几个重要的特殊数列讲解学习

几个重要的特殊数列

几个重要的特殊数列

基础知识

1．斐波那契数列

莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：

假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？

这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第

个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于

是有。

现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为

（），其特征方程为，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给

出）

因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特

征根为：

，所以可设其通项公式为，利

用初始条件得，解得

所以。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有

趣的性质，如：

它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）

（1）斐波那契数列的前项和；

（2）；

（3）（）；

（4）（）；

（5）（）；

2．分群数列

将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即

可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此

数列为分群数列。

一般地，数列{}的分群数列用如下的形式表示：（），

（），（），……，其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第个括号称为第群，而数列

{}称为这个分群数列的原数列。如果某一个元素在分群数列的第个群中，且从

第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群中的第个元素。

值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。如对数列{}分群，还可以

得到下面的分群数列：

第个群中有个元素的分群数列为：（），（），

（）…；

第个群中有个元素的分群数列为：（），（），

（）…等等。

3．周期数列

对于数列{}，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列{}是从第项起的周期为T的周期数列。若，

则称数列{}为纯周期数列，若，则称数列{}为混周期数列，T的最小值

称为最小正周期，简称周期。

周期数列主要有以下性质：

（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；

（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；

（3）如果T是数列{}的周期，则对于任意的，也是数列{}的周

期；

（4）如果T是数列{}的最小正周期，M是数列{}的任一周期，则必有

T|M，即M=（）；

（5）已知数列{}满足（为常数），分别为{}的前项的和与积，若，则，；

（6）设数列{}是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若是除以后的余数，即，且，则称数列是{}关于

的模数列，记作。若模数列是周期的，则称{}是关于

模的周期数列。

（7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。

4．阶差数列

对于一个给定的数列{}，把它的连续两项与的差－记为，得到一个新数列，把数列称为是原数列{}的一阶差数列；如果，则称数列是数列的一阶差数列，是{}的二阶差数列；依次类推，可以得到数列{}的阶差数列，其中。

如果某一数列的阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列。其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差

数列的统称。

高阶等差数列具有以下性质：

（1）如果数列{}是阶等差数列，则它的一阶等差数列是阶差数列；

（2）数列{}是阶等差数列的充要条件是：数列{}的通项是关于的次

多项式；

（3）如果数列{}是阶等差数列，则其前项之和是关于的次多

项式。

高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。解决问题的基本方法有：

(1)逐差法：其出发点是；

(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项与前n项和S n是确定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得

(3)裂项相消法：其出发点是an能写成=f(n+1)－f(n)

(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列

的问题，达到简化的目的

设数列{}不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为1的等比数列，则

称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这为二阶等比数列。一般地说，如果某一个数列它的阶等差数列不是等比数列，而阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数列为

阶等比数列，其中。

0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统

称为高阶等比数列。

典例分析

例1．数列的通项公式为，．记

，求所有的正整数，使得能被8整除．

（2005年上海竞赛试题）

解：记

注意到，可得

因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定

，故由(*)式可以算出各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而