测量误差理论及其应用
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可见：精度高，不一定准确度也高！
当系统误差相对于偶然误差小到可以忽略时， 精度=精确度！
2、观测精度：
是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，
是观测值与其期望值接近的程度，表征观测
结果偶然误差大小的程度。
密集
离散
在相同的观测条件下所进行的一组观测，称为等精度观测或 同精度观测。
精度与准确度、精确度
➢精度：就是指在一定观测条件下，一组观测值密集或 离散的程度，即反应的是： L与E（L）接近程度。
❖ 若观测误差中系统误差，即 总 =系 +偶
E(总) 系 0
~
L E(L) 系
2.2 精度指标
观测条件与观测精度
1、观测条件：指测量过程中的观测者、仪器、外界 条件的综合。
➢
一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布；
越小
越大
可见：
分布曲线陡峭的说明误差分布密集，或者离散度小，观测精度高些，也就 是观测条件好；另一条说明误差分布较为离散或者说它的离散度大，也即观 测条件差。
∑
△为负值
△为正值
个数
频率
个数
频率
45
0.126
46
0.128
40
0.112
41
0.115
33
0.092
33
0.092
表1-2-1偶然误差分布表
23
0.064
21
0.059
17
0.047
16
0.045
13
0.036
13
0.036
6
0.017
5
0.014
4
源自文库
0.011
2
0.006
0
0
0
0
181
0.505
✓若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越
低。
MSE(L) E(L L%)2
✓精确度衡量指标是均方误差：
精度低 准确度低 精确度低。
➢ 图(a)表示精度、精确度均高，而准确度低； ➢ 图(b)表示精度高，精确度低，而准确度低； ➢ 图(c)表示精度、精确度均低，因而准确度低； ➢ 图(d)表示精度、精确度均低，但准确度较高。
✓表征观测结果的偶然误差大小程度。
✓精度是以观测值自身的平均值为标准的。
10 9
8
成绩：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6
L
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
8.8
8
成绩：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.2
精度高。
➢准确度：是指观测值的数学期望与其真值的接近程度。
✓表征观测结果系统误差大小的程度。
✓若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越
低。 L% E(L)
总 =系 +偶
E(总) 系 0
=10-8.8=1.2
~
L E(L) 系
准确度低。 精度高。
➢精确度：是精度与准确度的合成。是指观测结果与其 真值的接近程度。 ✓反映偶然误差和系统误差以及粗差联合影响大小程度。
177
0.495
误差绝对值
个数
频率
91
0.254
81
0.226
66
0.184
44
0.123
33
0.092
26
0.072
11
0.031
6
0.017
0
0
358
1.000
从表中看出：
➢绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）； ➢绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多； ➢绝对值相等的正、负误差出现个数大致相等。
大量的测量实践证明，在其它测量结果中，也都显示 出上述同样的统计规律。
➢误差分布规律，除了采用误差分布表表达，还可用直方图来 表达。
一定的观测条件对应着一种确定的误差分布。
➢当误差个数无限增大时，将误差区间缩小，直方图则变成 一条光滑的曲线：
该图同样可以说明观测误差特性，称为“误差分布曲线”。
➢可以证明，若△仅含有偶然误差，其分布为正态分布，其分
• 几个概念：
➢ 真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正
大小的数值，这一数值就称为该观测值真值，用 表
示。
~
L
➢ 真误差：真值与观测值之差（偶然误差），即：
真误差（∆）= 观测值（L
）- 真值（~ L
）
• 真值一般情况下是难以求得的，但有些特殊情形 下，是可以知道的，如：
1）三角形内角和等于180度； 2）闭合水准路线高差闭合差等于零； 3）往返测量一段距离，其差数的真值等于零。
布函数为：
f ()
1
2
e 2 2
2
➢ σ —标准差，在测量上称为中误差。当σ不同时，曲线位置 不变，但分布曲线的形状将发生变化。
用概率的术语概括偶然误差的特性如下：
1、一定观测条件下，误差绝对值有一定限值（有限性）； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐 降性）； 3、绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）； 4、偶然误差的数学期望为零（抵偿性）；
➢ 当观测值只含有偶然误差时，其数学期望就等于真 值（ ~ ），即：
L E(L)
真误差（∆）= 观测值（ ）-数学期望
（
）
L
E(L)
~
➢ 残差（改正数）：
L
改正数（V）= 观测值（
（）
L
）- 平差^ 值
L
大量实践证明：大量偶然误差的分布呈现出一 定的统计规律。
三角形闭合差例子
在相同观测条件下，独立观测了358个三角形的全部内角，三角 形内角和的真误差i由下式计算：
本章学习的目的要求:
➢ 掌握偶然误差的统计特性；
➢ 掌握衡量精度的指标；
➢ 掌握常用定权方法；
➢ 掌握误差传播律及协因数传播律。
重点、难点:
偶然误差的统计特性；衡量精度的指标以及精度和准 确度的联系与区别；误差传播律以及协因数传播律的应 用；定权方法。
2.1 偶然误差的统计特性
测量平差研究对象是偶然误差,为此,有必要对偶然误差的 性质作进一步的分析研究。
i (L1 L2 L3 )i 180o (i 1, 2, 3,K , 358)
以误误差差落区入间各个d区=0间.2的秒个将数真v误i 差，计i按算其出绝其对频值率进fi行排vni列。统计出
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
表1-2-1偶然误差分布表
误差区间
0.00～0.20 0.20～0.40 0.40～0.60 0.60～0.80 0.80～1.00 1.00～1.20 1.20～1.40 1.40～1.60 1.60以上
lim 0或E() 0
x n
• 以上分析可知： 1）观测误差呈现偶然性； 2）偶然误差具有统计规律；（均值为零的正态随机
分变量）
❖ 测量平差任务之一：评定测量成果精度。
~
❖ 当观测值中仅含有偶然误差时，由统计学知：E(L) L
~
LL
~
E() E(L L) 0
~
D() D(L L) D(L)
当系统误差相对于偶然误差小到可以忽略时， 精度=精确度！
2、观测精度：
是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，
是观测值与其期望值接近的程度，表征观测
结果偶然误差大小的程度。
密集
离散
在相同的观测条件下所进行的一组观测，称为等精度观测或 同精度观测。
精度与准确度、精确度
➢精度：就是指在一定观测条件下，一组观测值密集或 离散的程度，即反应的是： L与E（L）接近程度。
❖ 若观测误差中系统误差，即 总 =系 +偶
E(总) 系 0
~
L E(L) 系
2.2 精度指标
观测条件与观测精度
1、观测条件：指测量过程中的观测者、仪器、外界 条件的综合。
➢
一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布；
越小
越大
可见：
分布曲线陡峭的说明误差分布密集，或者离散度小，观测精度高些，也就 是观测条件好；另一条说明误差分布较为离散或者说它的离散度大，也即观 测条件差。
∑
△为负值
△为正值
个数
频率
个数
频率
45
0.126
46
0.128
40
0.112
41
0.115
33
0.092
33
0.092
表1-2-1偶然误差分布表
23
0.064
21
0.059
17
0.047
16
0.045
13
0.036
13
0.036
6
0.017
5
0.014
4
源自文库
0.011
2
0.006
0
0
0
0
181
0.505
✓若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越
低。
MSE(L) E(L L%)2
✓精确度衡量指标是均方误差：
精度低 准确度低 精确度低。
➢ 图(a)表示精度、精确度均高，而准确度低； ➢ 图(b)表示精度高，精确度低，而准确度低； ➢ 图(c)表示精度、精确度均低，因而准确度低； ➢ 图(d)表示精度、精确度均低，但准确度较高。
✓表征观测结果的偶然误差大小程度。
✓精度是以观测值自身的平均值为标准的。
10 9
8
成绩：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6
L
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
8.8
8
成绩：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.2
精度高。
➢准确度：是指观测值的数学期望与其真值的接近程度。
✓表征观测结果系统误差大小的程度。
✓若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越
低。 L% E(L)
总 =系 +偶
E(总) 系 0
=10-8.8=1.2
~
L E(L) 系
准确度低。 精度高。
➢精确度：是精度与准确度的合成。是指观测结果与其 真值的接近程度。 ✓反映偶然误差和系统误差以及粗差联合影响大小程度。
177
0.495
误差绝对值
个数
频率
91
0.254
81
0.226
66
0.184
44
0.123
33
0.092
26
0.072
11
0.031
6
0.017
0
0
358
1.000
从表中看出：
➢绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）； ➢绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多； ➢绝对值相等的正、负误差出现个数大致相等。
大量的测量实践证明，在其它测量结果中，也都显示 出上述同样的统计规律。
➢误差分布规律，除了采用误差分布表表达，还可用直方图来 表达。
一定的观测条件对应着一种确定的误差分布。
➢当误差个数无限增大时，将误差区间缩小，直方图则变成 一条光滑的曲线：
该图同样可以说明观测误差特性，称为“误差分布曲线”。
➢可以证明，若△仅含有偶然误差，其分布为正态分布，其分
• 几个概念：
➢ 真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正
大小的数值，这一数值就称为该观测值真值，用 表
示。
~
L
➢ 真误差：真值与观测值之差（偶然误差），即：
真误差（∆）= 观测值（L
）- 真值（~ L
）
• 真值一般情况下是难以求得的，但有些特殊情形 下，是可以知道的，如：
1）三角形内角和等于180度； 2）闭合水准路线高差闭合差等于零； 3）往返测量一段距离，其差数的真值等于零。
布函数为：
f ()
1
2
e 2 2
2
➢ σ —标准差，在测量上称为中误差。当σ不同时，曲线位置 不变，但分布曲线的形状将发生变化。
用概率的术语概括偶然误差的特性如下：
1、一定观测条件下，误差绝对值有一定限值（有限性）； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐 降性）； 3、绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）； 4、偶然误差的数学期望为零（抵偿性）；
➢ 当观测值只含有偶然误差时，其数学期望就等于真 值（ ~ ），即：
L E(L)
真误差（∆）= 观测值（ ）-数学期望
（
）
L
E(L)
~
➢ 残差（改正数）：
L
改正数（V）= 观测值（
（）
L
）- 平差^ 值
L
大量实践证明：大量偶然误差的分布呈现出一 定的统计规律。
三角形闭合差例子
在相同观测条件下，独立观测了358个三角形的全部内角，三角 形内角和的真误差i由下式计算：
本章学习的目的要求:
➢ 掌握偶然误差的统计特性；
➢ 掌握衡量精度的指标；
➢ 掌握常用定权方法；
➢ 掌握误差传播律及协因数传播律。
重点、难点:
偶然误差的统计特性；衡量精度的指标以及精度和准 确度的联系与区别；误差传播律以及协因数传播律的应 用；定权方法。
2.1 偶然误差的统计特性
测量平差研究对象是偶然误差,为此,有必要对偶然误差的 性质作进一步的分析研究。
i (L1 L2 L3 )i 180o (i 1, 2, 3,K , 358)
以误误差差落区入间各个d区=0间.2的秒个将数真v误i 差，计i按算其出绝其对频值率进fi行排vni列。统计出
W
W
W
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W
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W
W
W
W
W
W
表1-2-1偶然误差分布表
误差区间
0.00～0.20 0.20～0.40 0.40～0.60 0.60～0.80 0.80～1.00 1.00～1.20 1.20～1.40 1.40～1.60 1.60以上
lim 0或E() 0
x n
• 以上分析可知： 1）观测误差呈现偶然性； 2）偶然误差具有统计规律；（均值为零的正态随机
分变量）
❖ 测量平差任务之一：评定测量成果精度。
~
❖ 当观测值中仅含有偶然误差时，由统计学知：E(L) L
~
LL
~
E() E(L L) 0
~
D() D(L L) D(L)