球心为d'。则有
1 q q ( ) 4π R R
问题： d ? q ?
P r a d' R' q' d R q
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
镜像电荷的确定 由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域， 且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球 面上电位为0，即：
d
第9讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像 d 2 2 a 4 2 da 2cos l 导体圆柱面外的电位函数： ln C 2 2 2 d d 2 d cos l d 0 由 a 时， C ln 2 a d 2 2 a 4 2 da 2 cos l 故 ln 2 a 2 2 a 2 d 2 2 da 2 cos
接地导体分界面上感应电荷分布
q
qh 2 ( x 2 y 2 h 2 )3/ 2 n z z 0 qh qin s ds dxdy q s 2 ( x 2 y 2 h 2 )3/ 2
s Dn En
为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的
轴线平行且到轴线的距离为d。
线电荷与导体圆柱
0 a o
l
d
x
特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱
外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。
P( , )
0
分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与轴线
平行的无限长线电荷。
a l o d
d
l
x
线电荷与导体圆柱的镜像
球面上的感应电荷面密度为
(r a)
S r
r a
q(d 2 a 2 ) 4πa(a 2 d 2 2ad cos )3 2
导体球面上的总感应电荷为
q(d 2 a 2 ) 2 π π a 2 sin d d a qin S dS q 2 2 32 S 0 0 4πa (a d 2ad cos ) d
第9讲 镜像法
一、镜像法原理
若镜像电荷的引入满足：

电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件
则求得的解就是正确的。
——惟一性定理
确定镜像电荷的两条原则：

等效电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中； 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域 的边界条件来确定。
P r a R' q' d R q
d'
r a
2
q q' [ ] 0 4 R R ' r a
2
1
R r d 2rd cos q' 1 q )0 ( r a 2 2 2 2 4 a d 2ad cos a d ' 2ad 'cos
P
r
a
d'
R' q' d
R
q
——导体球镜像电荷
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
接地导体球边界静电问题 球外的电位函数为
P
r
a
d'

R' q' d
R
q
a q 1 2 2 4π r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以
用等效电荷产生的电位替代。
第9讲 镜像法 问题的提出 几个实例：
接地导体球附近点电荷产生的电位
等效电荷
q′
q
用等效电荷代替非 均匀感应电荷
非均匀感应电荷
等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置 ——镜像法。
镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
4、点电荷位于不接地空心球壳内 a o d q P R' q d' P b o q' q’’= q，位于球心
2 a a q q , d d d
b
a rR
d
a q
b q"
r
第9讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像 问题：密度为ρl 的无限长线电荷位于半径
(a2 d 2 )q '2 (a2 d '2 )q2 2a(dq '2 d ' q2 )cos 0
R ' r 2 d '2 2rd 'cos
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
镜像电荷的确定
(a2 d 2 )q '2 (a2 d '2 )q2 2a(dq '2 d ' q2 )cos 0
1 d
601
2
d2 q3 R3 d1 R2 d1
d2
q2
q
d
2
°
2
对于非垂直相交的两导体平面 构成的边界，若夹角为

所有镜像电荷数目为2n-1个。
n
，则
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
点电荷q 位于半径为a 的接地导体
球外，距球心为d 。 球面上的感应电荷可用镜像电荷 q' 来等效。 q' 应位于导体球内（不影响原

负电荷分布与接地球球分布相同 正电荷均匀分布
与 q 共同使使球面电位为0 使球面为等势面
a
q
=
a
+
a
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
a
q
=
a
+
a
P
r
a q" R'
R q
q'
d' d
a
q′
+
a
q″
a a2 q q, d d d
q q
等效问题： 'l l 上半空间的电位分布为：
z ' h
l
z
h
导体

x
l 1 1 ( x, y, z ) (ln ln ) 2 R R'
x 2 ( z h) 2 l ln 2 x 2 ( z h) 2 ( z 0)
有效区域
l
h
R
R
位于导体空腔外，且在点电荷q与球
心的连线的延长线上。
a q q, d
•
a2 d d
| q'|>|q|，镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量
• 像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
2、点电荷位于接地导体球壳内
接地导体球壳的静电问题
a b O
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
上半空间内的电位分布为：
பைடு நூலகம்
1 1 ( x, y, z ) ( ) 4 R R ' q 1 1 ( )( z 0) 2 2 2 2 2 2 4 x y ( z h) x y ( z h)
第9讲 镜像法
一、镜像法原理
方法：在求解区域外设置等效电荷，替代边界上分布电荷的作用 目的：将复杂边值问题转换为无界均匀媒质空间的问题 问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？ 回顾：静电场的惟一性定理 条件： • 已知场域V 内的自由电荷分布和电介质特性 • 已知 场域V的边界面S上的 S 或 的值 n S 结论：场域V 内的位函数具有惟一确定解。
l l 1 1 ln ln C 0 2 a 2 d 2 2ad cos 2 a 2 d 2 2ad cos
由于导体圆柱接地，所以当
a时，电位应为零，即
将上式对φ求导，可以得到
l d (a 2 d 2 ) ld (a 2 d 2) 2add ( l l) cos 0 l l 2 2 2 2 l d (a d ) ld (a d ) 0 a2 d l l 0
r d
P R q
R′ q′
d’ 球壳内的电位函数为 q 1 a (r a) 2 2 2 2 2 2 4π 0 r d 2rd cos d r (a d ) 2r (a d ) cos 球壳内表面感应电荷面密度为
S 0 r
第9讲 镜像法
第九讲
镜
像
法
第9讲 镜像法
本讲内容 • • 镜像法的基本原理 接地导体平面的镜像
•
•
导体球面的镜像
导体圆柱面的镜像
•
•
点电荷与无限大电介质平面的镜像
线电流与无限大磁介质平面的镜像
第9讲 镜像法 问题的提出 几个实例：
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位
非均匀感应面电荷
q
等效电荷
第9讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像
设镜像电荷的线密度为 l，且距圆柱的轴线为 d ，则由 l 和 l 共同
产生的电位函数
l l 1 1 ln ln C 2 2 2 2 2 d 2 d cos 2 d 2 d cos
点电荷在导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等。
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
思考
• 无限大导体平板不接地，有何影响？ • 有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？
q q
h
h
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定 ：像电荷的个数、位置及其电量 明确等效求解的“有效场域”。
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
h
h
h
q
(求解域外)
原电荷：q, h
镜像电荷:
q q, h h
等效问题与原问题在求解区域内边界条件及电荷分布相同。由唯一 性定理，知解唯一正确。