边际与弹性
导数在经济分析应用中_边际_与_弹性_的联系与区别_曾小凤
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边际和弹性的教案
边际和弹性的教案教案标题：边际和弹性的教案教案目标：1. 理解边际和弹性的概念以及其在经济学中的应用。
2. 掌握计算和解释边际和弹性的方法。
3. 能够应用边际和弹性的概念分析经济问题。
教学重点：1. 边际概念的理解和应用。
2. 弹性概念的理解和应用。
3. 计算和解释边际和弹性的方法。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿。
2. 白板、马克笔和橡皮擦。
3. 经济学教材和练习题。
教学过程：引入：1. 使用一个现实生活中的例子引入边际和弹性的概念，例如购买冰淇淋的决策或汽车公司的定价策略。
2. 引发学生的思考，让他们思考为什么边际和弹性对经济决策和市场分析非常重要。
讲解边际概念：1. 解释边际的含义，即增加或减少一个单位的变化。
2. 通过使用图表和实际例子，说明边际成本、边际效益和边际分析的概念。
3. 强调边际分析在决策制定中的重要性，特别是在资源有限的情况下。
讲解弹性概念：1. 解释弹性的含义，即需求或供应对价格变动的敏感程度。
2. 介绍价格弹性、收入弹性和交叉弹性的概念。
3. 使用实际例子和计算公式，说明如何计算和解释不同类型的弹性。
应用边际和弹性：1. 提供一些实际的经济问题，让学生应用边际和弹性的概念进行分析和解决。
2. 分组讨论，让学生分享他们的分析和结论，并提供反馈和指导。
3. 鼓励学生思考边际和弹性对经济政策和市场决策的影响。
总结和评估：1. 总结边际和弹性的概念及其应用。
2. 给学生提供一些练习题，以评估他们对边际和弹性的理解和应用能力。
3. 回答学生的问题，并提供个别指导和反馈。
扩展活动：1. 鼓励学生进行更多的实际案例研究，以加深对边际和弹性的理解。
2. 组织小组讨论或辩论，让学生就某个经济问题运用边际和弹性的知识进行辩论。
3. 鼓励学生撰写一篇关于边际和弹性在经济学中的应用的短文或报告。
教学延伸：1. 在下一堂课上，引入更复杂的边际和弹性概念，如边际效用和交叉弹性。
2. 鼓励学生进行更深入的研究，了解边际和弹性在其他学科领域的应用，如管理学和市场营销。
第6节 边际与弹性
C (900) 1) C (900) 1775 C (900) 1.97 900 C (Q) C (1000) C (900) 2) 1.58 Q 1000 - 900
3) C(900) 1.5
生产900个单位 , 增加 ( 减少)1个单位产品 , 成本将增加 ( 减少)1.5
二、经济学中常见的边际函数
1.边际成本 1 边际成本 : 总成本函数C Q 的导数C (Q ) 2 边际平均成本 : 平均成本C Q 的导数 C (Q)Q C Q C Q C Q 2 Q Q 3 一般情况下，C Q C0 C1 Q ， 则C (Q ) C1 Q .
四、经济学中常见的弹性函数
1.需求弹性 : 设需求函数Q f P 在P处可导,
dQ P dQ P 则在P处需求弹性为 Ed ( ( P) ) dP Q dP Q
经济含义 : Q f P 在P处, 价格每上涨1%, 需求就减少 ( P )%; 价格每下降1%, 需求就增加 ( P )%.
(1) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%, 收益增加
收益减少
(1- ) %
| (1- ) | %
(2) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%,
(3) 当 1, 总收益最大
p 例4：设某商品需求函数 Q f ( p ) 12 2 试求：
(1)p=6时价格上涨1％，总收益将变化百分之几？
2
y / y0 x / x0
称为f ( x)从x0到x0 x两点间的
平均相对变化率或两点间的弹性.
2.弹性
y / y0 1 lim 称为f ( x)在x0处的相对变化率或弹性， x 0 x / x 0 Ey 记作 Ex E 或 f ( x0 ). Ex x x0
边际、弹性分析经济数学建模课件
一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
高数上3.7一元函数在经济上的应用(边际与弹性)
饱和期
时，其图形如图所示
初始期
发展期
饱和期
由图可见戈珀兹曲线当 t > 0 且无限增大时，其无限与直线 y = k 接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 的值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。
二、边际与弹性
1. 边际概念
如果函数
在
处可导，则在
内的平均变化率为
成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。
例4. 设某厂的生产函数
，其中 L 表示
劳动力数量，求劳动力价格为1152时的可变成本函数
一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的供给函数都是单调增加的。
人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数
线性函数：
，其中
幂函数：
，其中
指数函数：
，其中
使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为P0），称为均衡价格。
例2. 已知某商品的需求函数和供给函数分别为
如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量 Q 便是价格 P 的函数，记
称 f 为需求函数，同时 f（P）的反函数 也称为需求函数。
一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，需求函数是单调减少的。
人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数
线性函数：
的关系；
（2）试分别解出关于价格
的边际收益
，关于需求
的边际收益
3.6 边际与弹性
L(Q0 )的经济意义：
当销售量为Q0时，销售Q0前最后一个 单位商品所增加的利润
L(Q) R(Q) C (Q) L(Q) R(Q) C(Q)
厂商理论：R(Q) C (Q) 此时，L(Q) R(Q) C (Q) 0 即再增加销量时不会增加利润， 此时利润达到最大.
设某商品的需求函数为Q Q( P), 其中Q为 需求量，P为价格，收益函数R PQ( P) 则收益对价格的弹性为：
ER R( P) Q( P) PQ( P) P P EP R( P) PQ( P )
Q( P) EQ 1 P 1 Q( P) EP
EQ ER 当 1时， 0，此时提高价格会增加收益 EP EP EQ ER 当 < 1时， 0，此时提高价格会减少收益 EP EP
大于价格变动幅度，即P 6时，价格上涨1%， 需求下降1.2%为富有弹性
(2)供给价格弹性
设某商品的供给函数为Q Q( P), 其中Q为 供给量，P为价格，供给对价格的弹性为：
EQ P Q( P) EP Q( P)
EQ 一般情况下 0,即供给量会随价格的升高 EP 而升高
(3)收益价格弹性
EQ ER 当 1时， 0，此时收益达到最大 EP EP
P 例7.设某商品需求函数为Q 12 , 求P 6时 2 若价格上涨了1%，总收益增加还是减少，将变化
1 EQ Q P 2 解 P P P P 24 EP Q 12 2 6 1 因为 (6) 1 6 24 3
P 5
(5) 1, 说明当P 5时，价格与需求变动的
幅度相同，为单位弹性
(3) 0.6 1, 说明当P 3时，需求变动的幅度
边际与弹性
解
dP Q ( P ) 2 P , 当P 4时 的 边 际 需 求 为 dQ Q ( P ) P 4 8
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，且 x0 0 ，
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
设在点 x x0 处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量 y 的准确值为 y x 1 ，当 x 改变量很小时，则由微分的应用 知道， y 的近似值为
x x0
y x 1 dy f ( x )x
x x0
x x0 x 1
f ( x 0 )
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
3 弹性的四则运算
f1 ( x) E f 2 ( x) Ef1 ( x) Ef 2 ( x) (3) Ex Ex Ex
4 函数弹性的图解方案
即 tan( m ) tan m (图2 2)
边际函数 y f ( x )的 几 何 意 义 为 所 示 曲 上 线各 点 的 切 线 斜 率 ，
Ef1 ( x) Ef 2 ( x) f ( x ) f ( x ) 1 2 E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ex (1) Ex f1 ( x) f 2 ( x) (2) E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ef1 ( x) Ef 2 ( x) Ex Ex
边际与弹性
例2
设某产品生产 Q
单位的总成本
C
(Q)
1100
Q2 1200
，
求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本；
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率；
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
9020
C(Q) 1100 1775
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量的相对改变量
y0
f ( x0 )
x 之比 y
x0
x
y0 x0
为函数从
x0到
x0
x两点间的平均相对变化
第六节 边际与弹性
一、 边际的概念
定义: 如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x)内
的平均变化率为y ；在 x x
x0处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0 )
f (x0 )
，
经济学中称它为 f (x)在 x x0处的边际函数值.
相应定义了一个函数：边际函数
L(Q) L(2)050 Q20
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
销 售 1 5 个 单 位 时 , 总 收 益 R
5
Q 2
(2 0 Q )
2 5 5
经济学中边际与弹性的数学定义及实际意义
经济学中边际与弹性的数学定义及实际意义摘要：边际与弹性是导数在经济学中的一个重要应用，是微分学在经济分析中一种有效可行的方法。
文章从经济数学中边际和弹性的数学定义出发，结合实际通俗的解释了边际和弹性的意义。
关键词：边际；弹性；定义1 整体分析2 从实例来解释边际和弹性先看边际，比如可以研究产品的边际成本，边际受益来衡量工厂合适的生产量，还有边际效用也是解决实际问题或解释实际问题常用的方法。
比如农民一年收获了袋谷子，第一袋谷子用来维持一个月的生活，效用为10，第二袋谷子可以卖掉使他生活水平提高，效用为8，第三袋谷子可以用来酿酒，效用为4，第四袋谷子可以用来喂宠物，效用为2。
第一袋谷子的效用最高，后面依次递减。
很多实际的问题都用到了边际分析法，比如长途汽车即将出站出发时，有一名乘客要求以票价的一半价格上车，售票员考虑之后还是让他上车了。
咋一看，我们会觉得长途车车主亏了，但实际上我们应该考虑的是边际成本和边际收益这两个概念。
在这个例子中，增加这一名乘客，所需汽油费、工作人员工资、过路费和汽车的磨损等几乎都不会增加，即长途车所增加的成本几乎为0，即边际成本约等于0元。
但是增加这一名乘客，长途车车主的收入增加了乘客所付的钱（票价的一半），即边际收益为票价的一半。
这样分析的话长途车车主还是得利了。
又比如在食品保鲜技术还不是非常发达的上世纪，乳品商面对当日无法全部售完的新鲜牛奶，是选择极低价促销还是全部掉入阴沟？众多的商家选择了后者。
这与以上所提到的坐车案例处理方法截然不同。
难道那时的商人不懂得边际分析？可想而知不是。
在商人的算盘中，并不仅是计算着今天的收益，他们所要考虑的是最为重要的：今天的极低价促销对于日后的牛奶价格会产生什么影响！因为今日的低价促销所获得的较少收益足不以弥补日后由于牛奶单价的降低所带来的亏损（原本购买正价牛奶的消费者亦选择在低价促销时购买）。
可见，关于边际分析法应用讨论还需继续。
弹性使用的范围也非常广，商品可分为弹性商品和非弹性商品，弹性商品是指商品的价格变动会带动需求量跟着会发生很大的变化，比如奢侈品就是弹性商品。
边际分析与弹性分析
dQ
(p)
ER R '(Q) Q p(1 1 ) Q 1 1
EQ
R(Q)
(p) pQ
(p)
(x)从x0到x0
x两点间的平均相对变化率
或弹性.
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(x)在x0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义：设y=f(x)可导，则
Ey Ex
y'
x y
f '(x)
x f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1％时，函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %
e
p 5
，求：
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性
⑶当价格在p=3处上涨2％时需求将变化百分之几？
(4) 当价格在p=3处下降3％时需求将变化百分之几？
4.收益弹性 Ey f '(x) x
R '(p)
Ex
Q
p
dQ
f
(x)
Q(1
(p))
dp
ER R '(p) p Q(1 (P)) p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
(1) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1,即 ER 0 总收益最大
边际分析与弹性分析
L' ' (Q) 0,即R' ' (Q) C' ' (Q) 充分条件：
(边际收益的变化率<边际成本的变化率）
最大利润原则：R' (Q) C ' (Q) , R' ' (Q) C ' ' (Q)
（二）弹性分析
Ey x x 1.弹性定义：设y=f(x)可导，则 y' f ' ( x) Ex y f ( x) 称为y=f(x)的弹性。
例1：某企业生产一种产品，利润L(x)= 250x 5x 2 ，x 为产量，在x=10、25、30时分别求再多生产一吨产品所 带来的利润。
解： L' ( x) 250 10x
L' (10) 150, L' (25) 0, L' (30) 50
2.最大利润原则：设L(Q)=R(Q)-C(Q) L(Q)取最大值必要条件：L' (Q) 0,即R' (Q) C ' (Q)
4.收益弹性
ER p p p R' ( p ) (pQ)' 1 Q' 1 (p ) Ep R (p ) pQ Q
R' (p ) Q pQ' Q(1 (p ))
பைடு நூலகம்
(1) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%, 收益增加 (1 - (P)) % ( 2) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
y
2.需求弹性：设需求函数Q=f(p)在 p处可导， 则在p处需求弹性为
EQ p ( p ) Q Ep Q
3.6 经济活动中的边际分析与弹性分析
收益函数、边际利润函数。
1、边际成本
生产一定数量的产品所需要的全部经济资源投入的费 用总额称为总成本, 设 TC(Q)为总成本,此处Q为产量.
边际成本为总成本函数关于产量Q的导数，记作MC，
即
MC TC (Q)
这说明当产量为100时，再增加一个单位产品的
生产，总成本将增加49；当产量为200时，再增加一
个单位产品，总成本将增加53.
2、边际收益 生产者出售一定量产品所得到的全部收入称为总收益,
单位产品的售价称为平均收益. 总收益对销售量的导数称
为边际收益.
一般用Q表示商品量, P为商品价格, TR表示总收益.
试求
解 因为 所以
p 5 元时的供给价格弹性.
Qs 0.8
p0 g ( p0 ) g ( p0 )
5 0.8 2 2 0.8 5
Es
p 5
该结果说明当价格在 p 5 元水平时， 若提价1%，
供给量将增加2%.
TC (100 ) 2000 45 100 0.02 100 2 6700
（2）当产量为100吨时的平均成本
6700 AC (100 ) 67 100
（3）当产量从100吨增加到200吨时，总成本的平均变化率
Q 200 100 100
，
TC TC (200 ) TC (100 )
它的经济含义是：当产销量达到 Q 时，再增加一个 单位产品的产销所增加的利润.
二、弹性分析 弹性作为一个数学概念是指相对变化率, 即相互依 存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例 来说, 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。 弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲 的。弹性分析是经济数量分析的重要组成部分之一.
经济数学-边际与弹性
P
1 P ln ( 2 ln 2) P 1.39 P . 4
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
边际收入与边际利润 在估计产品销售量 x 时, 给产品所定的价格 P ( x ) 称为价格函数, 可以期望 P ( x ) 应是 x的递减函数. 于是 收入函数 R( x ) xP ( x )
。 C C(Q) 1000 7Q 50 Q , Q 0,1000
求：(1)当日产量为 1000 吨时的边际成本； (2)当日产量为 1000 吨时的平均单位成 本。
5．某产品的价格 P 与需求量 Q 的关系为
Q P 10 5 ，求需求量为
30 时的总收益 R，平均收益
(a ) P Q 2 2Q （ 1 供给函数 ) (b)Q 36 2 P (需 求 函 数 )
3．就下列各平均函数求其边际函数。
46 18 (a) AC 1.5Q 4 (b) AC 0.1 0.5Q 0 Q Q
4．某化工产日生产能力最高为 1000 吨，每 日产品的总成本Ｃ(单元:元)是日产量 Q(单 元:吨)的函数：
需求弹性为负, 说明商品价格 P 上涨1%时, 商品需求
量 Q 将减少1.39%. (2) 当商品价格 P 10 (元)时,
微积分(第三章)
（1） y f (sin2 x) g (cos2 x)
（2） y f n [ g n (sin x n )]
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
§3 高阶导数
一般地，设 f ' ( x) 在点 x 的某个领域内有定义，若极
限
f ' ( x x ) f ' ( x ) lim x 0 x
f ' ( x0 ) 都存在，就说函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上可导。
第三章 导数、微分、边际与弹性
§1 导数的概念
三 、 导数的几何意义
函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义是曲 线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率。
定理2 如果函数 x f ( y ) 在区间 I y 内单调、可导
I x x x f ( y ), y I y
且 f ' ( y) 0 ，则它的反函数 y f 1 ( x) 在区间
内也可导，且
[f
1
1 dy 1 ( x)]' f ' ( y) 或 d x dx dy
（4）y cos x
1 （ 6） y x 1 （ 8） y 2 x 5x 6
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
高阶导数有以下运算法则：
1、[u( x) v( x)]( n) u ( n) ( x) v( n) ( x)
1 ' ( n 1) 2、[u ( x) v( x)]( n ) u ( 0) v ( n ) Cn uv k ( k ) ( nk ) k ( k ) ( nk ) Cn u v u ( n ) v ( 0 ) Cn u v n
边际分析与弹性分析
边际分析与弹性分析边际分析和弹性分析是经济学中重要的概念和工具。
边际分析主要研究个体或单位在其中一决策上的最后一单位收益或成本，弹性分析则是研究个体或单位对外部影响的敏感程度。
边际分析是指在边际条件下，对单位变动的最后一个单位进行分析的方法。
边际成本是指增加或减少单位产量所引起的总成本的变化，边际效益是指增加或减少单位产量所引起的总效益的变化。
在做决策时，我们通常会比较边际成本与边际效益之间的关系，当边际效益大于边际成本时，持续增加产量，反之亦然。
这种比较的方法称为边际收益递减原理。
以生产为例，边际成本和边际效益可以用来优化生产过程。
当边际成本低于边际效益时，单位的生产成本还可以通过增加产量来降低，从而带来更多的利润。
但是，随着产量的增加，边际成本将逐渐增加，当边际成本高于边际效益时，增加产量将不再有利可图。
弹性分析是指个体或单位对其中一变量变化的敏感程度。
根据弹性的概念，我们可以衡量其中一变量的变化对其他相关变量的影响。
常见的有价格弹性、收入弹性等。
价格弹性衡量了消费者对产品或服务价格变化的敏感程度。
价格弹性大于1表示消费者对价格变化非常敏感，产品或服务的需求量会随价格的变动而显著变化。
价格弹性小于1表示消费者对价格变化不太敏感，产品或服务的需求量不会随价格的变动而显著变化。
收入弹性衡量了消费者对收入变化的敏感程度。
收入弹性大于0表示产品或服务的需求量与收入正相关，收入增加时需求量也会增加，收入弹性小于0表示产品或服务的需求量与收入负相关，收入增加时需求量会减少。
边际分析和弹性分析在经济学中起着重要的作用。
通过边际分析，我们可以优化决策，确定最优的产量或资源配置方案。
而弹性分析则帮助我们了解市场需求和供给的变化，指导企业和政府制定相应的决策策略。
例如，在企业的市场定价决策中，通过对价格弹性的分析，企业可以了解到市场对产品价格变化的敏感程度，进而决定是否降价来吸引更多的顾客。
另外，在政府的税收政策制定中，通过收入弹性的分析，政府可以了解到不同收入水平的人群对税收的敏感程度，进而制定相应的税收政策来实现贫富均衡或者调控经济发展。
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边际与弹性 Prepared on 22 November 2020
第六节 边际与弹性
教学目的：掌握边际函数、弹性函数定义。
教学重点：经济学中常见边际函数及弹性函数。
教学难点：需求弹性的计算
教学内容：
一、边际概念
在经济学中，边际概念通常指经济问题的变化率，称函数()f x 的导数()f x '为函数()f x 的边际函数．
在点0x 处，当x 改变x ∆时，相应的函数()=y f x 的改变量为
)()(00x f x x f y -∆+=∆．当1=∆x 个单位时，)()1(00x f x f y -+=∆，如果单位很小，则有 )()()1(01000x f dy x f x f y dx x x '=≈-+=∆==．
这说明函数)(0x f '近似地等于在0x 处x 增加一个单位时，函数)(x f 的增量y ∆．当x 有一个单位改变时，函数)(x f 近似改变了)(0x f '．
二、经济学中常见边际函数
1．边际成本
总成本函数)(x C 的导数)(x C '称为边际成本函数，简称边际成本．
边际成本的经济意义是，在一定产量x 的基础上，再增加生产一个单位产品时总成本增加的近似值．
在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”二字．
例1： 已知生产某产品x 件的总成本为20010409000)C(x x x .++=(元)，
(1)求边际成本)(x C '，并对)1000(C '的经济意义进行解释．
(2)产量为多少件时，平均成本最小
解： (1)边际成本x x 002040)(C .+='．
(1000)400.002100042C '=+⨯=．
它表示当产量为1000件时，再生产1件产品则增加42元的成本；
(2)平均成本
x x
x x 0010409000C )(C .++==
， 00109000)(C 2.+-='x
x ， 令=')(C x 0，得 x = 3000(件)．由于318000C (3000)03000''=>，故当产量为3000件时平均成本最小．
2．边际收入
总收入函数)(x R 的导数)(x R '称为边际收入函数，简称边际收入．
边际收入的经济意义是，销售量为x 的基础上再多售出一个单位产品所增加的收入的近似值．
例2：设产品的需求函数为p x 5100-=，其中p 为价格，x 为需求量．求边际收入函数，及70,50,20=x 时的边际收入，并解释所得结果的经济意义． 解： 根据p x 5100-=得5
100x p -= 总收入函数)100(5
15100)(2x x x x px x R -=⋅-== 边际收入函数为)2100(5
1)(x x R -=' 即销售量为20个单位时，再多销售一个单位产品，总收入增加12个单
位；当销售量为50个单位时，扩大销售，收入不会增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，总收入将减少8个单位．
3．边际利润
总利润函数)(x L 的导数)(x L '称为边际利润函数，简称边际利润．
边际利润的经济意义是，在销售量为x 的基础上，再多销售一个单位产品所增加的利润．
由于)()()(x C x R x L -=，所以()()()L x R x C x '''=-．即边际利润等于边际收入与边际成本之差．
例3：某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为
202.02100)(x x x C ++=（元）与201.07)(x x x R +=（元）
求边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利润，并说明其经济意义．
解： 总利润函数100501.0)()()(2-+-=-=x x x C x R x L
边际利润函数为502.0)(+-='x x L
日产量为200千克、250千克和300千克时的边际利润分别是
1)200(='L （元），0)250(='L （元），1)300(-='L （元）
其经济意义是，在日产量为200千克的基础上，再增加1千克产量，利润可增加1元；在日产量为250千克的基础上，再增加1千克产量，利润无增加；在日产量为300千克的基础上，再增加1千克产量，将亏损1元．
二、弹性概念
弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度．
例如，设有A 和B 两种商品，其单价分别为10元和100元．同时提价1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数．
定义：设函数)(x f y =在点x 处可导．则函数的相对改变量y y
∆与自变量的相对改变量x x
∆之比，当0→∆x 时的极限： )()(lim 0x f x f x y y x x x y y x '='=∆∆→∆称为函数)(x f y =在点x 处的弹性，记作Ey Ex 或()Ef x Ex
，即
()()
Ey x f x Ex f x '=． 由定义知，当%1=∆x
x 时，%y Ey y Ex ∆≈．可见，函数)(x f y =的弹性具有下述意义：函数)(x f y =在点0x 处的弹性0
x x Ey Ex =表示在点0x 处当x 改变1%时，函数)(x f y =在)(0x f 的水平上近似改变0
%x x Ey
Ex =．
四、经济学中常见的弹性函数
1. 需求价格弹性
设某商品的需求量为Q ，价格为p ，需求函数()Q Q p =，则该商品需求对价格的弹性（简称需求价格弹性）为：d p dQ E Q dp
= ．
2. 供给价格弹性
设某商品的供给量为W ，价格为p ，供给函数()W W p =，则该商品供给对价格的弹性（简称供给价格弹性）为：s p dW E W dp
=
3．需求弹性与总收益的关系
总收益()R pQ p =， 所以()()()[1()]()[1]()
p R Q p pQ p Q p Q p Q p Q p η'''=+=+⋅=-
例4：:某商品需求函数为2
10Q -=，求（1）当3=P 时的需求弹性； (2)在3=P 时，若价格上涨%1，其总收益是增加，还是减少它将变化多少
解： (1)1220102
EQ P P P Q P EP Q P ⎛⎫'==-⋅= ⎪-⎝⎭-． 当3=P 时的需求弹性为
3317
P EQ EP ==-18.0-≈． (2)总收益2
102
P P PQ R -==，总收益的价格弹性函数为 22(10)(10)20102
ER dR P P P P P EP dP R P P -=⋅=-⋅=--， 在3=P 时，总收益的价格弹性为
33
2(10)0.8220P P ER P EP P ==-=≈-． 故在3=P 时，若价格上涨%1，需求仅减少0018.0， 总收益将增加， 总收益约增加%82.0．。